Aspectos históricos de la matemática

              ASPECTOS HISTÓRICOS DE LAS MATEMÁTICAS
Manuel Valdivia
Departamento de Análisis Matemático
Facultad de Matemáticas
Universidad de Valencia
Excelentísimo señor Presidente de la Academia Canaria de Ciencias, Ilustrísimos
señores académicos,
Señoras y Señores:
En primer lugar, quiero agradecer sincera y profundamente a los ilustres miembros
de esta Academia el gran honor que tan generosamente me han concedido al
designarme para académico correspondiente.
A continuación paso al objeto tema del discurso. Aunque el origen de las
matemáticas está en civilizaciones muy antiguas como, por ejemplo, la sumería y la
egipcia, puede decirse que se organiza como una disciplina estrictamente racional en
la época clásica de los griegos, es decir, desde el año 600 al 300 antes de Cristo. Las
matemáticas en Grecia están muy ligadas a la filosofía, sobre todo en Platón. Hasta
ellos, los conocimientos en esta materia tenían carácter rudimentario, pero la
estructuración como ciencia fue griega, así como la introducción del arte de la
demostración.
El gran monumento del intelecto griego se titula Elementos de Euclides, y ocupa
uno de los primeros lugares entre los libros que se han escrito a lo largo de todos los
tiempos. La base de nuestras matemáticas, puede decirse, sin ninguna duda, que se
encuentra en los Elementos de Euclides.
Euclides fue director del famoso Museo de Alejandría en la época en que Egipto
estaba gobernado por Ptolomeo primero. Publicó su obra matemática, posteriormente
llamada Elementos de Euclides, a la edad de 30 años, en el año 300 antes de Cristo.
En los elementos se inicia el método axiomático que tanta importancia y
repercusión ha tenido y tiene en la llamada matemática moderna. Puede decirse que
Euclides fue el sistematizador de casi todos los resultados matemáticos conocidos en
su tiempo, ordenándolos de una forma magistral en un sistema deductivo,
demostrando a partir de pocas propiedades geométricas simples, evidentes por sí
mismas y que no necesitan pruebas, según el espíritu de la época, todas las demás
propiedades geométricas como consecuencia lógica de las primeras.
Los Elementos de Euclides están formados por trece libros, tres de los cuales
contienen la aritmética y los diez restantes se dedican a la geometría. Se recogen en
ellos muchas investigaciones matemáticas de los pitagóricos de los siglos V y IV antes
de Cristo, como las de Hipócrates de Quíos, Eudoxo de Cnido y Taetetus.
Al principio los griegos creían que si se tienen dos segmentos rectilíneos, existe
un tercer segmento que tomado como unidad de medida, el primer segmento lo tiene
un número entero de veces, y el segundo segmento, también un número entero de
veces, o, en un lenguaje posterior, si se tienen dos segmentos y se toma uno de ellos
como unidad, la medida del otro es un número racional. Esto se expresa de otra
manera afirmando que dos segmentos cualesquiera son conmensurables.
El primero que descubrió que esta creencia era falsa fue un pitagórico del siglo V
antes de Cristo, Hipassus de Metaponto. La escuela pitagórica, fundada por Pitágoras
en el siglo VI antes de Cristo, en Crotona, en el sur de Italia, en la llamada entonces
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Magna Grecia, era algo más que una sociedad dedicada a la filosofia y a la
matemática. Los bienes materiales eran comunes a la sociedad y también los
descubrimientos científicos. Solía mezclar Pitágoras el misticismo con la ciencia; él
creía en la inmortalidad del alma y en la transmigración, quizá concebida ésta como
un castigo al verse obligada el alma a vivir varias vidas, pasando de una persona a
otra. Por esta razón afirmaba que la purificación más grande se obtiene dedicándose a
la ciencia desinteresada, y el hombre que así lo hace puede de una forma más eficaz
librarse de la rueda del nacimiento.
Pues bien, un símbolo de la escuela pitagórica era el pentágono regular. Aún en la
astrología medieval se conservaba la potencia mágica del pentágono. Según la leyenda,
Fausto lo utilizó para exorcizar a Mefistófeles. Parece que Hipassus, trabajando sobre
el símbolo, encontró que el lado y la diagonal de un pentágono regular son dos
segmentos inconmensurables, es decir, que si se toma uno de ellos como unidad, el
otro no tiene medida racional. Esto obligaba a ampliar el conjunto de los números
racionales añadiéndoles los irracionales, o sea, las medidas entre segmentos
inconmensurables, y constituir así los números reales. Este descubrimiento causó
una verdadera crisis intelectual y filosófica. Según la leyenda, el descubrimiento
despertó la cólera de los dioses. También produjo un gran impacto en la escuela
pitagórica, ya que ponía en cuestión su filosofia que afirmaba que los números enteros
constituyen la esencia de todas las cosas.
Otro matemático pitagórico, Eudoxo de Cnido, que vivió del año 400 al 347
antes de Cristo, desarrolló una teoría geométrica para el estudio de los números reales
contenida en el libro V de los Elementos de Euclides. Esta teoría fue perfeccionada en
el siglo XI por el poeta y matemático persa Ornar Kayyan, autor de la colección de
poemas Las Rubaiatas. La exposición de Eudoxo es de una perfección lógica
extraordinaria, precursora de la matemática rigurosa del siglo XIX y, en especial, de la
teoría de las cortaduras para la construcción de los números reales, introducida por el
matemático alemán Dedekind, y que expresa nuestra intuición geométrica del
continuo. Eudoxo fue discípulo del también pitagórico Arquitas de Tarento, que vivió
del 440 al 360 antes de Cristo, digno predecesor de Arquímedes, que aplicó la
geometría a la mecánica construyendo mecanismos análogos a los que más tarde
sirvieron a Arquímedes para la defensa de Siracusa. Todos los griegos posteriores que
tuvieron voz en matemáticas fueron directa, o indirectamente, discípulos suyos.
A continuación voy a referirme al famoso número n. Si se mide la longitud de una
circunferencia y el resultado se divide por la longitud de su diámetro, se obtiene un
número que no depende del tamaño de la circunferencia. A este número se le ha
representado desde los tiempos de Euler (año 1737) por la letra griega 7t. Como
consecuencia de su: definición, resulta que la longitud de una circunferencia
cualquiera es el producto de 7t por dos veces su radio. También resulta que el área del
círculo es igual a 7t por el cuadrado del radio. Respecto a las aproximaciones de n, en
la Biblia, en el libro de los Reyes, se utiliza el número 3. Este valor también lo usaban
los babilonios. En Egipto, en los escritos de aritmética de Ahmes del año 1900 antes
de Cristo, se utiliza 3'16 como aproximación del número n, pero no se dice cómo se
llega a dicho resultado. Esta aproximación es sorprendente para aquellos tiempos.
Arquímedes se ocupó también del número n. Arquímedes, el mayor matemático de
la antigüedad, nació en Siracusa, en Sicilia, en el año 287 antes de Cristo. Era hijo de
un astrónomo y, durante su juventud, visitó Alejandría en donde trabajó con los
sucesores de Euclides. Arquímedes se ocupó del cálculo de áreas y volúmenes de
diversas figuras geométricas por un método llamado de exhaución, que es el origen del
cálculo integral moderno. En mecánica, es el fundador de la hidrostática, que estudia
el equilibrio de los cuerpos que flotan en el agua. Calculó también diversos centros de
gravedad de figuras planas y de figuras sólidas. Construyó un planetario, inventó una
bomba para elevar el agua, la famosa hélice de Arquímedes, dio teoremas sobre la
palanca y la utilizó para levantar grandes pesos, y, para botar Úna galera del rey
Hierón de Siracusa, usó poleas compuestas. Una de las historias sobre Arquímedes se
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refiere a la invención de catapultas e ingenios militares para la defensa de Siracusa de
los ataques romanos. Respecto al número n, fue el primero en dar cotas inferiores y
cotas superiores mediante la construcción de polígonos regulares inscritos o
circunscritos a la misma. No se ocupó de calcular más de dos cifras exactas de n. Fue
Apolonio quien utilizó el método de Arquímedes para dar como aproximación 3'1416.
Hubo que esperar hasta el siglo XVI en el que un matemático holandés, Ludolph van
Ceulen, calculó el número n con 35 cifras decimales. Por esta razón, a partir de
entonces, algunos matemáticos llamaron al número 7t número de Ludolph.
He de citar un caso curioso. Fue en los Estados Unidos, en Indiana, en el año 1897.
Intervinieron los políticos y propusieron dos valores para el número n, 4 y 3'2, que en
lo sucesivo serían aplicados. El Senado de Indiana aplazó la adopción de esta medida.
Afortunadamente para los ciudadanos de Indiana y para el número 7t este
aplazamiento continúa.
Voy a referirme ahora a la irracionalidad del número n. Para ello he de hablar antes
de la cuadratura del círculo, que es un problema clásico griego, históricamente muy
importante y que consiste en lo siguiente: dado un círculo en un plano, construir a
partir de él, y utilizando únicamente la regla y el compás, un cuadrado cuya área
coincida con el área del círculo. Por otra parte sabemos que el área del círculo es el
producto de n por su radio al cuadrado. Por tanto, si tomamos como unidad de
medida la longitud del radio del drculo, el área del círculo será entonces igual a 7t y,
en consecuencia, el lado de dicho cuadrado tendrá como longitud la raíz cuadrada de
n. Se deduce de lo anterior que el problema de la cuadratura del círculo consiste en lo
siguiente: dado un segmento unidad, construir a partir de él, con regla y compás, otro
segmento cuya longitud sea igual a la raíz cuadrada de n.
Los primeros intentos para conseguir la cuadratura del círculo se localizan en
Grecia, en la Atenas del Siglo V antes de Cristo, el siglo de Pericles. La primera
persona importante que se ocupó de este problema fue Anaxágoras, un filósofo jónico
amigo de Pericles. Anaxágoras nació en Clazómenas, en el año 500 antes de Cristo
aproximadamente, pero pasó treinta años en Atenas. Fue el primero que introdujo la
filosofia en Atenas. Pericles, que estaba muy interesado en aumentar el nivel cultural
de sus conciudadanos fue el que indujo a Anaxágoras a ir a Atenas. En esta época,
Atenas era rica y poderosa, y tenía una constitución democrática que estaba
administrada por los aristócratas. Pronto surgió una oposición que con el tiempo,
cuando Pericles envejeció, empezó una campaña contra él y atacó a sus amigos. A
Fidias, el célebre escultor, se le acusó de malversar el oro con el que adornaba sus
estatuas. Dieron una ley apoyando las denuncias de los que no practicaban la religión,
y con esta ley en la mano, lograron encarcelar a Anaxágoras. Pericles le sacó de
prisión y le ayudó a abandonar Atenas. Volvió a Jonia y fundó allí una escuela de
filosofia. Parece que Anaxágoras, mientras estuvo encarcelado en Atenas, trabajó en el
problema de la cuadratura del círculo.
Después llegaron tiempos peores para Atenas y para Pericles. Se acabaron los días
de progreso, paz y riqueza. En el año 431 antes de Cristo estalló la guerra del
Peloponeso. Apareció en el año 430 antes de Cristo, la peste, que redujo drásticamente
la población ateniense, que entonces era de unos 230000 habitantes. En el mismo
año, Pericles fue destituido de su puesto de general por malversación de fondos
públicos, aunque muy pronto fue rehabilitado. Sus dos hijos murieron de la peste, y él
mismo falleció al año siguiente.
En el siglo de Pericles, algunas personas en Atenas tenían verdadera obsesión por
el problema de la cuadratura del círculo. Esto motivó que Aristófanes, el célebre
comediógrafo griego, que tan dado era a la burla, escribiera sobre la necesidad de
hacer la cuadratura del mundo. A partir de entonces y durante más de dos mil años,
se ha empleado, por numerosos matemáticos, un inmenso caudal de energia para
encontrar una respuesta satisfactoria al problema.
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Aristóteles, en el siglo N antes de Cristo afirmaba lo siguiente: si se tienen dos
segmentos, uno de los cuales sea el diámetro de una circunferencia y el otro la
circunferencia rectificada, entonces dichos segmentos son inconmensurables.
¿Por qué Aristóteles hacía esta afirmación? Probablemente por la influencia del
problema de la cuadratura del círculo que nadie era capaz de resolver. Sin embargo, si
se admite la conmensurabilidad de dichos segmentos, un razonamiento elemental
permite cuadrar el círculo.
La afirmación de Aristóteles equivale a decir que él numero 7t es irracional. Como
Aristóteles no dio prueba de ello quedó planteado en el siglo N antes de Cristo el
siguiente problema: ¿ Es el número 7t un número racional? A pesar de los numerosos
. esfuerzos para conseguir una respuesta, pasaron siglos hasta alcanzar la solución.
Fue, precisamente, en el año 1766, por el matemático alsaciano Lambert, que en un
breve manual sobre la cuadratura del círculo demostró que el número 7t es irracional.
Lambert, que era autodidacta, fue miembro de la academia de Berlín. La prueba de
Lambert se basa en el desarrollo en fracción continua de tag x. No obstante la prueba
de Lambert no es completamente rigurosa pues utiliza, sin prueba, un lema sobre la
irracionalidad de ciertas fracciones continuas infinitas. Este lema fue demostrado
después por el matemático francés Legendre, en el año 1806. Lo publicó en la sexta
edición de su famoso libro Elementos de Geometría.
Si consideramos una ecuación de primer grado, b x + e = o , siendo b y e números
enteros, b diferente de cero, tiene como raíz - e/ b que es un número racional. Por otra
parte, dado un número racional p/ q , q · =i= o , se tiene que este número es raíz de
una ecuación de primer grado con coeficientes enteros, precisamente la ecuación
p x - q = o. Entonces, la respuesta de Lambert de que el número 7t es irracional, puede
enunciarse de la siguiente forma: el número 7t no es raíz de una ecuación de primer
grado con coeficientes enteros.
Este enunciado tan simple permitió a Legendre, en el año 1806, hacer la siguiente
conjetura: el número 7t no es raíz de una ecuación algebraica con coeficientes enteros.
La conjetura anterior planteaba un nuevo problema en matemáticas que es el
siguiente: ¿ Hay números reales o complejos que no sean raíces de ecuaciones
algebraicas con coeficientes enteros?
Para encontrar una respuesta, no hubo necesidad de esperar tanto como en el caso
de la irracionalidad del número n, que fue desde Aristóteles hasta Lambert. No
obstante, fueron bastantes años de espera, 38 años exactamente. Un matemático
francés, Joseph Liouville, en 1844, construyó una infinidad no numerable de números
reales que no son raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros. Estos son
los famosos números de Liouuille. A partir de entonces, los números complejos
quedaron clasificados en dos conjuntos no vacíos, los números algebraicos, que son
aquellos que son raíces de alguna ecuación algebraica con coeficientes enteros, y
aquellos otros que no lo son, los llamados números trascendentes.
Con este lenguaje, el problema que surge con Legendre puede enunciarse de la
siguiente forma: ¿Es el número 7t trascendente?
Una demostración breve de la existencia de números trascendentes se debe al
matemático alemán Cantor y se basa en comprobar primero que los números
algebraicos forman un conjunto numerable, es decir, un conjunto cuyos elementos se
pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales, mientras los
números complejos no constituyen un conjunto numerable. La prueba de Cantor,
aunque breve, tiene menos valor que la de Liouville, pues Cantor sólo prueba la
existencia de números trascendentes mientras que Liouville construye efectivamente
muchos números trascendentes.
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En el año 1873, un matemático francés, Hermite, publicó un famoso artículo sobre
la función exponencial en el cual demuestra que el número e, base de los logaritmos
neperianos, es trascendente. Hermite, que es muy conocido en matemática elemental
por sl\.i método de cálculo de primitivas, era un gran matemático y un magnífico
profesor. El matemático Painlevé se refiere a él con estas palabras: • los que han
tenido la dicha de ser alumnos del gran geómetra no pueden olvidar el tinte casi
religioso de sus enseñanzas, el estremecimiento de belleza o de misterio que hacia
correr a través de su auditorio ante algún admirable descubrimiento o ante lo
desconocido".
Hermite pensaba que el método que había utilizado para demostrar la
trascendencia del número e no era lo suficientemente potente para conseguir lo mismo
con el número n: . Sin embargo, no fue así, pues, en el año 1882, Lindemann, un
matemático alemán, logró probar con las mismas técnicas de Hermite, que el número
n: es trascendente.
El trabajo de Lindemann es muy importante por su relación con el problema de la
cuadratura del drculo como vamos a ver. Con la regla y el compás, podemos construir
dos rectas perpendiculares que tomamos como ejes. Si elegimos como unidad el radio
del círculo que queremos cuadrar, es posible obtener con los instrumentos citados
cualquier punto del plano cuyas coordenadas sean racionales, es decir, el plano
racional. Nos apoyamos ahora en este plano. uis operaciones que podemos realizar
son las siguientes:
l. Unir dos puntos del plano racional por una recta. Entonces se obtiene una recta
racional, es decir, una recta cuya ecuación tiene coeficientes racionales.
2. Hallar la intersección de dos rectas racionales no paralelas, que será un punto de
coordenadas racionales.
3. Trazar una circunferencia de centro un punto de coordenadas racionales y que
pase por otro punto de la misma clase. Así se obtiene una circunferencia cuya
ecuación tiene sus coeficientes racionales y que vamos a llamar racional.
4. Hallar la intersección de dos circunferencias racionales o bien la intersección de
una circunferencia racional y de una recta racional. Entonces obtendriamos
puntos de la forma a + i1b en donde a y b son racionales, es decir, puntos
cuyas coordenadas pertenecen a la ampliación del cuerpo de los números
racionales mediante la adjunción de la raíz cuadrada de un número racional. Nos
apoyamos ahora en el plano cuyos puntos tienen como coordenadas, elementos del
anterior cuerpo ampliado. Si la cuadratura del círculo fuera posible, llegariamos
después de un número finito de operaciones a obtener un punto en el eje OX cuya
abscisa fuera la raíz cuadrada de n:, es decir, el lado del cuadrado cuya área es
igual a la del círculo. Por las ampliaciones sucesivas que vamos haciendo, es fácil
de probar entonces que raíz cuadrada de n: es raíz de una ecuación algebraica con
coeficientes enteros y, por tanto, n: es raíz de una ecuación algebraica con
coeficientes enteros, lo cual esta en contra del teorema de Lindemann. Con esto,
después de más de dos mil años de trabajo, el problema de la cuadratura del
drculo quedaba definitivamente resuelto, alcanzándose el siguiente enunciado: la
cuadratura del círculo, con regla y compás, es imposible.
Es curioso que problemas sobre los números trascendentes, de enunciado
extremadamente simple, permanezcan abiertos, así, por ejemplo, con los números e y
n:_si hallan la suma y el producto se obtienen dos números de los cuales se sabe que
por lo menos uno es trascendente, pero no se sabe cuál de ellos es.
Los trabajos de Hermite y Lindemann fueron simplificados por Weierstrass en el
año 1885, y a su vez las pruebas de los resultados de Weierstrass fueron simplificados
en el año 1893 por Hilbert, Huiwitz y Gordan. El teorema de Weierstrass es más
general que el de Lindemann y, como consecuencia de él se obtiene, por ejemplo, que
el seno de un número entero diferente de cero, o bien el coseno o la tangente, son
números trascendentes.
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En París, en el año 1900, se celebró un congreso internacional de matemáticas. En
él, David Hilbert propuso una famosa lista de 23 problemas. El problema número siete
se refería a los números trascendentes y preguntaba lo siguiente: Si a es un número
algebraico diferente de O y de 1, y ~es un número algebraico irracional ¿ es al3 un
número trascendente?
El primer avance significativo sobre la resolución de este problema lo hizo un
matemático ruso, Gelfond, en el año 1929, que demostró que si a es un número
algebraico diferente de O y de 1, y f3es un número algebraico irracional cuadrático
imaginario, es decir, un número imaginario raíz de una ecuación de segundo grado
con coeficientes enteros, entonces ª13 es trascendente. En particulru:_¡se obtiene de
aquí que e 7t es trascendente, pues este se escribe en la forma (-1) que es una
potencia de -1, que es un número algebraico diferente de O y de 1, y el exponente
es -i que es un irracional cuadrático imaginario. En el año 1930, otro matemático
ruso, Kuzmin, obtuvo un resultado análogo al de Gelfond, pero para irracionales
cuadráticos reales en vez de para irracionales cuadráticos imaginarios. Para las
demostraciones de ambos resultados se utiliza una técnica de interpolación debida a
Gelfond. Finalmente, en el año 1934, se alcanzó un gran éxito al resolver el problema
de Hilbert en toda generalidad, esto lo consiguieron, independientemente, el mismo
Gelfond y el matemático alemán Schneíder.
Este problema y su solución dieron lugar después al desarrollo de la rama de la
matemática conocida como Teoría de los números trascendentes en donde se han
conseguido profundos y bellos teoremas.
Quizá sea el momento de decir algunas palabras sobre el famoso matemático David
Hilbert. Hilbert, alemán, nació en Konigsberg en el año 1862. Estudió en la
Universidad de su ciudad natal de 1880 a 1884. Después enseño en esta Universidad.
En el año 1885, Hilbert conoció a Felix Kleín, en Leipzig, el cual apreció tanto la valía
de Hilbert que le envió a París con Poincaré, del cual recibió un curso sobre teoría del
potencial y mecánica de fluidos. En París se puso en contacto con Picard y con
Hermite, y fue precisamente Hermite quien le descubrió el famoso problema de los
invariantes del que, en aquel tiempo, Gordan, en Erlangen, buscaba su solución.
Después de su habilitación, Hilbert, aconsejado por Lindermann y por Hermite, fue
a Erlangen a escuchar a Gordan, el cual quería demostrar, sin haber conseguido nada
hasta entonces, que todo sistema de invariantes tiene una base finita. Fue Hilbert,
después, en el año 1888, quien demostró con toda generalidad la existencia de dicha
base. Su prueba no era constructiva, sino por reducción al absurdo, por lo que recibió
ataques muy duros de varios matemáticos, sobre todo de Kronecker y de Gordan. La
respuesta de Hilbert a sus detractores fue, en el año 1892, dar una prueba
constructiva del teorema de la base finita.
El estudio detallado de la geometría llevó a algunos matemáticos del siglo XIX a un
análisis profundo y exhaustivo de los fundamentos. El principal artífice fue David
Hilbert que en el año 1899 publicó su famosa obra Fundamentos de Geometría. Por
supuesto que antes de la obra de Hilbert, se publicaron importantes trabajos sobre las
bases de geometria, como los de Meray, Pasch, Peano, Veronese y Enriques, pero fue
Hilbert quien acertó con un sistema axiomático que ha quedado definitivo,
demostrando además la independencia y consistencia de los axiomas reduciendo la
geometría a la aritmética. Puso de manifiesto Hilbert que si en aritmética no se
alcanza contradicción tampoco se llega a contradicción en geometría.
A raíz del artículo de Fredholm sobre ecuaciones integrales, Hilbert desarrolló su
teoría de las formas cuadráticas con un número infinito de variables, y también la
teoría espectral. Definió el espacio de sucesiones de cuadrado sumable e interpretó las
ecuaciones integrales como transformaciones lineales continuas en este espacio,
estableciendo la equivalencia de una ecuación integral y un sistema lineal de infinitas
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ecuaciones con infinitas incógnitas. Hizo el desarrollo de una función con respecto a
un sistema ortonormal complt'to e introdujo lo que después se llamaría espacio de
Hilber1. Todos estos resultados los agrupó en un libro que publicó en el año 1912. La
ª"iomatica de los espacios de Hilber1 fue introducida después por el matemático
hú.ngaro Von Neumann para espacios separables, y por el también matemático
hú.ngaro F.Riesz para el caso general.
A partir de entonces, los espacios de Hilber1 han sido una herramienta habitual en
la Fisica matemática. Estos espacios y la teoría de las ecuaciones integrales han
sef\"ido para fundamentar matematicamente la Mecánica Cuántica tal como lo hizo
Von Neumann en el año 1927.
Refiriéndome ahora a la actividad de Hilbert como profesor, he de decir que Felix
Klein, en el año 1895, convenció a Hilbert para que aceptara un puesto de profesor en
Gotinga sustituyendo a Weber, que había sido nombrado profesor en Estrasburgo.
Hilbert aceptó el puesto y ocupó una cátedra en Gotinga desde el año 1895 hasta su
jubilación.
En estos años, Hilbert se convirtió en uno de los matemáticos de más prestigio en
el mundo, igualando al mismo Poincaré. Hilbert fundó una escuela en Gotinga que
ejerció una gran influencia científica, recibiendo estudiantes de Francia, Italia, Rusia,
Estados Unidos, Japón, etc ... Minkowski escribió: una estancia en Gotinga infunde el
deseo de hacer grandes cosas.
Ligados a Gotinga figurarán matemáticos como Minkowski, Runge, Hermann Weyl,
Born, Zermelo, Van der Waerden, Landau y Emmy Noether. A la Noether siempre la
defendió Hilbert enérgicamente frente a leyes vigentes en Alemania que impedían a las
mujeres ocupar puestos de enseñanza superior.
Con tantos y tan buenos discipulos, Hilbert y su escuela realizaron un enorme
trabajo en diversas ramas de las matemáticas. Así, por ejemplo, Noether, Artin y Van
der Waerde, desarrollarán el álgebra moderna. Born creará, con Pauli y Heisenberg, la
mecánica cuántica. Bernays, Ackermann, Gentze y el mismo Hilbert investigarán en
lógica, con trabajos que servirán de punto de partida al francés Herbrand, al austriaco
GOdel y al polaco Tarski.
Entre los años 1920 a 1933 serán muchos los matemáticos, lógicos, físicos y
filósofos que visitarán Gotinga convertida por Hilbert en el santuario sagrado del
pensamiento puro.
Después, en Alemania, aparecieron los nazis, que se hicieron con el poder.
Comenzó la persecución de los judíos y muchos matemáticos de Gotinga tuvieron que
huir, o sencillamente se marcharon, como, por ejemplo, la Noether, Courant, Born,
Hermann Weyl, etc ...
Años después, un ministro nazi de Educación preguntó a Hilbert cómo iban las
matemáticas en Gotinga una vez eliminada la influencia judía. Hilbert le respondió: en
Gotinga ya no hay matemáticas.
Refiriéndome ahora a la naturaleza de los entes matemáticos he de decir que
tienen carácter exacto, cosa que no sucede con los objetos sensibles, pues, por
ejemplo, una recta que se dibuje, por muy perfecta que sea la regla utilizada,
aparecerá con irregularidades, de aquí que los pítagoricos llegaran ya a la conclusión
de que el razonamiento matemático se hace sobre objetos ideales cuya realidad es
eterna, y que de todas las actividades humanas, la intelectual es la más noble. Un
paso más para alcanzar el resultado de que los entes matemáticos son pensamientos
de Dios, de aquí que la afirmación posterior de Platón de que Dios es un geómetra esté
perfectamente justificada. Por otra parte, Platón va mucho más lejos inventando su
conocida teoría de las ideas, cuyo carácter general tiene mayor amplitud que las
matemáticas.
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La obra de Platón es muy importante y la lectura de sus diálogos resulta deliciosa.
Esto sucede con todos los escritos de Platón, salvó quizás con el dialogo más largo: La
República. En este último se expone una teoría política de carácter totalitario,
inspirada por la organización y gobierno de Esparta; es probable, como opina Bertrand
Russell en su Historia de la Filosofia Occidental, que la democracia no le resultara
agradable a Platón, pues la democracia había condenado a muerte a Sócrates, su
maestro, por el que sentía una inmensa admiración y un profundo respeto.
No obstante, la República, del libro V al VII se ocupa también de cuestiones de
filosofia pura y, en particular, de la teoría de las ideas o fonnas. En lo que se refiere a
las matemáticas esta teoría viene a decir que, por ejemplo, el círculo significa un
círculo ideal, creado por Dios y único. Entonces, los entes matemáticos existen
realmente en alguna parte. Diríamos nosotros, para entendernos, que existen en el
cielo platónico. Han sido muchos los matemáticos que han participado de este
pensamiento y, entre ellos, se encuentra el lógico más importante de todos los
tiempos, Kurt Godel, del cual me voy a ocupar a continuación.
Godel nació en Brün, Moravia, en el año 1906, y fue bautizado en una
congregación luterana alemana de su ciudad natal. Fue muy religioso y, a lo largo de
su vida, nunca perdió la fe en Dios. En el año 1924, ingresó en la Universidad de
Viena con la intención de graduarse en Física, pero al recibir clases del matemático
Philip Furtwangler, especialista en teoría de números, quedó tan impresionado que
cambió la fisica por la matemática.
Un maestro de Godel, Hans Hahn, cuyo nombre va unido al de Stephan Banach en
el llamado teorema de Hahn-Banach, dio a conocer a Godel el famoso Círculo de Viena,
entre cuyos componentes había científicos relevantes, como el mismo Hahn. En el año
1926, cuando Godel se incorporó a este grupo, se reunían en un seminario de la
Facultad de Matemáticas de la Universidad de Viena. Allí se dedicaban a construir
una filosofia de la ciencia que se conoce ahora como "positivismo lógico~, y que
sostiene que una afirmación para que tenga sentido ha de ser verificable por la
experiencia fisica. Como consecuencia de esto, el primer concepto que hicieron
desaparecer fue el de Dios. Godel, que se sentía muy atraído por este grupo, sobre
todo al percibir que las personas que lo componían sabían perfectamente cuáles eran
las cuestiones básicas, no podía aceptar sus teorías, pues ya había tomado una
postura platónica hacia las matemáticas, tenía el convencimiento de que los números
y, en general, todos los conceptos matemáticos eran tan reales como cualquier cosa de
este mundo. Años mas tarde, Godel confesó que su platonismo le había ayudado
mucho a conseguir su teorema sobre la incompletitud de la aritmética, y de otros
resultados en el campo de la lógica matemática.
En matemáticas, un sistema axiomático se dice que es incompleto cuando existe
algún enunciado que tiene sentido en la teoría deducida de dicho sistema y que es
indecidible, es decir, que su verdad o falsedad no se pueden demostrar a partir de los
axiomas, así, por ejemplo, el sistema de axiomas de la llamada geometría absoluta es
incompleto, pues no se puede demostrar a partir de dichos axiomas si es verdadero o
falso lo siguiente: en un plano, por un punto exterior a: una recta se puede trazar una
única paralela a ella. Es natural preguntarse, pues; si el sistema de axiomas de
Hilbert, los cuales dan. lugar a la geometría euclídea, es incompleto o no. La respuesta
es una consecuencia del famoso teorema de incompletitud de la aritmética, publicado
por Godel en 1930, en donde prueba que todo sistema de axiomas que contenga a la
aritmética elemental es incompleto.
Godel, en el año 1933, estuvo en los Estados Unidos invitado por Oswald Veblen y
dio una serie de conferencias, durante un semestre, en el Instituto de Estudios
Avanzados de Princeton. Después estuvo en Nueva York, y ·también en Washington,
explicando sus investigaciones. En el año 1934, retornó a Viena y, afectado de una
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depresión , tuvo que ingresar en el Sanatorium Westand. Tenia entonces 28 años y
parece ser que se había enamorado de Adele Nimbrusky, bailarina de un club
nocturno de Viena, y quería casarse con ella. Como sus padres no se lo permitían y él
había sido educado en el respeto más estricto a las autoridades paterna y materna, lo
pasó bastante mal.
En el año 1935, Giidel estuvo de nuevo en Norteamérica, en el Instituto de
Estudios Avanzados de Princeton, donde pensaba trabajar una temporada, pero
cuando llevaba algo más efe un mes, empezó a sentirse deprimido y agobiado por el
trabajo. Entonces se volvió a Viena y durante el año 1936 estuvo ingresado varias
veces en sanatorios psiquiátricos. Fue en el año 1937 cuando pudo reanudar su
actividad docente e investigadora.
En el año 1939, los nazis hicieron algunas reformas en la universidad y, como
consecuencia, Giidel se quedó sin trabajo. Además, el ejército nazi le envió un aviso
comunicándole que tenía que someterse a un examen fisico. Entonces Giidel, a sus
treinta y dos años, hombre extremadamente tímido e introvertido, sin trabajo a pesar
de ser el lógico más importante de todos Jos tiempos, casado, pues por fin se había
casado con Adele, y con la perspectiva de verse convertido en soldado, se sintió
bastante mal. Para colmo, un detalle de poca importancia pero que le afectó, y es que
recibió una nota de la mujer de la limpieza donde figuraban el número de marcos que
debía recibir por su trabajo; al final de la nota ponía: ¡Heil Hitler ¡ El matrimonio
Giidel decidió entonces marcharse a los Estados Unidos. Creyeron que el viaje por el
Atlántico era peligroso y escogieron ir a través de Rusia, Siberia, llegando al Japón. En
Yokohama tomaron un barco que les llevó a San Francisco y partiendo de San
Francisco llegaron finalmente a Princeton. En el Instituto de Estudios Avanzados,
acogieron a Giidel con la misma hospitalidad de siempre y Je dieron un despacho junto
al despacho de Einstein. Entonces comenzó a sentirse a gusto, concentrado en su
trabajo de investigación y de espaldas al mundo. Estuvo como residente trece años y
después pasó a Ja categoría de profesor.
Aunque en el Instituto había algunos investigadores raros, parece ser que Giidel
era el más raro de todos. Cuenta el matemático americano Salomon Feferman que
Giidel estuvo a punto de no conseguir la ciudadanía americana. Para ser ciudadano
americano, había que estudiarse la Constitución de Jos Estados Unidos y sufrir
después de un examen oral. En el año 1948, Giidel se estudió la Constitución y
comunicó a su amigo Oskar Morgenstern que había encontrado contradicciones que
podían dar lugar, siguiendo estrictamente la ley, a que los Estados Unidos cayeran en
una dictadura. Morgenstern le aconsejo que no dijera nada de esto en el examen.
Por fin Giidel fue a examinarse a la ciudad de Trenton, y apareció en las oficinas
del gobierno acompañado de dos testigos, Einstein y Morgenstern. Parece que durante
todo el viaje de Princeton a Trenton, Einstein iba contando historias para distraer a
Giidel y evitar que se concentrara en los problemas lógicos de la Constitución
americana. Empezó el examen y dijo el funcionario: hasta ahora ha sido usted
ciudadano alemán; Godel le cortó rápidamente y dijo: yo no soy alemán, soy austriaco.
Bueno, bien, continuó el funcionario, de todas formas una dictadura siniestra, menos
mal que eso no puede pasar en América. Al contrario, dijo Giidel, yo sé perfectamente
que sí puede suceder. Entonces empezaron todos a ponerse nerviosos, intervinieron
Einstein y Morgenstern para tranquilizar a Giidel y por fin el examen fue reconducido
sin incidentes. Giidel aprobó y pudo jurar la Constitución como ciudadano de los
Estados Unidos.
Cuando Giidel ingresó en el Instituto de Estudios Avanzados, su trabajo más
importante se orientó hacia el problema del continuo. Cantor, matemático alemán,
desarrolló su teoría de los conjuntos infinitos entre los años 1874 a 1897.Cantor llegó a
su teoría mientras trabajaba en las series trigonométricas y, en particular, en las
series de Fourier, tema muy estudiado en el siglo XIX por sus aplicaciones a diversos
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problemas de la fisica. Al investigar Cantor el comportamiento de dichas series, se vio
obligado a analizar conjuntos muy generales de números reales y esto le llevó a su
aritmética transfinita. Una afirmación que hizo Cantor fue lo que se llamó después la
hipótesis del continuo y que tiene el siguiente enunciado: no existe un conjunto infinito
de números reales que no se pueda poner en correspondencia biunívoca con el
conjunto de los enteros positivos y que tampoco se pueda poner en correspondencia
biunívoca con el conjunto de los números reales. En otras palabras, no existe ningún
número cardinal estrictamente mayor que el aleph subcero, que es el cardinal del
conjunto de los números naturales, y estrictamente menor que el continuo, que es el
cardinal del conjunto de los números reales.
Durante más de medio siglo, muchos matemáticos abrigaron la creencia de que la
hipótesis del continuo era cierta y dedicaron ingentes esfuerzos para conseguir su
demostración. El mismo Cantor trabajó denodadamente en elfo. David Hilbert publicó
un artículo en Mathematishen Annalen en donde probaba que la hipótesis del continuo
era verdad, pero, unos meses más tarde se encontró que había un error en la
demostración.
Pues bien, fue Godel el primero que aportó un descubrimiento importantísimo
sobre la hipótesis del continuo. Demostró lo siguiente: si la axiomática de la teoria de
conjuntos es consistente, es decir, no conduce a contradicción, y se añade a ella, como
nuevo axioma la hipótesis del continuo, el nuevo sistema axiomático es también
consisten te.
Este descubrimiento de Godel no prueba que la hipótesis del continuo es cierta,
pero sí pone de manifiesto que es imposible demostrar que la hipótesis del continuo es
falsa.
Antes que Godel publicara el anterior resultado, se había utilizado la hipótesis del
continuo para obtener ejemplos y contraejemplos en matemáticas, en particular, en
Topología Conjuntista. 'rodas estas construcciones estaban en el aire amenazadas por
la posibilidad de que la hipótesis del continuo fuera falsa. Afortunadamente, Godel
vino a dar luz verde a dichas construcciones y, desde entonces, la hipótesis del
continuo se utiliza con toda tranquilidad.
La prueba de Godel del resultado citado consistió en construir un modelo de la
teoria de conjuntos en el que se cumplían los axiomas de Zermelo Fraenkel y, además,
la hipótesis del continuo.
En el Instituto; el mejor amigo de Godel era Einstein con el que solía pasear
frecuentemente. Einstein le interesó en la teoria de la relatividad general. Godel
investigó en ello y publicó en el año 1949 un articulo titulado •Ejemplo de un nuevo
tipo de soluciones cosmológicas de las ecuaciones de campo de gravitación de Einstein."
Godel trabajó en el Instituto como residente durante trece años, hasta el año 1953,
que fue ascendido a profesor. Algunos miembros del Instituto se quejaron por tanta
demora, Von Neumann decía: ¿cómo es posible que nosotros seamos profesores y
Godel no lo sea?. GOdel siguió trabajando en la hipótesis del continuo y, años más
tarde, tomó un ayudante, el joven matemático Co4en, con el que trabajó durante dos
años. Cohen, poco después de abandonar el Instituto, obtuvo, utilizando en parte
ideas de Godel, un resultado que le hizo famoso y que publicó en el año 1963.
Demostró lo siguiente: si la axiomática de la teoría de conjuntos es consistente y se le
añade, como nuevo axioma, la negación de la hipótesis del continuo, el nuevo sistema
axiomático también es consistente.
Se deduce de estos descubrimientos de GOdel y de Cohen que la hipótesis del
continuo, la cual tiene, obviamente, un claro significado matemático, pertenece a los
enunciados llamados indecidibles, es decir, que a partir de la axiomática usual de la
teoría de conjuntos nunca se podrá demostrar su verdad ni tampoco se podrá
demostrar su falsedad.
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(;ocle\. en los af10s St'tenta apenas hizo matemáticas. Se dedicaba a estudiar
filosofía. sobre todo a Leibniz y a Husserl. Tambi<'n kia mucho sobre teología y
religión. Adele. su mujer. Ir cuidaba mucho, y él no tomaba más alimentos que los que
le prt'parnba t>lla. put's tenia miedo a qut' lt' envenenaran. Al final de su vida estaba
deprimido porque pensaba haber decepcionado al Instituto con su trabajo. En el año
1977. Addt' tuvo qu<' ingresar t'll un hospital para someterse a una operación. Giidel
se quedo solo en casa. El matemático americano Hassler Whitney fue a visitarle a
linalrs de diciembre, y desde la misma casa de Giidel llamó enseguida al doctor
Rothberg para decirle que Giidel estaba deshidratado y en un estado preocupante.
Whitne~· le llevó al hospital y le ingresaron. Estuvo dos semanas en el hospital,
negándose a comer. Murió allí, sentado en una silla, el 14 de enero de 1978. El
certificado de defunción decía que había muerto por desnutrición e inanición, como
consecuencia de una perturbación de la personalidad.
Uno se asombra de que la mente más profunda de la lógica de nuestro siglo,
pudiera estar asediada por tantos problemas psíquicos. En fin, es la complejidad de la
naturaleza humana.
En los años 1893 y 1903, un brillante matemático y filósofo alemán, Frege, publicó
un trabajo en dos volúmenes en el que explica cómo se pueden construir las
matemáticas a partir de ciertos principios de lógica. Poco después de publicarse el
segundo volumen, Bertrand Russell comunicó a Frege una contradicción que se
deducía de los principios lógicos utilizados por éste. Dicha contradicción es la famosa
paradoja de Russell.
Antes de Russell, se habían detectado paradojas en la teoria de conjuntos por
Cantor mismo y por Burali-Forti, pero la paradoja de Russell, que por otra parte la
había encontrado también independientemente el matemático alemán Zerrnelo, es tan
directa y clara que no es extraño que causara en aquel tiempo una gran conmoción en
matemáticas. Parecía que el edificio construido por Cantor se tambaleaba. Para un
matemático, el vivir en una teoria en donde existen contradicciones es, por lo menos,
muy incómodo. Cuenta Fraenkel que alguien comunicó a David Hilbert su
preocupación por la existencia de las paradojas, la contestación de Hilbert fue
aproximadamente la siguiente: •cantor construyó con su teoría de conjuntos un
paraíso para los matemáticos, y no habrá nadie capaz de expulsarnos de él."
A continuación voy a explicar la paradoja de Russell. Existen dos clases de
conjuntos, los que tomados como elementos no pertenecen a sí mismos y aquellos
otros que tomados como elementos pertenecen a · sí mismos. Por ejemplo, si
consideramos el conjunto de todos los hombres, este conjunto, obviamente no es un
hombre, y en consecuencia, no pertenece a sí mismo. Por otra parte, el conjunto
formado por todos los conceptos matemáticos es un concepto matemático y, por tanto,
pertenece a sí mismo. Tenemos así clasificados los conjuntos en dos partes A y B que
son los siguientes: A es un conjunto cuyos elementos son conjunto que no pertenecen
a sí mismos, y 8 es un conjunto cuyos elementos son conjuntos que pertenecen a sí
mismos. Russell dice que la existencia del conjunto A encierra contradicción, y
argumenta de la siguiente forma: A es un conjunto y, por tanto, pueden suceder dos
cosas: 1 ª) A pertenece a A y 2ª) A no pertenece a A. En el primer caso, si A pertenece a
A, entonces A es un elemento de A, pero los elementos de A son conjunto que no
pertenecen a sí mismos y, en consecuencia, si A pertenece a A, entonces A no
pertenece a A. En el segundo caso, A no pertenece a A y, por tanto, pertenece a B,
pero los elementos de B son conjunto que pertenecen a sí mismos de aquí que A
pertenezca a A. Resumiendo, partiendo de A pertenece a A se deduce que A no
pertenece a A, y partiendo de A no pertenece a A, se llega a que A pertenece a A. Esta
contradicción es la paradoja de Rusell.
Uno de los conceptos más interesantes de la teoría de conjuntos es el axioma de
elección, que ha sido fuente de controversias apasionadas. Cantor preguntaba, para
poder concluir su aritmética transfinita de números ordinales, si a un conjunto
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cualquiera se le podría dar una ordenación de manera que resultara un conjunto bien
ordenado. Zermelo dio una respuesta positiva a esta pregunta, en el año 1905, y usó
en su demostración lo que después se ha llamado el axioma de elección, cuyo
enunciado es el siguiente: • dada una colección de conjuntos no vacíos, disjuntos dos
a dos, existe un conjunto que tiene precisamente un elemento de cada conjunto de la
colección.•
Este enunciado parece muy natural, pero si lo observamos con un poco más de
atención aparece una dificultad, y es que la colección puede ser infinita y, entonces,
en el mundo ordinario no tenemos ejemplos de esta situación. De hecho, la utilización
del axioma de elección ha permitido obtener algunas propiedades matemáticas que
ponen de manifiesto que una cosa es el mundo real y otra la matemática, y pueden ser
incluso, en algunos casos, extremadamente divergentes.
Como ejemplo de esto diré algunas palabras sobre la paradoja de Banach-Tarski.
En el año 1923, se publica un famoso artículo en la revista Fundamenta
Mathematicae del cual son autores dos matemáticos polacos: Stefan Banach y Alfred
Tarski. El teorema fundamental de este artículo es un resultado extraño si se
considera la matemática en relación con el mundo fisico. A dicho resultado se le
conoce como la paradoja de Banach-Tarski, y tiene un precedente teórico en una
descomposició.1 singular de la esfera, realizada por Hau!ldorff y recogida en su
conocido libro Mengenlehre, aparecido en Leipzig en el año 1914.
La paradoja de Banach-Tarski consiste en lo siguiente: se toma una unidad de
longitud y se considera una esfera de radio igual a la unidad. Entonces se puede
dividir la esfera en un número finito de partes, de manera que, desplazando algunas
de estas partes, se reconstruye una esfera de radio unidad, y con el resto de las
partes, sometiéndolas también a movimientos se puede formar otra esfera de radio
unidad. Es ·decir, que a partir de una esfera de radio uno, se obtiene, por este
mecanismo, dos esferas cada una de las cuales tiene radio uno. Esto es sorprendente
y extraño. En el año 1945, el matemático polaco Sierpinski, en un artículo publicado
en Fundamenta Mathematicae, descompone la esfera unidad en nueve partes, somete
a movimientos cinco de ellas y recompone una esfera de radio uno, y con las otras
cuatro partes, moviéndolas adecuadamente, se obtiene otra esfera de radio uno.
Robinson, en el año 1947, baja el número de partes de nueve a cinco, demostrando
además que con menos de cinco partes no se puede hacer la citada duplicación de la
esfera unidad.
Ante un resultado de esta naturaleza uno se queda perplejo. Para empezar, en el
mundo real no ocurren estas cosas. Es verdad que existe un precedente histórico: las
bodas de Canaá, donde Jesucristo multiplica los panes y los peces, pero este hecho
tiene carácter milagroso y, por tanto, no es significativo para la ciencia.
Los razonamientos de Banach y Tarski, Sierpinski y Robinson son perfectos,
correctísimos. Entonces que ha sucedido aquí. Si tratamos de buscar un responsable
y analizamos las demostraciones llegamos a la siguiente conclusión: el responsable es
el axioma de elección de Zermelo. Voy a hacer un análisis rápido para justificar esta
afirmación. En la geometría elemental, sabemos determinar los volúmenes de ciertas
figuras, como, por ejemplo, el cubo, la esfera, las distintas pirámides, etc ... Los
matemáticos han tratado de hallar a lo largo de la historia, no sólo por motivos
teóricos sino también por necesidades prácticas, volúmenes de figuras cada vez más
complicadas. Esto dio lugar a la ampliación del concepto de volumen, primero con el
concepto de contenido y, después, con la introducción de la idea de medida. El
matemático francés Lebesgue, a primeros de nuestro siglo, hizo una extraordinaria
teoría de la medida y de la integración para espacios euclídeos de cualquier
dimensión. La medida de Lebesgue asigna en el espacio a cada conjunto de una cierta
clase, la de los conjuntos medibles Lebesgue, un número, o bien más infinito, de
manera que las figuras elementales forman conjuntos medibles Lebesgue y sus
medidas coinciden con sus volúmenes. Por tanto, la medida de Lebesgue en el espacio
generaliza el concepto de volumen.
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Si se toma una esfera y se la somete a un desplazamiento, el volumen de la esfera
es el mismo en la posición inicial y en la posición final. Esta propiedad la tienen
también los conjuntos medibles Lebesgue, es decir, que si con un conjunto cualquiera
de estos se realiza un movimiento, el conjunto sigue siendo medible Lebesgue y su
medida no cambia. Los matemáticos suelen expresar esta propiedad diciendo que la
medida de Lebesgue es invariante para los movimientos.
Lebesgue, como hemos dicho, introdujo su medida a primeros de siglo y, a
continuación, muchos matemáticos se hicieron la siguiente pregunta: ¿habrá algún
conjunto en el espacio que no sea medible Lebesgue?. El primero que obtuvo una
respuesta a este problema fue el italiano Vitali que demostró la existencia de
conjuntos que no son medibles Lebesgue. La singularidad de· la prueba es que Vitali
utiliza el axioma de elección de Zennelo. A partir de aquí se han hecho grandes
esfuerzos para construir un conjunto no medible Lebesgue sin utilizar el axioma de
elección. Todo fue inútil. En ei° año 1972, un lógico matemático ruso, Solovay,
consiguió probar que es imposible construir un conjunto no medible Lebesgue sin
utilizar el axioma de elección.
Volvamos ahora al problema de la duplicación de la esfera unidad y analicemos la
partición más simple, la de Robinson. Este matemático divide la esfera unidad en
cinco partes. Somete a movimientos a tres de estas partes y construye con ellas una
esfera unidad, y con las otras dos partes, moviéndolas adecuadamente, obtiene otra
esfera unidad. Lo primero que observamos es que las cinco partes no pueden ser
medibles Lebesgue, porque de serlo, al moverlas seguirian conservando sus medidas y
entonces no sería posible hacer ningún tipo de duplicación. Por tarito, deben existir
partes que no sean medibles Lebesgue y, por el resultado de Solovay, para
construirlas hemos de utilizar necesariamente el axioma de elección.
Consecuentemente, sin el axioma de elección no es posible hacer la multiplicación de
las esferas. Se puede intuir ahora que si las partes en las que se dividen la esfera no
tienen volumen, al mover estas partes, no hay razón para que no puedan aparecer
fenómenos que choquen con lo que sucede en el mundo real.
Pese a que las matemáticas puedan alejarse mucho del mundo real, la mayor parte
de las veces se aproximan bastante y son un instrumento muy adecuado para el
estudio de las ciencias naturales. No obstante, aunque la ciencia alcance muchos
éxitos tiene también sus limitaciones. Personalmente pienso que Dios ha hecho un
mundo extremadamente más rico de lo que pueda abarcar nuestra ciencia. A este
respecto, recuerdo lo que dice Hamlet, en la famosa tragedia de Shakespeare,
dirigiéndose a Horado: • Hay más cosas en el cielo y en la tierra, Horado, de las que
pueda soñar tu filosofía."
Nada más. Muchas gracias por la atención que me han prestado.
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