Condiciones de existencia y minimalidad de la subdiferencial Dini

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J{ev . Acad . Ca n ar.Cie n c ., VIII (Núm. 1), 79- 9 2 (1 996 )
CONDICIONES DE EXISTENCIA Y MINIMALIDAD
DE LA SuBDIFERENCIAL DINI
V. Novo Saojurjo
Departamento de Matemática Aplicada. UNED. Madrid.
Abstract: Various definitions of generalized directional derivative for nonsmooth real-valued
functions are studied and compared. Sufficient bini-subdiferentiability conditions using an
upper convex approximation in the Ioffe 's terminology are given from which a minimality
theorem for Dini subdiferential in nonsmooth optimization follow.
Resumen: Se estudian y comparan varias definiciones de derivada direccional generalizada
para funciones reales no diferenciables en el sentido clásico, así como las subdiferenciales
asociadas. Se establecen condiciones suficientes para que la derivada superior Dini sea una
aproximación superior convexa en el sentido de loffe y, como consecuencia, se establece un
teorema de minimalidad tipo Lebourg para la subdiferencial Dini en optimización no regular.
l. INTRODUCCIÓN
En las dos últimas décadas, se han desarrollado diferentes teorías de diferenciación
generalizada (subdiferenciación y superdiferenciación) motivadas por la necesidad de
investigar técnicas de optimización de funciones o funcionales no diferenciables en el sentido
clásico. Se puede considerar como punto de partida la teoría de subdiferenciación de
funciones convexas, desarrollada a partir de los conceptos de subgradiente y de subdiferencial
introducidos por Moreau y Rockafellar [16]. La idea consistente en sustituir la diferencial
por un subconjunto de elementos del dual abre una importante vía de generalización de estas
técnicas de optimización a otras clases de funciones (véase, por ejemplo [l], [2], [6], [7),
[8] , [11), [13) , [14], [17), [18), [19)). Un buen compendio aparece en [4] .
Se supone que X es un espacio normado, A un abierto de X, a un punto de A y f un
funcional real definido en A. X* denota el dual topológico de X y <.,. > es el par en
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dualidad entre X* y X. En la mayoría de estas teorías, aparecen dos objetos matemáticos
que sustituyen, respectivamente, a la derivada direccional y a la diferencial de la teoría
clásica. Un objeto llamado primal o derivada direccional generalizada que es una
aplicación /(a;.) :X-i y un objeto dual af(a)cX* , la subdiferencial, que permite definir
una multifunción de A en las partes del dual P(X*) , de tal forma que debe existir una
relación que permita obtener cada uno de estos objetos matemáticos a partir del otro.
Las condiciones de extremo relativo se pueden dar en términos del objeto primal o
del objeto dual. La condición necesaria de extremo de la teoría clásica se reemplaza en estas
teorías por una del tipo O E af(a) , lo que significa que, en este contexto, es importante
decidir que diferencial generalizada es la "mejor" para una cierta clase de funciones,
entendiendo por "mejor" la que, para esa clase de funciones, sea minimal en el sentido del
orden de P(X*) . Es claro que para aplicar una condición necesaria de extremo del tipo
anterior, a1¡ será mejor que a2¡ siempre que se cumpla que a1f(x)ca2 f(x) para todo x
de A.
Pshenichnyi y Macatrian [16] introducen el concepto de aproximación superior
regular convexa de/ en a como una aplicación sublineal y continua que mayora a la derivada
direccional contingente (superior) o Hadamard superior, y a partir de esa aproximación dan
la definición de subdiferencial de f en a asociada a una aproximación regular superior. Ioffe
[7] y Jeyakumar [9] debilitan esta definición e introducen una aproximación superior convexa
(Definición 2.1) exigiendo que la aplicación sublineal continua mayore a la derivada
direccional superior de Dini. Por otro lado Lebourg [10] establece un teorema de
minimalidad de la subdiferencial de Clarke para funciones localmente lipschitzianas.
En general, la derivada direccional superior Dini no es una aproximación superior
convexa en el sentido de Ioffe y Jeyakumar. El objetivo de este trabajo será establecer
condiciones suficientes para que la derivada direccional superior Dini sea una aproximación
superior convexa y a partir de ahí analizar las condiciones en las que la subdiferencial
asociada o subdiferencial Dini es minimal. En 2 se recuerdan las generalizaciones más
usuales de la derivada direccional clásica y se comentan algunos resultados conocidos que
se utilizarán posteriormente. En 3 se dan condiciones suficientes para que la derivada
direccional superior Dini sea una aproximación superior convexa y se establece un teorema
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de minimalidad tipo Lebourg para la subdiferencial Dini. En 4 se analizan las relaciones
entre las diferentes teorías de subdiferenciación y se proponen algunos ejemplos que ilustran
los resultados obtenidos.
2.PRELIMINARFB
Se indican a continuación algunas de las generalizaciones de la derivada direccional
utilizadas en optimización no regular. Se adopta la notación de [4].
Dados a,xEA, u,v,wEX y tER.• , sedénota F,(x;v)=r1[f(x+tv)-f(x)] yseconside­ran
las derivadas direccionales generalizadas siguientes:
(1) f'(a;v) =limF,(a;v)
r..o•
(2) f5 '(a;v) = lim F1(x;v)
t--0\x-..o
(3) f~(a;v) =lim,...s,.u pF,(a;v) (4) /o(a;v) =liminf F,(a;v) r..o•
(5) /~(a;v). = limsup F,(a;w) (6) t:t<a;v) = liminf F1(a;w)
r...o•,w .. v t~"",w .. v
(7) f~p(a;v) =Slip limsup t-1 [f(a+tw+tv)-f(a+tw)]
wd'. t..O'
(8) f~L(a;v) = limsup F,(x;v) (9) /cL(a;v) =liminf F,(x;v)
1...0•,z .. a t-o•,z .... a
Todas son derivadas laterales. (1) es la derivada direccional usual o derivada radial
del Análisis Convexo [ 17], (2) es la derivada estricta en el sentido de Bourbaki [3], (3) y ( 4)
son las derivadas direccionales superior e inferior de Dini [4], [8], (5) y (6) son las derivadas
direccionales superior e inferior de Hadamard o contingentes [4], (7) es la derivada de
Michel-Penot [11] y (8) y (9) son las derivadas superior e inferior en el sentido de Cla.rke
[3]. En [12] y [13] se consideran las derivadas de Dini bilaterales. Consideradas como
aplicaciones de X en R. , todas son positivamente homogéneas. Algunas de estas derivadas
generalizadas están conectadas con una aproximación geométrica al epígrafe de/ en un punto
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de su frontera por medio de diferentes conos tangentes, por ejemplo, (6) está relacionada con
el cono contingente y (8) con el de Clarke (véase [3], [14], [15], [20] o [21]).
En este trabajo se consideran únicamente las derivadas superiores y las
subdiferenciales asociadas. El análisis de las derivadas inferiores y las correspondientes
superdiferenciales es similar. No se aborda el enfoque· geométrico por medio de los conos
asociados, pero es evidente que las relaciones entre subdiferenciales se pueden traducir a
relaciones entre conos.
Michel y Penot (11] introducen la definición de funcional direccionalmente estable en
un punto como sigue. /:X -R es direccionalmente estable en a si para cada vEX se cumple:
lim r-1 (/(a+tw)-/(a+tv)]=O.
1...0•,w .. v
En [12] y [13], consideramos funcionales estables en un punto. /:X-R. es estable en
a si existen una constante positiva k y un entorno V de a tales que:
lf(x)-f(a)lsklx-all, 'v'xEV.
Es claro que si/ es localmente lipschitziana, es estable y direccionalmente estable en
cada punto de su dominio. Sin embargo, no existe ninguna relación de contenido entre las
funciones estables y las direccionalmente estables.
Pshenichnyi y Macatrian [16] introducen una aproximación superior regular convexa
(UCA regular) de/ en a como sigue. j(a;.):X-R es una aproximación superior regular
convexa de f en a si es sublineal (positivamente homogénea y subaditiva) y continua y se
verifica:
j(a;v) "2:.f~(a;v), 'v'vEX.
Ioffe [7] y Jeyalrumar [9] consideran el siguiente concepto de UCA más débil.
Definición 2.1. j(a;.):X-R es una aproximación superior convexa de/ en a si es sublineal
y continua y se verifica que:
A r f (a;v) "2:.fD(a;v), 'v'vEX.
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Naturalmente que una UCA no está univocamente determinada y es claro que cada
UCA regular es una UCA. Para funciones localmente lipschitzianas estos dos conceptos
coinciden puesto que, en este caso, son iguales las derivadas superior de Dini y de Hadamard
superior. Además para esta clase de funciones las derivadas de Clarke y de Michel-Penot son
UCAs regulares. La derivada de Michel-Penot es también una UCA para funciones
direccionalmente estables, aunque, en este caso puede no ser una UCA regular. Otra clase
importante de funciones que poseen aproximaciones superiores convexas son las
quasidiferenciables introducidas y estudiadas por Demyanov y Rubinov (véase [4]). Asociada
a cada UCA se introduce el concepto de subdiferencial como sigue. (Análogamente
Pshenichnyi y Macatrian [16) introducen el concepto de subdiferencial asociado a una UCA
regular).
Definición 2.2. Dada una UCA de f en a, J (a;.): X-R , se llama subdiferencial de f en a
asociada a /(a;.) al subconjunto de elementos_ del dual dado por:
a A f(a) ={x*EX*: <x*,v> s.J(a;v), 'v'vEX}.
Si J (a ;.) es una UCA de f en a, entonces el teorema de Hahn-Banach asegura la
existencia de al menos un elemento del dual que verifica la condición anterior, de tal forma
que la subdiferencial es no vacía, en cuyo caso se dice que fes subdiferenciable en a.
Además a"f(a) es un subconjunto convexo y w·-débilmente cerrado del dual de X
y /(a;.) es la función soporte de a"¡(a) en el sentido del análisis convexo [17), es decir:
/(a;v) =sup{<x*,v>: x*Ea"f(a)} .
En particular, si/ es un funcional convexo y propio, f'(a;.):X-R es una UCA de/
en a, la subdiferencial asociada por el proceso anterior aRf(a) (subdiferencial del análisis
convexo [ 17)) es no vacía en cada punto del dominio efectivo de f Si f es localmente
lipschitziana en A, la aplicación f~L(a;.):X-R es una UCA de f en a, la subdiferencial
asociada aCLf(a) (subdiferencial de Clarke o CL-subdiferencial [3]) existe en cada punto de
A. Si fes direccionalmente estable en A, f~p(a;.):X-R es una UCA de f en a y la
subdiferencial asociada aM,f(a) (MP-subdiferencial [11)) existe en cada punto de A .
Obviamente para funciones Fréchet diferenciables la derivada direccional clásica es una UCA
y la diferencial Fréchet es la subdiferencial asociada. En general, aunque f sea estable en
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A, f~(a;.):X-R no es una UCA de/en a y por lo tanto la subdiferencial asociada avf(a)
(subdiferencial Dini o D-subdiferencial) puede ser vacía. En la proposición 3.2 se establecen
condiciones suficientes para que f sea Dini subdiferenciable.
Si se considera que fes convexa, localmente lipschitziana o direccionalmente estable
en A, resulta que, para cada aEA , a1t.f(a) , aCLf(a) y aMPf(a) son, respectivamente,
subconjuntos no vacíos convexos w* -débilmente compactos de X* . Cada una, de estas
subdiferenciales verifican, en su contexto, el siguiente teorema del valor medio (véase
[3],[11]).
Teorema 2.3 • .Si [a,b]cA , existen cE(a,b) y x*Ea 11f(c) tales que:
f(b)-f(a) =<x*,b-a> .
Definición 2.4. Una multifunción M: A =X* verifica la propiedad del valor medio respecto
de/si para cada segmento [a,b]cA , existen cE(a,b) y x*EM(c) tales que:
f(b)-f(a) =<x*,b-a>.
Dados los espacios normados X e Y, A abierto de X y a un punto de A, la
multifunción M:A=Y es semicontinua superiormente (s.c.s) en a si dado cualquier par de
sucesiones (x1)-a , (y1)-b con y1EM(x1) para cada i, se verifica que bEM(a) .
Lebourg [10] demuestra que la CL-subdiferencial es minimal, en las condiciones
siguientes, en el sentido del orden de P(X*) .
Teorema 2.5. (Lebourg [10]). Dada/ deA en R localmente lipschitziana, el gradiente gene­ralizado
x=acLf(x) es la "menor" multifunción de A en X* s.c.s. en A con valores conve­xos
w* -débilmente compactos que cumple la propiedad del valor medio respecto de f
3. MINIMALIDAD DE LA SUBDIFERENCIAL DINI
En el teorema 3.3 se estudian condiciones de minimalidad de la subdiferencial Dini.
Previamente, en la proposición 3.2, se dan condiciones suficientes para que f~(a;.): X-R. sea
una UCA de f en a y para ello se demuestra en primer lugar el siguiente lema.
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Lema 3.1. Si g:X~R es sublineal y acotada en un entorno de aEX , entonces es
lipschitziana en a (existe un entorno de a en el que es lipschitziana).
Demostración. Denotemos por B la bola abierta unidad y sea V el entorno de a en el que g
es acotada, existe 11>0 de forma que a+llBcV y en consecuencia
1 g(x)l~k. VxEa+liB.
Consideremos y,zEa+l-i Bca+llB 11 z-y y sea x=z+--- ; es claro que xEa+llB
2 2 llz-yl
Sea A=lz-yll , se tiene que
por ser g sublineal
24 11
z=--x+--y,
11 +24 11 +24
(~-6 >O) 11+24'11 +24
24 11
g(z)~-"-g(x)+--g(y)
11 +24 11 +24
restando g(y) en los dos miembros resulta
g(z)-g(y) 24 24 24 ~ --g(x)- --g(y) = --[g(x)-g(y)] ~
11+24 11+24 11+24
~ 24 lg(x)-g(y)1 = ~ lg(x)-g(y) l llz-yl = ~ lg(x)+(-g(y)) l llz-yl ~
11 11 11
~ ~ [lg(x) 1+lg(y)11 llz-yl ~ ~ (k+k) llz-yl = 4k llz-yl.
11 11 11
Como el papel de z e y se puede cambiar, se tiene finalmente que
4M 11
1g(z)-g(y)1~-lz-yll, Vz,yEa+-B
11 2
y existe un entorno de a en el que g es lipschitziana.
Como consecuencia inmediata de este lema resulta que, en las condiciones dadas, g
es estable en a y continua en a.
Proposición 3.2. Si f es estable en A y f~(.;v):A~R es s.c.s. en a para cada v,
1 entonces f0 (a;.):X~JR es una UCA de/ en a.
Demostración. Por ser/estable en A, para cada a y para todo v, f~(a;v) es finita. Además,
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a partir de la definición, es claro que /~(a;.): X -R es positivamente homogénea. Veamos que
es sublineal. En efecto, por ser /~(.;v):A-R s.c.s. en a para cada v, se tiene que
li,m..s.,,u pf~(x;v) s.f~(a;v)
lo que implica que para todo A.>f~(a;v) existe a>O de forma que
f 0' (x;v) s. A. , VxEB(a,a)
luego para cada u existe t,.>O tal que
t f 0 (a+tu;v) s. A. , VtE(O,t,.)
lo que significa que
limsupf~(a+tu;v) s.f~(a;v), VuEX
y por lo tanto
t..O'
lims f(a+tu+tv)-f(a+tu) limsu f(a+tv)-f(a) up s. P"--'--"'-'-~
,..a• t t..O' t
Por otro lado
~' ( ) 1. f(a+t<..u+v))-f(a) limsu f(a+tu+tv)-f(a+tu) lims f(a+tu)-f(a)
10 a;u+v = unsup s. p + up s.
t..O' t t..O' t t..O' t
s.limsupf(a+tv)-f(a) +limsupf(a+tu)-f(a) =f~(a;v) +f~(a;u) .
t..O' t t..O' t
Por último, te11iendo en cuenta el lema 3.1, la continuidad de /~(a;.):X-R en cada
v quedará probada si es acotada en un entorno de v. Si M<l la aq:>tación es clara, ya que
al ser f estable en a se cumple
l/~(a;v)ls.k, VvEB(0,1)
en donde k es la constante de estabilidad de f en a. Sea uEX y consideremos la
bola B(u,l) , para cada w de esta bola existe un v de la bola unidad tal que w=u+v, luego
1/o(a;w) 1 = lf~(a;u+v) 1 s. l/~(a;u) 1 +k, VwEB(u,l) :
Como consecuencia inmediata de esta proposición resulta que si fes estable en A
y f~(.;v):A-R es s.c.s. en a para cada v, entoncesfes D-subdiferenciable en a, además se
prueba que a0 f(a) es convexo y w* -débilmente compacto en X* y que /~(a; .): X-R es
la función soporte de a0 f(a) .
t Teorema 3.3. Seaf estable en A y / 0 (.;v):A-R s.c.s. en A para cada v, para cualquier
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subdiferencial M:A =X* s.c.s. en A que cumpla la propiedad del valor medio respecto de
f, se verifica que:
a0 f(a) cM(a), \t'aEA.
Demostración. Paracada aEA y cada vEX existe t>O deformaque [a,a+tv]cA . Como
M cumple el teorema del valor medio respecto de/ en [a,a+tv]cA , existen xE(a,a+tv)
y x*EM(x) tales que:
f(a+tv)-f(a) =<x*,tv>
luego
f(a+tv)-f(a) ·=<x* v>
t '
y por lo tanto
f(a+tv)-f(a) s; ·sup <x*, v> .
t x*eM(x)
Tomando límites superiores cuando t tiende a O por la derecha, se tiene
limsup/(a+tv)-/(a) dimsup sup <x*,v>
t..o• t t-o• x*eM(;ll)
y por la s.c.s. de M resulta que
de donde se deduce que
limsup/(a+tv)-/(a) s; sup <x*,v>
t..o• t x*eM(o)
f~(a;v) s; sup <x*, v>.
x*eM(o)
Finalmente, al ser f D-subdiferenciable en a, se tiene
f
/ 0 (a; v) = sup <x*, v> s; sup <x*, v>
x•eaoJ(o) x*EM(o)
y en consecuencia
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avf(a)cM(a), 'v'aEA.
4. RELACIÓN ENTRE SUBDIFERENCIALES
Se analizan a continuación las relaciones de contenido entre subdiferenciales y se
consideran, además de las descritas anteriormente, funciones Gateaux-diferenciables (G­diferenciables),
funciones estrictamente diferenciables (S-diferenciables) y funciones
contingentemente subdiferenciables o Hadamard subdiferenciables (H-subdiferenciables). Se
recuerdan las definiciones de diferencial estricta y de subdiferencial contingente o Hadamard.
fes S-diferenciable en a si para cada vE X existe la derivada estricta (en el sentido
de Bourbaki):
fs'(a;v) = lim f(x+tv)-f(x)
r--0·,:r~a t
y la aplicación //(a;.):X-R es lineal y continua, con lo que es una UCA y la subdiferencial
asociada es la diferencial estricta, que denotaremos D5f(a) . La diferencial Gateaux se
denota por Df(a) . La subdiferencial Hadamard o contingente es la asociada a /~(a;v) y
se denota por 88 /(a) .
En el siguiente teorema se resumen la existencia y las relaciones entre las distintas
diferenciales y subdiferenciales para diferentes clases de funciones. La mayoría de los
resultados son conocidos, en este caso se da la referencia correspondiente. Previamente, en
la proposición siguiente, se dan relaciones entre las derivadas direccionales generalizadas
cuya demostración es inmediata a partir de las definiciones.
Proposición 4.1. Dado aEA , para todo vEX se verifica que:
• 1 t .~ r r r (1) fv(a;v) s/ Np(a;v) s¡ ci(a;v) ; fv(a;v) s/ 8 (a;v) sfcL(a;v).
(ii) si/ es lipschitziana en a, se tiene que:
r t r r
fv(a;v) =/8 (a;v) sfNP(a;v) sfCL(a;v).
Teorema 4.2. Dada /:A-R y para cada aEA se verifica que:
(i) Si fes S-diferenciable en A, {Dsf(a)}=avf(a)=a8 /(a) =aMP/(a)=acd(a). (En
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particular si/ es de clase C1 ).
(ii) Si/ es G-diferenciable en A, {Df(a)} =aDj(a) =aMP/(a).
(iii) Si fes convexa y G-diferenciable en el abierto convexo A,
{ D /(a)} = a11.f(a) = aD/(a) = aH/(a) = aMP/(a) = aciJ(a).
(iv) Si/ es convexa en el abierto convexo A,
ª11.f(a) = ªDf(a) = ªHf(a) = a,,,pf(a) = ªcif(a) ·
(v) Si/ es localmente lipschitziana en A, ªDf(a) = ªHf(a) caMpf(a) caciJ(a).
(vi) Siles localmente lipschitziana y aD/( "):A-:tX'* es s.c.s. en A,
aD/(a) = aH/(a) = aMpf(a) = aCL/(a) ·
(vii) Si fes direccionalmente estable en A, aD/(a) = aHJ(a)ca,,,pf(a).
Demostración.
(i) La demostración de la igualdad {D5/(a)} =aCL/(a) puede verse en [3]. Además al ser
f estrictamente diferenciable en A, es lipschitziana en cada punto de A y la igualdad es
consecuencia de (v).
(ii) Es claro que si/ es G-diferenciable en A f~(a;v) = f'(a;v) y, como consecuencia se tiene
que { D /(a)} = aD/(a) . La demostración de la igualdad con la subdiferencial de Michel
Penot puede verse en (11]. En este caso f puede no ser H-subdiferenciable ni CL­subdiferenciable.
(iii) La demostración de la igualdad {D/(a)} =a11.f(a) puede verse en [17]. Como, además,
una función convexa Gateaux diferenciable es Fréchet diferenciable y de clase C1 en A, se
tienen las otras igualdades por (i).
(iv) La demostración de la igualdad a11.f(a) =aCL/(a) puede verse en [3]. Por otra parte, al
ser f convexa en A, existe derivada radial finita y se tiene que f~(a;v) = f'(a;v) , lo que
prueba la igualdad entre la subdiferencial del análisis convexo y la D-subdiferencial. Además
por ser f convexa en A es localmente lipschitziana y de 4.1 (ii) se tiene el resto de las
igualdades entre subdiferenciales.
(v) Es consecuencia inmediata de 4.1 (ii).
(vi) Es consecuencia del teorema de Lebourg teniendo en cuenta 4.1 (ii).
(vii) En general se verifica que f~(a;v) !;f~(a;v) . Veamos que, si fes direccionalmente
1 t estable en A, fH(a;v) !;/D(a;v) ; en efecto,
~t ( ) 1. f(a+tw)-f(a) limsupf(a+tw)-f(a+tv) limsupf(a+tv)-f(a)
JH a;v = llDSup !; + !;
t ... o•,w ... v t 1...0•,w ... v t 1...0•,w ... v t
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:S: O+ limsup/(a+tv)-/(a) =/~(a;v).
t..O' t
El contenido con la subdiferencial de Michel Penot es consecuencia de 4.1 (i).
FJemplo 4.3.
(i) Sea /(x) =x2 sen}_ si x,. O , /(O) =O . fes Fréchet-diferenciable en el punto cero y
X
resulta:
Nótese que el contenido es estricto y que f no es estrictamente derivable en el punto cero.
Este ejemplo pone de manifiesto que la subdiferencial de Clarke no se reduce a la de Fréchet
para funciones Fréchet diferenciables, aunque la contiene.
(ii) Sea f la norma euclidea de It" . fes convexa pero no G-diferenciable en el punto cero
y se tiene que:
a/f./(0) =aD/(0) =aaf(O) =aM,f(O) =ªcif(O) =B(O,l).
(iii)Sean E={;,,: nENUo}U{O} y /(x)=d{x,E)=min{lx-el: eEE} . Sedefineen[-1,l]la
función real g(x)=f(x) si O,s;x,s;l y g(x)=/(-x) si -1,s;x,s;O . Se comprueba fácilmente
que:
[-1/3,1/3) = aDf(O) =aaf(O) caCLf(O) = [-1,l].
ges lipschitziana en [-1 ,1) y no hay contradicción con el teorema de Lebourg puesto que las
multifunciones aD/(.) ,aaf(.): [ -1,1) ::s 1t no son semicontinuas superiormente. Por ejemplo
para aDf(. ) considerando las sucesiones (l/2")-0 e (y,,)-1 con y11=l para cada n, se
tiene que para cada n, y11=1EaD/(1/2")=[-1,1] y sin embargo l$aD/(0)=[-1/3, 1/3] . .
(iv) Existen funciones reales de variable real localmente lipschitzianas para las que el
contenido aD/(a) e acJ(a) es estricto salvo, a lo sumo, en un conjunto de medida (Lebesgue
unidimensional) nula. Lebourg [10] utiliza una función de este tipo. Se supone que m es la
medida de Lebesgue y el ejemplo se basa en la existencia de conjuntos B de Borel
en lt tales que O<m(Bíl/)<m(/} . El complementario de B tiene la misma propiedad y
se prueba que tanto B como su complementario son densos en lt . Sean B un conjunto con
la propiedad anterior, x8 su función característica y f definida por:
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f(x) =J. X8(t) dm(t).
t€[0,x)
fes lipschitziana y admite en casi todo punto derivada finita que coincide con x8 , luego
el conjunto de puntos en los que f'(x) =O es denso en R , y lo mismo sucede con el
conjunto de puntos en que f'(x) = 1 . aCLf(x) = [0,1] para todo xER , mientras
que a0 f(x) ={/'(x)} vale O o 1, salvo en un conjunto de medida nula. Nótese que utilizando
de la CL-subdiferencial, todos los puntos de R cumplen la condición necesaria de extremo.
(v) Si f no es localmente lipschitziana, la derivada Hadamard puede ser mayor que la de
Michel-Penot [5]. Por ejemplo, para /(x,y)=l si y=x2,x ;éO con f(x,y)=O en otró caso, se
tiene:
mientras que /~((O,O);(vl'v2))= +oo . En este caso /~((0,0);.) no es una UCA por lo que no
es H-subdiferenciable aunque es G-diferenciable.
(vi) Por último se propone un ejemplo de una función en que la D-subdiferencial es distinta
de la H-subdiferencial, siendo las dos derivadas direccionales generalizadas finitas.
Sea f(x,y) =0 si x =0 , con f(x,y) =2x+y en otro caso. Se tiene que /~((0,0);(0,1)) =O y
sin embargo /~((0,0);(0,l))= 1.
REFERENCIAS
[l] BORWEIN, J.M. (1987). The differentiability o/ real fanctions on normed linear
spaces using generalized subgradientes. Joum. Math. Anali. Appl. 128 nº 2, pp. 512-
534.
[2] CHOQUET, G. (1991). Applications recentes du theoreme "contingent-paratingent"
a /'analyse non-reguliere. Confer. Sem. Mat. Univ. Bari, pp. 237-244 1-11.
[3] CLARKE, F.H. (1983). Optimi.-1tion and nonsmooth analysis. Wiley lntersc. Pub!.
[4] DEMYANOV, V.F., RUBINOV, A.M. (1995). Constructive nonsmooth analysis.
Verlag Peter Lang.
[5] GLOVER, B.M., JEYAKUMAR, V. (1994). Abstraer nonsmooth nonconvex
programming. Lect. notes in Econ. and Math. syst. 405, pp. 186-210.
[6] HIRIART-URRUTY, J.B. (1985). Miscellanies o/ nonsmooth analysis and
91
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
optimization. Lect. notes in Econ. and Math. syst. 255, pp. 8-24.
[7] IOFFE, A.D. (1983). New app/ications o/ nonsmooth analysis to nonsmooth
optimization. Lect. Notes in Math. 979, pp. 178-201.
[8] IOFFE, A.D. (1984). Calculus o/ Dini subdiferentials o/ functions ami contingent
coderivatives o/ set-valued maps. Non!. Anal. Theor. ~eth . Appl. 8, nº 5, pp. 517-
539.
[9] JEYAKUMAR, V. (1987). On optimality comiitions in nonsmooth inequa/ity
constrained minimization. Num. Furtc. Anal. Opt. 9, pp. 535-546.
[10) LEBOURG, G. (1979). Generic dijferentiability o/ Lipschitzian functions. Trans.
Amer. Math. Soc. 256, pp. 125-144.
[11] MICHEL, P., PENOT, J.P. (1992). A generalized derivative for calm ami stable
functions. Diff. Integ. Eq. Vol. 5, 2, pp. 433-454.
[12] NOVO, V., RODRÍGUEZ MARÍN, L. (1990). An extension ofthe inversefunction
theorem. Rev. Real Acad. Cienc. Ex. Fis. Nat. 84 Cuad. 4, pp. 575-588.
[13] NOVO, V., RODRÍGUEZ MARÍN, L. (1994). A generalized dijferential o/ real
functionals. Rev. Real Acad. Cienc. Ex. Fis. Nat.-88, Cuad. 2-3, pp 287-296.
[14] PENOT, J.P. (1978). Calcul sous-dijferentiel et optimisation. J. Func. Anal. 27 nº
2, pp. 248-276.
[15] PENOT, J.P., TERPOLILLI, P. (1983). C6nes tangents et singularités. C.R. Acad.
Sci.Paris, Serie I 296, pp. 721-724.
[16) PSHENICHNYI, B.H., MACATRIAN, R.A. (1982). Constraints o/ equality type in
nonsmooth optimization problems. Soviet Math. Dok. 26 nº 3, pp. 659-662.
[17) ROCKAFELLAR, R.T. (1981). The theory o/ subgradients ami its applications to
problems o/ optimization. Convex ami nonconvex functions. Heldermann Verlag.
Berlin.
[18] ROCKAFELLAR, R.T. (1988). First ami secomi epi-dijferentiability in non linear
programming. Trans. Amer. Math. Soc. 307, pp. 75-108.
[19) ROCKAFELLAR, R.T. (1989). Secomi order optima/ity comiitions in non-linear
programming obtained by way o/ epi derivatives. Math. Oper. Res. 14, pp. 462-484.
[20] TREIMAN, J.S. (1988). Shrinking the set o/ generalized gradients. Non!. Anal. 12,
pp. 1420-1450.
[21] W ARD, J. ( 1987). Convex subcones o/ the contingent cone in nonsmooth calculus ami
optimization. Trans. Amer. Math. Soc. 302, pp. 661-682.
Re cibido: 1 5 Novi e mbre 1996
92