Un modelo matemático para ciertas estructuras sedimentarias primarias

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Rev.Acad.Canar.Cienc., VIII (Núm. 1), 9-17 (1996)
UN MODELO MATEMÁTICO PARA CIERTAS ESTRUCTURAS
SEDIMENTARIAS PRIMARIAS
López Meléndez, J.M. , Pacheco Castelao, J.M., Rodríguez Mielgo, C.
Departamento de Matemáticas de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
( JLopez@dma.ulpgc.es)
RESUMEN:
La modelización de muchos fenómenos en Las Ciencias de la Naturaleza nos lleva a la
construcción de ciertas ecuaciones que, generalmente, no captan todos los factores que inciden en el
fenómeno. Las consideraciones físicas que concurren en un fenómeno, de tipo geomorfológico, son tantas
que es imposible introducirlas en un modelo simple. Sin embargo, la técnica de acoplar un término que
represente las fuerzas incontrolables nos lleva a considerar ecuaciones de tipo estocástico. En el presente
trabajo construimos un modelo matemático que reproduce un fenómeno geológico efímero, que se
detecta, con mucha frecuencia, en las playlis arenosas. La consideración de ecuaciones diferenciales
estocásticas y la influencia de los métodos numéricos de resolución de las mismas, para Ja configuración
de esa estructura, hacen que este trabajo adquiera interés en el ámbito de Ja Geología Matemática.
Palabras clave: Ecuaciones diferenciales estocásticas, Integrales estocásticas, ecuaciones de
tipo Langevin, Geología.
O. INTRODUCCIÓN:
En muchas aplicaciones se utiliza la modelización de fenómenos naturales
mediante ecuaciones diferenciales estocásticas (Anderson [2]) . Para estas ecuaciones, la
única vía práctica de resolución consiste en generar realizaciones, del proceso
estocástico que la define, mediante cálculo numérico. Una vez puesta la ecuación en
forma adecuada, se plantea qué método numérico es el más indicado para resolverla. El
método de Euler-Maruyama es simple, pero produce errores del orden o( ~112 ) donde
delta representa el paso ~mporal y la potencia determina un número mayor que el paso.
Para afinar más en la representación del fenómeno, es preciso introducir reglas que
generen menos errores, lo que nos lleva a la obtención de los métodos de Platten-Runge­Kutta
cuyo origen se encuentra en los desarrollos en serie de lto-Taylor.
En los últimos años, el desarrollo de los métodos numéricos estocásticos ha sido
extraordinario. Sin embargo, en la gran mayoría de las investigaciones, donde se hacen
uso de este tipo de herramientas, se observa la manipulación de esquemas de órdenes
bajos ( 1/2 y 1) que son los de Euler-Maruyama y Milstein.
La dificultad que se encuentra, en la aplicación de esquemas numéricos
estocásticos de órdenes superiores, son debidas, por un lado, a la gran cantidad de
términos que aparecen en estos desarrollos, y por otro, el tipo de ecuación que se
manipula.
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En este trabajo obtenemos un esquema numérico de orden mayor que los citados
anteriormente, aunque por la dificultad que entraña no trataremos métodos con órdenes
superiores a o( ó312 ) .
l. TRUNCAMIENTOS DE ITÓ
1.1. Desarrollos de Ito-Taylor.- El ·desarrollo de Ito-Taylor [Platten,1992), para
procesos estocásticos, toma la forma:
donde la son integrales estocásticas múltiples, A y B(A) son subconjuntos de
M = { (j1, j2 ,. . ., j1..) I j¡ E {O, 1, 2,.., m }, i E { 1,. . ., A.} ,A.= 1,2,. .} u v en el que v representa
el multiíndice de longitud O. Al fijar el valor de la longitud de la n-upla (A.) quedan
determinados los conjuntos jerárquico A y residual B(A) que configurarán la parte
principal y término residual del desarrollo.
Las funciones fa (llamadas funciones coeficientes de Ito) vienen dadas por la
fórmula de recurrencia:
si A.= O
si A.~ 1
(2)
que se obtienen de forma sencilla y directa , por ejemplo, para la ecuación diferencial
( ) ( ) o a a 1 2 a2
dX1 =a t,X1 dt+b t,X1 dW1 (3) aplicando los operadores r.; =-+a-+-b - a t ax 2 ax2
y V=bl.a.x_ setiene fa='V(a,b,a',b',..).
Aplicando el desarrollo de Ito-Taylor (1) a la ecuación (3), para f(t,x)=x, y
el conjunto jerárquico A = {a E M /A.( a) :o:; 3}, se tiene:
Xi = fvlv + f(o)I(o) + f(1)I(l) + f(o.o)I(o.o) + f(o.1)I(o.1) + f(1.o)I(1.o) + f(1,1)I(1.1) + f(o.o.o)I(o.o.o) +
f(o,o.1)I(o.o.1)+f(o.1.o)I(o,1,o)+f(o.1.1)I(o.1.1) + f(1.o.o)I(1.o.o) + f(1.o.1)I(1.o.1) +
(4)
donde R es el término residual que está compuesto por un número finito de integrales
múltiples que se generan a partir del conjunto B(A).
Este truncamiento determinará un esquema numérico convergente en el sentido
de la convergencia fuerte.
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Las integrales estocásticas múltiples, que aparecen en el desarrollo, vienen dadas
por la fórmula de recurrencia:
(5)
1.2. Aproximaciones fuertes de Ito-Taylor.
Sea el conjunto de multiíndices:
Ay= {a E M /A(a) + n(a) $ 2y,ó,A.(a) = n(a) =y+±}
y determinemos el conjunto:
A312 = { v, (O), ( 1), (O, 1),(1, O), (O, O), (1, 1, 1)}
a partir del cual generamos el conjunto de integrales estocásticas:
{ lv •(o) .I(1)•I(1,1).I(o,1)' l(o,1).I(o,o).I(1,1,1) } ·
Para y = ~ , definamos el esquema fuerte de lto-Taylor, de ese orden, mediante la
2
ecuación vectorial:
Yn+l = :~:JcJtn' Yn)la (6)
aEA3¡z
cuyo desarrollo se obtendrá más adelante.
Nótese que para y = 1 / 2 y y = 1 se obtienen otros truncamientos más débiles.
1.3.- Un teorema de convergencia.
Sea Yº={Yº(t)/tE[O,T]} una aproximación fuerte de lto-Taylor de orden
y = l correspondiente a una discretización ( 't )0 con o E (O, 1). Suponemos, además,
2
que las funciones coeficientes fa verifican las condiciones:
a) Va E Ay, tE[O, t] , x,yE~d =>lfa(t,x)-fa(t,y)l$k1jx-yj.
b) VaEAyuB(Ay)=>LaEC1•2 y faEHa .
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c) Va E Ay u B(Ay ), t E [O, T],x E 9td ~ lta(t, x)I $ k2(1 +lxl) .
Entonces podemos afirmar que:
E( Sup lx1 - Y1\tf) $ kh+¡x0¡2)02r +k4 jx0 - Yº(o)I
0<;1~11
La demostración descansa en la aplicación de la serie de Ito-Taylor unido al
Lema de Gronwall.
Si al teorema anterior le añadimos las siguientes condiciones en la hipótesis:
y
Entonces ( teniendo en cuenta la desigualdad de Liapunov), se tiene :
E(~~¡Jxt - Y0(t)I) $ E(~~¡Tlxt - Y0(t)n $ k68312
confirmándonos que el esquema es de orden 3/2 [ Platten, 1992].
2. ESQUEMAS NUMÉRICOS
2.1 Un esquema fuerte de Ito-Taylor de orden y= 3 I 2
Para este orden construimos el conjunto jerárquico según el teorema de la
convergencia fuerte:
Ay={ v,(O),( 1),( 1, 1),(O,1),(1,0),(0,0),( 1, 1, 1)}
y el truncamiento correspondiente al caso de la ecuación no autón0lna , es:
) ( ) ( ªª ªª 1 2 a2 X a) 1 =X1 +a(t,X1 I(o)+b t,X1 I(i)+ -+a-+-b - 2 I(oo)+
o at ax 2 ax '
+ (aabt +a aaxb + z1 b aax22b )I (o,1) + b aªxª I(1,o) + b aabx I(1,1) + b [(ªabx )2 + b aax+2b ]I (l,1,1) (7)
las integrales estocásticas múltiples que aparecen en dicho truncamiento se expresan,
fácilmente, en función del proceso de Wiener, y son:
1 2 A'7 Jtn+l Js2 d d
I(o) =D. ' I(1) = D. W ' I(o,o) = z D. ' I(1,o) = !JL, = tn tn Ws s2
I(o,1) = I(oJ1(1) - I(1,o) = D.(D.W)-t;Z,' I(1,1) = ;! ((D.W)2 -D.) ,I(l,1,1) = ;!(1[1i-3Af(1))
sustituyendo estas integrales en el desarrollo anterior, tenemos la siguiente
discretización:
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1 ab{( )2 } aa I(ªª aa 1 2a2 Yn+l =Yn+M+bts.W+-b- ts.W -!s. +-bl(lo)+- -+a-+-b - a2 )! s2. +
2 ax ax ' 2 at ax 2 ax
+ (-ab+ a-ab+ -1b 2 -a2b2 ){( ts.w)ts.-I(io) } +
at ax 2 ax '
+_!_b[b ª2b +(ªb)2]{_!.(Liw)2 -Li}Liw.
2 ax2 ax 3
(8)
2.2. El esquema fuerte de Platen-Runge-Kutta de orden 3/2.
Sustituyendo en la ecuación (8) las derivadas por las diferencias finitas y
simplificando, tenemos, en el caso unidimensional:
Yn+I = Yn +M+ b!s.W + 21 { b(tn, \f'+)- b(tn, 'I'_)}r(l,l) +
+±{ b( tn+I' Yn)- b( tn, Yn)}I(o,l) + + 2~ { b(tn, 'I'+)-2b( tn, Yn)+ b( tn, 'I'J}I(o,l) +
+-1 { b( tn, <I>+)- b(tn, <!>_}- b( tn, 'I'+)+ b( tn, 'I'J}I(111)·
2!s. "
siendo 'I'± =Yn+M±bJ"i. y <l>±='I'+±b(tn,'I'+)J"i.
(9)
Esta ecuación se simplifica mucho cuando se tratan ecuaciones diferenciales
estocásticas con ruido aditivo y el sistema de ecuaciones diferenciales es de tipo
autónomo.
2.3. El esquema vectorial de orden 3/2:
En muchas investigaciones es útil considerar ecuaciones diferenciales
estocásticas no lineales de segundo orden del tipo de Langevin que, para aplicar los
métodos numéricos, reducimos posteriormente a un sistema de primer orden. Tal caso
se da en aplicaciones a algunas cuestiones geomorfológicas, como se verá más abajo.
La ecuación (9), en el caso particular de ruido aditivo, podemos expresarla
como un sistema, resultando:
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(10)
donde:
3. ESTRUCTURAS GEOMORFOLÓGICAS Y MODELO MATEMÁTICO.
Dentro de los fenómenos geológicos, de tipo sedimentario, que acontecen en la
naturaleza figuran las estructuras sedimentarias primarias. Existe una extensa y
abundante clasificación de las mismas, según los distintos aspectos a considerar, entre
ellos, por su forma externa (véase Allen [1]).
Nos ocuparemos, solamente, de un tipo de estructuras sedimentarias primarias
efímeras, denominadas científicamente rill-marks, que aparecen en las playas arenosas y
que permanecen observables cierto tiempo, trataremos más concretamente, los
Branching rill-marks y los Bifurcating rill-marks [1].
La generación de los rill-marks se establece cuando baja la marea y la arena
permanece húmeda. En este momento rezuma las partículas de agua hacia la superficie,
como consecuencia del efecto de la gravedad sobre la arena, produciéndose en el lecho
de la playa unas figuras, inicialmente erráticas parecidas a un árbol. La configuración de
riachuelos irregulares son debidos a que las partículas de agua están sometidas a
múltiples fuerzas difíciles de controlar y que tienen una carga muy significativa de
aleatoriedad.
El modelo matemático que rige este fenómeno viene dado por una ecuación tipo
Langevin que podemos expresar de la forma:
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lx'=y
y'=- ClV(x) _yf(x,y)+G(t)
Clx
(11)
donde V(x) representa potenciales de pozo simple o múltiple y el término yf(x,y)
indica los efectos a escalas más pequeñas, cuya interpretación física es algún tipo de
fricción.El sumando G(t) = 11(t)~(t) es un término aleatorio donde el segundo factor es
un ruido blanco y el primero una medida de intensidad o varianza. La elección del ruido
blanco es conveniente para la simplificación del problema.
La forma matricial del sistema ( 11) es:
( x(t)J' = (f1( t, x, y ))+(g1( t, x, y ))wt
y(t) f2(t,x,y) g2(t,x,y)
( 12)
con F(t,x)=(f1(t, x, y),f2(t,x,y))T =[ ClV yf( )]
-h-y x,y
y
G(t,x)=(~~t)) ; V=fJ(x-a¡)m¡, f(x,y)=l+ax.2 , VtE[t0 ,T] , 11(t)>O
Utilizando la fórmula (10), y teniendo en c;_uenta que b(t,x,y)=b(t), es decir, la
ecuación diferencial estocástica tiene ruido aditivo, el esquema toma la forma:
l[ '1'] +2Yn+'I'~ l +¡ -v,('1'l)-'1'Jf('1'l)-2v,(xn)-2Ynf(Xn)-v,('1'~)-'1'~f('1'~) D. (1 3).
donde:
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Con la variable aleatoria f:,Z normalmente distribuida con media E(t:,Z) =O, varianza
y covarianza E(.:iUW) = _!ó2 . La variable aleatoria conjunta se
2
puede obtener mediante las expresiones ó W = U 1..fi. ; f:,Z = ó:2 (U 1 + ~ U 2) siendo
U1 y U2 normales N(0,1).
Para la reproducción por ordenador se han tomado los valores que se exponen en
la tabla, teniendo en cuenta las expresiones y
v(x(t)) = k(x(t)-xo)2
obtenidas empíricamente .
t ó a. a b c k x(O)
65 0,1 0,1 0,2 2 0,001 0,1 o
45 0,1 0,1 0.2 2 0.001 0.01 o
REFERENCIAS
[1] Allen J.R.L. [1986]: Sedimentary Structure, their character and Phisical Basis.
Elsevier. Amsterdam (two vis.).
[2] Anderson M.G. [1988]: Modelling Geomorphological Systems. J. Wiley and Sons.
Chichester. U.K.
[3] Gard,T.C. (1988]: Introduction to Stochastic Diferential,$quations. Marce! Dekker.
New York.
(4] Kloeden P.E. and Platen ,E (1992]: Numerical Solution of Stochastic Diferential
Equations. Springer-Verlaug. Berlín.
[5] López , J.M.[1995]: Contribución al estudio matemático de ciertas estructuras
sedimentarias primarias.Tesis Doctoral. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.
[6] Pacheco J. (1992]: A simple modelling of braid-like structure (rill marks) apearing
on sandy beaches. Revista de Geofísica 48, 159-164.
(7] Zeide B. [1991]: Quality as a characteristic ecological models. Ecological
Modelling, 55, 161-174.
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o
fig. l Rill-mark
Aproximación de Platen-Runge-Kuna Playa el Cotillo (Fuerteventura)
V(x) = k(x- XQ)2, N(0,4)
Fig.2 Rill-mark
Aproximación de Platcn-Rungc-Kuna. Playa Las Cmitcras (Las Palmas)
V(x(t)) = k(x( t)- Xo)2 ,N(0,4)
Recibido: 16 Mayo 1996
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