Tamaño muestral mínimo y contraste de dos proporciones binomiales

              Rev.Acad . Canar.Cienc. , V (Núm.!), 47 - 59 (1993)
TAMAÑO MUESTRAL MÍNIMO Y CONTRASTE DE DOS
PROPORCIONES BINOMIALES.
AUTORES: SÁNCHEZ GARCÍA, Miguel*
CUESTA AL V ARO, Pedro **
FELIPE ORTEGA, Ángel***
• Facultad de Medicina. Universidad Complutense.
•• Servicios Infonnáticos. Universidad Complutense.
••• Facultad de Matemáticas. Universidad Complutense.
PALABRAS CLAVE
CLASIFICACIÓN AMS
Sample Size, Binomial Model,
Test Hypothesis.
62F03.
(Este trabajo ha sido parcialmente desarrollado dentro del Proyecto CICYT INF91-74).
RESUMEN
En este trabajo diseñamos un algoritmo para calcular el mínimo tamaño muestra!
para el test de dos parámetros binomiales.
Se contrasta H0 = p, = p2 = Po frente Hª = p, = Po - .ó. y p2 = Po + .ó.,
O < .ó. < p0 s 1/2 con nivel de significación (Error del primer tipo) menor que a y
función de potencia mayor que 1-P (Error del segundo tipo menor que P). Se
proporcionan unas tablas que definen la función de decisión entre las dos hipótesis.
ABSTRACT
In this paper, we design an algorithm to calculate the minimum sample size for
the two parameters binomial test.
We test H0 =p1 = p2 =p0 against Ha= p1 =p~- .ó. and p2 = p0 +.ó. ,
O< .ó. < p0 s 1/2 with leve! of significance (Type I error) below a and power function
above 1-P (Type II error below P). We supply tables that define the decision function
between the two hyphotesis.
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1. INTRODUCCIÓN.
Fenómenos en los que la respuesta admite dos categorías se presentan en
muchos campos científicos: Medicina, Producción, Control de calidad, etc. Cuando en
estos fenómenos se toman muestras independientes para analizar dos controles, el
problema de discriminar cual de los dos es mejor, suele implicar el contraste de dos
parámetros binomiales.
En este tipo de situaciones, una de las cuestiones mas interesantes consiste en
determinar el mírimo tamaño muestra! para contrastar la hipótesis nula
H0 = p1 = p 2 = p0 frente a la alternativa Hª = p1 =Po - ti. y p2 =Po+ ti., para
O< ti. < p0 ~ 1/2 con errores de primer y segundo tipo prefijados de antemano.
La determinación práctica del tamaño muestra! se suele hacer por la
aproximación a la distribución normal que posibilita el teorema central del limite,
Lemeshow y als. (1991), Machín D. y Campbell M.J , (1987).
Esta forma de proceder sólo es buena desde el punto de vista de la sencillez de
los cálculos, ya que no halla el mínimo tamaño muestra! y por otra parte obliga a tomar
la decisión, sobre qué hipótesis es mas correcta, en función de la diferencia de las dos
variables binomiales, lo que no es fiel reflejo de lo que sucede en la realidad.
En el presente artículo calculamos el tamaño muestra! mínimo mediante un
algoritmo que utiliza cálculos exactos para discriminar entre las hipótesis H0 y Hª , con
errores de primer y segundo tipo prefijados y damos la región de rechazo de la hipótesis
nula H0 , en función de la diferencia r¡= 42 -41 y del menor valor de ambas variables.
El test se fundamenta en la teoría de Neyman-Pearson, expuesta en Lehmann ,
(1986).
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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y RESULTADOS
FUNDAMENTALES.
Suponemos que disponemos de una población n d~ unidades expenmentales
(U.E.) homogéneas, de las cuales extraemos, por muestreo aleatorio simple, dos
muestras M1 y M2 de igual tamaño 11. A las U.E. de M1 ias tratamos con un control T¡ ,
mientras que a las de M2 con otro distinto 7;
Como respuesta de las U.E. a los tratamientos se observa una variable aleatoria
.;, tipo Bernoulli; variable que mide un éxito o un fracaso de la respuesta ante los
tratamientos.
n n
respuestas de M2 a 7;; las variables 771 = L .;11 y 772 = L .;2, se distribuyen,
1=1 i= I
respectivamente, como una binomial Bl[n,p,] y Bl[n, p2 ].
El problema que nos proponemos consiste en calcular, por técnicas exactas, el
mínimo tamaño muestra! n, para decidir entre la hipótesis nula H0 = p1 = p2 =Po frente
a la alternativa H0 = p1 = Po - t. y p2 =Po +t. , t. > O Y t. < Po
Para resolver el problema, utilizamos el resultado de Lehmann 111, cuyo
fundamento es la técnica de la razón de verosimilitud de Neyman-Pearson.
TEOREMA 2.1 (Lehmann).
Sean P0 y P., distribuciones de probabilidad, con densidades respectivas % ( x) y q1 ( x)
respecto de una medidaμ
i) Existencia. Para contrastar la hipótesis nula H0 = % , frente a la alternativa
Hª = q1, existe un test </J y una constante C, tales que
[2. 1]
[2.2]
ii) Condición suficiente para un test de máxima potencia. Si un test satisface [2. l] y
[2.2] para alguna constante e, entonces es el test de máxima potencia para
constrastar H0 frente a Hª , a nivel a.
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iii) Condición necesaria para un test de máxima potencia. Si </> es el test de máxima
potencia a nivel a, para contrastar H 0 frente a Hª, entonces, para algún C,
dicho test satisface (2.2], casi seguro respecto deμ. Dicho test satisface también
(2. J] a menos que exista un test de tamaño menor que a. y con potencia 1 . •
La razón de verosimilitud para contrastar H0 "'Pi = p2 =Po frente a la
alternativa Hª "'Pi = Po - /1 y p2 =Po+ 11 es :
siendo v= k2 -ki ·
Por comodidad llamamos
Las tres funciones previas están definidas para O< /1 < p0 :5 1/2, y con esta
notación la función razón de verosimilitud se puede expresar como:
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TEOREMA 2.2 La función <p1 (p0 , ó) es decreciente en ó para Po fijo, y creciente en
Po para ó fijo.
Demostración:
•
TEOREMA 2.3 La función <p2 (Po , ó) es creciente en ó para Po fijo , y creciente en
Po para ó fijo.
Demostración:
Ambas desigualdades resultan evidentes si se hace el producto cruzado . •
TEOREMA 2.4 La función ¡p3 (p0 ,ó) es decreciente en ó para p0 fijo, y decreciente
en Po para ó fijo.
Demostración:
•
En términos prácticos el problema del contraste de dos proporciones binomiales
se plantea para poder discriminar si una proporción, sin pérdida de generalidad p2 , es
significativamente mayor que la otra o no.
En la terminología de los test unilaterales, la formulación de las hipótesis es:
Ho = P2 s; Pi frente H.= P2 > P1
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En una aplicación práctica esta formulación se reduce a
Ho =Pi = P2 =Po frente a H.= Pi =Po - ti. Y P2 =Po+ ti.
Denotamos por
RH(n,p0 ,ti.,C)={(ki ,k2 )j ki~k2 y RV(n,p0 ,fi.,k1,k2 )>C} [24)
y utilizaremos la notación RH cuando no haya riesgo de confusión. RH es la región de
rechace de la hipótesis H0 .
El error del primer tipo, o probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es
cierta es:
A [RH(np ti.C)] = "" (n_)(n)pk,+k2(1 - p)2n-(k,+k,) [2 .5)
(p,.p,) ' o' ' L. k k o o
(k1 .k2 )eRH i 2
El error del segundo tipo, ó probabilidad de rechazar la hipótesis alternativa
cuando es cierta es:
El valor de la constante C se determina por técnicas computacionales, que serán
explicadas en el tercer apartado.
Para cada valor den, se calcula C(n , p0 ,ti.) de tal forma que el error del primer
tipo [2. 5) vrrifique
y se halla el mínimo valor de 11, tamaño muestra!, tal que el error del segundo tipo [2 .6)
no supere /J. Admitiendo test aleatorizados, el teorema de Lehman garantiza que así se
calcula el mínimo tamaño muestra!.
Para construir la región de aceptación de la hipótesis alternativa [24), debemos
despejar V de la desigualdad RV(n,po, ti. ,ki , ki} >e obteniendo a partir de [2.3)
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y considerando
la región de aceptación de la hipótesis alternativa es
RH = {(k1,k2 )1 k2 -k1 ~ v0(n,p0 ,ó,k1)} (2.10]
TEOREMA 2.5 La función v0 (n,p0 ,ó,k1 ) es creciente en cada una de sus variables.
Demostración:
Es consecuencia de las propiedades de las funciones q¡1, q¡2 y q¡3 . •
3. PROCEDIMIENTO COMPUTACIONAL Y RESULTADOS.
Para valores prefijados de Po y ó' Vo depende solo den, e y k¡ .
Denotamos por ET., y E'fi los errores de primer y segundo tipo
respectivamente. Se deduce de (2.5], (2.6] y (2.10] que considerando la función
(2.11]
dichos errores se calculan por ET.,= ET\p0 ,p0 ) y E'fi = 1- ET\p0 - ó,p0 + ó)
La función v0 (n,C,k¡) .se representa computacionalmente por un vector,
llamado de diferencias, en el que, para un n y C concretos, el valor v0(k1) indica la
diferencia entre k2 y k1 a partir de la cual se rechaza la hipótesis nula.
'Considerando el término derecho de (2.8] vAn.C,k¡) =In(~;' <P~ ))n q¡2 se
verifica que vA11,Ceª,kJ= vAn,C,k1)+a cuando &= q¡2 yaE(0,l].
Entonces incrementar e hasta Ceª implica que Vo(k¡) = Vo(k¡) + 1 en las
posiciones { k1 1 v0(k1 ) - vAk1) s a} . En particular, todas las posiciones aumentan una
unidad para a = l.
Estas relaciones son de interés en el algoritmo siguiente, para agilizar la búsque­da
simultánea de valores exactos para C y el vector de diferencias asociado v0 (n, C, k1) .
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ALGORJTMO
Datos iniciales
El valor p , la diferencia .1., los errores del primer y segundo tipo a y p y tª' fp
tales que PN(O.l) [s ~ ta ] = a y PN(O, IJ[.; s tp] = l - /J
Paso O Calcular tamaño muestra! por la aproximación normal [21 .
n0 = min{n·l.J,i ~ 2~ [1a~2p(l - p) + lp~p1 (1 - p1)+ p2 (1 - p2 ) J}
Paso 1 Poner 11 = 110 y C = 1.
Paso 2 Calcular por [2.9) el vector de diferencias v0 (n ,C, k¡) para k1=0, 1, .. ,n-1.
Paso 3 Evaluar ET¡ = ET(p ,p) y El; = 1- ET(p - .1. ,p + .1.) según [2 . 11).
Paso 4 Los dos errores deben ser admisibles, sin aleatorizar el test.
a) Si ET¡ +ET;_ s a +/J .
C1=C
al) Si un tipo de error supera su cota: Cuando ET¡ > a aumentar C1
(cuando ET;_ > fJ disminuir C1) hasta que, repitiendo los Pasos 2
y 3, el error ET¡ (E l;) sea admisible.
A continuación se ejecutan b) ó c).
b)Si ET¡ s a y ET;_ s fJ
C=C1
Si 11 > 110 ir al Paso 5.
En otro caso n = n - 1. Ir al Paso 2.
e) Si ET¡ > a ó ET2 > /J
Sin < 110 poner n = n+ I ,recalcular v0 (11 ,C, k1) e ir al Paso 5.
En otro caso n = 11+ 1. Ir al Paso 2.
Paso 5 Escribir 110 , n , C y v0 (n , C, k1) Escribimos sólamente las posiciones k1 donde
se produce un cambio.
FTN.
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INTERPRETACIÓN DE TABLAS Y CONCLUSIONES
En la Tabla 1 se presentan los resultados del procedimiento anterior para
distintos valores de p, ti., a y /3, concluyéndose que el tamaño n exacto es menor que el
de la aproximación normal para valores bajos de p siendo muy parecidos a partir de
aproximadamente p =0.25
Como consecuencia de los cálculos realizados se cometen errores no superiores
a los prescritos y en general menores, debido al carácter discreto de las observaciones.
Ejemplo: Para p = O. 20, ti. = O. 05, a = O. 05 y f3 = O. 05 se requiere un tamaño
muestra! exacto de 11 = 341 . Si k1 = 100 , se rechaza la hipótesis nula a partir de
k2 = 126.
BIBLIOGRAFIA
[!] LEHMANN E. L, (1986). "Testing Statistical Hypothesis" . John Wiley. NewYork.
[2] MACHIN D., CAMPBELL M. J, (1988) "Statistical Tables jor the Design of
Clinical Trials". Blackwell Scientific Publications.
[3] LEMESHOW S. et al, (1990). "Adequacy of Sample Size in Health Studies" . John
Wiley. Chichester.
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Tabla l . Tamaños muestrales y valores de decisión e y k1[ Vo(n,C,k1)]
&--005
O[ 2]
151 111
291 20]
441 29]
591 38]
731 47]
88[ 561
1031 651
1171 741
132[ 831
1461 921
16111011
1761 1101
&=0.05
01 31
25[ 121
531 21 I
80[ 301
1081 39]
135[ 481
1631 57]
1901 661
2171 751
245 84
&=O 10
01 2]
101 11]
201 20]
301 29]
401 381
501 471
601 561
&--005
01 51
401 141
83[ 231
1261 321
1681 411
211J 501
2541 591
2961 681
3391 771
P =o.to a= o.o5 P= o .o5
n• n -- 193 n-- 181 c-- 1012
2[ 3] 3[ 4[ 5[ 5] 7[ 6[ 81 7]
161 121 181 131 201 141 2 IJ 151 231 161
31[ 211 331 221 341 231 361 241 381 251
46[ 301 471 31] 491 321 511 331 521 341
601 391 621 40] 641 411 651 42] 671 43]
751 481 771 491 781 501 80[ 51] 811 52]
90[ 571 91[ 0 58] 931 591 941 60] 961 611
104[ 661 1061 67] 1071 681 1091 691 111[ 701
1191 75] 1201 761 1221 771 1241 781 125[ 791
1331 841 1351 851 1371 861 138[ 871 1401 881
1481 931 1501 941 15IJ 951 153[ 961 1551 971
1631 1021 1641 1031 1661 1041 168[ 1051 1691 1061
1771 1111 17911121
P=0.15 cx =0.05 p = 0.05
n = 274 n = 268 e= 1.051
11 41 41 5] 71 61
281 131 321 141 351 151
561 221 591 231 621 241
831 3 11 861 321 891 331
111[ 401 1141 411 1171 421
1381 491 1411 501 1441 51]
1661 581 169[ 591 1721 601
193[ 671 1961 681 1991 69]
220[ 761 223í 77] 227[ 781
248 85 251 86 254 87
n· n = 67 n = 62 e= 1 088
11 31 21 4] 31 5]
111 12] 121 13] 131 141
211 21 1 221 221 231 231
3 11 30] 321 31 1 331 32]
411 391 421 401 43[ 411
5 IJ 481 52[ 491 531 501
6 11 571
101 71
381 161
651 251
921 341
1201 431
1471 521
1751 6 11
2021 701
2301 79]
257 88
41 61
141 15]
241 241
341 33]
441 421
541 511
131 81
4 IJ 171
681 261
961 351
1231 441
1501 53]
1781 62]
205[ 71 ]
233[ 80]
260 89
5[ 7]
15[ 16]
251 25]
351 34]
451 43]
551 521
P = 0 .20 a = 0.05 p = 0 .05
n• n -- 344 n -- 34 1 e -- 1 000
21 61 71 71 121 81 161 91 21[ 101
451 151 501 161 541 171 591 181 64[ 191
88[ 241 921 251 97[ 261 102[ 271 1071 281
1301 331 1351 341 1401 351 1451 361 1491 371
1731 421 1781 431 1831 441 1871 451 192[ 461
2 161 511 :201 521 2251 531 2301 541 2351 551
2581 601 2631 61 1 2681 621 2731 631 2771 641
3011 691 3061 701 3111 711 3151 721 3201 731
56
101 8]
251 17]
391 26]
541 351
68[ 441
831 531
981 621
1121 71]
1271 801
1421 891
1561 981
171J 1071
161 91
441 181
7 IJ 271
991 36]
126[ 451
153[ 541
181[ 63]
208[ 72]
236[ 811
263 90
71 81
17[ 171
271 261
37[ 35]
471 441
561 531
261 111
69[ 201
111[ 291
1541 381
1971 471
2391 561
2821 651
3251 741
11[ 91 13[ 101
261 181 281 191
411 27] 421 281
551 36] 571 371
70[ 451 721 461
85[ 541 861 551
99[ 631 1011 641
1141 721 1161 731
1291 811 1301 821
1431 901 1451 911
158[ 991 1591 1001
1721 1081 17411091
191 101 221 111
471 191 501 201
741 281 77[ 29]
102[ 37] 1051 381
1291 461 1321 471
1561 551 1601 561
1841 64] 1871 651
211[ 73] 2141 74]
239[ 82] 242[ 83]
266 91
81 91 91 101
181 18] 191 191
281 27] 29[ 281
381 361 391 371
481 451 491 461
58[ 541 591 551
311 121 351 131
731 211 781 221
1161 301 121[ 311
1591 391 1641 401
2021 481 2061 491
2441 571 2491 581
2871 661 2921 671
3301 751 3341 761
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p = 0.20 a= 0.05 p = 0.05
ó. = 0.10 n = 84 n = 82 e= 1.026
O( 3] 2( 4] 4( 5) 6( 6) 8( 7] 10( 8) 12( 9] 13( 10) 15( 11]
17( 12( 19( 13] 21( 14) 231 15) 25( 16) 27( 17] 291 18] 31( 19] 331 20)
35( 211 37( 22] 39( 23] 41( 24) 431 25) 45( 26) 47( 27] 491 28] 51( 29)
53( 30( 55( 31] 57( 32) 59( 33) 61( 34) 63( 35) 65( 36] 67( 37] 691 38]
71 39 73 40 75 41 77 42 79 43 81 44
p = 0.25 a= 0.05 p = 0.05
ó. = 0.05 n = 404 n = 403 e= 1.000
O( 8] 6( 9) 13( 10) 20( 11) 27( 12) 34( 13] 41( 14) 481 15] 55[ 16)
62( 17] 69( 18) 76( 19) 82( 20] 89( 21] 96( 22] 103( 23] 110( 24] 117( 25)
124( 26] 131( 27] 1381 28] 145( 29) 152( 30] 158( 31] 165( 32) 172( 33] 179( 34]
186( 35) 1931 36) 2001 37] 207( 38) 214( 39] 221( 40] 228[ 41] 234( 42] 241( 43]
248( 44) 2551 45] 262( 46) 269( 47] 2761 48] 283( 49) 290( 50] 297( 51) 304( 52]
310( 53) 3171 54] 324( 55) 331( 56) 338( 57] 345( 58] 352( 59) 359( 60] 366( 61)
373 62 380 63 386 64 393 65 400 66
ó. = 0.10 n = 99 n = 98 C= 1.058
01 4) l( 51 41 6] 7( 7] 10( 8] 13( 9] 16( 10] 20( 11] 23( 12]
26( 13) 29( 14) 321 151 351 16) 381 17) 41( 18] 44( 19] 471 20) 50( 21)
53( 22] 56( 23) 59( 24) 62( 25) 66( 26) 69( 27) 72( 28] 75( 29] 78( 30)
81 31 84 32 87 33 90 34 93 35 96 36
P =O.JO a= 0.05 p = 0.05
ó. -- o 05 n• o -- 452 n -- 452 e -- 1 000
O( 11) 91 12) 19( 13) 29( 14) 39( 15) 49( 16] 59( 17] 69( 18) 781 19]
881 20) 981 21) 108( 22) 118( 23) 1281 24) 138( 25) 148( 26] 1581 27) 168( 28)
177( 29) 187( 30) 197( 311 207( 32) 217( 33 1 2271 34] 237( 35) 247[ 36) 257( 37]
267( 38] 276( 39] 286( 40) 296( 41] 306( 42) 3161 43( 3261 44] 336( 45] 346( 46)
356( 47] 366( 48] 375( 49] 385( 50) 395( 51) 405( 52) 4151 53) 425( 54) 435( 55)
4451 561
ó.=0.15 n0 = 48 n = 48 C= 1.041
1 º' 4]
21 5] 41 6) 7( 7) 101 8[ 12( 9) 15( 10] 18( 11) 21( 12]
23( 13) 261 14( 29( 15) 31( 16) 34( 17] 37( 18] 39( 19] 42( 20) 451 21]
47 22
p = 0.35 a= 0.05 p = 0.05
ó. = 0.05 n = 490 n = 490 e= 1.000
01 14] 61 15] 21( 16] 35( 17( 501 18] 64( 19) 79( 20] 931 21] 108( 22)
122( 23] 137( 24) 151( 25) 166( 261 181( 27( 195( 28] 210( 29) 224( 30( 239( 31 J
253( 32] 268( 331 282( 34( 297( 351 311( 361 326( 37] 341( 38] 355 ( 39] 3701 40]
384 41 399 42 413 43 428 44 442 45 457 46 471 47 486 48
ó.=0.15 n = 52 n = 53 e= 1.000
01 5] 2[ 6] 6[ 7] 10[ 8] 14[ 9) 19[ 10] 23[ 11) 27( 12] 31 ( 13)
35 14 39 15 44 16 48 17 52 18
p = 0.45 a= 0.05 p = 0.05
ó. = 0.05 n = 534 n = 535 e= 1.022
O( 23) 38( 24) 87[ 25) 1351 26) 184[ 27) 2321 28] 281[ 29) 330( 30] 378[ 31)
427 32 476 33 524 34
ó.=0.15 n0 = 57 n = 58 e= 1.042
1 O[ 8J 9[ 9J 23[ 10[ 38[ llJ 53[ 12[
57
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Tabla l. Continuación.
A= O.OS
O( 3)
15( 12)
30( 21 J
441 30)
591 39)
741 481
88) 57)
103( 66)
1171 75)
132 84
A= O.OS
O( 41
26( 13]
53[ 22)
80[ 31)
1081 401
135( 491
1631 58)
190 67
/!=O.JO
01 3)
10( 121
20( 211
30( 301
40 39
-
O( 61
4" 15]
831 24]
1261 331
169( 421
212( 51(
2541 601
A= 0.10
01 31
16( 121
341 211
52 30
p = 0.10 a= 0.05 13 = 0.10
n = 153 n = 146 e= 1.668
2( 4) 4( 5) 5( 6) 7( 7] 8( 8)
17( 13] 18( 14) 201 15] 221 161 23( 171
311 221 331 23] 35) 241 36( 25) 381 261
461 311 481 321 491 33) 511 341 52( 351
6 11 40] 621 41] 641 42) 651 43] 671 44)
751 49) 771 501 781 511 801 52) 82( 53)
901 58) 91( 59) 931 601 951 611 96( 62)
104( 67) 1061 681 108( 69) 109( 701 111[ 71 ]
1191 761 1211 771 122( 78) 124( 791 126( 80)
134 85 135 86 137 87 139 88 140 89
P = O.IS a= 0.05 13 = 0.10
n =217 n=213 e= 1.785
I[ 51 41 61 71 7) 101 81 131 9)
29[ 141 321 15] 351 16) 381 17) 41) 18]
561 23] 591 24) 62) 25) 651 261 681 27)
831 32] 861 331 90( 34) 93( 35] 961 36)
1111 411 1141 42) 1171 431 1201 441 1231 451
1381 501 141( 51( 1441 521 1471 531 1501 541
1661 591 1691 601 1721 6 IJ 1751 621 178( 631
193 68 196 69 199 70 202 71 205 72
n = 53 n = 48 C= 2.076
11 41 21 5) 41 61 51 71 61 81
111 131 12( 141 141 15) 151 16) 161 17)
211 221 22( 231 241 241 25( 25) 261 261
31( 311 321 321 341 331 35( 341 36( 351
41 40 42 41 44 42 45 43 46 44
P=0.20 a = 0.05 13 = 0.IO
n - 272 n - 271 e - 1 694 ' O -
31 71 81 8)
451 161 501 171
881 251 931 261
1311 341 1361 351
1741 431 1781 441
2161 52] 221( 531
259( 611 2641 621
n = 67 n = 65
11 41 3( 51
181 131 201 141
361 22] 381 231
54 31 56 32
121 91
55( 18]
981 271
1401 361
1831 451
226( 541
2691 631
e = I.773
51 61
221 151
401 241
58 33
171 101
60( 191
1021 281
1451 371
188( 461
23 11 551
71 71
241 161
421 251
60 34
58
221 111
641 20]
107( 29]
1501 38]
193( 471
2351 561
91 81
261 171
441 26]
62 35
10) 9)
251 18)
391 27)
541 36)
69[ 45)
83( 541
98( 631
113[ 72]
127( 811
142 90
161 101
44) 191
7" 281
99( 371
1261 461
1541 551
181( 641
208 73
71 91
171 181
271 271
37¡ 361
47 45
271 121
691 21]
112( 30]
1551 391
1971 481
240( 571
101 91
281 181
46( 271
64 36
12( 10]
26( 191
411 281
561 37)
70[ 46]
851 551
1001 64)
114( 73]
129( 82)
143 91
191 11 J
47) 201
74( 29)
1021 381
1291 471
1571 561
1841 651
211 74
8( 101
181 191
281 281
381 371
311 131
74( 221
1171 311
1591 401
2021 491
2451 581
121 101
301 191
48( 28)
13( 11 J
281 20]
431 29]
57[ 38)
72[ 47]
87( 56)
101( 65]
116[ 74]
1301 83)
145 92
22[ 12)
501 211
77[ 301
105( 39)
1321 481
1601 571
1871 661
91 1 IJ
191 20)
291 291
391 381
361 14]
791 23]
121( 32]
164( 41]
2071 50]
2501 59]
14( 11]
321 201
501 291
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
1
ó -- 005
O[ 8)
58[ 17]
120[ 26[
182( 351
244( 44]
3061 53]
ó = 0.10
O( 5(
28( 14(
55 23
6=005
01 11]
86( 20[
1761 291
265( 38]
354( 47]
ó= 0.15
01 4(
23 13
ó = 0.05
O[ 14]
127( 231
258 32
ó=0.15
01 51
36 14
ó = 0.05
ºI 211
ó=0.15
01 71
P=0.25 a=0.05 J3 =0 10
n• n -- 319 n -- 319 e -- 1 689
2( 9) 9( 10)
64( 18] 71[ 19)
127[ 27] 134[ 28]
189( 36( 196( 371
251( 45( 258( 461
3 13( 541
n = 79 n = 78
3( 6] 6( 7(
31( 15) 34( 16)
58 24 62 25
16[ 11)
78[ 20)
141[ 29[
203( 381
265( 471
e= 1.754
9( 81
37( 17]
65 26
23( 12)
85[ 21 [
147[ 30]
210( 39]
272( 48]
12( 9]
40( 18(
68 27
30( 13)
92[ 22[
154[ 31]
217( 40]
279( 49)
16( 10)
43( 19)
71 28
P=0.30 a=0.05 J3 = 0.10
n• n = 358 n = 358 e -- 1 687
7( 12] 17( 13) 27( 14] 37) 15) 47[ 16)
96( 211 1061 22[ 116( 23] 126( 24) 136( 25]
186( 30] 195( 31] 205( 32[ 215( 331 225[ 34)
275( 39( 285( 401 2941 41( 304( 42] 314( 43]
n = 39 n = 39 e= 1.108
1( 5( 4( 6( 7( 7( 9( 81 12( 91
26 14 28 15 31 16 34 17 36 18
p = 0.35 a = 0.05 p = o 10
n = 388 n = 388 C= 1.701
11( 15] 26( 16] 40( 17] 55( 18( 69( 191
142( 24( 15~( 25( 171( 261 1861 271 200[ 281
273 33 287 34 302 35 317 36 331 37
n = 42 n = 42 e= 1.152
2[ 6( 6[ 7( 101 81 15[ 9] 19( 101
40 15
p = 0.45 a= 0.05 p = o 10
na= 422 n = 423 e= 1.142
371 221 851 231 1341 241 1821 251 23lj 261
na= 46 n = 47 e= I.698
31 81 171 91 321 101
37[ 14)
99[ 23)
161[ 32]
223( 41]
286( 50]
19( 11]
46( 20]
74 29
57( 17[
146( 26]
235[ 35)
324( 44(
151 10)
84( 20]
2151 29[
346 38
23[ 111
2801 271
44[ 15)
106[ 24)
168[ 33]
230( 42]
293( 51]
22( 12]
49( 21)
77 30
67( 18)
156( 27]
245( 36)
334( 45]
18( 111
98( 21]
229[ 30[
360 39
27[ 121
3281 281
51[ 16]
113( 25]
175( 34)
237( 43)
299( 52]
25( 13]
52( 22]
77( 19]
166( 28]
255( 37]
344( 46]
20[ 121
113( 22(
244( 31]
375 40
3 1( 13)
3771 291 I
Recibido: 30 de Agosto 1993
59
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Rev . Acad . Canar . Cienc ., V ( Núm. 1), 6 !- 70 (!993)
ALGUNAS INTEGRALES FINITAS QUE INVOLUCRAN FUNCIONES
HIPERGEOMETRICAS GENERALIZADAS
Beatriz González
Centro de Investigación de Matemá tica Aplicada
(C.I.M.A.)
Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia
Apartado Postal 10482
ABSTRACT
The object of this papar is evaluate finite integrals
involving the product of two generalized hypergeometric functions.
The resul ts obtain are e xpressed in terms of Kampé de Fé riet 's
function and can be considered as its integrals representations.
Our formulae generalized known resul ts involving certain special
functions, as: Orthogonal Polynomials and thei r generalizations.
Through of them, we can obtained integrals involving others
special functions related with the generalized hypergeometric
functions.
RESUMEN
El objetivo de este trabajo es evaluar integrales finitas que
involucran el producto de dos funciones hipergeométricas
generalizadas. Los resultados obtenidos aquí son expresados en
términos de la función Kampé de Feri é t y pueden c onsiderarse como
representaciones integrales de éstas. Nuestras fórmulas
generalizan resultados conocidos que envuelven c iertas func iones,
tales como : Polinomios ortogonales y s us generalizaciones. A
través de él los podemos obtener integrales que involucran otras
funciones especiales relacionadas con las funciones
hipergeomé tricas generalizadas.
Palabras Claves: Integrales, Funciones Hipergeométricas
Generalizadas, Funci ón Kampé de Feri é t.
61
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