El teoréma matemático : Reflexiones sobre la historia y la naturaleza de la demostración

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XIX (Núms. 1-2), 95-120 (2007) (publicado en septiembre de 2008)
EL TEOREMA MATEMÁTICO. REFLEXIONES SOBRE
LA HISTORIA Y LA NATURALEZA DE LA DEMOSTRACIÓN
Abstract
Nácere Hayek
Universidad de La Laguna (Spain)
E-mail: nhayek@ull.es
"Sin las matemáticas no se puede penetrar a fondo
en la filosofía; sin la filosofía no se puede penetrar
a fondo en las matemáticas, y sin ambas, no se
puede penetrar a fondo en nada"
G.W. Leibniz
In this work a general overview about mathematical theorem and its
meaning as a mathematical truth is given. The paper contains a number of
reflections concerning the nature of the demonstration along with sorne
remarks in relation to its history.
Resumen
En este artículo se expone una ojeada general sobre el teorema matemático
y su significado como verdad matemática. El trabajo contiene un conjunto
de reflexiones sobre la naturaleza de la demostración y una serie de
acotaciones relacionadas con su historia.
l. Introducción. La verdad matemática y la crisis de fundamentos.
Durante siglos los matemáticos estuvieron plenamente convencidos de que
el razonamiento deductivo no podía jamás reconducir a resultados
inconsistentes, y calibraban los resultados de su ciencia por los teoremas
que habían sido demostrados; un juicio convencional que se convirtió en
una amalgama de dudas y contradicciones que duraría hasta los albores del
siglo XX, con la aparición de las paradojas lógicas. Ya desde el siglo XVII,
las matemáticas se habían encontrado en una situación de incertidumbre, y
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la inexistencia de unos correctos cimientos de esa disciplina condujo a un
estado de fuerte confusionismo, que se dilató hasta las postrimerías del siglo
XIX. En una visión retrospectiva, las dificultades lógicas atormentaron a los
matemáticos durante los siglos XVII, XVIII y XIX, y los desarrollos que
hubieron a partir de 1900 en la fundamentación de su disciplina con el firme
intento de conseguir la verdad matemática apoyada en la lógica, fueron
desconcertantes. Muchos ilustrados, sin embargo, seguirían creyendo que la
matemática constituía un conjunto de verdades inquebrantables sobre el
mundo físico y que el razonamiento matemático era exacto e infalible. Unos
años antes del XX, ninguna de las ramas de las matemáticas estaba
lógicamente asegurada. Carecían de exactitud en la demostración
matemática y con el pesado lastre de confusiones y controversias existentes
(en especial, en el área del análisis), se desencadenó un indispensable
movimiento para una rigorización de las matemáticas. Los matemáticos
recurrieron a un método especial 1, que fue el de demostración "deductiva" a
partir de verdades autosuficientes denominadas "axiomas". Ese proceso
axiomático de construcción de fundamentos de las matemáticas, debía dejar
establecida la consistencia de todo sistema, es decir, que de los axiomas del
mismo no se pudieran derivar teoremas inconsistentes. Si bien esa corriente
encaminada a una axiomatización llevaría consigo más tarde graves
problemas, el método axiomático fue proclamado como el más adecuado al
despuntar el siglo XX. A pesar de todo, esto no fue óbice para que surgiera
entre sus cultivadores, un conjunto de discrepancias (que perseveraría hasta
nuestros días) y que involucró una vez más a los filósofos de la ciencia en el
debate de una cuestión que afectaría al auténtico pilar de la matemática
misma: el teorema matemático.
Ahora bien, incluso actualmente no existe acuerdo sobre qué es una
demostración matemática correcta y lo probable es que una interpretación
axiomática de cualquier rama de la matemática pudiera resultar inadecuada
2
Un método que consistía en asentar ciertas afirmaciones, usando inicialmente algunos
términos indefinidos básicos y algunos términos de la lógica clásica.
2 Hay que advertir que, ya en los albores del siglo XX, los seguidores del método
axiomático sostuvieron que existe un "rigor matemático" absoluto que debe satisfacer toda
deducción que pretenda ser válida. La rigorización, una necesidad que claramente se puso
de manifiesto en el siglo XIX, revelaría un importante aspecto de la creación matemática.
Como veremos seguidamente, hubieron otros grupos de matemáticos que no opinaban lo
mismo, porque la historia les había mostrado que ese no era el caso, al quedar constatado
que notables matemáticos clásicos (entre ellos, Gauss) habían cometido pecados contra el
rigor. De hecho, su " intuición" les hizo reconocer en ocasiones a distinguidos matemáticos
algunos resultados (y también conceptos) como absolutamente claros y evidentes.
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Si nos ajustamos a los cánones del rigor moderno, ¿qué se puede decir hoy
acerca de lo que es o debiera ser un teorema matemático? Dicho de otra ·
manera, ¿qué se ha de aceptar y entender en la actualidad corno prueba
matemática? ¿Puede aceptarse corno una demostración matemática, la que
se obtiene, por ejemplo, con los insoslayables recursos de un ordenador?
Por otra parte y corno es sabido, la metodología de la enseñanza conlleva la
hipótesis hasta la conclusión, y tal proceso deductivo es lo que
denominamos "prueba". Partiendo de esto, la prueba significa un
argumento matemático deductivo 3 que inequívocamente demuestra la
verdad de una "proposición" dada. La demostración de un enunciado es una
prueba del mismo y las demostraciones matemáticas representan garantías
de validez de las afirmaciones. Además y corno dogma usual, una
afirmación matemática que ha sido probada se llama teorema.
Debernos sopesar asimismo que, corno ya se ha señalado, en las
postrimerías del siglo XIX, grandes matemáticos dieron comienzo a una
batalla para estudiar con más cuidado y rigor unos nuevos cimientos básicos
de las matemáticas. Durante un período de más de treinta años (1895-1930)
se crearon varias escuelas de pensamiento, que trataron de encerrar a las
matemáticas dentro de los límites de la lógica humana, y dió lugar a las
concepciones filosóficas conocidas corno logicismo, intuicionismo y
formalismo 4• Afrontando diatribas y controversias, estas escuelas adoptaron
posturas distintas, esforzándose cada una de ellas en hacer prevalecer sus
puntos de vista sobre las restantes. Al no haber unanimidad en las
aproximaciones de los fundamentos ideadas por las escuelas en torno al
propio significado de lo que son matemáticas correctas, se produjo el
curioso hecho de que cualquier matemático adoptara la aproximación que
más le atrajera. El problema fundamental se concentró en establecer la
Como se tiene reconocido, los argumentos se dividen en dos clases: deductivos e
inductivos. Las premisas de los argumentos inductivos requieren razones (quizás a veces,
incompletas o parciales) como pilares básicos de la conclusión. En las ciencias, los
argumentos son generalmente de este tipo y la aceptación de premisas conducen a la
conclusión más razonable .En cambio, un argumento deductivo requiere para su conclusión,
la estricta necesidad de las premisas. Una prueba matemática es un argumento deductivo.
4 Todas las concepciones filosóficas habituales se han basado fundamentalmente en un
concepto intuitivo inmerso en nuestra mente, y ninguna de ellas trató de explicar la
naturaleza y significado de la intuición que postularon. "A priori, el uso por los
matemáticos de la propia palabra intuición, conlleva misterio y ambigüedad( .. . ); a veces,
representa una noción escurridiza que simula ser una sustituta ilegítima y aventurada de la
demostración rigurosa". Para detalles, véanse sugestivos listados interpretativos de
significados y giros de esta enigmática y voluble noción, en P. Davis y R. Hersh, The
Mathematical Experience, Birkhauser, Boston 1981 , caps. 7 y 8.
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consistencia de varias ramas de la matemáticas que habían sido
axiomatizadas, es decir, que sus axiomas no pudieran llevar a
contradicciones. El esfuerzo realizado por las escuelas durante el primer
cuarto del siglo XX, para eliminar estas últimas y garantizar la consistencia,
dio lugar a un cúmulo de incredulidades que sacudiría el curso de la historia
de la ciencia, y que representó un hito importante conocido más tarde como
"crisis de fundamentos".
Antes de exponer un breve y necesario análisis de las tres concepciones
precedentes, conviene agregar que, tras el confusionismo del siglo XIX,
tuvo una gran influencia sobre estas corrientes filosóficas un grupo histórico
de la Grecia clásica, que fue el del "platonismo" encabezado por Platón
(427-347 a. C.), cuya posición filosófica subraya la intuición 5; como
asimismo que, muchos siglos después, el filósofo alemán Emmanuel Kant
( 1724-1804 ), con una metafísica que era continuación de la herencia
platónica, dejaría una marcada huella en las matemáticas que se prolongó
hasta los inicios del siglo XX. Manifiestamente, sería Kant quien asignó
mayor importancia al papel de la intuición en lo que llamamos conocimiento
6
La primera de las escuelas citadas, la logicista, desarrolló su concepción
filosófica en una monumental obra debida a los grandes artífices ingleses B.
Russell (1872-1970) y A. Whitehead (1861-1947) 7 . Su tesis, enunciada
brevemente, se reducía a que todas las matemáticas son derivables de la
lógica. La tesis sostenía, entre otros y muy en especial, un tipo de
argumentación, adoptado como "principio" característico denominado
Una intuición geométrica y física que se ubicaría simultáneamente en la investigación,
la enseñanza y el desarrollo de las matemáticas. Según Platón, el llamado mundo de la
experiencia nada tiene de real. "Somos como moradores de una cueva, que perciben las
sombras del mundo exterior y confunden las sombras con los objetos reales (La
República)''. Nada se puede inventar, todo está ya presente y todo cuanto se puede hacer es
descubrir. Algunos objetos matemáticos que se hallan fuera del espacio y del tiempo, no
son ni físicos ni materiales.
6 Kant creía que las matemáticas estaban fundadas sobre una intuición pura, no sobre el
pensamiento. El dogma principal kantiano se basaba en sus ideas sobre intuición (interna)
del tiempo ·y (externa) del espacio, en el conocimiento "a priori": la del tiempo, en la
noción de sucesión, y la del espacio sustentada en la geometría (no hay que olvidar que, ya
desde Platón, las matemáticas significaron "geometría" y la filosofía de las matemáticas
sería " la filosofía de la geometría"). La comprensión del fenómeno del conocimiento
intuitivo, ha sido siempre un problema fundamental de la epistemología matemática. En
realidad, si se contemplaran las matemáticas a través de su desarrollo histórico, se tiene que
introducir una misteriosa intuición que cubriera el vacío que existe entre la descripción
formalista (de la que nos ocupamos seguidamente) y la experiencia real que cada uno tiene
de las matemáticas.
7 Principia Matemática, Cambridge Univ., N. York, 3 vol s. ( 1910-1913).
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proceso de inducción completa, que luego fue cuestionado, al no ser posible
deducir de un número limitado de inferencias, un número infinito de
conclusiones 8. La segunda de las escuelas, la intuicionista, desafió el
encadenamiento en la lógica apoyándose en que la única fuente de
conocimiento matemático no es más que la intuición, una facultad
indispensable de conexión entre la consciencia humana y la realidad
matemática. Esta escuela fue fundada (1908) por el matemático holandés E.
L. Brouwer (1881-1966), cuya doctrina consideraba sólo matemática
genuina la dada por una intuición obtenida mediante una construcción finita
de ciertos objetos primitivos. Sus adeptos, en unión de otros matemáticos
con puntos de vista prox1mos, constituyeron el grupo de los
"constructivistas". Brouwer, consciente seguidor de Kant y de su filosofía
idealista, sabía hasta qué medida se podía confiar en la intuición, asumiendo
que los números naturales representaban la noción fundamental dada por
nuestra intuición (imposibles de reducir a otra noción más básica), para
constituir el punto de arranque de todas las matemáticas. Entre los
constructivistas hubieron no obstante, disensiones sobre su manera de
proceder, al fundarse exclusivamente en una intuición universal e
inconfundible 9. Los principales oponentes de la tesis intuicionista, fueron
los seguidores de la tercera de las escuelas, la formalista de D. Hilbert
(1862-1943) que había definido a las matemáticas corno la ciencia de la
demostración rigurosa. Hilbert tenía una confianza ilimitada en el poder de
la razón y la inteligencia humanas y a tenor de su concepción filosófica, ni
el logicismo ni el intuicionisrno probaban la consistencia. En 1915
emprendió un programa de restauración de las matemáticas, formulando
durante la década de los 1920 su propia aproximación de los fundamentos
con unas bases axiomáticas de la lógica, cuyo propósito era probar la
consistencia de cualquier sistema formal. Los sistemas formales ideados por
El principio fue contemplado en muchas ocasiones corno un misterio inescrutable.
Existían problemas en que la palabra "todos" al referirse a conjuntos infinitos, adquiría
cierta significación que complicaba el uso de Ja inducción matemática. El método de
inducción implica un número infinito de razonamientos y corno ningún principio lógico
abarca un número infinito de razonamientos, aquel método no podía ser deducido de tales
principios. Consecuentemente, sería imposible probar la consistencia de los fundamentos en
las matemáticas. El principio de inducción completa, que había sido demostrado mediante
el axioma de reducibilidad de la teoría de tipos (Principia, 2ª ed., 1926), tuvo que ser
reformulado. Aún hoy, la naturaleza de este principio se mantiene en discordia.
9 Creían en objetos reales (ideales en su construcción) que se intuían sin saber por qué. Si
bien, según Brouwer, las ideas matemáticas más sencillas se encuentran implícitas en el
pensamiento corriente de nuestra vida cotidiana, el dogma de que el sistema de números
naturales sea universal se resquebrajaría ante la experiencia histórica, pedagógica y
antropológica.
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Hilbert consistían en un alfabeto de símbolos con una gramática que
especifica cómo han de combinarse para explicitar las afirmaciones y un
nuevo campo, la metamatemática10 , para examinar "a priori" el alcance que
podían tener las demostraciones matemáticas. Para Hilbert, o se tiene
demostración, o no se tiene nada. No existen objetos matemáticos. Su
matemática consiste estrictamente en axiomas, reglas, definiciones y
teoremas.
Una escueta v1s1on de lo que se propusieron dichas escuelas podría
interpretarse del modo siguiente:
La lógica representó una complicada estructura que era difícil identificar
con la lógica entendida como "conjunto de reglas para un razonamiento
correcto" 11 • La pretensión de que las matemáticas no eran sino lógica (una
lógica intuitiva, lo que podía interpretarse que no significaban más que una
inmensa tautología), se llegó a plasmar en una realidad inevitable. Más
concisamente, las concepciones logicista y formalista, tratando de hacer más
seguras las matemáticas, las transformaron en una tautología; algunas de sus
premisas fueron compartidas por los constructivistas, otras nó 12• Al final,
los lógicos (nada satisfechos) siguieron desconcertados, los científicos
naturales aceptaron sólo la evidencia y los matemáticos exigieron mayor
rigurosidad en las demostraciones. En resumidas cuentas, con cualquiera de
aquellas filosofías, era presumible que se corriese el riesgo de llegar a una
contradicción.
Quienquiera que se pusiese a hurgar en los fundamentos de las matemáticas,
asumiría pronto que lo que se requería realmente para los niveles de rigor,
era una mayor austeridad. "¿Dónde se podría encontrar unas bases la mitad
de firmes, para cualquier cosa que tratara de fundamentarse?" 13• En
definitiva, tras los esfuerzos realizados en el desarrollo de los fundamentos,
10 La escuela formalista tiende a identificar la matemática con su concepción formal
abstracta, y a la filosofía de la matemática con la metamatemática (o "teoría de la
demostración"). Esta última podía evitar círculos viciosos y eliminar inconsistencias, dentro
de un programa que señalaría el cambio al método axiomático moderno donde los axiomas
no son considerados como verdades autoevidentes.
11 "El conjunto lógico-matemático no puede ser considerado como el lenguaje adecuado
y necesario para la ciencia, ni como una de las ciencias. A decir verdad, es la Ciencia
misma" (W.V. Quine, Mathematical Logic, Cambridge, Massachussets, Harvard Univ.
Press, 1951 (versión castellana, Madrid, Rev. Occidente, 1973).
12 P. Davis y R. Hersh, ibid., cap. 7, p. 333.
13 W.V. Quine, Los fundamentos de la matemática (en"Mathematics in the modero
world", versión española "Matemáticas en el mundo moderno'', Edit. Blume, Madrid, 1974
-p. 215 -; una antología en la que se presenta una colección de trabajos de importantes
autores).
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el estado de las matemáticas sería desconcertante. En lugar de un cuerpo
único universalmente admirado de las matemáticas, dotado de un envidiable
razonamiento sólido (incluso aceptando a veces alguna enmienda en sus
demostraciones), lo conseguido sólo fue unas aproximaciones a las
matemáticas que siguieron en conflicto. Con las posiciones divergentes y
contrapuestas que surgieron incluso dentro de cada una de las escuelas, no
lograron ser fiables del todo las posteriores y recientes investigaciones
habidas sobre los fundamentos, que llegarían a traspasar fronteras sin
descubrir nada nuevo.
En un interesante y reciente artículo de carácter expos1t1vo, Solomon
Fefennan 14 (autor de numerosos trabajos de lógica matemática, de historia
y de los fundamentos de las matemáticas) afirma en uno de ellos, que "la
más cruda diferencia entre el punto de vista matemático y el del lógico,
concierne a los fundamentos de las matemáticas". En otro de esos trabajos
remarca también que "el objetivo de una teoría lógica, es dar un modelo de
razonamiento del matemático (sea platónico o bien constructivista)
idealizado"; y en cuanto al uso de los sistemas fonnales por parte de
algunos lógicos que se autodenominan formalistas, se debe a que consideran
que en el seno de aquellos sistemas, queda mejor diseñada su propia
actividad15 • Fefferman dejó patente que: "En su trabajo el matemático se fía
de intuiciones vagas y sorprendentes, y da marcha atrás a tientas en
demasiadas ocasiones. Es significativo que, en su forma actual, la lógica sea
incapaz de dar una descripción directa ni del desarrollo histórico de las
matemáticas ni de la experiencia cotidiana de los profesionales; y queda
igualmente claro que la búsqueda de unas fundarnentaciones definitivas a
través de los sistemas formales, ha fracasado en llegar a conclusión
convincente alguna" 16• Como alguien ha dicho, las reconstrucciones
racionales de los fundamentos sólo significaron una parodia de la historia.
Entre otros grandes matemáticos que enjuiciaron lo que produjo la crisis de
fundamentos, estimamos de interés añadir los curiosos e interesantes
extractos de lo que escribieron algunos de ellos:
Félix Klein (1849-1925), jefe del departamento de Matemáticas durante el
primer cuarto de siglo en la universidad de Gotinga (por entonces centro
14 "Does Mathematics needs new axioms?'', The American Mathematical Monthly, 106
nº 2, 99-ll I (1999), p. 99.
15 S. Feferman, What does logic have to tell us about to mathematical proofs? , The
Mathematical lntelligencer, 2, 20-24, 1979.
16 The logic of mathematical discovery vs. The logical structure of mathematics, in PSA,
1978, vol. 2, 309-327, Philosophy of Science Assoc., East Lansing, 1981. Consúltese P.
Davis y R. Hersh, ibid, cap. 7.
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mundial de las matemáticas), dejó escrito que a causa de la profundizada
comprensión crítica, "hoy en día estamos menos seguros que en cualquier
otro tiempo, de los fundamentos últimos en los que se basa la matemática" 17
; y tras su descripción acerca del desarrollo de las matemáticas, expuso en
páginas posteriores, algo que sería luego confirmado por la historia: "De
hecho, las matemáticas [han] crecido como un árbol, que no parte de sus
finas raícillas y crece simplemente hacia arriba, sino que más bien hunde sus
raíces cada vez más profundamente, al mismo tiempo y a la misma
velocidad, con que sus ramas y hojas se extienden hacia arriba[ ... ]. Vemos
pues, que por lo que respecta a la investigación sobre los fundamentos de las
matemáticas, no existe un final, y asimismo que, por otra parte, no existe un
comienzo".
R. von Mises (1882-1953), destacado matemático y brillante representante
de la filosofía positivista, captaría una especial atención en el mundo
científico con su trabajo sobre la formulación axiomática de una disciplina
como la matemática, en el que incluía al propio tiempo, una interesante
valoración de imperfecciones de las tres principales interpretaciones de los
fundamentos de la misma. Tras su excelente análisis sobre las precedentes
escuelas de pensamiento, afirmaría 18 : "Las matemáticas en su conjunto,
como cualquier otra ciencia, tiene una parte tautológica y un aspecto
empírico. Difiere de las demás ciencias en que su aspecto formal es mucho
más esencial y decisivo que en cualquier otra. Y así resulta comprensible
que la matemática se haya identificado frecuentemente con su parte
tautológica". Su conclusión final sería que "ninguna de las tres formas de
fundamentación de las matemáticas pudo conseguir racionalizar
completamente la relación entre los sistemas tautológicos y las experiencias
(extramatemáticas), que es su verdadero objeto; esto es, ninguna fue capaz
de hacer de esa relación una parte del sistema matemático mismo".
Morris Kline, profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva York,
notable investigador y más conocido por sus diversas obras sobre historia de
las matemáticas, describió en el prólogo de una de ellas 19, una original y
más bien curiosa definición, al expresar que "las matemáticas en sí misma,
17 Félix Klein, Matemáticas Elementales desde un punto de vista superior, C.S.l.C,
Nuevas Gráficas, Madrid, 1931. La famosa descripción de la matemática, expresada por
Klein como " la ciencia de las cosas que son evidentes por sí mismas'', estuvo de moda
durante varias décadas y causaría gran impacto por su profundo sentido; no obstante,
digamos de paso que, al igual de la gran mayoría de las otras descripciones habidas para
definir las matemáticas, daría muy poca información sobre su naturaleza real.
18 Los postulados matemáticos y el entendimiento humano, SIGMA (El mundo de las
matemáticas), Edit. Grijalbo, Barcelona-México, 1969, vol. 5, p.142.
19 M. Kline, Mathematics in the modern World (Nota pie 13 anterior).
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es un esqueleto; su carne y sangre consiste en lo que se hace con ellas". En
otro contexto y refiriéndose a la famosa crisis de fundamentos (que duraría
algunas décadas y ya ha sido sobrepasada), consideró irónicamente que se
podía resumir en una escalofriante historia: "A orillas del Rhin, un hermoso
castillo se había mantenido en pie durante siglos. En los sótanos del castillo,
las industriosas arañas que lo habitaban, habían construido una tupida red de
telarañas. Un día sopló un fuerte viento y destruyó la red. Las arañas se
pusieron a trabajar frenéticamente para reparar el daño. Creían que eran sus
telarañas las que mantenían en pie su castillo"20.
2. Acotaciones sobre la naturaleza de la demostración y el papel de la
intuición.
La noción de demostración fue situada alrededor del 500 (a. C.) por E.T.
Bell 21 , quien añade también que las demostraciones son las cadenas que
sujetan a la razón humana desde hace más de 2300 años.
Ninguna de las demostraciones habidas en ciertas épocas, resultaron ser
definitivas. Algunos contraejemplos socavaron y en varias ocasiones
resquebrajaron, viejas demostraciones. La historia de las matemáticas
evidencia además que en ninguna de sus épocas cruciales, se consideró que
había llegado la hora de un examen crítico de la demostración.
El advenimiento (a principios del siglo XX) de las precedentes
concepciones filosóficas matemáticas opuestas entre sí y el trepidante
antagonismo que se viviría entre sus bandos, originó tal desconcierto y tan
numerosos escepticismos, que fomentaron muchas incredulidades sobre la
idea de demostración.
"En cualquier tiempo han existido matemáticos que tildaron algunas
demostraciones de algunos de sus predecesores o de sus contemporáneos, de
poco rigurosas y a menudo, las que propusieron para sustituirlas fueron
consideradas a su vez insuficientes por la generación siguiente. Esto
impedía que Befara el momento de alguna demostración exenta de toda
posible crítica"2 .Ningún matemático purista podría debatir la declaración
tautológica de que "el lugar del rigor en matemáticas reside en las mismas
matemáticas"23 •
La mayoría de las frases de alabanza con las que se ha ponderado el
concepto de demostración matemática que aparecen en algunos textos
20 M. Kline, La pérdida de la certidumbre, Edit. Siglo XXI, Madrid, 1985, p. 335.
21 The search of truth, American Mathematical Monthly, 41, 599-607 (1934).
22 J. Dieudonné, En honor del espíritu humano, Hachette 1985, Alianza Edit., Madrid,
1989, p.3 18.
23 E.T. Bel!, American Mathematical Monthly, ibid, p. 600.
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modernos, corno por ejemplo el de P.Davis y R.Hersh 24 , al matizar que "la
demostración, da una comprensión más profunda al revelar el alma de un
problema; y en los mejores casos, la demostración es una rúbrica definitiva,
un sello postrero de autoridad, una especie de energía matemática o de
tensión eléctrica que da vida y dinamiza los estáticos enunciados de los
teoremas", estimamos que pertenecen a una clase de descripciones que
inclina más bien a entrar en una historia más completa del rigor o, al menos,
en asimilar con cautela la suprema dificultad que conlleva una construcción
rigurosa del edificio de las matemáticas 25•
En la creación matemática, más que en mostrar demostraciones rigurosas, la
mayoría se contentaron con una mera indicación de la demostración. El
clima reinante en aquel tiempo, era en general, que únicamente podían
existir demostraciones "rigurosas" en el seno de una teoría axiomática. La
axiomatización de las matemáticas representó un serio problema que
inquietó a la mayoría de sus practicantes, quienes al comenzar a sentirse en
una posición incómoda, desencadenaron un movimiento para eliminar dudas
y contradicciones, insistiendo a su vez en explicitar definiciones y
demostraciones intuitivamente evidentes. Una situación que se tornó
complicada, porque nadie se había antes percatado de que todo lo que estaba
ocurriendo fue simplemente debida a que se aferraron a la intuición de la
mente humana26 . Si bien se presentaron graves obstáculos, que se acusaban
en mayor grado con la reincorporación de algunas nociones descartadas que
serían luego base de teorías provechosas, la intuición acabó por considerarse
necesaria para la comprensión de las matemáticas27 y llegaría a jugar un
papel histórico esencial en la evolución de esa ciencia para que pudiera
desarrollarse lógica, sistemática y rigurosamente 28 . Sucederían, no
24 P.Davis y R. Hersh, The Mathematical Experience, ibid, cap. 4, p. 151.
25 El propio concepto de rigor está definido intuitiva y no rigurosamente. En ciencia y
filosofía, nuestro sentido común es sinónimo de la intuición. Ahora bien, si Jo intuitivo se
considera lo opuesto a lo riguroso, parece significar falto de rigor. Quizás muchos piensen
que se trata de un juego de palabras.
26 M. Kline, La, pérdida de la certidumbre, ibid, cap. 9, p. 258.
27 "Casi todo el mundo sabe que cuando se asciende a una montaña, se va notando cada
vez más la pureza de la atmósfera, y pudiera creerse que si se ascendiese indefinidamente,
el bienestar que se experimenta es cada vez mayor; esto, sin embargo no ocurre, ya que
por el contrario, existe un límite de altura, pasado el cual, la vida humana se hace
imposible. Análogamente, puede decirse que, en la ascensión de los lógicos hacia la pureza
científica., eliminando (en lo posible) la intuición, se encuentran innegables ventajas, pero
sólo hasta un cierto límite que no puede ser sobrepasado, sin que el excesivo predominio de
la lógica sobre la intuición, produzca la esterilidad del razonamiento" (Félix Klein, ibid., p.
308).
28 Más adelante, H. Poincaré en su artículo Mathematical discovery (Science and Method,
Dover Pub l., N. York, 1952) que contiene un material anecdótico, realizó un análisis del
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obstante, rechazos imprevistos. El especialista noruego Thoralf Skolern
(1887-1963) descubrió nuevos fallos en la estructura de las matemáticas,
renegando desde 1923 del método axiomático corno fundamento de la teoría
de conjuntos, a quien luego se uniría uno de los matemáticos más grandes
del siglo, John von Neurnann (1903-1957), al suscribir que algunos axiomas
de aquella teoría conllevaban ciertamente un sello de irrealidad; este
matemático publicaría (1927) un famoso artículo, conjeturando que
apremiaba probar cuanto antes que la lógica se encontraba liberada de
contradicciones. Su repercusión ocasionó nuevas incertidumbres, y hubo de
vivirse entonces un período conflictivo, en el que para una gran parte de
matemáticos la intuición resultó ser engañosa, exponiendo incluso en
muchos casos la seguridad de la misma. Destacados especialistas
atribuyeron el desconcierto a ciertos objetos matemáticos misteriosos, que
fueron considerados como monstruos 29 . En un famoso ensayo, el lógico y
matemático Hans Hahn (1879-1934 ), uno de los más brillantes del Círculo
(positivista) de Viena (maestro de Godel y alumno de Hilbert)), utilizó una
buena parte de ellos para arremeter duramente en contra del concepto de
intuición 30, en el cual se aludía a proposiciones matemáticas que habían
sido aceptadas como ciertas por intuición y que luego se probaron falsas por
lógica. Unas proposiciones que crearon tal escepticismo que hizo quebrar
las bases de toda disciplina matemática que se apoyara en convicciones
intuitivas. Al igual que Hans, una gran mayoría de científicos demandaron
que cualquier prueba matemática debería llevarse a cabo mediante recursos
estrictamente lógicos. En el mundo ilustrado se exigió de inmediato la
expulsión de la intuición del razonamiento matemático y se pidió la
completa formalización de las matemáticas. Una pesada tarea para reducir
papel de la intuición en el proceso creativo. Para más amplia información, véase también La
excelente obra de J. Hadamard, The Psychology of Invention in Mathematical Field
(Princeton, 1949).
29 "A veces, la lógica produce monstruos", advirtió Poincaré en Science et Méthode
( 1908). Por otra parte y como se sabe, una definición abrevia muchos teoremas; y en las
exposiciones "rigurosas", las definiciones rara vez mencionan los monstruos que nos han
llevado a las mismas. La palabra monstruo era una consecuencia directa de contraejemplos
de funciones "patológicas" y de figuras (indicando fallos de la intuición visual) que
desafiaban conceptos topológicos intuitivos (curva continua sin tangente en ninguno de sus
puntos, ... ) surgidos en Ja segunda mitad del siglo XIX para una fundamentación rigurosa
del análisis y su aritmetización. La palabra fue muy popularizada muchos años después en
la excelente obra de f. Lakatos, Pruebas y refutaciones:La lógica del descubrimiento
matemático, Cambridge Univ. Press (eds. J. Worrall y E.G. Zahar), L976 (edic. castellana,
Alianza Univ. Ed., 206, 1978).
30 H. Hans rechazó el recurso a la intuición para ampliar la visión de algunas áreas de las
matemáticas (La crisis de la intuición, SIGMA, El mundo de las matemáticas S, 342-362
(Grijalbo, Barcelona, 1969).
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las matemáticas a la lógica, que resultó ser ardua y difícil, por significar
nada menos que una reforma de todas sus ramas y raíces31 .
3. El problema de la consistencia.
La enconada disputa de las anteriores escuelas filosóficas de pensamiento,
culminaron en la década de 1930 con la definitiva destrucción del sueño de
Fausto de todo matemático; la de probar que su ciencia se encontraba libre
de contradicciones. Sería en 1931, cuando un joven matemático de
escasamente unos 25 años, Kurt Godel (1906-1978), rompió la
inexpugnabilidad de la verdad matemática con un teorema de incompletitud,
que mostraba la existencia de verdades matemáticas imposibles de
demostrar dentro del marco axiomático en el que se encontraban situadas. El
teorema asestó un terrible golpe a las esperanzas de axiomatización, porque
puso de manifiesto que una prueba de la consistencia lógica de cualquier
aproximación a las matemáticas era, de todo punto, imposible. Conclusión
que conllevaba no poderse probar la consistencia de ninguna aproximación
adoptada por logicistas y formalistas (e incluso por el grupo de los
conjuntistas seguidores de Cantor 32 ), mediante principios lógicos seguros.
Los resultados demoledores de Godel rompieron el espejismo de la verdad
matemática y destruyeron el concepto clásico de la noción de demostración
matemática, poniendo en entredicho la propia naturaleza de esta última.
Desarrollos posteriores al crucial año de 1931, no hicieron más que
complicar la situación, frustrando además cualquier intento de definir las
matemáticas y de lo que significaban resultados correctos 33• Los únicos
matemáticos que desde ese año se mantuvieron serenos e incluso algo
indiferentes, fueron los intuicionistas. En su filosofía, las demostraciones
formales eran innecesarias e irrelevantes, en base a que la intuición humana
era lo suficientemente poderosa para decidir la veracidad o falsedad de
cualquier proposición significativa (o que tuviera sentido). Pensaban
31 P. Davis y R. Hersh, The Mathematical Experience, ibid . Véase también Solomon
Feferman, Mathematical lntuition vs. Mathematical Monsters, Twentieth World Congress
of Philosophy, Boston MA ( 1998), para más detalles.
32 Las discrepancias surgidas involucraron duros debates en torno al fundamental concepto
de conjunto. En particular, W. H. Thurston (medalla Fields, 1982) enfatizaría más adelante
que "la teoría de conjuntos se basa en mentiras corteses, en cosas sobre las que estamos de
acuerdo, aunque sabemos que no son verdaderas", añadiendo "en cierto sentido, la
fundamentación de las matemáticas tiene un aire de irrealidad". (On proofs and progress in
mathematics, Bull. Am. Mat. Soc., 30, 161 -177 (1994))
33 Con el trabajo de Godel se generaron nuevas ramas de estudio en la lógica matemática,
que provocarían una reconsideración de la filosofía matemática y más aún, de las filosofías
del conocimiento en general.
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simplemente en las matemáticas como algo que crece y se desarrolla, y
siguieron luchando con las demostraciones de existencia "mediante
construcciones finitas (sin tener siquiera en consideración que el conjunto R,
ni ningún otro conjunto infinito pudieran ser obtenidos de tal manera)".
G. H. Hardy (1877-1947), uno de los matemáticos más distinguidos de la
época, consideró que "las demostraciones constituían más bien las fachadas
de las columnas que soportan la estructura matemática", y afirmaría
abiertamente (1928): "estrictamente hablando, la demostración matemática
no existe"34 . También A.N. Whitehead y algunos otros, atacaron el valor de
la demostración; más concretamente, otro destacado matemático R. L.
Wilder (1896-1982), declararía que "la demostración es un proceso de
comprobación que aplicamos a lo que la intuición nos sugiere". Wilder, le
restó asimismo importancia a la misma cuando expresó (1944): "[ ... ] No
poseemos un criterio de demostración que sea independiente del tiempo, y
de lo que se prueba, ni de la persona o escuela de pensamiento que lo utiliza
[ ... ]. Lo más sensato es admitir que, en general, no existe la verdad (la
demostración) absoluta en matemáticas [ ... ]. La demostración, el rigor
absoluto, son quimeras [ ... ]. No existe una definición rigurosa de rigor". En
la actualidad, las demostraciones absolutas no constituyen otra cosa que una
meta que se indaga, aunque probablemente jamás se logre alcanzar. Para el
intuicionista H. Weyl (1885-1955), "las matemáticas no son un cuerpo de
conocimiento exacto. Lo mejor es contemplarlas desde un punto de vista
histórico"35 . Para el filósofo y lógico Ludwig Wittgenstein (1889-1951), la
fuerza expresiva de la demostración está subrayada con el fiel y
desconcertante consejo, "si quieres saber lo que dice una demostración
matemática, observa lo que su demostración demuestra". En la lógica
formal como ciencia o teoría (sistema de teoremas) en donde se plantea el
tratamiento de los teoremas de la lógica y el sentido de la veracidad de los
mismos, Wittgenstein sostiene que "las verdades formales no afirman nada
ni se refieren a nada; son tautologías que consisten en decir de varios modos
una misma cosa"36 .
34 Hardy, si bien sentía un gran respeto por la exigencia de pruebas formales de los
lógicos, al querer caracterizar la prueba matemática con la que están familiarizados los
profesionales, lo hizo expresándose así: "Estrictamente hablando, no existe eso de prueba
matemática ( ... ) en última instancia son lo que Littlewood y yo denominamos gas,
florituras retóricas orientadas a afectar psicológicamente( ... ) para estimular la imaginación
de los alumnos".
35 R.L. Wilder, The nature of mathematical proof, U ni v. Michigan (1944), 309-323. Para
más detalles, véase M. Kline, La pérdida de la certidumbre, ibid, cap. 14.
36 M. Sacristán, Introducción a la lógica y al análisis formal, Edic. Ariel S.A.,
Barcelona(l 964 ), p. 25.
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En definitiva, resultó muy complicado saber lo que requmeron de la
intuición, las anteriores corrientes y escuelas filosóficas de pensamiento. Se
llegó al extremo de que la intuición provocara nada menos que la gran
dificultad de exigir que las matemáticas fueran infalibles37 , exigencia que
fue ante todo afrontada por las dos filosofías del platonismo y del
formalismo. En ese aspecto, Ja dificultad mayor se le planteó principalmente
a los platonistas: ¿de qué modo establece contacto la mente humana con ese
mundo de objetos matemáticos, para ellos ideal e inmaterial? La postura de
los formalistas fue diferente. Para sus seguidores, la interpretación platónica
no tenía sentido alguno. Eludieron referirse a la intuición, en tanto en cuanto
las matemáticas fueran definidas tan sólo como deducciones extraídas de
axiomas y teoremas formales. Para el formalista, el único modo de eliminar
la intuición, era concentrarse en un refinamiento irrefutable de sus
demostraciones. La debacle que produjo entre los matemáticos el trabajo de
Godel sobre la incompletitud y la imposibilidad de probar la consistencia,
no había sido del todo asimilada, y unos quince años después nuevas
conmociones amenazaron el curso de las matemáticas, sumiéndolas en una
mayor confusión acerca de lo que se debería comprender como unas
matemáticas sólidas. Se configuró entonces un formalismo contemporáneo,
que era descendiente del hilbertiano, si bien no sería justamente lo mismo.
La exposición de estos formalistas alcanzaría su mayor repercusión en la
segunda mitad del siglo XX, a través de la extraordinaria obra de varios
volúmenes (el primero de los cuales fue publicado en 1939) debida al grupo
de matemáticos franceses Nicholas Bourbaki, con una acusada sumisión al
método axiomático que le permitía adoptar una actitud "realista" para los
fundamentos de las matemáticas. Uno de sus representantes, A.
Lichnerowicz ( 1915-1998), llegaría a afirmar 38: "Las demostraciones de los
que nos precedieron no nos satisfacen, si bien han permanecido los hechos
matemáticos que descubrieron. Nosotros los demostramos por métodos más
rigurosos y precisos, en los que ha quedado prohibida la intuición
geométrica". Es curioso, sin embargo, que al inquirirles cómo nuestros
antepasados eran capaces de hallar teoremas correctos a través de
razonamientos incorrectos, sólo pudieron responder con una sola palabra, la
intuición. Ahora bien, si no se cree en los entes reales, ¿qué es lo que puede
intuirse? ¿Se habrán de crear nuevos conceptos o se hallarían otros que aún
estuvieran ocultos?
37
38
P. Davis y R. Hersh, The Mathematical Experience, ibid, cap. 8, p. 399.
La nueva matemática, Salvat Edit., Barcelona, 1973.
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De todos modos, nos hemos quedado realmente sin conocer qué línea de
pensamiento ha de conllevar la verdad. Los esfuerzos por eliminar las
contradicciones con el fin de establecer la consistencia de las estructuras
matemáticas, fracasaron. Para colmo, brillaba por su ausencia una prueba
firme de consistencia. Prevalecía una diferencia esencial que había dividido
a formalistas y platónicos, relativa a las cuestiones de existencia y realidad
(lo que se aprecia muy claramente, en la hipótesis del continuo de Cantor) 39
. Además, jamás hubo acuerdo para que se pudiera aceptar el enfoque
intuicionista no axiomático. Para sus seguidores, la consistencia de las
matemáticas estaba clara porque el significado intuitivo la garantizaba. No
obstante, la intuición no llegaría a ser nunca una guía de absoluta confianza,
si se quería usar como criterio de la verdad en la exploración científica. Mas
aún, los desacuerdos se extendieron a los métodos de razonamiento (la ley
del tercio excluso, por ejemplo, dejó de ser un principio incuestionable de la
lógica). Por otra parte, la pretensión de un razonamiento impecable tuvo que
ser abandonada. Y a Ja postre, ninguna escuela pudo merecer el derecho de
arrogarse la representación de las matemáticas. Todas las escuelas quisieron
tratar de justificar las matemáticas a partir de 1900 y se preguntaron si
podían servir para las matemáticas del siglo XX, pero lo que de hecho
sucedió fue que los matemáticos habían puesto todo su empeño, voluntad y
coraje, para reforzar y completar los fundamentos de su disciplina; y si se
consiguieron limar diversas asperezas y eliminar contradicciones, sólo sería
hasta cierto punto: el de admitir la conveniencia de que en todo tiempo, una
revisión de los fundamentos resultaría muy útil y necesaria para las
matemáticas.
4. El ordenador, el concepto de demostración y la verdad matemática.
Retomemos a la década de los 1930. Una vez que Godel pusiera en
evidencia la imposibilidad de probar la consistencia lógica de las
matemáticas, sucedió otro acontecimiento espectacular, además de
39 Para J.O. Monk (American Mathematical Monthly,77 (1970), 703-711), en el mundo
matemático grosso modo sobresalen dos puntos de vista filosóficos, el platonismo y el
formalismo. Ante esta dicotomía, casi todos los matemáticos en ejercicio, preferían tomar
en la cuestión de consistencia, la posición realista (es decir, platónica); pero eran
conscientes de las dificultades de la teoría de conjuntos. Si, por ejemplo, un matemático
hace una simple referencia a los números reales, expresa una tendencia hacia el platonismo;
y si se refiere a un teorema como correcto porque es deducido de los axiomas de la teoría
de conjuntos, tiende hacia el formalismo. Sin embargo y en general, un argumento
matemático correcto deducido de premisas dadas, es reconocido como tal, tanto por un
platónico como por un formalista.
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sorprendente. El matemático Alan Turing (1912-1954) mostró (1936) la
existencia de un "autómata universal", al indagar sobre las clases de
sucesiones de unos y de ceros que pudieran ser reconocidos por una
máquina abstracta a través de un número finito de instrucciones. Esto
significó nada menos que el nacimiento del computador electrónico, cuyo
desarrollo promovería la aplicación más extraordinaria del siglo XX. Se
hace preciso, no obstante, destacar que habría de ser John von Neumann
(1903-1957), quien de hecho implementara (l 944) el autómata universal
como un computador electrónico, con instrucciones almacenadas mediante
un "programa" que la propia máquina podría alterar en el curso del cálculo.
En las últimas décadas del siglo XX, el ya más bien denominado
ordenador40 produciría un notabilísimo impacto en la matemática pura.
Transformó el panorama de la demostración, obligando a los matemáticos a
reconsiderar la propia naturaleza de su disciplina y a examinar la
interconexión de ideas matemáticas. La llegada de esos más recientes
computadores dio lugar además a que el pensamiento filosófico
experimentara de forma importante, tal revolución en la ciencia, que afectó
en particular a las matemáticas, acumulándole nuevas incertidumbres al
enorme laberinto de su creciente complejidad. Muy en especial, en lo
referente a la verdad, que en matemáticas (al sustentarse indefectiblemente
en sus demostraciones) se había encontrado desde siempre mejor definida
que en cualquier otra área de las ciencias, lo que hizo que éstas se aferraran
a sus evidentes avances medidos desde hace milenios por las conclusiones o
teoremas que se pudiesen derivar de una serie de razonamientos que partían
de un sistema de axiomas. Sin embargo, surgieron dudas que
desencadenarían una cadena de confusiones y controversias; sobretodo en
determinadas ocasiones, que se originaron en tiempos recientes, en las que
fueron presentadas, con el ordenador como elemento indispensable,
demostraciones muy largas y complicadas, si bien en un "status" en el que
se permanecía sin ahondar en un nuevo análisis de la propia naturaleza de
aquellas y por tanto, de la verdad. Pese a todo, la creación de posteriores
lenguajes de programación lograron modelar un renovado formalismo
matemático que sustituiría a otros antiguos de las matemáticas aplicadas; y
la mayor parte de las pruebas asistidas con ayuda del computador (o
demostraciones "computerizadas") que en el inicio habían sembrado
40 Quien primero concibiera lo que actualmente ha logrado representar el ordenador, fue el
matemático inglés Charles Babbage ( 1791 -1871 ). Éste ideó ( 1820) y luego creó una bien
conocida máquina "diferencial" mecánica, describiendo mucho más tarde (1833) otra que
llamaría "máquina analítica", la cual contenía varias ideas básicas y podía ejecutar una
buena parte de lo que hace un computador matemático moderno; trató de construirla
durante años, pero sin éxito. Sólo lo conseguiría la era electrónica.
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aqueJlas indecisiones en el mundo matemático, consiguieron representar
más tarde, implementaciones de pruebas de sus teoremas41 • Mas, con el
recurso al ordenador, no se pudo alcanzar una plena aceptación de algunos
razonamientos como teoremas matemáticos, y se generarían serias
objeciones y controversias entre filósofos y matemáticos que, al propio
tiempo y una vez más, provocó una significativa división entre los mismos
matemáticos42 . La noción de lo que se había dado en llamar demostración
rigurosa fue entonces acogida de forma distinta y contráproducente por unos
y por otros, y muy acusadamente, desde el momento en que para algunos
(como dijimos) el uso del ordenador figurara nada menos que como parte
fundamental de la misma. Un hecho que conllevaba un debilitamiento
sensible de las normas de la demostración matemática.
Entre los artículos que se publicaron en ese sentido, en uno de ellos que
apareció en Acta Mathematica (1971), debido a H.P.F. Swinnerton-Dyer, se
comentaba: "Cuando un teorema ha sido probado con ayuda de un
ordenador, es imposible dar una exposición de la demostración que
obedezca al criterio tradicional( ... ). En toda computadora moderna es muy
raro que se provoquen errores ( ... ), si bien son susceptibles algunos fallos
transitorios durante el proceso de cómputo ( ... ). Esto no significa que sea
necesario rechazar los resultados del cómputo". Su conclusión fue: "La
única forma de verificar estos resultados (si se considera que vale la pena)
es volver a atacar el problema de forma totalmente independiente, usando
una máquina diferente. Una actitud que se corresponde exactamente con la
de Ja mayor parte de las ciencias experimentales". Algunos informarían más
tarde, que en varios casos se tuvieron que realizar al efecto, ulteriores
comprobaciones independientes de aquellos.
En realidad, la relación entre matemáticas y ordenador es mucho más ardua
y compleja de lo que se pudiera sospechar. La popularidad de las
matemáticas basadas en el mecanismo informático (de experimentos
numéricos o gráficos), desató en esos años reacciones a favor, si bien otras
contrarias. Hubo dos grupos protagonistas principales bastante discordantes
41 Un buen número de matemáticos creyeron que las pruebas extremadamente extensas y
realizadas con ayuda del computador no eran, en cierto sentido, pruebas matemáticas
reales, a causa de implicar tantos pasos lógicos, que no podían ser prácticamente
verificables por seres humanos, cuestionando de ese modo a aquellos matemáticos por
exhibir su verdad en una programación de computador.
42 Puesto que había que exponer argumentos sólidos para fundamentar los resultados o
teoremas, era importante Ja aportación de la prueba, acerca de cuya noción desde principios
del siglo XX (antes de los avances de la lógica), es sabido que existieron bastantes
discrepancias.
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entre sí, aunque en ambos existían casos de matemáticos que se
pronunciaban con reservas. En uno de ellos, D. Mumford escribió al
respecto, que "la comunidad de la matemática pura considera a los
ordenadores, como invasores que profanan el campo sagrado", y sostenía
que para establecer la verdad, los experimentos con ordenadores y la
concordancia con los fenómenos naturales, no podrían jamás reemplazar a
las demostraciones. Igual opinión compartían, entre otros, A.M. Jaffe, D.
Ruelle, R. Penrose, y P. Deligne (quien dijo no creo en la demostración por
ordenador, sólo si la entiendo y es clara). Entre los del otro grupo que
discrepaba, una buena parte pronosticaría la muerte de la demostración
tradicional, para defender las demostraciones "computerizadas". S.
Wolfram, creador del programa Mathematica, mostró un absoluto desdén
por las demostraciones; así como P.A. Griffiths y muchos más. Por otra
parte, algunos como S. Smale, se esmeraron en fundar la computación sobre
bases más firmes y M. Atiyah instó a los matemáticos a que se implicaran
más en la computación, para que se mezclaran con el mundo real43 .
Haciendo una apreciación de con junto de lo anteriormente dicho, las
facultades lógicas del ordenador relegaron a un segundo plano sus
habilidades matemáticas que, en ocasiones, supuso una sustancial ayuda
para zanjar célebres problemas matemáticos, como se concreta
seguidamente. Es lo que sucedió con los famosos casos conocidos de la
clasificación de los grupos finitos simples y del problema de los cuatro
colores 44•
En lo que atañe al primero, fueron necesarias para su prueba unas 500
publicaciones realizadas por un centenar de investigadores y que ocuparía
unas quince mil páginas. "Tiene más sentido contemplar dicha clasificación,
mas bien como un campo completo de las matemáticas, que como el intento
de demostrar un único teorema", aseguraría D. Gorenstein en 1979, quien
sin duda había sido el mejor informador sobre el tema durante los años
anteriores. De todos modos, no sólo era excepcional la desmesurada
longitud de la prueba, sino también porque entraba en juego la seguridad de
la misma. Al tiempo que Gorenstein aludía irónicamente a teoremas casi
43 Hay algunos matemáticos que ponen en entredicho la idea de que el paradigma y
epítome de la verdad hayan de ser las demostraciones tradicionales y también Ja de otros
paladines de la tradición (entre ellos, S.L. Krantz). que instaron a los estudiantes a preferir
las matemáticas a la informática, previniendo que esta última podría ser pasajera, según
anota J. Horgan (La muerte de la demostración, lnvestigación y Ciencia, diciembre 1993),
entre otras manifestaciones de interés.
44 Para más detalles sobre estos dos problemas, véase por ej., N. Hayek,
Rev.Acad.Canar.Cienc.,XVII, 1-2 (2005).
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probados, añadía que "parece ir más allá de la capacidad humana presentar
un argumento de varios cientos de páginas estrechamente razonado con
absoluta seguridad". En consecuencia, era lícito pensar que con una cadena
de razonamientos sumamente larga y complicada, la prueba rigurosa
infundiera en el lector que quisiera constatarla, severas dudas y hasta
aprensión, cabiendo incluso que resultara menos convincente que un
argumento puramente intuitivo.
Análogas circunstancias concurrían en el segundo de los casos citados, que
en principio fue llamado "conjetura de los cuatro colores". La cuestión
consistía en probar que todo mapa (político) plano (o sobre una esfera)
pudiera ser coloreado sin usar más de cuatro colores diferentes 45 , tales que
cualesquiera dos países con frontera común no debían tener eJ mismo color.
Desde el siglo XIX se encontraba sin resolver. K. Appel y W. Haken dieron
(en 1976) una solución, pero lo más sorprendente de la misma fue, que una
parte esencial de la prueba, se apoyaba en cálculos de computador. Appel y
Haken habían recurrido para la prueba, al argumento de exhibir un conjunto
inevitable de configuraciones reducibles, lo cual les permitiría alcanzar el
proceso de reducción al absurdo. Sin embargo, descubrieron que dicho
conjunto contenía miles de configuraciones, en su mayor parte de tal
complejidad, que el método empleado (la prueba de reducibilidad) sólo era
factible acudiendo a un computador muy rápido. Ahora bien, como los
programas de computador y el output correspondientes, formaban parte
indestructible de la prueba, se planteó el problema de si se podía considerar
como una auténtica demostración matemática. El verdadero meollo de la
cuestión estribaba naturalmente, en que los autores presentaron su trabajo,
como una prueba rigurosa, completa y definitiva. Para el filósofo existía una
diferencia absoluta entre una demostración que depende de la fiabilidad de
una máquina y una demostración que únicamente depende de la razón
humana. Para el matemático, en cambio, la fiabilidad de la razón daba al
ordenador la bienvenida, por considerarlo un calculista más fiable de lo que
él posiblemente lograra llegar a ser46 . En el terreno filosófico, la visión de
"demostración rigurosa", fue considerada como una respuesta excepcional y
más bien controvertida; para el matemático, sin embargo, la objeción
filosófica sería más adelante interpretada, corno idealista e ingenua. En un
buen número de integrantes de los medios filosóficos, no tuvo buena
acogida, a menos que se reconociera sin paliativos, que el uso hecho del
computador fuera aceptado como un debilitamiento de los criterios
clásicamente admitidos para la prueba matemática; entre ellos, S. Tyrnoczko
45 La experiencia de los cartógrafos ya había hecho ver que cuatro colores bastaban.
46 P. Davis y R. Hersh, ibid, cap. 8.
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47 , quien en relación con el problema de cuatro colores, expondría: "Si
aceptamos el denominado teorema de los cuatro colores como teorema,
estamos obligados a cambiar el sentido de la palabra teorema, o más
concisamente, a cambiar el sentido subyacente de demostración". En el
campo matemático, hubo en general, división de pareceres. Para los amantes
de los computadores, el teorema se recibiría con gran beneplácito; los no
partidarios, le despojaron del prurito de pertenecer a problemas o cuestiones
de primera o preferente categoría. Es innegable, darían a entender por otra
parte, P. Davis y R. Hersh 48 , que la aceptación del teorema de Appel­Haken
involucraba un acto de fe, que se sustentaba principalmente en la
creencia de que los computadores hacen lo que se supone d~bían hacer,
degradando así el nivel de certeza matemática al del conocimiento común,
irremediablemente ligado a posibles escepticismos.
En los decenios de 1940 y 1950, el positivismo lógico constituyó la corriente
dominante en filosofía de la ciencia. La llamada escuela de Viena de estos
positivistas (Hahn, Godel, Carnap, Wittgenstein, .. . ) abogaba por una
ciencia unificada, codificada en un cálculo lógico formal y con un único
método deductivo que condujo al formalismo hacia la filosofía de las
matemáticas. Fue esa conexión una de las principales causas de la
prevalencia (antes anunciada) del grupo formalista 49•
Hay que decir, por otra parte, que la demostración y el rigor absoluto
seguían siendo difícilmente analizables. Representaban conceptos ideales,
que "no ocupaban un lugar natural en el mundo matemático". No había una
definición rigurosa de rigor, ni criterios universalmente aceptables. La
lógica tenía toda la falibilidad y la incertidumbre que limitan la mente
humana 50.
Ahora bien, en la ciencia la búsqueda de fundamentos nos retrotrae
inevitablemente al problema tradicional de la "lógica inductiva" (es decir,
extraer de leyes generales, experimentos particulares y observaciones). Uno
de los principales estudiosos de la lógica de las matemáticas, el filósofo
47 S. Tymoczko, Journal of Philosophy, 76, 57-83 ( 1979).
48 P. Oavis y R. Hersh, ibid, cap. 8.
49 R. Carnap, The logical sintax of language, New York, J 937 (traduc. Springer, 1984),
enunció claramente la posición formalista, al requerir que la filosofía matemática se
sustituyera por la lógica de la ciencia, que no es otra cosa que Ja lógica del lenguaje
científico. Muchos lógicos después de Carnap, opinaron que la misión de Ja lógica se había
de ocupar de Ja transmisión de la verdad y no de cadenas de símbolos.
50 El filósofo Nietzsche decía: "La virtud de una demostración lógica no es que obligue a
creer, sino que mueva a dudar"; "no esperamos ya ser lógicos; lo más que podemos esperar
es no ser ilógicos". (Morris Kline, La pérdida de la certidumbre, ibid, cap. 14).
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austriaco Karl Popper ( 1902-1994 ), creador de la escuela del falsacionismo,
propuso que no era ni posible ni necesario justificar las leyes científicas
mediante el razonamiento inductivo. Defendió que la ciencia operaba por
falsación y no por inducción. El criticismo de Popper (1934) del dogma
inductivista, ocasionó una auténtica revolución en el modo de pensar de la
época acerca del conocimiento científico. Aseguraba que la base del control
empírico de la ciencia era la de poder falsar las hipótesis en un proceso
abierto que tendiese a la verdad científica, y sostenía que una teoría que no
sea refutable mediante ningún experimento imaginable no es científica,
aunque sea falsa desde el punto de vista de la lógica51 : "una teoría tiene
derecho a ser considerada científica, cuando en principio, pueda ser puesta a
prueba, y expuesta a quedar refutada", y "si sobrevive a tales pruebas, ruede
considerarse provisionalmente establecida, pero nunca demostrada" 5 . En
la filosofía de Popper, el razonamiento matemático es jamás verificable,
sino solamente falsable. Los teoremas matemáticos no están garantizados de
modo alguno( . .. ). Si nos guiamos por la historia, habrán nuevas adiciones a
las matemáticas que reclamarán unos nuevos fundamentos ( ... ). Los
intentos de erigir las matemáticas sobre unos fundamentos indestructibles,
se ha visto que han terminado en un fracaso 53.
Si bien en general, conforme la tradición, ha habido una tácita creencia
sobre una supuesta unanimidad entre los matemáticos sobre los temas que
tratan, lo que de hecho ha venido sucediendo en muchos períodos de la
historia es una fuerte controversia, sobretodo en algunos puntos
fundamentales, muy en particular, en lo que afecta a la prueba matemática54•
Normalmente, dicha prueba no puede incluir de modo absoluto todos los
pasos del razonamiento, puesto que resultaría desmesurada; la comunicación
de la misma debe limitarse esencialmente a suministrar los datos precisos
para la deducción de su rigor lógico.
Abstracción, formalización, axiomatización y deducción, han venido
representando los principales ingredientes de las demostraciones. Entre
ellos, la importancia de la axiomatización en una teoría, sobrepasaría su
51 Frente a las diversas pullas habidas a la demostración, Popper indicaría: "Existen tres
niveles en la comprensión de una demostración. El inferior es la agradable sensación de
haber entendido el razonamiento; el segundo, es la capacidad de repetirlo; y el tercero, o
nivel superior, es el de ser capaz de refutarlo" (K. Kopper, La lógica de la investigación
científica). Véase M. Kline, La pérdida de la certidumbre, ibid, cap. 14, p.381.
52 P. Davis y R. Hersh, ibid, cap. 7.
53 M. Kline, La pérdida de la certidumbre, ibid, cap. 14.
54 Puede citarse, por ejemplo, que la escuela logicista en su tiempo despreció las pruebas
de la formalista y algunos intuicionistas rechazaron con desdén las pruebas de logicistas y
formalistas; y también que los lógicos repudiaron lo que descubrieron los matemáticos
puros y estos últimos negaron lo que hacían los matemáticos aplicados.
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impacto sobre las pmebas55 . Ninguna teoría matemática informal pudo
soslayarse de la axiomatización. Se tuvo que valorar en cambio, que
mientras en una teoría informal existen numerosas posibilidades de
introducir más términos, más axiomas y cada vez más reglas (hasta allí
muchas posiblemente ocultas en forma de argumentos tildados de obvios),
una teoría formalizada queda prácticamente sujeta a un parco conjunto de
axiomas y a unas escasas reglas. No obstante, existen diversas cuestiones
alejadas en extremo de las abstracciones matemáticas, y muy en .especial las
relativas a las matemáticas informales. Así, en tanto Popper y otros
pensadores contemporáneos transformaban la filosofía de la ciencia, la
filosofía matemática permanecía en un estado de inmovilismo, producto de
las secuelas de las grandes controversias fundacionistas de principios del
siglo XX (el formalismo, el intuicionismo y el logicismo), cuyos programas
filosóficos tenían como objetivo construir c1m1entos seguros del
conocimiento matemático. Y según sostenía la filosofía de Popper, las
matemáticas informales constituyen una ciencia que evoluciona a través de
un proceso de crítica y refinamiento sucesivo del avance de teorías nuevas
que compiten entre sí, y 2ue no se aferran a las pautas deductivas de las
matemáticas formalizadas 6.
En ese tiempo, el matemático y filósofo de la ciencia, de origen húngaro,
lmre Lakatos (1922-197 4 ), que se consagraría como personalidad filosófica
de su época después de la publicación de una excelente obra57 ejerció una
decisiva influencia sobre una nueva filosofía de la ciencia, escenificando el
rechazo del enfoque formalista de las matemáticas al identificarlas con su
abstracción axiomática formal, y a la filosofía de las matemáticas con la
metamatemática. Si bien Lakatos estaba ideológicamente influenciado por la
filosofía crítica de Popper, consideró ingenuo el falsacionismo popperiano,
reformulando una nueva versión que denominó "falsacionismo sofisticado",
con el propósito de eludir la falsación; al propio tiempo, se adheriría a las
refutaciones historiográficas de Thomas Kuhn58 (1922-1996) destacando la
importancia de la historia para mostrar que la falsación no era una acción
cotidiana de los científicos como Popper defendía. Las matemáticas para
Lakatos, lo mismo que las ciencias naturales, eran falibles y no indubitables,
55 P. Davis y R. Hersh, ibid, cap. 4.
56 P. Davis y R. Hersh, ibid, cap. 7.
57 Pruebas y refutaciones: La lógica del descubrimiento matemático, ibid (véase Nota pie
anterior 29). Este trabajo que se basó en su tesis doctoral, ya fue reflejado en un brillante
ensayo (dividido en cuatro partes) de Lakatos, que había aparecido con anterioridad en The
British Journal for Philosophy of Science, 14, 1963-64. Sería impreso en forma de libro por
Cambridge University Press después de su muerte.
58 Véase T.S. Kuhn,The structure of scientific revolution, Univ. Chicago Press, 1962.
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y crecen gracias a la crítica y a la corrección de teorías no siempre libres de
errores, ambigüedades u omisiones. Lakatos, en este contexto de
matemática informal y seguidor de Popper del conocimiento científico,
aplica en su obra un análisis epistemológico, no a las matemáticas
formalizadas sino a las informales59 , unas matemáticas en proceso de
crecimiento y descubrimiento, que obviamente significan lo que los
matemáticos y los que estudian matemáticas conocen en realidad por
matemáticas. Para él, cuando la sociedad evoluciona, es natural que también
las matemáticas hayan de transformarse, por lo que se deben exponer
argumentos para fundamentar sus resultados o teoremas, o sea, tiene que
aportarse una prueba. Estima que la "prueba" no significa un procedimiento
mecánico que conlleve la verdad en una cadena inquebrantable de hipótesis
a conclusiones. Para un mejor desarrollo de las matemáticas informales (y
cuasi-empíricas), Lakatos consideró que el objetivo de la prueba ha de
concentrarse en "la incesante mejora de las conjeturas, gracias a la
especulación lo a la crítica, y seguir la lógica de su "método" de pruebas y
refutaciones" 0 , un método que constituyó un patrón heurístico muy general
del descubrimiento matemático61 •
Señalemos, por último, que en lo que se refiere a las pruebas, la mayoría de
los filósofos modernos, acorde con la concepción formalista, dirían que en
un sistema formal dado, una prueba significa una secuencia finita de
fórmulas, en la que cada una de ellas es, o un axioma del sistema, o bien una
fórmula deducida mediante una regla del sistema de algunas de las fórmulas
precedentes; lo cual lleva a especificar en qué sistema debemos operar. El
logicismo en cambio, acepta esencialmente un sistema ampliamente
diferenciado y por tanto, admite un solo concepto de prueba. Una
59 Como ya Popper había afirmado, las teorías científicas no estaban derivadas
inductivamente de los hechos, sino más bien inventadas como hipótesis o incluso
conjeturas, sujetas entonces a pruebas experimentales donde las críticas intentan refutarlas.
Véase P. Davis y R. Hersh, ibid, cap. 7, para más detalles y en particular, sobre la
exposición de algunos párrafos que se han tenido en cuenta.
60 En la obra de Lakatos hubo algunas discusiones acerca de cómo la crítica podía
convertir la verdad matemática en verdad lógica. La fase de conjeturar y contrastar
reclamaba una heurística de problemas a probar: a la precedencia heurística del resultado
sobre el argumento, G .. Pólya objetaría que "se tiene que conjeturar un teorema matemático
antes de probarlo" (Mathematics and PlausibleReasoning, Oxford University, London vol.
1, 1954).
61 El esqueleto de su método, mostrado en su citada principal y ya famosa obra, quedó
ilustrado en un Apéndice de la misma, en la que se aborda la prueba de Cauchy de la
conjetura de Euler-Descartes. En dicho apéndice, Lakatos realizaría un bosquejo que se
refiere a un análisis de la prueba en análisis matemático, considerando Ja problemática de
"la defensa de Cauchy del principio de continuidad".
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característica notable de semejante prueba formal, es la de poder decidir
para cualquier prueba supuestamente dada, si realmente es una prueba o
no62.
Ahora bien, ¿qué se ha de decir de una prueba informal? Algunos lógicos
han intentado analizar las características de las pruebas en las teorías
informales y han dicho que una "prueba informal" es una prueba formal que
omite la mención de las leyes lógicas de inferencia y de los axiomas, y sólo
indica el uso de los postulados específicos. Para Lakatos, esta llamada
prueba informal no es otra cosa que "una prueba en una teoría matemática
axiomatizada, que ha adoptado ya Ja forma de un sistema hipotético­deductivo,
si bien deja sin especificar su lógica adyacente"63 . Denominar a
este tipo de prueba una prueba informal constituye una nomenclatura
equívoca y errónea, y se la podría llamar mejor una prueba cuasi-formal64.
Ni el esquema inductivista, ni el método deductivo, ni la teoría falsacionista
de Popper, fueron capaces de describir la génesis y el desarrollo de las
teorías científicas. Para Lakatos, "la historia de las matemáticas y la lógica
del descubrimiento matemático, o sea, la filogénesis y la ontogénesis del
pensamiento matemático, no se podía desarrollar sin la crítica y el rechazo
final del formalismo". Al desconectar el formalismo, la filosofía de las
matemáticas de su historia, se pudo mantener que, por su estructura lógica,
la rama más avanzada de la filosofía y patrón de las restantes, era la de las
matemáticas. Lakatos no vaciló consecuentemente, en elegir los modelos de
razonamiento plausible (en cuanto a la demostración y resolución de
62 En el fuerte ataque que en la Introducción de su obra Pruebas y Refutaciones dirige al
formalismo, afirma Lakatos: "El contenido de la metamatemática, ideada por su creador
Hilbert, es una abstracción de las matemáticas en la que sus teorías son sustituidas por
sistemas formales y según ya dijimos, en la escuela formalista, sus matemáticas se
identifican con las matemáticas formalizadas. Mas, ¿qué podemos descubrir en una teoría
formalizada? Dos tipos de cosas: Primero, podemos descubrir la solución a problemas que
una máquina de Turing convenientemente programada resolvería en un tiempo finito (como
por ejemplo, una pretendida prueba, ¿es o no una prueba?). En segundo lugar, podemos
descubrir la solución de problemas (del tipo, ¿es o no es un teorema determinada fórmula
de una teoría no-decidible, en los que nos podemos guiar solamente por el método de
intuición indisciplinada y buena suerte?). Ahora bien, esta fría alternativa entre el
racionalismo de una máquina y el irracionalismo de la ciega adivinanza no vale para las
matemáticas vivas''.
63 En su obra Pruebas y refutaciones, (ibid), Lakatos alude a que "en la comprobación de
una prueba ordinaria (informal), hallar un "error" exige tanta suerte como encontrar una
prueba; y a veces, lleva hasta muchísimos años, descubrir "errores" en demostraciones
informales. Una investigación acerca de estas últimas, suministra una lógica rica para los
matemáticos operantes, lógica que no puede ser reconocida por la filosofía formalista".
64 l. Lakatos, Matemáticas, ciencia y epistemología, ibid, cap. 4.
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problemas) de G. Pólya65 , como punto de partida de una reconstrucción
racional de crecimiento de la lógica del conocimiento matemático. En
relación con la denominada lógica del descubrimiento científico de Popper,
rechazaría la infalibilidad deductiva euclídea, para sustituirla por una visión
más amplia de las matemáticas, a las que calificó como un cuerpo de
conocimiento falible mejorado incesantemente frente a las acometidas
críticas. Para el contraste de filosofías fundacionales de las matemáticas y
las teorías cuasi-empíricas, la concepción dialéctica de Lakatos resulta
adaptable para el recorrido del progreso en el entendimiento humano.
5. Epílogo 66.
Desde hace mucho tiempo se tiene reconocido que la intuición y la
demostración representan una buena perspectiva de las matemáticas; la
primera, al desempeñar un papel fundamental en la consecución de verdades
matemáticas y la segunda, porque indudablemente brinda una eficaz actitud
de apoyo para minimizar el riesgo de contradicciones, hasta el punto de que
nadie que haya estudiado las contribuciones de las matemáticas al
pensamiento humano, osaría sacrificar el concepto de demostración
(considerado por los matemáticos como paradigma y referencia
indiscutible). Sin embargo, tanto la intuición como la demostración, no
reflejan todas las opiniones acerca del futuro. Destacamos seguidamente
como ejemplos, dos de las mismas.
El intuicionista H. Lebesgue (1875-1941) había aceptado que la lógica
puede hacernos retrasar algunas demostraciones, pero no puede exigirnos
creer en ninguna. La lógica está sujeta a una intuición frecuentemente
incontrolada, y quizás sea posible que las condiciones adecuadas para
limitar esta última sean impuestas por la lógica.
El valor de la demostración, por otra parte, fue atacado por A.N. Whitehead,
quien llegó a expresar que "la concepción de la lógica como el análisis
adecuado del progreso del pensamiento, es una falsedad; se trata de un
instrumento soberbio, pero requiere una gran dosis de sentido común".
Al citar a Lakatos, Morris Kline dice que si las matemáticas se basan en
último término en intuiciones, ¿por qué hacer demostraciones cada vez más
profundas? Y añade: ¿Por qué entonces, no paramos de una vez, por qué no
65 G. Pólya, How to salve it?, Princeton, Princeton University Press, 1945; (Washington,
MAA, 1978).
66 A modo de epílogo, se ha incluido una breve selección de párrafos del capítulo 14 de
la excelente obra de Morris Kline, La pérdida de la certidumbre, ibid.
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decir que "la prueba definitiva de que un método es admisible en aritmética,
debe evidentemente ser que sea intuitivamente convincente? ( . .. ) ¿Por qué
no admitir honradamente la falibilidad matemática y tratar de defender la
dignidad del conocimiento falible frente al escepticismo cínico, antes que
engañarnos con que debemos reparar invisiblemente el mínimo desgarrón
del tejido de nuestras "intuiciones" fundamentales?
Y en cuanto a la demostración, M. Kline nos advierte además que "debemos
reconocer que la demostración absoluta no es en Ja actualidad sino una
meta; una meta que se busca, pero que probablemente jamás se alcanzará.
Puede que no sea más que un fantasma constantemente perseguido, pero
escurridizo".
El problema básico de reconciliar las diferencias de opinión sobre lo que
son las matemáticas correctas, radica en lo que se debe entender por
demostración. Deberían hacerse constantes esfuerzos para fortalecer lo que
tenemos sin pretender perfeccionarlo".
La moraleja de la historia de la demostración es que, aún cuando
persigamos una meta inalcanzable, podemos seguir produciendo los
maravillosos valores que los matemáticos han producido en el pasado.
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