Pruebas de paternidad si se desconoce el genotipo del padre

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XVII (Núms. 1-2), 19-28 (2005) (publicado en agosto de 2006)
PRUEBAS DE PATERNIDAD SI SE DESCONOCE
EL GENOTIPO DEL PADRE
Sánchez García, M.1, Sobrón Fernández, M. 1.2 & Arroyo Pardo, E.3
1 Facultad de Medicina, Departamento de Estadística e Investigación Operativa,
Universidad Complutense de Madrid. 28040 Madrid
~Facultad de Matemáticas, Departamento de Estadística e Investigación Operativa,
Universidad Complutense de Madrid. 28040 Madrid
'Facultad de Medicina, Departamento de Medicina Legal y Toxicología (Biología Forense)
Universidad Complutense de Madrid. 28040 Madrid
Resumen
La decisión sobre la paternidad biológica de un presunto padre se suele tomar en función
del valor del índice de paternidad, según se explica en (1), (2), (3) y (4). El índice de paternidad se
puede relacionar con un test de hipótesis estadístico, que es la herramienta adecuada para decidir
sobre la paternidad biológica, según se explica en (2) y (3) En el modelo que se propone, se supone
que se miden los genotipos del hijo y de la madre sobre varios sistemas genéticos, aunque no se
pueden tipar directamente los genotipos del presunto padre. Se supone que se conoce información
parcial sobre los genotipos del presunto padre, en función del genotipo de sus padres, es decir, los
abuelos del niño. Se desarrollan modelos donde el presunto padre es aleatorio. El objetivo es
calcular, o más bien estimar, en función de los modelos aleatorios, la probabilidad de paternidad, o,
mejor, su medida asociada del índice de paternidad, por varios estadísticos, tales como el valor
máximo, el mínimo, el maxmin, el valor medio y los fractiles; en particular el primer, segundo y
tercer cuartil.
Palabras Clave: Pruebas de Paternidad. Test de Hipótesis. Probabilidad de Paternidad. Modelo
aleatorio, Maxmin, Fractiles.
Abstract
The decision in paternity testing is usually made according to the value of paternity index
( 1-4 ). Paternity index can be related to a statistical hypothesis test, this being the most suitable tool
(2, 3). In the present model, it is assumed that genotypes from several genetic systems are known in
the case of the mother and the son, despite it is not possible to type directly the genotypes of the
alleged father. We assume that it is available sorne information of the genotypes of the alleged
father as a function of the genotypes of his parents or, in other words, of the grandparents of the
child. lt is developed sorne models where the alleged father has been chosen randomly. The aim is
to calculate the probability of paternity as a function of random models or the value of the
probability of patemity associated to the paternity index according to several statistics: maximum
value, minimal value, maxmin, mean value and fractiles, specially the first, second and third
quartiles.
Keywords: Paternity testing, hypothesis test, probability of patemity, random model, maxmin,
fractiles.
19
l. Introducción.
Cuando se tipa el DNA se obtienen datos genéticos que son útiles para resolver varios tipos
de problemas. En la práctica, se conocen técnicas precisas para tipar DNA y, con ellas, se pueden
obtener con facilidad, para muchos sistemas, los alelos de cada persona. Estos datos alélicos son de
gran ayuda para identificar a presuntos criminales, presuntos violadores ó presuntos padres. Prueba
de lo que se dice, son las referencias de Aitken (1), Sánchez y otros (2,3) y Weir B. S.(4); así como
las innumerables citas de las obras (1) y (4). En este artículo se desarrollan técnicas para calcular la
probabilidad de paternidad, o su medida asociada, el índice de paternidad, en el supuesto de que no
se pueda conocer directamente el genotipo del presunto padre; aunque se puede obtener
información sobre dicho genotipo en función del genotipo de sus padres.
El artículo se estructura en cinco apartados. Después de esta introducción, se exponen, en el
epígrafe 2, los conceptos necesarios para formular diferentes modelos. Las ideas del apartado 2, se
han tomado de las referencias (2 y 3) ya citadas. En el epígrafe 3, se explican las técnicas para
calcular las probabilidades y los índices de paternidad. En el epígrafe 4 se calculan índices de
paternidad, por distintos métodos, para los supuestos considerados. En el apartado cinco se
desarrolla un caso práctico.
2. Conceptos y formulación de modelos
Definición 2.1. Un sistemas_¡ es un trozo de DNA sobre el que se miden, en cada persona, dos
alelos, que pueden ser iguales ó distintos. Cada uno de los dos alelos pertenece a un conjunto finito
'
que se denota por CAj. El conjunto CAj = (Aj,, Ah, .... , Ajn,) está formado por los alelos que
caracterizan al sistema.
Si los dos alelos son iguales el sistema es Homozigótico, mientras que si son diferentes el
sistema se denomina Heterozigótico.
Se denota por .Q a la población de referencia; que está formada por el conjunto de personas
que pueden ser tipadas. Asociado con cada sistema Sj existe la función genotípica:
\f j: CAj ~ CAj
La función \fj asigna a cada persona a e Q, sus dos alelos en el sistema Sj-
Las leyes de la herencia genética afirman que uno de los dos alelos del genotipo del hijo, en
cada sistema, procede del padre biológico y el otro de la madre. Por tanto, si en uno ó más sistemas,
el alelo, ó alelos, del genotipo del hijo no heredado de la madre, no pertenece al genotipo del
20
presunto padre, entonces, salvo en el caso de una posible mutación ó de un error en la medida, el
presunto padre no puede ser el padre biológico.
Si se caracteriza a cada persona a por sus alelos; esto es, a= (A; : As), entonces se pueden
definir dos variables q1 (a) y q2 (a) como q1 (a)= A¡ y q2 (a)= As. Con la notación anterior, la
ley de equilibrio de Hardy-Weinberg se puede enunciar diciendo que las variables q1 (a) y q2 (a)
son independientes; esto es:
P {a / ~ (a) = A;, q2 (a) = As} = P {a / ~ (a) = A;} P {a / q2 (a) = As}
En lo que sigue se supone que se cumple la ley de Hardy-Weinberg.
En muchas ocasiones, al ti par un sistema en una persona a, no se suele poder distinguir entre el par
de alelos (A¡ : As ) y el par de alelos (A., : A;). En este supuesto:
3. Desarrollo de técnicas para el cálculo de probabilidades
Se admite que se pueden medir los alelos en k sistemas genéticos, denotados por
S" S2 , ... ,S" Se suponen conocidos los genotipos de la madre y del hijo para k sistemas. Sean estos:
y
donde, en el sistema Ss , m indica genotipos de la madre, h indica hijo, s indica el sistema e is 1, is 2
representan los subíndices de los alelos 1 y 2 de la madre o del hijo para el sistema S.
En (3) se clasifican los sistemas y se dan métodos para calcular las probabilidades de
consistencia y paternidad en el supuesto de que se conozcan los alelos del hijo. de la madre y del
presunto padre. Se hará referencia a (3) cuando se utilicen estas fórmulas.
Si se denota por PAP¡ a los presuntos padres aleatorios, las probabilidades de consistencia Y
paternidad medias se calculan como el producto de las probabilidades de consistencia PC y de
paternidad PP para cada sistema; esto es:
K
PC(API AH)= TI I PC(PAPjl AMj; AH¡)PC(PAP¡))
j=l PAP1eCOMP1
y
21
K
=PP(API AH)= 11 L PP(PAPjl AMJ, AH)P(PA~).
j=I PA~eCOMP1
El test de hipótesis al que se hace referencia se define en (2 y 3). El test de hipótesis se
construye partiendo n en º'ºy º'ª ; decidiendo So cuando me º'ºy sa si me º'ª.
En el test propuesto, se denota por m a los abuelos y por AB( (J)) a las bandas alélicas, o
genotipos, de m para los k sistemas, y por HAB( m) a los posibles hijos que son descendientes de
AB(m). Con este supuesto, Q 10 ={me Q/ HAB(m) son consistentes con AM y AH}.
Con este test se verifica: P(Sª / H0 ) = P( Q1ª / H0 ) =O y P(Sª / H0 ) = P( n,0 I H0 ) =l.
Como consecuencia, salvo en el caso de mutación o error en la medida, el error del primer tipo del
test es cero.
El error del segundo tipo depende del espacio de probabilidad Q, de la información
disponible sobre los genotipos de los presuntos abuelos y del número de sistemas analizados. En el
supuesto de medir k sistemas, obteniendo como medidas AB(m) = (AB,, AB2 , ••• , AB¡, ... ,AB,J, se
tiene el resultado:
K n,0 =íl{me Q/ HAB/m) es consistente con AM1 y AH1 }
j=I
y por tanto:
Q10 =íl-Q'° ={me Q/ HAB(m) no es consistente con AM y AH para al menos un sistema}.
El error del segundo tipo, para la consistencia es igual a P( n,0 I H0 ). En el supuesto de que
los k sistemas son independientes se hace por la fórmula:
k
P( n,0 ) = 11 PC1 {me Q /HA~ ( m) es consistente con AM1 y AH1}
j=I
con
k K
P(HA~(AB(m))) = 11~(0'°1 )=L11 ¿ PC¡ (mi AM1 ; AH1 )P(AM1 )P(m)).
j=I a.en j=I AM ¡eCOMP
EJ error para Ja probabiJidad de paternidad se calcula sustituyendo PC1 por PP¡
Llamando BA1 a todas las posibles bandas alélicas del sistema S¡, la fórmula previa se
simplifica, dando lugar a:
22
K K
LTIPC/ml AMj;AHj)P(m).=. L TI PC/HABj I AMj;AHj) LP(m).=.
tl.lEO j=I HABEBA j=l OJEAP1
K
L TI PCj(HABj I AMj;AHj).P(HABj).
HABeBA j=l
Las probabilidades de paternidad se obtienen reemplazando la probabilidad de consistencia
PC; por la probabilidad de paternidad PP.
4. Cálculo de probabilidades en cada tipo de sistema
Se supone que no se dispone siempre de la misma información sobre el genotipo de los
abuelos. Se analizaran distintos supuestos, que por enumeración se comprueba que cubren todos los
casos posibles.
(Cl) No se conoce nada de información sobre el genotipo de los abuelos
Cuando no se conoce nada sobre los genotipos de los abuelos, el elegir los dos abuelos
aleatoriamente de la población de referencia es equivalente a elegir el padre aleatoriamente de la
población de referencia.
En efecto, sea A; : Aj el padre elegido aleatoriamente de la población de referencia. Sin
pérdida de generalidad se puede suponer que el alelo A¡ procede de la madre y el alelo A
1
procede
del padre. Debido a la independencia, sólo se va a realizar el desarrollo para la madre, o abuela del
hijo. La madre aleatoria del presunto padre, o abuela; tiene que ser de la forma A; : Ak o Ak : A;. La
probabilidad de transmitir el alelo A; es P( A; : A;)+ 0.5 L P( A¡ : Ak) + 0.5 L P( Ak : A;) = P( A;) ;
k~ k~
donde P(A;) es la probabilidad de tomar aleatoriamente el alelo A; de una población de alelos.
Esto demuestra el resultado.
(C2) Sólo se conoce un alelo de uno de los dos abuelos.
Los genotipos del presunto padre pueden ser de dos tipos
(T 1) Se forma con el alelo conocido de A y con otro alelo elegido aleatoriamente de la
población de referencia.
(T2) Se forma con dos alelos elegidos aleatoriamente de la población.
(C3) Sólo se conoce el genotipo de uno de los abuelos.
Sea A este abuelo. Los genotipos del presunto padre se forma eligiendo aleatoriamente uno
de los dos alelos del genotipo de A y el otro alelo se elige aleatoriamente de la población de
referencia.
(C4) Se conoce sólo un alelo de A, y otro alelo de A2 •
23
En este supuesto, los 4 tipos posibles de genotipos del presunto padre son:
(H 1) Se fonna con el alelo conocido de A1 y con el alelo conocido de l'2 .
(H2) Se fonna con el alelo conocido de A1 y con un alelo elegido aleatoriamente de la población.
(H3) Se fonna con un alelo elegido aleatoriamente de la población y con el alelo conocido de A:? •
(H4) Se fonna con dos alelos elegidos aleatoriamente de la población de referencia.
(C5) Se conoce el genotipo de un abuelo A1 y un alelo del otro abuelo l'2.
En este supuesto, hay dos tipos posibles de genotipos del presunto padre, que son:
(H 1) Se fonna con un alelo conocido de A1 y con el alelo conocido de l'2 .
(H2) Se fonna con un alelo conocido de A1 y con un alelo aleatorio de ~ .
(C6) Se conocen los genotipos de los dos abuelos A, y ~.
En este supuesto el presunto padre se fonna con un alelo conocido de A1 y con otro alelo
conocido de l'2 .
Observación 1. De los abuelos, por sistema, se pueden obtener cuatro posibles hijos, o presuntos
padres, admitiendo que alguno puede tener genotipo repetido. A cada uno de estos cuatro posibles
hijos se les asigna probabilidad 0.25; y la probabilidad de consistencia o paternidad se calcula
sumando las probabilidades de consistencia o paternidad de estos cuatro posibles hijos,
multiplicadas por 0.25 cada una. La suma se debe extender a todos los posibles hijos.
Observación 2. De la casuística precedente se deduce que sólo hay tres tipos de posibles presuntos
padres. Los índices de paternidad que se calculan son índices de paternidad medios. Como en (3) se
puede considerar que los índices de paternidad son aleatorios y con ellos calcular distintos índices
de paternidad.
TIPO l. Los dos alelos del presunto padre son aleatorios. Para estos presuntos padres tanto el índice
de paternidad, como el índice de consistencia valen uno
TIPO 11. Uno de los alelos del presunto padre es aleatorio y el otro es fijo.
Los índices de paternidad IP y de consistencia IC son según qué clase de sistemas:
CLASE l. Sólo uno de los alelos del hijo es aportado por la madre. El otro alelo tiene que ser
aportado por el padre. A su vez se pueden dar dos subclases.
SUBCLASE l. El alelo fijo Aj del presunto padre coincide con el alelo del hijo no aportado
por Ja madre. En este supuesto los índices de consistencia y paternidad son:
JP(S / M,H) = (0.5+0.5P(A))I P(A1
) e IC(S I M;H) = 1/ P(A)(2-P(A¡))
24
SUBCLASE II. El alelo fijo A1 del presunto padre no coincide con el alelo del hijo no
aportado por la madre. En este caso los índices de consistencia y paternidad son:
IP(S I M,H) = 0.5P(A1 ))/ P(A1) = 0.5
IC(S I M,H) = P(AJ)I P(AJ)(2-P(A1
)) = l/(2-P(A
1
))
CLASE II. Los dos alelos del hijo Heterozigótico coinciden con los dos de la madre. Sean estos
alelos A. : A .• A su vez se pueden dar dos subclases. , J
SUBCLASE l. El alelo fijo AJ del presunto padre coincide con uno de los alelos del hijo.
En este supuesto los índices de consistencia y paternidad son:
IP(S I M,H) = (0.5+0.5(P(A¡)+ P(A1 ))1(P(A;)+ P(Aj))
IC(SI M,H)=0.5(l+P(A¡))I P(Aj)(2-P(A
1
))
SUBCLASE l. El alelo fijo A1 del presunto padre coincide con uno de los alelos del hijo.
En este supuesto los índices de consistencia y paternidad son:
JP(S I M,H) = 0.25P(A¡)I0.5(P(A;)+P(A)) = 0.5P(A¡)l(P(A¡)+ P(A))
IC(S I M,H) = 0.5P(A;))I P(A)(2-P(A
1
))
TIPO 111. Los dos alelos del presunto padre son conocidos:
Los índices de paternidad IP y de consistencia IC son según la clase de sistemas:
CLASE l. Sólo uno de los alelos del hijo es aportado por la madre. El otro alelo tiene que ser
aportado por el padre. A su vez se pueden dar tres subclases.
SUBI. El padre es homozigótico y su alelo A1 coincide con el del hijo no aportado por la
madre. En este supuesto IP(S) = IC(S) = l / P(A1 )
SUB2. Sólo el alelo Aj del padre coincide con el alelo del hijo no aportado por la madre. En
este caso:
/P = 0.51 P(A)
IC = 11 P(A1 )(2-P(A1
))
SUB3 Ninguno de los alelos del presunto padre es igual al alelo del hijo no aportado por la
madre. En es te caso IP = /C =O.
CLASE n. Los dos alelos del hijo Heterozigótico coinciden con los dos de la madre. Sean estos
alelos A,: A,. A su vez se pueden dar dos subclases.
SUBI. El genotipo del presunto padre es A¡: Ar En este caso se verifica:
IP = 0.510.5(P(A)+ P(A¡ )) = l l(P(A; )+ P(A1 )) e /C = l / P;¡, donde:
25
lij = (l-0.5P(A¡))+(l-0.5P(Aj))-P(A¡)P(Aj)
SUB 2. Sólo uno de los dos alelos del supuesto padre coincide con uno de los alelos del hijo.
Si el supuesto padre es homozigótico Aj: Aj entonces:
Si el supuesto padre es heterozigótico y el único alelo que coincide es Aj, se tiene:
IP= 0.2510.S(P(A;)+ P(A)) = 0.5/(P(A¡)+ P(Aj)) e/C =O.SI P(A)(2-P(A1)).
Observación 111
La información sobre los abuelos se obtiene, por lo general, de observaciones obtenidas de
los propios abuelos, o bien de algunos de sus hijos, que serán hennanos del presunto padre, o de
sobrinos del presunto padre, que serán nietos de los abuelos.
Si sólo se conoce un hermano del presunto padre se tendrá una infonnación similar a IV.
Entre más genotipos se conozcan de hennanos del presunto padre, más se conocerá sobre los
genotipos de los abuelos. En el supuesto de que en un sistema se conozca el genotipo de, al menos,
dos hermanos que no tienen ningún alelo en común, se puede inferir sin ambigüedad el genotipo de
los dos abuelos. Podría suceder que se dieran incompatibilidades cuando se conocen los genotipos
de varios hermanos, tres o más. Se deja el estudio de las variantes que se pueden producir en lo
apuntado en esta observación para un trabajo posterior.
Llamando E a la información disponible, se tiene la igualdad:
P( H 0 I E) = P( E I H 0 ) P( H 0 )
P(H0 I E) P(EI H0
). P(H0
)
Que se obtiene como consecuencia de aplicar el teorema de Bayes.
Se aplica el desarrollo anterior al cálculo de la probabilidad de paternidad a un caso práctico
5. Cálculo práctico.
Los siguientes cálculos se extienden a doce sistemas; cada uno de los cuales tiene,
respectivamente, 8, 6, 7, 7, 8, 7, 12, 7, 9, 6, 7 y 7 alelos.
En la Tabla Nº 1, se exponen los alelos madre-hijo, para los doce sistemas.
En la Tabla N° 2, se colocan, para los doce sistemas, los alelos que no hereda el hijo de
la madre. Si el sistema es de la clase 3, se colocan los dos alelos del hijo.
En la Tabla N° 3, se escriben los alelos de un presunto padre.
En la Tabla Nº 4, se muestran los alelos de dos presuntos abuelos.
En la Tabla N° 5, se muestran los alelos de las cuatro clases de posibles descendientes de
los presuntos abuelos de la tabla N° 4, para los doce sistemas.
26
Ta b l anº 1 Al e1 o s ma dr e - h1. .1 0 para 1o s do ce st.s te mas
Si S2 S3 S4 S5 S6 S7 SB S9 SJO Sll Si2
MADRE.ALI 1 2 4 2 3 5 1 3 5 3 3 4
MADRE.AL2 3 3 5 4 5 5 5 4 7 5 4 6
HIJO.ALI 3 3 1 2 3 3 1 3 6 4 3 4
HIJO.AL2 3 4 5 4 5 5 5 4 7 5 4 5
Ta b l a nº 2 Al e1 o s de 1o s presuntos ab u e 1o s para 1o s do ce sistemas.
Si S2 S3 S4 S5 S6 S7 SB S9 SJO Sll Si2
Abuelo ALI 3 - 1 2 5 - 3 5 - 4 3 5
Abuelo.ALI - - - 5 - - 3 - - - 4 -
Abuela .AL2 3 3 2 4 - 3 1 3 6 4 4 5
Abuela .AL2 - 6 - - - 5 - - - 5 - -
Tabla n°3.Probabilidades de los alelos de los 12 sistemas.
ALELOS All AL2 AL3 AL4 AL5 AL6 AL7 ALB AL9
SISTEMA. 1 .0055 .0154 .2604 .2989 .3352 .0758 .0066 .0022
SISTEMA. 2 .0010 .5207 .1074 .0651 .2686 .0372
SISTEMA. 3 .2235 .1628 .1445 .1888 .2736 .0058 .0010
SISTEMA. 4 .0251 .1279 .0251 .2922 .3105 .1918 .0274
SISTEMA .5 .0261 .1674 .1261 .2826 .1913 .1652 .0370 .0043
SISTEMA. 6 .1587 .0522 .0652 .2912 .2783 .1174 .0370
SISTEMA. 7 .0856 .0525 .2100 .2763 .3299 .0068 .OOI I .0091 .0057
SISTEMA. 7 .0172 .0034 .0240
SISTEMA. 8 .0076 .0013 .3I59 .3683 .2455 .0563 .0051
SISTEMA. 9 .0020 .0020 .0996 .1312 .2327 .2889 .1578 .0730 .0128
SISTEMA 10 .0993 .0073 .2684 .2022 .4191 .0037
SISTEMA. 11 .0025 .0330 .3807 .3096 .2208 .0508 .0026
SISTEMA. 12 .0347 .1485 .2475 .2673 .1337 .1634 .0500
T ab l a nº 4 . Í nd "i ces de cons1stenc1a y sus pro ba b tT td a d e s
INPAT PROBAB INPAT PRO BABI INPAT PRO BABI
SISTEMA 1 o.o 0.13675 1.92 0.46610 3.84 0.39715
SISTEMA 2 o.o 0.93490 7.68 0.0651
SISTEMA3 o.o 0.34486 2.24 0.58677 4.47 0.06836
SISTEMA 4 o.o 0.14998 0.86 0.32305 1.95 0.17695
SISTEMA 4 2.38 0.32305 3.91 0.03198
SISTEMA 5 o.o 0.23297 1.31 0.47188 1.98 0.08608
SISTEMA 5 2.61 0.11395 3.97 0.00795
SISTEMA 6 o.o 0.46740 7.67 0.5000 I5.34 0.03260
SISTEMA 7 o.o 0.30305 0.76 0.16495 2.92 054280
SISTEMA 8 o.o o. 10388 0.68 0.15023 0.79 0.45781
SISTEMA 8 1.36 0.03391 1.46 0.15025 1.58 0.10392
SISTEMA 9 o.o 0.25283 1.73 0.56099 3.46 0.18618
SISTEMA 10 o.o 0.19945 2.47 0.50000 4.95 0.30055
SISTEMA 11 0.66 0.07743 0.81 0.07743 1.31 0.09627
SISTEMA 11 1.45 0.42357 1.61 0.32840
SISTEMA 12 o.o 0.20766 3.74 0.47102 7.48 0.32132
27
En la tabla Nº 7 se calculan, por sistema, los índices de paternidad máximo, mínimo, maxmin,
medio y los del 1 º, 2º y 3° cuartil. El cálculo se realiza con índices de paternidad aleatorios, en
el espacio de probabilidad de las posibles madres.
Tabla5. Distintos índices de paternidad para los 12 sistemas.
SISTEMA SI S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 SJO Sll Sf 2
MAXIMO 3.84 7.68 4.47 3.91 3.97 15.3 2.92 1.58 3.46 4.95 1.61 7.48
MINIMO o.o o.o o.o o.o o.o o.o o.o o.o o.o o.o 0.66 o.o
MINMAX 1.92 3.84 2.24 1.96 1.98 7.65 1.46 0.79 1.73 2.48 1.46 3.74
MEDIO 2.42 0.50 1.62 1.52 1.39 4.33 1.71 0.89 1.62 2.72 1.38 4,34
l CUARTI 1.92 o.o o.o 0.86 O.O O.O o.o 0.68 o.o 2.47 1.31 3.74
MEDIANO 1.92 o.o 2.24 1.95 1.31 7,67 2.92 0.79 1.73 2.47 1.45 3.74
3-CUART 3.84 o.o 2.24 2.38 1.98 7,67 2.92 1.46 1.73 4.95 1.61 3.74
El índice total se obtiene multiplicando los correspondientes índices parciales. En S3,
cuatro de los siete estadísticos toman un valor de cero. Esto quiere decir que, en S3, es muy
poco probable la compatibilidad entre madre, hijo y el presunto padre. El valor intermedio de
0.805 sería un valor adecuado como IP para este sistema.
Bibliografia
(1). Aitken, C.G.G. (1995) "Statistics and the evaluation of evidence for forensic
Scientists". John Wiley. New York.
(2) Sánchez García M.; Sobrón Fernández, M.I.; Arroyo Pardo; E.; (2002)
"Cálculo de Probabilidades de Consistencia y Paternidad en Sistemas genéticos: Estudio
de dos Modelos". Rev. de la Acad. Canaria de Ciencias, XIV (Nº 1-2), Pp 35-45 (2002).
(3) Sánchez García M.; Sobrón Fernández, M.I.; Arroyo Pardo; E.; (2005)
"Cálculo de Probabilidades de Consistencia y Paternidad cuando se desconoce el
genotipo de la madre.". Enviado a la Revista de Acad. Canaria de Ciencias.
(4). Weir, B. S. (1996) "Genética Date Análisis 11: Methods for discrete population in
Genetic Data". Sinauer Associates, Inc. Publishers Sunderland, Massachusetts.
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