Sobre la lógica y matemáticas: algunas observaciones sobre los fundamentos de la matemática

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XVII (Núms. 1-2), 117-139 (2005) (publicado en agosto de 2006)
SOBRE LÓGICA Y MATEMÁTICAS: ALGUNAS OBSERVACIONES
SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA
J. M. Almira
ADSTRACT. Severa! ideas related to the crisis on the foundations of mathematics which arase
from the apparition of contradictions in set theory at the end of the XIX century are explained.
\Ve also focus our attention in the explanation of how the mathematical community faced a
solution to these questions.
RESUMEN. Se explican algunas de las ideas vinculadas a la crisis de los fundamentos de
la :Matemática originada por las contradicciones que aparecieron en el seno de la teoría de
conjuntos a finales del siglo XIX. También centramos nuestra atención en explicar cómo la
comunidad matemática se enfrentó a la solución de estas cuestiones.
Este trabajo está dedicado al Prof. José l\lanuel Méndez Pérez,
con todo el cariño, de su alumno y amigo.
l. INTRODUCCIÓN: SOBRE LAS CRISIS EN MATEMÁTICAS
Existe, entre el público no especializado, el mito de que la matemática es una ciencia exacta
y más precisamente, que se distingue del resto de las ciencias por expresar verdades absolutas
(signifique esto lo que signifique). Gozamos. pues, de este privilegiado prestigio de pureza. Sin
embargo, hemos pasado (como el resto de ciencias) por nuestras propias crisis. Detallo algunos
ejemplos bien conocidos:
• Aparición de números irracionales.
• Fundamentos rigurosos para el Cálculo Infinitesimal.
• Creación de Geometrías No-Euclídeas.
• Crisis de los fundamentos asociada al desarrollo de la Teoría de Conjuntos.
En los ejemplos mencionados hay dos tipos de "crisis" bien diferenciados. De una parte. están
aquéllas que, como en el caso del descubrimiento de los números irracionales o de la necesidad
de introducir el rigor en numerosas partes del Cálculo Infinitesimal, se pueden resolver comple­tamente
mediante la introdueción de nuevos conceptos matemáticos o, simplemente, mediante
una revisión cuidadosa de lo que se conocía en la época. De otra parte, están las crisis que
deben su origen a la aparición de paradojas lógicas y cuya solución, en algunos casos, aún no
es completa. En particular, podemos destacar en este punto la crisis debida a la aparición de
paradojas en el seno de la Teoría de Conjuntos (TC, abreviadamente).
El objetivo de este artículo es explicar las razones para dicha crisis, así como algunas de las
direcciones en las que se han aportado soluciones (parciales). Finalmente, vamos a intentar
cumplir con estos objetivos manteniendo un nivel elemental en la exposición.
2. QUÉ SON Y PARA QUÉ SIRVEN LOS NÚMEROS
La1 naturaleza de los números reales no estuvo completamente clara2 hasta finales del S.
XIX y se logró, como resultado del esfuerzo de numerosos matemáticos, con la creación_ de un
1 El título de esta sección hac-e una obvia alusión al famoso texto de Dedekind [9]
2Ya Euclides abonM c>I problema de la construcción de la recta real mediante su teoría de las proporciones.
117
proceso que luego se ha denominado Aritmetización del Análisis. 'fras la creación del Cálculo
Infinitesimal por Newton y Leibniz, y su desarrollo por Euler, Lagrange, Gauss y otros, se
produjo una crisis. Primero Bolzano ( 1817) observó que las demostraciones (debidas a Gauss)
del Teorema Fundamental del Álgebra no eran completamente rigurosas y estableció su propia
demostración (basada de forma implícita en el axioma del supremo) de que si f E C(a, b] y
f(a)f(b) < O entonces existe un x E (a, b) tal que f(x) = O. Luego Cauchy (1821) redactó su
famoso "Curso de Análisis" para "demostrar rigurosamente para las funciones continuas muchos
resultados que se conocían verdaderos para los polinomios". Finalmente. Weierstrass, Heine,
Cantor, Meray, etc. (1870-1872) lograron la aritmetización del Análisis, poniendo todo el peso
de la verdad de las afirmaciones del Cálculo en la aritmética básica. Dicha reducción se logra
básicamente de la siguiente forma: se introduce el conjunto N de los números naturales y a
partir de él se dan los siguientes pasos: solución de ecuaciones ax= ±b, (a, b E N), definición de
valor absoluto, convergencia, sucesiones de Cauchy, etc. y construcción de lR como el conjunto
cociente formado por las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales
bajo la relación de equivalencia3 {an} rv {bn} ~ {an - bn}-+ O. Ahora bien, si todo el Análisis
se basa en la estructura de N, podemos preguntarnos: ¿Qué es N? No pensemos que estamos
hablando de tonterías: N no fue fácil de definir sobre bases rigurosas. Probablemente el lector
pensará que no podemos continuar este proceso de "bajada" de niveles indefinidamente: para
poder avanzar en nuestra comprensión del mundo debemos fijar unas hipótesis mínimas sobre
las que apoyarnos. Pero, ¿podemos suponer simplemente la existencia de los números naturales
Y partir de esta base para construir el resto de las matemáticas? Leopoldo Kronecker era de
esta opinión4
• Sin embargo, Georg Cantor, Gottlob Frege, Giussepe Peano, y otros, dedicaron
bastante trabajo para lograr la fundamentación teórica del conjunto de los números naturales.
Para lograr una definición formal del conjunto N se intentaron esencialmente las siguientes tres
vías: El uso exclusivo de la Lógica (trabajo al que Frege dedicó su vida), el uso de la Teoría de
.C on.ju .n tos, entendiendo que los conjuntos, en general, son objetos matemáticos más básicos o
mtmtivos que los números (esta vía fue explotada por Cantor y Dedekind) o, finalmente, partir
de una concepción axiomática para N. Esto significa que vamos a suponer que existe el conjunto
N ! que éste queda definido por iluminación, como el (único) objeto que satisface una 8erie de
axiomas.que hay que formular con total precisión. Este camino lo tomó G. Peano.
2.1. ¿Qué son los números naturales? Como ya hemos comentado, ha habido varios intentos
para resolver esta pregunta. Algunos, como el de Frege, están tan cerca de la filosofía que muchos
lectores serán probablemente de la opinión de que "eso no son matemáticas''. Otro8, sin embargo,
serán aceptados como "buenos" e incluso "ingeniosos" por un lector moderno. En esta sección
vamos a comentar brevemente algunos de estos enfoques.
2.1.1. Los números naturales según Frege. Frege, en una primera aproximación, explica qué
propiedades no puede tener un número, quizás con la idea de "cercar" el concepto lo más
posible. Según Frege,
3
Este proceso también fue denominado posteriormente método genético para la construcción de la recta real.
4
Desafortunadamente, L. Kronecker se hizo famoso por su actitud agresiva contra G. Cantor y el uso de las
técnicas desarrollas por él en su Teoría de Conjuntos, al realizar afimarciones del estilo de la siguiente: "Dios creó
a los enteros, lo demás es obra del hombre". Sin embargo, no me resisto aquí a realizar una breve pero apasionada
defensa de Kronecker. Él fue un gran matemático, y a él debemos algunos teoremas hermosos del Álgebra (más
concretamente. de la Teoría de Números). Uno que me impresionó personalmente, cuando lo descubrí, afirma
que si sobre un anillo A disponemos de un algoritmo de descomposición en producto de irreducibles, entonces
también dicho algoritmo se puede extender para lograr la descomposición en irreducibles para los elementos de
AlxJ. Obsérvese que. en particular, este teorema de Kronecker proporciona un algoritmo para la descomposición
en producto de polinomios irreducibles para los anillos ZIX 1, X2, · · · , X,.].
118
• Los números no son cosas materiales, ni agrupaciones de cosas materiales, ni propiedades
de cosas materiales. Tampoco son algo subjectivo, ni se confunden con los signos que
normalmente se utilizan para relacionarlos entre sí.
• Los enunciados numéricos dicen algo sobre ciertos conceptos, pero no sobre ciertos obje­tos.
Por ejemplo, si decimos: "mesas que hay en esta sala", entonces bajo dicho concepto
caen exactamente un cierto número de objetos {pero no importa, por ejemplo, el color
de las mesas, o si éstas son de madera u otro material).
A partir de estas sencillas ideas, formuló los siguientes principios, para la definición de número
asociado a un concepto P:
• El número O corresponde al concepto Psi ningún objeto cae bajo p
• El número n + 1 cae bajo el concepto Psi hay un objeto A que cae bajo P y el número
n cae bajo el concepto: "caer bajo P pero ser distinto de A".
Si C es la clase de todos los conceptos, podemos definir:
Definición l. El concepto P es equipotente al concepto Q si existe una biyección entre los
objetos que caen bajo P y los objetos que caen bajo Q. Los números cardinales son las clases de
equivalencia asociadas a la relación anterior.
Definición 2. Una cosa es un número si y sólo si existe un concepto paro el cual esta cosa
es el número asociado a dicho concepto. Además1 O es el número correspondiente al concepto:
"distinto de sí mismo"; 1 es el número correspondiente al concepto "igual a cero 1
'. Finalmente,
n es el siguiente de m significa que hay un concepto P y un objeto a que cae bajo P de modo que
n es el número asociado a P y m es el número del concepto "cae bajo P y es diferente de a".
De esta forma, los números que aparecen en la sucesión que empieza con O y continúa mediante
el algoritmo que, dado x, calcula el siguiente ax, son (por definición) los elementos de N.
G. Frege intentó formalizar el concepto de número natural basándose en la lógica. De hecho,
podemos decir que los primeros avances significativos en lógica después de Aristóteles se deben
a Frege, que creó la moderna lógica matemática. En particular, debemos a Frege la primera
formulación precisa del cálculo de primer orden {introducción de los cuantificadores dentro de
la lógica).
2.1.2. Los números naturales según Cantor. Por su parte, Cantor (1884) daba una definición de
N a partir de la teoría intuitiva de conjuntos. Para ello, define:
Definición 3. Los números naturales son los cardinales finitos. Un conjunto bien ordenado es
finito si y sólo si su tipo de orden5 es isomorfo a su tipo de orden inverso.
Obviamente, la definición anterior deja bastante que desear pues, entre otras cosas, Cantor
no dispone de una definición general de conjunto finito. (Su definición ni siquiera funciona para
el tipo de orden de Q).
Sin embargo, Dedekind daba una definición "buena" de infinito (y por tanto, de finito), que
se puede utilizar para definir N en términos conjuntistas. Según Dedekind, A es infinito si existe
f : B --+ A biyectiva con B e A, B # A.
2.1.3. Peano y la axiomatización de N. Peana (1858-1932) publicó en (1889) sus "Principios ar­itméticos,
expuestos según un nuevo método", donde formaliza el siguiente conjunto de axiomas
para los números naturales N:
5como veremos más adelante, dos conjuntos bien ordenados tienen el mismo tipo de orden si existe una
biyección entre ambos que conserva el orden. El tipo de orden inverso del orden $ es el dado por el orden
X $* y<:::> y $ X.
119
Axiomas de Peana
• 1 es un número natural.
• Todo número natural n tiene un sucesor s(n).
• 1 no es el sucesor de otro número natural.
• Si s(n) =fi s(m), entonces n =fi m.
• Sea A e N. Si 1 E A y además se tiene que n E A=> s(n) E A, entonces A= N.
Obviamente, el siguiente paso sería la definición de las operaciones básicas de la aritmética,
algo que podemos lograr fácilmente mediante una definición recursiva gracias al último de los
axiomas anteriores (llamado principio de inducción matemática). Para ello, bastará hacer lo
siguiente:
Definición 4. Las operaciones aritméticas de suma " + ", producto " · " y potenciación de
números naturales, están dadas recursivamente por las siguientes reglas:
• n + 1 := s(n); n + s(m) = s(n + m).
• n · 1 = n; n · s(m) = (n · m) + n.
• nl = n; ns(m) = nm. n.
La lógica desarrollada por Frege en su Ideografía, era excesivamente compleja (requería de
u~~ .escritura no lineal, muy diferente del lenguaje natural usual, y, por tanto, resultaba muy
~ifícll fa~iliarizarse con ella). Quizás por ello, Peano intentó construir su propia notación. Este
SIBtem~ .s1 que tuvo éxito entre los lógicos y los matemáticos. De hecho, es esencialmente el
que utilizamos ahora. Sin embargo cuando Peano intentó llevarlo a la práctica en sus clases,
, '
encontro ciertas dificultades. En palabras de J. Mosterín (ver (27)):
El interés de Peano por la matemática y por los lenguajes artificiales se fundió en la creación de su
sistema de notación lógica. Quienes no lo aceptaron fueron sus estudiantes. Peano daba por entonces
clases de matemáticas en la academia militar de Turín y, cuando comenzó a utilizar el nuevo formalismo
notacional en sus clases y apuntes, los estudiantes se revelaron y exigieron su marcha (a pesar de que
trató de aplacarlos, ofreciéndoles un aprobado general). Ni por esas: la insurrección sólo se calmó con
la expulsión de Peano que, en 1890, aceptó una plaza en la Universidad de Turín
3. TEORÍA INFORMAL DE CONJUNTOS
Antes de discutir las paradojas que surgieron en el seno de la Teoría de Conjuntos, vamos a
r:cordar b~evemente algunos de los resultados que lograron demostrar la belleza y la utilidad de
dicha teona. Por el momento, supondremos que se han definido correctamente los conceptos:
conjunto finito (y por tanto, infinito) y conjunto numerable.
Teorema 1 (Cantor, Dedekind). Q es numerable. Es más, el conjunto A de los números
algebraicos reales, i.e. los ceros o E R de polinomios p(x) E Z(x], es numerable6.
Demostración. Veamos que Q es numerable. Para ello, observamos antes que existe una
biyección 'P : N -t N x N. Esto se consigue mediante las siguientes reglas: .
• cp(O) =(O, O) y cp(l) = (O, 1)
• Si cp(n) = (a, b) </.{O} x N u N x {O} y cp(n - 1) = (a+ 1, b - 1), entonces cp(n + 1) =
(a -1, b + 1).
6
Aunque este resultado fue originalmente publicado por Cantor, lo cierto es que la prueba del mismo se debe
a Dedekind. quien se la comunicó por carta. Cantor se limitó a utilizar este resultado (unido a su prueba de que
lR no es numerable) para demotrar la existencia de un conjunto infinito de números trascendentes. Cantor no
mencionó a Dedekind en sus publicaciones y esto produjo cierto distanciamiento entre ambos matemáticos. A
pesar de que Dedekincl nunca se quejó abie~tamente, Cantor sí que realizó posteriormente, en correspondencia
con Hilbert, algunos comentarios sobre el deterioro de su relación con Dedekind (ver l7J).
120
J
• Si cp(n) = (a, b) rf. {O} x N UN x {O} y cp(n - 1) =(a - 1,b + 1), entonces cp(n + 1) =
(a+ 1, b - 1).
• Si cp(n) =(O, b) y cp(n - 1) rt. {O} x N entonces cp(n + 1) = (O,b + 1). Si cp(n) = (a,O) y
cp(n - 1) rf. N x {O} entonces cp(n + 1) = (a+ 1, O).
Ahora, podemos visualizar Q como subconjunto de N x N (basta considerar la aplicación p/q-+
(p, q)) y por tanto, como subsucesión de { cp( n)} ;:c=O.
Para estudiar la numerabilidad del conjunto de los números algebraicos, bastará demostrar
que Z[x) es numerable y que la unión numerable de conjuntos finitos (para cada polinomio hay
un número finito de ceros) es numerable. Las ideas son, sin embargo, similares a las utilizadas
para probar que Q es numerable. O
Teorema 2 (Cantor). 1R no es numemble. Consecuentemente, existen infinitos números
trascendentes.
Demostración. Primero, es fácil encontrar biyecciones entre IR y JO, 1(. Por tanto, basta
probar que JO, 1 [ no es numerable. La idea es el famoso principio de diagonalización de Cantor.
Supongamos que, por el contrario, )O, 1[= {xn}~=º' donde
Xn = O.anollnJlln2 · · · llnnlln(n+l) · · ·. (ank E {O, 1, · · · , 9} para todo n,k).
Entonces podemos hacer
Y = O.babi b2b3 · · · bnbn+l · · · ,
donde: bk =O si akk '#O y bk = 1 si akk =O, para todo k. Obviamente, y E]O, 1[\{xn}~=O· D
Teorema 3 (Cantor). Existe una biyección entre IR y IR" paro todo n ~l.
Demostración. Vamos a hacerlo paran= 2. (La idea es la misma para el caso general). Por
supuesto, de nuevo podemos cambiar 1R por JO, 1[. Definimos la aplicación cp :)O, l[x)O, 1[-+)0,1[
como:
cp(O.a 1 a2a3 · · · , O.b1 b2b3 · · · ) = O.a 1 b1 a2b2a3b3 · · · .
Es fácil comprobar que cp es biyectiva. O
Otro resultado en la misma dirección del teorema anterior (pero mucho más difícil, Y cuya
prueba omitimos) es el siguiente:
Teorema 4 {Peano). Existe una curva continua y sobreyectiva a: [O, l]-+ (O, 1] x [O, 1].
Relacionada con estos resultados está la pregunta: ¿Serán IR y IRn espacios homeomorfos con
sus respectivas topologías usuales, paran > 1? La respuesta es: No. De hecho basta observar
que IR \ {O} no es conexo, aunque IR n \ { x} sí lo es, para todo x E IR n, siempre que n > l.
Sin embargo, costó mucho trabajo demostrar que 7
Teorema 5 (Brouwer, 1911). Si n =/; m entonces lR" y !Rm no son, con sus respectivas
topologías usuales, homeomorf os.
Otro importante resultado de carácter topológico es el siguiente
Teorema 6 . . Supongamos que se satisface el a,;cioma de elección. Si K es un compacto Hausdoff
no vacío que no contiene puntos a·islados~ entonces /( no es numerable.
7Este teorema de Brouwer es muy importante: proporciona la verdadera justifkadón para el ronrepto de
dimensión en topología, y fue muy aplaudido.
121
Nota. Obsérvese que si no exigimos que el espacio sea Hausdorff entonces hay compactos sin
puntos aislados cuyo cardinal es el que se desee (basta tomar sobre un conjunto S arbitrario la
topología indiscreta).
Demostración. Para verlo, vamos a construir una aplicación inyectiva de {O, l}N en K.
Para nuestra prueba, necesitamos hacer uso del siguiente resultado de topología (cuya de­mostración
no hacemos, por no estar especialmente relacionada con los métodos de teoría de
conjuntos):
Lemma l. Si K es compacto y H aussdorff, entonces para cada x, y E K, x '! y, existen
entornos abiertos Ox de X y Oy de y tales que Ox n Oy = 0.
Para cada SE {O, 1}", n EN, definimos ps E J( y Os~ K, abierto, como sigue:
P.O Puesto que K es no vacío y sin puntos aislados es evidente que podremos encontrar
p,q E K, p =/; q. Tomemos P(O) = p y P(I) = q. Asimismo puesto que K es regular,
existirán O(o), O(l} ~ K abiertos tales que P(o) E 0(0)1 P(I) E 0(1} Y O(o) n 0(1} = 0.
P.n Una vez seleccionados Ps y Os para cierto S = (s1, s2, ••• , sn) E {O, l}n, consideremos
So= (si, s2, ... , sn, O) y Si = (s1, s2, ... , Sn, 1).
Puesto que K es compacto Hausdoff sin puntos aislados, es inmediato encontrar p s0 , Ps1 E
Os y Oso, Osl ~Os abiertos tales que PSo E Oso, PS1 E Os1 y Oso n Os1 = 0.
Siguiendo este proceso iterativo podemos elegir para cada SE {O, 1} n, Ps y Os.
Tomemos ahora S = (s1, s2, .•. ) E {O, l}N y consideremos para cada n E N, Sn = (s1, s2, s3, · · ·, Sn
~O, 1 }n · Asociado a Sn podemos tomar ahora Psn y Osn tal y como quedó definido en el proceso
iterativo anteriormente indicado (para una notación más conveniente, aceptaremos también que
Oso == K). Obtenemos de esta manera una sucesión {Psn }nEN· Puesto que K es compacto, el
conjunto {Psn : n E N} ha de tener al menos un punto de acumulación en K. Seleccionemos
uno de tales puntos de acumulación y denotémoslo p s.
Lo que realmente hemos hecho en el párrafo anterior es definir la aplicación
<I>: {0,l}N--+ T
<l>(S) = Ps
Veamos ahora que esta aplicación es inyectiva. Para ello tomemos S = ( s 1 , s2, ... ) , R =
( r1' r2' · · · ) E {O, 1 }N, S =fi R. Sea a E N la primera posición en la que S y R difieren, es
decir, a== mín{n EN: Sn =f. Rn}. Por construcción, es evidente que Ps,.,PRo E Oso-1 = ORo-11
también que Os0 ,0Ro ~ 0 80 _ 1 = OR.o-1' que Os0 n Olla = 0 y finalmente que para cualquier
n ~ a, Psn E Os0 , PRn E Ono. De la última condición se sigue que cualquier punto de
acumulación de las sucesiones {Psn}neN y {PRn}nEN estará respectivamente en Os0 y Olla
con lo que Ps E Os0 y PR E On,. y como ambas clausuras son disjuntas deducimos que
<I>(S) = Ps -::f PR = <l>(R). O
Teorema 7 (Cantor). Sea X un conjunto. Entonces P(X) :={A: A~ X} no es equipotente
a X. Ademá.s, P( X) es equipotente a {O, 1} X.
Demostración.
conjunto:
Supongamos que existe cp : X --+ P(X) sobreyectiva. Consideremos el
A= {a E X: a~ cp(a)}.
Como A E P(X) y cp es sobreyectiva, tenemos que existe b E X tal que cp(b) = A. Entonces
se tiene que b E A si y sólo si b <t cp(b) = A, lo que es absurdo. Se sigue que t.p no puede ser
sobreyectiva.
122
J
La segunda afirmación del teorema es fácil de probar. Basta observar que la aplicación que
lleva A e X a ·i,b(A) = 1/1.4 : X--+ {O, l}, donde !/J . .i(x) =O si x f/. A y 'lfJA(x) = 1 si x E A, es
biyectiva. O
Nota. Si w =#A, donde# denota el cardinal, se suele denotar #P(A) = 2w. (En el caso de
conjuntos finitos, se produce la igualdad como consecuencia del Teorema del binomio de Newton
y el concepto de número combinatorio).
Teorema 8 (Cantor-Bernstein). Si existen aplicaciones inyectivas f: M--. N y g: N--. Af,
entonces N y M son equipotentes. .
Corollary 2 (Cantor). IR y P(N) son equipotentes.
Demostración. Las aplicaciones f: 'P(N)--. (O, 1) y g: (O, 1)--. P(N) dadas por
f(A) = 0,00 ... 01(0 •0 ... 01(01 +020 ... ;
para A = {a 1 < a2 < · · · < an < · · · }
y
g(O, b1 b2b3 .. · bn .. ·) = {lb1, 2b2, .. · nbn, · .. }
(donde, para la segunda función, nbn denota el entero que se obtiene de añadir por la derecha
el dígito bn E {O, 1, · · · , 9} al número n) son inyectivas O .
Demostración del Teorema de Cantor-Bernstein.
Sean f : M --+ N y g : N --+ M aplicaciones inyectivas. Definimos, para cada A e Af el
conjunto
F(A) :=AJ\ g(N \ J(A))
Supongamos que existe Ao e Af tal que F(Ao) = A0• Entonces g(N \ /(A0)) = M \ Ao y, por
tanto,
f: Ao--+ f(Ao) y g: N \ f(Ao)--+ M \ Ao son biyectivas.
Se sigue que <p(x) = f(x) (si x E Ao) y(= g- 1(x) si x f/. A0) es una biyección.
Para probar el teorema bastará, por tanto, demostrar que existe A con F(A) =A.
Lemma 3. Sea {Ak}k:0 e P(M). Entonces
F(íl Ak) = íl F(Ak)
k;:::o k;:::o
Nota. El Lema se sigue de forma rutinaria de las leyes de l\forgan.
Tomemos ahora Ao = íl~o Fk(Al). Claramente, pk+1(M) e Fk(M) para todo k. Usando el
Lema 3, tenemos que:
00 00
F(Ao) = n F(Fk(M}) = íl F~~+ 1 (M) = A0. o
k=O k=O
Nota. Se sigue que IR no es numerable y que existe una sucesión infinita de números cardinales
transfinitos distintos. ¿Es No := #N el más pequeño? ¿Hay algún conjunto cuyo cardinal
esté estrictamente entre N y IR, o todos los subconjuntos de IR son forzosamente numerables o
equipotcntes a IR?
Nota. Otra consecuencia del Teorema de Cantor-Bernstein es que podemos ordenar la clase
de los conjuntos (Clase Universal). En otras palabras, podemos ordenar cualquier familia de
conjuntos. Para ello basta definir: m ~ n (n,m números cardinales} si existe una aplicación
inyectiva f: X--+ Y, donde X, Y satisfacen m =#X, n =#Y.
123
4. LAS PARADOJAS
Hasta ahora sólo hemos descrito brevemente algunos resultados básicos de TC que en todo
caso podrían servir para demostrar que la TC es interesante, y que contiene (a pesar de su
planteamiento original, sencillo) numerosos resultados sorprendentes. Ahora vamos a explicar
cómo surgen las paradojas en el seno de la TC.
La primera paradoja descubierta data de 1895 y se debe al propio Cantor (aunque éste no
le dio demasiada importancia, probablemente8 porque la paradoja surgió en una parte muy
especializada de TC). Se trata de la imposibilidad de considerar el cardinal del conjunto de
todos los conjuntos. Imaginemos que X denota dicho conjunto. Entonces, según un teorema
anterior (debido a Cantor), #'P(X) <#X! pero por otra parte, si A es un conjunto arbitrario,
#A< #'P(A) ~ #X (pues X contiene copias de P(A) por su propia definición) y, por tanto,
tomando A= X llegamos a que #'P(X) ~#X, un absurdo. En esencia, podemos decir que la
paradoja de Cantor consiste en observar que no es posible pensar en un número cardinal que
sea mayor que todos los demás.
En 1897, Burali-Forti (que era asistente de Peano}, descubrió una paradoja análoga a la de
Cantor, pero esta vez relativa a los números ordinales.
En 1902 Russell escribía una carta a Frege en la que argumentaba lo siguiente: Existen clases
(i.e., extensiones de conceptos) que no se pertenecen a sí mismas {e.g., la clase de los animales
de granja no es un animal de granja) y otras que sí (e.g., la clase de los conceptos abstractos es
un concepto ¿¡DEFANGED.3140 abstracto). Consideremos, pues, el siguiente concepto P: "ser
una clase que no se pertenece a sí misma". Consideremos la clase R definida por P. ¿Cae R
bajo P? La respuesta, evidente, es: R cae bajo P si y sólo si R no cae bajo P, lo que constituye
una paradoja.
Esta paradoja estaba enraizada directamente en la suposición por parte de Frege de que
dado un concepto (o propiedad), éste delimita perfectamente un conjunto, que es llamado su
extensión y que consta precisamente de los objetos que poseen dicha propiedad. Frege admitió
inmediatamente el error e intentó resolverlo. Es más, dedicó algún tiempo a intentar resolverlo
e incluso lo reconoció públicamente en sus escritos. Al final de su vida, Frege escribía:
Me he visto obligado a abandonar la idea de que la aritmética sea una rama de la lógica y por tanto que
todo pueda ser demostrado lógicamente.
Con estas cosas, Frege sufrió mucho, llegando a padecer una crisis nerviosa considerable, y
pasó el resto de sus días sumido en la amargura. Sobre este hecho, también al final de su vida,
Russell escribía:
Cuando pienso en actos de gracia e integridad, me doy cuenta de que no conozco nada comparable a la
dedicación de Frege a la verdad. Estaba Frege dando cima a la obra de toda su vida, la mayor parte
de su trabajo había sido ignorado en beneficio de hombres infinitamente menos competentes que él, su
segundo volumen estaba a punto de ser publicado, y al darse cuenta de que su supuesto fundamental
era erróneo, reaccionó con placer intelectual, reprimiendo todo sentimiento de decepción personal. Era
algo casi inhumano, y un índice de aquello de lo que los hombres son capaces cuando están dedicados al
trabajo creador y al conocimiento, y no al crudo afán de dominar y hacerse famosos.
Hay otras paradojas. Un~ de las más conocidas (y curiosas) se debe a Berry (un amigo
de Russell, que era bibliotecario y aficionado a la lógica). Dice lo siguiente: Consideremos el
conjunto A de los números naturales que no pueden definirse (en español) utilizando menos de
cien palabras. (Este conjunto es no vacío porque el número de posibles definiciones en español
que poseen menos de 100 palabras, es finito). Sea n el mínimo de dicho conjunto. Entonces
8Sobre este aspect.o, no hay total acuerdo. No podemos saber a priori si Cantor sabía que esta paradoja iba
más allá de ser un simple detalle técnico, o si afectaba o no al resto de la TC
124
n es "el menor número natural que no puede definirse (en espa.iiol) utilizando menos de cien
palabras'' y, como lo hemos definido con menos de 100 palabras, n f/. A, pero esto contradice que
N está bien ordenado. Esta paradoja es interesante porque su formulación no requiere (a primera
vista)9 una alusión directa a conjuntos demasiado grandes ... ya que se basa completamente en
la aritmética clásica.
Russell propuso una teoría para evitar las paradojas anteriores: la teoría de los tipos. Se
trata de un argumento un tanto enrevesado. que permite clasificar los diferentes conjuntos que
se puedan definir en términos de "tipos''. de manera que se eviten definiciones que den lugar a
círculos viciosos 10 (las definiciones circulares tienen como efecto aumentar "el tipo" de los con­juntos
que definen) .... Pero a pesar de que desarrolló su teoría bastante en sus fa.inosos Principia
Mathematica~ su teoría siempre despertó cierta desconfianza en la comunidad matemática. La
verdadera ''solución'' al problema de las paradojas ha sido la creación de las diferentes teorías
axiomáticas de conjuntos. desarrolladas a principios del S. XX por Zermelo, Fraenkel y luego
por Neumann! ¿¡DEFANGED.3141 Bernays y Godel.
5. TEORÍAS Ax1m.1ÁncAs DE CONJUNTOS
Vamos a explicar el papel de las teorías axiomáticas de conjuntos en palabras del profesor J.
Sanmartín (ver [33]):
Desdt> el descubrimiento dt> las paradojas en el seno de la teoría cantoriana de conjuntos se ha impuesto
una manera de "pasarlas por encima": las teorías axiomáticas de conjuntos. Las paradojas nacen
del empleo de un principio de comprehensión que permite afirmar como existente cualquier reunión
de un todo de objetos (perceptibles o pensables) que satisfagan cierta propiedad. A una reunión tal
se denomina ·'conjunto... Por el principio mencionado. se supone una perfecta correspondencia entre
conjuntos y propiedades. Russell mostraría que hay al menos una propiedad, x ~ x, que no determina
ningtín conjunto, si no se quiere caer en contradicción. La consecuencia: 1) hay que fijar condiciones
sobre qué propiedades son admisibles para "determinar" conjuntos, o 2) ensayar, como ocurre en las
teorías axiomáticas de conjuntos, la creación de un sistema de principios a través de los cuales la noción
primitiva de conjunto sea en cierta forma "iluminada.. ("definida implícitamente", como se dice en
ocasione,s). Este segundo camino conlleva la obligación de dar una prueba de consistencia del sistema
axiomático en cuestión. Dos de tales sistemas son cultivados hoy día preferentemente: Zermelo-Fraenkel
(abreviado, ZF) y von Neumann-Bernays-Godel (abreviado. NBG). Para ninguno de los dos ha sido
dada una prueba tal de consistencia. Todo lo más que puede decirse es que en ellos no ocurren las
paradojas de> tipo ruselliano por evitarse en ellos la posibilidad de afirmar como existentes los conjuntos
omnicomprehensivos (el conjunto de todos los conjuntos que ... ). Pero ello no significa que tales sistemas
se hayan librado en general de paradojas. De ahí nuestra frase del principio. pues, sólo si hubiera una
prueba de consistencia tal. podría decirse con sentido que los sistemas axiomáticos eliminan las paradojas,
y una prueba tal de consistencia para ellos ni la hay ni. por Godel. parece que pueda haberla.
En otras palabras: la necesidad de resolver las paradojas que habían sido descubiertas en­tre
1895 y 1905 en TC, tuvo romo consecuencia una nueva revisión de los funda.inentos de la
matemática, y se llegó a la conclusión de que el camino más firme para avanzar en matemáticas
pasaba por el establecimiento de una axiomática para TC similar a las conocidas para la Ge­ometría,
así como por la justifiC'ación del mm ele dicha axiomática (y no otra}, lo que dio lugar
a la definición y el estudio <le una serie de propiedades "básicas'' que debe satisfacer cualquier
sistema de axiomas que se tome (i.e .. consistencia, completitud, adecuación. coherencia, etc.)
Como ya hemos mencionado. hubo varias propuestas de axiomáticas para TC. Por otra parte.
9En realidad. esto no es así. Pienso que: "ser definible, en espmiol, con menos de cien palabras" no es una
propiedad f>xpresahle en c>l k•nguaje de la aritmética ... ¿o me equi\•oco?
lOPara más detallf's sohre Russell y la teoría de tipos. recomiendo consultar [25].
125
D. Hilbert (que en 1899 había publicado una axiomática completa para la Geometría Euclídea
-mucho más solida que la ofrecida por Euclides en la antigua Grecia-), desarrolló los conceptos
necesarios para el estudio de las propiedades formales de las axiomáticas: es lo que entonces se
llamó "teoría de la prueba" y actualmente conocemos como "metamatemática'!.
En esta sección vamos a presentar los axiomas ZF y NBG de TC, a explicar algunos resultados
relacionados con el Axioma de Elección (abrev., AC) y la hipótesis del contínuo (abrev., HC),
así como a abordar los conceptos fundamentales de la metamatemática desarrollada por Hilbert.
Finalmente, daremos cuenta de los resultados obtenidos por Godel y Cohen.
5.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel y de Newman-Bernays-Godel. Comenzamos detal­lando
los axiomas para la teoría de Zermelo y Fraenkel y para la teoría de Neumann, Bernays y
Godel. ¿¡DEFANGED.3142
5.1.1. Axiomas de Zennelo-Praenkel. En este caso, los conceptos primitivos son: "conjunto"
, "E" y "=". Los axiomas son los siguientes:
ZFl (Axioma de Extensión) Si a y b son conjuntos y para todo conjunto x se tiene que
x E a # x E b, entonces a = b.
Nota. Escribimos a e b si x E a=> x E b.
ZF2 (Esquema de Axiom~ de los subconjuntos) Para todo conjunto a y toda propiedad
p, existe un conjunto b tal que x E b si y sólo si x E a y p(x) (i.e., x tiene la propiedad
p).
Nota. Hay que recalcar que ZF2 supone una restricción importante sobre el principio
de extensionalidacl de Frege, por la razón de que se fija a priori el conjunto a. Así, se
evita la paradoja de Russell de la siguiente forma: con la propiedad <t, sólo podemos
formar conjuntos de la forma: b = { x E a : x f1. x}. Ahora, se sigue que b E b no es
posible (pues b E b implica (b E a)/\ (b f1. b), lo que llevaría a contradicción). Se sigue que
b ft b y, de la definición de b, b f1. a. El esquema de axiomas no produce contradicción
y, lo que es más, sirve para probar que dado un conjunto a, hay otro conjunto b tal que
b ft a.
ZF3 (Axioma de la formación de pares) Si a y b son conjuntos, entonces existe otro
conjunto e tal que a E e y b E c.
Nota. Se sigue que, con la notación del axioma, podemos formar el conjunto {x E e:
x = a V x = b}. Dicho conjunto se suele denotar por {a, b}. Ahora podemos definir
< a, b >= {a, {a, b}}.
ZF4 (Axioma de la unión) Si a y b son conjuntos, entonces existe otro conjunto e tal que
si x E a o x E b, entonces x E c.
ZF5 (Axioma de las partes) Si a es un conjunto, entonces existe un conjunto b tal que si
x ~ a entonces x E b.
Nota. Podemos, por tanto, definir P(a) = {x E b : x ~ a} (que no depende de
la elección de b). Pero es también interesante observar que, gracias al axioma ZF5
podemos definir productos cartesianos: para ello necesitamos, dados a y b conjuntos,
encontrar un conjunto e tal que, si (x E a)/\ (y E b), entonces (x, y) E e (en tal caso,
definiríamos a x b = { (x, y) E e: (x E a)/\ (y E b)}). Pero si (x E a)/\ (y E b) entonces
(x, y)= {x, {x, y}} E P(a U b) y, por tanto, podemos tomar e= P(a U b).
Una vez se ha definido el producto cartesiano de conjuntos, se pueden introducir los
conceptos de relación, función, etc.
ZF6 {Axioma del infinito) Existe un conjunto a que tiene la siguiente propiedad:
(0 E a)/\ (rfx E a,x U {x} E a).
126
(Estos conjuntos se dicen "inductivos". Si x es un conjunto, denotamos x+ = x U { x} }.
Nota. A partir de ZF6, se puede definir
N = { x E a : x E b para todo conjunto inductivo b}
En particular, podemos definir O = 0, 1 = o+ = {0}, 2 = 1+ = {0, {0}} = {O, l},
3 = 2+ = {O, 1, 2}, etc.
ZF7 (Axioma de elección) Para todo conjunto a existe una aplicación cp: {x E 'P(a): x =?
0} --+a tal que cp(x) Ex para todo x E 'P(a) \ {0}.
Nota. Téngase en cuenta que 0 está bien definido a partir de ZF2 (una vez suponemos
que existe algún conjunto a), pues 0 = {x E a: x =? x}. Otra notación usual para ZF7
es AG. Aún no hay pleno acuerdo sobre si incluir AC o no en la axiomática. Sobre ello,
discutiremos ampliamente en otras secciones.
ZFB (Esquema de los axiomas de Sustitución) Si pes una propiedad de pares de con­juntos
tal que para todo x E a, la afirmación de dicha propiedad para (x, y) y (x, z)
implica y = z, entonces existe un conjunto b tal que y E b si y sólo si existe x E a tal
que (x, y) verifica p.
ZF9 (Esquema de los axiomas de Restricción) Si pes una propiedad de conjuntos tal
que existe un conjunto a que la verifica, entonces existe un conjunto b que verifica p tal
que \/x E b: •p(x).
Si admitimos todos los axiomas anteriores. nos referimos a la correspondiente axiomatización
como11 ZFC. Si eliminamos el axioma de elección, nos referimos a la correspondiente teoría como
ZF.
Por otra parte, es interesante observar que si cambiamos el a"<ioma ZF6 por su negación, es
decir, si negamos la existencia de conjuntos infinitos aún a pesar de admitir conjuntos finitos
de tamaño tan grande como se desee, lo que equivale a rechazar la existencia de un infinito
actual manteniendo la validez de un infinito potencial, entonces lo que obtenemos es una teoría
axiomática equivalente a la aritmética de Peano. La "verdadera" teoría de conjuntos empieza,
por tanto, cuando asumimos el axioma del infinito (ver [23] para una interesante discusión de
estos temas).
5.1.2. Axiomas de Neumann-Bernays-Godel. En este caso, los conceptos primitivos son: "clase",
"conjunto" y la relación de pertenencia "E''. Remitimos a [16, pp.234-238), [30) para ver la
axiomática completamente formalizada.
5.2. Primera aproximación al axioma de elección. Paradoja de Banach-Tarski. Una
pregunta importante, que surge de forma natural una vez se ha definido la relación ~ para los
cardinales, es la siguiente: Dada una familia de conjuntos { Ai hEI, ¿es ~ un orden total? (En
tal caso, diremos que se satisface la propiedad de buena ordenación de cardinales).
La respuesta, sorprendentemente, es que la buena ordenación de cardinales es equivalente al
axioma de elección.
Teorema 9. Son equivalentes:
(AC) Axioma de elección.
(LZ) Lema de Zorn ( i. e., existencia de elementos maximales paro los conjuntos cuyas cade­nas12
poseen maximales)
(AZ) Axioma de Zermclo (i.e. todo conjunto puede se; bien onlenado}
(BO) Buena o;denación de ca;dinales
11 De: Zermelo, Fraenkel y "Choice" (i.e .. elección)
12Una cadena df' A es un subconjunto totalmente ordenado de A.
127
Se sigue que el axioma de elección, aunque de enunciado muy sencillo y "creible'', es equiva­lente
a varios resultados cuya evidencia no es en absoluto patente. Piénsese, por ejemplo, que
aún no se conoce un buen orden para R.
A continuación vamos realizar un esbozo de la demostración de uno de los resultados más
sorprendentes (por anti-naturales) que existen gracias al uso del axioma de elección. Se trata de
la famosa paradoja de Banach-Tarski y tiene que ver obviamente con la existencia de conjuntos
no medibles (i.e., con la imposibilidad de asignar una medida a todos los subconjuntos de IR 3).
Comenzamos introduciendo alguna notación:
Definición 5. Decimos que dos conjuntos A, Be JR3 son congruentes si existe un movimiento
rígido del espacio TE Iso(Ji3) tal que T(A) = B. En tal caso, utilizamos la notación A =B.
Por otra parte, decimos que A =n B si existen familias de conjuntos disjuntos { Ai }f=t Y { B; }i=1
tales que A = U?:1Ai, B = Ui::1B¡ y A; = Bi para i = 1, · · · , n. Finalmente~ decimos que
A=~ B si existe B' e B tal que A :n B'.
Es fácil comprobar la siguiente propiedad:
• Supongamos que A n C = 0, D n B = 0. Entonces A =n B y C =m D implican
A U B ::n+m C u D. La misma propiedad se satisface para las relaciones = ~ Y =~ ·
Un poco más sorprendente es el siguiente resultado:
•Supongamos que A=~ B =~A. Entonces A ::n+m B.
Ya podemos establecer el resultado principal de esta sección:
T~orema 10 (Paradoja de Banach-Tarski). Sean B¡ e IR3 (i = 1, 2) dos bolas unitarias de
IR ' disjuntas. Entonces B1 ::::9 B1 u B2
•
Para demostrar este teorema, necesitamos algunos resultados que enunciamm; sin probar:
Lemma 4. Sea I!)) e lR2 el disco unitario cerrado. Entonces
n
JI)) :=n+2 lDlU LJ{k} X (0,1)
k=l
Lemma 5. Sea S2 C lR3 la esfera unitaria con centro en el origen de coordenadas y sea D C S2
un subconjunto numerable y D' = g2 \ D su complementario. Entonces § 2 =2 D'.
Den:iostración de la Paradoja de Banach-Tarski. Sea B 1 e R3 la bola unitaria de centro
e~ origen O Y sea S~ = aB1 la esfera unitaria. Tomemos a: la rotación de 7í radianes respecto del
eJe xz Y f3 una rotación de 27r /3 radianes respecto de un cierto eje del plano oxz que elegimos
de f~rma que las únicas relaciones que hay en el grupo (generado, mediante la composición de
funciones, como subgrupo de Iso(llt 3)) G = < a, {3 > son las obvias: a:2 = ld y {33 = ld. (Esto
se pue~e hacer porque hay un conjunto no numerable de ejes a elegir en el plano oxz).
Obviamente, si "Y E G \ {ld}, entonces, bien
o bien,
"Y= a{3fla:(Jc2
• • • (donde el producto es finito y €i E {1, 2} para todo i),
"Y= fJ<=
1 a:{J(2a{3f3
· · • ( donde el producto es finito y Ei E {1, 2} para todo i).
Además, si "Y E G \ { ld}, entonces "Y es una rotación respecto de algún eje y, por tanto, podemos
considerar el conjunto D de los puntos de Sj que pertenecen a alguno de estos ejes. Oviamente,
De s¡ es numerable. Además c5(D) = D para todo c5 E G (pues. si X pertenece al eje asociado
ª /', entonces 1(x) pertenece al eje asociado a c51c5- 1 ). Además, si D' = Sr \ D y x E D',
1 E G \ {ldL entonces 7(x) =f. x.
128
Consideremos, por tanto, las órbitas Sx = b(x) : / E G}. Si Sx ~ Sy, x,y E D', entonces
es claro que Sr n Sy = 0 y. por tanto, disponemos de una relación de equivalencia ,...., sobre
D'. Podemos usar entonces el axioma de elección para seleccionar un elemento
de cada clase de equivalencia del conjunto D' / ,...., , formando el conjunto T e D' de
los representantes de dichas clases. A continuación, procedemos de la siguiente forma:
Definimos los conjuntos:
A = {r( t) : t E T y 1 = ld o bien ¡ = o./3f.1
• • • }
B {r(t) : t E T y r = ,Ba/3{2 • ·.}
C {r(t) : t E T y¡= /32a/3f.2 • .. }
Entonces es fácil comprobar que D' = A U BU C. Además /3(A) = B, /3(B) =C. /3(C) =A
y a:(B) U a:(C) e A (en sentido propio, pue.s no estamos utilizando la identidad). Se sigue que
Bu C =~A, A =:1 B, B =:1 C y C =:1 A. Por tanto. teniendo en cuenta el Lema 5,
D' =A u (Bu C) =~ Bu (C) =~ A,
lo que nos lleva a afirmar que D' =~A. De forma análoga, se ve que D' =~B.
Por otra parte, utilizando el Lema 5, se tiene que Si ::2 D' =~ A y, por tanto, Si =~ A.
Si denotamos por B2 una bola unitaria disjunta de B1 y por S~ su borde (que es una esfera
unitaria), es claro que S~ =~B. Se sigue que s¡ U S~ =~A U B.
Definamos los conjuntos
Ahora es claro que
A = {x E B1 \{O} : ll~ll E A}
X {x E B1 \{O} : jj;¡¡ E B}.
8 - - B1 \{O} UB2 \{O}=< AUB,
donde O es el centro de B2. Si llevamos ahora el origen O sobre sí mismo y el punto O sobre
cualquier punto de B t \ (A U B), obtenemos que
B1 UB2 =~ B1.
Pero B1 =~ B1 U B2 y, por tanto,
que es lo que queríamos demostrar. O
Una de las consecuencias obvias del teorema que se acaba de demostrar (y que tiene importan­cia
en varias ramas de las matemáticas) es que, si aceptamos el axioma de elección (y por tanto
el teorema anterior es cierto). entonces es imposible extender la medida de Lebesgue (exigiendo
aditividad finita) a todos los subconjuntos del espacio JR3. Es interesante observar que esta afir­mación
no es cierta en IR 2. Además, si se exige la propiedad de aditividad numerable, entonces
ni siquiera es posible extender la medida a todos los subconjuntos de la recta real. Esto fue
probado por Lebesgue m 1903.
5.3. Conjuntos finitos y conjuntos numerables: el problema de Souslin. Uno de los
primeros escollos importantes que nos encontramos en el desarrollo de la teoría de conjuntos es la
definición de conjunto finito. Aunque esto podría parecer sorprendente a cualquiera, ya que más
o menos todo el mundo tiene claro qué entiende por "finito'', resulta que en TC aprenderemos
rápidamente que na.da es tan sencillo como podría parecer a primera vista. De hecho, el axioma
129
de elección juega un papel importante (estabilizador) en relación con el concepto de conjunto
finito.
Evidentemente, si se parte de que conocemos el conjunto N de los números naturales 13, no
habrá problemas para definir los conjuntos finitos. Se procede de la siguiente forma:
Definición 6. Decimos que S e N es un segmento inicial de N si S = { x E N : x ::-:::; n} paro
cierto n E N. Un conjunto (ahora arbitrario) A será finito si y sólo si es equipotente a algún
segmento inicial de N.
Sin embargo, podríamos abordar el problema de la finitud de otra forma. La idea, sencilla, es:
busquemos alguna propiedad que caracterice los conjuntos finitos definidos anteriormente, pero
que no requiera utilizar el conjunto N. Es decir: buscamos una propiedad abstracta que carac­terice
completamente la propiedad que nosotros conocemos intuitivamente como "ser finito", y
utilicemos esta propiedad para nuestra definición. (Después de todo, esto es una técnica bas­tante
habitual en matemáticas). Esta idea ha dado lugar a varias definiciones de "conjunto
finito". El papel que juega el axioma de elección en este tema es fundamental: todas las defini­ciones
de ~'finito" que se conocen son equivalentes bajo AC, pero no todas son equivalentes si
excluimos AC de nuestro sistema de axiomas. Por tanto, si AC no se asume en nuestra ax­iomática,
habrá varios conceptos (o niveles) de "finitud" y, por tanto, en dicho contexto muchos
conceptos matemáticos (como, por ejemplo, la compacidad) deben ser analizados con cuidado
(v~r [8]). El siguiente teorema resume algunos de los conceptos de finitud más importantes que
eXISten en la literatura especializada:
Teorema 11. Supongamos que se satisface el axioma de elección y sea A f. 0. Entonces son
equivalentes las siguientes afirmaciones: ·
• A es equipotente a un segmento inicial de N.
• (Dedekind, 1888) No existen un subconjunto propio B CA y una aplicación f: B -t A
tal que f es biyectiva.
• (Tarsky, 1924) Cada familia de subconjuntos de A tiene un elemento minimal respecto
de la inclusión e
• (Levy, 1981) Existe alguna relación de orden total en A y todo orden total para A es
un buen orden.
• (Klaua, 1979) Existe alguna relación de buen orden en A cuya inversa es también una
relación de buen orden.
Por otra parte, si admitimos como cierto el axioma de elección, entonces tendremos problemas
con el estudio de las propiedades básicas de los conjuntos numerables. Para verlo, comenzamos
planteando una pregunta aparentemente inocente. Si (X,::;) es un conjunto sobre el que se ha
definido un orden parcial ::;, entonces asociados a dicho orden se pueden introducir dos tipos de
subconjuntos de X especialmente interesantes: las cadenas y las anticadenas. Una cadena es un
subconjunto S e X que está totalmente ordenado por el orden de X y una anticadena es un
subconjunto A C X con la propiedad de que sus elementos son, con el orden de X, incomparables
dos a dos. No es difícil probar el siguiente resultado
Teorema 12. El conjunto parcialmente ordenado (X,~) es finito si y sólo si todas sus cadenas
y anticadenas son conjuntos finitos.
Pero entonces podríamos formular de manera natural la siguiente pregunta: ¿será cierto que
un conjunto parcialmente ordenado (X,::;) es contable (i.e., numerable o finito) si y sólo si todas
sus cadenas y anticadenas son conjuntos contables? Sorprendentemente, la respuesta a esta
13Podemos suponer, por ejemplo, que hemos definido O= #0, 1 = #{0}, 2 = {0, {0} }, etc.
130
1
pregunta es un rotundo no. Para verlo, basta comprobar que si tomamos sobre IR el orden de
Sierpinski a ~s b ~ (a ~ by a ~* b), donde ~ representa el orden usual de IR y~. es un buen
orden para JR, entonces todas las cadenas y anticadenas de (JR, ~s) son numerables.
Evidentemente, el ejemplo anterior resulta un tanto forzado, entre otras cosas, porque nadie
conoce un buen orden para lR (aunque la existencia de dicho orden se sigue del axioma de
elección). Podríamos preguntar, por tanto, si añadiendo algún tipo de restricción natural sobre
el orden ~ de X, la numerabilidad de X se sigue de la numerabilidad de sus cadenas y sus
anticadenas. En particular, ¿será cierto esto si (X,~) es un árbol? Recordemos que el conjunto
parcialmente ordenado (X,~) es un árbol si para cada x E X sus predecesores P :r = {y E
X : y ~ x} están bien ordenados por el orden de X. Sorprendentemente, la existencia de
árboles con cardinal superior al de N y cuyas cadenas y anticadenas son numerables (conjuntos
que llamamos en lo sucesivo árboles de Souslin en honor al matemático ruso M. Souslin) es un
problema cuya solución depende del modelo de TC con el que se trabaje. En particular, se sabe
que los axiomas de ZFC (i.e., Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección) no tienen suficiente
fuerza como para probar o desmentir que existen árboles de Souslin. Por otra parte, se puede
demostrar con cierta facilidad [32) que el estudio de este problema concreto es equivalente a la
siguiente importante cuestión sobre la naturaleza de IR como estructura ordenada (y que es, en
verdad, el problema planteado originalmente por Souslin). Supongamos que (L, ~) verifica las
siguientes condiciones:
(a) ~ es un orden total en L y L no tiene ínfimo ni supremo en dicho orden.
(b) L tiene la topología del orden inducida por~ y, con dicha topología, es conexo.
Entonces se sabe que L es topológicamente homeomorfo a la recta real lR si y sólo satisface
además la siguiente condición:
(S) Existe un subconjunto de L que es denso y numerable (i.e., Les separable).
El problema de Souslin [36) consiste en averiguar si la condición {S) anterior se puede sustituir
por la siguiente condición
(e) Toda familia de intervalos abiertos disjuntos dos a dos de L debe ser forzosamente nu­merable.
o si, por el contrario, existen conjuntos (L, ~) que verifican {a), (b), (e) y no son separables. Un
tal conjunto L se llamará recta de Souslin.
Podemos, por tanto, resumir el contenido de la discusión anterior en el enunciado del siguiente
resultado:
Teorema 13. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
• Existen árboles de Souslin.
• Existen rectas de Souslin.
Además, ambas afirmaciones son formalmente indecidibles en el seno de ZFC.
Finalmente, se sabe (22] que si se admite el axioma de :Martin (un axioma bastante complejo
de enunciar pero que tiene importantes consecuencias en TC) y que N l < 2No, entonces se puede
probar que no existen rectas de Souslin.
5.4. Cardinales y Ordinales. Es lógico, a estas alturas, que algún lector "sospeche" de la
"definición" de número cardinal. pues ésta hace referencia a una clase muy grande de conjuntos.
Recuérdese que sólo hemos establecido bajo qué circunstancias dos conjuntos poseen el mismo
cardinal, suponiendo que un cardinal es, por tanto. una clase de equivalencia sobre la clase de
todos los conjuntos, y esto no parece razonable en ZF (¿Quizás sí vale para NBG?). Resumiendo:
nos gustaría que los números cardinales fuesen objetos concretos de TC y, a ser posible, fuesen
131
conjuntos. ¿Cómo se logra esto? La solución que vamos a proponer aquí pasa por la definición
de los números ordinales.
La definición de Cantor de número ordinal, como la de número cardinal, hace referencia a
una relación de equivalencia en cierta clase de conjuntos muy grande14 y, por tanto, puede dar
lugar a ciertas dificultades. En 1923, J. von Neumann propuso resolver esta cuestión de la sigu­iente
forma: En vez de identificar tipo(A, ::;) con una clase enorme, tomamos un representante
concreto de dicha clase (ver [27)).
Definición 7 (J. von Neumann, 1923). El conjunto vacío es un ordinal. Cada ordinal es
el conjunto de los ordinales que le preceden. Un ordinal límite es uno que no tiene predecesor
inmediato.
Nota. De esta forma, obtenemos nuevamente que O= 0, 1 = {0} =O, 2 = {0, {0}} = {O, l},
etc.
Sin embargo, la definición anterior no es lo suficientemente clara: ¿cómo se construyen, de
verdad, todos los ordinales, incluyendo los ordinales transfinitos de todos los tamaños posibles?
La idea de la definición anterior, que luego sería mucho mejor desarrollada por el propio N eumann
en 1929, es utilizar el principio de inducción transfinita. Lo explicamos en palabras de J.
Mosterín:
En la teoría de conjuntos tenemos que cuantificar con frecuencia sobre todos los conjuntos. pero no
tenemos una intuición suficientemente clara de qué sean los conjuntos, de cómo se formen, de en qué
consista el universo conjuntista ( ... ) Von Neumann en 1929 y, sobre todo, Zermelo en 1930 propusieron
considerar que los conjuntos son el conjunto vacío y los resultados de iterar un número cualquiera (finito
o infinito) de veces las operaciones "conjunto de las partes de" y " unión de". Esta concepción iterativa
nos proporciona una cierta intuición de cómo es y cómo se construye el universo conjuntista. Según
esta manera de verlo, el universo conjuntista estaría estratificado de un modo jerárquico y acumulativo:
jerárquico porque todo conjunto tendría un rango determinado, se situaría a cierto nivel: acumulativo
porque cada nivel abarcaría a todos los anteriores.
Y~ claro, no es difícil ahora utilizar un principio de inducción transfinita para definir funciones,
etc., sobre la clase de todos los ordinales.
En 1937, R. Robinson propuso una definición más sencilla (pero equivalente a la de Neumann)
de número ordinal:
Definición 8 (Robinson, 1937). Un conjunto X se dice transitivo si x E X =? x ~ X. Un
ordinal es un par (o, E), donde o es un conjunto transitivo tal que la relación E (re.<>tringida a
o) define un buen orden sobre o.
Otros conceptos que surgen de forma natural son los siguientes:
Definición 9. Dado un ordinal x, llamamos sucesor de x al ordinal x + = x U { x}. Decimos
que el ordinal .X es un ordinal límite si no existen ordinales x verificando que x + = .X.
Dados dos ordinales o y {3, decimos que a < {3 si a E {3. Decimos que a ::; /3 si (o < /3) V (a = /3).
Si a es un ordinal y x E o, entonces el segmento determinado por x es el ordinal ax = {y E a:
y< x}.
En particular, es obvio que si o es un ordinal (según Robinson) entonces se satisface la relación:
a= {{3: f3 es un ordinal y {3 <a} (y por tanto, a es un ordinal de los definidos por Neumann).
Además, con la definición de Robinson, se puede probar también fácilmente que todo conjunto
bien ordenado (A,::;) es similar a un único ordinal (por supuesto, dicho ordinal se suele llamar
14Dos conjuntos bien ordenados tienen el mismo tipo de orden, o el mismo ordinal, si existe una hiyección
entre ambos que preserva el orden
132
"ordinal de (A,:::;)" o, si se quiere, 'tipo de orden de (A,::;)"). Otro resultado importante para
la clase de los ordinales 15 es el siguiente:
Teorema 14. Sea X un conjunto arbitrario de números ordinales. Entonces
• íl X y LJ X son ordinales . • n X ::; X ::; u X para todo X E X.
• íl X E X (aunque podría suceder que LJ X ft X}.
• Si 1 es un ordinal que verifica x ::; 1· para todo x E X, entonces U X ~ "f ·
En particular, (X,::;) es un conjunto bien ordenado.
Otro teorema muy importante (debido a Neumann) para la teoría de ordinales es el llamado
principio de inducción transfinita. Lo enunciamos a continuación:
Teorema 15. Supongamos que P(.7:) es una propiedad de conjuntos y que se verifican las sigu­ientes
afirmaciones:
• P{O) se satisface.
• Si se verifica P(aL entonces también se verifica P(a+).
• Si .A es un ordinal límite, A > O, y P(¡3) se satisface paro todo /3 <a, entonces se verifica
también P( o:).
Entonces P( 1) se satis/ ace para todo ordinal ; .
El resultado anterior resulta muy útil a la hora de definir "funciones:' (e.g., las operaciones
aritméticas) sobre la clase n de los ordinales.
Ya podemos dar una definición precisa de número cardinal 16.
Definición 10. Un número cardinal es un ordinal 0: con la propiedad de que si /3 es otro ordinal
equipotente a a~ entonces o ::; .B.
Nota. Si se asume el axioma de elección, entonces todo conjunto se puede bien-ordenar y,
por tanto. todo conjunto tiene asociado su cardinal (que es el menor de los ordinales que son
equipotentes al conjunto dado). En otro caso, la definición anterior no es válida.
Terminamos esta sección demostrando, sin hacer uso de AC, que hay conjuntos bien ordenados
de tamaño tan grande como se desee:
Teorema 16 (Hartogs, 1915). Sea A 1m conjunto infinito cualquiem. Entonces existe un
conjunto B bien ordenado que no se puede inyectar en A, aunque sí que se puede inyectar en
222
A := P(P(P(A))).
Demostración. Sea A un conjunto infinito. Consideremos entonces el conjunto
E= {N ~ P(A): (N, ~)es un conjunto bien ordenado}.
Como cada conjunto N E E es un conjunto bien ordenado (por definición de E), entonces
podemos particionar E en clases de conjuntos similares:
N ,...., Al <=> 39 : N ~ M biyerción que preserva la inclusión,
formando un conjunto cociente B = E/"'· Este conjunto se puede interpretar de forma obvia
como un conjunto de mímeros ordinales y. por tanto, podemos bien-ordenarlo. Además, es obvio
que B ~ P(P(P(A))). Veamos que B no se puede inyectar en A. Supongamos, por el contrario,
15 A propósito. la clase de los ordinales la representmnos con la letra Sl.
16Esta definición tambié-n se la debemos a Neumann
133
que existe A e A equipotente a B. Entonces el buen orden de B induce un buen orden en A,
que es similar al de B. Se sigue que, si E denota el conjunto de los segmentos de A, entonces
ord E = ord A = ord B
(donde ord X denota el número ordinal del conjunto bien ordenado X). Ahora, como E es un
conjunto de subconjuntos de A que está bien ordenado por la inclusión, entonces E E E y, por
tanto, E pertenece a alguna de las clases de similaridad de B. Denotemos dicha clase por I<. Se
sigue que el segmento de B determinado por K es similar a :E y, en consecuencia, B es similar
a uno de sus segmentos, lo que no puede ser. El resto de la demostración es fácil. O
5.5. Teoría de la prueba de Hilbert. La idea de Hilbert para su ''Teoría de la Prueba" era
verdaderamente brillante. Se trataba esencialmente de conseguir una completa formalización
de la matemática (en particular, de la TC o de la Aritmética), de manera que, al unir al
cálculo lógico una correcta interpretación formal de los axiomas de una teoría matemática conc­reta,
podríamos formalizar completamente cualquier afirmación de dicha teoría (en particular,
cualquier demostración) como una ristra finita de fórmulas abstractas, cuyos símbolos, aislados
Y sin interpretación, carecen de significado por sí mismos. ¿Por qué es esto deseable? Algunas
de las razones son las siguientes:
• Al carecer las sentencias formales que se puedan deducir en el cálculo lógico descrito ante­riormente
de un significado concreto, podremos olvidarnos (en nuestras deducciones for­males)
del contenido transfinito de la TC clásica, de manera que evitaremos la aparición
de las paradojas que se conocían entonces.
• Una vez formalizado nuestro sistema, si pudiésemos demostrar dentro de éste que el
sistema es consistente, obtendríamos una demostración finitaria (i.e., de aquellas que
satisfacen a todas las escuelas de pensamiento matemático, incluidos los intuicionistas)
de que no hay peligro en utilizar los conceptos que en principio parecían problemáticos
en TC, siempre que nos ciñamos al uso del sistema axiomático para el cual se ha probado
la consistencia.
• Todo lo que se demuestre en el seno de un sistema formal fijado, funciona como verdadero
. para cualquier interpretación que se realize de éste.
Nota.. Por supuesto, hubo una amplia (y a veces agria) discusión sobre la utilidad del
formalismo. Por ejemplo, Poincaré atacó con sarcasmo los éxitos de la escuela formalista.
"Pero, si hacen falta veintisiete ecuaciones para establecer que 1 es un número, ¿cuántas no harán falta
para demostrar un teorema de verdad?". La carcajada de Poincaré resuena, todavía hoy. devastadora,
contra la pretensión de escribir matemática en un lenguaje simbólico y se transmite en el invencible
desagrado del matemático por todo lo que tiene que ver con lenguajes simbólicos y lógica. Poincaré
protestaba contra la falta de sentido y la escasa confianza que merecen los textos formales entendidos
como vectores del discurso matemático17
Es curioso, porque Poincaré argumentaba precisamente contra las mismas ideas con las que
l~ escuel~ ~ormalista pretendía defender su postura: la precisión, la seguridad, el logro de un
cálculo log1co que debía liberar a la mente de pensar directamente las cosas, y aún así, tener
total seguridad de certeza ....
Vamos a precisar algunos de los conceptos básicos introducidos por Hilbert:
Definición 11. Un sistema formal S consta de los siguientes elementos:
• Un conjunto numerable de signos primitivos, que determina el conjunto de sus hileras o
secuencias finitas de signos (con posibles repeticiones).
17Ver [26J.
134
• Un conjunto {finito) de reglas combinatorias que determinan bajo qué condiciones pode­mos
afirmar que una hilero de símbolos primitivos es (o no) una fórmula. El conjunto
.C de las fórmulas se denomina lenguaje formal del sistema.
• Un conjunto de reglas combinatorias que sirve para producir deducciones formales (i.e.,
determina qué secuencias de fórmulas constituyen una deducción en el sistema). Estas
reglas normalmente incluyen la aceptación como verdaderas de un conjunto finito de
sentencias (i.e .. fórmulas sin variables libres) que reciben el nombre de axiomas del
sistema.
• Las sentencias del sistema. Una sentencia se dice deducible si es la última fórmula que
aparece en una secuencia de fórmulas que constituye una deducción. El conjunto de
sentencias deducibles se llama Teoría Formalizada.
Definición 12. Sea un sistema formal S. cuyos axiomas están dados por A. Si cp es deducible en
el sistemai decimos que cp es una consecuencia sintáctica del sistema y se denota como Ar- cp. Si
cp es una afirmación verdadero en cualquiero de las posibles interpretaciones del sistema formal,
diremos que se trata de una consecuencia semántica de A y lo denotaremos como A f= cp
Un sistema formal se dice que es consistente si en él no se pueden derivar (sintácticamente)
proposiciones contradictorias. El sistema se dice coherente si las consecuencias sintácticas de éste
son también consecuencias semánticas. El sistema se dice adecuado si todas las consecuencias
semánticas son a su vez consecuencias sintácticas {i.e., si todas las verdades son deducibles)
Finalmente, el sistema se dice completo si para cada proposición p de éste se tiene que bien p
es deducible o bien -.p es deducible.
5.6. Indecidibilidad. Teoremas de Godel. No vamos a demostrar los Teoremas de Incom­pletitud
de GodeL pero sí que vamos a establecerlos con precisión, y haremos algunos comen­tarios.
Por otra parte, vamos a enunciar un resultado de G. Boolos, que está relacionado con
los de Godel.
Primero Descartes y luego Leibniz, estuvieron interesados en la creación de un método uni­versal
para el establecimiento de las leyes fundamentales del pensamiento. En el caso de Leib­niz,
dicho objetivo quebada descrito como la búsqueda de una lengua universal perfecta, un
catálogo de ideas simples y de reglas para su combinación que debería servir para expresar todo
pensamiento racional (i.e .. una "gramática racional que refleje las conexiones lógicas entre las
diferentes ideas"), liberando al hombre de la confusión omnipresente que hay en todo lenguaje
natural. Siguiendo estas ideas! pero con un objetivo mucho menos ambicioso (consciente, quizás,
de la imposibilidad material de la realización del sueño de Leibniz), en 1879 Frege publicaba
el primer volumen de su Ideografía 18
• en el que pretendía avanzar hacia los objetivos de Leib­niz,
pero en el ámbito mucho más restringido del pensamiento matemático y en particular, del
pensamiento lógico. (Algo. por otra parte, mucho más razonable, si se tiene en cuenta que la
matemática sería el modelo ';ideal" de lenguaje racional, en el que toda ambigüedad sobra, etc.)
Frege produce en su ideografía el primer cálculo deductivo completo y correcto de lo que
hoy se llama lógica de primer orden (Crea la moderna Lógica Matemática) y que consta de los
siguientes axiomas:
•p=;.(q=;.r)
• (p => ( q ==;.. s)) ==;.. ( (p ==;.. q) => (p => s))
• (p ==;.. ( q ==;.. s)) => ( q => (p ==;.. s))
• (p => q) => ( -.q ==;.. -.p)
• -.-.p ==;.. p
18Ideografía. Un lenguaje de fórmulas similar a la aritmética.
135
• p => ''P
• p = q => ((f(p) => f(q)) & (f(q) => f(p)))
•p=p
• 'r/xf(x) => f(p)
Y las siguientes reglas de inferencia:
• (Modus Ponens) De p => q y p se deduce q.
• (Generalización) De p se deduce que 'r/xp(x).
• (Generalización condicional) De p => q se deduce que p => 'txq(x).
El siguiente resultado garantiza que sistema formal que se acaba de describir es consistente.
Teorema 17. El cálculo para lógica de primer orden es sintácticamente consistente.
El sistema descrito anteriormente no es, sin embargo, sintácticamente suficiente. Esto sig­nifica
que existen fórmulas bien formadas (i.e., con una gramática correcta) tales que ni ellas
ni sus negaciones son tautologías y, por tanto, ni ellas ni su negación pueden ser teoremas del
sistema y por tanto no pueden ser derivadas sintácticamente. Otra cosa diferente es la suficiencia
semántica. En este caso, podemos preguntarnos si todas las fórmulas semánticamente válidas
(i.e., aquellas que son tautologías: teoremas en cualquier interpretación natural de éstas) se
pueden deducir en el cálculo lógico descrito.
Esta cuestión estuvo abierta durante mucho tiempo. De hecho, el primer resultado importante
publicado por Godel, y que fue precisamente el tema de su tesis doctoral, es el siguiente teorema
Teorema 18 (Godel, 1930). Cada fórmula válida de la lógica de primer orden es sintácticamente
deducible.
Por supuesto, este resultado alegró grandemente a los formalistas. Sin embargo, su alegría
duró poco. En 1931 el mismo matemático (entonces un completo desconocido) que les había
endulzado la boca con el resultado anterior, daría un golpe de efecto demoledor, al demostrar
los siguientes teoremas:
~eorema 19 (Godel, 1931). Sea P el sistema formal de los Principia Mathematica, con­juntamente
con la axiomática de Peano para la aritmética. Si P es consistente entonces es
incompleto. Es más, esto sucede aunque completemos el sistema con un conjunto finito I< de
axiomas consistentes con p
Nota. En realidad, Godel supone que Pu J( es w-consistente, una hipótesis un poco más
restrictiva que la consistencia. Sin embargo, en 1936, B. Rosser consiguió reducir esta hipótesis
a la simple consistencia, con ideas similares a las de Godel.
Teorema 20 (Godel, 1931). Si el sistema formal PU J( es consistente, entonces es imposible
demostrar su consistencia con sus propios medios.
Finalizamos esta sección enunciando un teorema análogo al Teorema 19 anterior, que probó G.
Bool~s en 1986 (~er [6]). La idea es que podemos interpretar los sistemas fórmales como un tipo
especial de algoritmos que generan proposiciones verdaderas (i.e., teoremas) de la aritmética.
Teorema 21. No existe ningún algoritmo cuya salida contenga todos los enunciados verdaderos
de la aritmética y ninguno falso.
Los teoremas de incompletitud de Godel se pueden aplicar, en particular a todas las axiomáicas
conocidas de TC. El resultado es, por tanto, que no podemos aspirar a finalizar el programa
formalista de Hilbert. pues no hay pruebas de consistencia internas para los sistemas formales
que representan la TC. Ahora bien, como bien observan Newman y Nagel en (29L estos re:mltados
136
no dicen nada que impida la demostración de la consistencia de la aritmética mediante algún
tipo de prueba que no sea formalizable dentro de la aritmética (y que, sin embargo, sea correcta).
Claro que el problema para este tipo de pruebas es que hasta la fecha nadie ha tenido la idea
brillante que ilumine el camino.
Por otra parte. la demostración de Godel de la existencia de proposiciones formalmente in­decidibles
en el lenguaje de la aritmética se basa en la construcción efectiva de una de dichas
proposiciones pero. desafortunadamente. ésta no es particularmente significativa en términos
matemáticos (como podría serlo. por ejemplo. el axioma de elección o la conjetura de Gold­bach).
Este tipo de afirmaciones existen: se deben al trabajo de Paris y Harrington de 1977 (ver
[21)).
El mismo Godel. en vez de desanimarse. continuó activamente su trabajo sobre los funda­mentos
de la matmuít.ica. Incluso. podría decirse que algunas de sus contribuciones posteriores
superan en dificultad a los teoremas de incompletitud. ¿Qué quedaba por hacer? Pues había
que estudiar si la admisión de los postulados más conflicitivos de TC, como el axioma de elección
o las hipótesis simple y generalizada del continuo, producen (o no) nuevas contradicciones en
TC. Es decir, se debía estudiar la "consistencia relativa" de estos postulados respecto de las
teorías axiomáticas clásicas (ZF y NBG). En 1938, Godel proporcionó una solución positiva a
este problema:
Teorema 22. Si ZF es consistente. también lo son ZF U {AC} y ZF U {HGC}. Lo mismo
podemos afirmar pam el sistema NBG.
Finalmente, en 1963, el matemático estadounidense P. J. Cohen demostraría el siguiente
resultado:
Teorema 23. Si ZF es con.o;istente, también lo son ZFU {•AC} y ZFU{•HGC}. Lo mismo
podemos afirmar para el sistema NBG.
En consecuencia. AC y HGC, son proposiciones independientes del resto de postulados de ZG
y NBG. (Se trata de algo sünilar a lo que sucede con las Geometrías Euclídea y no-Euclídeas).
Todas estas demrn;traciones se basan en la Teoría de :t\lodelos.
6. A MODO DE CONCLUSIÓN
Hace aproximadamente un siglo un grupo de importantes matemáticos alemanes, france­ses,
americanos, etc. estuvo inmerso en una discusión a fondo sobre los fundamentos de las
matemáticas. Se trataba de eliminar una serie de paradojas que habían surgido en TC, pero
también se discutió sobre lo que es o no aceptable en matemáticas.
Además de las paradojas lógicas, otra cuestión que produjo cierta incertidumbre en la comu­nidad
matemática de la ~poca es el hecho de que el axioma de elección posea consecuencias muy
poco intuitivas. como el Lema ele Zorn. el Axioma de Zermelo o la descomposición paradójica de
Banach-Tarsky y por tanto. resultaba un poco ''duro" admitir AC como axioma; pero por otra
parte, si eliminamos AC de la TC entonces perderemos la oportunidad de demostrar muchos re­sultados
importantes. como la existencia de cierres algebraicos o de bases de espacios vectoriales.
Ahora bien: ¿No deberíamos tener ciertas garantías de que admitir AC no iba a producir nuevas
contradicciones en el futuro? (Algo parecido sucedía con otros postulados, como la hipótesis del
continuo).
Como resultado de estas discm;iones surgieron varias escuelas de pensamiento que, desde
entonces, se encuentran enfrentadas (formalistas, intuicionistas). Además, la demostración por
parte de Godel de ciertos resultados sobre incompletitud y consistencia de los sistemas formales
que contienen la aritmética C'lemental. acabó con el sueño de Hilbert de establecer un consenso
definitivo entre dichas escuelas.
137
A pesar de la naturaleza pesimista de los resultados de Godel, hay que decir que su trabajo
motivó el desarrollo posterior de teorías matemáticas muy interesantes, como son por ejemplo
los diferentes conceptos de algoritmo, de computabilidad y de recursividad. Además, también
debemos a Godel algunos resultados optimistas, como son la suficiencia semántica d~ la lógica
de primer orden y la consistencia de AC y HGC con el resto de axiomas de TC.
En los años sesenta, el matemático norteamericano P. Cohen completó los resultados de Godel
sobre AC y HGC, demostrando que ambos postulados son independientes del resto de axiomas
de TC (de nuevo, tanto para ZF como para NBG), mediante el uso de técnicas propias de la
teoría de modelos.
Sabemos, por Gooel, que no existen pruebas internas (finitarias) de la consistencia de ZF o
NBG. Pero, ¿con esto se acaba todo?
En 1936Y1938, G. Gentzen demostró de dos formas distintas la consistencia de la aritmética,
utilizando inducción transfinita (i.e., p~r métodos no finitarios)'.
D~sde el principio, la TC ha probado ampliamente su utilidad, al proporcionar herramien~~
no solo para la homogeneización del lenguaje matemático, sino también para la demostrac~~n
de resultados interesantes en otras áreas. Piénsese, por ejemplo, en la sencilla demostracio~
por Cantor de la existencia de números trascendentes. También desde el principio TC conto
con ,algunos detractores (e.g., Kronecker), pero con el tiempo ha quedado claro el papel central
de esta en la estructuración del conocimiento matemático. Probablemente aún hoy muchos
matei;náticos son de la opinión de que, por ejemplo, la teoría de los grandes cardinales no es
especialmente interesante porque este tipo de conjuntos gigantescos no son frecuentes ni siquiera
en las aplicaciones teóricas ... pero es difícil que estos mismos matemáticos rechacen, por ejemplo,
el val or es te' ti·c o Y filosófico de esta teoría.
Actualmente hay muchos problemas de TC que están abiertos, y sobre los que quizás valdría
la pena echar un vistazo.
Personalmente, me inclino a pensar que la matemática no contiene contradicciones. ¡Aunque
no podamc:' .demostrarlo usando un número finito de pasos! (¿Hay en matemáticas algo de
aspecto mas mofensivo que N?)
Es probable que la preocupación por los fundamentos de la mayoría de los matemáticos
m( ofdile, rnofi s s)e a muy poca o, cuand o menos, muy relati.v a. So, lo un grupo reduci·d o d e materna't "i co s
d
y . odso os se ocupa actualmente de estas cuestiones. Aunque, obviamente, lo mismo podríamos
ecM1r e muc,h as de las d·1r1 erent es "e spec1. al.1 zac1. ones" que ex.i sten hoy por hoy en mat ema't 'ic as ·
~ gustaria pensar que estas notas, escritas no por un experto sino por un "aficionado" como
ydo bsi rvan. d e m0 t'i vacm·, n para los lectores. Motivación para leer más sobre fundamentos. Adema,s ,
e 0 decir que existe mucho material publicado en español sobre el tema, y una amplia gama
de documentos (esta vez, la mayoría en inglés) cuyo acceso es libre en internet. La bibliografía
que aparece a continuación es sólo una pequeña muestra.
BIBLIOGRAFÍA
[1] M. Ai~er, G. M. Ziegler, Proofs from The Book, Springer (2001).
[
2
] J. Avigad, E. H. Reck, Clarifying the nature of the infinite. the development of metamathematics and
proo~ theory, Carnegie Mellon Technical Report CMU-PHIL-120, (2001) (Disponible en la página web
http.//www.andrew.cmu.edu/ avigad)
131 D. 'W_· Barnes, J. M. Mack, Una introducción algebraica a la lógica matemática, EUNIBAR (1978).
[4] E. B~shop, Foundations of Constructive Analysis, McGraw-hill, New-York (1967).
[5] E. Bishop, D. Bridges, Constructive Analysis, Springer-Verlag (1985).
[6] G. Boolos. Una demostración del Teorema de incompletitud de Godel, La Gaceta de la R.S.M.E. 4 (3) {2001)
521-527. Traducción de Notices of the Amer. Math. Soc. 36 {1989) 388-390 y 36 (1989) 676.
[7] G. Cantor, Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta, Edición a
cargo de J. Ferreirós, en Clásicos de la ciencia y la tecnología, Editorial Crítica, 2006.
138
[8] O. De La C ruz. Thr<'<' topics in Set Throry: Finitcness nnd Choice. Cardinality of Compact Spaces and
Singular .JOnson Cardinals. Ph. Thcsis. Uni\'C'rsity of Florida (2000).
[9] R. Dcclekin<l. ¡,Qué- sou y para qué s in·C'n los númNos?. :\lianzn Ed. (199 ).
[10] A. J . Durá n. Historia. con personajes. de los conceptos del Cálculo. Alianza Uni,·ersidad 861 E~:!. Alianza
(1996).
[11] H. D. Ebbinghaus l't. ni. :\umbers. íleadings in l\lathematics 123. Springer. 1995.
[1 21 .J. Ferrcirós. L ah~Ti nth of thought: a history of set thcory and its role in modern mathematics. Birkhauser
Verlag ( l!J9!J). (:\par<'c<' 1111a n•sC'tia dC' este· libro. por l. J ane. en La Gaceta de la R.S.1\1.E. 4 (3) (2001)
577-58!)).
[131 J. Ferreirós. El 11aci111iC'llto de la Teoría dC' Conjuntos (185-1-1908). Ed. de la Univ. Autónoma de l\ladrid
(1992).
[14] A. R. Garc iadi!'~O Dant :111. 8Prtrand íl ussl•ll ~· los orig<'nC'S de las "paradojas" de la teoría de conjuntos.
Alianza Unive rsidad 714 Ed. Alianza ( 1992).
[151 L. Gillman . 1'1110 d11s.•ical s 1117wisP.~ ro111·p1·11i911 lhe ..l rio111 of Choice a11d V1e Co11ti11m1m Hypothesis, Amer.
l\!ath. l\ lont hly 109 (2002) 5·1-1-553.
[161 !<. Giidel. Obras co mpl <'tn.~. Alianza Unh-ersidad 286 Ed. :\linnzn (19 9).
[171 K. Ciidcl. SobrP proposil·iones formahnentc• inclecidibles de los Principia l\lathematica y sistemas afines, (con
u11a introduccil>n de R. B. 13raithwaite). en CuadC'rnO..« TrorC'ma 8 ( 19 O).
[1 81 R. A. Gordon. Thc use of ta99ed p11rl1lio11s 111 Elcmc11/ary Rwl :lnalysis. Amer. l\lath. l\!onthly 111 (2003)
107- 11·1.
[191
[20]
¡211
1221
[231
[24]
[251
[2G]
[27]
[28J
[29]
[301
[31]
[32]
[331
[341
l. Grattan-G 11innC'SS (compilador). OC'! cákulo a la tcoría de conjunt os. 1630- 1910. Alianza uni\·ersidad 387
Ed. Alianza ( 198·1).
P. Ha lmos. Nai\'<' Set Theory. Princeton. Van '.llostrand (1960).
L. Harrington .. l. París. A mat hematical i n complPIC'nl""~ in Peano arithmctic. HandBook on t\ !athematical
Logic (J . Barwise. ed.) l'orth-Holland (1977).
T. J cch. Set Thc>or)" (:lrd c>dil'ión. re,·isada). Springcr (2003).
T . Jech . ThC' infinit~" .Jahrhuch l !J~lO <ler I..:mt-Giidel-Gcsellschaft. \\'iC'n. 1991. pp.36-4-1. (También disponible
en la púgina wC'b htt p://www.mat h.psu .edu/ jech/ preprints)
T. Jech . On Giidel s<'<·ond incompletC'ness thcorem. Proccl'C'dings of the ,\mer. l\lath. Society 121 (199-1)
311-313 (Ta111hii•n el isponihlc> C'n la página web ht tp://www.111a1 h.psu.cdu/ jcch/ preprints)
W. l<nc>ale, 1\ 1. l<11C'nle. El desarrollo de la lógica. Estructura y Función 38. Ed. Tecnos (1980).
G. Lolli. La 1míquina .\' las demost rac io nes. Ed. Alianza ( 1991 ).
J . t\ losterín, Los lógicos. Espasa Forum. Ed. Espasa ( 1999). (Aparee<' una reselia por J. t\I. Almira en
l\!atcm!Ítiras En I3rC'vc 2 ( 1) (2003) 5)
.J . R. Ncwman (co111 pilador). :'-.latemática. Verdad. ílealidad. Ed. Grijalbo (1969).
E. Nagel. .J. íl . Newman. El Teorema de Godel. Ed. Tecnos (199-1).
l\ !. de J. Pércz .Jimé-rwz. Teoría de clases ~· conjuntos. Ed iciones Y Distribuciones Universitarias, 19 8.
R. Penrose. La 1111eva mc>nt<' del emperador. Ed. t\ lond<ldori ( 1991).
l\!. E. Rudi11. So11sli11's rnnje('ture. Anwr. l\ lath. l\ lonthly. 76 ( 1969) 1113- 11 19.
J . Sannrnrtín. Unn in1rod11<'eión com:tructirn a la teoría dP modelos. Ed. Tecnos (19 3).
1\1. Schcfíl•r. T hC' theory uf the fou11datio11s of l\ lathematics: 1 i0- 19-10. Disponible 011 line en
http/W\\'W.rSlllC'.N;
[351 E. Scchter. Constrnc·tivism is difficult. Amer. t\ lath. l\lonthly 108 {2001) 50-5-1.
[361 l\!. Sonslin. Prohlc>m<' 3. F11nd. l\ !a th. 1 ( 1920) 223.
[371 S. Wagon. T h<' I3anach-Tnrsky paradox. Enriclopedin of t\lathemat ics and its Applications 24 Cambridge
Universi ty Press ( 198!)).
[38] E. Zcrmclo. 1 nvcst igat ions in thC' foundations of sel t heory l. ( 1908). [transl. in Ftom Frege to Giidel. van
Heijenoort, Ha rvard Univ. Press. 197 1.]
J. M. Almira
Oepartamc 11to el<' l\ la t <'n11lt iras.
E.U.P. Li11arcs. 11ivpr siclad dP .Jaé-11 .
23700 Li11a rcs (J a{·11).
e rnail: jmalmira c"ujaen.t>s
139