Modelo térmico de los supercoondensadores EDLC para aplicaciones en almacenamiento de energía

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XXVI, 61-81 (2014) (publicado enjulio de 2015)
MODELO TÉRMICO DE LOS SUPERCONDENSADORES
EDLC PARA APLICACIONES EN ALMACENAMIENTO
DE ENERGÍA
Ignacio de la Nuez, José Juan Quintana & Juan Ortega
Grupo de Ingeniería Térmica e Instrumentación, IUSIANI
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, islas Canarias, España
Resumen
En este trabajo se realiza una evaluación de supercondensadores (EDLC) como
dispositivos de almacenamiento de energía. Se plantea un modelo matemático de
naturaleza térmica y eléctrica, tanto para el calorímetro como para un
supercondensador, que son necesarios para evaluar las pérdidas de energía existentes
en los dispositivos. Se diseña una experimentación para la adquisición de las variables
eléctricas (tensión e intensidad) y las respuestas térmicas procedentes de un
calorímetro de conducción. Las dimensiones de la célula del calorímetro limitan el
tamaño de los EDLC utilizados, seleccionándose dos supercondensadores con
capacidades de 4, 7 F y 1 O F. Las experiencias en los supercondensadores se configuran
en diferentes fases sucesivas: inicial---Mescarga---->carga-freposo---Mescarga, hasta
conseguir las mismas condiciones iniciales. Se evalúan los resultados de los ensayos y
se calculan los rendimientos de los EDLC como dispositivo de almacenamiento
energético, obteniéndose valores cercanos al 40% para el supercondensador de inferior
capacidad y del 50% para el de mayor capacidad.
Palabras clave: Supercondensador, EDLC, Modelización, Calorímetro
Abstract
In this work an evaluation of supercapacitors (EDLC) as energy storage devices is
performed. So, a mathematical model of thermal and electrical nature is described, as
far the calorimeter as far a supercapacitor, which are necessary far evaluating the
energy losses in the devices. An experimental procedure is designed to know the
electrical variables (voltage and intensity) and the thermal responses obtained by using
of a conduction calorimeter. The dimensions of the cell of the calorimeter define the size
of the EDLC employed and two supercapacitors with capacities of 4. 7 F and 1 O F are
selected. Experiences in supercapacitors are configured in different successive steps:
initial---Mischarge---->charge-frest---Mischarge up to achieve the same initial conditions.
The results of experiments are evaluated and the efjiciencies of EDLC as energy storage
calculated for the two devices, yielding values closed to 40% far the supercapacitor of
inferior capacity and 50%for higher.
Key word: Supercapacitor, EDLC, Modeling, Calorimeter
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
l. Introducción
Con motivo del elevado consumo energético de los países industrializados se
han generado nuevas líneas de investigación en ese terreno, con el fin de encontrar
sistemas de producción que sean sostenibles para el medioambiente y rentables
económicamente. No obstante, también es importante mejorar los rendimientos técnicos
y económicos de los sistemas de producción/consumo actuales, donde es posible
establecer otras vías del trabajo científico y tecnológico. Particular interés tiene la
temática de trabajo denominada "almacenamiento de energía" que ocupa un lugar
relevante en la investigación de los sistemas energéticos. En este sentido, a los
tradicionales sistemas que utilizan los fundamentos energéticos como los de: cambios
de estado, procesos termoquímicos, gradientes térmicos (denominados también por
calor sensible), y otros, se unen otras investigaciones, refiriéndonos aquí al uso de
supercondensadores o condensadores electroquímicos.
En el campo de la energía eléctrica se han impulsado trabajos relacionados con
el almacenamiento de carga utilizando supercondensadores EDLC (Electrical Double­Layer
Capacitors). Genéricamente, los supercondensadores son dispositivos capaces de
almacenar energía eléctrica y se caracterizan por una respuesta rápida durante los ciclos
de carga y descarga, pudiendo proporcionar potencias elevadas y presentar un tiempo de
vida duradero en esos ciclos. No obstante, de manera particular, el EDLC dispone de
unas cualidades complementarias, ya que es capaz de almacenar mayor energía eléctrica
que los condensadores convencionales y suministran mayor potencia que las baterías
[ 1,2]. Aunque las baterías muestran mayores densidades de energía eléctrica, tienen
capacidades de utilización de potencia más bajas y ciclos de vida más cortos. El
comportamiento entre las variables eléctricas (intensidad y tensión) de los EDLC ha
sido analizado en diversos trabajos, que han dado lugar a modelos que evolucionan con
el conocimiento, y que van desde sencillas redes de circuitos pasivos [3,4], a elementos
pasivos con coeficientes variables [5,6], y a elementos de carácter fraccionado [7-10].
Todos ellos se corresponden con modelos dinámicos para simular o, en algunos casos,
controlar los supercondensadores. La relación existente entre la intensidad y la tensión
en algunos condensadores convencionales es una expresión en derivadas fraccionadas
[11]. Así, una red eléctrica compuesta con infinitos elementos RC puede ser modelada
por ecuaciones diferenciales fraccionales [ 12, 13]. Por otro lado, algunas aportaciones
han sido realizadas sobre el comportamiento térmico de los EDLC en los procesos de
carga, descarga y reposo [ 14, 15], con estudios específicos en calorimetría, donde se
proponen modelos lineales para estudiar su comportamiento [ 16-18].
En este trabajo se plantea un modelo que recoge las variaciones térmicas del
proceso de carga, reposo y descarga de los EDLC, cuya verificación consideramos
importante, por requerir de una instrumentación muy específica. Entre otros aspectos,
con el modelo se pretende evaluar la capacidad y el rendimiento que pueden ofrecer
estos dispositivos para su empleo en sistemas de almacenamiento energético.
2. Modelo matemático y calibración de un calorímetro de conducción
La instrumentación experimental utilizada para este trabajo se refiere
específicamente a un microcalorímetro Calvet, de elevada resolución, con capacidad
para registrar las pequeñas variaciones térmicas que puedan generarse en los EDLC. En
la Figura 1 se muestra un esquema del interior de las dos termopilas, conectadas en
oposición para generar una señal diferencial, con la distribución de termopares para
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recoger la señal emitida por las celdas/contenedores que se introducen en el interior de
las termopilas. En esta sección se desarrolla el modelo térmico utilizado en calorímetros
Figura l. Sección transversal de terrnopilas
y montaje diferencial
de esta naturaleza, y que constituye el
fundamento del prototipo matemático para
implementar el modelo térmico de los
EDLC [18]. La modelización térmica de un
calorímetro tiene su fundamento en una
analogía clásica de circuitos RC [ 19], pero
empleando elementos con capacidades tér­micas
y parámetros característicos de los
acoplamientos, para los que se necesita
considerar la naturaleza de los materiales, el
medio exterior, etc. Es decir, parámetros que
se corresponden con las conductividades, o
bien con resistencias térmicas.
El balance energético establecido en
términos de la potencia wj(B), que se disipa
en un determinado tiempo Ben un cuerpo j,
establecido en el aparato, se escribe median­te
la siguiente ecuación.
wj(B)=cj d~~) + LPid1J(B)-Tk(B)]+Pjo[1J(B)-To(B)]
J*k
(1)
Siendo Cj la capacidad térmica del elemento j considerado, que suponemos constante en
la ecuación de balance, al igual que los coeficientes Pik y Pío, que son, respectivamente,
las conductancias térmicas (la inversa de las resistencias) entre los elementos j-k y entre
el elemento j y el entorno. La ecuación ( 1) representa el balance energético aplicado a
un elemento j, y establece que la potencia disipada se reparte en tres términos, uno, el
más importante, el que corresponde a la potencia absorbida por el elemento y luego,
aquellos que pertenecen a la disipación hacia los elementos contiguos k, y hacia el
bloque termostático del aparato que contacta directamente con el entorno exterior. Otra
forma de expresar la ecuación (1) es referenciando las distintas temperaturas que
aparecen en dicha expresión en relación a la exterior, que se supone constante, es decir,
si se establece la siguiente diferencia: X ( B) = T ( B)-To ( B), entonces, el balance puede
reescribirse como:
wi(B)= ci d~~B) + LPidXi(B)-,i'k(B)]+PioXi(B)
J*k
(2)
En ocasiones, los sistemas térmicos pueden modelarse como simples circuitos eléctricos
y las ecuaciones diferenciales que se obtienen son de coeficientes constantes, lo que
equivale a plantear el problema como un sistema de parámetros concentrados.
Evidentemente, cuando en la analogía eléctrica se aumenta el número de elementos,
como resistencias y condensadores ideales, se genera un modelo más preciso con
mejores resultados.
Agrupando las ecuaciones que definen la ecuación genérica (2) para los
diferentes cuerpos del calorímetro y utilizando una notación matricial basada en las
variables de estado que coinciden con el flujo calorimétrico, dicha ecuación puede
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representarse de esta otra forma, cuando se trata de N cuerpos:
-IP1k - P10
k ~I Pin [f} -LPnk -pko
(3)
k~n
Con: Xs = (O ... KP ... O)(X1X2··· Xn)' (4)
El modelo genérico planteado ahora mediante la expresión matricial (3) debe aplicarse
al caso del dispositivo experimental empleado en este trabajo. En concreto, parece
suficiente para el calorímetro mencionado antes, considerar un modelo con dos cuerpos
únicamente, ver Figura 1. Con estas condiciones la expresión de la ecuación (3) se
reduce convenientemente a la siguiente forma:
( X1) =[-P12c~ P10 ~:2 ] ·(X1 )+[:1 ) · W1(B) (5)
X2 ~~2 - P12c~ P20 X2 0
Deshaciendo la forma matricial de (5) se retorna a expresiones más concretas, análogas
a la de la ecuación (2), cuando se emplea una única potencia de disipación en el cuerpo
1 y la salida, o la representación del efecto energético en el termograma del calorímetro,
que se consigue en el cuerpo 2. De aquí surgen las relaciones:
W.1 ( dz1(B) [ ] B) = C1 ----¡¡¡¡----+ P12 X1 ( B) - X2 ( B) + P10X1 ( B)
(6)
Ü=Cz dz2(B) [ ] dB +P12 X2(B)-x1(B) +P20X2(B)
La expresión puede reducirse aún más si se aplica el modelo calorimétrico a un solo
cuerpo. En ese caso, la simplificación obtenida conduce a la conocida ecuación de Tian
(20]. La respuesta eléctrica del calorímetro viene dada por el termograma que
suministra (normalmente en μV) y será proporcional a la diferencia de temperaturas
entre el elemento 2 y el bloque, escribiéndose: z ,(B) = KP[T2 (B)-T0(B)]. A partir de la
ecuación (5) se establece una alternativa para conseguir la función de transferencia, y
así definir una relación matemática entre los valores de salida Xs y de entrada w1 en el
dominio de Laplace, ver Anexo l. Así, a partir de la forma matricial (5) se consigue un
sistema de dos constantes de tiempo y una ganancia, que se presentan como:
G(s)= (Kp/ P20) (7)
C1·C2 2 (P12+P2o)·c1+P12·C2 1 ~~- s + s+
P12 · P20 P12 · P20
que también puede escribirse, para simplificar la notación, mediante:
G(s) = K K (8)
(r1 ·s+1)-(r2 ·s+I) r1 -r2 ·s2 +(r1 +r2)-s+l
Ecuación que se establece como el modelo térmico del calorímetro.
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2.1. Calibración del calorímetro
La experimentación de este trabajo ha consistido en la consecución de datos
mediante las respuestas temporales de las variables eléctricas y térmicas que se generan
en los procesos de carga, reposo y descarga en los EDLC. En la Figura 2 se muestra el
esquema del dispositivo diseñado para llevar a cabo los ensayos. La adquisición se
refiere a dos tipos de variables: eléctricas y térmicas. Las de naturaleza eléctrica se
consiguen mediante un sistema de adquisición de datos de la tensión e intensidad en el
EDLC, mientras que, para la observación de las variables térmicas, se emplea un
calorímetro de conducción MS80D, de Setaram (Lyon, Francia). En relación a esas
variables eléctricas (V( fJ), 1( fJ)], el registro en PC se realizó con un periodo de muestreo
de O, 1 s. La variable térmica [T( fJ)] se genera en la denominada célula-laboratorio del
calorímetro, con una potencia que se capta por los termopares existentes en el bloque
calorimétrico, o sea, la potencia suministrada en la célula se refleja en una señal
eléctrica proporcional a la salida. La célula del calorímetro tiene unas dimensiones de
16,92 mm de diámetro y 80 mm de altura, y su volumen útil es de 15 cm3• El número de
termopares en la termopila que incluye a las dos células (ver Figura 1) es de 480
proporcionando una sensibilidad de 55 μV/mW aproximadamente (20].
Load
1(8) Rw
DC '.
Un load V(B)
Figura 2. Montaje experimental del conjunto termopila calorimétrica-EDLC
Debido a la propia construcción del sistema calorimétrico, es necesario realizar
una calibración previa. Esta se llevó a cabo mediante diferentes ensayos para determinar
la ganancia del aparato. Se realizó un experimento generando una disipación térmica
conocida, a través de una resistencia ("='100 ohms), lográndose así una respuesta del
equipo. El área del termograma que resulta es proporcional a la energía disipada. La
relación entrada/salida define la constante del aparato que coincide con la ganancia
indicada en la ecuación (8).
Existe una relación que se cumple en estos ensayos considerando el principio de
balance energético. La de entrada, V( fJ)·I( fJ), se distribuye en una cantidad disipada en
el cableado externo al calorímetro, y en la energía que recoge el calorímetro (a través de
la resistencia). La ecuación es:
(9)
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Se realizaron varios ensayos y se cuantificaron los términos que aparecen en la ecuación
(9), ver Tabla 1. Las pérdidas en el cableado se calcularon mediante el producto del
cuadrado de Ja intensidad introducida por el tiempo del ensayo, [J·ohm-1]. El valor
aproximado de Ja resistencia del cableado externo es del orden del 1 % con respecto a Ja
resistencia introducida en el calorímetro, lo que permite calcular los valores de Ew. La
última columna de la Tabla 1 muestra los valores numéricos de áreas definidas por los
termogramas que resultan de las respuestas de los ensayos.
Tabla l. Resultados de los ensayos para la calibración (resistencia 100 il).
No. Energía de entrada
Energía disipada en Area carga
el cable, carga * 105
ensayo (J)
(J/ohm) (μV·s)
1 5,486 0,05622 3,4378
2 5,503 0,05642 3,4404
3 5,478 0,05610 3,4300
4 49,181 0,49766 31, 1609
5 49,245 0,50197 31,2055
Se observa que las pérdidas de energía en el cableado representan
aproximadamente el 1 % de Ja energía de entrada. Se realiza una correlación lineal entre
los valores de la segunda y Ja cuarta columna de Ja Tabla 1 y se consigue una relación
entre el área del termograma y Ja energía absorbida por Ja célula. La ecuación
conseguida es,
Ac(μV·s)=63349,8·Ec (10)
Alternativamente, se identificaron los tres coeficientes de Ja ecuación (8), Ja ganancia y
las dos constantes de tiempo, mediante una correlación utilizando el software Matlab©.
El proceso de identificación se realizó calculando los parámetros de la función de
transferencia que minimizan un índice estadístico o función objetivo FO, que, para este
caso, fue la desviación estándar establecida de Ja siguiente forma para valorar el grado
de correlación de una cantidad genérica "y".
FO= [ z::1(Yi,exp - yi,ca1 )
2 ]°'5 j{ N - 1) (11)
En Ja Tabla 2 se muestran los datos de la identificación de los ensayos agrupados
en dos bloques, dependientes de la energía suministrada. La primera fila de datos
corresponde a los de pequeña energía y la segunda a los de mayor. Las dos primeras
columnas muestran las dos constantes de tiempo de la función de transferencia y la
tercera a Ja ganancia; la cuarta y última son la desviación estándar obtenida en la
correlación.
Tabla 2. Coeficientes de la función de transferencia para la calibración
T¡(S) r2(s) K(μV/W) FO(μV)
152,95 29,43 62450,00 7,5
151,86 34,80 63218,72 7,9
El valor de la ganancia, que también puede considerarse como una medida de Ja
sensibilidad, se muestra en la Tabla 2 y coincide con el ajuste obtenido mediante Ja
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ecuación (1 O). A título de ejemplo, se muestra en la Figura 3 la respuesta temporal
experimental y la del modelo obtenido.
Termograma
(μV)
4000
3500
3000
2500
Potencia
D.1 s.1 pa d a 4 --20-00- --
(Joule)*lO
1500
1000
500
Diferencia ---o-._~
entre
termograma y
modelo 1·8 1.82
Respuestas
termograma y del
modelo
1.84 1.86 1.88 1.9
Tiempo (s)
X 104
Figura 3. Respuestas calorimétrica y del modelo para la calibración
3. Los supercondensadores como dispositivos de almacenamiento energético
3.1. Generalidades de los EDLC
Los EDLC son dispositivos que están siendo incorporados en numerosas
aplicaciones e investigaciones relacionadas con la energía eléctrica [ 1]. La construcción
de esos dispositivos con nuevos materiales de elevada área interna y electrodos de
pequeña resistencia, ha conducido a la fabricación de condensadores que acumulan
mucha energía eléctrica. Incluso, a pesar de la complejidad de estos elementos, muchos
investigadores han conseguido modelos que son aplicables en rangos específicos de su
funcionamiento. La mayoría de esos modelos utilizan técnicas heurísticas [9, 10], o
modelos basados en los procesos fisicos que se generan en los supercondensadores [8],
utilizando un número elevado de variables que aumentan con la precisión exigida [ 4,5).
La experimentación que se realiza sobre estos dispositivos, corresponde a los procesos
de carga, reposo y descarga, durante largos intervalos de tiempo y muestran un
comportamiento muy complejo que impide conseguir una modelización precisa, hecho
que dificulta la aplicabilidad de los EDLC a los sistemas de almacenamiento energético.
Los procesos de carga y descarga son rápidos y se realizan en cortos intervalos de
tiempo, debido a que la intensidad puede alcanzar valores elevados en los EDLC. Por
otro lado, los procesos de difusión aparecen posteriormente a los de carga, o en los
intervalos posteriores a pequeñas descargas. El almacenamiento de energía eléctrica en
los supercondensadores basados en carbono se basa en la formación de una doble capa
eléctrica en la interfase entre un electrodo sólido y una solución que actúa de electrolito.
Este mecanismo (que no es el clásico de los condensadores) permite altas velocidades
de carga y descarga, con ciclos de vida prácticamente ilimitados, haciendo que los
supercondensadores puedan adecuarse a aplicaciones de alta potencia.
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Los supercondensadores utilizan normalmente electrolitos orgánicos, como son
los líquidos iónicos (Lis), sustancias formadas por dos iones (catión y anión) bastante
asimétricos y su elección depende de la naturaleza de la aplicación. Específicamente, en
el caso de los EDLC uno de los electrolitos empleados es el tetrafluoroborato [F4Br de
tetraetilamonio [C4Hi2Nt en acetonitrilo, pero que también pueden ser otros, como
derivados del imidazolio, del piridinio, u otros. Debido a la enorme variedad de cationes
+
Taminal
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Electrodo
Poroso
Terminal
Figura 4. Esquema del interior de un EDLC
y aniones que pueden emplearse para
construir un "líquido iónico" existen
ilimitadas posibilidades de diseñar el
más adecuado para una aplicación
concreta. En el esquema de la Figura 4
de presenta la distribución de iones en
un supercondensador. Nuestro grupo
de investigación ha trabajado con
derivados del piridinio [21-23], para
conocer el comportamiento fisicoquí­mico
de tres isómeros del [bXmpy]
[F4B] y analizar la influencia de la
posición del grupo -CH3 en el anillo
piridinico. En este sentido, hay un
amplio campo de trabajo abierto para
la investigación, en busca del electro­lito
más adecuado.
La evolución del ordenamiento de los iones dentro del electrolito genera
disipación energética, de la que una parte es aprovechable y otra no. La variación
térmica que se realiza en el EDLC durante el proceso de carga, reposo y descarga es un
trabajo novedoso y la obtención de resultados de naturaleza térmica/energética en los
supercondensadores requiere de unos ensayos en laboratorio empleando una
instrumentación específica [17]. Por ello, los ensayos experimentales de carga, difusión
y descarga de los EDCL se ha realizado en nuestro laboratorio monitorizando las
variables eléctricas y térmicas en la tema de procesos indicados. La utilización de un
sistema de adquisición de datos de las variables eléctricas de intensidad y de tensión
durante los ensayos, con toma simultánea de las variables térmicas que se generan en el
EDLC utilizando un calorímetro, permite conocer más exhaustivamente la naturaleza de
los procesos en los supercondensadores.
3.2. Comportamiento térmico de los EDLC
Los modelos térmicos para los EDLC han sido estudiados por algunos
investigadores y donde se tienen en cuenta los procesos de carga y descarga energética.
Dichos procesos pueden aprovecharse en aplicaciones concretas que demanden energía
previamente "almacenada". La potencia w introducida en un EDLC da lugar a una
disipación de energía calorífica, de dificil cuantificación con exactitud por el
desconocimiento del verdadero proceso que la produce en el EDLC. No obstante, el
análisis de la energía disipada puede llevarse a cabo de dos formas: (a) utilizando
modelos basados en parámetros concentrados, con resistencias equivalentes, o bien, (b)
mediante sistemas fraccionados (resistencias distribuidas) que son valores aproximados,
ya que no son adecuados a la respuesta térmica que se hubiese generado por una
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resistencia ideal [ 4]. Concretamente, Ja energía térmica disipada se modela mediante Ja
existencia de resistencias disipativas y el cuadrado de la intensidad que lo atraviesa, ver
Figura 5. La generación de potencia proviene de la ordenación adecuada de los iones
existentes en el electrolito, ver sección 3.1. La evolución de la potencia, y también de la
temperatura en Jos EDLC, depende de varios factores adicionales que a continuación se
comentan.
Uno de los aspectos que puede ser considerado se refiere al diseño de los EDLC,
que son geométricamente de forma cilíndrica exteriormente. En su interior se configura
como un arrollamiento en espiral que engloba la longitud total del supercondensador,
con el propósito de optimizar las dimensiones del mismo. Otra causa destacada en los
EDLC consiste en dos electrodos, electrolito y separador [24,25]. Todo ello complica el
modelo térmico y su dinámica. Existen algunos trabajos cuyo análisis experimental dan
una respuesta que se aproxima a un sistema de primer orden [26,27], ver Figura 4. Por
ello, cada una de las dos fuentes de energía en el EDLC se modela por un sistema de
primer orden, ganancia y constante de tiempo, que representa la generación de potencia
térmica en el EDLC cuando se aplica una intensidad en el proceso de carga o descarga.
En la Figura 5 se muestra el esquema del modelo propuesto, que consiste en Ja
superposición del modelo disipativo de energía dentro del EDLC y del calorímetro, ya
definido con anterioridad, mediante la ecuación (8). Las señales de entrada son dos, Ja
intensidad y el cuadrado de la intensidad; el modelo de generación de potencias consiste
en un sistema de primer orden con ganancia y constante de tiempo para cada señal de
entrada.
Modelo del EDLC Modelo del Calorímetro
(1(8))2 _!S_
r1 ·s +l w(B) K
---'-!~ ~
J ( (}) ~r,_· s_+~I
Figura 5. Modelo térmico del EDLC y del calorímetro
3.3. Ensayos de carga y descarga de los EDLC
Los instrumentos están controlados mediante un PC para definir las diferentes
secuencias: carga, reposo y descarga del EDLC. El supercondensador debe introducirse
en el calorímetro como se muestra en la Figura 2, pero las dimensiones de la celda
limitan el tamaño del dispositivo (que debe tener un diámetro inferior a 17 mm), por lo
que se emplearon dos elementos EDLC diferentes, uno de firma Elna de 4,7 F y otro de
mayor capacidad, de Ja firma Goldcap, modelo HW de 10 F. Se realizaron numerosos
ensayos experimentales con los dos dispositivos, monitorizando las señales de tensión e
intensidad y la disipación térmica. Las pruebas de carga y descarga se llevaron a cabo
con diferentes intensidades para validar el modelo en situaciones diversas. Las
diferentes intensidades que se aplicaron a cada ensayo oscilaban entre O, 1 y 0,9 A. Las
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señales de tensión e intensidad tienen un periodo de muestreo de O, 1 s y las obtenidas
del calorímetro se consiguieron cada 3 s.
Todos los ensayos se realizaron a presión atmosférica y comienzan con la
comprobación de la estabilidad de la línea base del aparato a través de la pantalla del
PC. Esta señal indica que las variables de todos los elementos dentro del calorímetro se
mantienen constantes a la temperatura de trabajo (25 ºC); la incertidumbre en la medida
de la temperatura fue de ±0,002 ºC. La experiencia comienza con el cierre del
interruptor de carga, que pone en contacto la fuente de alimentación programable al
EDLC, Figura 2. Ahora, durante el transcurso de la experiencia, el sistema de control
adquiere datos de la tensión en bornes del EDLC y comprueba que no supere los 2,5 V,
abriendo el interruptor de carga cuando se alcanza su límite de máxima tensión. Esta
nueva etapa, fase de reposo, fue programada con una temporalidad predefinida de 8
horas, asegurando, de esta fonna, la estabilidad de la señal en el calorímetro.
Transcurrido dicho tiempo, se cierra el interruptor de descarga para completar el
experimento. Esta última fase se programó también a 8 horas para asegurar que la señal
regresaba a la línea base original. La duración total de cada ensayo fue, por tanto,
superior a las 16 horas. Gráficamente, las diferentes fases de los ensayos se muestran la
Figuras 6(a) y 6(b).
Intensidad (A)
"' o. · 7~
.. l• .. •• ' ~· . "
o 4
Tiempo (s)
Tensión (V)
3~~~~~~~~~~~~~~~
l~",, :
o
-1 o 4
Tiempo (s)
70
(a)
6
4
X 10
6
4
X 10
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Termograma (μV)
900
800
700
600
500~
400 """"
300
(b)
240
220
"º
3.2~
200 .~
100
o o 2 3 4 5
Tiempo (s)
6 7 8 9
X 104
Figura 6. (a) Representación de las variables eléctricas del EDLC en el ensayo de carga, reposo y
descarga. (b), Respuesta calorimétrica del EDLC en el ensayo de carga, reposo y descarga
4. Valoración del supercondensador como dispositivo de almacenamiento
4.1. Evaluación energética
En este apartado se detalla la evaluación energética de los supercondensadores
ensayados. Una mejor comprensión del proceso global o balance energético, incluyendo
las pérdidas, se representa en la Figura 7. Cada experiencia aporta al EDLC una energía
de entrada E¡. Una primera cantidad asociada a pérdidas de energía se ocasiona por el
cableado entre los instrumentos de medida y el EDLC que se encuentra en el interior del
calorímetro, Figura 2. La resistencia asociada a dicho cableado no se desprecia y se
cuantifica como E wi· Otras pérdidas, Figura 7, se detectan en la respuesta del
calorímetro; la disipación que aparece en el proceso de carga y reposo se determina
mediante el área (μ V·s) y la ganancia definida en la ecuación (10), Ec1- Como se
comentó anteriormente, la experiencia transcurre durante 8 horas para estabilizar las
variables térmicas dentro del calorímetro y la tensión en bornes del EDLC, Ve. En la
fase de descarga (también de 8 h), última etapa, el calorímetro genera una nueva
respuesta termográfica que se convierte a unidades de energía utilizando la ecuación
( 1 O), Ecu· En esta última fase se disipa energía en el cableado, Ewu, que también se
registra en el sistema de adquisición (tensión e intensidad) durante el tiempo de la
descarga. La energía devuelta o de salida, E0 , representa la energía almacenada y
71
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recuperada. La ecuación matemática que representa el balance energético durante todo
el proceso es:
E,= E.,+ Eo1+ E,.,+ E~+ E, ( 12)
E,
Energía
Entrada
Pérdidas de Energía
Pérdidas en la Carga Cableado e interior
Pérdidas en la descarga. Cableado e interior
E,..1 Ec1 E..,
~A . E •• ~~ }=>
E,
Energía
Salida
Figura 7. Diagrama energético en el proceso de carga y descarga de Jos EDLC.
Cada una de las cantidades definidas en la ecuación ( 12) se consiguen mediante la
información de los instrumentos, dos de ellas corresponden a resultados de tennogramas
y las cuatro restantes a operaciones relacionadas con la tensión e intensidad, siendo:
E,=f v(O) !(O)dO " E,=[v(O)·!(O)dO
E.,= R. f)'(O)]'dO " E_=R. c [l(O)j' do
o.-;,o-;,o,,
( 13)
De las ecuaciones ( 13), los límites de las integrales se establecen en función del instante
del experimento, diferenciándose los intervalos de tiempos durante los procesos de
carga y descarga. De esa forma se disponen de los valores temporales para la carga y
para la descarga como se muestra en la Figuras 6(a) y 6(b). El valor de la resistencia del
cable se determinó, considerándolo constante para todos los ensayos, con un valor de 1
n. Se muestran a continuación las tablas que se generan con los resultados de todas las
variables indicadas en la ecuación ( 12). En la Tabla 3 aparecen los resultados obtenidos
para el EDLC de 4,7 F.
Tabla 3. Evaluación energética para el ensayo de carga-reposo-descarga (4,7 F)
No 1 V, E, Ew, A" A,. E., E,
Ensavo (A) (V) (J) (J) (uV·s) !uV·s) (J) (J)
1 0,02 1,413 17,421 0,900 528351,3 166934,1 0,901 4,650
2 0,02 1,500 16,664 0,272 447788,6 192749,9 1,026 5,302
3 0,02 1,520 16,522 0,271 408969,2 211604,5 1,054 5,450
4 0,1 1,349 14,403 1, 138 357530,3 161154,0 0,893 4,199
5 0,1 1,365 14,238 1, 130 354592,2 150976,6 0,832 4,298
6 0,3 1,796 29,553 3,172 827012,7 250787,8 1,481 7,892
7 0,3 1,8 10 28,736 3,175 7758 10,2 232561 ,8 1,526 8,137
8 0,4 1,800 27,839 3,246 728599,8 233404,2 1,476 7,963
9 0,4 1,880 32,076 5,385 812668,8 225272,4 1,669 8,697
Si solamente se incluyen como pérdidas las ocasionadas en el calorímetro se
pueden evaluar los rendimientos de los EDLC en este proceso. Así, en la Tabla 4 se
muestran los valores obtenidos para este caso, y se observa que las pérdidas en el EDLC
son superiores al 60% quedando el resto como energía almacenada y recuperable.
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Tabla 4. Rendimientos de Jos EDLC en el proceso de carga-reposo-descarga (4,7 F)
No. % Pérdidas en el Calorímetro Máximo rendimiento.
Ensayo (sin incluir pérdidas en los cables) % Energía recuperada
1 66,56 33,60
2 61,81 38,60
3 60,40 40,02
4 61 ,85 38,38
5 61 ,01 39,13
6 64,62 35,52
7 62,40 37,80
8 61,87 38,37
9 61,51 38,83
También se realizó la evaluación energética del proceso de carga, reposo y descarga
para el EDLC de 10 F. En la Tabla 5 se muestran los valores obtenidos de las variables
definidas en la ecuación (12) para cada uno de los ensayos. Igual que para el EDLC
anterior, se muestran los rendimientos máximos que se pueden alcanzar en la Tabla 6
para este dispositivo.
Tabla 5. Evaluación energética para el ensayo de carga-reposo-descarga ( 1 O F)
No. 1 Ye E, Ew1 Ac1 Acu Ewu Eo
Ensayo (A) (V) (J) (J) (μV·s) (μV·s) (J) (J)
1 0, 1 1,455 34,481 3,133 1064486,4 143424,3 2,2092 10,076
2 0, 1 1,54 33,004 3,034 868633,2 160569,0 2,4696 11 ,262
3 0,2 1,555 34,268 5,180 819566,8 144737,0 2,4696 11,474
4 0,2 1,565 34,322 5,179 810917,8 141225,6 2,5116 11 ,613
5 0,41 1,465 33,047 8,455 693791,2 131747,9 1,7352 9,8489
6 0,41 1,465 33,077 8,459 696693,0 134637,5 1,7253 9,7953
7 0,62 1,318 30,743 11 ,182 564542,6 86644,2 1,3896 7,8988
8 0,62 1,335 30,662 11 ,155 540322,4 96404,1 1,4184 8,0614
9 0,82 1,181 28,266 12,964 448317,8 54104,9 1,1025 6,2678
JO 0,82 1,2 28,266 12,964 444917,4 49055,8 1,1340 6,4478
Tabla 6. Rendimientos de los EDLC en el proceso de carga-reposo-descarga (10 F)
No. % Pérdidas en el Calorímetro Máximo rendimiento.
Ensayo (sin incluir pérdidas en los cables) % Energía recuperada
1 60,95 39,19
2 54,32 45,82
3 52,44 47,94
4 51,68 48,47
5 53,10 47,11
6 53,42 46,80
7 52,66 47,48
8 51,63 48,60
9 51,94 48,16
10 51 ,06 49,55
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En el EDLC de 10 F, las pérdidas están en tomo al 50%, lográndose rendimientos
superiores a los obtenidos con el de 4,7 F.
4.2. Evaluación de la potencia
En esta sección se refleja la evolución de los valores de la potencia que se
encuentran en el experimento. Se detallan los diferentes valores que se establecen: la de
entrada, que se suministra por la fuente externa, la potencia disipada en el cableado por
la carga del supercondensador, la potencia de salida en la descarga y, por último, la
disipada en el cableado por la descarga. Se calculan a través de las siguientes
expresiones matemáticas, utilizando las definiciones expuestas en la ecuación (13):
w; = V(B)· 1(19) ww, =[I(B) ]'-K 1901 ~ t9 '5JJ"
w~ =[I(B)]' ·Rw w, =V(B)·l(B)
(14)
Por otro lado, la respuesta del calorímetro es proporcional a la energía emitida y a la
potencia disipada dentro del dispositivo. Teniendo en cuenta que, una vez conocida la
respuesta del flujo de energía calorífica en el calorímetro y calibrado según la sección 2,
se obtienen los diferentes valores de la potencia que se generan en el calorímetro. Se
realizaron dos correlaciones diferentes según que,
(a) Se considere un modelo único o integrado, EDLC-calorímetro, representado por
un sistema de segundo orden, ecuación (8).
(b) Un modelo del EDLC y el calorímetro, independientes, según la Figura 5.
A continuación se muestran los resultados para los dos modelos térmicos propuestos.
(a) Modelo térmico único de los EDLC-Calorímetro. Sistema de segundo orden
En la sección 2 se muestra el modelo matemático del calorímetro utilizado, con
el que se llevó a cabo la calibración e identificación de los tres parámetros que
componen el modelo. Ahora se identifica la respuesta del calorímetro para todos los
ensayos con cada supercondensador. El modelo propuesto, de segundo orden, ver
expresión (8), tiene como señal de entrada el cuadrado de la intensidad. Es decir, se
desprecia la respuesta térmica ocasionada por los procesos lineales con la intensidad,
quedando únicamente los términos correspondientes a los procesos ocasionados por la
disipación en el EDLC, aquellos que se corresponden con el cuadrado de la intensidad.
Tabla 7. Parámetros de la función de transferencia para diferentes ensayos con 4,7 F
No. E;-Ew1 r1 r2 K FO
Ensayo (J) (s) (s) (μV/W) (W)
1 12,6664 301,9305 207,5000 23386,57 3,97
2 12,8210 365,6753 137,4670 23700,07 3,39
3 16,1468 411 ,8192 117,2132 19645,83 2,86
4 16,2860 426,2962 115,5547 19977,61 3,14
5 17,0292 477,0032 102,3381 24068,41 4,21
6 23,3280 322,8537 168,1870 25847,00 6,04
7 24,3223 349,1358 149,0327 25785,98 5,23
8 24,5905 328,3116 138,4159 28002,59 6,02
9 25,1436 364,8381 153,0604 26680,58 6,55
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Se realizaron las identificaciones de la respuesta calorimétrica, separando los
procesos de carga-reposo y descarga-reposo, como se muestran en las Figuras 6(a) y
6(b ). En las Tablas 7 y 8 se recogen los datos obtenidos en la identificación de los tres
parámetros para cada EDLC. Se observa que los valores de los parámetros del modelo
presentan variaciones importantes y no pueden representarse por un sistema de
parámetros constantes, apreciándose una destacada variación de las constantes de
tiempo y de la ganancia del modelo.
Tabla 8. Parámetros de Ja función de transferencia para diferentes ensayos ( 1 O F)
No. E;-Ew1 T¡ r2 K FO
Ensayo (J) (s) (s) (μV!W) (W)
1 31 ,3479 82,03 557,65 25384,63 7,70
2 29,9704 78, 10 526,38 21320,71 7,70
3 29,0876 99,37 477,40 21981,12 7,71
4 29,1428 93,26 481 ,93 22066,93 6,08
5 24,5915 96,14 423,11 24698,66 4,83
6 24,6179 115,93 403,29 24815,08 5,94
7 19,5614 132,00 366,22 28947,86 7,11
8 19,5074 120,51 371,94 28147,75 5,85
(b) Modelos independientes del EDLC y del calorímetro
Como se muestra en la Figura 5 el modelo propuesto se divide en dos partes: la
correspondiente al calorímetro, ecuación (8), cuyos datos experimentales están en la
Tabla 2 y la del EDLC. Los modelos se identificaron para los dos sistemas de primer
orden y las dos señales de entrada, que son la intensidad y el cuadrado de la intensidad.
Las unidades de las respectivas ganancias, Ks y K1, son voltios y ohmios,
respectivamente, para calcular la potencia generada en cada una de las fuentes en el
proceso de carga, reposo y descarga. Debido a que la carga se ha aplicado para ambos
EDLC, y a diferentes intensidades, se logran diferentes valores de las cuatro variables
correspondientes al supercondensador como se muestran en las Tablas 9-12.
Tabla 9. Valores de la identificación de los cuatro coeficientes en la carga del EDLC (4,7 F)
No.
Carga
Ensayo
l Ye K, r, K1 r¡
(A) (V) (V) (s) (Q) (s)
1 0,02 1,413 0,42 192 445,432 2,74254 2328,084
2 0,02 1,500 0,22684 436,165 7,97934 486,453
3 0,02 1,520 0,35669 419,746 1,02192 2580,551
4 0,1 1,349 0,30872 301,656 1,02872 683,587
5 0,1 1,365 0,35808 335,370 0,45063 1261,525
6 0,3 1,796 0,53426 326,650 0,54695 2167,525
7 0,3 1,810 0,50282 301,399 0,50815 1793,208
8 0,4 1,800 0,50136 302,566 0,40394 1505,719
9 0,4 1,880 0,52611 263,647 0,36479 1142,596
Los resultados experimentales del EDLC de 4,7 F aparecen en las Tablas 9 y 10,
mientras que, los correspondientes al EDLC de 10 F en las Tablas 11 y 12. Los datos de
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las operaciones de carga y reposo de ambos condensadores están expuestos en las
Tablas 9 y 11, mientras que las correspondientes a las operaciones de descarga aparecen
en las Tablas 10 y 12.
Tabla 10. Valores de la identificación de los cuatro coeficientes en la descarga del EDLC, (4,7 F)
No.
Descarga
Ensayo Ye K, r, K, i¡
(V) (V) (s) (Q) (s)
1 1,413 0,02421 - 2,58314 859, 185
2 1,500 0,02414 - 2,35779 837,912
3 1,520 0,02779 - 2,35549 845,240
4 1,349 0,02764 - 2,71583 865,841
5 1,365 0,02514 - 2,55735 848,555
6 1,796 0,02936 - 2,15660 908,149
7 1,810 0,03082 - 2,07825 915,715
8 1,800 0,03192 - 2,09211 905,031
9 1,880 0,03045 - 1,80592 897,150
Tabla 11. Valores de la identificación de los cuatro coeficientes en la carga del EDLC, (10 F)
No.
Carga
Ensayo I Ve Ks r, K, T¡
(A) (V) (V) (s) (n) (s)
1 0,1 1,455 0,2994144 285,04228 2,2450466 1441 ,6594076
2 0,1 1,54 0,2352748 247,56560 1,9447624 1207 ,4521 792
3 0,2 1,555 0,2220784 222,91221 1,2006254 976,67682548
4 0,2 1,565 0,1939088 196,35745 1,3398947 833,49983885
5 0,41 1,465 0,1704904 155,57955 0,5656504 641 ,17288741
6 0,41 1,465 0,1185652 105,07492 0,6800010 518,58972715
7 0,62 1,3 18 0,1258334 113,98132 0,4347828 494,77 193686
8 0,62 1,335 0,0979669 79,021987 0,4559774 443,28044027
9 0,82 1,181 0,0788572 37,254388 0,3626891 381,08620937
10 0,82 1,2 0,0856785 50,713783 0,3481851 396,07465295
Tabla 12. Valores de la identificación de los cuatro coeficientes en la descarga del EDLC, ( lOF)
No.
Descarga
Ensayo
Ye K, r, K, i¡
(V) (V) (s) (Q) (s)
1 1,455 0,0555436 17,7181211 1,091803 1142,6247
2 1,54 0,0613134 31,9260047 1,129995 1109,4942
3 1,555 0,0588267 18,3267666 1,123738 1136,9155
4 1,565 0,0623734 31,3043741 1,129170 1096,2612
5 1,465 0,0514252 16,6983960 1,069213 1243,3174
6 1,465 0,0541776 29,0766582 1,073711 1191,4175
7 1,318 0,0491244 32,0633584 1,026622 11 73,9968
8 1,335 0,0484922 27,1846817 1,033010 1202,9331
9 1,181 0,0426672 26,5918133 0,966196 1129,8068
10 1,2 0,0441335 32,2686838 0,988618 1137,3319
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Se refleja que la intensidad en el proceso de descarga tiene diferente signo que
en el proceso de carga. La intensidad y la potencia son negativas, lo que equivale a un
enfriamiento inicial en los EDLC. En las Tablas 1 O y 12, las constantes de tiempo de la
potencia generada mediante procesos ida-vuelta (T,), tiene un valor muy pequeño en
comparación con la constante de tiempo que procede de la disipación de energía (t1). Un
ejemplo se muestra en la Figura 8 donde se detalla la evolución de las dos respuestas en
el calorímetro (carga y descarga) cuya suma genera la obtenida en el instrumento. Como
justificación a las respuestas de los termogramas obtenidos, se aprecia que el proceso de
ordenación de los iones en el supercondensador es muy rápido y su influencia térmica
total queda atenuada si existe una disipación energética no recuperable, como se aprecia
por los valores de las ganancias obtenidas. En el proceso de la carga, Figura 8(a), se
deduce claramente que la disipación energética procedente del ordenamiento iónico es
poco representativa en comparación con la disipación energética de la fracción no­recuperable.
Al mismo tiempo, como consecuencia de ello, en las bornas del
supercondensador disminuye la energía almacenada. La Figura 8(b) representa una
analogía con la anterior, pero de dirección/signo contrario en la salida ténnica
recuperable.
μV
Salida
1'ílorimétricatotal
~da térmica no
recuperable
-~alidatérmica
recuperable
(a)
() 500 1000 1500 2C(J(l 2500 3000 3500 4000 451Xl 5000
Tiempo(sJ
μV
Salida térmica no
Salida térmica
S(I ·~ecuperable
-Tiempo·(s~)
Figura 8. Respuesta calorimétrica y respuesta del modelo coa las diferentes salidas ténnicas.
(a) detalle de la carga y (b) detalle de la descarga.
5. Conclusiones
(b)
Se llevó a cabo un estudio energético sobre dos EDLC utilizando un
microcalorimetro Calvet de alta resolución. El calorímetro pennitió evaluar las
disipaciones energéticas generadas en los EDLC durante los procesos de carga, reposo y
descarga. Para la correcta calibración del calorímetro se modelizó el funcionamiento del
mismo y se obtuvo una función de transferencia basada en un sistema de segundo orden.
Asimismo, se planteó un modelo para la disipación energética dentro de los EDLC y los
datos experimentales conseguidos mostraron la respuesta temporal de cada una de las
diferentes fuentes. La identificación del supercondensador, EDLC, permitió separar las
dos fuentes energéticas que se generan en los mismos. Una valorización energética de
dichos dispositivos dio a conocer los rendimientos y su posible aplicación como sistema
de almacenamiento. La disipación de energía (reversible) se genera en los instantes
iniciales del proceso, sea carga o descarga, y las disipaciones de energía no
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aprovechables se generan debido a la difusión (perdida de carga aleatoria) de los iones
dentro del EDLC.
Con el trabajo teórico-experimental realizado se concluye que para incrementar
el rendimiento en los EDLC se debe aumentar el valor de la intensidad utilizada en la
carga y disminuir al mínimo el tiempo de permanencia de la energía en el dispositivo.
Como contrapartida, estas limitaciones dificultan el uso de los EDLC como dispositivos
para el almacenamiento, pero permiten ser utilizados en los procesos que generen una
potencia elevada en intervalos cortos de tiempo. Con rápidas cargas y descargas en los
EDLC se consigue el máximo rendimiento energético evitando los procesos de difusión
posteriores que disminuyen el rendimiento.
6. Nomenclatura
Lista de símbolos
C Capacidad eléctrica, F
Cj Capacidad térmica específica, lmor'x-1
E Energía, J
FO Función objetivo
G(s) Función de transferencia
I Intensidad eléctrica, A
K Ganancia de la función de transferencia
N Número de puntos experimentales
p Conductancia térmica, lK's-'m-1
R Resistencia eléctrica, Q
T Temperatura, K
t Temperatura, ºC
V Tensión eléctrica, V
w Potencia, W
Griegos
r Constante de tiempo de la función de transferencia, s
6. Referencias citadas
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7. Anexo. La transformada de Laplace en la representación de sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales
La representación de modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales
se utiliza ampliamente en áreas científico-técnicas. La transformada de Laplace es un
método operativo que aporta ventajas cuando se utiliza para resolver ecuaciones
diferenciales lineales, convirtiendo funciones continuas en el dominio temporal en
funciones algebraicas de una nueva variable s compleja. En este anexo se plantean
algunos aspectos sobre la utilización práctica para la resolución de ecuaciones
diferenciales y así dar salida a las ecuaciones planteadas en §2. En cualquier obra de
cálculo se establece la transformada de Laplace de una función j{ fJ) definida en
~0,+co ], como la función F(s), definida como:
.C[f (B)] = F(s) = r f( B)e-'ºdB (A.l)
Con el símbolo I. se indica al operador de Laplace. No obstante, en Ja práctica,
las transformadas de Laplace de las expresiones más comunes se encuentran tabuladas.
Las tablas relacionan las funciones temporales j{ fJ) con su transformada de Laplace F(s)
y viceversa, siendo el acceso a tablas el método más extendido para la resolución de
ecuaciones diferenciales lineales. La aplicación de la transformada de Laplace a la
derivada de funciones temporales es relevante en la resolución de ecuaciones
diferenciales. Así, en la ingeniería de control y para sistemas de una sola variable de
entrada y de salida, se establece la función de transferencia como el cociente de la
transformada de Laplace de la salida del sistema con respecto a la señal de entrada,
siendo nulas las condiciones iniciales. Partiendo de un sistema lineal e invariante en el
tiempo, que se define mediante la ecuación diferencial:
ªº d"y(e) +a1 d"-1y(e) +··· + a -1 dy(e) +a =bo rx(e) +· ··+b -1 dx(e) +b x(e) (A.2)
de" de"-1 " de " dem m de m
donde y( fJ) es la salida del sistema y x( fJ) es la entrada. Aplicando la transformada de
Laplace a ambos miembros y considerando nulas todas las condiciones iniciales,
obtiene:
G(s)= Y(s) = bosm +b1sm-I +···+bm-1s+bm (A.3)
X(s) aos" +a1s"·1 +· ··+an-1S+an
La función de transferencia está limitada a sistemas descritos por ecuaciones
diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.
Una alternativa para modelar sistemas basados en ecuaciones diferenciales
consiste en la representación matricial de las ecuaciones de estado. En esta situación Jos
estados %; representan el mínimo número de variables necesarias para conocer la
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dinámica del sistema y es equivalente al orden de la ecuación diferencial lineal del
modelo. En sistemas representados en espacio de estado, con una sola señal de entrada y
una sola señal de salida, es posible transformar las ecuaciones de estado en modelos
basados en función de transferencia. Ello permite mostrar, como es el caso planteado en
el §2 la relación entre la salida %, y la entrada w1 en el dominio de Laplace [18]. A la
ecuación de estados indicada por la ecuación (3), se le aplica el operador de la
transformada de Laplace y se traslada el dominio temporal al campo complejo,
quedando:
i( B) = A · x( B) + B · w( B)
x, ( B) = e· x( B)
Utilizando ahora la transformada en ambas ecuaciones se obtiene:
s · x(s) - x(O) =A · x(s) + B · w(s)
X,(s)=C·x(s)
(A.4)
(A.5)
Como se ha comentado, la función de transferencia es el cociente de la variable de
salida y la de entrada en el dominio de Laplace, cuando las condiciones iniciales son
nulas y será:
G(s) = ~s (s) = C · (sl -Ar1 • B (A.6)
w(s)
De esta forma se dispone de las expresiones algebraicas que contienen Ja información
del modelo establecido.
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