Colisiones cuánticas en una dimesión

              Rev. Acad. Canar Cienc, VIII (Mums 2. 3 y 4). 9 - 74 (1996)
COLISIONES CUANTICAS EN UNA
DIMENSION1
J.G. Muga
Departamento de Fisica Fundamental y Experimental, Facultad de Fisica,
Universidad de La Laguna, Tenerife
Abstract: Quantum scattering theory in one dimension, stationary and
time dependent, is reviewed. The basic operator formalism is provided and
its relation to reflection and transmission amplitudes is spelled out. Symme-tries,
the unitarity of the 5 matrix, and analytical properties are examined.
Especial atention is paid to the scattering of wave packets, in particular to
formulae for the transmittance, wave functions, dwell times, decay behaviour,
short and long time behaviour. The simple real potential case is examined as
well as complex potentials, potentials with different asymptotic limits at plus
and minus infinity and time dependent potentials. Numerical, approximate
methods, and transfer matrix techniques are also discussed.
Resumen: Este trabajo es una revision de la teorfa cuantica de coli-siones
en una dimension, en sus versiones "estacionaria" y "dependiente del
tiempo". Se proporciona el formalismo de operadores y su relacion con las
amplitudes de reflexion y transmision. Se examina el efecto de las simetrias.
la unitariedad de la "matriz S" y sus propiedes analiticas. Se presta especial
atencion a la colision de paquetes de ondas, en particular se obtienen formulas
para la transmitancia, funciones de onda, tiempos de permanencia, y para el
comportamiento asintotico a tiempos cortos y grandes. Se examina el caso
sencillo de potencial real asi como potenciales complejos, potenciales con dife-rentes
limites asintoticos en mas y menos infinito y potenciales dependientes
del tiempo. Se discuten tambien metodos aproximados y numericos.
^ste trabajo obtuvo el Premio de la Academia Canaria de Ciencias (Concurso del
afio 1996) correspondiente a trabajos de investigacion o de revision de temas de interes
cientifico sobre materias corespondientes al campo de la Fisica.
Contenidos
1 Introduccion
2 Premisas basicas y notacion
3 Teoria formal: Operadores abstractos y parametrizados
4 Simetrias
4.1 Invarianza de inversion temporal
4.2 Paridad
5 Estados propios del Hamiltoniano H
5.1 Relacion entre los coeficientes de reflexion y transmision con
los operadores basicos
5.2 Soluciones de Jost y propiedades analiticas
5.3 Unitariedad y sus consecuencias
6 Dependencia temporal
6.1 /,Que es un estado asintotico?
6.2 Algunas formulas utiles
6.3 La transmitancia
6.4 Una medida de la duracion de la colision: El tiempo de per-manencia
6.5 Importancia de las fases. Retardos. Tiempos de llegada . . .
6.6 Comportamiento a tiempos grandes
6.7 Comportamiento a tiempos cortos
10
7 Potenciales complejos
7.1 Formalismo
7.2 Absorbentes
8 Niveles asintoticos diferentes
9 Potenciales dependientes del tiempo
10 Metodos numericos y aproximados
10.1 Paquetes de onda dependientes del tiempo
10.2 Metodos de matrices de transferencia . . .
10.3 Colisiones multiples
10.4 Ecuaciones diferenciales
10.5 Aproximacion clasica de la transmitancia .
10.6 El metodo WKB y sus limitaciones . . . .
11 Conclusiones
1 Introduction
La teon'a cuantica de colisiones estudia choques entre particulas o entre
particulas y campos externos. Las colisiones son procesos localizados en
el espacio y en el tiempo. Es litil distinguir cualitativamente tres etapas:
antes, durante y despues del intervalo temporal en el que la interaccion es
efectiva. Antes y despues de la interaccion el sistema se mueve "libremente"
con respecto a la parte del potencial que se anula asintoticamente. La teon'a
tambien trata procesos de "decaimiento" en los que el sistema comienza en
la zona de interaccion y posteriormente se desplaza a la zona asintotica.
En los textos de teon'a de colisiones el caso sencillo de las colisiones
elasticas se presenta de forma invariable en un espacio de coordenadas tri-dimensional
(tipicamente discutiendo campos de fuerzas centrales), y no se
presta ninguna atencion a las colisiones en una dimension. Podemos encon-trar
algunos ejemplos de colisiones en una dimension en libros de mecanica
cuantica. Pero estos tratamientos ignoran el lenguaje y las poderosas tecnicas
de la teon'a de colisiones, tales como la formulation en terminos de operado-res,
y se concentran en soluciones directas de la ecuacion de Schrodinger en
casos resolubles analfticamente (por ejemplo igualando la funcion de onda y
su derivada en los bordes de la "barrera cuadrada" ) para obtener amplitudes
de transmision y reflexion. La teon'a de colisiones en una dimension es el
marco adecuado para ir mas alia de estos casos sencillos.
Muchos sistemas fi'sicos pueden describirse en una dimension (ID): La
•aplicacion de la aproximacion de la masa efectiva en estructuras semicon-ductoras
de capas lleva a una ecuacion efectiva en una dimension [1]. Mul-titud
de recientes publicaciones se dedican a estudiar aspectos particulares
de las colisiones monodimensionales en estas "heteroestructuras". Algunos
12
fenomenos de superficie, y las reacciones quimicas en ciertas condiciones pue-den
tambien describirse mediante modelos en ID [2]. La ventaja evidente de
estos modelos es su simplicidad. Debido a ella son utiles desde un punto de
vista pedagogico y tambien como herramientas de investigacion. Permiten
poner a prueba hipotesis, nuevas ideas, metodos de aproximacion y teorias
sin complicaciones innecesarias o costosas computacionalmente [3.4]. Por
ultimo, estos modelos se emplean con frecuencia para examinar cuestiones
fundamentales de la mecanica cuantica.
La teoria de colisiones en una dimension espacial presenta interesantes
peculiaridades que hasta el momento no han sido recogidas en ninguna mo-nografia,
aunque existe un buen niimero de publicaciones dispersas sobre el
tema. Este trabajo pretende cubrir parte de esta laguna. El asunto es sufi-cientemente
amplio como para tener que efectuar una seleccion de materias.
La que aqui se propone trata fundamentalmente de cubrir todos los aspectos
que un usuario ocasional de la teoria puede requerir. e incluye una coleccion
de formulas que no se encuentran en los textos de teoria de colisiones. Al-gunas
no habian sido obtenidas con anterioridad y otras son solo conocidas
por un reducido niimero de expertos. En cuanto al nivel de rigor matematico
hemos adoptado el "metodo del fisico". Esto significa que han de verificarse
un niimero de hipotesis en las aplicaciones concretas. tales como la existencia
de los operadores de Moller, la completitud asintotica de estados de colision.
o ciertas propiedades analiticas de elementos de matriz de la resolvente. Para
los lectores con inclinaciones matematicas senalaremos los puntos donde aiin
se requiere una clariflcacion rigurosa; esto ocurre especialmente en la seccion
dedicada a las colisiones dependientes del tiempo. Esta monografia se de-dica
al problema directo que estudia la solucion de la ecuacion de Schrodinger
con un potencial de interaccion supuestamente conocido. El problema inverso
13
consiste en recuperar el potencial a partir de informacion parcial o total de la
solucion. Por supuesto, los dos problemas estan relacionados, pero el inverso
requiere unas tecnicas y un lenguaje propios [5-11] que no discutiremos.
Una importante seccion se dedica a colisiones "dependientes del tiempo"
y procesos de decaimiento. A pesar de la inherente dependencia temporal de
un proceso de colision los textos usuales prestan mas atencion a la version
"estacionaria" de la teoria, que estudia las soluciones de la ecuacion estacio-naria
de Schrodinger. Esto se debe en parte a que el experimento de colision
convencional de haces moleculares (dirigido a obtener secciones eficaces) se
realiza en condiciones cuasi estacionarias, y tambien porque los estados es-tacionarios
forman una base para analizar el proceso real dependiente del
tiempo. En muchos textos la evolucion de paquetes de ondas se relega a
justificar en el limite monoenergetico la derivacion de expresiones para la
seccion eficaz obtenidas mediante el formalismo estacionario, y a discutir
brevemente tiempos de vida de resonancias. Sin embargo, en procesos de de-caimiento
de estados inestables el parametro relevante es el tiempo de vida
en vez de la seccion eficaz, y de hecho es cada vez mas importante considerar
explicftamente la dependencia temporal en casos mas generales. Los expe-riments
modernos de colisiones incorporan laseres con pulsos de brevisima
duracion (femtosegundos) que hacen posible observar el movimiento de los
paquetes de ondas en tiempo real, y disefiar estados iniciales particulares
para lograr comportamientos dinamicos especificos. La teoria debe adaptar-se
a estas nuevas necesidades prestando mas atencion a la caracterizacion
temporal. De hecho, debemos estudiar el proceso completo de colision, que
incluye la etapa transitoria (durante la colision), y no solo los regimenes
asintoticos. La bibliografia tradicional de teoria de colisiones destaca la co-nexion
entre los dos regimenes asintoticos pero desprecia lo que ocurre en la
14
region intermedia de interaccion por considerarla "no observable".
Pueden plantearse muchas generalizaciones del caso sencillo de una particula
sin estructura que se mueve bajo el efecto de un potencial real y local en una
dimension. Nos limitaremos aqui a las colisiones, descritas en una dimension
matematica, de una particula sin estructura con un bianco, la barrera de
potencial. Hemos preferido una presentation mas pedagogica que compacta:
en lugar de describir una teoria general valida para potenciales arbitrarios
pero notacionalmente farragosa, estudiaremos primero el caso mas simple con
detalle. Algunas de las complicaciones se discuten en secciones posteriores de-dicadas
a potenciales con niveles asintoticos diferentes a derecha e izquierda.
potenciales complejos no hermiticos e interacciones dependientes del tiempo.
Una interpretation amplia de la expresion "'colisiones en una dimension"
podria incluir colisiones inelasticas y reactivas de sistemas compuestos por
particulas limitadas a un movimiento rectiKneo pero no estudiaremos este
caso.
2 Premisas basicas y notacion
En un marco no relativista, el operador Hamiltoniano para una particula
sencilla (sin estructura) en una dimension puede escribirse como H = H + V,
donde
es el operador de energia cinetica en terminos del operador momento pop . y
V es el potencial. Supondremos en general que V es un operador local, es
decir en representacion de coordenadas tiene como elementos de matriz
(x\V\x') =6{x-x')V{x), (2)
15
y que V(x) se anula con suficiente rapidez (el criterio se especificara mas
adelante) para valores grandes de \x\. [El submdice "op" se usa en aque-llos
operadores cuanticos que puedan confundirse con numeros ordinarios o
funciones.] Los estados propios de pop y H son ondas planas con momento
definido \p),
(x\p) = /i-
1/2
e
txp/ ft
. (3)
Estan normalizados a la delta de Dirac,
{p\p') = 6(p-p'). (4)
Las relaciones de cierre (o resoluciones del operador unidad l op ) pueden es-cribirse
en representacion de coordenadas o de momentos,
/oo roo
dx\x)(x\~ dp\p)(p\. (5)
-oo J — oo
3 Teoria formal: Operadores abstractos y
parametrizados
En esta seccion y en la siguiente trasladamos a una dimension la teoria formal
que se describe en las monografias dedicadas a las colisiones en el espacio de
tres dimensiones. Los libros de Taylor o Newton [12,13] pueden servir de
apoyo para aclarar el origen de las formulas o aspectos de rigor matematico.
El estado normalizado de la particula en el espacio de Hilbert se denota
como ip(t). En el pasado y futuro remotos evoluciona esencialmente de forma
libre, y tiende (en el sentido de un limite fuerte) a los estados asintoticos de
entrada y salida, <f) ent y <f>sa\ respectivamente,
tf>W->&nt(t) , *--00 (6)
0(0-^^(0 , *-»oo. (7)
16
Los operadores de la teoria de colisiones se formulan en versiones abstractas o
parametrizadas que no debemos confundir. (Esto ocurre con cierta frecuencia
a causa de una notacion deficiente). En esta seccion se proporcionan las de-finiciones
y formulas basicas. Los operadores de Moller conectan los estados
asintoticos con el estado real 0, y S conecta los dos estados asintoticos,
0(0 = n+0ent(*) (8)
0W = n_0sal(o (9)
&al(0 = S4>ent (t). (10)
Los operadores abstractos se definen mediante limites (fuertes) que implican
tiempos infinitos,
Q± = lim e
*#*/fcc-iflb*/«
(U )
t-* ^oo v '
r* = vn± (12)
s = aln+ . (13)
T y S son los operadores de transition y colision respectivamente (la forma
mas habitual de nombrarlos es operador "te" y operador "ese" respectiva-mente).
Estos limites pueden existir cuando los operadores actuan sobre
estados del espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable. Sin em-bargo
es conveniente considerar una extension que pueda aplicarse a ondas
planas, que estan fuera del espacio de Hilbert pero constituyen una base util
para sus funciones. Definiremos primero los operadores parametrizados
Q(z) = 1 + G (z)Top (z) (14)
Top (z) = V + VG(z)V, (15)
donde z es una variable compleja con dimensiones de energia, y se han intro-ducido
las resolventes de H y de if , G(z) = (z — H)'1 y Gq(z) = (z— H )~ l
17
respectivamente. Las relaciones entre G(z), G (z) Top (z) y V son
G(z) = G (z) + G (z)Top (z)Go(z) (16)
Top(z)G (z) = VG(z) (17)
Las resolventes son singulares en el eje real positivo (con un corte de rama)
y en polos sobre el eje real negativo (estados ligados) del piano z.
La relacion entre operadores abstractos y parametrizados se encuentra ac-tuando
con (11) sobre una estado de cuadrado integrable. Puede introducirse
un factor de convergencia sin cambiar el valor de la integral,
n+ = lim e f° dt e
«
e
iHt/h
e
iHQ t/K / lg x
n. = lime/ dte-£t
e
lHt/ h
e
lHot/ n
. (19) e^0+ J V >
Usando ahora una relacion de cierre en momentos se obtiene
n± \<f>) = JdP n(Ep ±iO)\p)(Pw (20)
l*]*) = JdP Top(Ep ±iO)\p)(p\<t>). (21)
A diferencia de los operadores abstractos, la accion de los operadores $l(Ep ±
z'0) sobre las ondas planas esta bien definida. En particular, pueden obtenerse
de esta forma estados propios de H,
|p*) = n(Ep ± i0)\p) = \p) + -
± - _ Ho
T°AEp ± »)W • (22)
Llamaremos al segundo termino de la parte derecha de esta ecuacion integral
"onda difundida" para distinguirlo de la "onda plana" del primer termino.
Para obtener una representacion de coordenadas y evaluar el comportamiento
asintotico se requieren los elementos de matriz de la resolvente,
^E^hw^^me±iM^/H
-
(23)
18
Asintoticamente (\x\ grande y x' fijo),
Las dos formas de acercamiento al eje real, desde abajo o desde arriba, en
(23) implican diferentes condiciones de contorno. Para |p
+
) laonda difundida
se forma con ondas salientes, y para \p~) con ondas entrantes.
Podemos introducir las siguientes resoluciones de los operadores Q, T y
n± = Jdp\p±){p\ (25)
T± = vJdp^W (26)
5 = JJdpdp'\p'){p-\p
+
){p\. (27)
Estrictamente los operadores en las ecuaciones (25-27) no son identicos a los
de las ecuaciones en (11-13) puesto que el dominio de los parametrizados
incluye las ondas planas. Sin embargo, al actuar sobre estados del espacio de
Hilbert son equivalentes, de manera que para evitar una notacion complicada
usaremos el mismo simbolo.
Si el potencial V(x) es real la colision conserva la norma, (4>ent\4>ent) —
(0|t/?) = {<f>sei\<t>sai) • Esto significa que los operadores de Moller son isometricos.
nln± = l op . (28)
Los estados de colision ip(t) con asintotas entrantes y salientes se alejan del
potencial en el pasado y futuro remotos por lo que son ortogonales a los es-tados
ligados {|3>j)}, localizados en la zona de interaccion, a tiempos (positi-vos
o negativos) grandes. Como el solapamiento de dos estados cualesquiera
(V>|$j) = es independente del tiempo, el espacio de estados ligados es de
19
hecho ortogonal al de estados de colision, es decir, al rango de los operadores
de Moller. Supondremos siempre que los rangos de los dos operadores de
Moller son iguales (subespacio de estados de colision), y que el espacio de
Hilbert puede dividirse en el subespacio de estados ligados y el subespacio de
estados de colision. Esta propiedad se conoce como completitud asintotica,
Ot^i = lop - A
,
(29)
y se satisface por la mayoria de potenciales que se encuentran en la practica.
En esta expresion el operador "deficiencia unitaria" A proyecta al espacio de
estados ligados,
A = £l*iX*il- (30)
3
Como consecuencia de la isometria (28) la normalizacion de los estados \p
±
)
coincide con la de las ondas planas,
(p
±
|p'
±
) = «(p-p')- (31)
Pueden obtenerse varias resoluciones de la identidad usando conjuntos com-pletos
de estados propios de H,
l OD = A + jdp\^)i^\. (32)
Otro elemento importante de la teoria es la "matriz 5"'. En representacion
de momentos tiene la forma
Spp, = S(p - p') - 2inS(Ep - Ep,)(p\Top(Ep + i0)\p') . (33)
Usualmente se introduce una matriz S "en la capa de energiV eliminando una
20
funcion delta de energia presente en (33) como un factor comiin. Usando2
>-p') = ^6(E E'
p )6rt (34
donde Spp > es la delta de Kronecker,
1 si p = p'
y Spp — |p| m_1 ^(-£p — £p
)Spp'- la matriz de colision dos por dos en la capa d<
energia (p|S|p') se define mediante
2 1 ~ TYl
(p|S|p') = 6PP , - —(p\Top(Ep + iO)\p') , p = ±p'. (36)
4 Simetrias
4.1 Invarianza de inversion temporal
El operador de inversion temporal 9 actiia sobre los estados propios de la
posicion y del moment o como
B\p) = \-p). 0\x) = \x). (37)
Es antilineal v antiunitario.
9c\l') = C6\v) (38)
eei = ei e = lop (39)
(c es cualquier constante compleja). Como 9 es antilineal la accion del ope-rador
adjunto 9^ viene dada por
(o.e^v) = {9o.u)- . (40)
En general
6{Ep -Ep) = ^[6(p-p') + 6(p + p1
)]
21
(Para evitar errores es conveniente usar la "notacion de los matematicosi:
para los productos escalares en vez de la notacion usual de Dirac.)
Suponiendo que el potencial es real se cumple que [9, H] — 0, y por tanto
cambia el signo de los operadores de Moller,
Como consecuencia.
y (en la capa de energfa)
9n± =QT 9. (41
S = d ]S] 9, (42)
(P\S\P') = (-P'\S\-P) (43)
(pl^W) = (-jt\T±\-p). (44)
4.2 Paridad
Muchos modelos de potencial son simetricos con respecto a una posicion
central x = 0. El operador paridad 14 es unitario y cambia el signo de los
vectores propios de posicion y momento, 14 \x) = | — x), y 14 |p) = II | — p). Para
Hamiltonianos invariantes frente a transformaciones de paridad (potenciales
pares) [11,//] = y [14, H± ] = 0. Por tanto,
(PIT^P) = (-plT^-p') (45)
(P\S\p') = (-p\S\-p'). (46)
5 Estados propios del Hamiltoniano H
Los estados propios de H dados por las ecuaciones integrales de Lippmann-
Schwinger (22) se comportan asintoticamente, de acuerdo con (24), como
una combinacion de ondas planas con momentos positivos y negativos. Los
22
factores que tnultiplican estas ondas planas son las amplitudes do rolloxiou \
transmision seguu la siguiente tabla (supondremos por ahora que p > 0)
1 J
exp(ipx/h) -j- $(p)exp(—ipx/k), si x ~ —oc
h& [Tl(p)exp(ipx/h), si x - 3c.
_\_(Tr {p)exp\-ipx/h). si ./ oc
h 1 / 2 \ cxp(—ipx/h) + Rr (p)cxp(ipx/h). si x ~ oc.
Para p > estas funciones son las representaciones do coordenadas de (j"|p
+
)
y (x\(—p) +
). respectivamente, correspondientes a una onda plana entranU
desde la izquierda. (x\p). o desde la derecha (x\ — p). T(p) y R(p) son
amplitudes de transmision y reflexion para estos estados estacionarios. x
:
se formara un paquete de ondas de cuadrado integrable dominado por \p
+
)
[14]. este paquete sen'a localmente parecido a la onda plana \p) antes de la
colision. Despues de la colision se separaria en dos paquetes. uno reflejado y
otro transmitido. con probabilidades \R\
2
y \T\
2
.
Sin embargo para p < los estados en (47) y (48) corresponden. respect i-vamente.
a (x\p~). con onda plana saliente (x\p). y (a:| —p~). con onda plana
saliente (x\ — p). Como antes la expresion "saliente" se refiere a un paquete
de ondas dominado por \p~). Este paquete de ondas sen'a localmente pare-cido
a una onda plana solo despues de la colision. de forma que la asintota
entrante debe combinar ondas incidentes desde los dos lados de la barrera.
Est a combinacion puede ser diffcil de conseguir en la practica. lo cual no
impide la utilidad de estos estados como funciones base, y en general en apli-caciones
donde se controla o selecciona el estado final en lugar (o ademas)
de preparse el estado inicial.
Xotese que T(p < 0) no es una amplitud de transmision estandar. Sin
embargo, continiia analiticamente la amplitud de transmision T(p > 0) al do-minio
p < 0. y mantendremos el mismo nombre. "amplitud de transmision".
23
independientemente del signo de p. De acuerdo con nuestra convencion los
argumentos positivos de las amplitudes corresponden a estados |/?
+
), mientras
que argumentos negativos corresponden a estados \p~).
El coeficiente de reflexion, 1Z — \R(p)\ 2
, es el cociente entre la magnitud
del flujo reflejado, j , y el flujo entrante j
ent
; mientras que el coeficiente
de transmision, T = \T(p)\ 2
, es el cociente entre los flujos transmitido j
T
y entrante.3 De las anteriores definiciones se desprende que j
T = j
ent
(l —
\R{p)\ 2
) y \T{p)\ 2 = 1 — \R(p)\ 2
, en concordancia con la conservacion del flujo
total.
5.1 Relacion entre los coeficientes de reflexion y trans-mision
con los operadores basicos
Para potenciales de soporte finito formados por secuencias de pozos y barreras
"cuadrados" las amplitudes T y R se obtienen "empatando" la funcion de
onda y su derivada en los extremos de cada pozo o barrera. Evidentemente,
en casos mas complicados es necesario un procedimiento mas general que se
describe en esta seccion.
Comparando el comportamiento asintotico (a |x| grande) de los estados
en (47) y (48) con el comportamiento asintotico en (22), y usando (24), las
amplitudes R{p) y T(p) pueden relacionarse con los elementos de matriz en
la capa de energia del operador de transicion. Detallaremos un caso a modo
de ejemplo. Supongamos p > y x —> oo,
Jdx'(x\Go(Ep + iO)\x'){x'\Top(Ep + iO)\p) s (49)
- ~—
L (x\Top (Ep + iO)\p) = (x\p)T+
p (50)
3T tambien se llama en ocasiones "coeficiente de transmision", y T "penetrabilidacT,
''transmisividad", "transparencia de la barrera" o "coeficiente de penetracion"
24
El resto de los casos puede tratarse de forma similar, en particular
rw = i-^*'. (si)
Hemos usado la invarianza de inversion temporal, que implica T*p
= T*p ,
para escribir Tr
(p) = Tl
(p) = T(p). Las otras amplitudes vienen dadas por
*(„) = _2™Ij-j-W
P
"•"
fl-(p) = -^3*». (52)
De (51) se obtienen las relaciones
[T(-p)Y = T(p), p real (53)
RrJ (-p)' = RrJ
(p). (54)
Usando (36), (51) y (52) la matriz S toma la forma
p puede ser positivo o negativo pero de hecho uno de estos casos, por ejemplo
p > contiene toda la informacion de acuerdo con (53),
S*0») = S(-p) (56)
S*(p) = S(-p). (57)
Una diferencia importante entre las colisiones en la recta real, — oo < x < oo,
y las colisiones radiales en un semieje, < r < oo, es que en las primeras
la matriz 5 es una matriz unitaria 2x2 mientras que en las segundas es un
numero complejo de modulo unidad. En un caso el espectro es degenerado y
en el otro simple.
25
5.2 Soluciones de Jost y propiedades analiticas
Ya se han descrito dos conjuntos de soluciones linealmente independientes
\p
±
). Otro par de soluciones utiles viene dado por las soluciones de Josty
lim Mx)e-xvx ' n = 1
x—»-oo
lim ij>2 {x)e
tpx/h = 1 (58)
x——oo
[Se entiende que lim^oo ipi(x)'e~
tpx /h = ip/hy\iTnx-,- 00 ip2(x) / e
ipx^h = —ip/H.
Estas condiciones de contorno iniciales explicitas facilitan su calculo numerico
y por tanto la obtencion de las amplitudes, pero sobre todo permiten exa-minar
las propiedades analiticas de las amplitudes de reflexion y transmision
en el piano complejo. Se relacionan con las soluciones en (47) y (48) por
^ = T(p)- l
\p
s^p
) (59)
02 = T(p)- l \p- si^) (60)
Las correspondientes ecuaciones integrales se obtienen por medio de las fun-ciones
de Green para las condiciones de contorno (58),
2Amm f°°
^(x) = e
ipx 'h - / sin[p(x-x')/ft]V(x>i(x')dx'
P J*
2 (x) = e
ipx'n - — f sin[p(x - x') /fc]V(x')^2(s')<k' (61)
P J-oo
Una prueba de la igualdad entre Tr y Tl se obtiene evaluando el Wronskiano
W(0i>02) en ambos lados de la barrera, W(^i,V>2) = —2ik/Tl = —2ik/TT
[8].
A partir del comportamiento asintotico de las soluciones de Jost se en-cuentran
expresiones integrales para las amplitudes de transmision y re-flexion,
f
= X + Ihl-J V{x)Mx)dx (62)
26
= l +
xii JLd
1
-
r)dx
Rl /Tl = ^jHe'WV(x>,(*')<k'
KIT = —J_j-^V(x')v2 ^)dx' (65)
El estudio de las propiedades analiticas de las funciones y amplitudes eo el
piano complejo de momentos es un campo fascinante pero por falta de espacio
nos limitamos a resumir las ideas y los resultados mas importantes [15].
Las propiedades analiticas son muy utiles para investigar el comportamiento
en umbrales energeticos, las colisiones "resonantes", efectos transitorios, o
evolucion a tiempos muy breves o muy grandes. Es facil probar que las
funciones (61) y los coeficientes (62-65) existen en el semiplano superior [8]
para potenciales que satisfagan la condicion
fdx(l + x2
)\V(x)\. (66)
La posibilidad de continuarlas analiticamente al semiplano inferior depende
de las propiedades especificas de la funcion potencial. El punto clave es el
comportamiento de las exponenciales en (65). Estas exponeciales crecen en el
semiplano inferior sin limite. Sin embargo, si el potencial es de soporte finito
las integrales existen en todo el piano excepto en polos sobre el eje imaginario
positivo (estados ligados) v polos en el semiplano inferior (resonancias). Si
el potencial decae exponencialmente, compensa el crecimiento hasta cierto
valor del momento imaginario. lo que permite establecer una banda de ana-liticidad
en el semiplano inferior. El uso de coordenadas complejas permite
tambien extender el dominio de analiticidad excepto posiblemente en el se-mieje
imaginario negativo.
Cuando T(p)' 1 = en el semiplano superior el Wronskiano se hace cero.
las dos soluciones de Jost son linealmente dependientes y disminuyen expo-
27
nencialmente en el infinito, es decir, corresponden a un estado ligado. Estos
ceros deben ser simples [8].
Suponiendo que el potencial obedece la restriccion (66) se tiene para
3mp > [8]
T(p) = l + 0(l/\p\). (67)
Si T(p = 0) = 0, en la proximidad del origen,
T(p) = bp + o(P), 6^0 (68)
para Smp > 0.
La funcion compleja T(p)' 1 puede usarse exactamente como se usa la
funcion de Jost de la onda parcial / = en colisiones de potenciales esfericos
para obtener el teorema de Levinson. Este teorema relaciona el niimero de
estados ligados n con la fase de la amplitud de transmision [16-18],
_ ,n* , , v J wn — ^ (no hay estado cuasi-ligado en p = 0) ,„rt > $T(0) - $T(oo) = <
2 J
^^
69
[ nn (estado cuasi-ligado en p = 0)
El caso excepcional T(p = 0) ^ no corresponde a un estado normalizado,
y se asocia con un estado cuasi-ligado.
5.3 Unitariedad y sus consecuencias
La unitariedad de la matriz de colision S, SS t = S*S = 1 proporciona dos
relaciones: de los elementos diagonales se obtiene
\T(p)f + |JT'(p)|
J = 1, (70)
y de los no diagonales,
T(p){Rl
(p)Y + [T(p)YRT
(p) = , p real. (71)
28
Expresando las amplitudes de transmision y reflexion en terminos de modulo
y fase,
T(p) = \T(p)\e^(p) (72)
Rr
>'(p) = \Rr > l(p)W*»M, (73)
la ecuacion (71) permite relacionar las fases,
2$T + (2n + 1)tt = <Z> Rr + $Ri
, (74)
donde n es un entero [19]. Resolviendo la ecuacion matricial Sas = A s a se
obtienen dos valores propios,
A = T + (Rr
Bf) 1/2
(75)
X, = T-(RT R1
)
1 ' 2
. (76)
Al ser S unitaria, estos valores propios tienen modulo unidad, como se com-prueba
con (74), y pueden expresarse mediante "desfasajes propios", As =
e
2l5% s = 0,1,
£ = [$T + arctan(|T|/|i?|)]/2 (77)
8Y = [$T + arctan(-|r|/|i?|)]/2. (78)
El producto de valores propios se relaciona con la fase de la amplitud de
transmision, det S = exp2z$j. Los autovectores as proporcionan dos estados
linealmente independientes con la propiedad de que las amplitudes de ondas
salientes son iguales a las amplitudes de ondas entrantes excepto por el factor
de fase exp(2z^s ). Los dos posibles cocientes con esta propiedad entre las
amplitudes de ondas entrantes de derecha e izquierda son ±(Rl /Rr
)
1 ^ 2
. Si el
potencial es par se cumple que R = Rl = Rr
, y estas soluciones se convierten
29
en pares e impares con ondas entrantes \p) ± | — p). Esta circunstancia se ha
aprovechado para elaborar un formalismo paralelo al que se emplea para las
ondas parciales en tres dimensiones [20-24].
6 Dependencia temporal
La dependencia temporal del estado (x\tp(t)) puede expresarse mediante la
cuadratura
(s|0(*)) = Jdp(x\p
± )e^E^h
{p
±
\^0)) . (79)
Toda la information sobre la evolution del paquete de ondas esta en principio
contenida en (79), pero es conveniente analizarla en terminos de conceptos o
parametros sencillos.
La colision tipica comienza con la preparation de un estado a un lado
de la barrera con momento medio dirigido hacia la misma. Supondremos
que el estado esta a la izquierda y que tiene momento medio positivo. Tras
el choque surgen dos paquetes de onda, uno transmitido y otro reflejado,
con posiciones centrales retrasadas o adelantadas (segun las caracterfsticas
del potencial y las energfas implicadas) con respecto a un movimiento libre
de referenda. La mecanica cuantica se manifiesta a traves de una serie de
fenomenos peculiares debidos a la deslocalizacion y coherencia de la funcion
de onda:
• En las colisiones resonantes parte del paquete de ondas permanece un
tiempo mayor que lo habitual localizado en la zona de interaction. Si
la resonancia corresponde a un pico en el coeficiente de transmision y
la anchura en momentos del paquete de ondas inicial es mayor que la
anchura de la resonancia el paquete reflejado presenta dos maximos y
30
un minimo correlacionado con los momentos transmit idos preferencial-mente
[25,26]. (Este tipo de correlacion posicion-momento se aprecia
mejor empleando cuasi-distribuciones de probabilidad conjunta de po-siciones
y momentos tales como la funcion de W'igner [27].) Si la reso-nancia
corresponde, por el contrario. a un maximo en el coeficiente de
reflexion, el minimo aparece en el paquete transmitido. Las resonancias
pueden en general asociarse a singularidades (polos) de las amplitudes
de transmision o reflexion en el semiplano inferior del piano complejo
de momentos.
El efecto tunel es otro de los efectos cuanticos paradigmaticos. Las
potenciales aplicaciones del efecto tunel resonante, en el que la transmi-sion
por debajo del umbral aumenta de forma significativa en torno a la
energfa de la resonancia. han impulsado todo un campo de investigacion
que estudia las propiedades y el disefio de estructuras semiconducto-ras.
Un reto importante consiste en determinar las escalas de tiempO
implicadas, pues la intuicion clasica no es aplicable. Tan extrano como
el efecto tunel, aunque poco comentado. es el efecto contrario segiin el
cual paquetes con energfa superior al maximo de la barrera son refleja-dos
en parte. Esto ocurre con potenciales tan sencillos como un "pozo
cuadrado".
Al discutir el efecto tunel en colisiones con paquetes de ondas hay que
tener en cuenta que existe cierta ambigiiedad en su definicion. Como
veremos en una seccion posterior dedicada a la "transmitancia clasica".
la condicion (E) < Vq (donde Vq es el maximo valor de V(x)) se con-sidera
a veces como definitoria del efecto tunel. Pero esta condicion
no impide que parte de un colectivo clasico con la misma distribucion
31
energetica y valor medio que el estado cuantico atraviese la barrera
con similar probabilidad que el cuantico. Para que el efecto tiinel sea
genuino es necesario que el paquete de ondas transmitido este funda-mentalmente
compuesto por momentos por debajo del umbral clasico
(2mV )
1/2
.
• La colision permite ademas el acceso a valores "prohibidos" clasicamente
de determinadas variables, tales como el momento. En una colision de
un colectivo estadistico clasico con una barrera positiva que tienda a
cero a derecha e izquierda se cumple necesariamente la desigualdad
(para todo p\ y todo t)
/•oo roo
/ dpf(p,t)< / rfp/(p,0), (80)
donde f(p,t) es la densidad de probabilidad de momento p a tiempo t.
Sin embargo esta desigualdad puede violarse en el caso cuantico.
6.1 £Que es un estado asintotico?
Puesto que los operadores de Moller son isometricos podemos escribir
(pXo)} = wntn+wuo)) (si)
en la ecuacion (79). En muchas simulaciones numericas el estado se coloca
lejos del potencial en el instante en que se inicia el calculo, convencionalmente
t = 0. En un experimento, t = puede identiflcarse con el tiempo de
preparacion. Al no existir solapamiento con el potencial en este instante
la tentacion es escribir 0(0) = </>ent(0). En general esta substitucion no
es correcta. Recordemos el significado de <f> ent . Es un estado** que evoluciona
libremente al cual tiende el estado real en el pasado remoto. Sin embargo, si el
32
estado inicial v(0) tiene componentes negativas parte del paquete se movera
hacia el potencial al disminuir /, y finalmente chocara con el. Un verdadero
estado asintotico localizado a la izquierda del potencial se caracteriza por
tanto por tener solo componentes de momento positivas. Paradojicamente
esto es imposible desde un punto de vista estricto, ya que la localizacion en
un semiespacio de coordenadas conlleva una deslocalizacion en momentos,
pero en la practica podemos acercarnos suficientemente a este caso ideal, por
ejemplo mediante paquetes de ondas Gaussianos con varianzas seleccionadas
de forma que el solapamiento inicial con momentos negativos y posiciones
positivas sea despreciable.
6.2 Algunas formulas utiles
En una simulacion numerica o en un experimento real el estado inicial a
tiempo t = no es necesariamente un estado asintotico, es decir no se puede
identificar 0(0) con ent(O) debido a la posible presencia de momentos nega-tivos.
Supongamos unicamente que el estado inicial esta bien localizado a la
izquierda de la barrera de forma que se cumpla
/„+,,.((!» _ <pM0)> + (-pM0))R'(p) p > o
i (pHO)m-p) P < o
(82)
Entonces la integral (79) puede separarse en dos partes,
(x\v(t)) = rdp(x\p+ )e- E>"n
{p\v(0)) (83)
+ /_^ dpe-'^Wm) [(*\P
+
)T(P) + («| - P
+ )R\p)} ,
donde se ha tenido en cuenta (53). La expresion entre parent esis [...] es un
estado propio de H. Usando (70) y (71), la consideracion expHcita de sus
condiciones de contorno en ±cc indica que este estado propio es \p~) (p < 0),
33
que continua analfticamente \p
+
) (p > 0) para momentos negativos. Como
consecuencia, para valores grandes y positivos de x podemos escribir
/oo
dp(x\p)e- iE^h
(p\i;(0))T(p), (84)
-oo
y esto es todo lo que se requiere en muchas aplicaciones. La extension del
limite de la integral a — oo es un resultado notable y contrario a la intuicion
clasica. De hecho muchos autores truncan incorrectamente la integral en
p = 0.
6.3 La transmitancia
La transmitancia T(ip) es la probabilidad, para un estado dado 0, de terminar
con momento positivo en el futuro remoto. Excepto por el argumento usare-mos
la misma notation para esta cantidad y para el coeficiente de transmision
(correspondiente a un momento fijo), T(p). T(ip) y T(p) estan mtimamente
relacionados como se demuestra mas abajo. [Los argumentos se omitiran
cuando el contexto clarifique cual de las dos cantidades se esta manejando.]
Como la distribution de momentos de un estado asintotico <^sai no cambia
con el tiempo, la transmitancia puede escribirse como
/•oo
T(0) - / rfp{p|rfw(0))(*M(0)b) (85)
Jo
/oo
= / dp(p-\tl>(0)){il>(0)\p-)- (86)
Se obtiene una expresion sencilla suponiendo que a tiempo t = el paquete de
ondas no solapa con el potencial. En este caso se pueden introducir relaciones
de cierre en el espacio de coordenadas y usar la expresion asintotica para el
estado \p~) a la izquierda. El resultado es
J
/-co roo
' dp\{P\4,(0))\
2 \T(-p)\ 2 = / <W(p)|2
|<pW>)>|
2
, (87)
o Jo
34
donde se ha usado (53).
La probabilidad de terminar con momento positivo es igual a la probabi-lidad
de acabar en la parte derecha del potencial. El estado ip se comporta
finalmente como un estado libre 8aj, y puede demostrarse rigurosamente
para el movimiento libre que cuando t —» oo [28],
f°° r°°
/ dp\<t>sal (p)\
2 = Km / cfx|0saJ (x)|
2
(88)
f° dp\cj>sal (p)\
2 = lim f dx\<t>sal (x)\
2
(89)
para cualquier coordenada finita a.
Veamos otra interesante expresion para la transmitancia, como siempre
suponiendo que el paquete esta inicialmente a la izquierda de la barrera. El
punto de partida es la ecuacion de continuidad
c/|0(x)|
2 dJ(x,t)
dt dx
donde
(90)
J(x,t) = -lm[iP*(x,t)diP(x,t)/dx] (91)
es la densidad de corriente cuantica.
Integrando desde a hasta oo, y suponiendo J(oc,t) = 0,
—dNJ^aL,ti) = J(M). (92)
donde N+(a,t) es la norma a la derecha del punto a,
tf+(M)= r dx\^(x)\ 2
. (93)
Finalmente, integrando de t = a oo, y suponiendo JV+ (a,0) = se obtiene
Tty) = 7V+(a, oo) = /°° A J(a, t)
(94)
Jo
35
6.4 Una medida de la duracion de la colision: El
tiempo de permanencia
La colision de un paquete de ondas con una barrera de potencial queda des-crita
completamente por la evolucion del paquete de ondas desde el estado
asintotico de entrada hasta el de salida. Sin embargo no siempre es necesa-ria
toda la informacion contenida en i/>(x,t). En muchos casos unas pocas
cantidades caracteristicas resumen toda la informacion relevante del choque.
Una de estas cantidades es la transmitancia (que corresponde en colisiones
de mas de una dimension a la seccion eficaz). Otro elemento importante es
la duracion de la colision. La medida estandar de la duracion de la colision
es el tiempo de permanancia, o tiempo medio de la colision,
•t 2 r b
TD {a,b;tu t2^)= I' dt I dx\i>{x,t)\
2
. (95)
Jti Ja
En principio las coordenadas a, 6 > a, y los instantes ti y t 2 > t 1 son arbitra-rios
pero normalmente a y b se eligen para abarcar la region de interaccion
(de forma que V{x) sea cero o despreciable para x < a y b > a), t\ se toma
como tiempo cero (un tiempo inicial de preparacion en el que el paquete de
ondas aiin no ha chocado contra la barrera), y t 2 = oo.
El tiempo de permanencia se ha medido mediante la tecnica de fotolumi-niscencia
resuelta en el tiempo con un laser de picosegundos [29]; es ademas
un parametro importante para analizar el comportamiento de estructuras
semiconductoras [30,31].
La interpretacion de (95) como un tiempo medio de permanencia de la
particula en la region [a, 6] (donde el promedio se refiere a los miembros del
colectivo asociado con ifi) no es obvia, puesto que no disponemos de trayec-torias
en la interpretacion ortodoxa de la teoria cuantica. Sin embargo, exis-ten
varios argumentos formales que proporcionan (95) extendiendo al caso
36
cuantico el tiempo de permanencia clasico (por (*j<*mplo mediant r "integrales
dc. ("aminos dc heyrimaim. trayectorias causalcs o »!< Bolnn. o roino el valor
cspcrado <!(• mi opcrador tiempo de permanencia). No insistircmos aqui cmi
est as cuestiones cnraizadas en la dehcientemente cntcndida dualidad onda-corpiisculo;
independientemente de una hipotetica interpretation estadisiica
del i icmpo de permanencia en terminos de los miembros del colccl ivo, acept a-remos
c\ tiempo de permanencia como una cantidad caractcristica del propio
colectivo (estado <.) que proporciona una definition razonable de la duration
de la colision, que al menos coincide con la expresion clasica.
Veamos con mas detalle la analogia (Mitre (95) y el tiempo de permanencia
clasico. Si un colectivo estadistico dc particular clasicas (que no interaccionan
(Mitre si), descrito por una distribucion dc probabilidad en el espacio dc fases
/ = f{p. q. t) normalizada a la unidad. colisiona con una barrera de potencial,
el tiempo medio por particula entre q — a y (/ = /; puede escribirse como (las
integrales de momento y posicion van de — dc a oc. inientras que las integrales
de tiempo \'an de a oc si no se indica lo contrario):
td = I I f{q .po.O)r{a.b.q .p )dq dp (96)
= Jdq Jdpo Jf(qo ,Po,0){H[q{qo,poJ)-a] - H[q(q . p . 1)- b]}dt
= jdt jdq
Jf(q. p. t) [H(q ~ a) - H{q - b)]dp = fdi j 9{q )(/(/
donde r(a. b. q . p ) es el tiempo entre a y b para la trayectoria con condiciones
iniciales (q .pu ). y 7i es la funcion de Heaviside, y [q. p) cs la fase a tiempo /
de la trayectoria que comienza at {qo. po) a tiempo t = 0. De acuerdo con el
teorema de Liouville dqdp = dq dp y f(q.p.t) — f(qQ .po .0). En la ecuacion
g(q) es la integral sobre momentos de la distribucion f(q.p). es decir,
la densidad de probabilidad.
37
Usando la notacion Q = Q{u.b,i) = ja g(x)dx, el tiempo de permanencia
se convierte en
td = JQ(a,b,t)dt. (97)
[ntegrando la ecuacion de continuidad sobre x entre a y 6, y sobre el tiempo
entre y t, Q toma la forma
Q(t)= l\j(a,t')- J(bj')}dt' = f F(a,bA')dt'
Jo Jo
(98)
donde J(x.t') es la densidad de corriente, F(a,b) = J {a) — J(b), y se ha
supuesto que Q(0) = 0. Sustituyendo (98) en (97),
rD = j dt jj{t')dt' =
f dt JH{t-t')j{t')dt'
lim /' (/" -t')j(t')dt' = lim t"Q(t")- f t'f(t')dt'
Jo t"-*oo Jo
.(99)
Si ademas Q(i") decae mas rapido que t" [54] el tiempo de permanencia (97)
toma la forma local (en [32] puede encontrarse una derivacion alternativa)
rD [a,b)= I [J(b,t') - J(a,t')]t' dt'
(100)
Supongamos que a y b son tales que /rtc roo
J(b,t')dt' = T, / J(a,t')dt' = l, I J{a,t')dt' = -11 (101)
para al menos un instante t c . Fisicamente el paquete de ondas pasa a traves
de a completamente antes del tiempo tc , y depues de cierta duracion con
flujo despreciable la parte reflejada vuelve con una corriente negativa. En
este caso (100) puede escribirse como
rD =T(t)f-{t)?t + 1l{t)? (102)
38
lloil<l<
(J(b,l')t'df
(Or = / J(a,f)t'df (t)f= : 'f (104)
En cada caso e] instante medio de paso se obtiene normalizando la distri-bution
de tiempos de paso. Ieniendo en cuenta que 7v -f T = 1.
^=(or'-(or- rH = (t)f - (tyr (iosj
Siguiendo las referencias [33] y [34] se puede ver que las cantidades _
y y ~i<
tienden en ('1 limitede distribuciones de momento muy estrechas a promedios
de "tiempos de fase" definidos en la siguiente seccion. Sin embargo, ihj
coinciden en general con estos promedios. ni son necesarios estos paquetes de
ondas especiales para su definicion. solo se requiere que exista un instante / .
6.5 Importancia de las fases. Retardos. Tiempos de
llegada
Si no hay estados ligados. puede obtenerse el potencial por inversion a parti
r
de la matriz S o una de las amplitudes Rl or Rr en funcion del momento.
Sin embargo, el conocimiento de los modulos, es decir de las probabilidades o
coeficientes de transmision y reflexion, no es suficiente. Las fases son tambien
necesarias. y se asocian a propiededes observables con informacion sobrc
la dependencia temporal de la colision. En est a seccion usaremos ideas y
result ados de las referencias [35-41].
Consideremos un paquete de ondas que incide desde la izquierda y choca
contra una barrera (de a d). y tomemos un intervalo espacial [a.b] mas
amplio que la barrera. A tiempo cero el est ado es. en represent acion de
39
coordenadas.
ip(x,0)
•lixb2
exp [ipcx/h- {x- x c )
2
/{46
2
)}. (106)
Esta centrado en la posicion xc y momento pc — hkc . Su representacion
dc momentos se denota como 4>o(p). La distribucion de moment os inicial
es f{p) = |0o(p)|
2
5 una distribucion Gaussiana con varianza a2 = \h/(26)] 2
.
Lejos de la barrera, a la derecha,
roo
ipT(x » x2 ,t) = j= jQ
dp<f>o(p)T(p)^
px~Et)/h
, (107)
y la izquierda, despues de la colision,
ipR (x « x u t) = —7=
J
dp0o{p)R {p)e 'i( Px+Et)/H
108)
Hay un termino adicional $i(x << Xi,£), que describe la onda incidente.
Antes de la colision, para el calculo de {t)
e
a
nt
, el efecto de ^ r y su interferencia
con $ i puede ignorarse. Despues de la colision, puede despreciarse ty j para
evaluar {t)
s
a
al
, siempre que a sea una posicion asintotica.
Substituyendo las expresiones (106). (107) y (108) en los promedios tem-porales
y haciendo uso de la delta de Dirac se obtiene
roo
{l)l tL rfPl0o(p)|
2
!T(p)|
m d$T {p)
dp
(109)
wr, = 4r*i^(p)ri*(p)ia -
H Jo p
x c + h
d<$> R {p)
dp
(no;
La cantidad Tj h
{p) = m [b — xc + ft$'T (p)] /p, se compone de un tiempo que
emplearia una particula clasica con masa m y momento p- en ir de xc to b.
mas un retardo de tiempo de fase mha'(p)lp. [De forma similar, el termino
40
entre parentesis en (110) es un tiempo que emplea la particula en viajar
libremente de xc a x = a, con un cambio de signo instantaneo en x = 0.
mas un retardo. La integral da un promedio para el instante de llegada de
la onda reflejada.] Por tanto, el tiempo de llegada (t)
a
b
al puede verse como
el promedio de los tiempos de fase Tj h
(p) sobre una pseudo probabilidad
condicional de comenzar con momento p habiendo sido transmitido. (La
evaluacion del segundo momento proporciona terminos adicionales sin inter-pretacion
semiclasica inmediata.) Usando ipj se obtiene
<or= r<fri*»(j>)r
m(a ~ Ic)
- (un
Jo p
La interpretacion de estas cantidades como tiempos de llegada puede justifi-carse
mediante modelos fenomenologicos de detectores (potenciales complejos
absrbentes) [42].
La relacion (109) es apropiada para examinar el "'efecto Hartman" [43,44].
Hartman [43] estudio la evolucion de un paquete de ondas con distribution de
momentos centrada en pc , chocando contra una barrera rectangular de altura
Vo > pl/(2m), y anchura d. Encontro tres regiones que dependen del valor
de d (vease tambien [45]). Para barreras anchas (opacas), los tiempos de fase
asociados con k, por debajo de la barrera, tienden a una constante indepen-diente
de d, 2m/(7iA:/c), donde k = J2m(Vo — E). Cuando las componentes
de momento por debajo de la barrera dominan la transmision, el paquete de
ondas transmitido parece atravesar la region del potencial en un intervalo
de tiempo independiente de d. ("efecto Hartman"). Sin embargo, si el valor
de d es muy grande (barrera ultra-opaca) las ondas planas con momentos
por encima de la barrera dominan la transmision, y resulta un comporta-miento
clasico, es decir, el tiempo crece linealmente con d. Finalmente, para
anchuras pequenas, el tiempo de fase depende en general de d.
41
Consideremos un paquete inicial Gaussiano (106) con el centro en x = xc
y anchura espacial 6. Una estimacion del valor de d que da la transicion
entre el efecto Hartman y el comportamiento cuasiclasico para obtenerse
para cada valor de 8 igualando el factor |T*(p)
2
|</> (p)|
2 correspondiente a
p = pc y p = pr , donde pr es el momento de la primera resonancia por
encima de la barrera. Este procedimiento lleva a una curva que separa los
comportamientos cuantico y cuasiclasico,
Sm hE*^m *&. (112)
\Pr-Pc\ \Pr-Pc\
donde tt c = J2mV — p2
c . Para 8 fijo, la transicion es mas abrupta a 8
mayores como consecuencia de la distribution de momentos mas estrecha.
Un punto de vista complementario lo da la matriz de tiempo de retardo
en la capa de energia propuesta por Smith [46],
Q(£) = -^S(£)^, (113)
cuyos elementos diagonales son los tiempos de retardo para reflexion y trans-mision.
Se llega a esta expresion substrayendo los tiempos de permanencia
con y sin potencial [46,47]. La traza de (113) se refciciona con el cambio de la
densidad de estados Ap(E) = Tr[6(E — H) — 8(E — H )], que es una cantidad
fundamental para caracterizar el espectro continuo [48], de acuerdo con el
"teorema espectral",
Ap(E) = -Tr-^mTrlGfE + iOj-GotE + iO)] (114)
Las versiones de ondas parciales y multicanal del teorema espectral se han
probado rigurosamente [49] pero no conocemos ninguna derivacion rigurosa
42
en una dimension, aunque la justificacion sigue presumiblemente li'neas simi-lares.
El resultado para una dimension en terminos de la fase de la amplitud
de transmision se ha formulado en [50] con argumentos plausibles que siguen
a la referencia [51], y se ha confirmado con ejemplos explicitos [52]. La ultima
expresion en la ecuacion (115) se obtiene de la traza previa sobre Q usando
las relaciones (70) y (74). Una derivacion relativamente simple se obtiene
siguiendo el razonamiento presentado en [53] para el caso tridimensional, v
teniendo en cuenta los desfasajes apropriados para el caso monodimensional.
(77) y (78).
6.6 Comportamiento a tiempos grandes
En esta seccion consideraremos que el estado inicial t/>(x,0) puede o no so-lapar
con el potencial a tiempo t = como corresponde a un problema de
decaimiento o a uno de colision, respect ivamente. Supondremos por simpli-cidad
que no hay estados ligados, y t > en todas las ecuaciones.
Para discutir el comportamiento a tiempos grandes de la densidad de
probabilidad se requiere la expresion del propagador en el piano complejo q,
(x\e-H,
"\x') = ± f dq I(q)e-"lh
(116)
/(«) = £(*It^I*0. ( 117 ) m z — n
donde z = q
2 /2m y el contorno C va de — co a +00 por encima de todas
las singularidades de la resolvente. En ausencia de estados ligados C va por
encima del eje real, donde se localiza el espectro continuo de H. Debido
a la exponencial e~ %zt ^ h en (116) el comportamiento cuando t —» oo esta
dominado por la region en torno al origen, que es de hecho un punto de silla
del camino de maxima pendiente de descenso de este factor exponencial. El
43
camino cruza el origen a lo largo de la diagonal de los cuadrantes segundo y
cuarto. Introduciendo la variable auxiliar
« = «//, f = (l-i)yj(mh/t), (118)
la exponencial se transforma en e~u
, y u permanece real a lo largo del camino
de maxima pendiente.
El elemento de matriz de la resolvente (x\(z — H)~l
\x') que se define para
^sm.q > (o primera hoja de la energia) debe continuarse analiticamente en
el semiplano inferior q (o segunda hoja del piano complejo z) para que este
tipo de analisis pueda realizarse. Esto es valido en particular para potenciales
de soporte finite Si la funcion continuada analiticamente es analitica en el
origen, posee una serie de Taylor
(x\(z - #)"V) = ao + a\q + a2q
2 + ... (119)
con coeficientes at que dependen de x y x' . Pero debido al factor (impar) q
en (117), el primer termino, a , no contribuye a la integral (116). La formula
asintotica para el propagador se origina por tanto en el segundo termino y
toma la forma
(Iie-/v) ~ i^/*a-* = tr«a
> (t)
3/2
(
12°)
Pueden darse contribuciones exponenciales debidas a los polos, pero no afec-tan
a este resultado asintotico. Cuando 1(0) se hace cero'aparece un com-portamiento
asintotico t~3 de la densidad de probabilidad.
Mediante la descomposicion de la resolvente de H
z-H = z-H + z-H V z-H v
^ 121 ^
Toj>{*)tK-, ( 122 ) Hq z — Hq z — Hq
44
el operador de evolucion U = e
tHt ^ h se separa en parte "libre" y "de divi-sion".
V = Ut + U4.
[x\U,M = (x\e-tH^
h
\x') = ^Jdqe-^h
Il (q) (123)
ii(q) = -(*|—^|*') U24 ) m z — n
(x\Ud \x
f
) = {x\e-*
Ht' h - e-lH°
t/h
\x') = ~ I dqe'^I^q) (125)
Z7T J
™ (x| ;
—
tt
t°^ z) ~
7
—
m z — ri z — Mftq *M) = M*\—7tToP {z)- -\x'). (126)
Pueden discutirse dos tipos de moviraiento en una dimension, movimiento en
la recta real completa y en el semieje positive Mientras que en presencia de
un potencial en los dos casos encontramos la dependencia t~ 3
el movimiento
libre es diferente. Consideremos primero el movimiento libre sobre la recta
real. Usando la resolucion de la identidad en terminos de estados propios del
momento e integrales de contorno se encuentra que
(x|—4-|x'> = Zipe.|~'l,M
(127)
z — h qh
de manera que 7/(0) = —i/fr ^ 0, vease (124). Como consecuencia el compor-tamiento
asintotico de la densidad de probabilidad para el movimiento libre
en la recta real es t~ l
. Este es un caso importante en el que no se satisface la
ecuacion (119). Explicitamente. efectuando la integral en (116), se obtiene
el conocido propagador
We-'^V) = (^) 1/2e
'"' (l " I' )I/"'-
( 128 >
El analisis efectuado con varios potenciales modelo indica que la parte los
terminos libre v de difusion se cancelan, 7^(0) = i/h = —li(0) [54,55].
De diferente naturaleza es el movimiento libre restringido al semieje po-sitivo.
r > 0. Un conjunto completo y ortogonal para este caso viene dado
45
por
(HP> = jJi^«n(Wft), r>0, p>0, (129)
que son las funciones propias de H , con valor propio p
2 /2m, normalizadas
segun f£°(p\r)(r\p')dr = S(p — p'). La funcion de Green puede escribirse
ahora como
(r|—^5-10 = IT fe*('
+r'"/s - eil'-"'l'/R
] . (130)
z — Ho nq L J
[Observese la amplitud adicional en comparacion con el resultado obtenido
para movimiento libre sobre la recta real completa (127)]. 7/ es, segun (130),
/,(«?) = I ^+r'h/n _ e
t|r-r'|g/aj ^3^
que se anula en el lfmite q —> 0, lo que lleva a un comportamiento asintotico
t~ 3 de la densidad de probabilidad en contraste con la dependencia t' 1 del
movimiento libre en la recta real. Explicitamente, el propagador es en este
caso
(r \Ut y) =
(^)
1/2 [jWml™ _ e
.(r+r')2m/2tft
] (m)
En los modelos analiticos examinados se cumple que ld(0) = 7/(0) = de
forma que la densidad de probabilidad se comporta tambien asintoticamente
como t~3
.
En resumen, en las colisiones en la recta real la combinacion de contribu-ciones
libre y de difusion cancela el termino t
_1
, por lo cual la dependencia
dominante de la densidad de probabilidad es t~3
. En ningun caso el meca-nismo
que explica esta dependencia es aisladamente el movimiento libre como
se ha llegado a sugerir [56]. En el semieje r > las dos componentes (libre
y de difusion) tienen asintoticamente la dependencia dominante t~3
. Podria
darse la dependencia t~ l
si hubiera una singularidad en el origen. En el caso
— oo < x < oo un polo simple yace en el origen en ausencia de potencial
46
pero un potencial debil desplaza esta singularidad. Para valores arbitrarios
del potencial solo en casos excepcionales se encontrara el polo a energfa cero.
En colisiones de ondas parciales de tipo "s" las singularidades en el origen
se conocen como resonancias de energfa cero [12].
6.7 Comportamiento a tiempos cortos
El decaimiento de estados inestables se ha estudiado de muchas maneras [57].
Una descripcion ideal permitirfa entender tanto el regimen exponencial do-minante
como las desviaciones del mismo. Se ha progresado en esta direccion
representando la amplitud de supervivencia A(t,ip) = (tp(0)\tp(t)) como una
suma discreta sobre terminos resonantes [58,59].
Aqui discutimos el comportamiento a tiempos cortos del decaimiento de
la probabilidad de supervivencia de estados cuanticos S = \A\ 2
. Varios auto-res
han descrito una dependencia a tiempos cortos t
2 de la probabilidad de
decaimiento P<iec =1 — 5 siempre que existan la energfa media y el segundo
momento, veanse por ejemplo los artfculos relacionados con la "paradoja de
Zenon cuantica" [60]. Se ha prestado menos atencion al caso en el que estas
condiciones no se satisfacen. Por otro lado Moshinsky y colaboradores sugie-ren
una dependencia t
1 ^ 2 de la probabilidad de decaimiento a tiempos cortos
[61-62]. Veamos como se resuelve la aparente contradiccion.
Cuendo el operador de evolucion se expresa en terminos de la resolvente,
A(t t
rp) toma la forma
A(t,4>) = We-""^) = ^—\ M^f~M) = j- I dqe-'^Miq),
Zirm Jc z — n Zir Jc
(133)
donde z = g
2 /(2m), y el contorno C va de —00 a +00 pasando por encima
47
de todas las singularidades de la resolvente. La funcion
M(q) = ±y,\-L-\1,) (134) m z — n
puede evaluarse en el semiplano superior q, y luego ser continuada analitica-mente
al semiplano inferior. Si la continuation existe, M(q) tiene en general
un conjunto de singularidades de core, que dependen solo del potencial, mas
posiblemente otras singularidades estructurales que dependen del estado par-ticular
0.
Es util deformar el contorno original de integration a la diagonal D de
los cuadrantes segundo y cuarto del piano q para identificar las dependencias
mas importantes y por ser ventajoso computacionalmente.
Supongamos que es posible un desarrollo de la forma
MW = Er^' 9m<fe<0 (135) T W - 9k)
(polos de orden superior pueden tratarse de forma similar). Aqui k =
1,2,3- •• son los indices de los polos. Al deformar el contorno C al con-torno
D, los polos cruzados qk proporcionan contribuciones "resonantes" a
A(t) que decaen exponencialmente con el tiempo (La colision "resonante" se
analiza con tecnicas basadas en el piano complejo en [63]),
Ei(t) = ak<rft"W = a fc e"us (136)
donde
ttfc = ft //. f = (l-i)yj(mh/t). (137)
Independientemente de ser cruzados o no por la deformacion de un contorno
todos los polos contribuyen, debido a la integral a lo largo de una diagonal.
Cada contribucion se expresa en terminos de la funcion ii;Y*»vease [64], como
Dk(t) = --r-sign(^muik)w;[sign(Q:muife)ufc ]. (138)
48
El termino exponencial (136) puede ariadirse e esta contribucion para dar el
resultado compacto [64],
A(t) = E1^(0 + ^(01 = E Ukw{-uk ). (139)
I k
z
(Se sobreentiende que Ek(t) = para polos no cruzados al deformar el con-torno).
En la primera forma de (139), el decaimiento exponencial en Ek
queda separado claramente de la "correccion" Dk- Sin embargo la expresion
compacta es muy util para estudiar el comportamiento a tiempos pequerios.
La serie de Taylor de la funcion w [64] da una serie de potencias en t
1/2
.
>*(«)= E^E [2
'
lft(1
r::yn'
. (i«)
I
Z n=0 L \2 i" l
)
Esto sugiere una dependencia t
1 ^ 2 de la probabilidad de decaimiento, como
mantienen Moshinsky y colaboradores [61-62]. Por otro lado, la serie formal
basada en desarrollar el operador de evolucion.
A(t,1>) = U>\e-m«*\1>) = 1 - jWBW - ^\H2W + •••, (141)
proporciona una dependencia t
2
,
Pdec = ^(WH2M - WHW2
) + (H2)
n
Sin embargo, los valores medios de H y/o potencias superiores de H pueden
no existir. Son posibles varios comportamientos dependiendo de la exis-tencia
de estos momentos. La cuestion de la posible existencia fisica de
estados con momentos primero o segundo infinitos es un asunto controver-tido
[65]. En principio, si son estados en el espacio de Hilbert. son estados
validos fisicamente de acuerdo con la interpretacion estandar del formalismo
cuantico. Lamb propuso experimentos idealizados para crear estados arbitra-rios
[66] mediante la creacion de potenciales adecuados. Las actuales tecnicas
49
de epitaxia de haces moleculares permiten el crecimiento de estructuras con
formas de potencial muy flexibles [67], y proporcionan una via para acercarse
a los experimentos ideales de Lamb. En cualquier caso, si los momentos no
son estrictamente infinitos pero suficientemente grandes, el presente analisis
seguin'a siendo valido en cierta escala de tiempo.
Consideremos las dos primeras derivadas de A a tiempo t = primero a
partir de (141), y suponiendo luego una dependencia de la forma A ~ l + 6tc
,
donde bye son constantes finitas,
dA\
dt l*=o h WHW = bctc-1
\t=0 (143)
dA 2
1 1
JpLo
= -^(m'W=bc(c-l)t^\t=0 . (144)
Si los momentos primero y/o segundo son infinitos los valores posibles de c
estan restringidos. En la siguiente tabla el comportamiento de la columna
de la derecha es posible en principio cuando se satisface la condicion de la
columna izquierda,
(il>\H\4>) < oo and (ip\H2
\ij>) = oo
(rl>\H\tl>) < oo and (</>|#
2
|</>) < oo
Pueden encontrarse ejemplos de comportamiento t
1 ' 2
, t
3 / 2 and t
2 a tiempos
cortos de Pdec en [68]. Cuando la probabilidad de decaimiento se comporta
como t
3 ! 2 or t
2
los coeficientes de potencias inferiores de t se anulan por las
cancelaciones entre los diferentes polos.
Pdec ~ *
1/2
(145)
Pdec ~ «
3/2
(146)
-Pdec ~ t (147)
50
7 Potenciales complejos
Los potenciales complejos con parte imaginaria no nula aparecen de forma
natural en colisiones "multicanal" al tratar de encontrar una ecuacion efec-tiva
para el canal de interes (tipicamente el canal elastico) [12]. El canal
seleccionado tendra fuentes o sumideros fisicos que pueden modelarse con un
potencial complejo. Los potenciales complejos sirven tambien como modelos
de detectores, y se usan en tratamientos fenomenologicos de sistemas disipa-tivos.
Ademas, los potenciales complejos tienen una importante aplicacion
en propagaciones numericas como absorbentes de paquetes de ondas en los
bordes de la "caja" espacial finita en la que se confina al sistema.
7.1 Formalismo
En el caso hermitico, la evolucion hacia adelante en el tiempo de ip(ti) a ij>(t 2 )
viene dada por U(t 2 ; t\) = exp [—iH(t 2 — ti)/h], (t 2 > *i), y hacia atras por
U*(t2 ,ti) = exp[iH(ti — t 2 )]. U es unitario y en una operacion sucesiva de
los dos operadores su efecto se cancela. Para un Hamiltoniano no hermitico
U(t2 \ti) no es unitario, ya que H no preserva la norma. Sin embargo se
puede recobrar el estado inicial si el movimiento hacia atras se realiza con
el Hamiltonian dual H^ . Definiendo la evolucion hacia adelante bajo este
Hamiltoniano mediante Ufa, ti) = exp[—iH^(t2 — ti)/k], y hacia atras por
U^(t2 , ti) exp [iH(t 2 — ti)/k] encontramos
U\t2 -t l )U(t2 ,t 1 ) = l. (148)
Es importante tener presente para discusiones posteriores que si el movi-miento
hacia adelante y hacia atras corresponden a la accion fisica del Ha-miltoniano
H, la exponencial para evolucion hacia atras en el tiempo se
escribe en terminos de H^. Este punto se presta facilmente a confusion.
51
Las anteriores consideraciones permiten generalizar al caso no hermitico
la unitariedad del operador de evolucion (para Hamiltonianos hermiticos el
simbolo^es irrelevante) e indican que po demos esperar tambien generaliza-ciones
de las relaciones usuales de la teoria de colisiones empleando H, H^ y
sus funciones propias.
La teoria de colisiones para Hamiltonianos no hermiticos podria formu-larse
de acuerdo con diferentes convenciones de notation. Nosotros conserva-remos
formalmente la estructura del operador S y la relacion entre estados
\p
+
) y \p~) a traves del operador de inversion temporal. En particular, el
operador de Moller fi+ se define como en el caso hermitico, y admite la misma
interpretation, pero ft_ viene dado por
n_ = lim c«1 */*e«ro*/*
j ( 149 ) t—»oo
asi que el movimiento hacia atras en el tiempo que implica la segunda expo-nencial
viene tambien determinado por H. De esta forma los estados \p~) se
definen ahora mediante
|p-) = fi.|p) = |p> + F—i_-V'\p). (150)
(Son estados propios de H\) El operador S que conecta el estado saliente
con el entrante (de acuerdo con la evolucion debida a H) viene dado de la
forma habitual como 5 = fiLfi+. La colision no preserva la, norma y S no
puede ser unitario. Sin embargo, un argumento similar al del comienzo de
esta seccion indica que la relacion de unitariedad para 5* en el caso hermitico
se generaliza introduciendo un operador de Moller que conecta los estados
asintoticos con el estado que evoluciona con H\
O, = ]imeiHU'he-iHot'h
(151)
t—oo
fL = hmeiHU^e-lHot/h
(152)
52
Las relaciones (28) y (29) se convierten en
nfH+ = l op (153)
nnl = lop -a. (154)
Los estados \p
±
) tienen companeros biortogonales \p£) (se obtienen formal-mente
a partir de las expresiones para \p
±
) intercambiando H por // t y
viceversa),
9~) = Ip> + iH^^V1p> (156)
(£V> = S(p'-p), (157)
de forma que la unidad se expresa ahora en terminos de una resolucion bior-togonal,
1op = EA + /*Ip+
)(p
+
I- (158)
El operador S para movimiento bajo H^ es S = nlQ+ , y la relacion que
generaliza la unitariedad de S es
l = S*S. (159)
Las amplitudes de transmision y reflexion para los estados propios de H, \p
+
)
y \p~) se escriben como es habitual (T,R), mientras que las de los estados
propios de H^ se indican mediante T,R.
Definiendo el operador parametrizado
f( 2 ) = yt + vt__L^t (160)
z — -fZ T
los resultados de la seccion 5.1 pueden generalizarse facilmente. En particular
las ecuaciones para las amplitudes RyT siguen siendo validas y se obtiene un
53
conjunto paralelo de relaciones mediante las substituciones R —> R y T — T
Usando el operador de inversion temporal se obtiene que TT = Tl = T,
T+ = fl = f y
T(-Py = f(p) (161)
Rr < l(-pY = Rr < l
(P ). (162)
La relacion de unitariedad generalizada (159) implica
T(p)f(Py + Rr < l(p)[Rr >
l
(p)Y = 1 (163)
Rr
{PyT(p) + f{p)*Rl
{p) = 0, preal. (164)
Una consecuencia inmediata es que el estado dependiente del tiempo
(xm)) = J dP (x\V
±
)e-'
E> tl*(p±\m)
(165)
viene dado por la misma expresion formal que en el caso hermftico.
Un tratamiento diferente del presentado aqui, basado en la analogfa con
las colisiones de "ondas parciales" para potenciales pares puede encontrarse
en [23].
7.2 Absorbentes
Los potenciales absorbentes son modelos de detectores y sirven para elimi-nar
los efectos espureos de las paredes en calculos numericos. Por tanto es
importante examinar algunas de sus propiedades. Supongamos que ademas
del potencial complejo VA existe otra interaccion real V. Podemos definir un
potencial absorbente como aquel para el que la norma de cualquier estado
disminuye o se mantiene constante con el tiempo,
—dN— < 0, paratodoi. (166)
at
54
Es facil comprobar mediante la ecuacion de continuidad que una condicion
suficiente para satisfacer (166) es que la parte imaginaria del potencial VA
sea negativa (o cero) para todo x.
Un criterio alternative) se basa en la anulacion de los coeficientes (y por
tanto las amplitudes) de reflexion y transmision para VA ,
R(p) = (167)
T(p) = (168)
Una forma de asegurar (168) es imponer una barrera infinita en el punto
x — L. Si el potencial complejo tiene soporte finito, por ejemplo entre x =
y x = L la condicion (167) implica que la funcion de onda a la izquierda,
x < 0, es igual a la funcion que existiria con el potencial V truncado en x = 0.
Este resultado es significativo puesto que una de las propiedades peculiares
de la evolucion cuantica de paquetes de onda es que una superposicion de
ondas estacionarias con momento positivo puede dar lugar a flujos negativos
a tiempos especiales [69]. Este efecto es en general pequeno o despreciable
pero un VA estrictamente compatible con (167) deberia dar cuenta de esta
posible densidad de corriente negativa. Si se cumple (167) podemos igualar
la derivada con respecto al tiempo de la norma a la izquierda con el flujo en
x = 0,
-dN~ r = J(x = Q,t). (169)
Esta expresion justiflca operacionalmente (en terminos de una medida con
un detector ideal) la definicion de tiempos de llegada discutidos en la seccion
6.5.
Otras propiedades deseables para un potencial absorbente, sobre todo
para las aplicaciones en calculos numericos, son (i) anchura del potencial
L pequefia, y (ii) "robustez" frente a discretizaciones. La investigacion en
55
este campo se dirige a encontrar potenciales que se acerquen tanto como
sea posible a las anteriores condiciones mediante metodos variacionales o de
inversion [70].
8 Niveles asintoticos diferentes
Otra importante generalization del caso sencillo expuesto entre las seccio-nes
3 y 6, ocurre cuando V(x) tiende a valores asintoticos diferentes en los
limites x —> ±oo, VT y V/ respectivamente. Esta asimetria es fisicamente
significativa en varias circunstancias. Por ejemplo, si se aplica una diferencia
de potencial entre los extremos de la doble barrera de un diodo basado en
el efecto tiinel resonante, se crea un salto en el potencial. Este salto puede
ajustarse para controlar la corriente que pasa a traves de la estructura y lo-grar
maximos o minimos de corriente. Tambien los modelos simplificados de
reacciones qufmicas endo- o exo-termicas presentan la asimetria correspon-diente
a los distintos niveles de energia de los valles de reactivos y productos
en las superficies de Born-Oppenheimer para el movimiento nuclear.
Discutiremos la forma asintotica de las soluciones generalizando la section
5 y las relaciones para las amplitudes que se derivan de los Wronskianos. Para
una energia E > max(Vr
r , V\) existen dos soluciones degeneradas linealmente
independientes,
_1_ (exp(ipix/h) + Rl (p[)exp(-ipix/h), si x ~ -oo , .
h1 / 2 \ Tl
{p) exp(ipr x/h), si x ~ oo,
l }
_\_{Tr
(pr )exp(-iptx/h), si x ~ -oo
h}l2 \ exp(—ipr x/ti) + Rr
(pr )exp(ipr x/k), si x ~ oq.
donde pr = [2m(E - Vr )}
1/2
y Pi = [2m(E - Vt )]
1/2
. Para valores positivos de
pr ypi, representan los estados \pf) y | — p+) respectivamente. Para valores
56
negativos, \pf) y | —p~). Estos pueden obtenerse de los anteriores mediante
conjugacion compleja de forma que las relaciones (53) siguen siendo validas.
Como el Wronskiano es constante encontramos
'f-W((x\pt),(*\-PT)) = Pl (l-\R'\ 2)=P+ \T'\
2
(172)
'YW(('\-pt)A*\p7)) = -pi\r? = -M\ - \R'\
2
) (173)
'-YW((z\pt),(*\-pt)) = P,T
r = PrT' (174)
'^W((x\pt),(x\p;)) = -p,R'r- = pr R~T> (175)
Observese que hay que distinguir entre amplitudes de derecha o izquierda.
Sin embargo los coeficientes de transmision de derecha e izquierda si son
iguales,
7\ _ flujo transmitido _ fr^a (U6)
flujo incidente pi
jr s
flujo transmitido _ ghyrp /
17?)
flujo incidente pT
Tl = Tr
. Lo mismo ocurre para el coeficiente de reflexion,
^ flujo reflejado
nujo incidente
Se define una matriz S unitaria mediante los cocientes entre coeficientes que
multiplican a las ondas planas normalizadas a flujo unidad,
T'(p)y/* R'(P)
R'(p) T'(p)
Los dos ultimos resultados en (172) implican que las fases de las amplitudes
de reflexion y transmision se relacionan mediante
$T< = $Tr = $7 (180)
$Rl +$Rr = 7T + 2$T . (181)
sw = i V,l
n ml/El < i79 >
57
9 Potenciales dependientes del tiempo
Los potenciales dependientes del tiempo surgen como modelos sencillos en
los que el efecto de uno o mas grados de libertad que no quieren conside-rarse
explicitamente se simulan aproximadamente con una barrera V(x,t).
Tambien pueden corresponder a la accion de un campo oscilante acoplado al
movimiento del sistema. En el caso general la evolucion de un paquete de
ondas en estas circunstancias puede calcularse con metodos descritos en la
seccion 10.1. La caracteristica fundamental de estos choques es la aparicion
de energias que no estaban presentes en el paquete inicial debido a la ine-lasticidad.
El caso en el que el potencial es oscilante admite untratamiento
especial [71]. Si el periodo es 2tt/u> la ecuacion de Schrodinger es invariante
con respecto a la transformacion
t^t + — , (182)
y aplicando el teorema de Floquet existen soluciones de la forma
*l>(x,t) = e
lut ${x,t), (183)
donde v es una constante, y $ tiene la periodicidad del potencial,
${x,t + 2n/u;) = $(x,t). (184)
Desarrollando $ en serie de Fourier,
oo
VKM) = £e^+n^Fn (x) (185)
-oo
donde Fn son los coeficientes de Fourier. Como ihd/dt es el operador de
energia, el termino n-esimo correspode a una energia fiu + ntiuj, y (185)
puede interpretarse como el estado correspondiente a una energia incidente
58
hi/ con componentes salientes, llamadas "b&ndaa laterales", de energiaa dih-cretas
debidas al potencial oscilante. Este formalisrno se ha empleado para
determinar el caracter siibito o adiabatico de la colision por efecto tiinel. La
frecuencia de oscilacion constituye un parametro de referenda con respecto
al cual las colisiones se pueden clasificar como rapidas o lentas [72].
Una dependencia temporal de importantes consecuencias practical es el
cambio de los niveles asintoticos que implica una variacion de la diferencia
de potencial aplicada a una estructura. En este caso es necesario determi-nar
el tiempo de respuesta de una solucion estacionaria de la configuracion
inicial hasta adaptarse a la configuracion final. Este tiempo de respuesta
limita la velocidad a la que idealmente podria trabajar un dispositivo semi-conductor.
Existen publicaciones tratando este problema [73] aunque no se
dispone de una teoria general. El problema en el que una barrera infinita, que
actua como compuerta, se elimina subitamente se ha analizado con detalle en
[74]. Azbel ha estudiado el efecto perturbativo de potenciales debiles depen-dientes
suavemente del tiempo en las soluciones estacionarias del sistema no
perturbado, en particular en la zona de efecto tiinel, y describe resonancias
(importantes amplificaciones de la transmision) a energias y tiempos parti-culares
[75]. Por ultimo, Martin y Sassoli de Bianchi han generalizado el
teorema de Levinson para potenciales oscilantes [76].
10 Metodos numericos y aproximados
Los metodos aproximados son muy importantes en las colisiones que implican
varias dimensiones espaciales debido a las dificultades para realizar calculos
exactos. En una dimension el uso de metodos aproximados tales como WKB,
la aproximacion de Born [77] o metodos variacionales es posible en principio,
59
pero su interes esta un tanto limitado por la relativa facilidad con la que
se obtienen soluciones virtualmente exactas mediante metodos numericos.
No obstante las teorfas aproximadas son utiles cuando contribuyen a una
explicacion sencilla e intuitiva de los fenomenos o proporcionan resultados
anah'ticos.
10.1 Paquetes de onda dependientes del tiempo
La mayoria de los metodos que se usan en la actualidad para propagar pa-quetes
de ondas se han puesto a prueba primero en una dimension [78], y
existen varios programas disponibles. El metodo basado en el desarrollo de
Chebychev del propagador combinado con la transformada rapida de Fourier
es el mas popular en dos o mas dimensiones. Sin embargo, en una dimension
otros metodos son mas rapidos y faciles de programar [79], por ejemplo el
metodo de Koonin [80]. Este metodo es simple, eficiente y estable. Se basa
en el siguiente esquema unitario de propagation (h = 1),
^, n+1 _(l-iHAt/2\_m = [TTTHW2)
*"' (186)
donde ip
n
es la funcion de onda en el paso de tiempo n. El estado inicial
mas comiin es el paquete de ondas Gaussiano (106). La posicion espacial se
discretiza mediante el indice j, ip(x,t) —> ip". Los valores de x se convierten
en jAx, donde Ax es la anchura de la celda espacial. De forma similar
la variable tiempo toma los valores nAt, donde At es el paso elemental de
tiempo. La derivada segunda espacial se aproxima como
</>" = ^(^+i - 2^i + 0i-i) + 0(Ax2
)
. (187)
El algoritmo se basa en escribir ip
n+1 — \ — n
, donde
(1+ iHAt/2)x = 2*P
n
. (188)
60
La discretizacidn espacial de la ultima ecuacion lleva a un sistema lineal
tridiagonal que puede resolverse mediante subrutinas adaptadas a este caso.
El metodo se adapta con facilidad a potenciales complejos.
10.2 Metodos de matrices de transferencia
En un gran numero de artfculos se resuelve la ecuacion de Schrodinger es-tacionaria
mediante metodos de matrices de transferencia [81-90]. La idea
basica es fragmentar el potencial en celdas. Las matrices de transferencia co-nectan
la solucion a ambos lados de cada celda. Este procedimiento se adapta
muy bien a las series de pozos y/o barreras, que han despertado tanto in-teres
por su conexion con la tecnologfa de semicondutores, dada la sencillez
de las matrices implicadas. En realidad el metodo es aplicable en casos mas
complejos, ya que cualquier forma del potencial puede reducirse a pequenos
fragmentos (de perfil piano o lineales) descritos por matrices sencillas.
Kalotas y Lee [81] han desarollado una tecnica basada en reemplazar el
potencial por una secuencia de barreras o pozos de altura (interpolada) V,,
j = 1, ...., n y anchura u>. Definiendo la matriz
KM=( C0S
.
h^ - (1/Q)
!
sinhQ") (189)
y —asmhauj cosh au; J
donde Qj = [2m(Vj — E)/h2
]
1 / 2 y usando para el producto de estas matrices
la notacion
P = n?=1A>;
,u;] (190)
la amplitud de transmision viene dada por
-ik ru
T{P)
(P^ + P22)+^(Pl2A:-P2l/A:)•
61
Con tecnicas similares Sprung, Wu y Martorell [82] expresan los coeficien-tes
de transmision y reflexion en terminos de las amplitudes de las celdas
individuales para potenciales compuestos por TV celdas identicas, lo cual es
especialmente util en los potenciales conocidos como "super-redes", que pre-sentan
"mini-bandas" e interesantes propiedades de transporte como la po-sible
resistividad diferencial negativa.
Las matrices de transferencia tambien son utiles para estudiar estacisti-camente
colisiones en redes desordenadas (por ejemplo secuencias de barreras
de anchura, position o altura aleatoria) [83].
Rozman, Reineker y Tehver [84] derivan un sistema de ecuaciones di-ferenciales
acopladas para las amplitudes de transmision y reflexion de los
potenciales "truncados" UT (x ) = U(x)9(xq — x) de un potencial real arbi-trario
U(x). Sean Rr,l (x ) y T(x ) las amplitudes de reflexion y transmision
del potencial truncado (en [84] se admite una posible asimetria en los niveles
asintoticos). El sistema de ecuaciones viene dado en funcion de la variable
a(x) = —imU(x)/(kfi2
) por
V(x ) = a(x )T(x )(l+Rr (x )e
2 * kX0
) (192)
Rl
'(x ) = a(x )Tl {x )Tr
(x )e
2lhx° (193)
RT'ixo) = a(x )e-
2ikx
°(l + Rr (x )e
2ikxo) 2
(194)
con condiciones de contorno
Ri(-oo) = iT(-oo) = (195)
T(-oo) = 1. (196)
62
10.3 Colisiones multiples
El metodo de "colisiones multiples" [91-97] es similar al anterior. Consiste
en descomponer el potencial en una suma de potenciales,
V = £><•> (197)
i
El operador de transicion global Top puede escribirse como una serie en la
que intervienen los operadores de transicion individuales t^ intercalados por
resolventes para el movimiento libre,
rop = £<S + EE'SGo<« + ...
( i98)
En casos favorables, esta tecnica provee relaciones simples para las amplitu-des
de transmision y reflexion, y en general una imagen sencilla del proceso
global en funcion de una secuencia de reflexiones y transmisiones en cada
barrera. La amplitud total se obtiene como una suma coherente de las am-plitudes
de los diferentes caminos posibles (clasificados segun el numero de
interacciones), lo que lleva a una elegante visualizacion de efectos tales como
las resonancias (que corresponden a energias para las cuales las fases de los
multiples procesos de colision interfieren constructivamente).
10.4 Ecuaciones diferenciales
Es posible resolver directamente la ecuacion estacionaria de Schrodinger me-diante
subrutinas para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
El metodo se basa en descomponer la ecuacion de Schrodinger de segundo
orden en dos ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden para las va-riables
X = ip(x) y Y = dijj(x)/dx. Las condiciones de contorno se eligen de
acuerdo con una de las funciones de Jost.
63
10.5 Aproximacion clasica de la transmitancia
Las transmitancias para paquetes de ondas dependientes del tiempo corres-pondientes
a colectivos clasicos pueden ser muy proximas a las cuanticas.
Este acuerdo puede darse tambien en la "zona de tuneleo" donde la energia
promedio (E) es inferior al umbral clasico (o energia maxima de la barrera,
Vo). Tal acuerdo se basa en la asociacion estadistica de la funcion de onda
con un colectivo clasico, y se perderia si asociaramos una unica particula al
paquete de ondas, como sugiere el teorema de Ehrenfest. El presente tra-tamiento
supone un estado Gaussiano inicial con momento inicial medio pc
[98].
Puede demostrarse que la transmitancia clasica depende solo de dos pa-rametros
adimensionales / y r.
r= (Jl /= _PL_
(199)
K„ ' ' 2m(E)
llya '
donde m es la masa de la particula. Tambien es importante, en el caso
cuantico, el parametro Uq — (2m Vo)
/
(ft
2 a 2
) , donde a
-1
es una anchura ca-racteristica
de la barrera. La formula clasica para la transmitancia se obtiene
asociando la Gaussiana inicial con un colectivo clasico con la misma distri-bucion
de momentos. La probabilidad de transmision clasica es la fraccion
del colectivo con energia por encima del umbral clasico [98],
T = l-V[{l -M)/S] (200)
donde ^[(1 — M)/S] es la integral de probabilidad de la distribucion Gau-ssiana
£[(II — M)/S] con valor medio M = (fr)
1 ? 2 y varianza S2 = (1 - f)r.
II es el momento adimensional II = p/(2mV )
1 / 2
.
De esta expresion puede concluirse que:
64
(1) La transmitancia no depende de la posicion inicial del paquete, siem-pre
que este suficientemente alejado (que no solape inicialmente con el po-tencial).
(2) La transmitancia no depende del parametro L ni de la forma del
potencial.
(3) La transmitancia depende solo de los parametros adimensionales / y
r.
(4) La transmitancia tiene un maximo en / = r, para / < 1.
La validez del paralelo cuantico del primer punto se justifica observando
las definiciones dadas en la seccion dedicada a la transmitancia. Propaga-ciones
numericas de paquetes de ondas confirman la validez de las demas
prediciones [98]. Se cumplen en el caso cuantico excepto en los siguientes
supuestos: En el li'mite estacionario (/ proximo a 1), para valores pequenos
de Uq, para potenciales discontinues, y cuando las anchuras de las resonan-cia
(si las hubiera) son mayores que la del paquete de ondas. Los resultados
puramente clasicos son incluso mejores que metodos semiclasicos mucho mas
elaborados basados en la suposicion de que el paquete evoluciona mante-niendo
una forma Gaussiana [99].
Para obtener la formula de la transmitancia (200) no se ha supuesto mas
que el acuerdo con la distribucion marginal inicial de moment os. El colectivo
clasico puede especificarse imponiendo el acuerdo con la funcion de Wigner.
La idea se ha explotado en una serie de aplicaciones en fisica molecular. Esta
especificacion es necesaria para obtener cantidades dinamicas y la evolucion
completa del colectivo clasico.
65
10.6 El metodo WKB y sus limitaciones
El metodo WKB proporciona una estimacion sencilla del coeficiente de trans-mision.
Para una barrera con dos puntos de retorno a < b a energia E el
coeficiente de transmision WKB vierie dado por
{ACd^v -^/2
}
TWkb = exp -- / dx[2m(V - E)) 1" (201)
[ h Ja(E)
J
La mayor parte de los textos de mecanica cuantica advierten del fallo de esta
expresion para energias muy cercanas al maximo del potencial y para po-tenciales
que cambian con demasiada rapidez, y nos llevan a creer que para
barreras opacas (anchas y altas de forma que fa dx[2m(V — E)] 1 ^2 sea con-siderablemente
mayor que la unidad) la ecuacion (201) es satisfactoria. Sin
embargo para energias muy pequeaas existe otro problema [100]. En el limite
E —> y para potenciales en los que converge la integral fJJ dx (2mV) l l 2
,
Twkb tiende a un limite finito distinto de cero. Por ello el error relativo
1exact/1wKB puede ser arbitrariamente grande para energias suficientemente
pequenas. Si queremos ir mas alia de la formula anterior y obtener la funcion
de onda WKB para la colision con una barrera nos enfrentamos en general
con el problema de "empate" de soluciones (cinco en un caso tipico con dos
puntos de retorno) debido a la no uniformidad del desarrollo semiclasico (es
decir a que en cada region se requiere una expresion asintotica diferente) que
hace a este metodo un tanto engorroso. Keller [101] propone una representa-cion
de la solucion m.iforme espacialmente que lleva a la siguiente expresion
para la amplitud de transmision,
exp[i<j)-ialn(a/e)}
(1 + e 2™) 1 / 2
x expzf f
X
°
{[k
2 -V{x)} l/2 -k}dx
66
- k{x x -x ) + j~{k2 - V(x)]1* - k)dx\ (202)
donde
<f) = argF(l/2 + za), <p = para a = (203)
Tra = f
Xl
[V{x)-k2
]
l/2dx. (204)
•/to
11 Conclusiones
En esta monografia hemos intentado ofrecer una perspectiva amplia, actua-lizada
y unificada de las colisiones cuanticas en una dimension combinando
resultados conocidos pero dispersos con aportaciones originales. Nuestro de-seo
es que sea tanto un trabajo de consulta como una incitacion a seguir
profundizando en una serie de problemas abiertos. Confiamos en que el lec-tor
concluya con nosotros que este no es un campo cerrado y bien establecido
donde queda poco por hacer. Por el contrario, nos encontramos con multi-tud
de cuestiones no resueltas de caracter conceptual o tecnico relacionadas
a menudo con aplicaciones de interes tecnologico. La mayoria de estos pro-blemas
se encuentran en el dominio de estados y/o potenciales dependientes
del tiempo, que los tratamientos convencionales ignoran o consideran insufi-cientemente.
Agradecimientos: Este trabajo no podrfa haberse realizado sin la co-laboracion
de S. Brouard, V. Delgado, D. Macias, J. P. Palao, R. Sala, y R.
F. Snider. Agradezco tambien al Gobierno de Canarias la financiacion del
Proyecto PI2/95.
REFERENCIAS
1. G. Bastard, Wave mechanics applied to semiconductor hetero structures
(Les Editions de Physique, Paris, 1988)
67
2. Y. B. By y S. Efrima, Phys. Rev. B 28 (1983) 4126
3. R. Veswanathan, S. Shi, E. Villalonga y H. Rabitz, J. Chem. Phys. 91
(1989) 2333
4. J. G. Muga, V. Delgado, R. Sala y R. F. Snider J. Chem. Phys. 104
(1996) 7015
5. I. Kay y H. E. Moses, Nuovo Cimento 3 (1956) 276
6. L. D. Faddeev, Am. Math. Soc. Transl. 2 (1964) 139
7. P. Deift y E. Trubowitz, Commun. Pure Appl. Math. 32 (1979) 121
8. R. G. Newton, J. Math. Phys. 21 (1980)493
9. R. G. Newton, J. Math. Phys. 24 (1983) 2152
10. R. G. Newton, J. Math. Phys. 25 (1984) 2991
11. B. N. Zakhariev y A. A. Suzko, Direct and Inverse Problems (Springer,
Berlin, 1990)
12. J. R. Taylor, Scattering Theory (John Wiley, New York, 1972).
13. R. G. Netwon, Scattering Theory of Waves and Particles (McGraw-Hill,
New York, 1966)
14. B. Diu, Eur. Phys. Lett. 1 (1980) 231
15. M. S. Marinov y B. Segev, J. Phys. A. 29 (1996) 2839
16. W. G. Gibson, Phys. Rev. A 36 (1987) 564;
17. M. Sassoli de Bianchi, J. Math. Phys. 35 (1994) 2719
68
18. A. M. Kriman y D. K. Ferry, Superlattices and Microstructures 3 (1987)
503
19. Y. Fu, Phys. Lett. A 205 (1995) 419
20. A. H. Kahn, Am. J. Phys. 29 (1961) 77
21. J. H. Eberly, Am. J. Phys. 33 (1965) 771.
22. J. Formanek, Am. J. Phys. 44 (1976) 778.
23. A. N. Kamal, Am. J. Phys. 52 (1984) 46
24. A. Tagliacozzo, II Nuovo Cimento 10 (1988) 363
25. M. H. Bramhall y B. M. Casper, Am. J. Phys. 38 (1970) 1136
26. A. Edgar, Am. J. Phys. 63 (1995) 136
27. J. G. Muga, R. Sala and R. F. Snider, Physica Scripta 47 (1993) 732
28. W. Jaworski y D. Wardlaw, Phys, Rev. A 37 (1988) 2843
29. M. Tsuchiya, T. Matsusue y H. Sakaki, Phys. Rev. Lett. 59 (1987)
2356
30. H. Mizuta y T. Tanoue, The Physics and Applications of Resonant
Tunnelling Diodes, (Cambridge University Press, Cambridge, 1995)
31. B. A. van Tiggelen, A. Tip y A. Lagendijk, J. Phys. A 26 (1993) 1731
32. W. Jaworsky y D. M. Wardlaw, Phys. Rev. A 37 (1987) 2843
33. E. H. Hauge, J. P. Falck y T. A. Fjeldly, Phys. Rev. B 36 (1987) 4203
34. E. H. Hauge y J. A. Stovneng, Rev. Mod. Phys. 61 (1989) 917
69
35. V. S. Olkhovsky y E. Recami, Phys. Rep. 214, (1992) 339
36. J. G. Muga, S. Brouard y R. Sala, Phys. Lett. A 167 (1992) 24
37. R. S. Dumont y T. L. Marchioro II, Phys. Rev. A 47 (1993) 85
38. R. Leavens, Physics Lett. A, 178 (1993) 27
39. J. G. Muga y H. Cruz, Physica B 179, (1992) 326
40. H. Cruz y J. G. Muga, Phys. Rev. B 45 (1992) 11885
41. S. Brouard, R. Sala y J. G. Muga, Phys. Rev. A 49 (1994) 4312.
42. J. G. Muga, S. Brouard y D. Macias, Annals de Physics (NY) 240
(1995) 351
43. T. E. Hartman, J. Appl. Phys. 33 (1962) 3427
44. J. R. Fletcher, J. Phys. C: Solid State Phys. 18 (1985) L55
45. C. R. Leavens y G. C. Aers, Phys. Rev. B 39 (1989) 1202
46. F. T. Smith, Phys. Rev 118 (1960) 349
47. M Sassoli de Bianchi 66 (1993) 361
48. L. N. Pandey, D. Sahu y T. F. George, Appl. Phys. Lett. 56 (1990)
277
49. J. M. Jauch, K. B. Sinha y B. N. Misra, Helv. Phys. Acta 45 (1972)
398; T. Y. Tsang y T. A. Osborn, Nucl. Phys. A 247 (1975) 43; P.
Brumer, D. E. Fitz y D. Wardlaw, J. Chem. Phys. 72 (1980) 386 y
referencias citadas.
50. Y. Avishai y Y. B. Band, Phys. Rev. B 32 (1985) 2674
70
51. R. Dashen, S. Ma y H. J. Bernstein, Phys. Rev. 187 (1969) 345
52. W. Trzeciakowski y M. Gurioli, J. Phys. Condensed Matter 5 (1993)
105; 5 (1993) 1701
53. R. D. Levine, Quantum Mechanics of Molecular Rate Processes (Oxford
University Press, Oxford, 1969)
54. J. G. Muga, V. Delgado y R. F. Snider, Phys. Rev. B 52 (1995) 16381.
55. D. Onley and A. Kumar, Am. J. Phys. 59 (1991) 562
56. H. M. Nussenzveig, Causality and Despersion Relations (Academic
Press, New York y Londres, 1972).
57. R. G. Newton, Ann. Phys. (N. Y.) 14 (1961) 333; M. L. Goldberger y
K. M. Watson, Collision Theory (John Wiley & Sons, Inc., New York.
1964) Cap. 8; L. Fonda, G. C. Ghirardi y A. Rimini, Rep. Prog.
Phys. 41 (1977) 587; A. Peres, Ann. Phys. (N.Y.) 129 (1980) 33: H.
Jacobovits, Y. Rothschild y Lecitan, Am. J. Phys. 63 (1995) 439
58. G. Garcia Calderon, en Symmetries in Physics, editado por A. Frank
y K. B. Wolf (Springer- Verlag, Berlin, 1992) p. 252
59. G. Garcia Calderon, J. L. Mateos y M. Moshinsky Phys. Rev. Lett.
74 (1995) 337
60. B. Misra y E. C. G. Sudarshan, J. Math. Phys. 18 (1977) 756; A.
Peres, Am. J. Phys. 48 (1980) 931; W. M. Itano, J. D. Heinzen, J. J.
Bollinger y D. J. Winely, Phys. Rev. A 41 (1990) 2295; K. Urbanowski,
Phys. Rev. A 50 (1994) 2847
61. M. Moshinsky, Phys. Rev. 84 (1951) 525.
71
62. G. Garcia Calderon, G. Loyola y M. Moshinsky, en Symmetries in
Physics, editado por A. Frank y K. B. Wolf ( Springer- Verlag, Berlin,
1992), p.273
63. C. L. Hammer, T. A. Weber y V. S. Zidell, Am. J. Phys. 45 (1977)
933
64. M. Abramowitz y I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions
(Dover, New York, 1972); La funcion w es un caso particular de la
funcion de Moshinsky, vease [61] y H. M. Nussenzveig, en Symmetries
in Physics, editado por A. Frank y K. B. Wolf (Springer- Verlag, Berlin,
1992), p. 293
65. P. Exner, Open Quantum Systems and Feynman Integrals (Reidel, Dor-drecht,
1985)
66. W. E. Lamb, Physics Today 22 (1969) 23
67. M. Kababe, M. Kondo, N. Matsuura y K. Yamamoto, Jpn. J. Appl.
Phys. 22 (1983) L64
68. J. G. Muga, R. F. Snider y G. W. Wei, Europhysics Letters 35 (1996)
247
69. G. R. Allcock, Ann. Phys. 53 (1969) 311; A. J. Bracken, J. Phys. A
27 (1994) 2197
70. S. Brouard, D. Macfas y J. G. Muga, J. Phys. A 27 (1994) L439; D.
Macias, S. Brouard y J. G. Muga, Chem. Phys. Lett 228 (1994) 672
71. A. Pimpale, S. Holloway y R. J. Smith, J. Phys. A 24,
(1991) 3533
72
72. M. Buttiker y R. Landauer, Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 1739: M
Biittiker y R. Landauer, Physica Scripta 32 (1985) 429; C. Zhang y
N. Tzoar, Physica Scripta T25 (1989) 333; J. A. Stovneng y E. H.
Hauge, J. Stat. Phys. 57 (1989) 841; S. Takagi, Proc. 4th Int. Symp.
Foundations of Quantum Mechanics, Tokyo, 1992, JJAP Series 9 (1993)
82
73. Y. Fu y M. Willander. J. Appl. Phys. 72 (1992) 3593
74. S. Brouard and J. G. Muga, Phys. Rev. A 54 (1996) 3055
75. M. Va Azbel, Phys. Rev. B 43 (1991) 6847
76. Ph. A. Martin y M. Sassoli de Bianchi, Europhys. Lett. 34 (1996) 639
77. I. R. Lapidus, Am. J. Phys. 37 (1969) 1064; P. B. James. Am. J.
Phys. 38 (1970) 1319
78. Time dependent Methods for Quantum Dynamics, editado por K. C.
Kulyer, (North Holly, Amsterdam, 1991)
79. R. Kosloff, J. Phys. Chem. 92 (1988) 2087; F. Ancilotto, A. Selloni, y
E. Tosatti, Phys. Rev. B 40 (1989) 3729
80. S. E. Koonin, Computational Physics (Benjamin. Menlo Park, 1985)
81. T. M. Kalotas y A. R. Lee, Am. J. Phys. 59 (1991) 48
82. D. W. Sprung. H. Wu y J. Martorell, Am. J. Phys. 61 (1993) 1118; R.
G. Newton. Am. J. Phys. 62 (1994) 1042
83. A. Peres, J. Math. Phys. 24 (1983) 1110
84. M. G. Rozman. P. Reineker y R. Tehver. Phys. Rev. A 49(1994) 3310
73
85. W. W. Lui y M. Fukuma, J. Appl. Phys. 60 (1986) 1555
86. E. Merzbacher, Quantum Mechanics (Wiley, New York, 1970)
87. D. J. Griffiths y N. F. Taussig, Am. J. Phys 60 (1992) 883
88. J. S. Walker y J. Gathright, Am. J. Phys. 62 (1994) 408
89. B. Mendez y F. Dominguez Adame, Am. J. Phys. 62 (1994) 143
90. J. Kowalski y J. L. Fry, J. Math. Phys 28 (1987) 2407
91.' J. E. Beam, Am. J. Phys. 38 (1970) 1395
92. D. Lessie, Am. J. Phys. 54 (1936) 452
93. D. Lessie y J. Spadaro, Am. J. Phys. 54 (1986) 909
94. A. Anderson, Am. J. Phys. 57 (1989) 230
95. Y. Zohta, K. Nakamura y H. Ezawa, Solid State Comm. 80 (1991) 885
96. M. G. Rozman, P. Reineker y R. Tehver, Phys. Lett. A 187 (1994)
127.
97. H. W. Lee, A. Zysnarski y Phillip Kerr, Am. J. Phys. 57 (1989) 729
98. J. G. Muga, J. Phys. A 24 (1991) 2003
99. R. E. Turner y R. F. Snider, J. Chem. Phys. 87 (1987) 910
100. J. Crofton, P. A. Barnes y M. J. Bozack, Am. J. Phys. 60 (1992) 499
101. J. B. Keller, Am. J. Phys. 54 (1986) 546
74