Caos y coherencia: una introducción a la teoría de las catástrofes de René Thom

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XVII (Núms. 1-2), 143-185 (2005) (publicado en agosto de 2006)
CAOS Y COHERENCIA: UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA
DE LAS CATÁSTROFES DE RENÉ THOM
N ácere Hayek
Universidad de La Laguna (Spain). (email: nhayek@ull.es)
Abstract
This paper explains in a nontechnical way, accesible to a general scientific
community, an introduction of the catastrophe theory by René Thom, a
pioneer mathematical tool qualified to put certain order in the chaos. The
structural stability and other basic concepts and fundamental properties of
this theory, as well as sorne commentaries and references are also exposed.
An overview on the origins of chaos is firstly presented.
Resumen
Este artículo presenta, evitando detalles técnicos, una introducción a la
teoría de las catástrofes de René Thom, una obra pionera de la nueva
matemática que originó la ciencia del caos. Se tratan la estabilidad
estructural y otras nociones fundamentales, incluyéndose algunos
comentarios, observaciones y referencias. Una visión global sobre los
orígenes del caos precede al artículo.
t. Una panorámica sobre los orígenes del caos
En la Biblia se describe el desorden original al que Dios impuso un orden
por el acto de la creación. Los filósofos de la Grecia clásica en los años
posteriores al 600 a.C., se afanaron obstinadamente en la comprensión del
misterio y fenómenos del cosmos, consiguiendo establecer tipos coherentes
de elucubraciones del mundo. Sumamente intrigados por las respuestas que
generalmente les habían sido transmitidas por dirigentes religiosos, los
griegos se interesaron por las concepciones de carácter geométrico,
propulsando el invento más grande de la historia - la fuerza de la razón _ ,
que la aplicaron para indagar si el universo obedecía a leyes matemáticas.
Rechazaron el misticismo y contemplaron el caos aparente de los
acontecimientos naturales, con una actitud racional, crítica y laica, para
mostrar un modelo comprensible derivado de la aplicación de las
matemáticas. Ciertamente !beron los pioneros en .concebir una ley y un
orden en el caos de los f enomenos. Hasta muchos siglos después, en el XV
de nuestra era, no volvería a renovarse notablemente el interés hacia la
143
astronomía. Fue en ese siglo en el que la obra Summa del matemático Luca
Paccioli, así como las de Nicolás de Cusa y del ingeniero Leonardo da Vinci
entre otros, produjeron las raíces del saber matemático del siglo siguiente
(xvn, en el cual se llevaría a cabo el descubrimiento de la teoría
heliocéntrica de Copémico (1473-1543). Ello significó, en unión de Galileo
(1564-1642) 1que idealizó su mecánica, una estructura conceptual que daba
coherencia a sus hallazgos. La ciencia antigua aportó indiscutiblemente las
bases que los modernos utilizaron como punto de partida (Diofanto, siglo 111
a.C.; Arquímedes, 287-212 a.C.; además de Euclides que citamos a
continuación). El Renacimiento no fue capaz de crear un orden nuevo,
porque la actividad matemática en esa época no había experimentado
progresos geométricos notables. Sin embargo, a comienzos del siglo XVII,
el uso de las secciones cónicas por Kepler en 1609 para su sistema
planetario originó un análisis nuevo del magistral tratado (sobre aquellas) de
Apolonio (262-190 a.c., conocido como "el gran geómetra"). Las
matemáticas consiguieron así sustituir el antiguo pensamiento aristotélico
por una nueva racionalidad en la ciencia que nace con la geometría del libro
Elementos de Euclides 2, al representar la primera ciencia axiomática con un
método deductivo (una perfecta creación del genio griego y libro modélico
de matemática pura como ciencia teórica independiente). Con la creación de
un cálculo infinitesimal que podía tratar cualquier cantidad que varía de
modo continuo, Isaac Newton ( 1642-1727) en el siglo XVII pudo describir
el universo como un mundo tradicionalmente euclidiano, semejante a un
mecanismo de relojería de fiel y absoluta precisión. Las leyes de gravitación
de Newton representaron el fundamento de una mecánica celeste Y
ratificaron las conocidas tres leyes de Kepler (1571-1630)3, a cuya mecánica
(denominada hoy mecánica clásica) se asoció el término determinista. Y
una vez que P. de S. Laplace (1749-1827) afirmara que el universo "está
hecho de forma que su estado presente es efecto del estado anterior y causa
del que le va a seguir", para la ciencia un fenómeno se consideró ordenado,
si sus movimientos se podían explicar mediante un esquema de causa Y
1 Galileo dio un sentido nuevo al viejo mensaje de la filosofia pitagórica, "la naturaleza
está escrita en lenguaje matemático", que ha subsistido con solidez hasta nuestros días.
2 Euclides, The Thirteen Books ofthe Elements (trans. by T.L. Heath, 3 vols., Cambridge,
1908; reimp. Dover, 1958). Estos Elementos fueron editados por primera vez en 1482.
Todos los matemáticos que vivieron durante los dos mil años siguientes, consideraron los
Elementos como el límite práctico del rigor lógico.
3 Más que una curiosidad astronómica, esas tres leyes con la imagen de que los planetas
describen órbitas elípticas alrededor del Sol han sido, junto a los descubrimientos de
Newton, el prototipo y referencia constante hasta el presente, de todo conocimiento
científico ( l. Ekeland).
144
efecto representado por una ecuación diferencial. De esa manera, no sólo las
ecuaciones (y teorías) que describen el movimiento de los planetas, sino
también la trayectoria de una pelota, la elevación del agua en un tubo, las
del crecimiento de una planta o las de la combustión del carbón, pongamos
por caso, contienen una regularidad y un orden, y tal certidumbre mecánica,
que hemos terminado por asociar a las leyes que atribuimos a la naturaleza.
Esa clase de ecuaciones dio origen en física a la teoría de sistemas
dinámicos, que lograría identificarse con la mecánica clásica para
representar luego el símbolo del determinismo.
Si bien los principios newtonianos se pudieron imponer como descripción
suprema y definitiva de la naturaleza, en los dos siglos que siguieron
aparecieron serias dudas y discrepancias, al contrastarse la naturaleza
concebida por Newton y lo que realmente ocurría con muchas acciones
inexplicables en la propia naturaleza, debido a que en la práctica la primera
de las teorías sólo era aplicable a problemas simples y bien estructurados.
Además de Laplace (quien consagrara una gran parte de su vida a la
astronomía), hombres excepcionales del siglo XVIII, entre ellos Leonhard
Euler (1707-1783), y los Bemoulli - Johann (1667-1748) y Daniel (1700-
1782) - continuaron ampliando la investigación matemática de nuestro
mundo, con una penetración más profunda en su diseño. En ese siglo XVIII,
la ciencia obtuvo tal éxito en cuanto al descubrimiento de las leyes de la
naturaleza, que muchos pensaron que quedaba poco por desvelar. Sin
embargo, de los estudios iniciados a finales del siglo XIX por el
matemático, físico y filósofo Henri Poincaré (1854-1912) sobre la
estabilidad del sistema solar 4
, surgió un acontecimiento que haría tambalear
en la segunda mitad del siglo XX la belleza y simplicidad del dogmatismo
newtoniano 5
, y que propulsó un inusitado interés por los sistemas
dinámicos. Hasta tal punto, que ese último campo experimentaría más
adelante un gran desarrollo durante las décadas de los sesenta y setenta del
último siglo, gracias a los ordenadores de alta velocidad y a los trabajos de
numerosos matemáticos y físicos teóricos de todo el mundo, entre los que
4 Les Nouvelles Méthodes de la Mécanique Céleste, Gauthier-Villards, París, 1892.
5 La gran contribución de Poincaré consistió en propugnar la desviación del pensamiento
analítico al geométrico, lo que hizo factible posteriormente la teoría de la relatividad. Fue
padre de la topología (análisis situs), un campo matemático básico que enseña a mostrar
que ni las matemáticas son exactas ni la realidad es absoluta, sino que todo depende del
punto de vista del observador (topológico). La topología permite conocer las propiedades
cualitativas de las figuras geométricas, no sólo en el espacio ordinario sino en los espacios
de más de tres dimensiones.
145
destacan especialmente, A.N. Kolmogorov (1903-1987)6 y V.1. Amold
(1937- ) en la Unión Soviética 7
, S. Smale8 en Estados Unidos, René Thom
(1923-2002) y David Ruelle 9 en Francia, e Ilya Prigogine (ruso nacido en
Moscú en 1917 y Premio Nobel de Química en 1977) en Bélgica. Todo esto
configuró aquel acontecimiento en una especie de revolución que hoy se
conoce como la teoría del caos 10
• La nueva área de los sistemas dinámicos
puso de manifiesto que caos y sistemas caóticos no implicaban
necesariamente desorden, sino que de la multitud de sistemas que aparecían
en diversas situaciones en la vida y la naturaleza como irregulares e
impredecibles, no se podía decir que tuviesen comportamientos sin ley, ya
que existían leyes que determinaban su comportamiento. Y a se sabía que en
la realidad existían desórdenes e inestabilidades momentáneas, que luego
retomaban a su cauce determinista: sistemas predecibles que,
repentinamente y sin saber la causa, comenzaban a desordenarse y que
podían luego regresar a una nueva estabilidad. En consecuencia, se impuso
un mayor énfasis en investigar con mucha más cautela la razón oculta de
esas inestabilidades, el "porqué el orden puede llevar al caos y el caos al
orden" y si, eventualmente, se podrían crear modelos para determinar, tal
vez acaso paradójicamente, "si dentro del mismo caos había también un
orden".
6 Los siguientes de sus muchos importantes artículos son considerados como el origen de
la teoría moderna de la turbulencia (movimientos turbulentos de los fluidos): The local
structure of turbulence in incomprensible viscous fluids, Dokl. Akad. Nauk 30, 299-303
( 1941) Y Dissipation of energy in isotropic turbulence, Dokl. Akad. Nauk. 32, 19-21
( 1941 ). Kolmogorov sentó, sin duda alguna, las bases axiomáticas del cálculo de
probabilidades y la teoría de los procesos estocásticos.
7
V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, New­York,
1978. Uno de sus importantes resultados, fue el teorema de Kolmogorov-Arnold­Moser
para sistemas hamiltonianos.
8 S. Smale (Medalla Fields, 1966), introdujo un modelo matemático simple e intuitivo que
~e. l!amarí~ herradura de Smale, que mostraba la dependencia sensible de las condiciones
mtctales, Junto con la existencia de una infinidad de órbitas periódicas tipo silla, lo que
constataba la existencia de movimiento caótico: Dif.feomorphisms with many periodic
points, Diferential &Combin. Topolog, Princeton Press,63-80( 1965). Véase también,
Differ. Dynam. Syst. (Bull. Am. Math. Soc.,73, 747-817 (1976).
9
Gracias a Ruelle, alrededor de 1975 se consigue reconocer el significado del caos con
una aceptación generalizada entre la comunidad de científicos y teóricos.
10 La teoría multidisciplinar que se había denominado sistemas dinámicos por los
matemáticos, se llamaría dinámica no lineal por los fisicos y ciencia no lineal en general
por el resto de disciplinas donde aparecen fenómenos de tipo caótico. La expresión
"'sistema dinámico" designa todo proceso de evolución temporal en el cual el futuro
dependa de un modo determinista del pasado.
146
En realidad, se produjo un verdadero desconcierto en el mundo científico.
El orden dejó de ser sinónimo de ley y el desorden de fuera de la ley.
Ambos parecían regirse por leyes, pero con unas directrices o códigos
distintos de comportamiento. Una ley para lo ordenado, otra para lo
desordenado. Dos teorías, dos formas de concebir el mundo; más
estrictamente, dos ideologías diferentes, cada una aplicable únicamente en
su propio ámbito de influencia. Y lo curioso fue que en su seno pudo
mantenerse inmerso, el inexplicable fenómeno del caos, un término que
llegaría a ser tan dificil de definir que decididamente tuvo que tratarse en
un Congreso Internacional celebrado en la Real Sociedad Científica de
Londres en 1 986 11
•
En el Congreso se acordó proponer la siguiente definición técnica de la
palabra caos: Caos es el comportamiento estocástico que ocurre en un
sistema determinista.
La aparición simultánea de las palabras estocástico y determinista, dio lugar
a la expresión paradójica de caos determinista que, en opinión de René
Thom, constituye un atentado a la teoría del conocimiento, al interpretar del
siguiente modo la anterior definición: "El comportamiento determinista está
gobernado por leyes exactas e inmutables. El comportamiento estocástico
es el opuesto: sin ley e irregular. Así, el caos es el comportamiento sin ley
gobernado completamente por la ley". 12
Es necesario agregar aquí que la ya reconocida (y fortalecida) creencia de
que sistemas simples (modelizables mediante ecuaciones diferenciales) se
comportan de forma simple, y de que sistemas complejos con un
comportamiento más complicado, requieren hacer uso de otro tipo de
análisis, hizo ilusorio plantearse la posibilidad de que un sistema simple
pudiera tener un comportamiento errático o aleatorio. Aún más: ese otro
análisis estaba expresamente dirigido al estudio de situaciones sin orden
aparente o claramente desordenadas, un análisis estadístico aplicable a
fenómenos en los que intervenía un gran número de entidades, cada una con
un comportamiento mal conocido, si bien similar al de los demás. Dos
paradigmas muy diferentes se impusieron entonces en las postrimerías del
siglo XIX para los modelos matemáticos: El primero era aquel análisis de
11 Debemos precisar que. a diforencia de lo que ocurre en el lenguaje popular, en que el
término caos es sinónimo de desorden, cuando en la ciencia se habla de caos, se refiere a
caos determinista.
12 El descubrimiento del caos determinista ha constituido una verdadera revolución
conceptual. La interpretación de Thom dio lugar a ulteriores debates. La revolución fue
presentida por Hadamard, Maxwell. pero sobretodo por Poincaré, amén de algunos
matemáticos soviéticos que establecieron algunos resultados de alcance general en la
década de 1 940.
147
precisión que permitía modelizar sistemas simples con pocos grados de
libertad 13
, y el segundo, un análisis estadístico destinado a la modelización
de sistemas complejos con un gran número de aquellos. La metodología
estadística acuñaba sobretodo una palabra nueva para reflejar que incluso el
azar tenía sus propias leyes: el término estocástico. Y como sus métodos
podían definir comportamientos medios aplicables en mecánica estadística
(donde se utilizan las probabilidades y las estadísticas de la teoría
matemática), pareció revelarse en las leyes fisicas esencialmente aleatorias
14
, que el aspecto estadístico habría de comparecer como compañero
inseparable del desorden. De ese modo, la matemática de los procesos
estocásticos (sobreentiéndase, los conjuntos de sucesos marcados por el
azar) se fue desarrollando junto a la matemática de Jos procesos
deterministas.
Ahora bien, fue sólo con la llegada de los modernos ordenadores, que se
ocasionara un insólito descubrimiento (en 1963) por Edward Lorentz 15
,
meteorólogo del Massachussets Institute of Technology, quien al tratar de
comprender las razones de la imprevisibilidad del comportamiento
meteorológico y de todo el desarrollo posterior, daría lugar al nacimiento de
aquella nueva convulsión científica, confirmando la sensibilidad de ciertos
sistemas extremadamente simples a las condiciones externas (conocida hoy
como efecto mariposa) 16
• Esto demostraba que habían sistemas reales con
13 "Variables de estado", que describen esos sistemas.
14 Para contestar de donde provenía la aleatoriedad, la mayoría de los científicos en la
década de los 1970 hubiera dicho categóricamente que era la complejidad (ciencia
unificada de los sistemas complejos), atributo que sintetizaba los cambios súbitos en la
naturaleza, en el mundo y en la sociedad. Se trata de un tipo nuevo de racionalidad (en
contraste con la ciencia tradicional) para una mejor comprensión de las complicadas
dinámicas en el mundo actual.
15 Deterministic Nonperiodicjlor, J. Atmos. Sci. 20, 130-141 (véase también 448-642),
1963.
16 La sensibilidad respecto de las condiciones iniciales significa que en el estado del
sistema e_n el insta_nte cero, un pequeño cambio en la posición y velocidad iniciales, produce
un_ cam~10 postenor que crece "exponencialmente" con el tiempo. Se conoce también la
e_x1stenc1a de una _co!1figuración estable que se llama "atractor" hacia la que el sistema
ti.ende en su mo~1m1ento. Ahora bien, aquella "sensibilidad" ofreció en el caso de un
sistema de ecuaciones matemáticas sencillas con pocos grados de libertad tratado por
Lorentz, un modelo de sistemas de comportamiento tan violento como una cascada, muy
di_feren~e a lo. q~e venía ocurriendo con otros tipos conocidos de atractores clásicos (puntos
fiJOS, ciclos hm1tes, superficies toroidales), dando lugar a una órbita asintótica denominada
••atractor extraño". Los experimentos numéricos realizados con el sistema revelaron la
existencia de un conjunto de atracción de dimensión algo mayor que dos, que tenía una rara
estructura topológica, atractor caótico que hoy recibe el nombre de mariposa de Lorentz. Lo
148
un número pequeño de variables independientes que podían comportarse de
forma impredecible y aleatoria. El trabajo de Lorentz fue el pionero en
estimular las investigaciones qu~ originaron el campo matemático que se
conocen, a como teorz•a u-1e 1 caos 11 . e on otro enfoque, de modo más abstracto
y matemático, D. Ruelle y F. Takens 18 ratificaron más tarde, que sistemas
muy simples podían engendrar comportamientos caóticos 19• Ello significó
un golpe de gracia para el u/tradeterminismo. Algunos llegaron a decir que
la ciencia clásica acaba donde el caos empieza 20• Durante las últimas
décadas se ha revelado como una extraordinaria área multidisciplinar, pero
el esfuerzo para desentrañar la misteriosa relación entre el orden y el caos
sumió a los científicos en una perspectiva más aproximada de la realidad.
Esto hizo que en diversas disciplinas científicas, muchos de sus
colaboradores acabaran explorando de forma exhaustiva las posibilidades
del desorden 21
•
Estas investigaciones comenzaron en la década de los 1970, cada vez con
mayor intensidad. El foco de las que se hacían en fisica se polarizó hacia la
dinámica no lineal, la mecánica de los fluidos y la electrodinámica cuántica;
en matemáticas, irrumpieron en escena novedades como la geometría fractal
que se designa hoy como efecto mariposa quiere enfatizar, por ejemplo, que el aleteo de
una mariposa en Brasil puede desencadenar un tornado en Texas.
17 Luego se consideraría la teoría del caos, como otra gran revolución del siglo XX, al
ipal que lo fueron la relatividad y la mecánica cuántica.
1 On the na tu re of turbulence. Communications in Mathematical Physics 20, 167 ( 1971 ).
Siguiendo el trabajo de S. Smale abordaron la naturaleza profunda de la "turbulencia" y se
demostró la presencia de ciertos atractores .. extraños" en diversos sistemas dinámicos
asociados a comportamientos caóticos.
19 Se llamaron caóticos para identificar su origen determinista, reservando el adjetivo
aleatorio para los demás comportamientos erráticos (Véase M. Dubois, El orden caótico,
Mundo Científico, 68, p. 430.
20 Véase J. Gleick, Caos. La creación de una ciencia, Edit. Seix-Barral, Barcelona, 1988.
21 En fisica, p.ej., el desorden ha sido objeto de intensas investigaciones con dos
vertientes básicas: la primera es el estudio de la materia desordenada, y la segunda un
análisis más exhaustivo de los sistemas dinámicos, en especial en los casos en que el caos
emerge de ecuaciones totalmente deterministas. En el campo de la dinámica de fluidos
(caso de la turbulencia). además del precedente de Ruelle-Takens, otro escenario atribuido
al fisico M. Feigenbaum (Universidad de Rockefeller) ha llegado a ser básico para la
comprensión de los fenómenos no lineales. Ese escenario corresponde a la aplicación x-+
x2 + C que tiene lugar sobre el eje real. produciendo una "cascada de duplicaciones" (del
período) que se hace tan rápida que la aplicación se vuelve caótica. El desarrollo del
proceso conduce a la ya famosa constante universal 5=4,669 ... , denominada constante de
Feigenbaum (Véase N. Hayek. Rev. Acad. Can. Cienc. XII, Núm.1-2 , 199-209 (2000),
para detalles).
149
(Benoit Mandelbrot, 1924-... ) 22 para buscar orden en el caos; en
~ennodinámica, se llevaron a cabo importantes investigaciones de sistemas
irreversibles fuera de equilibrio (Ilya Prigogine ); en química, se esforzaron
en indagar la razón de las inesperadas fluctuaciones en las reacciones; en
fisiología, para saber porqué en el ritmo normal del corazón se filtraba el
caos ocasionando un repentino paro cardíaco y en biología, la teoría de seres
vivos suscitó la idea de que el desorden en un nivel de comunicación dentro
de un organismo, podía convertirse en orden en otro; en campos
tradicionalmente estáticos, como la meteorología ya mencionada y la
epidemiología, brotaron nuevas ideas que revelaron profundas estructuras de
orden dentro de un aparente desorden, así como también los economistas
intentaron detectar algún tipo de orden en las variaciones imprevistas de los
precios. En general, una nueva pléyade cruzó las fronteras de todas las
disciplinas científicas ocasionando que, por ejemplo, los fisicos se
interesaran muy de cerca en problemas de neurofisiología, que una buena
parte de matemáticos analizaran con esmero los sistemas biológicos, o que
los neurólogos se pusieran al día en matemáticas, dándose lugar a equipos
conjuntos de investigación. Herramienta común: el ordenador. Gracias al
desarrollo de la computación sucedió un hecho apasionante, y a la par,
desconcertante, para las ciencias sociales y humanas: las contribuciones
muy significativas procedentes de las ciencias exactas, fisicas y naturales
con novedosos métodos y procesos computacionales en las aplicaciones, así
como la expansión de analogías a partir de los sistemas biológicos y otros.
Como- ejemplos más sobresalientes se encuentran la teoría y ciencia del
caos, Y la teoría de las catástrofes (que trataremos a continuación) y más
~ropiamente, las ciencias de la complejidad (o de los sistemas complejos no
lmeales ), mostrando un lenguaje diferente al de las ciencias heredadas del
siglo XVIII. Se estaba forjando un nuevo mundo en la ciencia, y en
particular un nuevo tipo de matemática, dotándola de un contexto
22 B. Mandelbrot, Les objets fractals: forme, hasard et dimensión, Flammarion, París,
1975. Mandelbrot desarrolló la "geometría fractal" de los contornos irregulares y
aparentemente caóticos del mundo que nos rodea. Su teoría permite estudiar la
configuración de árboles y nubes, costas y cordilleras, células y órganos, compuestos
químicos y galaxias. En lo que antes se percibía complejidad y desorden, se puede observar
ahora determinadas reglas de construcción. Los patrones tienen un carácter "fractal": los
conjuntos "fractales" tienen la propiedad de ser autosemejantes (o sea, invariancia de
escala), en la que sus partes son réplicas del todo, pero a una escala menor. El más
fascinante de estos conjuntos es el famoso conjunto de Mandelbrot. Para un resumen
divulgativo, véase N. Hayek, El conjunto de Mandelbrot, Rev.Acad.Canar.Cienc., Vol. XV,
núm. 1-2, 169-204 (2002).
150
fundamental e idóneo para una mejor comprensión de las irregularidades de
la naturaleza.
En resumen, el siglo XX ha sido testigo de dos modelos teóricos del
universo: uno1 el del bloque determinista por un lado, y el del bloque del
caos por el otro. Ese siglo XX nos enseñó que en el universo, ni la
inestabilidad del átomo ni la velocidad de la luz, encajaban en el esquema
clásico de la fisica de Newton. Al plasmarse un patente divorcio entre lo
que los científicos estaban observando y lo que podían realmente explicar,
se puso claramente en evidencia que las leyes del movimiento de Newton
(y las matemáticas que habían introducido él y su contemporáneo W.G.
Leibniz, ( 1646-1 716) ), sólo sirvieron para establecer una pauta de dos
siglos de descubrimientos. La fisica clásica y sus matemáticas requirieron
ser enmendadas, no solamente para dar origen a sus grandes revoluciones
la mecánica cuántica y la relatividad, sino para que la ciencia abriera otras'
perspectivas en las últimas décadas de ese siglo, de modo que nos
condujera a una nueva concepción de regularidad - a través de la
matemática del caos - que diera un mejor sentido a la complejidad del
mundo real, la de la actual revolución que ha alcanzado y traspasado las
fronteras del siglo XXI.
2. René Thom, matemático y filósofo. La teoría de catástrofes.
Desde un punto de vista filosófico, René Thom, reconocido como uno de los
más grandes matemáticos del siglo XX, ha sido sin duda de los principales
fundadores de una rama entera de esas nuevas matemáticas que ha originado
la teoría del caos.
Despu~s de desa~~llar su tesis doctoral, para .,~ar ori~en a la teoría del
cobord1smo y rec1b1r en 1958 la medalla F1elds - , Rene Thom a final d
esa década se concentra en el estudio de las relaciones entre el cálcu~s de
variaciones y l~s singularidades planimétricas investigadas por H. Whi~e e
(de Princeton) -4
• y
23 Thom añadió una perspectiva geométrica a la estructura de las nuevas características de Pontryagin, de Chern-Weyl y de Stiefel-Whitney, que combi .e 1a ses
revolucionar la topología, la teoría de variedades y la geometría algebraica. Sus e no para
de genericidad y transversalidad jugaron un papel importante en el desarroll on~ep~os
sistemas dinámicos durante las décadas de los 1960 y 1970. 0 e os
24 Whitney experimentó con los fenómenos ópticos denominados "cáustic ,,
constituían sorprendentes revelaciones de singularidades en las ecuaciones de ts ,' ~ue
reapareciendo en ondas de choque y ciertas discontinuidades. para generar formasª. 0P1
tlca,
una y otra vez. s1m1 ares
151
Thom fue una de las voces más autorizadas de la teoría determinista
representada, como ya hemos dejado expuesto, por Newton, Laplace y otros
pensadores del siglo XVII en adelante (orientación que seguiría Einstein en
~l siglo XX). Sería además un persistente crítico de los partidarios del
indeterminismo en la teoría del caos y en particular, del Premio Nobel de
Química (1977) Ilya Prigogine, defensor a ultranza de aquella corriente por
sus trabajos sobre la termodinámica de los sistemas alejados del equilibrio.
Prigogine sostiene que la teoría del caos, mediante una combinación de
desorden Y orden, el universo funciona de manera que en el caos se gestan
nuevas estructuras que denomina estructuras disipativas (o estructuras de no
~quilibrio). En esta área fisica del no equilibrio, los fenómenos irreversibles
Juegan un papel fundamental, en donde el nuevo comportamiento conduce a
la formación de estructuras de no equilibrio que sólo existen mientras el
sistema disipa energía y permanece en interacción con el mundo exterior 25
•
Muchos científicos dicen que René Thom es un filósofo y los filósofos que
es un ~~temático. Sin temor a equivocarnos, Thom se ha revelado como un
mate~at1co que desarrolla filosofia pura (reivindicando a Aristóteles), Y al
propio tiempo como un filósofo que descubre nuevos campos matemáticos
(nada !11enos que una teoría topológica de las singularidades y bifurcaciones
c~no~ida como teoría de las catástrofes). ,
S_i bien los resultados que como matemático obtuvo Thom senan
ciertamente extraordinarios (sus primeros teoremas reconocidos como muy
proi\mdos, rigurosos y de gran belleza), no realizaría una gran profusión de
pu~hcaciones. Excluyendo los de investigación matemática pura 26, escribió
mas de 150 artículos. Una quinta parte proceden de la década de 1970 que
" _Cua?d0 un sistema sufre sólo procesos reversibles, se dice que es conservati.v o
(hamtltoniano); pero si experimenta procesos irreversibles se le llama "disipativo". Las
estructuras dis1"p at "• vas expen·m entan un crec1· m1· ento de entropt,a , y s1· gu1· en d o a p rt· gog1 ·ne •
puede? . ~onducir a autoorganización. La palabra caos hace pensar en desorden,
!mpo~tbthdad de previsión, aunque Prigogine opina que, por el contrario, el caos se puede
mclmr en las l~~es de la naturaleza, pero a costa de generalizar esta noción, incorporándole
las de probabthdad e irreversibilidad (l. Prigogine, Las leyes del caos, Crítica-Grijalbo,
Barcelon~ 1997). Su punto de vista era ( 1977) que "el no-equilibrio es el origen del orden"
(en u_n ciclo de orden, desorden, orden, ... , de tal forma que uno lleva al otro Y así
suces~vament~, quizás en forma indefinida). Es curioso observar que la idea de que el orden
es ~a mteracc1ón entre "el azar y la necesidad" (Jacques Monod, Premio Nobel 1965), se
aleja de Ja forma en que se traduce Ja obra de l. Prigogine e l. Stengers, La nueva alianza.
Metamorfosis de la ciencia, Alianza, Madrid, 1979, al inglés como Order out of chaos,
Bantham, N. York, 1984.
26
Véase Publications de René Thom, Publ. Math. Inst. Hautes. Etud. Sci.,68, 9-11 (1984).
152
fueron recopilados en una obra 27
, aproximadamente unos dos quintos de la
década de los
2i 980 con algunos del period? anterior, componen otro
volumen suyo , en el que a modo de preambulo (advertissement) se
advierte que cubre en general los dominios en que Thom ejercitara su
pensamiento: semiología, biología, fisica y matemáticas, lingüística, teoría
de catástrofes, epistemología. Thom escribió asimismo otro grupo de
artículos 29 que tratan temas diversos de filosofia de la ciencia como
biología teórica, psicología, geografia e incluso poesía, además de otros
libros 30
•
Su gran obra fue la teoría de catástrofes 31
, una teoría que desencadenó
uno de los episodios más sobresalientes de la vida científica en las décadas
de 1970 y 1980, por su gran impacto en la atención pública y en la
comunidad ilustrada internacional. Se trata de una teoría brillante y
poderosa desarrollada por Thom a finales de los años sesenta, para describir
la dinámica de muchos sistemas no-lineales y de cómo esos sistemas podían
cambiar catastróficamente de un estado a otro. Atendiendo al gran número
de fenómenos interesantes de la naturaleza que presentan discontinuidades,
la teoría estudia esencialmente singularidades, lo que conlleva el trato
directo de las propiedades de estas últimas cuando se aplica a los problemas
científicos. El propósito de la teoría de singularidades es deducir el
comportamiento global de las curvas nó algebraicas del conocimiento local
en ciertos puntos llamados "puntos singulares", y una extensión de los
resultados obtenidos para estas curvas á superficies n-dimensionales fue
hecho por Marston Morse en 1934 quien probó que las superficies suaves
27 René Thom, Modeles mathématiques de la morphogenése, Christian Bourgois, 211 ed.,
1980.
28 René Thom, Apologie du lagos. Hachette, 1990.
29 René Thom fue invitado por la Universidad de La Laguna al Symposium Internacional
sobre La Matemática actual. que se celebró en dicha Universidad con motivo del XXV
aniversario de la creación de los estudios de la Facultad de Matemáticas. Pronunció la
Conferencia de Clausura del Symposium, y tuve el privilegio de presentarlo a la
comunidad universitaria asistente al acto. Un artículo de Thom titulado The task of
Mathematics in describing the World fue publicado en la obra " 25 años de Matemáticas
(1968-1993) ", Secret. Public. Univ. La Laguna, pp. 83-87 (1996).
30 Entre ellos, Paraboles et catastrophes. Flammarion. Paris, 1984 (Paraba/e e Catastrofi.
Intervista su matemática. scienza e filosofia de G. Giorello y S. Morini, Tusquets Ed.,
Barcelona, 1985) y Esquisse d 'une semiophysique. Physique aristote/ienne et théorie des
catastrophes, InterEditions . Paris ( 1988). En una obra colectiva La querelle du
determinisme (Edit. Gallimard, Paris, 1990) publica Thom tres artículos, en el primero de
los cuales ("Halte au hazard, silence au bruit") sus acusaciones contra el indeterminismo,
firovocaría un ya famoso debate de controversias sobre el determinismo.
1 Stabilité structurelle et morphogenese. Edit. Benjamin& Paris, New York, 1972, una
obra escrita durante los años 1966-67.
153
son reducibles, por deformaciones locales denominadas difeomorfismos, a
superficies suaves cuyos puntos singulares (si existen) son "regulares". El
fundamento básico de la teoría refleja "la descripción de fenómenos
discontinuos de la naturaleza con ayuda de modelos matemáticos
continuos", lo que en terminología matemática indica la traducción de las
discontinuidades que pudieran presentarse en la evolución de un sistema,
transformando unos conceptos abstractos en ciertas formas geométricas que
Thom compendió con el término de catástrofes 32
• En contraposición, con
la teoría newtoniana que sólo considera fenómenos regulares y continuos, la
teoría de catástrofes, siguiendo la idea de un determinismo que rige los
fenómenos vitales, nacía realmente para configurar un método universal
para investigar todas las transiciones con saltos, discontinuidades y cambios
bruscos de cualquier forma y especie (cambios en el curso de
acontecimientos, cambios en la forma de un objeto, cambios en el
comportamiento de un sistema, cambios en las ideas mismas) 33
• Por ello,
resulta muy apropiada cuando se estudian sistemas cuyos mecanismos
internos no se conocen y ciertas situaciones en que lo único fiable se refiere
a sus discontinuidades, lo cual por otra parte, requiere además cierto
conocimiento del sistema que trate. Por ejemplo, consideremos un sistema
dinámico cuyo comportamiento sea normalmente regular, pero que en
ciertos lugares u ocasiones, muestra singularidades. Se presupone que el
estado del sistema en cualquier momento, puede especificarse
completamente dando los valores de n variables (x 1 ,x2 , ••• ,xn) donde n es
finito (y quizás muy grande); y además que el sistema sea dependiente o se
encuentra "bajo el control" de un número r (pequeño) de parámetros o
variables independientes (p1 ,p2 , ••• ,pr) {l::S~n) bien conocidos , es decir,
que los valores de estas variables determinan los de las x¡ , aunque nó
unívocamente. En estos casos las X¡ ( 1 ::Si::Sn) son designadas como variables
(de estado) internas , y las p¡ como variables externas (o parámetros de
control). Si admitimos finalmente, que la dinámica del sistema deriva de un
"potencial regular" 34
, la teoría de catástrofes resulta ser aplicable a
32 Un término que en francés no tiene ninguna connotación negativa o desastrosa, como sí
sucede en español. El término para designar en francés lo que se entiende en español como
catástrofe, es más bien el de débacle.
33 El teorema de Morse caracterizaría sólo a puntos singulares regulares, dejando abierto el
problema de caracterizar los puntos singulares que no son regulares, debido a que
corresponden a cambios radicales en el comportamiento del sistema. El estudio de las
superficies con puntos singulares no regulares, es el objeto de la teoría de catástrofes
desarrollada por René Thom.
34 A principios del siglo XVIII, Laplace estableció el concepto de potencial. que resumía
en una sola cantidad todas las fuerzas que actúan sobre un objeto. Si el objeto en su
154
conjuntos de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, con
independencia de que la dinámica sea de tipo gradiente o nó. Concretamente
y como se constatará más adelante, la teoría trata el estudio de un sistema de
ecuaciones diferenciales gobernado por un potencial F(x1,x2, ... ,x°'
p1,p2, ... ,pr ) (1:5i:5n) de este tipo, con r parámetros externos (~,
restricción que luego se aclara) 35
. A este respecto Thom presentó un célebre
resultado (su "teorema de clasificación"), que en términos amplios
afirmaba: .. En cualquier sistema gobernado por un potencial y en el cual el
comportamiento del sistema esté determinado por cuatro factores externos
o parámetros de control diferentes y no más, únicamente son posibles siete
tipos de discontinuidad cualitativamente diferentes".
Este teorema quería significar que el número de configuraciones
cualitativamente diferentes de discontinuidades no depende del número de
variables de estado, sino del número de variables de control; y en
particular, si el número de las variables de control no es mayor que 4, sólo
hay siete tipos de catástrofes (donde en ninguna de ellas interviene más de
dos variables de estado).
3. La estabilidad estructural
Unos años antes de empezar a elaborar su teoría de las catástrofes, las ideas
de Thom apuntaban originariamente hacia un lenguaje matemático para la
biología, de la cual un área primordial era el de la morfogénesis (u origen de
las formas) en la vida y en la naturaleza inorgánica. Y lo que pretendía
establecer era una teoría morfológica, una teoría geométrica de las formas,
mostrándola como una teoría cualitativa. para situarla en un mismo plano
que la teoría de las b[furcaciones 36
. Para Thom, un especialista mundial en
evolución cambiaba de movimiento. indicaba que se desplazaba a una posición de potencial
mínimo. Ello le propulsó a acudir al cálculo de variaciones, deduciendo que hallar la
posición final del objeto. significaba encontrar una solución mínima para la ecuación del
potencial. Es importante observar cómo un potencial regular - una dinámica regular - (al
igual que una función de Liapunov, semejante a un potencial clásico con un gradiente que
no determina las trayectorias y en que sus mínimos muestran los equilibrios estables),
puede dar lugar a un comportamiento discontinuo, mediante la desaparición de estados
estables.
35 La mecánica, la fisica y la química proporcionan también ejemplos de sistemas regidos
Eºr un potencial, que en la mayor parte de los casos se trata de una energía.
6 Si la catástrofe constituye el salto brusco (imagen antes dada) que surge como respuesta
de un determinado sistema ante una alteración ligera en las condiciones externas Ja
bifurcación (palabra sinónima de .. ramificación") designa generalmente cualq~ier
metamorfosis cualitativa del sisten~a frente a un cambio ~n los parámetros de los que
depende. Realmente. hasta el decemo de los 1960, la mayoria de los científicos no habían
prestado especial cuidado a las bifurcaciones que llevan a un estado errático, pero al
hallarse entonces sistemas como el de Lorentz (recuérdese la "sensibilidad a las
condiciones iniciales" en la Nota pie 16 anterior). se propulsó el desarrollo de teorías como
155
topología diferencial y apasionado estudioso de la embriología, las
matemáticas de los cursos estables del cambio y las matemáticas de la forma
biológica eran las mismas, en base a que toda forma de un organismo
representa un registro parcial de los procesos de desarrollo y metabolismo.
En unos modelos embriológicos que había observado en sus visitas
periódicas a un museo, reconoció formas de singularidades e intuyó unos
desdoblamientos o "despliegues" (catástrofes) asociados a las mismas y que
comparecían en las matemáticas que investigaba. Su minucioso estudio de
las relaciones entre la estabilidad y la inestabilidad para la producción de
formas, le condujo a una mayor acentuación en la regularidad cualitativa, en
vez de hacerlo en la cuantitativa 37
• Obsesionado con el problema de su
descripción, Thom elaboró una teoría general de modelos, creando un
concepto de estabilidad "estructural" (un concepto que involucra
"insensibilidad a pequeñas perturbaciones" de la naturaleza), que puede ser
explicado de la manera siguiente: Habiendo sido reconocido desde hace
tiempo que en la ciencia se encuentra implícita la creencia de que existe un
tipo de orden en el universo y en particular, que se repiten los resultados
obtenidos en todo experimento repetido bajo las mismas condiciones, y a
sabiendas de que, en realidad, no es posible asegurar de que aquellos se
repitan exactamente (ya que factores externos podrían inmiscuirse en el
experimento mejor diseñado), Thom señala que toda la ciencia se basa en
el de la dinámica de los sistemas no lineales, incorporándose al vocabulario científico de las
siguientes décadas, conceptos nuevos (amén del de caos) como los de atractor .. extraño",
fractal y otros. A este respecto y en opinión de Thom, las catástrofes son generadas por
bifurcaciones, que interpretan precisamente que una morfología se produce en el
"conflicto" de uno o más atractores; en otras palabras, estaba convencido de que no había
que fiarse sólo de las singularidades, sino que era necesario utilizar también todos los
recursos de la teoría de la bifurcación.
37 Thom se enfrasca en las cuestiones o problemas sobre las formas recurrentes una y otra
vez en la naturaleza y cavila por ejemplo, sobre la similaridad de la configuración de las
ramas de un árbol, de un sistema fluvial y una célula nerviosa, y se plantea interrogantes de
este tipo: ¿cómo puede surgir esta regularidad cualitativa en tres conjuntos de
circunstancias tan diferentes? ¿se trata de una coincidencia o se está apuntando a un
principio común en todos los casos? Para Thom la respuesta a esto lleva consigo un signo
del tipo especial de estabilidad de los propios procesos, y arguye que en casi todo proceso
natural se distinguen. "elementos recurrentes identificables", que pudieran ser formas
características como la de un copo de nieve o de una mariposa; o bien etapas características
de un proceso dinámico, como la formación de copos de nieve a partir del vapor de agua o
la metamorfosis que convierte a una oruga en mariposa. La circunstancia de que sus rasgos
cualitativos sean recurrentes, no son exactamente las mismas en términos cuantitativos. En
cualquiera de los dos casos, tienen la propiedad de "estabilidad estructural" de la que ahora
hablaremos (A. Woodcock y M. Davis, Teoría de las catástrofes. Edic. Cátedra, Madrid,
J 986 (cap. 1).
156
una suposición implícita de una estabilidad estructural: dos experimentos no
dan nunca los mismos resultados cuantitativos, porque las condiciones
experimentales no pueden reproducirse exactamente y las perturbaciones
externas no pueden eliminarse por completo. Convencido además de que la
topología podía servir como lenguaje idóneo para definir los conceptos de
forma y cambio estructural, la gran aportación de Thom fue la de
revolucionar la matemática aplicada, desarrollando una dinámica cualitativa
para adaptarla de manera especial a las biociencias, subrayando entonces
que la ciencia sólo es posible, si las observaciones y los resultados son
cualitativamente repetibles. Así, en lugar de atenerse estrictamente al
histórico supuesto, Thom se aferra a lo que en realidad ocurre, esto es, si
aquellos se repiten aproximadamente en las mismas condiciones se deben
obtener aproximadamente los mismos resultados, aunque añadiendo algo
más para dar una descripción matemática más práctica: la de que un
fenómeno fisico debe admitir la misma clase de insensibilidad en las
perturbaciones; en cualquier caso, se deben matizar y completar las
definiciones para ajustarse al problema que se esté tratando, es decir, que
para cada problema por separado o especial, se requeriría además
especificar qué clase de perturbaciones se van a permitir y qué estados
finales deben ser considerados equivalentes al estado inicial. La noción de
estabilidad no sólo ha de depender de las perturbaciones que permitamos
sino también del tipo de equivalencia que asumamos. Lo que realmente
interesa es ponderar que cualquier pequeña perturbación (debida a ciertas
condiciones que hayan sido impuestas) deje inalterada la naturaleza
cualitativa de la familia considerada, o sea, cualquiera que sea su forma, la
estructura topológica del conjunto de bifurcación tiene que mantenerse38
•
Una propiedad que Thom designa como estabilidad estructural 39
• Este sería
38 Véase T. Poston & l. Stewart, Catastrophe theory and its applications, Dover Public.,
N. York (Copyright, 1978). cap. 6. Ante todo y por otra parte, recuérdese en lo que hemos
dicho, la conclusión aleccionadora a la que había llegado el matemático francés Henri
Poincaré (1854-1912) tras partir del esquema determinista laplaciano, al afirmar que la
situación inicial del universo sólo podemos conocerla con aproximación (porque siempre
cometeríamos algún error cuando establecemos aquella situación). Poincaré dijo "aún
suponiendo que pudieran conocerse con exactitud las leyes que rigen la evolución del
universo en un estado determinado. la predicción de cualquier estado subsiguiente sería
a¡roximada".
3 La propiedad no es muy diferente a la que ya se está acostumbrado en mecánica
elemental, salvo que el sistema ha de ser resistente, no a perturbaciones que partan de una
posición de equilibrio, sino a perturbaciones de las condiciones con las que en realidad se
realiza el experimento.
157
el hilo conductor de su teoría de catástrofes 40
, en la cual concentraría su
interés para la formación de principios profundos de estabilidad estructural
en áreas tan diversas como la biología y la lingüística, principios análogos a
los que tienen lugar en fisica.
Entre los antecedentes claros de la teoría de catástrofes se encuentra uno de
los principales biólogos del siglo XX, C.H. Waddington, profesor de
genética animal en la Universidad de Edimburgo y presidente de la
Internacional Union of Biological Sciences, quien jugó un papel importante
al anticiparse al pensamiento biológico de Thom y que sería el primer
científico que aclamó la teoría de las catástrofes. Como asimismo el trabajo
pionero de d'Arcy Thompson que aparece en las bases de la biomatemática.
Mas concretamente, las investigaciones de Waddington, un experto en
morfogénesis que había presentido que se estaba usando un lenguaje
inadecuado en ese campo, convencieron a Thom de la existencia de muchos
procesos biológicos que tenían la propiedad de la homeorhes is ('4un mismo
camino") en los cursos de cambios estatales "canalizados" que resistían las
fuerzas perturbadoras, como ríos encerrados en sus orillas) para procesos de
desarrollo biológico que siguen un curso estable de cambio 41
• Waddington
sugirió en 1940, que era deseable un tipo generalmente topológico para la
teoría de la morfogénesis, apropiada para las formas biológicas, y también
apuntó que la teoría tendría que ser elaborada en términos de operadores
topológicos, es decir, con nociones tales como plegamiento a lo largo de una
línea, perforación de agujeros, etc. 42
• Esto coincidía con la teoría en la que
cavilaba y estaba desarrollando Thom.
40 La noción de estabilidad estructural había sido ya introducida en el contexto de las
ecuaciones diferenciales por los matemáticos rusos A.A. Andronov y L.S Pontryagin en
1937 (como sistemas .. coarse") y dio origen al concepto de "sistema dinámico
estructuralmente estable", en donde son admitidas pequeñas perturbaciones de la ecuación
diferencial implicada, y se requiere una equivalencia topológica del conjunto de curvas
soluciones. Ciñéndonos al caso de la teoría de catástrofes, la noción de estabilidad debe
permitir perturbaciones regulares pequeñas de la familia pertinente de funciones, así como
también una más fuerte equivalencia o difeomorfismo, es decir, la noción depende de las
perturbaciones y del tipo de equivalencia que requiramos.
41 Ideas que eran topológicas y fueron corrientes, aunque rara vez reconocidas en todas
las áreas de la biología. Ya en 1917, en la obra de d'Arcy Thompson (On growth andform,
Cambridge Univ. Press Oxford, edic. abreviada, 1961 ), que tuvo luego una profunda
influencia sobre tres generaciones de científicos, se había mostrado la forma de la calavera
de un pez dibujada en una cuadrícula rectilínea, que podía ser alterada mediante una
transformación continua en otra calavera de su predecesor en la evolución.
42 A. Woodcock y M. Davis, ibid., cap. 2., 36-40.
158
A causa de la pers istente recurrencia de formas similares que había
observado en la natura leza -1
3
, según antes hemos señalado, Thom creía que,
al menos para los procesos simples, habría también un número limitado de
estructuras arquetí picas; y aún más. se había asegurado de que debía haber
un desdoblamiento único para cada singul aridad -1-1_ Tras haber trabajado a
fondo en las s ing ul a rid ades topológicas, tuvo que plantearse cuestiones
fundamenta les, en conso nanc ia con lo hecho por Andronov y Pontryagin:
"Dadas las ecuac io nes que describen cualquier sistema dinámico, ¿cómo se
di stribuyen topo lógicamente las soluciones estables de dichas ecuaciones?
¿cuántas estruc turas topológicas diferentes eran posibles? ¿un cambio
cuantitativo peque ño a lteraría ligeramente las soluc iones o produciría unas
nuevas muy d ifere ntes, o no dejaría ninguna?" -is_ El desarrollo de sus ideas
respecto a la estabi 1 idad estru ctural en la naturaleza, requería unos modelos
topológicos que fuesen compat ibles con e llas. Cada modelo debía retener su
estructura cua litativa a pesar de vari aciones cuantitativas pequeñas, resumir
la apari c ión y desapari c ión de estabi lidad pero hacerlo de forma estable -16_
Después de haber a rro ntado el precedente planteamiento, fue demostrado
por Thom en 1965 con su propio teorema de transversalidad, de que para
una amplia gama de procesos só lo eran posibles siete desdoblamientos
estables, las " s iete catástrofes e leme ntales'·.
El concepto de estabi 1 idad estructural que nos ocupa es subyacente a Ja
teoría entera de catástrofes y se manifiesta en sí mismo en una constancia
local de estructuras cua litati vas. De las aplicaciones de la teoría se deriva
también que d ebemos interpretar la palabra ·' local" (en cuanto al análisis de
la natura leza de los resultados) en el sentido de "asociado con una
singul aridad".
La propiedad de esta bilidad estructural , permite especialmente tratar unos
nuevos co nce ptos que conviene tener presente, por ser luego necesarios para
el contexto que nos ocupa.
El primero de esos conceptos puede ser de finido del siguiente modo: Si una
familia ( f) de fu nc io nes depende de n parámetros que varían de modo
continuo, éstos pued en co nce birse como coordenadas de un espacio E de n
43 ¿cómo era pos ible que dos procesos pudieran tener rasgos en común incluso cuando se
encue ntran en esca las tl sicas di lere ntes. operan bajo leyes cuantitativas diferentes y son
afectados por conj untos difere ntes de causas? (A. Woodcock y M. Davis, ibid, p. 41).
44 B. Malgrange demostró la unicidad de estos desdoblamientos en 1964.
45 A. Woodcock y M. Da vis, ibid. cap. 2 , 33-34.
46
/\ . Woodcock y M. Davis. ihicl, p. 59.
159
dimensiones 47
• Entonces, si fp es la función de la familia que corresponde al
punto P de ese espacio E, y sucede que, para cualquier punto Q de E
suficientemente próximo al P, la correspondiente función fq tiene "la misma
forma" que fp, esta fp representa una función genérica o estructuralmente
estable de la familia (f). El conjunto de todos los puntos P cuyas funciones
correspondientes sean genéricas, representa un subconjunto de puntos
estructura/mente estable del espacio E. Al complemento de este conjunto,
es decir, el conjunto de todos los P tales que fp no sea genérica, es
d enomm. a d o com.u n t o uJ e b z·r zu rcacw. ,n 48 49 .
Otros conceptos interesantes a tener en cuenta son los de corrango y
d
. . , 50 co zmens wn .
No todos los sistemas de la naturaleza son estructuralmente estables, ni de
hecho lo son los sistemas dinámicos en matemáticas. La mayor parte de los
sistemas no se pueden describir adecuadamente mediante una sola variable
de estado; sin embargo, el análisis matemático nos enseña que, sabiendo
analizar previamente lo que ocurre con las singularidades (puntos críticos)
de las funciones de varias variables, revela generalmente que lo que se haya
conseguido de interés, puede ser reducido al caso de una o dos variables.
Consideremos una función f(x1 , X2 , ••• , Xn ) de n variables con un punto
crítico en el origen, de modo que f y todas sus derivadas parciales de primer
orden se anulan en el mismo. Si formamos la matriz hessiana de f
constituida por SUS derivadas parciales de segundo orden fil f / 8 X¡ 8 Xj (i,j=
1, ... , n) , es sabido que si el rango de esa matriz hessiana es n (o sea, si su
determinante no se anula), existe una transformación de coordenadas que
permite escribir el desarrollo de Taylor de f, mediante una expresión de la
forma
f= e1 xi2 + e2 x2
2 + ... +en x/ +términos de orden más elevado,
en la cual las e¡ representan constantes, cada una de ellas iguales a ± l. En
este caso, fes estructuralmente estable, y el número de signos más y menos
47 Podría llevar a confusión más adelante el hecho de que nos refiramos a la f(x)=x4+ u
x2+ v x (por ejemplo) como una función, cuando en realidad de lo que se habla es de una
familia biparamétrica (dos parámetros y y y) de funciones. Por tanto, cuando se diga que
una función como la f(x) anterior es estructuralmente estable, quiere decir que es estable al
considerarla como una familia biparamétrica.
48 Obsérvese que así se ha logrado definir una clase de estabilidad estructural para una
familia matemática de funciones, si bien no se ha precisado la expresión "de la misma
forma", (o "del mismo tipo o igual configuración)").
49 Para mejor ilustración de este conjunto, véase la (1) de las Notas finales del presente
artículo.
50 Thom conjeturó en 1964 que con el corrango y la codimensión se podían clasificar todas
las catástrofes. En 1966, J. Matter resolvió esta conjetura.
160
L
determina su tipo
51
. Si por el contrario, el rango de la matriz hessiana es n-r
para algún r> O, podríamos escribir f en la forma:
f=er+1 Xr+1 + er+2 Xr _.:+ ... +en Xn +términos de orden más elevado.
La inestabilidad estructural queda así reducida a las variables x1 , x2 , ... , Xr,
y puede analizarse exclusivamente en términos de estas variables
"esenciales" (por lo que para nuestros efectos, las restantes variables Xr+t,
d ,,. d ") Xr+2, ••• , Xn , pue en ser ignora as .
En consecuencia, el número de clases de catástrofes que pueden aparecer,
dependería nó del número n de variables de estado, sino sólo del número r
de variables de estado ''esenciales". A este número se le denomina corrango
de la matriz hessiana, o lo que es equivalente, de la función f. El corrango se
puede interpretar también como el número de direcciones en que la función
es degenerada.
Por otra parte, es conocida la siguiente regla que se infiere de la
representación analítica de curvas y superficies de la geometría (de una o
más dimensiones): "El número de ecuaciones precisas para representar un
objeto geométrico es, en general, igual a la diferencia entre la dimensión del
objeto y la del espacio en que está sumergido". Concretamente, a esta
cantidad se la llama codimens ión del objeto, la cual posee por otra parte una
importante propiedad, y es la de que generalmente se conserva, si
cambiamos la dimensión de un problema ignorando las coordenadas
inesenciales52 . Por consiguiente, cualquier función que sea degenerada en
dos direcciones es de codimensión al menos tres, y requiere al menos tres
parámetros de desdoblamiento. En general, se deduce que la codimensión
51 Los signos ± indican posibilidades duales. En el cuadro general completo de las siete
catástrofes elementales que se estudiarán más adelante, figuran en las obras especializadas
catástrofes "duales", en las que las de signo negativo se refieren a las cúspide y mariposa
"duales", que en las obras generales no suelen ser distinguidas por no ser significativas.
52 Es fácil ver que, en general, una familia uniparamétrica continua de objetos de dimen­sión
p, es un objeto de dimensión p+ 1 (una familia de puntos es una curva, una familia de
líneas es una superficie, y así sucesivamente). Y también que, una familia continua r­paramétrica
de objetos de dimensión p es un objeto de dimensión p+r. Del mismo modo,
una familia r-paramétrica de objetos de codimensión p, es un objeto de codimensión p-r.
Puede asimismo ser probado que si se tiene una función de n variables, la condición para
que la función sea estructuralmente estable y el problema no se reduzca a otro con menos
de n variables, es que una forma cuadrática en n variables se anule idénticamente, es decir,
que el rango de su matriz h~ssian~ ,sea cero. Si n=l, esta condición es, f~x =O, ~ue es una sol~
ecuación, por lo que la cod1mens1on puede llegar a ser uno como mm1mo. Sm embargo, s1
n=2 la condición es fxx = fxy = f';.y = O, que proporciona tres ecuaciones y requiere al menos
tres parámetros de desdoblamiento (para detalles, véase P.T. Saunders, Una introducción a
/a teoría de las catástrofes, Ed. Siglo XXI, Madrid ( 1980), cap. 2.
161
mínima para una función de corrango n es Yi n (n+IJ, número de
componentes independientes para una matriz simétrica mm " 3
•
La última de las concepciones, la de "despliegue universal" que vamos a
tratar en el parágrafo siguiente, es una de las nociones que, en opinión de
Thom, no resulta fácil comprender sin la ayuda de un lenguaje técnico
adecuado. Es de importancia muy relevante para el resto de la exposición.
4. El despliegue universal
Uno de los conceptos fundamentales que llegó a ser clave para el desarrollo
de la teoría de las catástrofes, es el de "despliegue universa/ o
desdoblamiento", el cual puede interpretarse como una forma de desplegar
toda la información intrínseca concentrada en una singularidad. Thom
mostró que la idea de "despliegue universal" servía para las estructuras
diferenciables. La idea fue la de que si se dispone de un germen de una
función, es posible introducirlo en una familia maximal. Este germen
analítico 54 genera una familia, que es la familia de todas sus deformaciones.
53 Además del topológico, el término "singularidad" tiene otro significado en cálculo y
análisis, donde designa un punto en el gráfico de una curva en el que la dirección de la
curvatura cambia; por ejemplo, un máximo local, un mínimo local o un punto de inflexión,
en una curva del plano. Para curvas suaves las únicas catástrofes son las inflexiones donde
la curva es plana debido a que atraviesa la tangente, pero al considerar superficies de n
dimensiones se tienen diferentes posibilidades que dependen del corrango (o número de
direcciones en que la curva sección es plana) y de la codimensión (o número mínimo de
deformaciones necesarias para eliminar la irregularidad).
54
Una función f definida en un abierto D (de R o de C) es, como es sabido, "analítica" en
D, si admite un desarrollo en serie de término general ª" x" en cualquier xo de D. Dicho
esto, en términos más rigurosos, consideremos el conjunto de las funciones de Rq en Rm
con~inuas :n un entorno de un punto x (por, ejemplo, x=O), y definamos una relación de
eq~1v~lenc1a ::::: , de modo que f ::::: g si, y solo si, existe un entorno de x en que f y g
comc1dan. La clase de equivalencia para la relación ::::: (o sea, el conjunto de funciones g
tales que g::::f) se denomina germen de la función f. Denótese con E( q,m) el espacio
vectori~l de los gérmenes de las funciones Rq en Rm que son ccr.i en O; en particular, si m= 1,
se escnbe E(q) en lugar de E(q,l). E(q) es un álgebra local cuyo único ideal maximal es el
conjunto M(q) de los elementos Tl de E(q) tales que T](O)= Tl . Un germen :r¡ de E tal que
T](O)= D T](O)= O recibe el nombre de singularidad. Además, se define como r-despliegue de
una singulari~a~ de R" en R a un germen F de M(n+r) tal que F(x1 , ... ,Xn ,O, ... ,0) = T](X1. x2,
•• ., ~n~ Y se md1ca usualmente (r,F). Si es un punto de Rr y Labrevia (xi, ... , xn) se podrá
escnbir (x,u) = Fu(x). Definiendo ahora convenientemente la "equivalencia" para todo par F
Y G de gérmenes del espacio E{n+r) (como r-despliegues), provisto de la topología de
Whitney o topología C00 (Ver Nota pie 55), se puede especificar que un (r,F) es
(estructuralmente) estable, si cualquier pequeña perturbación (r,G) de (r,F) en E(n+r),
pequeña respecto de la citada topología, resulta equivalente a (r,F). Un despliegue (r,F) de Tl
se denomina versal, si cualquier despliegue de Tl es inducido por (r,F) mediante un
162
1 l
Los despliegues versales, que se acaban de definir en términos rigurosos en
la Nota 54 a pie de la presente página, pueden interpretarse en lenguaje más
clásico, del modo que sigue: "los despliegues (o desdoblamientos)" que son
estructuralmente estables son llamados versales; y los que siendo versales
tienen el mínimo número de parámetros de un desdoblamiento versal se
llaman universales (su propiedad importante es la de que dos despliegues
universales de la misma singularidad son equivalentes). La idea de
"despliegue universal", involucra en cierto sentido, toda la parte cualitativa
de la conocida fórmula de Taylor para las funciones. En relación con dicho
despliegue (o desdoblamiento), la estabilidad de la singularidad de una
aplicación, concreta toda la estructura global en una estructura local
Sentado esto, cuando se tiene un germen de una función diferenciable (que
localmente es un desarrollo de Taylor), es tal que si este desarrollo se trunca
en un cierto punto, el desarrollo truncado seguirá igual proceso y tendrá el
mismo tipo topológico del germen de aquella función. No es sólo eso. Toda
la teoría de singularidades puede dar condiciones suficientes para que el
germen truncado sea equivalente (vía un cambio de variable adecuado) al
germen de la función inicial, es decir, permite reducir localmente un germen
descrito por una serie infinita, a una serie que consta de un número finito de
términos, lo que conduce a un medio único para describir todas las
deformaciones posibles de este régimen.
Después de que Thom se interesara por las singularidades planimétricas del
topólogo americano H. Whitney y por la relación de las mismas con el
cálculo de variaciones, examinó singularidades de dimensión más elevada
de las investigadas por Whitney 55
, descubriendo modelos interesantes para
diversos procesos.
Imbuido en la creencia de que debía haber (al menos para los procesos
simples) un número limitado de estructuras arquetípicas, en 1965 llega a la
notable conclusión que antes ya hemos anticipado (su "teorema de
clasificación"), el cual afirma que para una serie muy amplia de procesos,
mortismo adecuado. Sea r el número más pequeño por el cual (r,F) es versal: (r,F)
constituye entonces un despliegue uni-versal (de los que solo son posibles siete tipos). Para
m =q, en E(q,q) se indicará con B(q) el conjunto de los gérmenes invertibles Rq en Rq que
a¡Iican O en O. (Véase R. Thom, Parábolas y Catástrofes, ibid., pp. 65-75 y 176-177).
5 Las singularidades planimétricas estudiadas por Whitney son fenómenos que ocurren
si los puntos de una superficie se proyectan sobre otra, cuando ambas superficies están
topológicamente deformadas. Una idea de la topología de Whitney es la siguiente: Sea
E(q,l), o más brevemente E(q). el espacio de los gérmenes de las funciones de. Rq a R
infinitamente diferenciables. es decir. C~' en O. Tal espacio puede estar provisto de una
topología, llamada topología de Whitney o topología e~' adaptada al nivel diferenciabie, o
sea la topología de la convergencia uniforme de un elemento F de E(q) y de todas sus
derivadas en los compactos de Rq.
163
sólo son posibles siete despliegues o desdoblamientos estables, a los que
Thom llamaría catástrofes elementales 56
, es decir, Thom dio las siete
singularidades que aparecen en un despliegue de dimensión inferior o igual
a cuatro, que se interpretaron más adelante como las siete catástrofes
elementales 57
•
Para seguir expresándonos en lenguaje más cómodo y asequible al lector no
especializado, limitaremos nuestra atención a la clase de funciones que
pueden ser incorporadas a familias estructuralmente estables con un número
finito de parámetros de desdoblamiento. De este modo, al ser factible probar
que toda función de ese tipo, resulta ser equivalente a un polinomio del
mismo corrango y codimensión, se derivaría como consecuencia, la ventaja
de trabajar en términos de desarrollos de Taylor de dichas funciones (Para
más información y detalles, véase Nota final (2)).
Pueden fijarse mejor y más concretamente las ideas de lo que llevamos
últimamente expuesto, considerando por ejemplo, el caso de una familia
funcional de polinomios de una variable x de grado menor o igual a n, en
donde sus coeficientes pueden ser considerados como parámetros de la
familia. Partamos del supuesto de que dos polinomios son del mismo tipo, si
tienen "la misma configuración de puntos críticos en el entorno de x=O ".En
particular, si n es el número de variables x de estado y r el de parámetros de
control, sigue en particular:
Cuando n=l, un despliegue de la función (germen) 11(x)= x3 sería por
ejemplo: F(x,p1)= x3 +p1x donde r= 1; si se toma 11(x)= x4
, un despliegue
. 4 2 sería F(x,p1,p2)=x +p1 x +p2 x donde r= 2.
Tengamos en cuenta ahora las perturbaciones: Perturbemos la función 11=
x3
, añadiendo un término e x. Si fuese e>O, no se encuentra punto crítico
alguno, y si fuese e negativo, se tienen dos: un máximo y mínimo relativos.
Para e= O, se tiene un punto de inflexión.
56 En muchas ocasiones los despliegues o desdoblamientos se llaman catástrofes, porque
cada uno de ellos tiene regiones en que un sistema dinámico puede "saltar" repentinamente
de un estado a otro, aunque los factores que controlan el proceso cambian continuamente
(Woodcock y Davis, ibid, 40-41 ).
57 Dado un .campo continuo de dinámicas que se bifurcan en ciertos lugares del espacio
de control, existe el problema de aclarar la naturaleza de las bifurcaciones genéricas de las
bifurcaciones estructuralmente estables, de las que a Thom sólo interesan las segundas. Se
ha objetado al respecto, que la teoría antes citada de la bifurcación (que supuso un desafio
al principio de la "estabilidad estructural") no conduce a un despliegue de dimensión finita,
contrariamente a lo que ocurre en general, con las singularidades de funciones (Véase R.
Thom, Paraboles et catastrophes, ibid, 80-81 ).
164
Análogamente, 11= x4 perturbado con e x2 proporciona un mínimo relativo
para e > O, y un máximo y dos mínimos (relativos) para e < O. Cuanto más
se incremente el exponente k, más complicado resulta el comportamiento de
xk; de este modo, si perturbamos x5 se obtendrían cuatro puntos críticos, etc.
Así pues, intuitivamente no todos los despliegues funcionan bien en el
sentido de que resistan pequeñas perturbaciones, esto es, de poderse
privilegiar en el modelo los despliegues estables. Por otra parte, es de sumo
interés observar que se sabría, por ejemplo, que el polinomio x4 no es
estructuralmente estable, porque es posible comprobar que existen
polinomios cercanos a él que no son del mismo tipo, como ocurre con el x4
+PI X5 para IPtl pequeño y s entero para ciertos valores des, por lo que en
particular, la familia x4 + PIX2 tampoco lo sería; se infiere de ese modo que
si se pasa del despliegue x4 al despliegue x4 + PI x2
, el perfil sería todavía
inestable. Aún más: con la debida formulación de estabilidad respecto a un
despliegue (para valores mas bajos de r), se conseguiría una mayor
estabilidad en los despliegues. Debe advertirse asimismo que, para el caso
x2 (singularidad=mínimo estable), resulta ser su propio despliegue universal;
en el caso x3
, su despliegue universal es x3 + PI x; en el caso de x4 es x4+ PI
x2+ p2 x; en el caso de x5 sería x5 + PI x3 + p2 x2 + p3 x , etc.58 Si nos
ciñéramos, por ejemplo y en particular, al caso de x4
, se vería que el
potencial F(x,pI ,p2)= x4+ PIX2 + p2x, se identifica con la forma canónica de
la catástrofe en cúspide 59
•
Hasta aquí y en lo últimamente dicho, hemos examinado solamente
polinomios, aunque adelantamos que esto no supone una seria limitación,
puesto que una función suficientemente regular puede desarrollarse (al
menos, formalmente) en una serie de Taylor, y como el coeficiente de xº es
(salvo un factor constante) es simplemente la derivada de orden n, p<0 >(0),
ello nos proporciona el enfoque que se necesitaría para afrontar de manera
adecuada la nueva situación60
•
58 Más adelante veremos que en el caso (n=l, r=2) de la singularidad de x4
, su despliegue
universal representa el potencial F(x,p1,p2).
59 Interpretando el potencial como función de la única variable de estado x, para hallar los
puntos críticos se establece que dF/dx= 4x3+2p1x+p2 =O, o lo que es lo mismo x3+ax+ b=O
(a= p1/2, b= p2/4), una ecuación de tercer grado que tiene como mínimo un radical real Y
como máximo, tres. La naturaleza de los radicales depende de los parámetros a y b que
aparecen en el discriminante de la ecuación cúbica D=4a3+27 b2
• Se tiene: para D<O hay
tres radicales reales diferentes; para D>O hay un solo radical real y dos complejos
conjugados; para D=O vuelve a haber tres radicales reales (siª oh= O, dos de los radicales
reales son iguales, y si a=b=O, los tres radicales son iguales). Geométricamente, la situación
se interpreta fácilmente en el "'plano de control". Véase Nota final (3).
60 Véase P.T. Saunders, ibid, (cap. 2), para una visión más general.
165
En un excelente e ilustrativo trabajo Ivar Ekeland 61
, señala que la teoría de
catástrofes se separa del determinismo clásico como también del
indeterminismo cuántico, y expone que esa teoría sigue la idea de un
detei-minismo que rige los fenómenos vitales expresada por un sistema de
ecuaciones diferenciales, si bien hay que renunciar a la tarea (a veces
sobrehumana) de identificar las variables internas que intervienen en el
mismo y de explicitar las ecuaciones que describen aquel sistema.
Con el propósito de dar una mayor comodidad a la exposición, conviene
separar una teoría "restringida" de otra teoría "generalizada", de la que
solamente expondremos a continuación algunas consideraciones:
Uno de los problemas más interesantes y dificiles que se presentan en la
biología es el de la morfogénesis o comprensión del desarrollo (a la que ya
nos hemos referido con anterioridad), es decir, el proceso por el que un
huevo fertilizado se convierte primero en un embrión y después en un
organismo completamente formado; y un aspecto importante del desarrollo,
es la aparición de las distintas formas características del organismo y sus
partes constituyentes (recuérdese lo dicho en la Nota pie 37).
La teoría de las catástrofes puede contribuir al estudio de la morfogénesis,
estudiando las morfologías asociadas con las siete catástrofes elementales.
Ahora bien, la teoría elemental de catástrofes quizás no sea del todo
suficiente 62
• El mismo Thom considera que gran parte de lo que se observa
sólo puede ser descrito por lo que él llama catástrofes generalizadas, aún no
bien conocidas. La idea principal a la que apunta una catástrofe generalizada
es la de un atractor que hasta un cierto instante gobierna en exclusiva un
dominio D, dejando repentinamente de hacerlo, para ser reemplazado por
cierto número de atractores nuevos, cada uno de los cuales gobierna
únicamente una parte de D. No se podrá predecir lo que pueda ocurrir a
continuación, aunque si dependiera de la codimensión de las nuevas fases, el
dominio podría distribuirse en una especie de terrones, burbujas o en unas
bandas de filamentos 63
•
61 La théorie des catastrophes, La Recherche, 81 vol. 8, 745-754 (1977).
62 La teoría no-elemental de catástrofes incluye la teoría del caos; por ejemplo, el comien­zo
de la turbulencia puede algunas veces ser modelado por un salto catastrófico del
equilibrio al caos.
63 Un precioso ejemplo de esta imagen de catástrofe generalizada, puede apreciarse (con
ayuda de una fotografia de alta velocidad) cuando una gota alcanza o se introduce en la
superficie de un fluido. Véase P.T. Saunders, ibíd., p. 154, y para más detalles, el cap. 8.
166
5. La teoría de catástrofes "restringida".
La teoría de catástrofes (restringida) se concentra en el estudio de los
sistemas (S) de ecuaciones diferenciales del tipo:
dx¡/dt = F(xI ,x2 , ... ,x=, PI ,p2 , ... ,pr) (1 ~ i ~ n)
cuyo estado interior viene descrito por n variables internas (o de estado) xi,
x2, ... , Xn (supuestas a priori "ignoradas", la mayoría de las veces debido a
su inaccesibilidad a la experiencia, dado el generalmente elevado número de
ellas), y bajo el control de r parámetros independientes (o factores de
control) externos PI , p2 , ••. , Pr ( 1 ~ r ~ n) 64
•
Desde el punto de vista matemático, puede afirmarse que se trata del único
caso en que se podrán resolver las ecuaciones diferenciales que describen el
sistema. En esencia, la teoría de catástrofes elementales representa una
reducción de la teoría de singularidades a las funciones numéricas:.
La teoría de catástrofes (restringida) está basada en la existencia de un
potencial F(x1, ••• ,Xn, PI, ... ,pr) que por sí mismo rige el sistema considerado.
Las características de los modelos que son obtenidos mediante esta teoría
dependen sustancialmente del potencial F. Este potencial F representa un
germen de R" x Rr en R que es c:.o en el origen O y que constituye el
despliegue de un germen TJ de R:~- :-::: .. :\, :ro en el origen O. Lo que quiere
decir que F depende de las variables de estado o comportamiento xi, ... , x0
y de los parámetros o variables (factores de control) Pt.· .. , Pr, y además vale
F(x1, ... , Xn ; O, O, ... , O)= (x1 , ... , Xn ). En resumen, un despliegue no es
más que una familia de funciones reales de las variables de estado que
depende de r parámetros (variables de control).
La hipótesis de que las ecuaciones diferenciales del sistema dependan de un
potencial implica necesariamente que la "dinámica externa" que
reglamentan los parámetros sea lenta, y que la "dinámica interna" que
permite expresar las ecuaciones sea rápida; puesto que de ese modo, los
sistemas no se encontrarán nunca fuera de equilibrio, y la evolución será
suficientemente lenta para que en cada instante se recupere el estado de
equilibrio inicial. Aquí se considera que el potencial F permanece ignorando
las variables internas x 1 ,x2 , ••• ,x0 : la teoría de catástrofes "restringida"
postula simplemente su existencia, sin indagar explicitarlas.
64 Se deberá observar que no es necesario interpretar al conjunto de parámetros p¡, como
capaces de influir sobre (S) cualquiera que sea su estado, sino sólo porque a ellos se limita
el estudio, presuponiendo constantes a las otras.
167
El teorema fundamental de clasificación que estableció Thom no es fácil
desarrollar aquí sin utilizar el lenguaje de la topología diferencial. La prueba
rigurosa del teorema de Thom que efectuó J. Matter puede ser enunciada de
la manera siguiente 65
:
"Se suponer~ 4. El conjunto de los (r,F) es un abierto denso (o sea, su
clausura coincide con el espacio completo E(n+r), dotado de la topología
de Wh.itney). Además, a menos de la adición de una forma cuadrática no
degenerada y del producto por± 1, cualquier (r,F) resulta ser equivalente a
uno de los siete despliegues universales de las singularidades r¡
relacionados en la tabla que sigue (/.as x son las variables de estado y
P 1,p2,p3,p4 variables de control) " :
r
1
2
3
3
3
4
4
Singularidad l'l· Gérmenes: Despliegue universal
Se debe añadir que la teoría de catástrofes "restringida" es ante todo una
t:oría que modeliza la acción y reacción de un sistema, o sea, no es el
s~stema en sí (con sus variables y su potencial) lo que realmente interesa,
smo su excitación a reacciones exteriores definidas, descritas por cuatro
parái:iie~os como máximo; es decir, no aporta conocimiento alguno del
propio sistema, ni tampoco de los estímulos exteriores, sino de la respuesta
de algunos de ellos acerca de los otros; y aunque el conocimiento de alguno
no sea trasladable a otro, cabe inferir que, cualquiera que sea el sistema que
dependa de cuatro parámetros de variación continua, se puede saber cuáles
son las formas cuya composición permite reconstituir el conjunto de las
catástrofes 66
•
Desde el punto de vista fisico, el teorema de clasificación de Thom puede
interpretarse en el sentido de que a todo valor p1 , ••• ,pr que se imponga a los
parámetros externos, las variables internas reaccionan a su vez situándose
sobre un mínimo local de la función F(p1 , ... ,pr)· Los valores p1,p2, ... ,pr de
65
66
R. Thom, Para boles e catastrophes ( 1985), ibíd. (Notas), 16 7-1 79 ..
l. Ekeland, La theorie des catastrophes, ibid, Notas.
168
esos parámetros son reproducidos, según se dijo antes, por puntos P de un
espacio de n dimensiones. En cada uno de esos puntos, el potencial F(p1 ,p2,
... , Pr) puede presentar varios mínimos locales en (xi, X2, •.• ,xn), donde cada
uno de ellos representa un equilibrio estable. El sistema conduce así a la
consideración de puntos "catastróficos", que al ser franqueados por los
parámetros externos implica un salto en las variables internas y un cambio
de la morfología del sistema. El lugar de estos puntos es el "conjunto de
catástrofes" y lo que vamos a tratar precisamente, es la geometría de ese
conjunto 67
.
El concepto de potencial está relacionado con el de equilibrio (si el sistema
se encuentra en equilibrio, el potencial está al mínimo). Hay diversos tipos
de equilibrio: inestable, semiestable y estable. Una gran cantidad de
sistemas se rigen por una tendencia a buscar un mínimo de energía
potencial, si bien la energía suele ser de diversos tipos. Un ejemplo típico de
un sistema fisico es la tendencia de una pelota a rodar cuesta abajo (por
ejemplo, desde la cuesta o colina de un monte). Mientras la pelota rueda en
la base al pie de la cuesta, el potencial está al mínimo y el sistema fisico se
halla en equilibrio. Si se coloca la pelota en equilibrio en la cima de una
colina y se le da un ligero empujón, se la echará a rodar cuesta abajo: está en
equilibrio inestable. Si la pelota se encuentra sobre un reborde estrecho, un
empujón en una dirección la dejará allí, pero un empujón en la otra
dirección la enviará por encima de él: está en equilibrio semiestable. Si se
encuentra en el fondo de un valle, ofrece resistencia al empujón en cualquier
dirección: está en equilibrio estable. Obsérvese, como ejemplo, la curva de
la figura 1 adjunta, la cual da una imagen gráfica del potencial y el
67 Una categoría especial de sistemas dinámicos es el de los sistemas "disipativos", con
una dinámica simple en la que todo movimiento se atenúa con el tiempo y tiende a una
posición de reposo (llamada de "equilibrio"). Su ejemplo más familiar es la del péndulo
amortiguado, en Ja que cualquier movimiento se reduce a una posición de equilibrio estable
(posición vertical). El modelo matemático de Jos sistemas se presenta bajo la forma de un
potencial que, en general, rige Ja evolución de una multitud de variables (internas) que
intervienen en el potencial. Paras tratar el exterior del sistema se supone que éste depende
de un cierto número de parámetros exteriores (externos) que. para abreviar, trataremos con
dos de ellos. Puesto que los valores de estos dos parámetros intervienen en la expresión del
potencial, si se modifican lo hace también el potencial y, por consiguiente, se desplazan los
equilibrios. Se puede añadir que lo que se denominará catástrofe para un sistema disipativo
general, es: la desaparición de un equilibrio estable y el establecimiento de algún otro,
consecutivos a una modificación continua del potencial (Véase l. Ekeland, Le Ca/cu/,
/'imprévu, Éditions du Seuil. París. J 984; ( obra traducida al inglés Mathematics and
Unexpected, The University of Chicago Press, Chicago and London, 1988), cap. 3).
169
equilibrio. El eje Y representa los niveles de un potencial (que aparece como
"altura" y es equivalente a un potencial gravitatorio) y el eje X interpreta
una condición que puede asimilarse a "distancia", cuyo valor determina el
valor del potencial. Supuesta colocada una pelota en cualquier punto de la
curva, en todos los sitios salvo en cuatro, la pelota empieza a rodar
inmediatamente.
y
Punto de inflexión
Singularidades cle una curva
Fig. 1
X
Salto
o catástrofe
Catástrofe simple: Cambio repentino en la energía potencial
Fig. 2
En esos cuatro sitios la curva no tiene ni pendiente ascendent~ ni
descendente: son puntos de equilibrio. Uno es un "reborde", otro es una
"cima" y los dos del fondo son "valles". Sólo los dos mínimos son puntos de
equilibrio estable, el punto de inflexión es semiestable y el máximo local es
inestable.
El antes enunciado teorema de clasificación, expresa en dimensión 3 (tres
parámetros externos o factores de control), la existencia de cinco conjuntos
de catástrofes elementales. A cada uno de el los está asociado un sistema
descrito por un pot'Íncial de una (casos (1 ),(2),(3 )) o de dos variables
internas (casos (5),(6)). La extensión a cuatro parámetros implica la
introducción de dos formas nuevas (casos (4),(7)), en las que resulta mucho
más dificil su representación, puesto que se pasa a dimensión 4 68
.
La nomenclatura acuñada por Thom para las catástrofes elementales es la
siguiente: (1) el pliegue (pli), (2) la cúspide (fronce/9
, (3) la cola de milano
68 A. Woodcock y M. Davis, ibíd., cap. 3; l. Ekeland, La theorie des catastrophes,
ibíd.,pp. 748 y sigs.
69 La traducción literal pliegue del francés "pli", parece más adecuada que la también
usada del inglés "doblez"; la nomenclatura inglesa de cúspide basada en la geometría del
170
(queue d'aronde), (4) la mariposa (papillon), y las umbilicales (5)
hiperbólica (hiperbolique), ( 6) elíptica (elliptique) y (7) parabólica
(parabolique); las denominaciones de las cuatro primeras vienen sugeridas
por los rasgos visuales de las gráficas que las describen, y las tres restantes
(dificiles de visualizar) 11evan nombres matemáticos. De la geometría de
estas catástrofes elementales nos ocuparemos luego.
Hay que anticipar ahora un esbozo de ciertas concepciones (o bien, leyes) de
interés en las aplicaciones que se deben tener en cuenta. Ya dijimos
anteriormente al hablar del conjunto de bifurcación, que para cada uno de
los puntos del espacio de r dimensiones representados por el conjunto de
los valores de los parámetros externos p1 •••• , Pr, el potencial F(p., ... ,pr)
podría presentar varios mínimos locales en (x 1., ••• ,xn), y que cada uno de
ellos representa un equilibrio estable. La teoría de catástrofes permite saber
cuántos equilibrios estables existen para una elección dada de los
parámetros de control, aunque no nos dice cuál de ellos encontraremos en el
sistema. El criterio que determina cuál de los equilibrios posibles se elige, se
ajusta en general, a dos reglas conocidas como "'regla del retraso" y "regla
de Maxwell". El modelo del sistema que no contiene más que una variable
interna x y un parámetro externo p, donde la conducta ~depende de la
excitación de Q, permite comprender una buena parte de las premisas de la
teoría de las catástrofes. Los sistemas que se mantienen en la rama de la
superficie de equilibrio en que se encuentran hasta que desaparece.
obedecen a la regla del retraso. El modelo hidráulico en una sola dimensión
es su mejor ejemplo. Otros sistemas en que la variable interna se desplaza
en cada instante sobre un mínimo global del potencial siguen la regla de
Maxwell, que aparece en la termodinámica clásica debido a que el proceso
se rige por las leyes de la mecánica estadística.
Las figuras que seguidamente se adjuntan, al igual que algunos párrafos de
sus leyendas, han sido reproducidas del citado artículo de Ivar Ekeland, La
theorie des catastrophes, Revista La Recherche ). Resúmenes de ciertas
consideraciones expuestas en la misma, han sido también recogidos.
conjunto de bifurcación, para la locución francesa ••fronce··. encaja mejor para esta
singularidad (P.T. Saunders, ibid, Nota pie, p. 61 ).
171
Fig.1 ( l) El pliegue está asociado a
un potencial de la forma
Fp = x3 + P1 x
Su corrango es uno y uno la
codimensión.
Es la más simple de las
catástrofes elementales, tiene
un eje de control y un eje de
conducta y es, por tanto,
bidimensional. El conjunto de
catástrofes es el plano p1=0.
El comportamiento de Fp a un
lado y otro de este plano se
indica en la figura. El gráfico
de la catástrofe en pliegue representa la conducta de todos los sistemas que
son dependientes de un parámetro de control solamente.
Fig.2
P,
o
P,
P, P,
(2) La cúspide está asociada a
un potencial de la forma
4 2 Fp(x)= x - p1x -p2 x
Tiene corrango uno y
codimensión dos.
(2A) Cúspide en dos dimen­siones.
Aplicando la regla del
retraso, se representan sobre
un mismo dibujo los valores
(p1 ,p2)de los parámetros y la respuesta x del sistema.
(2B) Cúspide en tres dimen­siones:
Se completa introduciendo el tercer parámetro p3 , de hecho
inoperante.
La catástrofe en cúspide ocurre en sistemas cuya conducta depende de dos
parámetros de control. Su gráfico es tridimensional, una superficie curva
con un pliegue. Cada punto de la superficie representa un estado de
equi librio. Todos los puntos de la cara inferior del pliegue son máximos
inestables y todos los situados a lo largo de la línea de pliegue son puntos de
inflexión semiestables; el resto de puntos son mínimos inestables.
172
Fig.3 p p 1 - EZB
J .,,.
- - · ! . - ---=-· I
... . J
(3) La cola de milano se
asocia a un potencial del tipo:
Fp(x)= x5 +p1x3+p2x2+p3x
Su corrango es uno y la
codimensión tres. El
comportamiento de la función
Fp se ha presentado en cada
una de las tres regiones
delimitadas por el conjunto de
catástro fes, trazado según la
regla del retraso.
La catástrofe en cola de milano puede usarse como modelo de procesos para
sistemas en los que la conducta (un eje) depende de tres factores de
control. Su gráfico tetradimensional no es especialmente útil como modelo
cualitativo (al no existir ningún estado estable).
La conexión existente entre las series de Taylor y la de las catástrofes es
muy sorprendente para el de las umbílicas (en el caso real,las umbílicas
elíptica e hiperbólica exhiben una geometría drásticamente diferente, si bien
no ocurre igual en el caso comple jo).
Fig. 4
173
(4) La umbílica hiperbólica es
la que corresponde a un
potenc ial de la forma
Fp(X1,X2)=
X 13+x23+p¡ X 1X2+p 1x2+p2X l
Su corrango es dos. Espacio de
control tridimensiona l.
Tiene dos ejes de conducta
Partes de los ejes p2 y p3 están
trazadas sobre la superficie.
El gráfico de esta catástrofe es
de cinco dimensiones.
Fig. 5
----
(5) La umbilica elíptica está
asociada a un potencial del tipo
F p(X ¡ ,X2)=x 13 /3-
? ? ? X1X2-+p¡(x1-+x2-)- p¡X¡-p2X2
Tiene dos ejes de conducta.
Es de corrango dos. Espacio de
control tridimensional.
Su gráfico es de cmco
dimensiones.
(6) La mariposa, de potencial
6 4 3 ? Fμ(x)=x +p1x +p2x +p3x-+p4X
Es de corrango uno y tiene de
codimensión cuatro.
Esta catástrofe depende de
cuatro parámetros de control y
su gráfico es pentadimensional.
No pue.de dibujarse el conjunto
de bifurcación. Una imagen
tridimensionalpodría representar
lo que puede llamarse la sombra de una sección transversal. Manteniendo
constante un factor de control se obtienen dos imágenes de ese tipo, que
permiten que otro tome dos valores fijos diferentes. El modelo de la
mariposa presenta una amplia gama de conductas simi lares a las de la
cúspide.
El despliegue puede ser tratado por la misma vía que los anteriores, pero se
requiere definir una descomposición del espacio R4 cuyas coordenadas son
Jos términos cuadrático, cúbico, cuártico y quíntico de las series de Taylor.
174
Fig. 7
-·-- ---¡
./
(7) La umbílica parabólica, está
asociada a un potencial de la forma
F( ) 2 4 2 2
p X1,X2 =x¡ x 2+x2 +p¡X¡ +p2X2 + p 3X¡+
p4X2
Su corrango es dos.
Tiene cuatro parámetros de control y
dos ejes de conducta, por lo que el
gráfico de esta catástrofe es de seis
dimensiones.
Esta catástrofe es muy complicada de manejar. Requiere una interpretación
cuidadosa, y dramatiza el papel de "umbílico" como transición entre las
otras catástrofes elíptica e hiperbólica.
Puesto que los gráficos de las tres catástrofes umbílicas elíptica, hiperbólica
y parabólica tienen dos ejes de conducta en vez de uno, resulta que una
transición catastrófica debe imaginarse, nó como el salto de un punto a lo
largo de una línea recta (como en el caso de la cúspide), sino como una línea
saltando en un plano (para más infonnación, véase T. Poston & I.N.
Stewart, ibid.).
Se pueden estudiar las formas complejas de los gráficos de las catástrofes
umbilicales, programando un ordenador de modo que dibuje proyecciones
planas de ellas para diversas combinaciones de valores de los parámetros de
control. Como con los demás modelos, la catástrofe ocurre en los modelos
umbilicales cada vez que el sistema abandona la superficie. Las tres figuras
siguientes están reproducidas de la obra Woodcock y Davis, ibíd., págs. 74
y 75):
6. Observaciones.
Cada unl¡l de las catástrofes elementales representa una línea de
comportamiento determinada sólo por el número de factores de control, no
por su naturaleza ni por los mecanismos interiores que los conectan al
175
comportamiento del sistema. Por tanto, las catástrofes elementales pueden
ser modelos de una amplia variedad de procesos, incluso aquéllos de los que
sabemos poco de las leyes cuantitativas implicadas. El número de
configuraciones cualitativamente diferentes de las discontinuidades,
depende no del número de variables de estado, sino del número en general
pequeño, de las variables o parámetros de control, el cual se elige igual o
menor que cuatro, que posibilita sólo siete tipos diferentes de catástrofes. En
toda curva o superficie determinada por diferentes condiciones conforme a
una amplia variedad de relaciones matemáticas, lo que sólo interesa saber es
su forma cualitativa, la cual cambia sólo cuando se crea o se destruye un
punto de equilibrio. Para cada una de las gráficas de las familias se requiere
un nuevo gráfico que tenga una dimensión, o eje, para cada/actor de control
que determine el comportamiento del sistema. Debe tener además, un eje o
dos adicionales que representen el comportamiento en sí.
Después de explorar a fondo la relación de las singularidades topológicas
con los puntos críticos del cálculo, Thom intuyó cómo se "desdoblarían" las
primeras en disposiciones de los últimos, imponiéndoles una estructura (la
disposición de máximos y mínimos de un proceso) lo que equivalía a
conocer su comportamiento cualitativo. Dedujo entonces que los cimientos
de la teoría que elaboraba requería de modelos topológicos estables, para
retener su estructura cualitativa ante posibles variaciones cuantitativas
pequeñas. De este modo, en los casos generales, los puntos de equilibrio
podían representarse como desdoblamiento de las singularidades
topológicas. Para situar los puntos de equilibrio y determinar su estabilidad,
predecir donde y en qué condiciones aparecerán las discontinuidades, cabe
reemplazar el potencial por un polinomio con los mismos puntos críticos.
Además, el tipo cualitativo de cualquier discontinuidad estable nó depende
de la naturaleza específica del potencial implicado, sino simplemente de su
existencia; ni depende tampoco de las condiciones específicas que regulan
el comportamiento, sino de su número. En definitiva, para una amplia gama
de situaciones (flsicas, biológicas e incluso psicológicas), existe un
potencial y una posible discontinuidad, indicando el teorema de
clasificación que sólo hay siete maneras fundamentalmente diferentes de
que eso ocurra 70
•
70 Se han sintetizado algunos párrafos significativos de la obra de A. Woodcock y M.
Davis, La teoría de catástrofes, ibid. Para detalles, y una descripción técnica completa de
la geometría de las siete catástrofes elementales, consúltese la obra de T. Poston & l.N.
Stewart, ibid., cap. 9.
176
l
7. La controversia.
La aparición en 1972 del libro de Thom. Stabilité structurelle et
morphogenese con un título muy poco atractivo propulsó la teoría de
catástrofes que, como ya hemos señalado con anterioridad. fue uno de los
mayores acontecimientos científicos que ocurrieron en las décadas de los
1970 y 1980, acaparando de inmediato las primeras páginas de las revistas
internacionales ilustradas más leídas. Contenía un prefacio de Waddington
quien lo comentaba como "'una contribución muy importante a la filosofia
de la ciencia y en particular, a la biología teórica". Un número considerable
de personas quedaron contagiadas por las ideas de la teoría de catástrofes y
se originaron controversias, unos defensores y otros detractores de la
misma. Al principio. la reputación adquirida por René Thom. antes
comentada, sobre terrenos más técnicos como la teoría del cobordismo y la
topología diferencial y la obtención de la medalla Fields en el año 1958. no
pareció ser tenida muy en cuenta en muchos ámbitos. Ya hemos anticipado
que la teoría estudia singularidades .. y cambios bruscos de cualquier fonna y
especie, en la dinámica de muchos sistemas no lineales. Thom había
descrito su teoría como un arte o '"teoría general de modelos··. una forma de
generar y clasificar analogías en el seno de las áreas científicas de modo
interdisciplinario. En la presentación de su obra se dirigía a los biólogos.
más bien que a los matemáticos, fisicos. químicos e ingenieros., resaltando
que los modelos de la teoría de las catástrofes eran inherentemente
cualitativos y sugerían nuevos tipos de experimentos. Cabría afiadir aquí que
con su ya afamada frase para describir los fenómenos del mundo exterior.
afirmando que "a toda exploración científica se le plantea el dilema de
magia o geometría", Thom quiso ampliar la intuición de forma. ofreciendo
como respuesta al dilema el recurso a la topología (una sutil descendiente de
la geometría), un campo especializado que se ocupa de todas las formas
(concebibles) abstractas y multidimensionales, que combina esas fomrns con
elementos del cálculo para tratar cuestiones de estabilidad y transfonnación.
Al asumir la premisa de que los cambios de forma (tanto en los procesos
como en los objetos) son reales, pudo identificar el objetivo de la ciencia
con la incesante creación, evolución y destrucción de formas del universo. A
causa de su fundamento en la topología se propuso así que su obra de las
catástrofes hubiese de ser cualitativa y no cuantitativa. y que por el hecho de
serlo, proporciona resultados cual ita ti vos 71
•
71 Por otra parte, en ciertas áreas científicas. como por ejemplo la biología. que posee
una gran riqueza de datos cualitativos, la teoría matemática no ha conseguido asentarse del
todo. Casi todas las matemáticas que utilizaron los biólogos. incluso en los casos
177
Un alto contenido filosófico de su presentación de la teoría de catástrofes
desvió un tanto la atención, oscureciendo los brillantes resultados de Thom
en la teoría de singularidades y en especial, su extraordinario teorema de
clasificación, que seguía la iniciativa propugnada por Poincaré para
desarrollar una teoría cualitativa de los sistemas dinámicos 72
•
De todos modos, la presentación de la obra hizo que el trabajo de Thom
resultara incomprensible e inaccesible para algunos que se estaban
beneficiando directamente en problemas puntuales de los contenidos de
aquella y que no llegaron a profundizar en su desarrollo. Por otra parte
también, quizás un optimismo exagerado con su planteamiento de las cosas,
llevaron a algunos entusiastas de la teoría topológica de Thom a
extrapolaciones que, a la larga, fueron contraproducentes para su desarrollo.
Siguieron rápidamente otras oportunidades para la extensión de la teoría. El
matemático E. Christopher Zeeman de la Universidad de Warwick, se
convirtió en el mayor portavoz que divulgó la teoría de catástrofes. Intuyó
claramente que la teoría de modelos podría ser un instrumento de trabajo
sumamente útil en muchas disciplinas no muy desarrolladas en
infraestructura matemática. Su énfasis principal fue la localización de las
catástrofes elementales en la modelización de los fenómenos discontinuos.
Las publicaciones de Zeeman estuvieron dirigidas a una amplia audiencia de
matemáticos y no matemáticos por lo que solía evitar el uso de la
terminología matemática tanto como le fuera posible. Casi paralelamente a
la aparición de la obra de Thom en inglés, aplicó dicha teoría a una multitud
de materias de las ciencias biológicas y sociales 73
, desde los latidos de
especiales, proporcionan resultados cuantitativos. Los éxitos de la física fueron tan grandes
que muchas personas aún mantienen que otras disciplinas sólo son científicas, en la medida
en que siguen la pauta marcada hace unos tres siglos por Newton, debiendo encajarse todas
las piezas sueltas del pensamiento cualitativo. "Toda ciencia es, o fisica o coleccionismo de
sellos", dijo el experimentador atómico lord Rutherford a sus alumnos a principios del siglo
XX. Lo cualitativo no es sino deficientemente cuantitativo". Pero, en realidad existen
circunstancias en las que lo cuantitativo es simplemente una mala aproximación de lo
cualitativo. Es presumible, como ya se han planteado algunos científicos, que ¿no sería
mejor darle la vuelta en biología, a la afirmación de Rutherford?.
72 Después de introducir el concepto de "transversalidad" en su discusión de la estabilidad
estructural, Thom la utilizó para describir las formas canónicas de una clase de
singularidades de aplicaciones f: R"--+R1 (funciones) que luego llamaría "catástrofes".
Thom reiteró en algunas ocasiones que, en su opinión, la teoría de singularidades es una
parte de la teoría de las catástrofes.
73 Una de las primeras ilustraciones de Zeeman se refiere al comportamiento de un perro
bajo tensión. Los dos factores que tienen una influencia mayor en la agresividad de los
perros son el furor y el miedo. El nivel de agresividad crece con un aumento de furor
exclusivamente y decrece con un aumento de miedo exclusivamente. Ahora bien. ¿cuál es
el efecto de un aumento simultáneo de ambos factores? Se observan características típicas
178
corazón hasta los motines en las prisiones (precisamente, el modelo de estos
últimos provocó el primer estallido de la controversia), originando tantos
críticos como partidarios. Por todo ello, la mayor parte y fondo de la
controversia creada se refiere a las aplicaciones de la teoría de catástrofes,
que se concentró principalmente en Zeeman, y nó a la veracidad de los
teoremas demostrados en los que se basa la teoría.
No hubo dudas sobre la creciente divergencia entre las concepciones de
Thom y de Zeeman (al principio gran defensor de Thom), respecto al modo
de usar la teoría de las catástrofes, si bien ello no disminuyó la amistad
entrambos, ni el respeto que se tenían el uno al otro. La obra de Thom se
había presentado como una investigación pura de la topología diferencial,
con capacidad para aplicarse a la biología y otras disciplinas, pero desde
luego, se tendría que indagar el sentido de la matemática sin reducirla a un
mero lenguaje formal - forma pura - ni convertirla en una matemática
aplicada predispuesta a degradar cualquier sistema a la que se asociara. El
proyecto exigía una filosofía que permitiera encontrar el sentido de las
cosas, en tanto en cuanto se trata de formas, morfologías. Como teoría
científica, Thom extendió la aplicación de las matemáticas a las formas o
morfologías del mundo, con el fin de comprenderlo, de encontrar su sentido.
Hubo ante todo un debate fuerte entre Zeeman y Thom respecto al real y
adecuado significado de las catástrofes, que no sólo se polarizó en el origen
del concepto, sino en la propia extensión y sentido de la teoría. El paso de la
matemática pura al de las aplicaciones fue tan rápido en las manos de
Zeeman , que dio lugar a una fuerte reacción negativa. Los portavoces más
significativos de esta reacción fueron el matemático argentino Héctor J.
Sussmann (de Rutgers) y R.S. Zahler (de Yale)74
, que se inició sobre todo
por un artículo de 197 5 del primero de ellos, bien informado y expuesto con
claridad, en el que manifiesta: "el autor (Thom) no adopta posición alguna
sobre si la teoría de catástrofes tiene realmente aplicaciones importantes".
También S. Smale toma una posición crítica tajante: "La teoría de
catástrofes tiene más de filosofia que de matemáticas". Ciertamente, a
medida que pasó el tiempo Thom llegó a ser (lo que se aprecia claramente
de la catástrofe en cúspide: las variables de control son el furor y el miedo, y la variable de
estado es el comportamiento. Debe observarse que cuando dos variables de control están en
conflicto (o sea, el aumento de una de ellas tiene el efecto opuesto en la otra), los ejes no
coinciden con los ejes p1 y p2 de la cúspide canónica. El ejemplo de Zeeman resultó ser más
útil como ilustración. que como contribución científica (Véase un esquema en P.T.
Saunders, ibíd., cap. 1 ).
74 Según estos autores, •· la filosofta de Thom era una nueva versión del idealismo
matemático de Pitágoras y Platón, que situó a la geometría en un plano más elevado que
nuestras imperfectas y cambiantes percepciones de la naturaleza".
179
en la década de los 1990) más filósofo que matemático. Ya en varias
ocasiones tuvo que afirmar que su teoría de catástrofes no debía ser
examinada como una teoría científica, lo que sembró de mayor dificultad
evaluar sus ideas en los términos usuales de los matemáticos. Por otra parte,
John Guckenheimer (quien quizás fuera el mejor crítico y con mayor
información del modo en que se presentó la teoría de catástrofes), un
experto en teoría dinámica y topología, aunque tenía sus reservas acerca de
las aplicaciones, advertía también "que la teoría de catástrofes no se trataba
de una obra matemática y que sería un error aplicarle criterios técnicos en
cuanto a las demostraciones rigurosas, puesto que esa no era la pretensión
de Thom". Desde luego, nadie discute el gran papel del trabajo de Thom
sobre la teoría de singularidades (cuyo supremo avance fue debido a
Whitney, Mather, Malgrange, Amold y el propio Thom), pero evaluar la
teoría de catástrofes como filosofia, es una cuestión bien distinta. Según J.
Guckenheimer 75
, los modelos de Zeeman, especialmente en las ciencias
sociales y para la propagación de impulsos nerviosos, suministran cierto tipo
de ilustraciones y crean algunos escepticismos, hasta el punto de que
Sussman y Zahler aprovechan la oportunidad para analizar y criticar con
dureza artículos de aquel, en cuanto a predicciones, razonamientos
incorrectos en algunos modelos, y otros pormenores (Synthese 1978, 117-
216). No obstante, las críticas de estos últimos, en general no han sido
universalmente aceptadas. De todos modos, la teoría de catástrofes no va a
depender en el futuro de los argumentos a favor o en contra, sino en lo útil
que resulte; incuestionablemente es una teoría ambiciosa y sus promesas , '
aun mayores que sus logros.
Cuando la polémica, ya a finales de los años setenta, se apaciguó, los
ánimos se calmaron y las acritudes se transformaron en juicios más
razonables y positivos. En las páginas de algunas revistas internacionales
entre ellas Nature (270, 381-384, Dic. 1977), apareció uno de los primeros
resultados de esa reacción, que fue la de retrasar unos años la aceptación de
la teoría de catástrofes y considerarla como un instrumento útil de trabajo
para científicos e ingenieros. Siguieron, desde luego, existiendo cuestiones y
problemas de importancia relativos a la teoría, lo que de ningún modo fuera
óbice para que ésta continuara su desarrollo y se la reconociera como avance
científico trascendental.
75 The catastrophe controversy, Math. Intelligencer, 1, 15-20 ( 1978).
180
Por último, no es intención nuestra a partir de aquí, la de examinar la
polémica de los pros y los contras de la teoría de catástrofes, si bien
añadiremos seguidamente sólo algunas acotaciones puntuales.
La controversia ha sido tratada en diversos artículos y obras, en particular
las siguientes ya citadas en este trabajo: A. Woodcock y M. Davis, ibid
(cap. 4), l. Ekeland, Le ca/cu/, /'imprevu, ibid (cap. 3) (y también en la
Recherche, ibid), J. Guckenheimer (ibid), T. Poston and l.N. Stewart, ibid
(cap. 18), además de en R. Gil more, Catastrophe theory for scientists and
engineers, Dover Public. Inc., New Cork ( 1984), Epilogue, 643-646), entre
otros 76
•
La división algo arbitraria entre las matemáticas puras y las aplicadas
también jugó un papel en la controversia. El matemático aplicado no está
acostumbrado a que le pasen a veces por encima 77
•
La teoría de catástrofes se puede aplicar en ocasiones con éxito, tanto para
las ciencias "duras" (física, química, ingeniería) como para las "blandas".
Las primeras son las más beneficiadas con la teoría, sobretodo como
instrumento para descubrir consecuencias de modelos matemáticos con
hipótesis ya establecidas, pero con implicaciones aún en exploración. Es
posible que para muchos lectores, mayormente para los no especializados
que estudian sistemas diversos en las aplicaciones, no se sientan cómodos
con la teoría de catástrofes, ya que a menudo suele sólo proporcionar una
descripción del sistema y no una explicación. Precisamente, este ha sido uno
de los puntos principales de incidencia en la gran parte de las polémicas que
se suscitaron y rodearon a la teoría de catástrofes.
Existe un número de hechos que pueden ocurrir en los sistemas fisicos que
sugieren la presencia de una catástrofe. El reconocimiento de la presencia y
tipo de catástrofe, es frecuentemente un importante potencial para la
76 Las obras referenciadas representan, por otra parte, excelentes introducciones a la
teoría de las catástrofes. En la de Poston y Stewart, se realiza en lenguaje más técnico
dirigido a investigadores y lectores con mayor conocimiento matemático, un estudio
completo de la teoría, incluyéndose una extensa lista de aplicaciones. En lenguaje más
asequible y claro para el lector menos preparado, la de R. Gilmore.
77 En una reunión celebrada en Bellaggio (Italia), para reforzar su opinión en lo que
estaba tratando en su intervención, Zeeman contó: El matemático aplicado dice al
matemático puro, "usted no sabe las suficientes matemáticas para saber cómo es el mundo
real, ni para ver la cantidad de defectos que tiene". Ambos son conscientes de que hasta
incluso el significado de la palabra "catástrofe", se pierde en las explicaciones no técnicas
de la teoría (A. Woodcock y M. Davis, ibid, p. 91 ).
181
descripción peculiar apropiada de un sistema fisico (véase R. Gilmore, ibid,
cap. 9).
La teoría de catástrofes posee la fuerte ventaja de garantizar que las
conclusiones derivadas de la teoría sean "estructuralmente estables", lo que
no siempre sucede en otros métodos (por ejemplo, las ecuaciones de Lotka­Volterra
son estructuralmente inestables). Además, como se trata de una
teoría topológica, proporciona resultados cualitativos. Por supuesto, no es la
única que tiene esta propiedad, ni la única tampoco que estudia
singularidades.
La teoría de catástrofes habrá de ser durante bastante tiempo un fundamental
método para describir la influencia de parámetros exteriores sobre los
sistemas dinámicos; pese a que resulte restrictiva, ya que no se aplica más
que a los sistemas disipativos (e incluso bajo ciertas condiciones). Ahora
bien, el proyecto de Thom, más que científico era metafisico, y el postulado
central de su metafisica es que a todo objeto natural se encuentra asociado
una cierta dinámica, y la forma bajo la cual aparece al observador, no es otra
que una frontera de catástrofes anexa a este sistema, cuyo objeto natural
ocupa el espacio de los parámetros.
Queda un último punto a subrayar (del que se hace una breve referencia): el
papel del tiempo. En realidad, el matemático se puede contentar afirmando
que el tiempo es simplemente el cuarto parámetro ! constante, siendo los
otr~s tres las coordenadas del espacio, y al referirse a la teoría de catástrofes
dectr que se despliegan en un espacio de cuatro dimensiones. Lo que
o~serva el fisico o el biólogo, no es una catástrofe en ese espacio-tiempo,
sm? sus secciones con ! constante, lo que no representa la magnífica
catastrofe de cuatro dimensiones sino una sucesión temporal de catástrofes
tridimensionales. '
¿Si no seguimos a Thom sobre el terreno metafisico, qué queda de la teoría
de catástrofes? (1. Ekeland, Le calcul, l 'imprevu, ibid, pp. 124 y sigs. ).
~i se tuvieran que enmarcar escrupulosamente los métodos matemáticos que
incrementan en grado sumo nuestro saber científico, no seríamos capaces de
apartar del cuadro a la teoría de catástrofes.
Notas finales.
(l) Dado un potencial V , se define su superficie (regular) de equilibrio M
por la ecuación V x V = O , donde el subíndice x indica que el gradiente se
toma con respecto a las variables de estado solamente. Esta superficie M
182
está formada por todos los puntos críticos de V, es decir, todos los
equilibrios (estables o no) del sistema. El conjunto de singularidades S,
viene definido como el subconjunto de M constituido por todos los puntos
críticos degenerados de V, los cuales son los puntos en los que V x V = O , y
también Li = det{H(V)}= O, donde H(V) representa la matriz hessiana de V,
o sea, la matriz de las derivadas parciales de segundo orden. Si se proyecta
S sobre el espacio de control C (eliminando las variables de estado de las
ecuaciones que lo definen), se obtiene el conjunto de bifurcación, conjunto
de todos los puntos de C en los que se producen cambios en la forma de V
(obsérvese que se puede determinar la forma de V en todo punto de C).
(2) Ante todo debemos indicar que no se pierde generalidad en lo que se
está tratando, definiendo los difeom01:fismos 78en términos de polinomios.
Así, se evita repetir una y otra vez, que se pueden despreciar términos de
orden superior , al referimos "a la serie de Taylor formal de una función f
truncada tras el término de grado k, como el desarrollo de grado k de f ",
que denotaremos /(t) (en topología diferencial se expresa k-jet). Por
ejemplo: j3{sen x)= x- x3
•
Recuérdese que en matemática aplicada o en fisica, para aproximar una
función analítica regular f: R ~ R en un entorno de un punto x0 (el cual,
como es sabido y para abreviar, se supone en principio, sea el origen O), se
define su serie formal de potencias al truncar esta serie en el grado k para
dar lugar a la k-jet, esto es: / f(x) = l/r! tr>(O), la cual es apta para
representar funciones polinómicas /(t):R~R converja o nó la serie de
Taylor. Se dice que una función f está k-determinada, si cualquier otra
función con el mismo desarrollo de grado k, es del "mismo tipo".
Lo expresado es generalizable a toda función regular f:R"~R".
En general, para poder maniobrar con jets se llevan a cabo operaciones
algebraicas truncadas y se hace uso de técnicas de cambios de coordenadas,
siendo además importante restringir el tipo de cambio para que la
información que interese no sea destruida. Por ello, los cambios deben ser
regulares y reversibles, para lo cual el término técnico requerido es
precisamente es el de difeomorfismo.
El hecho de mayor importancia en las aplicaciones fisicas y matemáticas es
el de la clasificación de puntos críticos. Un lema debido a M. Morse
clasifica los puntos críticos para cualquier número de variables, pudiendo
78 Un difeomorfismo es una transformación con derivada continua e inyectiva. Cuando
haya lugar, será necesario presuponer que "dos catástrofes son equivalentes, si una puede
transformarse en la otra mediante un difeomorfismo de las variables de control seguido de
un difeomorfismo de las variables de estado por cada punto del espacio de control".
183
desarrollarse dicho lema para puntos críticos ''nasty" en el caso de una sola
variable. Mediante una generalización de la prueba del lema de Morse se ha
logrado obtener un extraordinario resultado denominado lema splitting el
cual, si se cumplen ciertas circunstancias, permite la reducción del número
de variables de determinados problemas.
Los puntos críticos de Morse tienen una notable propiedad de estabilidad
que, intuitivamente, puede ser identificada como conservación del tipo ante
la acción de pequeñas perturbaciones. Aunque esta propiedad puede
constatarse algebraicamente, llega a ser más clarificadora si se reformula
como una propiedad de transversalidad geométrica. Esto conduce a una
visión geométrica que explota argumentos de transversalidad.
El lema de Morse permite asimismo, con el uso de cambios de coordenadas,
reducir funciones a formas más simples de las mismas. En particular, en el
entorno de un punto crítico no degenerado, una función f:R"~R puede,
mediante un cambio de coordenadas adecuado, ponerse en forma standard
simple.
En el caso más simple de una función regular f:R~R, tal que f(O}= f(O)=
f '(O)= ... = f<k-t)(O) = O, pero f<k>(O) distinta de cero, existe un cambio local
regular de coordenadas, en virtud del cual f adquiere la forma:
xk (k impar)
±xk (k par) ,
el último de los cuales tiene el signo de f<k>(O).
La antes anunciada generalización del lema de Morse que dio lugar al lema
splitting de mayor alcance, afirma explícitamente, que el comportamiento de
una función regular f:R"-+R en el entorno de un punto crítico degenerado
cuyo hessiano tiene rango r (y corrango n-r), puede determinarse estudiando
una función que incluye un número de variables igual al corrango del
hessiano. Esto quiere decir que, por ejemplo, un punto crítico de una
función de 2017 variables, de corrango tres, requiere solamente estudiar una
función de tres variables. Esa reducción a un pequeño número de variables,
es lo que hace sumamente útil al lema splitting (para más detalles sobre ésta
Y otras cuestiones, puede consultarse T. Poston y l.A. Stewart, Catastrophe
Theory and its Applications, ibid, especialmente los capítulos 3, 4, 6, 8 y 9).
(3) Haciendo un esquema de la superficie 4x3+ 2p1 x +p2 =O , se tiene el
conjunto de valores de equilibrio de (x,p1,p2) par.a el sistema considerado 79
•
Si el estado del sistema viene representado por un punto en el espacio (de
79 La primera de las figuras adjuntas se ha reproducido de P.T. Saunders, Una
introducción a la teoría de catástrofes, ibíd., p.14; la segunda, de R. Thom, Paraboles et
catastrophes, ibíd., p. 77.
184
fase) tridimensional con x.p1 .p2 como coordenadas, el punto (jase) tiene que
caer s iempre en la superficie. De hecho. debe encontrarse s iempre, sea en la
hoja superior o en la infe rior. ya q ue la hoja intermedia corresponde a
equi librios inestables. La s ituación del punto P está representada por un
punto del plano (p1 ,p2) (plano de contro l). A 1 cambiar de \·a lor las variables
p1, p2 , este punto describe un camino que se llama .. trayectoria de control'".
Al mismo tiempo , el punto se mueve a lo largo de una trayectoria e n la
superficie de equilibrio, directamente por e ncima de la trayectoria de
control.
La superficie de equilibrio y el conjunto de
bifurcación de la catástrofe en cúspi(k.
B,
(1)
I
(3¡------
(2)
B,
b
E
o
8
Parúbnla semicúhica de ecuac ión
4a-'+ 27b~=O en el plano d~ control (a.b).
En la región I la línea punteada (3) que
sak del origen = O indica los puntos de
cutástrofc (este es e l estrato de conllicto
entre las dos regiones ( 1) y ( 2 ).
Variaciones regulares en la p 1 y en la p2 producen s iempre variaciones
regulares en la x. Las únicas excepciones ocurren cuando la trayectoria de
control cruza el conjunto de bifurcac ión 4 a:l + 27 b2 = O, que es la
proyección en el plano (p 1,p2) de los pliegues de la supe rficie de equilibrio.
Si el punto resulta estar en e l lado de la superficie que termina en ese punto
(doblándose hacia atrás para formar la hoja central), entonces tiene que
"saltar" a la otra hoj a. Esto da lugar a un cambio repentino en Ja variable x.
185