Gauss y la geometría del espacio

              Rev.Acad.Canar . Cienc ., II I (Num . 1) , 221-251 (1991)
GAUSS Y LA GE01\1ETRIA DEL ESPACIO
Discurso leido por el Academico Electo
limo Sr. Dr. DOMINGO CIDNEA MIRANDA
en el acto de su recepci6n el dfa 4 de Junio de 1991
DISCURSO DE CONTEST ACION
por el Acad~mico Numerario
limo. Sr. Dr. JOSE MANUEL MENDEZ PEREZ
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Ecxmo. Sr. Presidente de la Academia Canaria de Ciencias
Iltmos. Sres. Academicos,
Seiioras y Seiiores:
Es para mi un grato deber manifestar mi mas profundo agradecimiento
por el honor que se me dispensa al proponerme como miembro de mimero de
esta Academia Canaria de Ciencias, honor que creo no ser digno de
merecer, y a lo que siempre tratare de corresponder con mi colaboraci6n
personal mas entusiasta, dedicando los esfuerzos necesarios para
contribuir a la consecuci6n de los fines que esta digna instituci6n
persigue.
Encontrarse con la tarea de escribir un discurso de ingreso en la
Academia, ante un auditorio tan distinguido, e intentarlo hacer sobre
alguno de los temas de investigaci6n de las Ciencias Matematicas, ademas
de un atrevimiento muy osado, es quizas ir directamente al fracaso de
audiencia total y posiblemente nadie entenderia la sucesi6n
descontrolada de conceptos, definiciones, teoremas y formulas que se
precisan para abordar un tema de investigaci6n en matematicas con el
suficiente rigor y seriedad que son necesarios en todo campo de
cualquier ciencia que se digne como tal.
Lejos de esta intenci6n, y con la idea de que este discurso sea
simplemente una introducci6n a una de las ramas que comprende el inmenso
campo de las ciencias matematicas, afrontamos el mismo desde una 6ptica
retrospectiva en busca de los inicios de la geometria diferencial.
Texto del discurso " Gauss y la g eome tri a del espacio ",
pronunciado por el Dr . D. Domingo Ch in ea Mira n da e n e l
acto de su recepci6 n coma miembro de l a Ac adem i a Ca n a ­ria
de Ciencias (4 - 6 - 91) .
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Por este motivo he optado por hacer una exposici6n hist6rica de la
geometria diferencial clasica de superficies, evitando hacer uso de un
lenguaje tecnico, lo cual no siempre sera posible. Lo que sf he logrado
es suprimir las f 6rmulas matematicas, las cuales irremediablemente
hubiesen sido incomprendidas e innecesarias de presentar en un acto como
el que se celebra hoy aquf. Asf pues, con la intenci6n de, en la medida
de lo posible, no abrumar con desarrollos solo apto para unos pocos
especializados, presentamos este discurso, el cual he titulado "Gauss y
la geometria de/ espacio", en homenaje a ese gran genio que fue Karl
Friedrich Gauss, quien es considerado como uno de los matematicos que
mas han aportado al desarrollo de la geometria diferencial de
superficies, asf como a la geometria del espacio, y a las matematica y
fisica en general.
Los inicios de la geometria diferencial de superficies.
Los estudios en geometria tienen sus origenes en las observaciones
simples que provienen de la habilidad humana para reconocer la forma
fisica y para comparar formas y tamafios. No hay evidencia que nos
permita garantizar la fecha de nacimiento de la geometria como ciencia o
rama cientffica de las matematicas, aunque la inmensa mayoria de los
historiadores concuerdan en que este nacimiento tuvo que haber tenido
lugar en el valle del Nilo y en otras cuencas de grandes rios (Tigris y
Eufrates en Mesopotamia y otros de Asia) como consecuencia de una
necesidad practica relacionada con problemas de medici6n. Asf, los
registros mas antiguos sobre la actividad geometrica, y quizas sobre la
actividad matematica, pueden fecharse sobre el afio 3000 a.c ..
Sin embargo, fueron los fil6sofos griegos clasicos quienes, entre
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el afio 600 y el 300 a. c., dieron a las matematicas en general su
arquitectura definitiva de abstracci6n y demostraci6n deductiva, y
construyeron la estructura de la geometria euclfdea, la cual aplicaron
para la comprensi6n y entendimiento del Universo. La evoluci6n de la
geometria a traves de los tiempos ha sido lenta, debido en parte a que
la geometria de Euclides es obtenida a partir de unos postulados que a
priori parecen ciertos sin discusi6n alguna y reflejan la propia
geometria de nuestro espacio. A pesar de ello, desde el nacimiento de la
Geometria euclfdea, han surgido dudas sobre la validez de la misma, y
mas concretamente sobre la verificaci6n o no del quinto postulado. Esta
discusi6n llegara a su punto mas critico con la aparici6n de las
denominadas geometrfas no-euclfdeas, las cuales en un principio
provocaron una crisis de las Matematicas y una necesidad de revision de
los fundamentos, pero que a partir del siglo XIX, con los estudios de N.
I.Lobachewsky (1793-1856), J. Bolyai (1802-1860) y K. F. Gauss
( 1777-1855), se pudo concluir que las geometrias no-euclfdeas eran tan
consistentes como la euclfdea. Otra nueva geometria, que surge motivada
por los pintores del renacimiento al tratar de resolver el problema de
pintar en un lienzo las escenas reales, es la geometria proyectiva,
siendo G. Desargues (1591-1661) y B. Pascal (1623-1662) en el siglo
XVII, y posteriormente J. V. Poncelet (1788-1867) en el siglo XIX, los
que mas aportaron al desarrollo de esta geometria.
La geometria diferencial de curvas y superficies nace, mediante un
proceso natural, sobre los cimientos de la geometria analftica, rama
esta que aparece a principios del siglo XVII de la mano de R. Descartes
(1596-1650) y P. Fermat (1601-1665) como una desviaci6n algebraica de la
geometria tradicional, y la de otra rama de las matematicas: el calculo
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infinitesimal de I. Newton ( 1642-1727) y G. W. Leibniz (1646-1716) que
surge en la segunda parte del mencionado siglo XVII. De hecho, en la
epoca de estos dos grandes matematicos es cuando empiezan a aplicarse
los metodos del calculo al estudio de curvas planas. Sin embargo, puede
decirse que esta nueva rama de la geometrfa tiene su consagraci6n en el
siglo XIX con K. F. Gauss, quien realiz6 un exhaustivo estudio de las
superficies en el espacio. Antes de Gauss, algunos matematicos habfan ya
elaborado estudios sobre geometrfa diferencial de superficies.
Uno de los pioneros en la teorfa de superficies fue Leonhard Euler
(1707-1783). Euler naci6 en Basilea (Suiza). Su padre era un pastor
calvinista y tenfa esperanzas de que su hijo estudiase una carrera
teol6gica. Asf, con el prop6sito de estudiar teologfa y hebreo, Euler
entr6 en la Universidad de Basilea en donde recibi6 una educaci6n muy
completa. Sin embargo, sus conocimientos y aptitudes en matematicas
atrajo la atenci6n de los matematicos de Basilea, y muy en particular de
Johann Bernoulli, quien era uno de los mas celebres componentes del clan
de los Bernoulli, considerada como la familia que mas ha contribuido al
desarrollo de las matematicas. J. Bernoulli intercedi6 ante el padre de
Euler para hacerle comprender que su hijo tenfa una gran porvenir en
matematicas, y no se equivoc6. Asf, Euler fue, sin duda alguna, la
figura dominante del periodo comprendido entre los afios veinte del siglo
XVIII hasta su muerte en 1783. Euler, dotado de una gran inteligencia y
una magnifica memoria tuvo grandes aportaciones en casi todas las ramas
de las matematicas puras y aplicadas (son clasicos sus trabajos sobre
mecanica, algebra, analisis matematico, teorfa de los logaritmos de los
numeros negativos e imaginarios, geometrfa analftica y diferencial,
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calculo de variaciones, ... ).
La mas celebre de sus obras matematicas es SU "/ntroductio in
analysis infinitorum", escrita en 1748. Entre la gran variedad de temas
tratados en esta obra ( estudio de series infinitas, teorfa de curvas
algebraicas, estudio de funciones trigonometricas, teoria de funciones y
teoria de numeros, ... ) se encuentra el estudio de curvas y superficies,
las cuales son investigadas con la ayuda de sus ecuaciones, es decir,
desde el punto de vista analftico. Concretamente, Euler presenta un
estudio general de las propiedades de las curvas ( su forma,
singularidades, curvatura, ... ), en donde representa a las curvas en el
espacio en coordenadas parametricas mediante su longitud de arco, y
tambien realiza una exposici6n analf tica de las curvas y superficies en
el espacio.
En otra de sus obras titulada "Investigaciones sobre la curvatura
de superficies" se encuentra su contribuci6n mas importante en el campo
de la geometria diferencial. En este trabajo, la curvatura de una
superficie en un punto es definida por Euler como el producto de las dos
curvaturas principales (es decir, para calcular la curvatura en un punto
P de una superficie, Euler determina las curvaturas maxima y minima de
las secciones planas ortogonales a la superficie en P. El producto de
estas dos cantidades es la curvatura de la superficie en P).
En su trabajo "Sobre s6lidos cuyas superficies pueden ser
desarrolladas sobre un piano" (1772), Euler introduce el concepto de
superficie desarrollable, es decir, superficies que pueden ser aplicadas
o extendida sobre un plano, y prueba que una tal superficie es o un
cilindro, un cono o una superficie formada por las tangentes a una
curva.
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Euler tambien tiene estudios sobre geodesicas. En el plano
euclfdeo, las rectas, ademas de ser las curvas mas simples, juegan un
importante papel y son la base para todo tipo de construcciones
geometricas. En una superficie arbitraria este papel privilegiado es
desarrollado por las lineas geodesicas. Asf, las geodesicas son las
curvas de menor curvatura sobre la superficie (lo que se interpreta como
que tienen curvatura geodesica nula, como sucede con las rectas), la
distancia mas corta entre dos puntos sobre una superficie es a traves de
una geodesica (asf, por ejemplo, las geodesicas del plano son las rectas
y las de una esfera son los circulos maximos), dados dos puntos de una
superficie existe una geodesica que los une ( aunque esta propiedad es
solo local en general), por un punto y una direcci6n existe una unica
geodesica en la direcci6n dada que lo contiene.... El problema de
encontrar las geodesicas de una superficie ya habfa sido planteado por
Johann Bernoulli (1667-1748) en 1697, y al parecer encontr6 la ecuaci6n
general de las geodesicas, aunque este resultado fue publicado
posteriormente en 1742. Euler fue el primero en publicar la ecuaci6n
diferencial de las geodesicas en su trabajo "Sobre la curva mas corta
que une dos puntos arbitrarios de una superficie arbitraria" (1732).
Este problema de las geodesicas lo retom6 Euler en diferentes trabajos.
Asf, en el volumen II de su "Mechanics" (1736), Euler prob6 que una masa
puntual forzada a estar sobre una superficie si no esta sujeta a ningun
otro tipo de fuerzas debe moverse a lo largo de una geodesica. Tambien,
Euler prob6 que en una c~rva geodesica la normal a esta coincide con la
normal a la superficie.
Otros matematicos de la epoca de Euler tambien realizaron
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contribuciones a la geometria diferencial. Entre ellos destaca Clairaut
(1713-1765), quien a los dieciocho afios publica una memoria sobre las
curvas titulada "/nvestigaciones sobre /as curvas con doble curvatura".
El nombre de doble curvatura proviene del hecho de que la curvatura de
estas curvas esta determinada por la de dos curvas que se obtienen por
proyecciones de la curva original sobre dos planos perpendiculares.
Clairaut obtiene formulas de la distancia para dos y tres
dimensiones, ecuaciones de cuadricas, tangentes de curvas en el
espacio, ... Tambien, Clairaut estudia las geodesicas de las superficies
de revoluci6n.
Otra figura importante en la historia de la geometria diferencial
fue Gaspar Monge (1746-1818). Su introducci6n en el estudio de la
geometria diferencial fue motivado por problemas practicos,
concretamente por el estudio de problemas de fortificaci6n. Monge
comienza sus investigaciones de geometria diferencial con un estudio en
teoria de curvas en el espacio titulado "Memoria sobre /as evolutas, Los
radios de curvatura y Los diferentes generos de inflexion de Las curvas
de doble curvatura" (1785). Monge desempeii6 un papel esencial en la
creaci6n de la Escuela Normal y la Politecnica de Francia, siendo en
esta ultima su profesor mas activo. En esta escuela Politecnica, Monge
imparti6 un curso sobre aplicaciones del analisis a la geometria, siendo
este curso esencialmente una introducci6n a la geometria diferencial. Al
no disponer de ningun texto Monge escribe un libro titulado "Rojas de
aruilisis", (1795), el cual es considerado como el primer libro sobre
geometria diferencial. No obstante, el mencionado curso era muy diffcil
para los alumnos de entonces, sobre todo en lo referente al estudio
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diferencial de las curvas y superficies. En 1802, Monge y J.P Hachette
elaboran un estudio mas general al anterior en la memoria "Aplicaci6n
del algebra a la geometrfa", a fin de responder a las exigencias de los
programas de la Escuela Politecnica. Puede decirse que en estas dos
obras nos encontramos con la mayor parte de la geometria del espacio y
de la geometria diferencial clasica que suelen incluirse en los actuales
textos elementales de estas materias.
No solo Monge es importante por su contribuci6n a las matematicas
sino por la escuela que cre6. Asi el impulso dado por Monge en la
geometria del espacio fue acelerado por sus discf pulos, alguno de los
cuales tambien elaboraron libros de textos elementales de geometria
analitica del espacio. Asf, aparecen cuatro obras debidas a Lacroix
(1765-1843), J.B. Biot (1774-1862), L. Poissant (1769-1843) y F. L.
Lefrancais, todas ellas inspiradas directamente de las lecciones dadas
en la Escuela Politecnica.
Otro de sus discfpulos, Charles Dupin (1784-1873 ), tambien
contribuy6 al desarrollo de la geometria diferencial. Joven ingeniero
naval en la epoca Napole6nica, aplic6 los metodos de Monge a la teoria
de superficie, encontrando las Hneas asint6ticas y las conjugadas.
Sus obras tituladas "Desarrollos de geometria pura" y "Aplicaciones
de geometria y meccinica" publicadas en 1813 y 1822, respectivamente,
contienen un gran mimero de resultados interesantes en geometria
diferencial (introduce la indicatriz que actualmente lleva su nombre, la
cual nos da una aproximaci6n de cualquier superficie en un punto dado,
estudia la intersecci6n de superficies, ... ).
El impulso definitivo al desarrollo y consagraci6n de la geometria
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diferencial fue dado por Karl Friedrich Gauss.
Karl Friedrich Gauss.
Karl Friedrich Gauss naci6 en Gotinga (Alemania) en 1777. Su padre
era un obrero, dominante en el entomo familiar, quien no queria que su
hijo recibiera una educaci6n adecuada, la cual consideraba inutil. Sin
embargo su madre anim6 siempre a Gauss en sus estudios, sintiendose mas
tarde orgullosa y maravillada por los logros de este. Sin ayuda de
ningun tipo, se suele decir que Gauss aprendi6 a calcular antes que
hablar. Su tremenda inteligencia provoc6 que sus profesores se fijaran
en el y gozara de la protecci6n del duque de Brunswick, Carlos
Guillermo, quien le envi6 a estudiar, primero a un colegio y
posteriomente a la universidad de Gotinga, en 1795, adquiriendo una
formaci6n clasica y cientffica superior al resto de los estudiantes. A
los diecinueve afios, Gauss duda todavia entre la filosofia y las
matematicas, decidiendose finalmente por estas tras uno de sus
brillantes descubrimientos: la construcci6n del polfgono regular de 17
lados con solo regla y compas. Es de observar, que en aquella epoca, y
desde hacia mas de 2.000 afios se sabia c6mo construir con regla y compas
el triangulo equilatero, el cuadrado y el pentagono regular, pero ningun
otro polfgono regular con un numero primo de lados. Despues de haber
leido su Tesis en 1798, sobre la demostraci6n del teorema fundamental
del algebra, en 1801 Gauss escribe SU obra fundamental: las
"disquisitiones Arithmeticae" la cual, por su grado de maduraci6n y
perf eccicSn se us6 de modelo en los estudios posteriores de la teoria de
numeros. Este caracter de perf ecci6n y rigor es lo que marcara la obra
de Gauss, quien a pesar de todo no le gustaba publicar, y ademas sus
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trabajos los publicaba tarde, mucho tiempo despues de haberlos obtenido.
Buena parte de su vida la dedico Gauss a trabajos de geodesia, en
particular a la triangulacion de Hannover y a la invencion del
heliotrofo, lo que junto con su aficion a la astronomfa le condujo al
mundo de la fisica, donde realizo notables aportaciones en fisica
teorica, mecanica, optica, ...
Otra de sus obras fue la edificacion y puesta en marcha del
observatorio de Gotinga, siendo su director durante 40 afios a partir de
1807. Dicho observatorio comienza a funcionar despues de muchos
esfuerzos en 1816. Ademas, Gauss ocupo frecuentemente el puesto de
decano de la Facultad de Gotinga.
Gauss tenfa una salud mas bien delicada y una fatiga continuada
debido a los grandes esfuerzos fisicos ocasionados por sus excesos de
trabajo durante buena parte de su vida. Asf, termino padeciendo de asma
y del corazon. Ademas sus problemas familiares tambien influfan sobre
este brillante matematico. Gauss se caso a los veintiocho afios en 1805
con Johanne Ostof. De esta union nacen dos hijos, pero en 1809 al nacer
el tercero muere Johanne, y ademas el nifi.o solo vive algun tiempo. En
1810, Gauss se casa por segunda vez con Minna, amiga fntima de su
primera esposa, y de este nuevo matrimonio nacen dos nifi.os y una nifia.
Posteriormente, desde 1818, su esposa sufre tuberculosis y neurosis
histerica. Ademas, en esa epoca su hijo mayor abandona el hogar
familiar, despues de una discusion. Finalmente, en 1831 muere su mujer.
Todos estos problemas familiares, unido a su estado precario de salud,
es lo que le marca como un hombre solitario, frfo y poco comunicativo en
la vida, a pesar de que en el campo de las ciencias siempre estuvo
rodeado de numerosos alumnos y discf pulos. A partir de 1850, su estado
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de salud empeora, lo que le obliga a . reducir considerablemente sus
actividades, y estar a los cuidados de un medico, muriendo finalmente en
1855.
Gauss enriqueci6 diferentes ramas de las matematicas (algebra,
analisis matematico, estadfstica, geometria, ... ), y es considerado como
uno de los genios universales que han marcado y dirigido el desarrollo
de las matematicas.
La geometria diferencial de Gauss.
La teoria de superficie de Gauss estuvo fuertemente influenciada
por sus trabajos practicos como top6grafo. Los afios entre 1818 y 1832
fueron dominados por el vasto proyecto de topografiar el Reino de
Hannover. El propio Gauss dirigi6 la puesta inicial de esta aventura.
Bajo grandes esfuerzos fisicos, Gauss trabaj6 como top6graf o en el Reino
de Hannover en la parte norte de Alemania, lo que le enferm6 y le
condujo a abandonar su participaci6n activa en los trabajos de
triangulaci6n en 1825 . En esa epoca habfa gran interes por los estudios
geodesicos, lo que constitufa una practica natural y un deseo te6rico
por determinar, mediante mediciones, la verdadera forma de la tierra.
Esta cuesti6n habfa sido ya abordada en el siglo XVIII, cuando, mediante
reiteradas tomas de medidas, se habfa llegado a la aceptaci6n universal
de la teoria de la Gravitaci6n de Newton. Otra cuesti6n que se venfa
estudiando desde siglos era la cartograffa. En concreto la aplicaci6n
entre superficies que satisfacen ciertas propiedades era un problema
basico y fundamental para la reproducci6n de partes de la superficie de
la tierra en cartas geognificas planas. Asf, por ejemplo, es imposible
aplicar parte de una superficie de la tierra sobre el piano conservando
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la longitud (lo cual es consecuencia directa del famoso Teorema
Egregium de Gauss, del cual nos ocuparemos mas adelante). Si queremos
obtener cartas geograficas para la navegaci6n, un concepto tan
fundamental como la distancia es la direcci6n, para asi determinar las
rotas de los barcos. Por ello, parece 16gico plantearse el estudio de
aplicaciones mas debiles, por ejemplo, aplicaciones que conserven los
angulos (las cuales se denominan aplicaciones conformes). Ademas las
regiones conformemente relacionadas son similares, si consideramos
regiones suficientemente pequefi.as. Casos especiales de aplicaciones
conformes de la superficie terrestre sobre el plano son la proyecci6n
estereografica, conocida por los griegos, y la proyecci6n de Mercator
(1512-1594), la cual es todavia usada en la cartografia actual.
En 1822, Gauss escribe su memoria "Soluci6n general al problema de
aplicar regiones de for ma que cualquier porci6n pequefia y su imagen sean
similares". En este trabajo Gauss obtiene un procedimiento para
determinar, sobre superficies analiticas, todas las aplicaciones
conformes (localmente), por lo que recibi6 un premio de la Real Sociedad
de Ciencias de Copenhague. Al parecer, durante la elaboraci6n de este
trabajo, Gauss tenia ya en proyecto la elaboraci6n de una teoria general
de superficies, pues en la portada de la memoria antes mencionada Gauss
escribi6 que esta obra era el punto de partida para obtener cosas mas
interesantes. No obstante, el desarrollo de la teoria general de
superficies no fue simple. De hecho, durante su elaboraci6n el mismo
Gauss reconoci6 que no conocia ninguna otra epoca de la vida en donde
hubiese tenido tan to trabajo agobiante ( cabe sefi.alar que durante esta
epoca Gauss estaba inmerso todavia en el proyecto de triangulaci6n de
Hannover). Por ello, a pesar de que Gauss tenia las ideas basicas "
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1816, el 8 de octubre de 1827 Gauss present6 la teoria general de
superficies. El tftulo de su trabajo fue "Disquisitiones generates circa
super.ficies curvas", considerada como la obra maestra de la teoria
de la geometrfa di~erencial clasica de superficies, siendo tambien la
antesala de los posteriores desarrollos de la geometria diferencial de
variedades.
La obra esta dividida en veintinueve secciones. En las tres
primeras secciones, Gauss introduce las nociones elementales, convenios
de notaci6n y algunos resultados (esencialmente conocidos) sobre
trigonometria esf erica. Concretamente, en la secci6n primera, para
obtener las distintas direcciones en el espacio, Gauss considera la
esfera unidad e identifica los puntos de esta con el vector unitario que
lo representa. En particular destaca a los tres vectores basicos en la
direcci6n de los ejes de coordenadas. En la secci6n segunda define los
angulos entre rectas, planos y rectas y pianos en el espacio
tridimensional !R
3
, identificando para ello sus direcciones con los
puntos de la esfera (por ejemplo, el angulo entre dos rectas lo define
Gauss como el arco entre los puntos de la esfera que se corresponde con
las rectas, etc.). Ademas, usando relaciones de trigonometria esferica,
obtiene el volumen de una piramide. En la siguiente secci6n Gauss define
lo que es un punto regular o singular de una superficie imponiendole la
existencia o no de piano tangente en ese punto, respectivamente.
En las secciones cuatro y cinco, Gauss introduce el concepto de
vector normal a la supeificie y obtiene diferentes representaciones de
una superficie: por medio de una ecuaci6n en implfcitas del tipo
f(x,y,z) = O; por la imagen de una inmersi6n de un abierto de IR2 en IR3
(con lo que los puntos de la superficie estan caracterizados por dos
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parametros (u,v)); y finalmente, como el grafo de una funci6n en
explfcita z = f(x,y). Tambien, Gauss trata el tema de orientaci6n de una
superficie, comentando la posibilidad de elegir dos orientaciones
distintas (opuestas), en funci6n de la elecci6n de dos posibles vectores
unitarios y normales en cada punto regular de una superficie.
Antes de la aparici6n de las disquisitiones, las superficies eran
representadas en IR3 por una ecuaci6n del tipo f(x,y,z) = 0, aunque Euler
ya habfa introducido la idea de que las coordenadas de cualquier punto
sobre una superficie podfa ser representadas en terminos de dos
parametros (u,v). En su trabajo, Gauss retoma esta idea y usa
sistematicamente la representaci6n de la superficie en funci6n de estos
dos parametros, es decir, representa la superficie con una funci6n
vectorial x(u,v) (x(u,v),y(u,v),z(u,v)). Usando esta representaci6n,
Gauss deduce la Primera forma fundamental y obtiene las longitudes de
arcos y el angulo entre dos curvas sobre una superficie arbitraria.
En la secci6n seis, inspirado por sus trabajos sobre astronomfa y
geodesia, Gauss introduce la aplicaci6n esf erica (la cual lleva SU
nombre), la curvatura total y lo que hoy denominamos la "curvatura de
Gauss". Su definici6n de curvatura es una generalizaci6n para
superficies de la indicatriz usada para curvas en el espacio por Euler y
usada para superficies por Olinde Rodrigues. La aplicaci6n de Gauss de
una superficie regular es una funci6n definida sobre la superficie y con
valores en la esfera unidad que a cada punto P de la superficie le
asigna el vector normal de la superficie en ese pun to ( que al ser
unitario, el pun to P' que representa este vector esta sobre la esf era
unidad). Para definir Gauss la curvatura en un punto P, considera un
trozo suficientemente pequefio de superficie rodeando a dicho punto.
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Entonces, la curvatura de Gauss es el lfmite de la razon inversa del
area de este trozo de superficie con el area de la region
correspondiente a traves de la aplicacion de Gauss, cuando ambas areas
tienden a sus respectivos puntos. Gauss evalua esta razon, notando que
el plano tangente en P' sobre la esfera es paralelo al plano tangente a
la superficie en P. Por lo tanto, la raz6n de las dos areas es la raz6n
de sus proyecciones sobre los respectivos pianos tangentes.
En las secciones comprendidas entre la siete y la diez, Gauss sigue
con el estudio de la curvatura, obteniendo formulas para el calculo de
esta, estudia su signo y demuestra que su curvatura en un punto P es el
producto de las dos curvaturas principales en ese punto, las cuales
habfan sido introducidas por Euler.
La seccion 11 contiene la f 6rmula que se puede considerar como el
resultado central de su trabajo. Esta formula, conocida hoy como la
ecuaci6n de Gauss, expresa la curvatura de Gauss en funci6n de la
parametrizacion de la superficie, o mas concretamente, en funci6n de la
primera forma fundamental. Como aplicaci6n de esta formula, Gauss en la
secci6n 12 obtiene el teorema Egregium que nos dice que la curvatura de
Gauss es un invariante isometrico, es decir que si dos superficies son
isometricas, la curvatura de Gauss en puntos correspondientes es la
misma. En la seccion 13, Gauss interpreta una superficie, no como el
horde de un solido, sino como un cuerpo flexible y en donde las
propiedades de la superficie depende en parte de su forma y de la forma
en que podamos deformarla. Por ejemplo, desde este punto de vista, una
superficie plana y una desarrollable ( es decir una superficie c6nica,
cilfndrica o tangencial) pueden considerarse iguales.
En las secciones comprendidas entre la catorce y la diecinueve,
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Gauss estudia propiedades basicas de las geodesicas sobre una
superficie, obteniendo, por ejemplo, las ecuaciones diferenciales cuyas
soluciones son las geodesicas (parametrizadas por su longitud de arco ),
demuestra que el vector normal a una geodesica es normal a la superficie
(lo que ya habfa obtenido Euler) y obtiene tambien el denominado Lema de
Gauss.
Las geodesicas son basicas para el estudio de trayectorias sobre
superficies, hecho que tambien habfa considerado Euler, y tienen una
primordial relevancia en la teoria de la relatividad sobre el movimiento
de luz y de masas en nuestro universo. Por ello, no es de extraiiar que
Gauss dedicara parte de su obra al estudio de estas curvas tan
distinguidas.
En la secci6n veinte, Gauss estudia triangulos geodesicos y prueba
el conocido Teorema de Gauss-Bonnet, sobre la curvatura total para un
triangulo geodesico, el cual es establecido por Gauss como "la integral
de la curvatura sobre un triangulo geodesico es igual a lo que excede la
suma de los angulos interiores de 1t 6, cuando la suma es menor que 1t, a
lo que le f alta para que alcance el valor n". De este resultado se
sigue, por ejemplo que la suma de los angulos interiores de un triangulo
sobre el piano es 1t, sobre la esfera es mayor que 1t y sobre la
pseudoesfera es menor que 1t.
En los ultimas nueve secciones Gauss obtiene teoremas para comparar
angulos y el area de un triangulo geodesico en una superficie con los
mismos elementos de triangulos y con las mismas longitudes en el espacio
euclideo. Gauss generaliza resultados de Legendre para triangulos
geodesicos esf ericos a triangulos geodesicos sobre superficies
arbitrarias. Un ejemplo es el siguiente. Consideremos la superficie de
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la tierra como esf erica, y mas concretamente como un esferoide ( el cual
esta menos curvado en los polos). Entonces Gauss obtiene diferentes
correcciones para uno de los mayores triangulos geodesicos medidos por
el: el que tiene por vertices en Brocken, Hohehagen y Inselsberg. Los
lados de este triangulo son de una longitud de 69, 85 y 107 kil6metros
aproximadamente. La suma de los angulos de este triangulo excede en casi
15 segundos de los 180 grados. Los correspondientes angulos del
triangulo plano se reducen en 4,95104", 4,95113" y 4,95131 ".
Evidentemente son distintas reduciones porque en la f 6rmula obtenida por
Gauss la reducci6n depende de la curvatura del vertice, y al considerar
la tierra como un esferoide los puntos que mas se aproximan al polo
tendran menor curvatura y por tanto una correcci6n angular menor.
Posteriormente Gauss comentaria que "Aunque en la prcictica esta
diferencia no es importante, y solo apreciada para tricingulos
suficientemente grandes, la dignidad de la ciencia requiere que
comprendamos claramente la naturaleza de estas desigualdades".
No cabe la menor duda de que la clave central del exito del trabajo
de Gauss radica en el mencionado Teorema Egregium y sus consecuencias.
El resultado fundamental del Teorema es que la curvatura de una
superficie puede calcularse independientemente de como o si la
superficie esta en el espacio tridimensional. Es decir, la curvatura de
una superficie es independiente del espacio ambiente, pudiendo ser
determinada tomando solamente medidas sobre la propia superficie.
Realmente es f acil deducir que los geometras anteriores a Gauss
consideraban una superficie 0 bien como constituida por una infinidad de
curvas adosadas unas a otras, o que esta era el horde de algun elemento
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s6lido. Un ejemplo claro de ello esta en el calculo de la curvatura.
Asf, Euler obtenfa la curvatura de una superficie calculando las
direcciones principales ( direcciones de maxima o mfnima curvatura),
tomando secciones al cortar la superficie por planos ortogonales a la
misma, mientras que Gauss, usando el Teorema Egregium se olvidaba
completamente del espacio ambiente y calculaba la curvatura tomando
medidas en la superficie. Es decir, para Gauss la superficie en sf era
un ente propio y el espacio ambiente no influfa sobre ella para n,ada.
Esta es quizas la idea y aportaci6n mas fundamental de Gauss en el
estudio de la geometria diferencial de superficies. Pero todavfa se
puede hacer un balance mas profundo de esta aportaci6n. La primera forma
fundamental de una superficie es inducida por la metrica euclfdea del
espacio ambiente. Asf, uno podria olvidarse del espacio circundante e
introducir otra, llamemosle, "primera forma fundamental" sobre la misma
superficie. Con ello estamos introduciendo una nueva forma de tomar
medidas sobre la superficie y por ello la geometria resultante sobre
ella es diferente. Asf, la misma superficie puede tener diferentes
geometrias dependiendo de la elecci6n de la forma de tomar medidas sobre
ella. Lo mismo podriamos hacer en nuestro espacio tridimensional. De
hecho la primera forma fundamental que se elige sobre una superficie
procede de la elecci6n de una medida euclfdea sobre el espacio ambiente.
Sin embargo se puede elegir diferentes expresiones para una metrica en
nuestro espacio trid~mensional y consecuentemente obtener geometrias
diferentes sobre el. Evidentemente, estas ideas se pueden enlazar con la
aparici6n y profundizaci6n del estudio de las geometrias no euclideas en
la epoca de Gauss.
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Uno de los mas interesantes desarrollos en matematica comienza con
el famoso axioma de las paralelas de Euclides, alrededor del aiio 325
antes de Cristo, el cual di6 origeri a profundos estudios y
planteamiendos de multitud de cuestiones derivadas de su validez o no
durante muchos siglos, teniendo incluso repercuciones sobre la
configuraci6n del universo y la unificaci6n de la ffsica, puestas de
manifiesto en la teoria general de la relatividad de Einstein y las
teorias gauges de nuestros dfas.
En sus Elementos, en donde Euclides construye SU geometria, este
postula el tan discutido y controvertido postulado de las paralelas, a
saber:
(P) Por todo punto exterior a una recta existe una unica recta que lo
contiene y no corta a la mencionada recta.
Hist6ricamente, se profundiz6 en la cuesti6n de si el axioma P es
independiente o es una consecuencia de otros axiomas de Euclides.
Hoy dfa no solo sabemos que el axioma es independiente, sino que
existen geometrias en donde este axioma es sustituido por otro
diferente. Estas son las denominadas geometrias no Euclideas
elipticas e hiperb6licas donde el axioma P es reemplazado,
respectivamente, por:
(P . ) Por todo punto exterior a una recta no pasa ninguna recta
eliptlca
paralela a la anterior.
(p ) Por todo punto exterior a una recta existen infinitas
hiperb6lica
rectas que lo contiene y no corta a la mencionada recta.
La geometria diferencial de Gauss unifica estas geometrias.
Concretamente existen superficies que sirven de modelos para las
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geometrias elfpticas e hiperh6licas.
Un modelo para la geometria elfptica se ohtiene como sigue.
Consideremos una semiesfera de radio R, donde incluimos el ecuador e
identificamos los puntos antipodales de este. Sohre este espacio las
lfneas rectas son los semicfrculos maximos. Asf, dos lfneas se
intersectan en un punto. La geometria sohre este espacio es la geometria
esferica usual. La curvatura de Gauss es en este caso K = 1/ R 2
•
Para descrihir la geometria hiperh6lica podemos elegir el semiplano
superior de Poincare. Aquf, los semicfrculos con centro el eje OX son
geodesicas o "lfneas rectas ". Asi, si elegimo cualquier punto exterior
a una de estas lfneas, por el pasaran infinitas lfneas que no
intersectan a la primitiva. En este espacio la curvatura es K = - 1.
Otro modelo para esta geometria, dehido a Beltrami ( 1868), se ohtiene
considerando un disco unitario en el plano y definiendo las lfneas
rectas como los segmentos de rectas en este disco con extremos en el
horde del mismo. Es claro entonces que ohtenemos otra vez una geometria
hiperh61ica.
Klein tamhien ohtuvo otros modelos de geometria elfptica e
hiperb6lica en el contexto de la geometria proyectiva.
Las superficies de curvatura constante nula, negativa o positiva
son esencialmente los modelos de geometrias euclidea, y las no-euclideas
hiperb6licas y elipticas, respectivamente.
El estudio de las superficies de curvatura constante se remonta al
siglo XVIII y puede decirse que los primeros resultados son dehidos a
Monge quien prueha que las superficies de curvatura nula son las
superficies desarrollahles, y Euler que hahia probado que las
superficies aplicables en el piano eran las superficies desarrollables.
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Se entiende por superficies aplicables las que son localmente
isometricas. En el caso de superficies de curvatura constante positiva,
estas son aplicables sobre una esfera, y si la superficie es de
curvatura negativa, se puede aplicar sobre una pseudoesfera (esta es una
superficie de revoluci6n obtenida por rotaci6n de una tractriz).
Globalmente, en el espacio !R 3
, la esfera es la unica superficie completa
de curvatura constante positiva, hecho que prob6 Liebmann en 1899. En
esta misma direcci6n, el teorema de Hilbert sobre las superficies
completas de curvatura negativa nos dice que no puede existir en IR3 una
superficie completa con curvatura negativa sin singularidades (la
pseudoesfera tiene puntos singulares). No obstante, la geometria
elfptica se puede realizar sobre la esfera, considerando una semiesfera
como dijimos anteriormente, y la geometria hiperb6lica se puede realizar
sobre la pseudoesfera. Como veremos a continuaci6n, estas geometrias
juegan un importante papel en Cosmologfa.
La geometria del espacio.
Las ideas de separaci6n de la superficie del espacio ambiente y de
la separaci6n del espacio de las posibles construcciones geometricas en
el mismo, derivadas de la elecci6n de una metrica determinada, son las
bases en donde se sustenta la aportaci6n de Riemann al estudio de la
geometria diferencial. B. Riemann (1826-1866) era uno de los estudiantes
de Gauss, de quien adquiri6 su interes por el estudio del mundo fisico.
Riemann se .introdujo en el campo de la geometria con el estudio de los
postulados de la geometria euclfdea y tambien percibi6, al igual que
Gauss, que el axioma de las paralelas era independiente de los otros
axiomas. La aportaci6n mas importante de Riemann a la geometrfa
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diferencial se encuentra en su memoria, que elaboro bajo la direccion de
Gauss, para obtener el titulo de Privatdozent, la cual fue leida en 1854
y titulada "Sohre las hipotesis en las cuales subyacen los fundamentos
de la geometria".
Su trabajo no fue simplemente una extension de la geometria
diferencial de Gauss. En su memoria, reconsideraba el modo de enfocar el
estudio del espacio. Antes de Riemann, la geometria admitia como a
priori, no solo el concepto de espacio, sino tambien las ideas
fundamentales de construcciones sobre el mismo. La primera idea de
Riemann fue el separar definitivamente el espacio de las construcciones
geometricas que se puedan realizar en el. Asi, Riemann delibera sobre el
concepto de variedad, como una generalizacion del concepto de superficie
de Gauss para dimensiones arbitrarias, y posteriormente profundiza en el
estudio de las relaciones metricas sobre una variedad, generalizando
ademas el concepto de curvatura introducido por Gauss.
El trabajo de Riemann tiene ademas serias consecuencias sobre la
propia configuracion de nuestro espacio. Antes de Riemann, desde
Euclides hasta Kant, se aceptaba que el espacio era piano. Riemann
declaro que esta afirmacion no era tan evidente, sino simplemente un
hipotesis que habria que probar. De la misma forrna se podrian hacer
hipotesis sobre que el espacio era de curvatura constante positiva o
negativa. Estas deliberaciones sobre la configuracion de nuestro espacio
sera abordada posteriormente por uno de los genios mas grande de nuestro
siglo, Einstein.
Como es bien conocido, la teoria de la relatividad de Einstein fue
desarrollada por este fundamentalmente en dos trabajos, los cuales
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aparecen en 1905 y 1916, el primero concemiente a la teoria especial
de la relatividad y el segundo a la teoria general. El principio
fundamental de la teoria especial de la relatividad es que todos los
procesos fisicos tienen la misma forma para todos los sistemas
inerciales, siendo ademas la velocidad de la luz una constante c. Con
este principio no hay una independencia entre el espacio y el tiempo
como se presuponfa desde siempre. Asf, un cambio de espacio y tiempo
entre sistemas inerciales es dado por una transformacion de Lorentz y
ademas todas las leyes fisicas deben ser enunciadas de la misma forma en
tales sistemas inerciales. Esto se consigue formulando tales leyes como
leyes geometricas para la variedad espacio-tiempo de Minkowski de
dimension 4. En esta variedad, el cambio de coordenadas es dado por una
transformacion de Lorentz y la metrica es una metrica Hana y de
signatura (1, 3).
Partiendo del principio de que las leyes generales de la naturaleza
son expresadas en ecuaciones las cuales son validas para todos los
sistemas de coordenadas, Einstein formula las ecuaciones basicas de la
relatividad general en una variedad de dimension cuatro con una metrica
no llana de signatura (1,3). Asf, la diferencia entre la teoria general
y especial es que en la teoria especial el tensor de curvatura de la
variedad es nulo, mientras que en el caso general el tensor de curvatura
es no nulo siempre que la materia este presente. Esta curvatura es
responsable del efecto gravitacional entre las masas.
Uno de los hechos mas importante en la formulaci6n de la teoria
general de la relatividad de Eisntein es la interpretacion geometrica de
la gravedad a traves de la curvatura de la variedad espacio-tiempo:
cuanto mayor sea la densidad de masa en una cierta region, y asf mayor
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intensidad del campo gravitatorio, mayor es la curvatura en esa region.
Este tensor de curvatura esta determinado por la distribuci6n de las
masas y la fuerza de la gravedad. Por ello en ausencia de masas, podemos
considerar que la curvatura es nula, y si hay una distribuci6n homogenea
de masa, la curvatura tiende a ser constante. Esto tiene sus
consecuencias, por ejemplo, en las trayectorias de la luz a traves del
universo y justifica sus desviaciones en las proximidades de grandes
concentraciones de masas. Tambien tiene una importante influencia en el
movimiento de los planetas en tomo al Sol. En la teorfa de Einstein los
movimientos deben ser considerado en el espacio-tiempo
cuatridimensional. Asi, por ejemplo, los calculos han probado que la
orbita eliptica, que describe la tierra alrededor del sol segun la
teoria de Newton, no permanece estacionaria sino que gira lentamente con
su eje mayor inclinandose en un pequeiio angulo en el transcurso de la
revoluci6n.
Geometricamente hablando, uno de los problemas fundamentales de la
teoria general de la relatividad es la construcci6n e investigaci6n de
modelos evolutivos los cuales nos aporten las ideas definitivas de la
manera de evoluci6n de la metrica global del universo, y en
consecuencia del propio universo. Tales variedades son denominadas
modelos cosmol6gicos.
En la teoria general de la relatividad, los correspondientes
espacios tridimensionales de curvatura constante pueden servir como
modelos para nuestro cosmo. De hecho, es posible considerar tanto
modelos de curvatura variable como modelos de curvatura constante
positiva, negativa o nula. En estos ultimos estan los denominados
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modelos cosmol6gicos cerrados y abiertos de Friedman, aunque este s6lo
consider6 el modelo cerrado. En estos modelos, se supone que para todo
valor del tiempo, la metrica es en cierto sentido la misma en cada punto
del espacio. De las observaciones astron6micas se prueba que en el
presente estado de evoluci6n del universo la distribuci6n y expansion
del universo es homogenea, lo cual es considerado en estos m6delos de
Friedman.
En un modelo cosmol6gico cerrado el cosmo consiste en la esfera
tridimensional de radio r, donde el radio depende del tiempo r = r(ct)
el cual puede ser determinado de las ecuaciones basicas de la teoria
general de la relatividad. Aquf, el tiempo es positivo, y t=O
corresponde al instante del Big Bang. La variedad de espacio-tiempo
4-dimensional es entonces E = S3x 11t. 4 r
Un modelo cosmol6gico abierto se obtiene considerando, por ejemplo,
como modelo espacial un cilindro p3 = S2 x IR+, al mismo tiempo que se
r r
elige una metrica adecuada en el espacio-tiempo cuatridimensional E =
4
La elecci6n de un modelo geometrico de curvatura positiva o
negativa puede interpretar perfectamente nuestro cosmo sin que, hasta el
momenta, se obtenga contradicciones en ninguno de esos modelos. Es
decir, cualquiera de los dos modelos es perfectamente valido. Sin
embargo, las consecuencias posteriores son diferentes en un modelo u
otro.
Si interpretamos los elementos geometrico~ para predecir la
evoluci6n del universo, nos encontramos con las siguientes predicciones.
En un modelo cosmol6gico cerrado el cosmo comienza a colapsar
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aproximadamente a los 200x 109 afios despues del big bang. Esto es
motivado por ser el espacio esferico, pues en el instante del big bang
la masa del universo estaba concentrada en un punto, y tras la explosion
comienza la expansion del universo, que al tener un modelo esferico
terminara nuevamente concentrado en un punto. El cosmo se ira poniendo
cada vez mas luminoso y claro, convirtiendose en una bola de gas, la
cual se ira poniendo al rojo y colapsara en un punto. Con esta teoria,
a los 400x 109 afios despues del big bang, lo mas probable es que ocurra
otro big bang.
Con el modelo cosmologico abierto tendremos un futuro de oscuridad.
En contraste con el modelo cerrado, en el modelo abierto el cosmo no
colapsara. Asf, la expansion actual del universo proseguira
indefinidamente, a medida que las estrellas se iran extinguiendo y se
agotara el suministro de gas interestelar. El cielo se pondra cada vez
mas oscuro, iran desapareciendo todos los objetos quedando al final los
agujeros negros los cuales tambien desapareceran a los 10150 afios
despues del big bang, quedando solo en el vacio del cosmo algunos
neutrinos y antineutrinos, asf como electrones y positrones que andaran
por el vacio con energfa cada vez mas debil. Esto es los que se suele
denominar como una situacion espectral o f antasmal.
Aunque uno pueda quedar esceptico con respecto a algunos detalles
de estos modelos, muchos fisicos estan convencidos de que uno de estos
dos modelos es, bajo el aspecto cualitativo, el modelo correcto de
nuestro universo. Los valores numericos difieren en la literatura,
debido a que los datos sobre la constante de Huble que determina la
expansion del universo y los datos de la densidad de masa en el tiempo
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presente de nuestro cosmo son inciertos.
Evidentemente, la curvatura es un factor determinante que influye
en cualquier modelo geometrico que se escoga para describir la evoluci6n
del universo. Es un fndice preciso y absoluto de las propiedades
geometricas del espacio tiempo.
Es cierto que el auge de la geometria diferencial aparece despues
del surgimiento de la teoria de la relatividad y de la sustituci6n en
esta del espacio euclf deo soporte de la mecanica clasica por un espacio
de curvatura no necesariamente nula. Pero tambien es cierto que Einstein
tuvo exito en su teoria gracias a que el aparato geometrico dif erencial
habfa sido previamente elaborado, merced principalmente a los trabajos
de Gauss primero y Riemann despues. De hecho, los avances de la
geometria diferencial y de la matematica en tomo a la teoria de la
relatividad en un principio eran tan incomprendidos que el propio
Einstein bromeaba diciendo "Desde el momento en que Las matematicas se
abalanzaron sobre la teoria de la relatividad yo mismo deje de
comprenderla".
La geometria diferencial tambien juega un papel importante en el
estudio del problema de unificaci6n a traves de las teorias gauges . El
desarrollo de este estudio esta centrado en la idea de que la conexi6n
en ciertos espacios fibrados principales induce una curvatura la cual
causa las cuatro fundamentales interacciones, a saber: las debiles, las
fuertes, las electromagneticas y las gravitacionales. Evidentemente,
para estos estudios se necesitan otros elementos y estructuras
fundamentales que aparecen en los desarrollos modemos de la geometria
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diferencial los grupos de Lie, espacios homogeneos, fibrados
principales y vectoriales y conexiones en estos espacios, entre otras
cosas, los cuales han surgido como consecuencia de la evolucion de la
geometrfa diferencial de Gauss y Riemann y de la busqueda de estructuras
matematicas que se puedan utilizar como modelos para el estudio y
resolucion de problemas de nuestro mundo fisico.
No quiero finalizar sin mencionar y reflexionar sobre una cita de
Galileo Galilei quien en el siglo XVII afirmaba, quizas de forma muy
osada, que "quien entienda la geometria puede entender cualquier cosa en
este mundo". Evidentemente es muy dificil, si no imposible, compartir
tal afirmacion, y menos todavfa en los tiempos actuales. Sin intencion
de contradecir a Galileo y en reconocimiento de nuestra deuda a la
contribucion de un gran genio me atrevo terminar diciendo que "la
geometrfa de Gauss ha sido y sera fundamental para el entendimiento de
la evoluci6n de nuestro mundo". Muchas gracias.
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BIBLIOGRAFIA
C.B. Boyer, "Historia de la Matematica". Alianza Editorial ( 1986),
Madrid.
J-P. Collette, "Historia de fas Matematicas", vol. I y II. Siglo XXI de
Espana Editores ( 1985),
F. Dombrowski, "Differential Geometry- 150 years after Carl Friedrich
Gauss' Disquisitiones generales circa superficies curvas"
Asterisque vol. 62 (1979).
B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, "Modern Geometry-Methods and
Applications", vol. I y II. Springer-Verlag (1984), (1985), New York.
R.L. Faber, "Differential Geometry and Relativity Theory". Marcel
Dekker, Inc.(1983), New York.
C. F. Gauss, "Disquisitiones generales circa superficies
curvas", (1827).(Traduccion Inglesa en Asterisque vol. 62 (1979)).
M. Kline, "Mathematical Thought from Ancient to Modern Times".
University Press (1972), Oxford.
B. O'neill, "Semi-riemannian Geometry". Academic Press (1983), New York.
B. Riemann, "Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen",
(1854). (Traducci6n Inglesa en M. Spivak, vol. 2 (1979)).
B.A. Rosenfeld, "A History of Non-Euclidean Geometry". Studies in the
History of Mathematics and Physical Sciences 12, Springer-Verlag
( 1989), New York.
E. Zeidler, "Nonlinear Functional Analysis and its Applications, IV".
Springer-Verlag (1988), New York.
251
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017