Matemáticas y realidad : la importancia de una perspectiva histórica

              Rev . Acad . Canar.Cienc ., I X (Núm. 1), 193 - 204 (1997)
MATEMÁTICAS Y REALIDAD.
La importancia de una perspectiva histórica.'
Ana María Sánchez Quintana
Departamento de Análisis Matemático. Universidad de La Laguna.
••imaginaos una espeCU tk caverna con una larga entrada, donde unos hombres yacen mcalUtlados, de modo
que no conocen del exterior más que las sombras que se proyectan a través de la luz de unfuego.¿Creéis que
los que están ahi han vifto otra cosa que las sombras proyectadas por el fuego ,y están convencidos que ltu
sombras son rula?. Imaginaos que alguno de los 1ujno1 logra:ra escapar y salir tk la caverna.
La lu: del sol le dañaría lo, ojo, y le impedirla dútingwr lo, obje1o, rea/e, de lo, que mmca vio más que úu
sombras. ¿ Qué creW que contataria si ú dijera alguien, que anles no veía nada más que sombras que es
ahora clUUUW se encuentra más cerco de ID reali.dad?"
Platón
1'Quizá esté yo equillOCOdo y tú en lo cierto, qui:á con un esfuerzo a la verdad nos acerquemos"
Sir Karl Popper
"Si el ojo no fuera de nalUrale:.a solar, ¿cómo podríamos ver la lu:.?"
Goethe
Resumen: El objetivo del trabajo es mostrar cómo a través de la historia, las matemáticas adquieren para
nosotros nuevos significados y contenidos. Se analiza someramente su evolución en el tiempo, estrechamente
ligada a las concepciones filosóficas de cada momento. Gracias a esta perspectiva histórica podemos apreciar
que las matemáticas y la realidad material no representan mundos de índole absolutamente diferente, sino
representaciones que fluyen de una misma realidad con manifestaciones diferenciadas en distintas épocas.
1.INTRODUCCIÓN
Al empezar a trabajar en el mundo abstracto del Análisis Funcional tuve la sensación de estar ante un gran
edificio, el de la matemática pura, cuya estructura cerrada permitiera adelantar muy poco, condicionada por
su dificultad y por su construcción aparentemente acabada lo cual llevaría a considerar la conveniencia de
distinguir entre el aprendizaje de la ciencia y la actividad científica de crear. El aprendizaje de la misma suele
hacerse sistematizando, ignorando las motivaciones de los conceptos creados, su relación con otros temas de
la historia y la ciencia, dificultando con ello nuestra propia motivación. Es preferible considerar la ciencia como
algo más complejo que su mera sistematización.
Tal vez fuera el desconocimiento lo que me llevó a planteanne qué estaba haciendo con todos aquellos entes
abstractos y conceptos y cuál era su validez; preocupación que, por otro lado, siempre ha estado presente de
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alguna u otra forma en el desarrollo y evolución de cualquier actividad científica. Así me planteé la realidad
de las matemáticas y su naturaleza, más allá de un interés puramente pedagógico, e incluso más allá del ámbito
de lo que se entiende por ciencia normalmente.
Descubrí entonces que al construir la ciencia en general y las matemáticas en particular había unos
determinados supuestos filosóficos admitidos implícitamente, como axiomas de la actividad científica, que no se
ponían en duda ni era posible explicitar. Y no me refiero precisamente a aquellos axiomas que las distintas ramas
de la matemática utilizan como tales, sino a aquellos otros que forman parte de los presupuestos de su
construcción.
Una segunda sorpresa fué descubrir que la ciencia para mi tenía una gran carga emocional, que no era
objetiva, pues mientras que rechazaba de algún modo la realidad cotidiana, las matemáticas me parecían bellas.
Finalmente, la tercera sorpresa surgió al tomar conciencia de que, a menudo, los humanos confundimos la
realidad con aquello que está en nuestra · cabeza; no es demasiado difícil encontrar a alguien que exprese
tranquilamente, al referirse a una determinada realidad compleja, que aquello es algo simple. Sin embargo, lo
simple es el modelo que está en su cabeza, y a través del cual percibe esa realidad , pero no la realidad misma. Así
se puede oír a un físicalista que "todo es física", mientras que para sustentar su argumentación utiliza
fundamentalmente conceptos matemáticos. Y ello no significa poner en duda la validez de su enunciado y
muchísimo menos su perfecto derecho a considerar el mundo así.
Parece estar claro que observamos aquello que llamamos realidad a través de nuestra limitada cabeza humana,
dando palos de ciego sobre ella, porque la realidad siempre se nos escapa, siempre es mucho más compleja de lo
que podamos abordar, lo cual nos obliga a partir de la humildad , no desde la suficiencia.
Deseo aclarar que no me dedico ni a la historia ni a la filosofía y que soy consciente de que dada la amplitud
del tema, seria necesaria una mayor extensión, por lo que no pretendo una exposición terminada, sino exponer
algunas ideas sobre mi particular forma de ver el asunto que integre algunas experiencias de tipo intelectual .
Mi única pretensión es arrojar un poco de luz, pero fundamentalmente sembrar semillas de duda sobre lo que
estimo es razón del ser y de su evolución, que estimule la inquietud para seguir construyendo un edificio en el que
creo.
La Matemática, en particular, y la Ciencia en general, constituyen estructuras abiertas al intercambio con
el medio y jamás construcciones cerradas que, bajo la apariencia de perfección y acabado, signifiquen cerrazón
y muerte. Pues de ser así, estaría claro que nos encontraríamos ante la existencia de dos realidades de naturaleza
bien diferenciada: Matemáticas y Realidad.
2. QUÉ ES LA REALIDAD
Reflexionar sobre la realidad plantea serios problemas, pero se nos posibilita ampliar la perspectiva mirando
por encima de la ciencia actual y comprender qué llevó a los filósofos de la antigüedad a formular determinados
planteamientos, muchos de los cuales han confluido a la hora de precisar la ciencia. .
Sin divagar demasiado sobre la realidad e ilusiones ópticas, la consideración de las formas tan diferentes en
que las distintas especies perciben esa realidad, según sus necesidades, así como las concepciones de la química
física, nos ayudarán a damos cuenta del relativismo que subyace a lo que nos referimos como realidad.Sin
embargo, tampoco parece adecuado pensar que no existe algo o realidad ajena a nosotros, y fuera de nosotros,
como si todo fuera consecuencia de nuestro pensamiento, pues mucho me temo que la especie humana puede dejar
de existir y otras muchas seguirán existiendo, lo que supone admitir cierta independencia entre el pensamiento
y existencia.
En principio, tenemos dos realidades bien diferenciadas: la de dentro y la de afuera nosotros. Ambas son
paralelas o no, y sobre ello sólo a través del intercambio y de la experiencia se puede decidir. En la experiencia
encontramos la limitación de nuestros propios sentidos. Si limitado es el mundo del pensamiento, limitado es el
mundo de los sentidos, pero el primero nos ofrece al menos el consuelo de que podemos proyectarlo o ampliarlo
de alguna manera utilizando un recurso superior a aquellos que poseen los animales, llamado razón, que amplía
las posibilidades del mundo de los sentidos, aunque sin negarlas, despreciarlas o dejarlas de tener en cuenta, sino
abstrayendo a una realidad más general que posibilite ampliar la extmsión de la comunicación, con todo un mundo
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simbólico, del cual, (al menos a ese nivel) carecen los animales.
3. LAS MATEMÁTICAS: NATURALEZA, REALIDAD Y VALIDEZ
Me niego a aceptar que la experimentación y sus resultados sean la única razón de ser de las matemáticas, pero
también que nuestra propia cabeza sea un laboratorio donde trabajamos con unos entes de naturaleza propia e
independiente de la realidad y un cierto prueba y error como experimentación propia. De lo que no cabe duda,
aunque así fuera, es de que las matemáticas se distingue de la pura fantasía que pueda suponer cualquier otra
construcción mental pues realmente, recogen una estructura de la realidad o estructuras de aspectos de la realidad,
abstraída del tiempo y con una lógica determinada, que encaja con el funcionamiento de la misma.
Si nos centramos en la realidad de las matemáticas, conviene diferenciar entre su realidad, su verdad, y su
grado de verosimilitud. A veces se considera a las matemáticas vacías porque las matemáticas sin filosofía son
ciegas, lo mismo que la filosofía de las matemáticas, sin matemáticas vivas, resulta algo vacío."
La verosimilitud, utilizando la terminología de Popper, es distinta a la verdad. En este sentido, el enw1ciado
"todas las mesas son mesas" tiene bastante verdad y su probabilidad es uno, pero verosimilitud cero. La
verosimilitud hace referencia al grado de información, pero no debe confundirse con la validez empírica de un
teoría .
En lugar de considerar que la verdad es el objeto de la ciencia, se considera, más bien que su objeto es su
verosimilitud, su aproximación a la verdad.
La verosimilitud como contenido de infom1ación incluye, según Popper, el contenido de verdad, más el
contenido de falsedad, menos la probabilidad lógica. Se trata de un concepto más amplio que la exactitud, la
precisión, o la aplicabilidad y que, personalmente, me parece muy interesante.
Popper se refiere, seguramente, al incremento de información de Shannon, que responde a la fórmula :
l=H(A)-H(B/ A)
En el caso de ser dos sucesos dependientes, el término es cero: con lo cual, no se produce incre,ncnto de
información al permanecer la entropía de A inalterada. Ello es lo que ocurre cuando las consecuencias lógicas
derivadas de ciertos datos o verdad no aportan nada nuevo, aunque su "probabilidad lógica" sea la unidad, 110
variando la información 111 aproximándonos a la verdad considerada.
En este sentido, las matemáticas contienen bastante verdad: sin embargo, es más dificil cuestionarse su
verosimilitud, su validez empírica, o su realidad, porque ello nos lleva a plantearnos la realidad m1srna .
Ya Russell había advertido sobre tui realismo ingenuo Pero, sin embargo, a través de la fis1ca y dl' la b1olog1J,
llegamos al resultado de que nuestras observaciones son trernendamente cornpleJas y no s1ernpre fiables, a pesar
de constituir asombrosos procesos de descifrado de las seiiales que nos llegan del rncdio Por tanto, 110 deben Sl'r
elevadas a la categoría de punto de partida incuestionable como s1 fueran garantía de verdad
Hasta Bolzano y Frege, se daba por supuesto, equivocadamente, que sólo había un tipo de conoc11111l'1llo, l'I
conocimiento poseído por algún sujeto cognoscente, al que Popper denomina '"conoci1111ento sub.1ct1vo", 111d1ca11do
que esta teoría del conocimiento es muy vieja, aunque se explicita particularrnente con Dcsca11cs, para qu1c11
"conocer" es una actividad que presupone la existencia de un sujeto cognoscente, el yo subjetivo.
No es esta la visión de Popper, que considera un mundo independiente, con entidad propia, corno co11oc1111w1110
objetivo: aquel contenido en las bibliotecas y los libros, asociado, por tanto a una estructura v un lcngua.ll'
Popper [21] considera que tanto la evolución como el desarrollo del conoc11111ento exigen una cstnic1111:i
genética a priori, aunque no válida a priori, que surninístra el rnaterial de pa11ida que la selecc1011 natural o 1:i
!Como decía Lcibni1., "sin matemúticas no se puede penetrar a fondo en la lilosolia, \111 l;i 1,1<""'"' ""
se puede penetrar a fondo en las matemúticas ~· sin ambas, 110 se puede penetrar a fo11do en naJa"
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crítica racional han de modificar para producir el siguiente estadio del desarrollo. De forma que, desde esta
perspectiva, el 1.riticado carácter apriorístico de las matemáticas deja de ser criticable, así como su validez.
Las estructuras mentales, como la genética, son imprescindibles para cualquier desarrollo posterior aunque su
validez para algo no sea a priori, sino en el propio desarrollo, tan necesarias como una estructura genética lo pueda
ser a un individuo viyo: es necesaria una estructura.
4. PERSPECTIVA HISTÓRICA
4.1.La visión en la Antiguedad. La relación de la evolución de algunos conceptos matemáticos, nos permite
conocer no sólo los distintas posturas adoptadas por los científicos, sino algo más.
Tomemos como punto de partida las lineas de pensamiento representadas por Platón y Aristóteles. Mientras
que Platón sugería la existencia de un mundo de ideas independiente, sagrado y absoluto, Aristóteles defiende la
percepción, que nada existe en nuestra cabeza que antes no haya pasado por el mundo de los sentidos. De forma
que el esfuerz.o de Pitágoras y de Euclides de extraer de la realidad números y formas, representa un intento por
1 captar de alguna manera esa esencia independiente y eterna a la que se refería Platón y que se encama en nuestro
caso en leyes de referencia.
La física aristotélica se negaba a sustituir, no ya algo por un número o una figura por una forma, sino los hechos
de la experiencia y el sentido común por una abstracción geométrica y rechazaba la posibilidad misma de una
física matemática al subrayar la incapacidad de las matemáticas para explicar la cualidad y dar cuenta del
movimiento. En la tradición aristotélica, las matemáticas constituían una ciencia auxiliar que se ocupaba de las
abstracciones y que, por lo mismo, posee menos valor que las ciencias que se ocupan de las cosas reales.
4.2.De la Antiguedad a la Escolástica. En el siglo XIII había surgido la figura de Santo Tomás de Aquino [7]
incorporando a la filosofía todo el saber aristotélico recogido por los árabes y, concretamente, por Averroes; de
tal forma que la aparición de Aristóteles se consideró en un principio, como la de un dios griego adorado por
adoradores árabes. Santo Tomás desarrolló la indicación experimental de Aristóteles queriendo comprometer a
los realistas y nominalistas pero en puntos de vista meramente metafísicos. Emplea todas sus deducciones con el
mismo afán de los griegos por dominar los elementos. El tomista empieza con algo sólido como una manzana y
su experiencia, y después deduce toda una vida para el entendimiento, preocupándose especialmente de distinguir
entre lo absoluto y lo accidental. Y estos fueron los antecedentes históricos de Galileo.
Por otro lado, los nominalistas defienden una doctrina filosófica según la cual a la universalidad propia de los
conceptos del entendimiento no corresponde nada real común en los seres individuales a que ellos se refieren. Para
el nominalismo los conceptos carecen de todo valor representativo de alguna esencia supraindividual. Valoran casi
exclusivamente el conocimiento sensitivo, por ser el que aprehende distinta y claramente lo individual, lo único
real existente. Tiene una postura extrema en la cual el pensamiento intelectual no sería más que el pensamiento
verbal interiorizado. Con Ockham, como representante del nominalismo, se separa definitivamente los conceptos
de los contenidos y se elabora una doctrina lógica en virtud de la cual critica a la razón y cualquier realismo
metafísico de las esencias mientras que valora positivamente el conocimiento sensitivo individual. Esto representa
un decidido empirismo que estuvo presente luego en todas las filosofías empiristas de los siglos XV y XVI y en
los positivistas posteriores, que ya estaba presente en el epicureísmo.
4.3.Las ideas del Renacimiento. Más allá del cálculo elemental, de la geometría y de la aritmética, donde las
matemáticas se reducen a medidas y hacen referencia a la cantidad y a la forma, entramos en otro estadio de la
evolución del pensamiento representado por Galileo.
Este autor, en el famoso diálogo entre dos mundos [9], pone en evidencia cómo, aunque Galileo se consideró
el empirista por excelencia, se muestra como un hombre cuyo pensamiento es contraopuesto al empirismo de
Aristóteles y que proyecta su percepción de la realidad sobre fórmulas matemáticas que sobrepasan esa realidad.
En esta época, la resolución del problema del movimiento exigía romper con la física de Aristóteles,
fundamentada en la percepción sensible y resueltamente antimatemática.
Galileo estaba, sin duda, influido por Platón, y los platónicos no sólo concedian un valor supremo a las
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matemáticas, sino también una posición clave en el estudio de la naturaleza. Galileo creía firmemente que el mundo
no podía comprenderse más que matemáticamente. Su concepción, esencialmente filosófica, excedía las
capacidades científicas de la época y hubo que esperar a Newton para que, con el cálculo infinitesimal, la teoría
hiciera su aparición. Y, por supuesto, Leibniz.
Tal vez conviene mencionar, en este punto, el perspectivismo: esta es una doctrina filosófica según la cual todo
conocimiento es relativo a un punto de vista determinado. La mayor parte de las doctrinas perspectivistas se
refieren a Leibniz precisamente como punto de partida, en cuanto los diferentes puntos de vista posibles no se
consideran excluyentes, sino complementarios, porque cada uno de ellos ofrece una perspectiva única e
indispensable acerca de la totalidad. Tendencias perspectivas son frecuentes en la filosofia contemporánea.
Precisamente en España, Ortega y Gasset ha defendido el perspectivismo desde un punto de vista histórico. En
la filosofía de Nietzche, perspectivismo significa que el conocimiento propio de la conciencia animal está referido
a las necesidades vitales del ser que conoce, lo que le impide un conocimiento objetivo y esencial de la realidad.
4.4.Época Moderna. Desde Newton y Leibniz, la matemática sigue su andadura independiente, pero muy
relacionada en este tramo con el mundo físico .
Por todo ello, se consideró en esta época a las matemáticas un lenguaje; pero matemáticas y física están
integradas de tal forma, que no se puede ser un realista respecto a la teoría física y un nominalista respecto a la
teoría matemática.
Habría que plantearse hasta qué punto no fue Descartes culminación del proceso iniciado por los nominalistas;
lo mismo que Kant, quien a diferencia de Descartes, critica la razón y cree que no existe una intuición pura, sino
que responde a percepciones de los sentidos: no hay intuición intelectual pura.
Kant, en una postura limite a la de Descartes, considera la posibilidad de un juicio sintético a priori para el
conocimiento, y llama razón pura a la facultad del conocimiento por principios a priori, y "Critica de la razón
pura", a la investigación de la posibilidad y limites de la misma en general, no sometiendo a investigación su
facultad como razón práctica.
Era propiamente el entendimiento, el cual tiene su propia esfera, y la tiene en la facultad de conocer, en cuanto
encierra principios de conocimientos constitutivos a priori, quien debía ser, por medío de la llamada, en general,
critica de la razón pura, puesto en un lugar seguro contra todos sus competidores.
Hasta aquí parece quedar establecidas las principales tesis filosóficas al respecto de la naturaleza y modo de
existencia de lo que Bunge [4] entiende por objetos conceptuales en la actualidad, clasificándolas en
a) Platonismo: los objetos conceptuales son seres ideales que existen de por sí, independientemente del
mundo físico y, en particular, de los seres pensantes.
b) Nominalismo: los objetos conceptuales forman un subconjunto de los objetos linguísticos. Son signos y
no existen sino como tales.
c) Empirismo: los objetos conceptuales son objetos mentales y existen al igual que las demás ideas, o sea,
como sensaciones o imágenes.
Mientras todo ello parece ir quedando establecido, se va formando un cuerpo matemático que se hace
independiente de la física y de la geometría, que confluye en la matemática axiomatizada y formalizada tal y como
la conocemos hoy en día. A la vez se convierte en modelo para otras ciencias más recientes y, por ello, menos
evolucionadas en ese sentido.
4.5. Situación actual. Popper defiende una tesis a la que hemos hecho referencia con anterioridad en la actualidad
[21], [22]. En oposición a Descartes, considerado padre de la filosofía moderna, parte del realismo del sentido
común, con la condición de que sea critico, y considera la existencia de tres mundos: un mundo físico, un mundo
de nuestras experiencias conscientes, y un tercer mundo de los contenidos lógicos, de los libros, bibliotecas,
computadoras y similares.
Según el reconocido filósofo, en el tercero de los mundos reside el conocimiento objetivo, independiente de
cualouier suieto oensante. En él se pueden descubrir nuevos problemas allí presentes antes de ser descubiertos y
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antes de ser conscientes; esto es, antes de que en el mundo de las experiencias conscientes apareciese algo
correspondiente a ellos. Por ejemplo, descubrimos los números primos y de ahí deriva el problema euclídeo de si
la sucesión de números primos es infinita. Por tanto, el mundo del conocimiento objetivo es autónomo en cierta
sentido y podemos hacer en este mundo descubrimientos teóricos del mismo modo que podemos hacerlos
geográficos en el mundo físico. Su tesis fundamental es que casi todo nuestro conocimiento subjetivo, aquel de
las experiencias conscientes, depende del mundo considerado por él como el del conocimiento objetivo, esto es,
de las teorías formuladas linguísticamente.
Propcne la tesis de que la plena conciencia de sí mismo depende de todas estas teorías y de que los animales,
aunque sean capaces de tener sentimientos, sensaciones, memoria y, por tanto, conciencia, no poseen la plena
conciencia de sí mismos que constituye uno de los resultados del lenguaje humano y el desarrollo de este mundo
objetivo específicamente humano. ·
Nos podemos plantear no sólo la realidad de los conceptos involucrados como entes, sino también su in~eracción
con un mundo exterior del cual también he admitido su existencia. Para poner un ejemplo de esta interacción en
el campo del Análisis Funcional que refleje su naturaleza podemos recurrir a Volterra [26 ], cuyo trabajo está
considerado por algunos autores precursor del Análisis Funcional, lo mismo que de las transformadas integrales.
Pero no voy a hablar de este origen conocido, ni de las ecuaciones integrodiferenciales que le dieron vida. Voy a
destacar una nueva relación de las matemáticas con la realidad que afecta al siglo XX, cuando han pasado varios
siglos desde que la matemática de la medida y estática dio paso a la matemática del cambio, a través de la física
y, posteriormente, a la matemática de la probabilidad, para por último referir la incursión de las matemáticas en
las ciencias de la vida, donde Lotka y Volterra [14] desempeñaron un papel fundamental.
Lotka era estadístico y Volterra se dedícaba a determinados trabajos físicos donde le surgían todo tipo de
sistemas de ecuaciones más o menos difíciles de resolver. Lotka trabajaba con poblaciones. Todos sabemos que
el Análisis Funcional trabaja con conjuntos donde los elementos ya no son datos, sino funciones, en un nivel de
abstracción superior, donde las ecuaciones ya son funcionales y cabe hablar a su vez de espacios de soluciones
y no de una solución, mientras que la transformada aplica los unos en los otros.
Pienso que el trabajo teórico de Volterra en este sentido, fue matemáticamente mucho más allá de un objetivo
que muchos le han atribuido ecológico por su posible relación entre los cambios de las poblaciones de peces y las
variaciones de la explotación durante la segunda guerra mundial. No es cuestión de desarrollar aquí el denominado
modelo de Lotka y Voherra en relación con las poblaciones y el medío, por muy interesante que sea, pero conviene
señalar que el acuerdo aparente entre las observaciones que ya habían sido recogidas y su interpretación
matemática fue sorprendente y casual, de tal forma que el modelo puramente matemático arrojó luz sobre un
problema mucho más complejo como puede ser la vida o las complejas y variadas interacciones entre organismos
vivos. Conceptos como competencia, depredación o nicho ecológico, quedaron perfectamente definidos e
interpretados a la luz de los diferentes sistemas planteados y de sus autovalores: quedaron reflejados en el modelo
teórico inicial.
Cabria plantearse si esto no llevó a su vez a Bertalanffy [2] a su concepción del mundo planteado como un gran
sistema de carácter muy general, concibiendo la realidad como un conjunto de interacciones que, a su vez, tenían
una formulación matemática determinada, de la cual resultaban como casos particulares la dinámica de
poblaciones, la evolución de la economía, etc.
Bertalanffy, biólogo teórico, propugna una concepción organísmica de la realidad, planteando la necesidad de
desarrollar la teoría general de sistemas en términos matemáticos, superando el mecanicismo y el vitalismo por
un lado, y oponiéndose al reduccionismo por el otro. Teniendo como punto de partida las ecuaciones diferenciales,
tuvo que esperar a disponer de planteamientos como los de Prigogine en la escuela de Bruselas para alcanzar la
madurez de sus conceptos, los mismos que confluyen en la dinámica de sistemas en la actualidad o en eso que ya
empieza a configurarse como rama de la ciencia denominado por algunos sistémica. Paralela va también la
necesidad de buscar un nuevo paradigma donde todas las ciencias queden integradas de alguna forma como las
múltiples dimensiones de una misma realidad. Y, desde luego, el planteamiento a su vez, de la interacción e
integración del hombre con el entorno. En la filosofía que subyace a la teoría de sistemas, se consideran sistemas
complejos, con múltiples interacciones, con alta incertidumbre, sistemas donde forma parte el propio hombre y,
por ello mismo incluso se incorporan a la ciencia, las opiniones de los expertos en estos terrenos.
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En este nuevo enfoque, ya no existe tan clara distinción entre causa-causante, tanto se estudia el todo a través
de las partes como al contrario, se recurre tanto a la síntesis como al análisis, y se utiliza la metáfora, la analogía
como recurso intelectivo, más allá de aquello que pueda ser obtenido mediante un proceso discursivo a partir de
unos conceptos básicos, perfectamente definidos, o unos axiomas previos.
No sabemos si los sistemas dinámicos, unidos al nuevo orden de la geometría fractal, así como a las
regularidades de los atractores en la teoría de catástrofes y del caos, y el enfoque y auge de la cibernética, no nos
llevarán a una visión más amplia y completa de la realidad, a su vez que a un cierto determinismo de nuevo.
En general, poniendo un poco de color y poesía a algo que a mí particularmente siempre se me antojó bello
por excelencia, se suele decir que los hermosos arrecifes de coral que afortunadamente aún pueblan nuestro planeta
son los sistemas más ricos y diversos, y los más antiguos también:encerrado en el irracional mundo de sus
increíbles formas y colores es mucho lo que a los científicos, y al hombre en general puede servir para aprender.
Su antiguedad es paralela a su increíble diversidad y, con ello, riqueza.
Y, en este sentido, podemos pensar en la fascinación de una ciencia tan antigua como la que tratamos y pensar,
como los corales, en infinidad de formas y matices inadvertidos en su desarrollo, en· infinitud de colores
multidimensionales para unos sentidos diferentes ... :las matemáticas tienen mucho que decir.
5. PERSPECTIVAS DE FUTURO
La conexión entre la realidad experimental y los conceptos matemáticos resulta particularmente clara durante
las primeras fases del desarrollo de la aritmética y la geometría, cuando estas ciencias estaban estrechamente
ligadas a la agricultura a través de previsión de las cosechas mediante el movimíento de los astros y fa necesidad
de medir la superficie de los campos de cuhivo después de las inundaciones que desdibujaban sus límítes. Algunos
autores afirman, de forma equivalente, que la geometría proyectiva del siglo XVI surgió como respuesta a la
necesidad de resolver las cuestiones de perspectiva que planteaba la pintura.
La situación empieza a cambiar con el desarrollo de las geometrías no euclídeas y de la teoría de conjuntos.
A partir de entonces las matemáticas se desarrollan de una forma cada vez más desligada de los datos
experimentales. Se llega así a justificar el extremo de percibir el desarrollo de la matemática como parte de un
proceso mental diferenciado de la ciencia experimental, por una vía distinta, que captaba una realidad
independiente del hombre y del mundo material y que tiene que ver mucho con el mundo de las ideas de Platón.
La nueva situación lleva anexa una concepción específica sobre el conocimíento y sobre la realidad. Según ello,
el pensamíento matemático capta unas realidades superiores a las detectadas por los sentidos y de la cual la
realidad asociada al mundo de los sentidos no es sino un mero reflejo. Además se asume que la realidad
matemática es más independiente del objeto puramente tanto en términos individuales como específicos.
Desemboca en planteamíentos un tanto extremos en la actualidad como aquellos que llevan a considerar en un total
idealismo que no existe la realidad alguna excepto ideas.
Para aclarar la situación resulta importante diferenciar entre percepción y conceptualización, entre conexión
mediata y conexión evolutiva. Pues los datos históricos ponen en evidencia como la primera conexión inmediata
se ha ido diferenciando con el tiempo, a la vez que adquiría un mayor protagonismo el proceso de formalización,
dejándose de prestar atención a la conexión con los datos experimentales, que pasaría a ser mediata e indirecta.
Ello no quita para que, con independencia de este proceso de distanciamíento, siga subsistiendo una conexión
mediata entre la mente y la realidad exterior. A ello hay que añadir un componente más distante en el tiempo: si
la acción selectiva ejercida por el medio en el cual evolucionó el hombre configuró adaptativamente su mente
conforme a la realidad experimental significativa para él durante su proceso evolutivo, la acción del hombre con
su mente también ajusta y cambia esa realidad tan circunstancial. Tal vez ambos procesos sean lo llllsmo, y, en
definitiva, un ajuste entre la especie humana, sus necesidades, y la realidad.
En este sentido, la matemática representa algo más. La ciencia se caracteriza por una cierta carencia de sentido
común y una continua insatisfacción, que se concreta en una dinámíca propia caracterizada, no ya por la
adaptacion, sino por la continua superación, la otra componente de la evolución que creo que es la que la posibilita
verdaderamente.
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La humanidad ha cambiado el paradigma c1entitico cuando tomaoa consc1enc1a m: 4uc: ~u ~lfu""'ª uv va~~vu
en un subespacio de la realidad que a partir de un instante pasaba a ser significativo. De forma que el nuevo
esquema científico debería incluir al anterior como caso particular e incorporando nuevas realidades. Este proceso
se ha repetido numerosas veces a lo largo de la historia creando sistemas formalizados cada vez más comprensivos
basados en sistemas axiomáticos más generales. El problema es hasta dónde llegará este proceso. G&lel puso de
manifiesto que la formalización de Hilbert era imposible, demostrando que toda teoría que contenga al menos la
aritmética elemental contiene resultados que áún siendo verdaderos no son demostrables a partir de los axiomas.
Posiblemente la concepción evolutiva de Popper, ofrezca una justificación última al proceso de fundamentación
axiomática cada vez más general, sin necesidad de encontrar un axioma último cuya existencia es cuestionable.
La conexión entre formalismo y realidad puede establecer su origen en la matemática antigua, aunque luego
se fueran desdibujando los esquemas axiológicos asumidos por los diferentes paradigmas. Para la justificación
última del proceso se necesita asumir que la mente represente una estructura adaptativa respecto a la realidad
caracterizada por la formulación de modelos interpretativos que se sitúa por encima de la información que llega
a través de los sentidos y, como asumió Galileo al negar el realismo y el empirismo cognoscit ivo de Aristóteles,
según el cual todo conocimiento proviene de los sentidos, y aceptar, por el contrario, la ampliación del mundo de
los sentidos a un mundo matematizable de origen platónico. En este linea, Descartes fué mucho más allá, al
considerar que el conocimiento es subjetivo en el sentido de que no puede existir conocimiento con independencia
del sujeto cognoscm:te, lo que equivale a considerar que el conocimiento se justifica dentro de él, sin relación con
el exterior.
Pero debido a la limitación de la mente humana o por el enfoque metodológico asumido, los científicos terminan
por encontrar limitaciones y que menos subespacios de la realidad se ajustan al paradigma científico, sin que se
ponga limite. Ello supera la posibilidad de que la idea de conocimiento absoluto sea tan lógica debido a que lo que
entendemos por conocimiento, posiblemente no tenga realidad distinta del hombre. Nos encontramos con una
cabeza humana planteándose el conocimiento de su propia cabeza y ello siempre conduce de alguna forma a algo
circular y, paradójicamente, nunca acabado. Representa una realidad adaptativa específicamente humana y
significado adaptativo que le lleva a ampliar fronteras, fruto de estar siempre insatisfecho y de la pasión por dar
una explicación que le ha llevado a explorar el ámbito de la ciencia normal y a ampliarlo una vez superado. El
problema es como el del vértigo heleno al contemplar las estrellas: es vértigo ante un horizonte que se nos antoja
infinito y cuyos limites son inalcanzables.
El esquema establecido por los axiomas que configuran el formalismo de un paradigma matemático trabaja
sin necesidad de realizar demasiados planteamientos. Pero cuando se necesita un cambio de paradigma, se precisa
revisar los fundamentos y crear un nuevo subespacio cada vez más amplio, es necesario establecer una nueva
axiomática. Así una y otra vez, sin que el fundamento último quede por determinar. Ante lo cual, la interpretación
más coherente seria aquella que supera ese proceso al infinito, dado que permite la interpretación adaptativa.
Concluirnos, desde la historia, que es un proceso evolutivo y parte de un proceso evolutivo.
Personalmente deseo que siga siendo así; no importa de donde partamos , como sugiere Popper, y, desde luego,
es importante la critica.
6. REFLEXIÓN FINAL
No deseo terminar sin una breve reflexión que conecte aún más en la actualidad esas matemáticas que hacemos
con esa siempre cuestionable realidad, siempre cambiante a la luz de diferentes cristales o distintos
planos .. Estamos en pleno auge de las ciencias sociales, en un mundo y unas concepciones aparentemente muy
diferentes de las que movieron a Pitágoras en sus primeras leyes matemáticas, a Galileo o a Einstein, soñando,
con su magníficamente creadora carencia de sentido común, un mundo totalmente matematizado, si bien esta
atribución es de carácter más bien físico que matemático: por prodigiosa o criticada que sea, no somos
precisamente los matemáticos los que aplicamos nuestra ciencia, asumida normalmente como objeto en sí de
nuestro trabajo, a la realidad.
Muchos se han preguntado hoy en día sobre la calidad real de esa supuesta realidad, y muchas han sido las
contestaciones: paralelamente a la evolución de los terrenos abarcados por la ciencia y a la propia concepción de
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la misma, la pregunta ha sido trasladada ya ai campo de la psiquiatría, la psicología o la sociología, conectando
con algo que se ha mencionado insistentemente, de una u otra forma en nuestra evolución histórica: el lenguaje,
la comunicación.
Sabido es que para ciertos grupos de la sociología, o incluso la psiquiatría, la realidad se pierde en eso que
podríamos llamar "sociología del conocimiento" o "sociología de la comunicación", de tal forma que esta no es
tal, sino aquello que nos dicen de ella.
Dejando a un lado estas sugerencias de determinadas corrientes sociológicas, volvamos a Galileo y su
concepción de las matemáticas como lenguaje eterno de la naturaleza, como proyección de una concepción
Pitagórica del mundo, aunque tal vez sin la consideración implícita de que el número guardara, como para aquel,
la esencia; tal vez la aserción de Galileo tiene otra interpretación aún vigente: el libro de la naturaleza está escrito
en lenguaje matemático porque las "cosas" no son cosas propiamente dichas (objetos masivos y localizados, sino
representaciones de grupos de transformaciones o soluciones de ecuaciones, la realidad es relación, como afirmó
Poincaré, y la matematización viene a ser así la gran decodificadora de esa inmensa desconocida llamada realidad.
No es casualidad pues, que los sociólogos o psicólogos confluyan haciendo referencia a ella como conocimiento
o comunicación.
Recordemos al Timeo de los Diálogos de Platón, considerando el tiempo como una representación de la inmóvil
eternidad', de lo eterno.
Tal vez no sea sueño el de Einstein, ni el de una realidad matematizada, si profundizamos sin perdemos en el
intrincado laberinto de su significado. Niego una matemática como lenguaje e instrumento nada más, y creo que
en ese sentido de la palabra lenguaje no abarcaría, obviamente, la compleja y desconocida realidad, aún
existiendo esa conexión entre formalismo y realidad tejida a través del tiempo, y descubierta en la historia .
Pero la situación cambia sobremanera, y dicha conexión se vuelve aún más intensa, si consideramos otra
. dimensión del lenguaje ya advertida por Russell en relación con el significado: "hasta una palabra adquiere
significado por una relación extema"[l 7].El significado del lenguaje no es sólo el lenguaje mismo, es él, más los
hechos, circunstancias y comportamientos que le rodean . Y crea realidad: creamos la realidad en cierta manera.
En este sentido, podemos afirmar que las matemáticas son ellas, todo lo que lleva en sí misma su historia, y,
además, las relaciones que crean: son un lenguaje, efectivamente, y, como tal no se libran de ese carácter de
proceso evolutivo que mencionábamos antes. Están inmersas en la realidad y en la creación misma de Psa realidad
como todo lenguaje, quizá más.
Hay que insistir que si Wittgenstein argumentó en sus Investigaciones Filosóficas que las palabras, junto con
las conductas que las rodean, constituyen el juego del lenguaje, era, sin duda, un segundo Wittgenstein el que hacía
referencia a esto, muy lejos de aquel de la pura lógica de su conocido Tractatus [29 ], evolución muy significativa.
( Otros, tal vez hayan tratado de reducir las matemáticas a las relaciones formales que originan, pero no
comparto esa concepción).
Por otro lado, en plena época de la llamada búsqueda científica del alma por autoridades en la materia como
Crick , Penrose o Edelman [5],[ 19],[20], Penrose insiste en que no somos ordenadores y yo misma me pregunto,
como cualquiera que haya estado alguna vez ante una pizarra desarrollando un teorema, qué sentido tendrían esas
inmensas cadenas lógicas que se nos antojan vacías, perdiendo así lo que estos genios denominarían conciencia,
si no fuera por las anteriores consideraciones que las llenan.
Es importante tener en cuenta a Russell y a Wittgenstein [ 17] en estos momentos y saber que todo lenguaje
construído a través de los siglos con una conexión mediata o inmediata con la realidad incognoscible, significa y
significa aún más; su significado es el puro lenguaje, el mismo que satisface tantas veces a los matemáticos puros,
más un añadido: todos aquellos hechos o comportamientos con él relacionados que percibimos aún en una dudosa
realidad, llegando así hasta la duda de si existirá algo más allá de estas consideraciones.
Las matemáticas no son puros entes venidos de un mundo ideal asumido como única realidad. Hasta los fisicos
reconocen en privado que las teorías que proponen no desvelan tampoco una realidad independiente de la mente
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humana. Pero interrelacionan, formando parte incluso del hacer de ese mundo físico que consideramos
normalmente realidad. Son algo más dentro de él.
La matemática pura en un momento de nuestra historia y nuestro tiempo, tal vez no signifique demasiado, más
allá de una construcción cuasi perfecta y vacía, de una pura entelequia digna del desprecio de lo que el sentido
común denomina realidad. Pero viven en nosotros: están.
Podemos creer en un lenguaje que, lejos de la esencia de las cosas, significa; y su significado, como el de todo
lenguaje correspondiente a una adecuación a través de los años es el propio lenguaje y también los hechos que le
rodean y en él involucrados ya sea, en este caso, pura ciencia o vida cotidiana y de forma elemental. Y el lenguaje,
como forma de comunicación, genera realidad.
La ciencia matemática significa, incluso, una actitud ante la vida que propugna la razón, el pensamiento, la
búsqueda, la inquietud, la creatividad, la relativa objetividad, la verdad posible ... ,no están vacías: la dudosa
construcción de mis primeros años queda así llena de significado, abierta incluso a la posibilidad de un nuevo
paradigma de la ciencia, más flexible, y donde hasta posibles elementos irracionales sean considerados.
7. CONCLUSIONES
Se puede concluir que las matemáticas que hacemos son parte de nuestra actividad humana y, como tales,
circunstanciales y temporales . Por ello jugamos con unas reglas determinadas y unos determinados símbolos, con
unos axiomas básicos en un tiempo determinado en el que nos ha tocado vivir. No son eternas ni inalterables, pero
tampoco se reducen a ese mero juego de símbolos y reglas en las cuales se sintetizan en un momento dado, como
si proyectaran en el plano de un determinado tiempo su existencia: son algo más o mucho más, todo aquello que,
con su historia, queda perdido en el tiempo. Dedicamos a ello únicamente no sé si es bueno, pero prescindir de ello
totalmente creo, sin duda, que no lo es.
El pensamiento discursivo es distinto del pensamiento evolutivo. Los seres evolutivos son distintos a los seres
discursivos y estos úhimos sufren con frecuencia desajustes de la realidad. Se podría pensar que la cuestión es de
axiomas. Yo creo que la cuestión es de paradigma [13] y ello lleva consigo, no sólo la reformulación de axiomas,
sino incluso de métodos y actitud ante el conocimiento.
Según el nominalismo, los conceptos son meras palabras. Pero tal afirmación debería matizarse precisando que
no se trata de palabras nuevas, sino de palabras que se fundamentan, de una manera más o menos directa, sobre
la realidad experimental.
La relación de los conceptos con la realidad experimental puede incluso ilustrarse con las matemáticas:
representando una situación extrema de conceptualización lógica, arrojan luz a la epistemología de la ciencia y
al proceso de conocer. Pero para ello es preciso asumir una perspectiva histórica. Y el problema para nosotros,
es que la historia no es precisamente analítica, ni tiene secuencias lógicas a través de las cuales abordarla.
Pero no nos creamos, por ello, que la matemática es tan diferente a otras ciencias. Sin duda, el gran nivel de
formalízación alcanzado se debe por un lado, a su antiguedad; por otro, a considerar un aspecto muy reducido de
la realidad: el que hace referencia a cantidad y calidad solamente. Prescinde de circunstancias y de tiempo y aquí
encuentra su generalidad. Pero no es conveniente prescindir de circunstancias y de tiempo para abordarla o hacer
referencia a ella, porque en ello encuentra su mayor y más grave límitación.
Si dudamos aún de la posible relación de las matemáticas con la realidad, basta recurrir a la etímología de la
palabra "teorema", palabra que figura continuamente en el fluir de nuestra actividad. Del griego "theáo", 'yo
miro', muchos verán implícito en ello la clara conexión existente desde los tiempos de Pitágoras y Euclides, y tal
vez olvidada cuando utilizamos en la actualidad tal término.
Pero otros, tal vez, se fijen en el "yo" de ese significante " yo miro", sujeto que interpreta el exterior, Jo
decodifica con su capacidad, la de su propia cabeza evolutiva. Se trata de nuestra particular forma, nuestro
particular instrumento como especie, para interpretar eso ajeno y muy nuestro al mismo tiempo, que llamamos
realidad, la forma que la especie humana tiene de percibirla para la satisfacción de sus propias necesidades
insertadas en ese sistema del que es parte integrante.
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Con ello, no cabe duda de que el hombre cambia y hace ese sistema, formándolo al percibirlo e interpretarlo
de una manera peculiar y propia. No parece que quepa hablar, desde esta perspectiva, de dos realidades diferentes,
ni de su paralelismo siquiera, sino de una misma realidad donde queda integrada nuestra actividad.
Según Popper la ciencia surge siempre de una necesidad práctica del hombre e, inmediatamente, nace también
la filosofia .
Nos planteamos qué realidad tienen las matemáticas pero ello nos lleva indefectiblemente al planteamiento
filosófico de qué es la realidad, sin el cual el primer planteamiento no tendría sentido. Las matemáticas pueden ser
consideradas también como una filosofia de carácter más general en un planteamiento surgido de la necesidad,
criticando, analizando y enjuiciando continuamente su capacidad y sus limitaciones en algo que se concreta en la
razón que busca al hombre, con todas sus implicaciones, filósofo de una verdad que sólo es su bien, razón
templada o moderada, pero razón.
Desde este enfoque, se convierte en lo más real de una realidad que, en definitiva, hacemos nosotros: religión
cuando es ciega, y ética cuando conoce su alcance y limitaciones; de nuevo, humildad.
El avance de las matemáticas es comparable a lo que Bueno cita en su libro [3] como "la liberación de la
Cultura": requiere no sólo romper su cascarón, sino también el cascarón que envuelve a la mítica "Naturaleza"
de la que trata de ser modelo. Como afirma el autor, únicamente después de estos rompimientos podremos acaso
poner la proa "con velas desplegadas" hacia eso q~e llamamos la Realidad.
Deseo terminar con una humilde conclusión de carácter personal y docente, ya que la docencia fué lo que
motivó en mí estas inquietudes. Somos profesores y ponemos todo nuestro interés en la buena comprensión de un
teorema, haciendo ímprobos esfuerzos para que nuestra explicación resulte clara y, a ser posible, entendida por
todos. Y, muchas veces, en ello queda la visión de las matemáticas que trasmitimos.
Sirva esta reflexión para poner de manifiesto que enseñar no es explicar, sino que, como toda actividad
humana, está llena de matices y elementos mucho más complejos, como la ciencia misma y su apertura, más allá
de una lógica o un razonamiento, incluyendo incluso elementos irracionales que son los que en definitiva
promueven tal actividad. Y, por supuesto, de elementos insertos en su historia.
Estoy convencida de que los matemáticos, como todos aquellos -:¡ue se dedican a la ciencia y, más aún nosotros,
considerados racionalistas por excelencia, partimos de un acto de fé; un acto de fé que la fisica pone a prueba y
que la filosofia cuestiona, tanto al menos como la propia existencia.
Respecto a todo lo dicho habría que pensar con Platón que "ningún asunto humano merece mucha ansiedad;
y todo lo que no es humano ya no depende de nosotros".
AGRADECIMIENTOS
Quiero recordar con ello al Prof. Dr.Nacere Hayek, razón pura, kantiana; pero también, un tono, un gesto, un
lleno, un contenido, una profundidad, una sabiduría, una psicología, un matiz o un consejo ... ,con fé que es - en
definitiva- principio, ... maestro que ha inspirado de mil formas que enseñar no es explicar, y tan siquiera en
matemáticas: es toda una condición humana, muchísimo más.
Gracias por sus enseñanzas.
Mi sincero agradecimiento, así mismo, a los alumnos de tantos años que han enriquecido mi vida y que
motivaron gran parte de esta conferencia, así como a aquellos compañeros que me han apoyado en los duros
momentos de las circunstancias personales con aceptación y apertura - cualidades que estimo reflejo de su saber­y
a todas aquellas personas que han contribuido de una u otra forma a la elaboración del presente trabajo.
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