Certeza e incertidumbre en algunos periodos históricos de la matemática

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XVIII (Núms. 1-2), 135-164 (2006) (publicado en agosto de 2007)
Abstract
CERTEZA E INCERTIDUMBRE EN ALGUNOS
PERIODOS HISTÓRICOS DE LA MATEMÁTICA
Nácere Hayek
Universidad de La Laguna (Spain)
e-mail: nhayek@ull.es
Para prever el futuro de las matemáticas,
el verdadero método consiste en estudiar
su historia y su situación actual.
HENRJ POINCARÉ
In this paper sorne aspects conceming the reality and uncertainties which
appear in mathematics are considered. In this respect, sorne specific
historical periods are analyzed.
Resumen
En este artículo se reflexiona sobre la certeza e incertidumbres que se
refieren a la realidad de las teorías matemáticas. A este respecto, algunos
períodos históricos importantes son analizados.
l. Preliminares.
Es curioso que la gente se encuentre generalmente convencida de la
existencia de una supuesta unanimidad entre los matemáticos en lo que se
refiere al multivariado y complicado campo de su ciencia.
"Nada es tan sorprendente para el lego como enterarse de que entre los
matemáticos hay diferencias de opinión respecto de los principios básicos
de la matemática, esto es, respecto de su significación, su aplicación y su
contenido. Si además y como así ha sido, algunos eminentes matemáticos
contemporáneos declaran que las habituales incertidumbres no se refieren
simplemente a cuestiones limítrofes del conocimiento matemático, sino que
afectan directamente a su núcleo, entonces es natural que se resquebraje
completamente la general e ingenua fe en la más "absoluta" de todas las
ciencias" (R. von Mises (1883-1953) 1).
Por otra parte, si se trata de un entendido quien examina con atención
algunas de sus áreas, le surgirán no pocas sorpresas. Se percataría, por
ejemplo, de que si la geometría de Euclides resistió poco menos que
Los postulados matemáticos y el entendimiento humano, SIGMA (El mundo de las
matemáticas), Edit. Grijalbo, Barcelona-México, 1969, vol. 5 (p. 132).
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impertérrita el transcurso de unos dos mil años, fue debido a que se
fundamentara en los pilares de un poderoso método como el axiomático, en
el que se excluían deliberadamente los conceptos de infinito y de
infinitesimal. Desde la antigüedad el infinito ha sido considerado como una
noción de la que se tenía que huir, incluso algo herética. Y sin duda es
cierto, que muchos escritos han revisado el modo en que los griegos
indagaron problemas cruciales que entrañaba al infinito y a los desarrollos
de algunas técnicas infinitesimales, pero sería sólo al final del siglo XVII,
cuando se diseñaron mecanismos precisos para abordar esa cuestión, la más
espinosa tal vez, de la historia entera de las matemáticas. Debe tenerse
presente que para los más grandes pensadores de la historia, desde
Pitágoras (585-500 a. C.) que atribuye a los números el gobierno del
universo2 y Platón (427-347 a. C.) que niega la entrada en su escuela a quien
no conozca la geometría, hasta Kant (1724-1804) el gran filósofo alemán de
Konisberg 3, las matemáticas siempre fueron consideradas como la rama del
saber que ha ofrecido las verdades más puras e irrefutables que a los
humanos les está permitido conocer; y que al unísono otorgan a la
matemática una preeminencia y una excepcional solidez, que incluso los
propios matemáticos acaso no se atreverían a suscribir. Ahora bien, lo que
ocurriría durante los siglos transcurridos desde el primero hasta el del último
de los filósofos mencionados, fue que la panorámica del mundo científico
cambió notablemente, por lo que las matemáticas en particular, tuvieron que
afrontar diatribas y controversias en todas sus ramas, debido a las posiciones
contrapuestas que irían surgiendo entre sus cultivadores en diversas etapas
cruciales de su desarrollo histórico. De hecho, y si bien los resultados de las
leyes matemáticas se habían tomado persistentemente como verdaderos,
muchos de los conceptos y teorías matemáticas acusaron serios rechazos,
varias nociones ya descartadas en años anteriores se reincorporaron de
nuevo, e incluso algunas de ellas tildadas en su momento por algunos como
absurdas, llegaron a ser consideradas luego paradójicamente, base de teorías
provechosas. Y lo más sorprendente y mucho más incomprensible, se
produjo cuando lo que había sido constatado como no riguroso y
Y quien además proclamó: "Debéis cultivar la ciencia de los números, porque todos
nuestros pecados son errores de los cálculos".
3 La filosofía clásica culmina con Kant, quien ejerce una gran influencia en la filosofía
matemática hasta el siglo XX. Su metafísica es continuación de la herencia platónica. El
dogma principal kantiano era el del conocimiento "a priori", como por ejemplo, en el del
tiempo que se basa en la intuición de sucesión, y en el del espacio que se sustenta en la
geometría. En su Critica de la razón pura, Kant declara a la matemática modelo perfecto de
toda ciencia racional.
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contradictorio, jugara después un importante papel en la historia de nuestra
área científica.
Al no ser posible en este punto, dar siquiera cuenta de una visión global de
todas las situaciones conflictivas que acaecieron, ya que extrapolarían sin
duda los límites de estos preliminares del presente trabajo, nos vamos a
ceñir a continuación solo a describir concisamente algunas partes
seleccionadas de aquellas. Las iniciamos con la que consideramos más
significativa e importante: la que señala el período que abriría una brecha
muy profunda en los cimientos de las matemáticas, y que hizo temer por el
derrumbamiento de sus partes más clásicas. Nos referimos a la controvertida
etapa caracterizada por el célebre quebrantamiento que se gestó en sus
fundamentos básicos, y que se conocería más tarde como crisis de
fundamentos de las matemáticas.
Queremos hacer hincapié en que estos acontecimientos tuvieron mucho que
ver con el intento de resolución definitiva de una ardua problemática de
inacabada discusión, que aún sigue requiriendo la necesidad de conocer qué
clase de conceptos y métodos de demostración deberían ser aceptados por
sus adeptos, ante los avances de la ciencia: la naturaleza de la verdad
matemática. ¿Cómo debe ser un teorema matemático y cuál debería ser el
proceso de demostración a seguir? Algunas consideraciones al respecto, son
añadidas más adelante.
Confiamos, de todos modos, en que las acotaciones históricas que se
exponen, baste a muchos lectores para rechazar el ilusorio beneplácito de
unanimidad que, según hemos advertido, tienen de los matemáticos respecto
al inquebrantable campo de su ciencia.
2. La crisis de fundamentos y otros temas. Debates y planteamientos.
Desde el mismísimo nacimiento de las matemáticas como cuerpo
independiente de conocimiento atribuido a los griegos clásicos a lo largo de
un período de más de dos mil años, los matemáticos persiguieron
afanosamente la verdad y solo consiguieron el simulacro de un panorama
ilimitado de certeza. Para lograr sus convincentes resultados, los
matemáticos recurrieron a un método especial, que fue el de la demostración
deductiva a partir de principios evidentes llamados axiomas 4 • El
razonamiento deductivo al parecer, garantizaba por su propia naturaleza,
que lo que deducimos es necesariamente verdad, si los axiomas constituyen
4 En la definición de clases de supuestos fundamentales, un axioma se presenta como una
verdad "autosuficiente'', y un "postulado" significa un hecho tan simple y obvio que
presupone su validez.
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la verdad. Una lógica aparentemente impecable, con conclusiones
irrefutables a primera vista 5• Sin embargo, el uso de su intuición predispuso
a los matemáticos a una visión retrospectiva de su ciencia. Y la creación de
extrañas geometrías y no menos extrañas álgebras, a comienzos del siglo
XIX, les infundieron a duras penas, que las matemáticas propiamente dichas
y las leyes matemáticas de la ciencia, no eran verdades. Quedó así al
descubierto la primera de las diversas calamidades que tuvieron que sufrir
las matemáticas, tras haberse reconocido que su lógica se encontraba en un
estado lamentable de tristeza: insuficiente incomprensión para sus conceptos
e insuficiente rigor en sus demostraciones, debido a que la intuición tuvo
que reemplazar a los argumentos lógicos. La actividad más destacada en la
segunda mitad del XIX consistió entonces en un movimiento indispensable
hacia una rigorización de las matemáticas; y si bien en 1900 los
matemáticos creyeron haber alcanzado su meta, se descubrieron, antes de
celebrar su presunto éxito, unas anomalías en las matemáticas reconstruidas
que viciarían de modo alarmante la lógica de estas últimas6. Sucedió, en
efecto, que a finales del siglo XIX, los principios lógicos implícitos en el
razonamiento matemático usual, involucraban dificultades lógicas hasta
entonces inadvertidas (a las que eufemísticamente se denominó paradojas,
pero que propiamente se debieron llamar contradicciones), y que se pusieron
nítidamente de manifiesto, a causa de un cierto tipo (sin duda, el más
importante) de ellas, el de las conocidas como "paradojas lógicas"7 , que
aparecen en conexión con la teoría de conjuntos 8, llevada a un elevado
grado de desarrollo por el matemático ruso G. Cantor (1845-1918) 9.
La lógica deductiva proviene de lo que Aristóteles (384-322 a. C.) llamó "razonamiento
silogístico". Este gran filósofo incluía, entre otras leyes del razonamiento deductivo, la "ley
de contradicción" (una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo) y la
"ley del tercio excluso" (una proposición debe ser, o bien verdadera o bien falsa"). Morris
KJine, La pérdida de la certidumbre, Ed. Siglo XXI, Madrid, 1985, p. 22.
6 Para más detalles de los últimos párrafos, véase Morris Kline, ibid, cap. 1, 8-33.
En matemáticas existen paradojas de tres tipos: las nacidas de proposiciones
contradictorias procedentes de razonamientos falsos; las que resultan de teoremas extrafios,
irreprochables desde el punto de vista lógico, mas ininteligibles para nuestra intuición e
imaginación, y las paradojas lógicas que son contradicciones de la teoría de conjuntos, no
resueltas a satisfacción de todos los matemáticos (E. Kasner y J.R. Newman, Paradoja
perdida y paradoja recuperada, SIGMA (El mundo de las matemáticas), ibid, p. 323).
8 Las raíces de esta teoría se encuentran en antiguos documentos de Zenón y de
investigaciones de Galileo, Leibniz y Bolzano. La teoría está basada en una noción
primitiva de "conjunto"(que denota una colección de objetos de cualquier especie, en
número finito o infinito), que imposibilita dar una definición básica precisa en términos de
otras nociones más básicas. El concepto que dio Cantor (1897) de conjunto, subyacente en
nuestra intuición (y en la experiencia), no tardó en asumir el papel del número natural
como primera expresión de las abstracciones en la fundamentación del edificio matemático.
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Lógicos y matemáticos se enfrascaron a la sazón, en un período de
confusión y consternación. La lógica deductiva se había convertido en
motivo de discordia. Tres grandes escuelas de pensamiento fueron creadas
para tratar de resolver las contradicciones, con el fin de dejar establecida la
consistencia de las matemáticas: la logicista, que establecía una tesis que
equiparaba la matemática con una rama de la lógica, sosteniendo la
definición de los conceptos matemáticos en términos de nociones lógicas, y
la prueba de sus proposiciones como teoremas de lógica; y en la cual la
construcción de la misma se canalizaba a través de un simbolismo lógico
desarrollado en la monumental obra en tres volúmenes, "Principia
Mathematica" (1910-1913), debida a los grandes artífices ingleses de dicha
escuela, Bertrand Russell (1872-1970) y A. Whitehead (1861-194 7); la
formalista, propulsada por el alemán David Hilbert (1862-1943)
profooniendo que la matemática fuera formulada como una teoría axiomáti­ca
0 formal (en la que figuran los signos lógicos), escuela sustentada en el
hecho de que todo el contenido de la matemática puede transformarse en
principio, en un sistema formal de fórmulas simbólicas, al que se agregaría
un dominio separado llamado metamatemática para justificar el sistema de
fórmulas 11 ; y la intuicionista, fundada por el holandés E.L.J. Brouwer
Sin embargo, la definición dada sufriría más tarde algunas matizaciones al ser mezclada
con las de número y magnitud, al tratarse con conjuntos infinitos.
9 Resultó ser muy curioso que nadie, en las postrimerías del siglo XIX, cayera en la
cuenta de que dicha teoría fundamentada en conceptos lógicos, planteara problemas de
antinomias que cuestionaban la naturaleza de la matemática y de la lógica (hasta el extremo
de que ¡ciertos conjuntos incluso finitos eran contradictorios!). Cantor partió de la
aceptación franca del infinito, negado hasta entonces por los mayores analistas, y llegaría a
resultados sorprendentes. Demostró, por ejemplo, la posibilidad de distinguir en el infinito
matemático diversos órdenes de potencias vinculadas entre sí mediante relaciones
rigurosas. Se concentró especialmente en el llamado "infinito actual o "transfinito", una
clase de infinito lógico, que fue piedra angular de la creación de numerosas paradojas.
Cantor también escribió sobre las implicaciones teológicas de su trabajo matemático,
llegando a identificar el infinito absoluto con Dios.
10 Se admitía que cualquier disciplina matemática, como toda ciencia racional deductiva,
tiene que reducirse a unos primeros conceptos que no se definen y a unas primeras
proposiciones que no se demuestran. Ese esqueleto base es su axiomática. Históricamente,
los orígenes de la axiomática se remontan a Aristóteles, quien había afirmado que "toda
ciencia demostrativa tiene que partir de principios indemostrables; de otro modo, los pasos
de la demostración serían infinitos" (véase N. Hayek, Los orígenes de la matemática
moderna, Serv. Publicac. Universidad de La Laguna, 1979, para más detalles).
11 La metamatemática hilbertiana pretendía acabar del todo con el escepticismo (F.P.
Ramsey, Mathematical Logic, Mathematical Gazette, 13, 185-19'4, 1926). Su objetivo era
pues, idéntico al de los logicistas (Imre Lakatos, Matemática, ciencia y epistemología, Ed.
Alianza Universidad, Madrid, 1981, p.36). Lakatos en la introducción de su obra Pruebas y
refutaciones (Ed. Alianza Universidad, Madrid, 1976) ataca al formalismo definiéndolo
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(1881-1966), una doctrina que considera matemática genuina sólo la dada
por nuestra intuición y que puede ser obtenida por una construcción finita a
partir de ciertos objetos primitivos (escuela que, en unión de otros
matemáticos con puntos de vista próximos, constituyeron el grupo de Jos
"constructivistas"). Cada una de estas corrientes filosóficas de controversia
de los primeros años del siglo XX, logicismo, formalismo e intuicionismo,
logró estampar su huella en forma de determinado programa de
investigación matemática, legando su propia contribución al cuerpo de Ja
matemática misma. Tras su análisis sobre las precedentes escuelas de
pensamiento, R. von Mises 12 concluiría que "ninguna de las tres formas de
fundamentación de la matemática fue capaz de racionalizar completamente
la relación entre los sistemas tautológicos y las experiencias
( extramatemáticas ), esto es, ninguna estaba capacitada para hacer de esa
relación una parte del sistema matemático mismo". Después de disputar
enconadamente unas con otras durante unos treinta años, configuraron una
historia que culminaría en la década de los 1930 con la definitiva
destrucción del sueño de Fausto de todo matemático: probar que su ciencia
se encuentra libre de contradicciones. Sería en 1931, cuando un joven
matemático de escasamente 25 años llamado Kurt Godel (1906-1978),
quizás el lógico más grande de la historia, destruyera la inexpugnabilidad de
la verdad matemática con un teorema de incompletitud que mostraba la
"imposible codificación de la matemática'', es decir, que rompiera el
espejismo de la verdad matemática 13 . Mediante su teorema, Godel
estableció que existen verdades matemáticas imposibles de demostrar en el
marco axiomático en que se sitúan 14• Además, las discrepancias habidas,
como escuela que tiende a identificar Ja matemática con su abstracción formal abstracta, y a
la filosofia de la matemática con la metamatemática. R. Camap en su The logical sintax of
language (New York y Londres, 1937; traducción Springer, 1934) dio una enunciación más
clara de la posición formalista requiriendo que Ja filosofia se sustituyera por Ja lógica de Ja
ciencia, que no es otra cosa que la sintaxis lógica del lenguaje científico. Muchos lógicos
después de Camap, opinaron que la lógica se ha de ocupar de la transmisión de la verdad y
no de cadena de símbolos.
12 SIGMA, 5, ibid, p. 142.
13 Hilbert ni siquiera logró sospechar que Godel con su famoso resultado de
" indecibilidad" devastaría Ja proclamación de fe de aquel, en cuanto a que en matemáticas
no podía haber un ignorábimus. Lo que había hecho Hilbert a partir de 1904, fue propulsar
y desarrollar un nuevo método para abordar las cuestiones de no contradicción y más
generalmente, examinar "a priori" el alcance que podían tener las demostraciones
matemáticas (iniciando así la metamatemática o "teoría de la demostración"). Y lo que hizo
Godel, empleando el mismo lenguaje de Hilbert, fue demostrar que en matemáticas siempre
habrá un ignorábimus.
14 El terrible trallazo que asestó el teorema de Godel a la esperanza de Hilbert, arrojaba la
conclusión de que las matemáticas no podían ser encadenadas por la lógica, dejando
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previo a los avances de la lógica, conllevaron también consecuencias
notables en torno a varios conceptos, entre ellos el de conjunto 15•
Hay que agregar de todos modos, que el análisis de Godel dio lugar a otras
axiomatizaciones de la teoría de conjuntos, que no excluía Ja existencia de
una demostración matemática de la consistencia de la aritmética16 •
Sobresaldría la creación de una cuarta escuela emprendida por E. Zermelo
(1871-1953) a raíz de un trabajo suyo de 1908, compuesta por los
conjuntistas que siguieron a Cantor, quienes pensaron que con la
incorporación de unos fundamentos axiomáticos eliminarían las paradojas
de sus teorías 17. Una teoría que se llamó usualmente de Zermelo-Fraenkel,
tras ser perfeccionada por A. Fraenkel (1891-1965) algunos años más tarde
( 1922). Se debe destacar, por último, la axiomatización de P. Bernays
(1888-1977), que contenía dos modificaciones: la inclusión de un
formalismo-clase en el sistema y la fusión de los axiomas conjuntistas con
los de un cálculo lógico. Esos cambios produjeron un nuevo sistema que
prevaleció por su mejor elaboración y que fue denominado de Bemays-sentado
que la aritmética y, a fortiori, la ciencia matemática es una teoría incompleta. Esto
venía a significar nada menos que lo siguiente: Dado un conjunto cualquiera de axiomas,
que incluya los axiomas de la aritmética, no existe ningún proceso de demostración con
fuerza bastante que nos permita probar que tal conjunto sea simultáneamente consistente y
completo. Es decir, si fuese completo, tendrá que ser autocontradictorio, y si no contiene
contradicciones, existirán siempre enunciados matemáticos verdaderos que no pueden
derivarse de dicho conjunto.
15 Los debates en torno a la definición de conjunto (un concepto que se reveló como
fundamental para toda la ciencia matemática) suscitaron, tanto entre los filósofos como
entre los científicos, sutilísimas observaciones cuyo desarrollo fue indispensable para una
revisión general de la lógica formal.
16 Pruebas matemáticas de este tipo fueron construidas principalmente en 1936 por G.
Gentzen, miembro de la escuela de Hilbert, haciendo un intuitivo uso de la inducción
transfinita hasta un cierto ordinal numerable. En términos groseros, téngase en cuenta que
en la aritmética de los conjuntos infinitos (o aritmética transfinita), las nociones de número
cardinal y ordinal se separan la una de la otra en lo infinito y en ese dominio, la parte puede
ser igual a un todo. En base a lo hecho por Cantor, hay infinitos mayores que el infinito del
conjunto N de los números naturales (por ejemplo, el del conjunto R). Esto dio lugar
precisamente, al famoso problema de Hilbert de la hipótesis del continuo, sobre la
imposibilidad de hallar ningún conjunto con más elementos que N y con menos que R.
17 Esta axiomatización de la teoría de conjuntos tuvo como base principal el conocido
como "axioma de elección". El axioma afirma que "en una colección arbitraria de
conjuntos, finita o infinita, es posible elegir un elemento de cada uno de ellos. Para el caso
finito, es trivial; pero para una colección infinita, la elección de un elemento de cada uno
empieza por ser fisicamente imposible; aunque desde el punto de vista intelectual, a veces
parece razonable y en otras, no (obsérvese que el axioma habla de que es posible elegir un
elemento, pero se abstiene de decirnos cómo, o sea, la manera de efectuar la operación).
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Godel 18 • El tratamiento de Bemays-Godel presentaba toda la matemática
pura como una extensión de la teoría de conjuntos y fue usado como base de
estudio de estructuras cada una de ellas caracterizada por un conjunto de
axiomas. Ha sido desde entonces tan importante para las matemáticas
mismas como para la filosofia matemática.
Decididamente, alrededor de 1975, la actitud filosófica predominante llegó a
ser el formalismo de Hilbert, quien había dejado definida a la matemática
como la ciencia de la prueba rigurosa, y a los matemáticos convencidos de
que todas las verdades matemáticas se podían demostrar por deducción 19• Es
preciso añadir que en ese marco diseñado por el creador del formalismo, los
lógicos contemporáneos lograron deducir una serie de resultados
inesperados (sobre todo para una nueva idea de conjunto), si bien no
respondían del todo al optimismo exagerado de aquel 20. El modo de "hacer
matemáticas", propuesto por Hilbert, se asemejaba mucho a un juego
(lógico), que lo único que exigía era que no condujese a contradicción (o sea
que no se pueda probar a la vez, a partir de axiomas, un teorema y su
negación) . Por ello, "muchos matemáticos reaccionaron al no quedar
satisfechos con un punto de vista que les prohibía hablar de la "verdad", si
se atenían estrictamente a la noción de "demostrable" a partir de un sistema
de axiomas 21 ". Como consecuencia, el razonamiento evidenció sus
limitaciones e hizo olvidar definitivamente el sueño de unas matemáticas
totalmente deducibles de la veracidad de sus primeros principios.
La teoría de Bemays-Godel sería a la postre utilizada, en la segunda mitad
del siglo XX por algunos matemáticos como fundamento base sobre el que
construir todas las matemáticas, en una teoría más general y eficaz para la
18 Esta teoría de Bemays-GOdel puede verse en la obra Axiomatic set theory (P. Bemays­A.
A. Fraenkel, Ámsterdam, 1958).
19 Una razón del dominio del formalismo procede de su conexión, durante los decenios
1940 y 1950, con la corriente filosófica del "positivismo" (lógico) del que formaría parte
L. Wittgenstein (1889-1951), H. Hans (1879-1934) y también GOdel, para quien la premisa
principal de aquella corriente era, que lo que no es verificable empíricamente no tiene
sentido. La llamada "escuela de Viena" de positivistas lógicos abogaba por una ciencia
unificada, codificada en un cálculo lógico formal y con un único método deductivo. (P.
Davis y R. Hersh, The Mathematical Experience, Birkhauser Boston, 1981 , p. 342).
20 En una fuerte reacción contra la posición radical de los intuicionistas (quienes
propusieron el sacrificio de toda una parte del análisis matemático clásico), Hilbert se
propuso dar unas indiscutibles bases para establecer rigurosamente la imposibilidad de que
un razonamiento sustentado sobre las mismas, jamás pudiese conducir a una contradicción:
la de unos fundamentos lógicos de todas las teorías- en particular, de la aritmética- y las de
no-contradicción de estas teorías. Una intuición que arrastró a Hilbert a unas esperanzas
que fueron tildadas de exageradas (J. Dieudonné, En honor del espíritu humano, (Hachette,
1985, Alianza Edit., Madrid, 1987, Cap. 6, D).
21 J. Dieudonné, ibid.
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edificación del análisis y la geometría. La exposición matemática formalista
que ejerció mayor influencia fue la del grupo Bourbaki de matemáticos
franceses, en las décadas 1950, 1960 y 1970 con su extraordinaria obra de
varios volúmenes Eléments de Mathématiques, (París; el primero de ellos
publicado en 1939), una serie de temas básicos de teoría de conjuntos,
álgebra y análisis. En la obra se incorporaron el axioma de elección y la ley
del tercio excluso, si bien obtenidos mediante la técnica de Hilbert
(renunciando a Frege, Russell y Brouwer). La obra tuvo una tremenda
repercusión en el mundo matemático de la época, en la que el estilo
formalista se convirtió en la actitud filosófica predominante en libros de
texto y demás obras matemáticas; llegando a calar en la enseñanza de los
primeros ciclos universitarios y finalmente, invadiendo con el papel de
matemática moderna hasta en la enseñanza escolar.
"La acusada sumisión de los Eléments al método axiomático, permitió a
Bourbaki adoptar una actitud "realista" para los fundamentos de la
matemática que le ayudaría a enfrentarse con seguridad con las
contradicciones que pudiesen ocurrir en el futuro, al igual que con las que
comparecieron en el pasado" 22.
Para atenemos a una mejor interpretación del precedente período de
confusión, es necesario añadir algunos de los antecedentes que influyeron
sobre las tres corrientes filosóficas de controversia que acabamos de
describir; además de realizar, por otra parte, un examen algo más atento de
estas últimas 23• Digamos ante todo que el grupo que tuvo mayor influencia
desde hace siglos en esas corrientes, fue el del platonismo encabezado por
Platón, cuya posición filosófica subraya la intuición, convirtiéndola en una
facultad indispensable (aun a sabiendas de que le imposibilitara analizar la
intuición matemática), y en el que las ideas matemáticas más sencillas se
encuentran ya implícitas en el pensamiento corriente de la vida cotidiana.
Como señalan P. Davis y R. Hersh 24 , "a priori, Ja propia palabra intuición
comporta misterio y ambigüedad ( ... ) y a veces, representa una noción
escurridiza que simula ser una sustituta ilegítima y aventurada de la
22 Véase G.T. Kneebone, Mathematical Logic and thefoundations of mathematics", Van
Nostrand Co. Ltd. (London, 1965).
23 Las raíces de la filosofía de las matemáticas y de las matemáticas mismas, se
encuentran inmersas en la Grecia clásica. Para los griegos, la matemática significaba
geometría y la filosofía de las matemáticas que podemos encontrar en Platón y Aristóteles
es la filosofía de la geometría. La idea que Platón tenía de la geometría desempeñó un papel
clave en su concepción del mundo. Desde una perspectiva científica actual, Ja prevalencia
de un platonismo generado tácitamente como posición filosófica informal significó, no
obstante, una notable anomalía.
24 The Mathematical Experience, ibid, cap. 8.
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demostración rigurosa". Dichos autores mantienen, por otra parte, que todas
las concepciones filosóficas habituales se basan fundamentalmente en una
cierta noción de intuición, aunque ninguna de ellas intenta explicar la
naturaleza y significado de la intuición que postulan. Y añaden que si bien
el examen de la intuición en la realidad conduce a un concepto dificil y
complejo, aquella no es inexplicable ni mucho menos no analizable. Por ello
y como conclusión, resumieron que en toda exposición histórica de
fundamentos de las matemáticas, estos últimos asertos se interpretaron
generalmente como dogmas de concepciones filosóficas del que se llamó
platonismo (o realismo), del formalismo y del constructivismo25 •
Según la concepción platónica, los objetos matemáticos son reales y no
entes construidos por nosotros mismos. Su existencia es un hecho objetivo
absolutamente independiente del conocimiento que de ellos tengamos26. Los
principales oponentes a la tesis intuicionista, desde la aparición de esta
escuela, fueron los de la escuela formalista de Hilbert y sus seguidores, para
quienes la interpretación platónica no tiene sentido alguno 27. En el
formalismo no existen objetos matemáticos. Lo único que cuenta son las
reglas del juego, o sea, inferencias mediante las cuales son transformadas
unas fórmulas en otras (fórmulas que no se refieren a nada y que no son más
que cadenas de símbolos). Su matemática consiste estrictamente en
axiomas, definiciones y teoremas. El formalismo contemporáneo es
descendiente del hilbertiano, si bien no es justamente lo mismo. Hilbert
creía en la realidad de las matemáticas finitas y en su metamatemática para
justificar las matemáticas de lo infinito. Para el formalista la matemática se
concibe como la ciencia de la demostración rigurosa. Para él, o se tiene
demostración o no se tiene nada. Además de los intuicionistas y formalistas,
25 Es de interés advertir, que dichas concepciones obviaron las diferencias de las
posibles versiones distintas que hubieron de las mismas. Véase P. Davis y R. Hersh, ibid,
caps. 7 y 8, para más detalles.
26 El llamado mundo de la experiencia (según Platón), nada tiene de real. Somos como
moradores de una cueva, que perciben las sombras del mundo exterior y confunden las
sombras con los objetos reales (La República). Los matemáticos platónicos son auténticos
empiristas ("salvo el conocimiento matemático, todo conocimiento es fruto de la
observación"), quienes no solían ocuparse de explicar de donde procede el conocimiento
matemático. Objetos matemáticos como los conjuntos infinitos, curvas que llenan todo el
espacio, ... , se hallan fuera del espacio y del tiempo, no son ni físicos ni materiales. En el
platonismo, nada se puede inventar, todo está ya presente y todo cuanto pueden hacer es
descubrir.
27 La diferencia esencial entre forma listas y platónicos se encuentra en las cuestiones
de existencia y realidad, que se evidencia, por ejemplo, claramente en la hipótesis del
continuo de Cantor.
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se suele citar también a los logicistas28 como la otra escuela importante en la
controversia de los fundamentos de la matemática. Finalmente, los
constructivistas (descendientes del credo idealista platónico), se opusieron a
ambas corrientes. Siguiendo a Brouwer, el constructivista considera que los
números naturales nos son dados por una intuición fundamental como punto
de arranque de todas las matemáticas. Sus matemáticas están fundadas
constructivamente sobre los números naturales, a los cuales no es necesario
reducirlos a otra noción más básica. Tras las fuertes disputas y controversias
habidas con las otras dos corrientes, y una vez que quedaron, en la segunda
mitad del siglo XX, abandonados el logicismo de Whitehead y Russell y
derrocado el formalismo de Hilbert por el teorema de Godel, el promotor
Brouwer del constructivismo, permaneció aislado en Ámsterdam predicando
su dogma e ignorado mayormente por el mundo matemático. Su
constructivismo quedaría entonces reducido poco menos que a una herejía, a
la que sólo se adhirieron algunos proselitistas, sin encontrar demasiado eco
en la comunidad matemática. De cualquier manera, no se puede obviar el
hecho de que matemáticos eminentes formaran parte de a~uellas escuelas (o
sólo de algunas de ellas) en el período de la controversia 9.Y en definitiva,
28 Los primeros logicistas, Frege y Russell, que creían que la lógica era un conjunto
inexorable de verdades, tuvieron a la larga que retroceder de su posición, ante las muchas
críticas sobre su programa. En 1937 Russell ya no estaba convencido de que los principios
de la lógica constituyeran verdades a priori confiando en una lógica más bien refinada para
asegurar los fundamentos; y la escuela intuicionista consiguió sobre todo que no se
sostuviera su pretensión de que las matemáticas no eran sino lógica, porque ello no
significaba otra cosa que una inmensa tautología. (Morris Kline, La pérdida de la
certidumbre, ibid, cap. 1 O).
29 Por ejemplo, matemáticos enteramente platónicos lo han sido René Thom ( 1923-2003 ),
y Kurt Godel (un verdadero convencido de que, además del mundo de los objetos, existe el
de los conceptos al que los humanos acceden por intuición). Situado en un mundo
geométrico de ideas, el primero escribe en 197 l (Modern mathematics: An educational and
philosophical error?, Amer. Sci., 59) "los objetos matemáticos son reales( ... ) y las formas
matemáticas tienen existencia independiente de la mente que las contempla", y Godel
sumido en el universo de la teoría de conjuntos, afirma "no veo razón alguna en confiar
menos en la intuición matemática que en la percepción de los objetos a través de los
sentidos" (What is Cantor's continuum problem"?, Philosophy of Mathematics, Prentice­Hall,
N.J., 1964). Formalista lo fue H. Poincaré (1854-1912), cuando expresaba que"( ... )
admito que las matemáticas constituyen una ciencia deductiva que simplemente deduce las
implicaciones de los axiomas( ... ) se construyen geometrías euclídeas o no euclídeas, cuyos
axiomas y teoremas no son verdades empíricas ni a priori ( ... ). No son ni verdaderas ni
falsas( ... ) utilizamos la geometría que resulta más cómoda" (Véase M.Kline, La pérdida
de la certidumbre, ibid, cap. 1 O). La postura intuicionista sobre la lógica sería drástica. H.
Weyl (1855-1955), discípulo de Brouwer (y alumno más dotado de Hilbert), decía en una
crítica a los logicistas, "de nada, nada se sigue"; y también en un análisis sobre los
transfinitos de Cantor los describía "como una casa construida en la arena"( ... ) "y sólo se
145
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quienes defendían las tesis de sus concepciones filosóficas dejaron a
muchos más bien desconcertados y sumergidos en un mar de dudas30.
Ello impulsa a preguntarnos, de una vez por todas, ¿qué requirieron o han
requerido en realidad, de la intuición, aquellas tres actividades filosóficas?
Ya hemos dicho que la intuición provocó nada menos que la dificultad de
exigir que las matemáticas fueran infalibles, exigencia que fue afrontada por
las dos filosofias, la del formalismo y la del platonismo. También hemos de
ponderar que, ya desde el siglo XVII, una buena parte de grandes
matemáticos tuvieron una gran fe en la intuición y bajo una concepción
amplia del término defendieron el intuicionismo. Asimismo y por último, el
constructivista Brouwer (que también fue un consciente seguidor de Kant y
de la filosofía idealista en general), sabía igualmente hasta qué medida
podía confiar en la intuición, hasta tal punto que creó disensiones entre sus
seguidores y al final alegó fundarse sólo en una intuición universal e
inconfundible (P. Davis y R. Hersh, ibid, caps. 7 y 8)31 • "¿Porqué debemos
puede estar seguro de lo que se establece con métodos intuicionistas" (Vease R. Hersh,
Sorne proposals for reviving the philosophy of mathematics, Advances in Mathem., 31, 31-
50 ( 1979) ). Por otro lado, A. Robinson, del que nos ocuparemos seguidamente, no es
partidario de esa filosofia y declara que "no puede imaginarse el credo platónico ( ... )
viendo extenderse ante sí el mundo del infinito actual, convencido de poder comprender lo
incomprensible".
30 En su mayoría los que han escrito sobre el tema, opinan que el matemático en activo
es platónico entre semana y formalista los domingos (una irónica expresión que quiere
expresar que el matemático típico es simultáneamente platónico y formalista, un platónico
que en secreto se pone la máscara formalista, cuando la ocasión lo requiere; mientras los
constructivistas representan una especie rara" (P.Davis y R.Hersh, ibid, p. 322). "En lo
tocante a los fundamentos, estamos convencidos de la realidad de las matemáticas, salvo
claro está, que cuando los filósofos nos atacan con sus paradojas, nos parapetamos tras el
formalismo" (J. Dieudonné (1906-1992), The work of Nicho/as Bourbaki, Amer. Math.
Monthly, 77 (1970), p. 145). "Para el matemático medio que sólo pretende estar seguro de
que su trabajo tiene fundamentos precisos, la elección más atractiva es evitar dificultades
recurriendo al programa de Hilbert" (P.J.Cohen (1963), Axiomatic set theory, Amer. Math.
Soc., D. Scott Ed. (1971).
31 En una concepción amplia del término, el intuicionismo fue defendido por Descartes y
Pascal. R. Descartes (1596-1650) en sus Reglas para la dirección de la mente, entendía la
intuición como "lo que una mente atenta concibe( ... ) de modo evidente a la luz de la sola
razón, por ser más simple que la deducción misma ( ... ) pero los propios principios
primarios, sólo se pueden conocer por intuición, y las consecuencias remotas sólo por
deducción". Y también B. Pascal (1623-1662) en la última etapa de su vida, se inclinó por
la intuición como la fuente de todas las verdades. Suya fue la famosa declaración "el
corazón tiene razones que la razón no conoce". Asimismo L. Kronecker, un precursor del
intuicionismo moderno, rechazaba los conjuntos infinitos y los números transfinitos, ya que
sólo aceptaba el infinito potencial (así, el conjunto N de números positivos es
potencialmente infinito, y el conjunto R de reales visto como una totalidad existente, es un
infinito actual). Otro matemático intuicionista H. Lebesgue (1875-1945) decía en 1928: "La
146
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presuponer un ente ideal de entes matemáticos existentes en sí?'', preguntan
los constructivistas, "para nosotros existen solamente estas figuras, en
cuanto constituyen el claro resultado de construcciones (espirituales) que
efectúa el hombre".
En definitiva, nos hemos quedado sin saber qué línea de pensamiento ha de
conllevar la verdad. ¿Se crearán nuevos conceptos o se hallan aún ocultos?
Otro importante episodio de debates a destacar, corresponde al transcurrido
un par de siglos antes, desde el descubrimiento del cálculo infinitesimal por
I. Newton (1642-1727) y G.W. Leibniz (1646-1716). En pleno auge de
dicho cálculo, los planteamientos lógicos del obispo y matemático G.
Berkeley expuestos en The Analyst (1974) constituyeron una brillante y a la
par, devastadora crítica del método infinitesimal que no pudieron ser
debidamente contestados32 . En un principio, los incruentos ataques de
Berkeley contra los infinitésimos (números infinitamente pequeños y, sin
embargo, mayores que cero), no fueron tomados en consideración. Las
dificultades que se presentaron pudieron ser aparentemente sorteadas,
formulando una reconstrucción del cálculo infinitesimal sobre la base de
una noción de "límite'', cuya definición (concretada en épsilon-delta)
equivalía a la reducción del cálculo a la aritmética de los números reales.
Una dificil situación paradójica se originó a la sazón, aunque no consiguió
impedir a matemáticos, físicos e ingenieros, que siguieran practicando el
uso de infinitesimales decenas de años más tarde, incuestionablemente con
gran éxito. Lo ocurrido en realidad fue que la noción de límite no había
quedado plenamente asegurada con la definición dada por A. Cauchy (1789-
1857)33 y tuvo que reemplazarse por otra mejor precisada y reformulada por
K. Weierstrass (1815-1897), y que ponía en evidencia que se podría
prescindir absolutamente de lo infinitesimal. Una serie de trabajos de
diversos matemáticos culminaron al respecto, ya en el siglo XX, una
innovadora teoría que resucitaba y legitimaba a los infinitésimos, un
concepto aparentemente expulsado del ámbito matemático en el siglo XIX.
lógica puede hacernos rechazar algunas demostraciones, pero no puede hacernos creer en
ninguna" (véase M. Kline, ibid, cap. 1 O y 14, para más detalles).
32 La lógica de Berkeley no admitía réplica. Decía Berkeley: "¿qué son estas fluxiones?
Velocidades de incrementos que desaparecen. Y ¿qué son estos incrementos que
desaparecen? Ni cantidades finitas, ni infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No sería mejor
llamarlas fantasmas de cantidades difuntas?". Newton no respondería a las críticas, si bien
Leibniz sí lo hizo en un artículo que comenzaba afirmando que los "infinitésimos no son
números reales", sino ficticios, que están gobernados por las mismas leyes que los números
ordinarios (véase M. Kline, ibid, cap. 6).
33 Las definiciones de Cauchy de límite y continuidad fueron correctas en lo esencial,
pero el lenguaje que utilizó era, no obstante, vago e impreciso.
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El más importante de los que contribuyeron a reavivar la noc10n de
infinitesimal fue el lógico matemático Abraham Robinson34 (1918-1974),
quien en la década de los 1960 introdujo un nuevo sistema llamado análisis
"no estándar", interesante proceso que se afianzaría positivamente en la ya
secular contienda inacabada entre lo finito y lo infinito, entre el continuo y
lo discontinuo. Este análisis desarrollaba una teoría consistente (usando
infinitésimos), que con la introducción de unos llamados números
hiperreales y mediante un método axiomático, permitió a Robinson definir
con rigor un conjunto R *, que incluyera al conjunto R de los viejos números
reales y a los infinitésimos. Los infinitésimos35 , en este caso, representan
números fijos, no variables en el sentido de Leibniz ni variables que se
aproximan a cero, que es el sentido con el que Cauchy utilizaba el
término36. En el análisis no estándar se introducen nuevos números infinitos,
que son los recíprocos de los infinitésimos, pero no los números transfinitos
de Cantor. Además, todo número hiperreal finito r es de la forma x+r¡, en
donde x es un número real ordinario y r¡ es un infinitésimo. Un infinitésimo
"positivo" es menor que cualquier número real ordinario positivo, pero
mayor que cero; análogamente, un infinitésimo "negativo" es mayor que
cualquier número real negativo, pero menor que cero.
"El análisis no estándar facilitó una alternativa del análisis clásico que pudo,
no obstante, conducir a enfoques divergentes e incluso contrapuestos. De
cualquier modo, lo que fuera considerado ilógico y desterrable, sería luego
aceptado por algunas escuelas corno lógicamente sólido" 37 .
El análisis no estándar puso de manifiesto muchas y sorprendentes
aplicaciones, en especial de la lógica matemática en intrincados problemas
del análisis, así como en la teoría de procesos estocásticos, en la teoría de
grupos, en técnicas sintácticas (en particular, la aplicación del método ITS
de E. Nelson, para una extensión de la teoría de conjuntos de Zermelo­Fraenkel),
....
Fue notorio e instructivo por otra parte que, además de los números
hiperreales de Robinson, el campo de las matemáticas se viera enriquecido
34 Véase Non Standard Analysis, Ámsterdam, North-Holland Pub!. Co.;Elsevier,N. York,
1974, ed. rev.
35 En el análisis no estándar, cuando se habla de la existencia de los infinitésimos no es en
el sentido que Berkeley hubiera dado a dicha noción.
36 En realidad, fue la noción de lenguaje formal la que facilitó a Robinson enunciar con
rigor lo que, según Leibniz, se podía razonar sin error, como si los infinitésimos no
existiesen. El planteamiento de Robinson consiguió eludir con éxito, la cuestión que tanto
encendió a Berkeley y a otros polemistas del siglo pasado, a saber, si las magnitudes
infinitesimales existían de verdad en algún sentido positivo. Véase Davis y Hersh, The
Mathematical Experience, ibid, cap. 5, p. 254.
37 M. Kline, La pérdida de la certidumbre, ibid, p.334.
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en la segunda mitad del siglo XX, con un buen número de ideas y
aportaciones nuevas, ciertamente interesantes. Entre las nociones que se
introdujeron, figuran conceptos tan extraños como los números surreales de
J. Conway38 y los monstruos de Fisher39, entre otros. Esas innovaciones se
incorporaron a la ya multisecular disyuntiva histórica: ¿Existían esas
nociones antes de que el investigador las descubriera o fue él mismo quien
realmente las había creado?
Otra importante discordia en la evolución de las matemáticas, se planteó en
uno de los más arduos problemas pendientes que se había originado en Ja
teoría de grupos de su rama del álgebra. Fue tal el grado de desarrollo en las
postrimerías del siglo XIX de la teoría de grupos finitos, que la meta
esencial en esa área llegó a ser el afán de lograr una "clasificación completa
de los grupos finitos simples". Para hacerse una idea clara y comprensiva de
ese problema 40, a un científico no especializado se le requeriría tener cierta
base matemática; y sobre todo saber de antemano, que la clave fundamental
para comprender todas las clases de grupos, sería la de asimilar bien el
concepto de grupos simples, un calificativo bastante desafortunado que
induce a pensar que significa fácil, cuando sucede todo lo contrario.
Recordemos brevemente algunos conceptos.
La noción de "grupo" matemático fue introducida por E. Galois ( 1811-
1932) y constituye una de las más sencillas estructuras matemáticas
abstractas. Un grupo G se define formalmente como un conjunto de
elementos que, junto con una operación, permite combinarlos. Muchos
grupos constan de un número infinito de elementos; como el conjunto
formado por los números enteros, provisto de una operación, la adición, por
ejemplo, que constituye un grupo que combina dos elementos y produce un
tercero. La operación (o regla de composición), en este caso Ja adición,
puede adquirir una forma más general. Con más precisión, por grupo se
entiende un conjunto arbitrario no vacío, con una operación binaria que
38 J.H. Conway (1976) no sólo obtiene con sus números surrealistas una definición del
número oo como infinito potencial, sino que deduce la fantástica ecuación oo = ~ que
enlaza mágicamente al infinito potencial oo, al más simple infinito actual w y al infinito
absoluto n.
39 El descubrimiento por Z. Janko (1965) de un extraño grupo con 175.560 elementos,
que promovió la teoría moderna de grupos esporádicos, del que forma parte el conocido
como "monstruo" de Fisher (de orden aprox. 8 x 1053) , tuvo la virtud de impregnar de un
halo de misterio a la naturaleza de los grupos simples, de los que hablaremos más adelante.
40 Para más detalles sobre el problema, véase N. Hayek, El monstruo algebraico, Rev.
Acad. Canar. Cienc., XV (Núms. 1-2), 131-146 (2003).
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satisface un sistema de axiomas 41 • Esa regla de composición de elementos
en un grupo, es también satisfecha por muchos sistemas de tamaño finito.
Tales sistemas se denominan grupos finitos. Cualquiera de ellos tiene sólo
un número finito de elementos, número que representa su orden. Un
subgrupo K de un grupo G, es un subconjunto de G que hereda la estructura
de grupo de la operación en G.
Un estudio sistemático se hizo de toda la teoría de los grupos, tanto finitos
como infinitos, y de sus posibles generalizaciones y aplicaciones. Una
primera conclusión que se reveló como indispensable para la posterior
clasificación, fue la de que un grupo finito G puede descomponerse en
grupos "simples", básicos para comprender su estructura e imposibles de
descomponer en unidades menores de la misma naturaleza 42.
De este modo, en el contexto de los grupos finitos, el objetivo fundamental
consistió entonces en la determinación de grupos finitos simples 43 , que se
refieren a muchos de los grupos clásicos de matrices sobre campos finitos.
Por otra parte, en la clasificación se incluirían también más tarde, otros
grupos finitos llamados "esporádicos", debido a que fueron descubiertos con
métodos específicos que conllevaban ideas que no se prestaban a
generalización.
Todo grupo finito posee una representación especial llamada "regular".
Cuando se habla de clasificación de los grupos finitos simples, no es para
describirlos uno por uno, sino para estudiar su distribución en familias de
grupos simples, e indagar un medio que permita decidir si uno de esos
grupos pertenece o no a alguna de esas familias.
En 1963 se logró un avance espectacular, al demostrar44 Walter Feit y John
Thompson de la Universidad de Chicago que todo grupo finito simple, o
bien es cíclico, o bien de orden par. Una conjetura que fue formulada por
William Bumside (1852-1927), muchos años antes (a principios del siglo
XX) y en la que se afanaron una oleada de matemáticos. Inicialmente, los
41 La definición abstracta de grupo que actualmente se utiliza, es la que se refiere a una
colección de elementos, en cantidad finita o infinita, con una operación * que aplicada a dos
elementos de la colección, produce otro de la misma colección (criterio de cierre). La
operación es asociativa, hay un elemento identidad e tal para cualquier a del grupo se tiene
a*e = e*a = a. Además, para cada elemento a existe un elemento inverso a·1 , tal que a*a·1 =
a·1 *a= e. Esencialmente, un grupo representa una forma matemática de expresar la noción
de simetría.
42 Este hecho está subordinado a la existencia de ciertos subgrupos especiales H; de G
llamados subgrupos "autoconjugados" (y también invariantes o normales), en los que se
cumple g H¡ = H¡ g, para todo elemento g de G.
43 Un grupo "simple" es un grupo sin ningún subgrupo autoconjugado.
44 Una demostración bastante complicada de unas 250 páginas que ocupó un número
entero del Pacific Journal of Mathematics.
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
grupos "cíclicos" fueron los más fáciles de hallar. Se trata de grupos que no
tienen subgrupos de ninguna clase. Están constituidos por los conjuntos de
números enteros módulo un número primo en los que se define la adición, y
representan además los únicos grupos simples conmutativos 45 . La segunda
familia fue la de los grupos alternados de permutaciones de n letras (n>4),
los cuales son no conmutativos 46. Existen además otras familias cuya
descripción es bastante más complicada y las mismas representan familias
infinitas que proceden de la teoría de Líe. Todas ellas admiten
representaciones en forma de grupos de matrices cuadradas. Una de las
interesantes direcciones de investigación consistió en la determinación de
grupos resolubles (Frobenius, 1897). En definitiva y como consecuencia de
las investigaciones que se realizaron, en total se pudo hallar 18 familias
infinitas de grupos (finitos) simples, que serían bautizadas con los nombres
de grupos de C. Chevalley (lineales, · simplécticos, ortogonales y
excepcionales), grupos de R. Steinberg, de M. Susuki y de R. Ree. Se
encontraron también, por otra parte, otros grupos muy irregulares a los que
anteriormente nos hemos referido, que fueron básicamente definidos por lo
que ellos justamente no eran, esto es, como grupos simples que no pudieron
ser encajados en ninguna de las mencionadas 18 familias regulares, y que
tendieron a ser reconocidos por el matemático que los descubrió. Los cinco
primeros de esos grupos irregulares fueron hallados por E. Mathieu en 1861
y 1873, los cuales estaban asociados con geometrías finitas (el menor de
ellos contenía 7920 elementos). Cien años después (1965) Z. Janko
descubrió un sexto grupo esporádico de 175.560 elementos, así como más
tarde otros tres, hasta que finalmente se completó Uunto a otros matemáticos
asociados a este proceso de descubrimiento, entre ellos, Hall, Fisher,
Conway, Thompson, Griess, ... ) un total de veintiséis grupos esporádicos 47•
45 Un tipo notable de grupo cíclico, es el grupo finito no numérico de permutaciones de
objetos cualesquiera (por ejemplo, el de simetrías rotacionales del cubo), cuya ley de
composición permite trasladar sucesivamente los elementos u objetos un puesto a la
izquierda e insertar por la derecha el sobrante.
46 El ejemplo más pequeño de grupo simple no conmutativo tiene orden 60, siendo ese el
grupo que Galois descubrió cuando realizaba su trabajo sobre la ecuación algebraica de
quinto grado. Una noción crucial, la de grupo resoluble, ideada por Galois, estuvo
vinculada a este problema.
47 En la mayoría de los congresos importantes de matemáticos, desde 1960 hasta bien
entrados los 80, era muy raro que no se hablase de grupos simples, de algún resultado
nuevo, de rumores sobre posibles errores acerca de su clasificación, . . . Gracias a un
programa de investigación organizado por D. Gorenstein de la Universidad de Rutgers, se
había probado que la lista de 26 grupos esporádicos era exhaustiva. En cierto sentido, ese
descubrimiento conlleva que los componentes, los bloques constructivos, de cualquier
grupo con un número finito de elementos, queden definitivamente clasificados. En realidad,
151
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Forma también parte de ellos, el actualmente conocido como el monstruo,
cuya existencia fue vaticinada por B. Fisher en la década de los 1970. La
denominación procede de su tamaño, ya que el número de elementos de este
grupo es, aproximadamente, de 8 x 1053 , esto es, un 8 seguido de 53 ceros.
El monstruo puede ser interpretado como un grupo de rotaciones en un
espacio de dimensión 196883
Durante un período de unos treinta años que se inició a mediados del siglo
XX, muchos investigadores de primera fila contribuyeron de manera directa
al establecimiento de la prueba de la clasificación de los grupos finitos
simples, una prueba que fue anunciada por D. Gorenstein48 en una reunión
de la American Mathematical Society (enero 1981 ).
El teorema de clasificación de grupos finitos simples, afirma 49 : "El
conjunto de los grupos finitos simples está compuesto por 18 familias de
grupos regulares e infinitas, más los 26 grupos esporádicos"; un
fundamental resultado que expresado más explícitamente indica que, "si se
tiene un grupo finito simple, o se trata de un grupo cíclico de orden primo p,
o bien de un grupo alternado A11 (n25), o bien pertenece a una de las
dieciséis familias de grupos simples tipo Líe, o bien es uno de los 26 grupos
esporádicos". La demostración del teorema exigió probar que un grupo
simple cualquiera, cuya estructura de subgrupos es desconocida y quizás
arbitrariamente compleja, posee una estructura de subgrupo equivalente a la
de uno de los grupos finitos simples conocidos que componen las 18
familias infinitas de la lista del enunciado (método que había sido también
fructífero para encontrar varios de los grupos simples esporádicos). Téngase
en cuenta que la demostración completa del teorema había consistido en
reunir cientos de artículos escritos (alrededor de 500) por aquellos
matemáticos, y sus resultados se encuentran condensados en unas 15.000
páginas. La longitud de esa demostración, no sólo fue insólita en los anales
de la matemática, sino incluso también la desconcertante naturaleza de la
solución. Fue obvio que el resultado de la prueba resultara discutible,
porque difería de la de los textos clásicos. Entre las demostraciones
tradicionales, el record actual de extensión lo ostenta dicho teorema de
clasificación de grupos finitos simples. Algunos creen que tal vez la
hubo de combinarse pacientemente una vasta literatura de teoremas, la mayor parte de ellos
publicados entre 1955 y 1983, para proporcionar el resultado fundamental que se conoce
como "teorema de clasificación de los grupos finitos". La clasificación completa se logró
en 1985, antes incluso de lo esperado y no sin enorme esfuerzo (véase D. Gorenstein,
Classifying the finite simple groups, Bull.Amer.Math.Soc.,14, 1-98,(1986)
48 R. Solomon, On finite simple groups and their classification, Notices of the Am.
Math. Soc, 42, 1, 1-98 (1986), p. 18.
49 R. Solomon, ibid, 42, 231-239 (1995).
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extremadamente extensa prueba del teorema, pueda ser reducida en el
transcurso de unos pocos años a unas 4000 páginas, con la estrategia (en
apariencia sencilla) de proceder por reducción al absurdo, suponiendo que el
teorema es falso y reducir la prueba al hallazgo de una contradicción. Si
bien en los medios matemáticos se le conoce como un teorema, lo cierto es
que es la prueba y no el teorema, el que merece el calificativo. Y aunque en
la actualidad, la determinación de todos estos grupos se encuentra poco
menos que virtualmente completa, el teorema definitivo que ha sido
establecido para la clasificación de grupos simples, es poco parecido a
cualquier otro de la historia de las matemáticas. Hay que agregar que, el
teorema probado por Gorenstein, había partido de una primera
aproximación cercana a una estrategia de clasificación que propuso R.
Brauer en 1954, el cual produjo después algunas situaciones de perplejidad.
Durante años se procedió a revisar más a fondo la clasificación de los
grupos simples, con un laborioso trabajo de revisión (conocido como GLS),
que emprendió Gorenstein junto con R. Lyons y R. Solomon en 1982, y que
dio lugar a unos doce volúmenes (de cinco partes) publicados por la
American Mathematical Society.
Se produjeron también desavenencias y opmtones diversas a raíz de la
resolución de algunos célebres problemas matemáticos clásicos que estaban
pendientes, como el conocido como "problema de los cuatro colores'', cuyo
enunciado era el siguiente:
¿Cuántos colores son necesarios para colorear un mapa trazado sobre una
superficie plana (o sobre una superficie esférica), sin que dos países que
tengan líneas fronterizas comunes estén coloreadas del mismo modo? 50.
Los países pueden tener la forma que se quiera, pero cada uno de ellos debe
constituir una sola región conexa.
Que cuatro colores bastaban para estudiar el problema, se había considerado
desde hacía tiempo 51 • El primero en presentar este hecho de que se
50 En el caso de que dos países cualesquiera "adyacentes" (o sea, con frontera común) se
intersecten sólo en un punto (o incluso un número finito de puntos), deben ser coloreados
del mismo tono.
51 Se partió de la base de que cualesquiera dos países que linden en un solo punto no se
consideraban adyacentes, al existir casos en que un mapa con cuatro países y en donde cada
país fuese adyacente (es decir, lindase en una línea fronteriza) con los otros tres, requiere
cuatro colores, lo cual significaba que una conjetura de tres colores sería falsa, al no ser
suficientes tres colores para colorear todos los mapas. Por otra parte, para todo mapa
pentacromático (o de cinco colores) existen casos en que cinco países no pueden jamás
posicionarse, de tal modo que cada uno de ellos fuese adyacente a cada uno de los cuatro
restantes (o sea, el mapa pentacromático tendría que tener menos de 5 regiones). Todo ello
condujo a que el número de colores del problema habría de ser cuatro.
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
requerían cuatro colores, como conjetura matemática, fue Francis Guthrie
(1852). En realidad, el enunciado de la "conjetura de cuatro colores"
encandiló sobremanera durante más de un siglo a los matemáticos, sobre
todo por su simplicidad, que contrastaba de manera desconcertante con la
enorme dificultad que conllevó luego su resolución. Hubo numerosos
intentos que no dieron resultado y la conjetura de los cuatro colores señaló
un hito en la historia de los más sobresalientes problemas pendientes desde
mediados del siglo XIX hasta años postreros del XX. Hasta incluso ilustres
matemáticos se implicaron sin éxito en la conjetura . El primero en
contribuir fue Augustus de Morgan (1806-1877), quien mostró en principio,
que no podían haber cinco regiones de cualquier mapa que fuesen
mutuamente adyacentes, si bien más tarde se descubrió una contradicción
que invalidaría su argumento. Para mayor desilusión, ni de Morgan, ni otro
de los grandes matemáticos de su tiempo, Arthur Cayley (1821-1895)
pudieron encontrar un método para demostrar la verdad o falsedad de la
conjetura. En 1878, este último propuso el problema a la London
Mathematical Society. En 1879, A.B. Kempe (1849-1922), que era miembro
de esa Sociedad, publicó un artículo que proclamaba haber demostrado la
conjetura52. Desgraciadamente, el razonamiento de Kempe que se basó
52 La "prueba" de Kempe no resultó ser completa, si bien contenía una gran parte de
ideas básicas que apuntaron eventualmente a la prueba correcta que se consiguió un siglo
más tarde. Desde que Kempe introdujera la importante idea de "reducibilidad", se
desarrollaron métodos para examinar configuraciones reducibles. Otro destacado
matemático de la época, G.K. Birkhoff(l884-1944) de Harvard, y también en especial, P.
Franklin ( 1898-1965) con un notable resultado al respecto, constataron la existencia de
muchas configuraciones que eran reducibles, así como G. Heesch cuyo trabajo iniciado en
1936 sería crucial en la teoría de dichas configuraciones. Para explicar su razonamiento,
Kempe consideró suficiente trabajar solamente con mapas "normales" (nominados así los
mapas en los que nunca se encuentran en un punto más de tres regiones, y donde asimismo
ninguna región del mapa rodea completamente a las demás). Él sabía que a cada mapa
puede asociársele un mapa normal que exige al menos tantos colores como él, por lo que le
bastaba demostrar la conjetura para mapas normales; y en principio, demostró que en todo
mapa normal existe al menos, una región que contiene como máximo cinco vecinas, lo que
significa que en cualquier mapa normal ha de aparecer uno de cuatro determinados tipos
específicos de configuraciones que representan los cuatro casos posibles de región con 2, 3,
4, o 5 vecinas. El hecho de que forzosamente tenga que darse al menos uno de esos cuatro,
se describe diciendo que dicho conjunto de configuraciones es inevitable. Estaba claro que
la intención de Kempe consistía esencialmente en encontrar un conjunto inevitable de
configuraciones reducibles, para conseguir la prueba de la conjetura. Por ello, trató ante
todo de mostrar de qué forma se podría construir en cualquier caso de mapa forzosamente
pentacromático, un mapa de menor número de países que siguiera siendo pentacromático
(con lo que una tal construcción haría que Ja configuración fuera reducible). De lograrlo,
mediante el proceso clásico de reducción al absurdo, la demostración sería inmediata. Fue
lo que hizo: partir de un mapa pentacromático cualquiera, mostrar que se puede construir
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sobre la idea de reducibilidad era incorrecto en el caso de una región con
cinco vecinas. El error fue señalado en 1890 por P .J. Heawood (1861-1955)
y no fue fácil de reparar53. Cerca de un siglo más tarde, en 1976, tuvo lugar
un inesperado acontecimiento: el anuncio de la demostración definitiva de
"la conjetura de los cuatro colores", conseguida por los profesores K. Appel
y W. Haken de la Universidad de Illinois. Ahora bien, esta vez una parte
esencial de la demostración se basaba en cálculos de ordenador, y esto
ocasionó una situación que llegó a poner en tela de juicio el concepto
clásico de demostración. Se tenía constancia de que el ordenador en algunos
problemas de la matemática aplicada, había servido para calcular soluciones
aproximadas cuando la teoría no era capaz de dar una solución exacta; de
igual forma que para otros campos, por ejemplo en la teoría de números
primos, con el ordenador se facilitaron en ocasiones, datos para la
formulación de conjeturas de algunos de sus teoremas. En ambos casos, se
estimó que la asistencia del ordenador no afectaba a lo que se demuestra, es
decir, que la matemática rigurosa de la demostración permanece
incontaminada por la máquina. No obstante, tenemos que enfatizar en que la
anterior situación acaecida, es muy diferente a la que produjo el teorema de
Appel-Haken, porque sus autores presentaron su trabajo como una
demostración completa, definitiva y rigurosa. En cierta ocasión, el profesor
Haken niega específicamente que la noción de demostración matemática
haya sufrido el más mínimo cambio por haber utilizado Appel y él un
ordenador. Decía Haken: "No se altera la noción. Lo que cambia no es la
teoría, sino el ejercicio de la matemática".
En último extremo, en la demostración definitiva de la conjetura por K.
Appel y W. Haken se volvió a utilizar la idea de exhibir un conjunto
inevitable de configuraciones reducibles. Sin embargo, en lugar de las
cuatro sencillas configuraciones que comparecían en la demostración de
Kempe, el conjunto inevitable contenía millares de ellas, la mayor parte de
tal complicación, que la única forma de poder demostrar su reducibilidad
tuvo necesariamente que contar con ayuda de un ordenador de alta
velocidad. No obstante, la demostración de Appel y Haken consistía en una
serie de pasos lógicos y analizables uno por uno, que llevaran hasta la
otro pentacromático con menor número de regiones; tras un número finito de pasos, pudo
obtener un mapa pentacromático con menos de cinco regiones, hecho, que a todas luces, era
ciertamente absurdo. Y esto le hizo creer haber demostrado la conjetura.
53 La exposición del problema de los cuatro colores que nos ocupa, salvo varios párrafos
que hemos añadido, ha sido recogida de P. Davis y R., Hersh, The Mathematica/
Experience, ibid, cap. 8, 385-387; véase también, Mathematics Today (Edit. Arthur Steen),
Springer Verlag, N. York-Berlin, 1979 (K. Appe/ y W Haken, The Four Color Prob/em,
pp.153-180), para más detalles.
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
conclusión, y esa conclusión fue que la conjetura quedó reducida a una
predicción que involucraba el comportamiento de más de dos mil mapas
diferentes. Tras unas mil horas de cómputo, la máquina concluyó que dicho
mapas se comportaban en la forma prevista, por lo cual la conjetura de los
cuatro colores se consideró como verdadera.
"Se sabe en la actualidad, cómo ha sido posible hallar la prueba del
problema de los cuatro colores. Lo que no podemos saber (ni tal vez nunca)
es si existe alguna prueba que sea elegante, concisa y completamente
comprobable por alguna mente matemática (humana)", han señalado Appel
y Haken 54
En resumidas cuentas, ¿qué es lo que debe pensarse acerca de todas estas
dudas y controversias sobre la realidad matemática? ¿Cómo y cuales han
sido sus consecuencias? Si nos ajustamos a los cánones del rigor moderno,
¿qué se puede decir de verdad, acerca de lo que es o debiera ser un teorema
matemático? Dicho de otra manera, ¿qué se ha de aceptar y entender en la
actualidad como prueba matemática? ¿Puede reconocerse como
demostración matemática la que se obtiene con los insoslayables recursos de
un ordenador?
Para precisar las respuestas a estos interrogantes y centrar mejor las ideas,
nos parece necesario acompañar un resumido análisis puntual y
retrospectivo del conjunto de las situaciones conflictivas de los cuatro
períodos expuestos, en cuyo análisis se incluye al propio tiempo y en lugar
oportuno, un extracto de lo que dio lugar al nacimiento y desarrollo del
ordenador electrónico.
3. Certeza, incertidumbres y el advenimiento del ordenador electrónico:
Una visión de conjunto.
Durante siglos los fundamentos de las matemáticas se apoyaron sobre los
estamentos básicos de la lógica. Los matemáticos se encontraban realmente
convencidos de que el razonamiento deductivo no podía jamás reconducir a
resultados inconsistentes, y calibraban los avances de su ciencia por los
teoremas que habían sido demostrados (un juicio convencional que se
convirtió en un rosario de serias dudas que duraría muchísimo tiempo hasta
la aparición de las paradojas lógicas al comenzar el siglo XX).
54 Es innegable, advierten P. Davis y R. Hersh, que "la aceptación del teorema de Appel­Haken
involucra un acto de fe, que se traduce mayormente en la creencia de que los
computadores hacen lo que se supone deben hacer, degradando así el nivel de certeza
matemática al del conocimiento común, irremediablemente ligado a posibles
escepticismos"
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A finales del siglo XVII las matemáticas se encontraban en una situación de
incertidumbre, que perduraría hasta que una gran mayoría de matemáticos
del XVIII señalara la inexistencia de una fundamentación de su disciplina
que fuera correcta, lo que promovió que a lo largo del mismo se tuviera que
luchar frente al concepto de infinitesimal, que venía siendo usado con unas
reglas arbitrarias. Ese siglo XVIII acabó, no obstante, con una lógica del
cálculo (y de varias ramas del análisis construidas sobre el mismo) en un
estado de auténtico confusionismo que se dilató hasta las postrimerías del
siglo XIX. Cuando se abandonó el intento de conseguir la verdad
matemática apoyada en la lógica, los desarrollos que hubieron a partir de
1900 de los fundamentos de las matemáticas, fueron desconcertantes. El
análisis no estándar representaría principalmente, entre otras alternativas,
una reconstrucción racional consistente de la desacreditada teoría
infinitesimal. En los primeros años del siglo XX se inició una batalla por
encontrar nuevos enfoques en los fundamentos, creándose varias escuelas de
pensamiento. Como hemos señalado con anterioridad, la primera de ellas (la
logicista), se sustentó en una tesis que, brevemente enunciada, afirma que
todas las matemáticas son derivadas de la lógica, creyendo que esta última
representaba un conjunto intocable de verdades; y otras se apartaron de la
lógica e incluso la abandonaron. La segunda de las grandes escuelas (la
constructivista), originada en 1908 y con frecuencia conocida como
intuicionista, sostenía que los números naturales nos son dados por una
intuición fundamental, que es el punto de arranque de todas las matemáticas
(que como toda actividad humana es, se origina y tiene lugar en la mente).
La tercera escuela importante (la formalista), creada por Hilbert, mantuvo
que ni el logicismo ni el intuicionismo probaban la consistencia de las
matemáticas. Para los formalistas, las matemáticas constituyen una
colección de sistemas formales, cada uno de los cuales construye su propia
lógica y tiene sus propios conceptos. En 1915 Hilbert emprendió un
programa de restauración de las matemáticas, y durante la década de los
1920 formuló su propia aproximación de los fundamentos con unas bases
axiomáticas para la lógica, con un método (la metamatemática) para probar
la consistencia de cualquier sistema formal. La verdad matemática quedaría
empañada por el conflicto que se desencadenó entre las escuelas de
fundamentos 55 .
55 Ya hemos anotado anteriormente, que el programa de Hilbert causó un gran impacto
entre los matemáticos de la segunda mitad del siglo XX. El estilo formalista fue el que
predominó, calando en obras matemáticas y en libros de enseñanza con el papel de
matemática moderna.(Véase G.T. Kneebone, ibid.).
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En 1927 John von Neurnann (1903-1957) publicó un famoso artículo
conjeturando que debía probarse cuanto antes que Ja lógica se encontraba
liberada de contradicciones. Sin embargo, nadie sospechó que unos años
más tarde (1931), el teorema de incornpletitud de Godel ocasionaría una
tremenda sacudida en la concepción clásica del proceso de demostración,
poniendo en tela de juicio la propia naturaleza de la verdad matemática. Se
había llegado hasta el extremo de que existieran proposiciones que habían
sido consideradas corno verdaderas por intuición y que fueron
repetidamente falsas por lógica. A raíz de esto, se generaron grandes
consecuencias, que crearon nuevas ramas de estudio de lógica matemática,
reivindicando una reconsideración de la filosofia matemática, y más aún, de
las filosofias del conocimiento en general. Entre otros, Hans Hahn (uno de
los más brillantes lógicos del Círculo de Viena, maestro de Godel y alumno
de Hilbert), argumentó contra la intuición en un célebre ensayo 56 , en el que
aseguraba que "la intuición es engañosa en muchos casos y ejemplos, lo que
hacía que la mayoría de matemáticos se mostrara cada vez más escéptica
acerca de la validez de aquella". Así, se produjeron discrepancias que
involucraron principalmente a los filósofos de la ciencia, con el
planteamiento de fuertes debates que afectó de lleno al teorema, pilar
primordial de la arquitectura matemática 57 . La demanda de expulsión de la
intuición por parte de muchos sectores, no se hizo esperar, clamándose al
propio tiempo, por la formalización completa de las matemáticas 58, aunque
hay que advertir también que algunos grandes filósofos como L.
Wittgenstein 59 estimaron después que la lógica matemática deformaría por
completo el pensamiento de matemáticos y filósofos.
Esas discrepancias se mantuvieron durante años y perseveraron hasta
tiempos recientes. Entre otros, M. Kline da cuenta 60 de haberse refutado el
mito de que muchos ilustrados siguieran creyendo que la matemática fuese
un conjunto de verdades inquebrantables sobre el mundo fisico y que el
razonamiento matemático era exacto e infalible. Los matemáticos rehusaron
56 La crisis de la intuición, Sigma, El mundo de las matemáticas 5, 342-362, Edit.
Grijalbo, Barcelona (1969). El objetivo principal de Hahn era la visión kantiana del espacio
como una de las formas de intuición pura.
57 Una gran parte de matemáticos decidió que era arriesgado aceptar una proposición
matemática, y mucho menos basar, cualquiera de las áreas de su disciplina, sobre
convicciones intuitivas. Véase S. Fefferman, Mathematical intuition vs. Mathematical
monsters, Twentieth World Congress of Philosophy, Boston MA, Agosto (1998).
58 La tarea de formalizar toda la matemática, para reducirla enteramente a la lógica,
resultó ardua y dificil, ya que significaba nada menos que una reforma íntegra de todas y
cada una de sus partes.
59 Remarks on the Foundations of Mathematics, Oxford, 1966.
60 M. Kline, ibid.
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aceptar la opm1on de muchos científicos y filósofos de que sus asertos
fueran, a lo sumo, provisionalmente ciertos, esto es, verdaderos, mientras no
se demostrara que eran falsos. Una incertidumbre que fue evidentemente
fruto de la creciente complejidad que hubo de padecer la matemática.
En otro orden de cosas, los matemáticos sabían que sus áreas más abstractas
mantenían profundas conexiones con el mundo real, pero que a menudo se
originan de otras maneras61 • Las verdaderas matemáticas son descubiertas y
no inventadas 62. No obstante, la relación de la matemática con la realidad,
ha sido despreciada con demasiada frecuencia, una cuestión que se
encuentra muy bien precisada en una interesante obra de F. Gonseth 63.
Aún más. Todo el mundo científico tenía asimilado con envidia la supuesta
unanimidad de los matemáticos, pero de hecho existía una controversia
considerablemente amplia en su disciplina y de tal envergadura, que los
matemáticos puros negaban las pruebas de los matemáticos aplicados,
mientras los lógicos a su vez, repudiaban las de los matemáticos puros. De
hecho, defensores críticos de unos y de otros, no están de acuerdo. Los
matemáticos puros reivindican el valor de su trabajo y el desafio intelectual.
Para los aplicados, el objetivo principal de las matemáticas no es otro que el
de la utilidad pública y la explicación de los fenómenos naturales. Los
matemáticos aplicados no muestran en general, síntoma alguno de
preocupac10n por las demostraciones rigurosas. En cambio, los puros
objetan que los aplicados, en diversas ocasiones, utilizan técnicas
injustificadas. Observaciones llenas de ironía incluso, no faltan 64• La
controversia entre los matemáticos puros y los aplicados continúa aún en
nuestros tiempos. Esto no significa obstáculo alguno para el desarrollo
adecuado que sigue teniendo la matemática, según se estima generalmente.
Retomemos a la década de los 1930. Una vez que K. Godel pusiera en
evidencia la imposibilidad de probar la consistencia lógica de las
matemáticas, sucedió otro acontecimiento sorprendente cuando Alan Turing
(1912-1954) mostró la existencia (1936) de un "autómata universal", al
indagar sobre las clases de sucesiones de unos y de ceros que pudieran ser
61 Por ejemplo, la geometría de Euclides, las ecuaciones en derivadas parciales y la teoría
de grupos, son tres ramas de la matemática tan apartadas una de otra que parecen pertenecer
a universos matemáticos diferentes. Y con todo, las tres resultan estar implicadas con
nuestro universo fisico.
62 El filósofo T.S. Kuhn, The structure of Scientific Revolution, Univ. of Chicago Press,
1970, sostenía que las teorías científicas son aceptadas, no por que sean "verdaderas" en un
sentido objetivo, sino por razones sociales.
63 Les Mathématiques et la Réalité, Essai sur la Méthode Axiomatique, Paris (1936).
64 Estas diferencias son plasmadas en muchas obras (por ej ., M. Kline, ibid, cap. 13).
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reconocidos por una máquina abstracta por medio de un número finito de
instrucciones. Esto había de traducirse nada menos que en el nacimiento del
computador electrónico, cuyo desarrollo constituiría la aplicación más
importante del siglo XX y que en particular produjo un gran impacto en la
matemática pura. Sin embargo, habría de ser el gran matemático John von
Neumann (1903-1957) quien de hecho implementara (1944) el autómata
universal como un computador electrónico con instrucciones almacenadas, a
través de un "programa" que la propia máquina podía alterar en el
transcurso del cálculo. Años más tarde, los lenguajes de programación de
otros mejores computadores representaron un nuevo formalismo matemático
que sustituyó a otros antiguos de las matemáticas aplicadas (derivados del
análisis, matemáticas discretas, topología y lógica), en cuanto a la formación
de innovadoras e interesantes teorías. La mayor parte de las pruebas
asistidas con ayuda del computador, representarían luego implementaciones
de pruebas de algunos teoremas matemáticos.
Los ordenadores transformaron el panorama del descubrimiento, la
demostración y la interconexión de ideas matemáticas. En varias ocasiones,
en que las demostraciones habían sido muy largas y complicadas y resultaba
de gran dificultad evaluarlas, el ordenador representó un elemento
indispensable.
Las pruebas obtenidas con ayuda del computador (o "demostraciones
computerizadas"), comenzó sembrando controversias en el mundo
matemático65 . Demostraciones recientes de célebres problemas requirieron
cómputos enormes realizados por computadores, y fueron aceptados a duras
penas como válidos, al considerarse que ningún humano (al menos hasta
ahora) hubiera podido comprobar esas demostraciones "computerizadas".
La popularidad de las matemáticas basadas en el mecanismo informático (de
experimentos numéricos o gráficos), desató en esos años reacciones a favor
y otras contrarias. 66
65 Algunos matemáticos creyeron que las pruebas extremadamente extensas y realizadas
con ayuda de computador, no eran en cierto sentido, pruebas matemáticas reales, a causa de
implicar tantos pasos lógicos que no podían ser prácticamente verificables por seres
humanos, cuestionando de ese modo a aquellos matemáticos por exhibir su verdad en una
programación de computador.
66 Hay dos grupos discordantes, y en ambos existen algunos matemáticos que se
pronuncian con reservas. En una de las agrupaciones, D. Mumford escribió al respecto, que
"la comunidad de la matemática pura considera a los ordenadores, como invasores que
profanan el campo sagrado'', sosteniendo que para establecer la verdad, los experimentos
con ordenadores y la concordancia con los fenómenos naturales, no podrían jamás
reemplazar a las demostraciones. Igual opinión compartían, entre otros, A.M. Jaffe, D.
Ruelle, R. Penrose, F.S. Quinn, P. Deligne (no creo en la demostración por ordenador, sólo
si la entiendo y es clara). Entre los del grupo que discrepaban, una buena parte incluso
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Por otra parte, la aceptación de algunos razonamientos como teoremas
matemáticos, condujo también a serias objeciones y controversias entre
filósofos y matemáticos; y la noción de lo que se ha dado en llamar
"demostración rigurosa" fue contemplada por unos y por otros con una
visión distinta y controvertida, desde el momento en que para los primeros
el uso del ordenador figurara como parte fundamental de la misma, porque
así se ocasionaba un debilitamiento sensible de las normas de la
demostración matemática.67 Para el filósofo existía una diferencia absoluta
entre una demostración que depende de la fiabilidad de una máquina y una
demostración que exclusivamente es dependiente de la razón humana. Para
el matemático, en cambio, la fiabilidad de la razón da al ordenador la
bienvenida, al considerarlo un calculista más fiable de lo que él propiamente
lograra llegar a ser.68
4. Conclusión: Una síntesis final.
En este último apartado son expuestas unas puntualizaciones finales que
complementan toda la temática tratada en los párrafos anteriores.
pronosticaría una muerte de la demostración tradicional, para defender las demostraciones
"computerizadas". S. Wolfram, creador del programa Mathematica, mostró un absoluto
desdén por las demostraciones; W.P. Thurston afirmaría que "en relación con algunas
teorías, la fundamentación de la matemática, en cierto sentido respira un aire de irrealidad"
(Bull. AMS 30, 161-177, 1944); así como P.A. Griffiths, y muchos más. S. Smale se
esmeró en fundar Ja computación sobre bases más firmes y M. Atiyah instó a los
matemáticos que se implicaran más en Ja computación, para que se mezclaran con el mundo
real. Véase el excelente y ameno artículo de J. Horgan, La muerte de la demostración,
Investigación y Ciencia, diciembre (1993).
67 Algunos filósofos, entre ellos S. Tymoczko, Journal of Philosophy, 76, 57-83 (1979).
abogaron por cambiar el sentido de Ja "noción" de demostración (o más concisamente,
cambiar el sentido subyacente de prueba), ya que involucraba sin duda un deterioro de la
certeza que infringe la naturaleza de las matemáticas, aunque desde el punto de vista
matemático, la objeción filosófica sería considerada idealista e ingenua.
68 En un artículo publicado en Acta Mathematica (1971), H.P.F. Swinnerton-Dyer
comentaba por otro lado: "Cuando un teorema ha sido probado con ayuda de un ordenador,
es imposible dar una exposición de Ja demostración que obedezca al criterio tradicional
( ... ).En toda computadora moderna es muy raro que se provoquen errores( ... ), si bien son
susceptibles algunos fallos transitorios durante el proceso de cómputo ( ... ). Esto no
significa que sea necesario rechazar los resultados del cómputo". Su conclusión fue que "la
única forma de verificar estos resultados (si se considera que vale la pena) es volver a
atacar el problema de forma totalmente independiente, usando una máquina diferente. Esta
actitud se corresponde exactamente con la de la mayor parte de las ciencias
experimentales".
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
En el primero de los períodos históricos considerados (la tan debatida crisis
de fundamentos) se hizo hincapié en las imperfecciones plasmadas relativas
a las tres interpretaciones principales de las matemáticas, evidenciándose la
existencia de discrepancias que sumergió a los filósofos de la ciencia en un
debate que llegó a afectar los cimientos básicos de la matemática misma.
Los logicistas despreciaron las pruebas de los formalistas y algunos
intuicionistas rechazaron con desdén las pruebas de logicistas y formalistas.
Al propio tiempo, los formalistas no aceptaron las restricciones de los
constructivistas ni la teología de los platónicos 69. El distinguido matemático
y destacado representante de la filosofia positivista R. von Mises70, reflejó
correctamente la situación y las expectativas creadas, al señalar que "la
matemática, como cualquier otra ciencia, tiene una parte tautológica y un
aspecto empírico; y difiere de las demás ciencias en que su aspecto formal
es mucho más esencial y decisivo que en cualquier otra. Resulta, por ende,
comprensible que la matemática frecuentemente se haya identificado con su
parte tautológica". Acaba su trabajo diciendo: "Ninguna de las tres formas
de la fundamentación de la matemática- la intuicionista, la formalista y la
logicista - ha sido capaz de racionalizar completamente la relación entre los
sistemas tautológicos y las experiencias (extramatemáticas), que es su
verdadero objeto. Ninguna de ellas fue capaz de hacer de esa relación una
parte del sistema matemático mismo".
El segundo de los períodos, enclavado en los siglos XVII y XVIII, puede
condensarse del modo siguiente: Ante todo, dicho período estuvo
caracterizado por la construcción del análisis por los matemáticos sobre
inexistentes fundamentos lógicos de la aritmética y el álgebra y con una
base algo insegura de la geometría euclídea.
Es bien conocido que el núcleo fundamental del análisis fue el cálculo, el
cual hace uso del concepto de función. Los que más contribuyeron a la
creación de aquel, fueron Newton y Leibniz. La introducción de dos
conceptos nuevos y más complejos, el de derivada y el de integral definida,
requirió necesariamente de una fundamentación lógica que situaron a los
matemáticos del siglo XVII en un gran atolladero, que si bien habían
vislumbrado, no lo comprendieron del todo. Pondérese que en aquella
época, las matemáticas se encontraban en una situación paradójica y curiosa
a la vez. Sus éxitos en la representación y predicción de los fenómenos
fisicos estaban más allá de toda duda; sin embargo, la pesada estructura no
tenía fundamentación lógica y, por tanto, no existía la seguridad de que las
69
70
I. Lakatos, Matemáticas, Ciencia y Epistemología, ibid., p. 91 .
Los postulados matemáticos y el entendimiento humano, ibid, cap. l.
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matemáticas fueran correctas 71 • A pesar de la confusión, principalmente
Euler, y luego Lagrange y otros, extendieron el cálculo e intentaron la
rigorización, dando una fundamentación lógica, aunque incorrecta. El siglo
XVIII finalizó con la lógica del cálculo y las ramas del análisis construidas
sobre el mismo, en un estado de absoluto confusionismo. Muchos
intentaron después mejorar la situación con aportaciones interesantes,
siendo Abraham Robinson uno de los más importantes que contribuyeron
muy en especial, a la creación de un nuevo capítulo que constituyó, como
anteriormente se dijo, una reconstrucción consistente de la desacreditada
teoría infinitesimal.
En cuanto a los dos últimos períodos, hay que agregar ante todo que las
facultades lógicas del ordenador relegaron a un segundo plano sus
habilidades matemáticas que, en ocasiones, supuso una ayuda sustancial
para zanjar algunos problemas matemáticos clásicos pendientes de
resolución. En particular, nos hemos referido estrictamente a dos de los más
célebres de ellos: el problema de clasificación de grupos simples y el
problema de los cuatro colores.
A raíz de que el teorema de clasificación del primero de ellos (pendiente de
resolución desde las postrimerías del siglo XIX) fuera considerado como
resuelto, se estimó excepcional por la longitud de su prueba y ostenta el
record actual de extensión de los teoremas tradicionales. En 1979, D.
Gorenstein, uno de los más ilustrados sobre el tema, aseguraba que "tiene
más sentido contemplar la clasificación citada, más bien como un campo
completo de las matemáticas, que como el intento de demostrar un único
teorema". Y como además no sólo era excepcional la desmesurada
extensión de la prueba, sino que también entraba en juego Ja seguridad de la
misma, Gorenstein aludía al propio tiempo irónicamente a teoremas casi
probados, añadiendo que "parece ir más allá de la capacidad humana
presentar un argumento de varios cientos de páginas estrechamente
razonado con absoluta seguridad". Resumiendo, con una cadena de
razonamientos sumamente larga y complicada, no es raro que Ja prueba
rigurosa pueda infundir en el lector que quisiera constatarla, severas dudas y
hasta aprensión, cabiendo incluso que resultara menos convincente que un
argumento puramente intuitivo.
En el teorema de los cuatro colores ya descrito con anterioridad (que fue el
primer teorema importante que hubo de ser probado con el uso de un
computador), la excepcionalidad en cambio, sería reconocida a causa del
uso de computadores. Como ya dijo el gran analista J. Dieudonné, el
71 Para más detalles, véase M. Kline, ibid, cap. 6.
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problema de los cuatro colores deslumbró significativamente a los
matemáticos por la simplicidad de su enunciado y la dificultad de su
solución. Con el ordenador, el problema se podía afrontar de modo
algebraico, analítico o con el recurso a la combinatoria, si bien la última
posibilidad permitía comprobar un número finito de casos. Considerándolo
· como un problema de combinatoria, hay que estudiar todas las posiciones de
N países entre sí, para cada valor de N, y ya habían sido analizadas en
particular, posiciones típicas que podían usarse para reducir el problema de
N países a un problema de un número menor de ellos. En 1977, Appel y
Haken consiguieron demostrar que bastaba considerar un número finito de
configuraciones específicas para tener la seguridad de que con cuatro
colores era posible colorear cualquier configuración. Sin embargo, ante el
hecho de que con un número de configuraciones superior a 2000, era
imposible estudiar todos los casos uno a uno, se tuvo que recurrir a un
ordenador adecuado que ocasionó un trabajo gigantesco, que no parece
guardar proporción con el trabajo final.
Se acabó por confiar en que quizás más adelante se descubra otro método
que permitiera hacer una demostración de amplitud más razonable 72 .
Quizás se infrinja la noción de verdad matemática pero "no es posible trazar
una línea que permita separar tajantemente estos dos famosos ejemplos de
los teoremas y demostraciones típicas que se vienen publicando en las
revistas matemáticas 73 .
Una última reflexión:
Hasta los tiempos actuales, el futuro de las matemáticas nunca ha sido tan
prometedor. La historia nos ha enseñado que surgirán nuevas crisis, pero sin
lugar a dudas, los matemáticos seguirán luchando, cualesquiera que sean las
dificultades, los problemas y las divergencias que entre ellos se presenten,
con el firme objetivo de superarlas. Ya dejó dicho Descartes: Perseveraré
hasta encontrar algo que sea cierto, o al menos hasta que tenga por cierto
que nada es cierto.
72
73
J. Dieudonné, ibid.
P. Davis y R. Hersh, ibid, p. 390.
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