La abstracción y la vida real

              LA ABSTRACCIÓN Y LA VIDA REAL
José Miguel Pacheco Castelao
Departamento de Matemáticas. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Texto del discurso de ingreso como Académico de Número
de la Real Academia Canaria de Ciencias
Señor Presidente de la Real Academia Canaria de Ciencias,
Señor Rector de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria,
Señores Académicos,
compañeros, amigos, señoras, señores:
Como matemático, me siento obligado a ofrecerles en este acto algunas reflexiones sobre
la ciencia matemática y su articulación con otros campos del conocimiento, sus encuen­tros
y desencuentros con ellos, su relación con las estructuras sociales, y, en definitiva,
con casi cualquier asunto que se nos ocurra traer a escena. Así pues, intentaré presentar­les
aspectos que muchos no matemáticos consideran recónditos y un tanto misteriosos;
sin embargo es posible compartirlos, entenderlos, y disfrutar de su comprensión.
El gran novelista argentino Ernesto Sabato, en un memorable artículo publicado con
motivo de la muerte de Albert Einstein, escribía en 1955:
"Leemos una página de Rojo y Negro, y tenemos la curiosa creencia de que
cualquiera de nosotros sería capaz de escribir algo parecido; pero tropezamos
con una frase como "el tensor G es nulo" y nos ponemos a temblar de pavor
y sentimiento de inferioridad."1
Quisiera creer que tras los pensamientos en voz alta que les expondré saldrán Uds conven­cidos
de que el terror invocado por Sabato es desde luego superable. Para ello utilizaré
un lenguaje lo más informal posible - lo que no significa impreciso-, enviando a las notas
finales del texto definitivo aquellos tecnicismos que, a pesar de todo, resulten inevitables.
1 Introducción
En septiembre del año 1940, con motivo del segundo centenario de la Universidad de
Columbia en Nueva York, el matemático, físico y filósofo alemán Hermann Weyl fue invi­tado
a pronunciar una conferencia plenaria, con el sugestivo título de The mathematical
1 Sabato, Ernesto (1955) Poderío e impotencia de Einstein, Atenea 121(360), 361-369.
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way of thinking. Weyl estaba exilado en Estados Unidos desde 1935 y aunque él no era
judío, sí su mujer, habiendo sido su valedor en aquel país el propio Einstein. El texto de
su intervención se publicó poco después en la revista Science - en aquellos tiempos las
Matemáticas tenían todavía acceso a tales foros- y debería considerarse lectura obligada
para cualquiera con mínimos intereses científicos, matemáticos o no, porque resulta difí­cil
no estar de acuerdo con sus apreciaciones acerca de cómo emerge una forma específica
de pensar, en especial si se considera conjuntamente con el casi et erno problema de cuál
es la mejor forma de enseñar Matemáticas.2
En realidad, la conferencia era una revisión de otra bastante anterior pronunciada en
1931 ante la asociación de profesores suizos de Matemáticas en Berna3 , y cuyas palabras
iniciales, toda una declaración de intenciones, son éstas:
"No nos satisface captar las verdades matemáticas tras complicadas ca­denas
de deducciones y cálculos, tanteando, como a ciegas, entre un paso y
otro. Preferiríamos disfrutar de una visión de conjunto, comprender los fun­damentos
últimos que sustentan los razonamientos, comprender la( s) idea( s)
de las demostraciones, y las profundas relaciones tras ellas."4
El proceso para llegar al razonamiento matemático es presentado por Weyl en tres pasos:
El primero, pensar sobre problemas concretos - think concretely-, con a uxilio de figuras,
ejemplos, analogías, y observaciones empíricas.
Segundo, donde se presenta la mayor parte de las dificultades del aprendizaje, traducir
las ideas intuitivas o concretas a construcciones simbólicas, manejadas según reglas bien
definidas para deducir otras nuevas, método que conforma una vía epistémica bien cono­cida
a lo largo de la historia conjunta de las Matemáticas y la Física. También se conoce
esta etapa como de construcción de modelos matemáticos.5
Finalmente, el tercer paso, al cual acceden pocos, consiste en despoj ar a los símbolos
y reglas de la etapa anterior de toda vinculación con objetos reales, transformándolos
en puros entes de razón sobre los que elaborar el discurso deductivo. La historia de la
Ciencia nos muestra también con mucha frecuencia las trampas y los peligros de este
salto conceptual, pues el status ontológico de los nuevos constructos u objetos mentales
ha sido y es motivo de discusiones y conflictos, además de sembrar muchas dudas sobre la
validez - cualquiera que sea el significado de esta palabra- epistémica de las conclusiones
obtenidas.
2Weyl, Hermann (1940) The ma thematical way of thinking, Science 92, 437-446.
3Weyl, Hermann (1931) Topologie und a bstrakte Algebra als zwei Wege mathematisches Verstiind­nisses,
Unterrichtsblatter für Mathematik- und Naturwissenschaftler 38, 177-188.
4"Wir werden uns nicht gerne damit zufrieden, einer mathematischen Wahrheit überführt zu werden
durch eine komplizierte Verkettung formeller Schlüf&e und Rechnungen, an der wir sozusagen blind
von Glied zu Glied entlang tasten müf&en. Wir mochten vorher Ziel und Weg überblicken konnen, wir
mochten der inneren Grund der Gedankenerfiihrung, die Idee des Beweises, den tieferen Zusammenhang
verstehen." Los subrayados son míos.
5Hay muchos textos que tratan este tema. Véanse p. ej. Gershenfeld, Neil (2006) The nature
of mathematical modeling, Cambridge University Press, UK; y Fowler, Andrew (2011) Mathematical
Geoscience, Springer New York.
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Existe también un cuarto paso no considerado en el texto de Weyl: el retorno del
conocimiento generado por el pensar matemático a la sociedad , aunque es de suponer
que tal cuestión no era baladí en los comienzos de la segunda Guerra Mundia l. No
tenemos pautas para esta etapa, pues hay t iempos en que los avances en Matemáticas
aparecen como sin sentido, y repentinamente se encuentran interpretaciones y aplica­ciones
insospechadas: un buen ejemplo, extraído de la Medicina, sería señalar que gran
parte de las técnicas de tomografía están inspiradas por los trabajos teóricos de Radon
realizados hace un siglo, que hubieron de esperar casi otro medio por los avances tec­nológicos
pertinentes antes de devenir en herramientas habituales. Lo contrario también
ocurre, cuando los matemáticos se ven incapaces de proveer teorías y métodos para ab­straer
y estudiar hechos de comprensión difícil, como es el caso de las Ciencias Sociales
y su larga relación de amor y odio con las Matemáticas.6 Otras veces, como en los
años del desarrollo de la Mecánica Cuántica - más o menos los primeros treinta del siglo
XX-, los logros obtenidos en Física y Matemáticas, aunque simultáneos, no confluyeron
hasta finales de los años 1920. En general, me atrevo a afirmar que a priori no sabemos
cuándo ni qué elucubraciones teóricas resultarán útiles, ni cómo.
He aquí un par de ejemplos clásicos en apoyo de la tesis de los tres pasos. Uno, la
conocida y un tanto arrogante fraseología de la introducción de Joseph-Louis Lagrange
a su Mécanique Analytique de 1788: "Le lecteur ne trouvera point de figures dans cet
ouvrage", y "Ceux qui aiment l'analyse verront avec plaisir la méchanique en devenir une
nouvelle partie ... "
Otro es la construcción de la geometría proyectiva por Karl Von Staudt, en el también
carente de figuras Geometrie der Lage de 1847. A este respecto, el matemático y profesor
salmantino Norberto Cuesta solía comentar con alguna malicia, y así lo dejó escrito, que
" ... ya me gustaría a mí haber visto la papelera de Von Staudt ... "7 Casos de mentes muy
representativas del tercer nivel: citaré sólo a Emmy Noether, considerada justamente la
fundadora del Álgebra Abstracta, pero cuyas contribuciones publicadas en 19188 sobre la
íntima relación entre la idea generalizada de simetría y la de ley de conservación en Física
han sido determinantes en la Física teórica, y al recién desaparecido apátrida Alexander
Grothendieck, quien hace tiempo abandonó las Matemáticas, pero cuyo formidable nivel
de abstracción, sobre todo en Geometría, está fuera de toda duda. Sus memorias o
reflexiones acerca de su pasado como matemático, bien merecen ser leídas en detalle.9
El paso cuarto está tan imbricado con el desarrollo de otras ciencias que nos llevaría a
largas excursiones, y lo trataré a continuación a través de una historia que estimo les
resultará interesante.
6 Pacheco, José M. (2008) Does more abstraction imply better understanding? Preprint series of t he
Max Planck Institute for the History of Science (Berlin) Nº 351.
7 Cuesta, Norberto (1982) La Sinfonía del Infinito, y ya en el paraíso de Euler, Ediciones Universidad
de Salamanca.
8 Noether, Emmy (1918) Invaria nten beliebiger Differentialausdrücke. Gottinger Nachrichten 1918,
37-44. También: Noether, Emmy (1918) Invariante Variationsprobleme. Gottinger Nachrichten 1918,
235-257.
9 Grothendieck, Alexander (1986) Récoltes et sémailles, http://www.math .jussieu.fr¡-leila/
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Es notable también que en la visión de Weyl no se considere la tradicional polémica acerca
de si las Ma temáticas se descubren o se crean/ construyen.10 Una respuesta tajante a t al
alternativa es poco probable que se obtenga alguna vez, y no seré yo quien proponga aquí
una contestación, ni siquiera una tercera o cuarta vía de aproximación. Tampoco está
presente el problema de la verdad matemá tica, cuestión que algo antes de la conferencia
de Weyl en Berna ha bía sido dilucidada por Godel11 al señalar, y probar , que la idea de
verdad no es reducible a la de demostrabilidad. Permítanme que les invite a reflexionar
un poco formulándoles una pregunta: Cuando en esos films donde intervienen jueces y
abogados se escucha la expresión " ... se ha probado, más allá de toda duda razonable,
que ... " ¿qué entendemos o queremos entender exactamente?
2 U na historia
Tal vez resulte polémico si les digo que el desarrollo de las Matemá ticas desde principios
del siglo XX vive de las rentas de los formidables pensadores del XVIII y el XIX. No me
refiero a la cantidad de literatura matemática producida desde 1900, ni a los indudables
progresos realizados sobre todo a par tir del final de la segunda Guerra Mundial, sino a
que las ideas, concepciones y métodos cuyo estudio conforma el objetivo de las ciencias
matemáticas est án todos enraizados en escritos y trabajos de unas pocas personas que
supieron avanzar en la escala de Weyl durante aquellos espléndidos años. Además, y
de acuerdo con Lagrange, estimo conveniente no distinguir nítidamente entre Física y
Ma temá ticas, tanto, que llevados al ext remo, aceptaré sin dudar la definición dada por
el excelente matemático y físico soviético Vladimir I. Arnold en un discurso pronunciado
en el Palais de la Découverte de París, el 7 de Marzo de 1997 - ya no era soviético en ese
año, claro está- , acerca de la enseñanza de las Matemáticas:
''Las Matemáticas son parte de la Física. La Física es una ciencia experimen­tal.
Las Matemáticas son aquella parte de la Física donde los experimentos
resultan baratos."
Aunque sin duda se pueden encontrar ejemplos más espectaculares, la historia científica
y mat emática que les presentaré, comentando de paso sus conexiones con los entornos
social y técnico durante su desarrollo t iene también , en mi opinión, la ventaja de poder
narrarse con un mínimo de aparato matemático, además relativamente elemental.
En la práctica, la búsqueda y gestión de fuentes de energía es uno de los pilares de la
historia de la Humanidad , marcada por la necesidad o el deseo de superar las capacidades
10Cañón, Camino (1993) La Matemática: ¿creación o descubrimiento?, Publicaciones de la Universi­dad
Pontificia de Comillas, Madr id.
11Godel, Kurt (1931)Über formal entscheidba re Siitze der Principia Mathematica und verwandten
Systeme I, Monatshefte für Mathematik und Physik 38, 173-198. La parte II no se publicó nunca. Hay
t raducción española en las Obras Completas de Godel, editadas por Jesús Mosterín y publicadas por
Alianza Editorial en 1981. Edición revisada, en 2006.
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individuales, o en grupo, para realizar trabajos penosos, que abundan más de lo deseable.
Hace ya muchos siglos se conocían máquinas simples tales como poleas, palancas, planos
inclinados, espejos, etc, aplicadas al aprovechamiento de algunas de esas energías que
hoy día se llaman renovables, como la radiación solar, los vientos y las corrientes de
agua. Así nacieron los riegos, la navegación, el procesado de alimentos y muchas más
técnicas y tecnologías, elementos importantes y determinantes de las condiciones de
la vida cotidiana: por poner un ejemplo, en El Quijote leemos acerca de molinos de
viento y batanes hidráulicos, máquinas usadas en la producción de harina y de tejidos,
respectivamente. Sin embargo, la evolución en el dominio de otras clases de energía fue
muy lenta, y sólo a mediados del siglo XVIII se consiguió transformar de manera más
o menos eficaz energía química en mecánica mediante las primeras máquinas de vapor,
cuya capacidad de trabajo superó pronto a la de la pura fuerza muscular de personas y .
animales domésticos en tareas tales como el achique de agua en las minas de carbón - el
filomarxista e historiador de la ciencia John D. Bernal12 comenta con cierta ironía que
entonces y en ese caso la cuestión económica no constituía todavía un problema: bastaba
con tomar algo del propio producto de la mina- y hacia 1800 ya se había desarrollado
una sofisticada tecnología de las máquinas de vapor, tanto que pocos años más tarde
abandonaron sus posiciones estáticas para transformarse en propulsores habituales de
Máquinas y autocontrol
Dejemos ya entrar a la Física y las Matemáticas, ambas vienen de la mano de la máquina
de vapor. Ésta genera un movimiento lineal por desplazamiento de un pistón en el
interior de un cilindro, debido a la presión del vapor inyectado contra una de sus caras.
Las primeras máquinas sólo poseían un cilindro vertical, y el vapor se insuflaba por la
parte inferior, empujando hacia arriba el émbolo, traduciéndose luego ese recorrido en
la actuación de una palanca o sistema de ellas para elevar una masa, por lo general un
recipiente de agua de buen tamaño, una roca, o algo semejante. Una vez terminado
el recorrido, el pistón debía bajar con cierta rapidez para iniciar un nuevo ciclo, cosa
que podía obtenerse de varias formas: Enfriando las paredes del cilindro para licuar
el vapor, o abriendo una válvula para dejarlo salir, o con un peso adicional en la cara
superior del pistón, o una combinación de todo ello. Con tales sistemas los ciclos no se
sucedían con mucha continuidad y por tanto la eficiencia resultaba muy escasa. Pero la
técnica se fue refinando: por ejemplo, una vez enfriado el cilindro, se podía usar algo
de vapor para calentarlo desde el exterior antes del siguiente ciclo y evitar la pérdida
debida al vapor inyectado que se licuaba en contacto con las paredes demasiado frías,
o usar un cilindro cerrado por arriba y enviar vapor a la cara superior del émbolo
para ayudar en su descenso, lo que se consiguió con un sistema de válvulas, ligado a la
12Bernal, John D. (1975) La proyección del hombre: Historia de la Física clásica, Editorial Siglo XXI,
Madrid y México.
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propia biela, para alternar el acceso del vapor a uno u otro lado del pistón. Cuando
se consiguió transformar eficazmente el movimiento de vaivén rectilíneo en otro circular
- lo cual no resultó sencillo, entre otras causas por problemas legales ligados con las
patentes- se puso de relieve que la máquina podía regularse a sí misma, al observar que
su movimiento serviría también para activar mecanismos anexos capaces de gobernar
- de ahí deriva la palabra "cibernética", con la misma etimología que "gobernar"- los
procedimientos de entrada y salida del vapor, enfriamiento, etc, de forma automática.
Algo así ya se conocía desde tiempo atrás para el escape de los relojes, y algunos molinos
de harina disponían también de sistemas parecidos, aunque con intervención humana,
para mantener las muelas a la distancia adecuada, porque con el giro la superior o móvil
tendía a elevarse debido a la fuerza centrífuga.13
Regulador de Watt en lo alto de una máquina de vapor de cilindro vertical (foto del autor)
Un matemático definiría lo anterior con la palabra retroalimentación, y además denotaría
como no lineal el proceso de modificación del régimen de funcionamiento. Así, con la
máquina de vapor nació la moderna teoría del control, siendo el regulador centrífugo de
James Watt el artilugio que inauguró la era del dominio de la energía. En su nombre
inglés, el aparato conserva el nombre de centrifugal governor, y como observación curiosa,
figura en el centro del emblema de la Ingeniería Industrial española. En la Nota 1 se
ofrece un comentario algo más extenso y técnico.14
Un problema nuevo, que sólo se resolvió a partir de consideraciones teóricas bastante
finas, se presentó más adelante al constatar que la potencia de las máquinas no podría
aumentar más allá de un cierto punto, y así surgieron nuevas técnicas de aprovechamiento
13Una lectura muy amena e interesante es la recién reeditada historia (2013) de las máquinas de vapor
publicada en 1901 por Conrad Matschoss: Geschichte der Dampfmaschine, Severus Verlag, Hamburg.
14Fernández, Isabel; Pacheco, José M. (2005) On the role of Engineering in mathematical development,
European Joumal of Engineering Education 30(1), 81-90.
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de la fuerza motriz del vapor, por lo general mediante la adición de cilindros y pistones
trabajando a diferentes temperaturas. A finales del siglo XIX, y a pesar de que se
continuó trabajando en locomotoras de vapor hasta los años 1950, los límites prácticos
ya se habían alcanzado tiempo atrás.
Para comparar, los equivalentes actuales del regulador centrífugo, escondidos en circuitos
electrónicos que controlan casi cualquier cosa en nuestros días, proveen respuestas en
ínfimas fracciones de segundo. Solemos dar por buenos sus efectos cuando se trata de
optimizar una mezcla de combustible o de ajustar la suspensión de un automóvil, pero
casi seguro que no aceptamos con tanto entusiasmo las respuestas instantáneas de los
mercados de valores a cualquier rumor, o las fluctuaciones automatizadas de los cambios
de moneda, otra forma de especulación y modus vivendi de más de un desaprensivo,
institucional o no. Consideren Uds por un momento que los cambios entre las monedas
importantes fluctúan a intervalos brevísimos, y las órdenes de compra-venta de divisas
han de seguir tales variaciones a ritmos semejantes. La tentación de automatizar todo
el proceso, especialmente para aprovechar sus fases favorables, es desde luego grande. 15
Un extraño árbol genealógico
Para el público en general, los aspectos más abstractos -y por tanto en apariencia los
más inútiles- de las Matemáticas van ligados a la Teoría de Conjuntos, uno de los
intentos de justificación de las Matemáticas más próximos a nuestra época. Como es
bien conocido, durante largos años, en la segunda mitad del siglo XX, se intentó basar
la educación matemática en versiones simplificadas de esta teoría, con el desastroso
resultado que muchos hemos conocido. 16 Exagerando un poco, tal pretensión sería
comparable a que para conducir un automóvil se necesitara comprender la minería del
hierro, porque muchas partes del vehículo se fabrican a partir de ese metal. Sin embargo
¿quién diría que esa abstractísima Teoría de Conjuntos resulta ser nieta de la máquina
de vapor?
De nuevo, la historia pasa por la Física, y más en particular por la Termodinámica. Dije
hace un momento que perfeccionar las máquinas de vapor, así como comprender mejor su
funcionamiento, condujo a plantearse la naturaleza del calor, cómo se transfiere y cómo
tratar de maximizar el rendimiento de los aparatos basados en su uso. Las obras pioneras
en este campo son la conocida memoria de 1822 Théorie analytique de la chaleur, debida
a Jean-Baptiste Fourier , y el breve tratado de Sadi Carnot Réfiexions sur la puissance
motrice du feu, de 1824.17
15Un estudio reciente sobre estas cuestiones, contando variaciones de las tasas de cambio a intervalos
de 5 minutos: Zhang G, Zhang Q, Majeed T (2013) Exchange rate determination and forecast ing: Can
t he microstructure approach rescue us from t he excha nge rate d isparity? ISRN Economics 2013. Article
ID 724259 (12 pp) .
16Un libro, muy famoso cuando se publicó, y que aún mantiene su interés: Kline, Morrris (1976) El
fracaso de la matemática moderna, Editorial Siglo XXI, Madrid y México.
17Existe una traducción española de 1987, publicada por Alianza Editorial, a cargo de Javier Ordóñez.
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Ambos textos son perfectamente legibles en nuestros días, explican principios físicos
tales como que el calor fluye de los cuerpos calientes a los fríos, que la velocidad de
ese traspaso depende de las sustancias que los conforman, que las transformaciones de
energía siguen ciertos ciclos según se mantenga una u otra variable fija, etc. El primero
de ellos viene con sus observaciones, tablas y gráficas, lo que corresponde al primer paso
de la escala de Weyl. Por tanto, fijándonos ya en los aspectos matemáticos, sabemos
que un conjunto de simplificaciones e hipótesis ad hoc nos conduce a aquel problema
clásico de los cursos universitarios, consistente en el cálculo de la evolución temporal de
la temperatura a lo largo de una varilla o barra metálica sobre la cual se ha observado
inicialmente una distribución longitudinal de temperatura, y suponiendo además que los
únicos puntos donde es posible el intercambio de calor entre ella y su exterior son sus
extremos.18
Pues bien, hemos alcanzado ya el segundo escalón, donde el problema quedará descrito
por un grupo de expresiones matemáticas: Una representará la dinámica de la variación
de temperatura, esto es, que el calor fluye de las zonas calientes hacia las frías teniendo
en cuenta las propiedades de la sustancia que conforma la barra, otra informa de la
distribución inicial de temperatura, y otras más indican el comportamiento térmico en
los extremos de la varilla.
Si ambos extremos se mantuviesen en cubos de hielo fundente, lo esperable sería que
a largo plazo la barra terminase toda a la gélida temperatura de sus extremos. Nótese
que en principio toda la varilla podría hallarse inicialmente a algunos grados bajo cero,
luego la temperatura final sería el resultado de un calentamiento. De manera semejante,
con los extremos bien aislados, la temperatura final acabaría siendo globalmente igual
al promedio de la distribución inicial, y así sucesivamente: Pues bien, la abstracción
matemática confirma todas esas predicciones intuitivas.
Para comprender la importancia de algo tan esquemático, les recordaré que los mod­elos
conceptuales más teóricos para el estudio de las variaciones climáticas, problema
bien candente en nuestros días, parten de una variante del mismo: Es fácil reconocer
que el clima presenta más variabilidad a lo largo de un meridiano que de un paralelo,
luego es razonable simplificar la cuestión suponiendo simetría rotacional alrededor del
eje terrestre, con lo cual un problema inicialmente bidimensional se transformará en otro
unidimensional.
18Todos hemos visto los gruesos aislantes que protegen las cañerías exteriores de muchos sistemas de
calefacción o refrigeración. El problema citado es una abstracción de situaciones como ésas.
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Budyko-Sellers: distribución de temperatura </;(x) sobre medio meridiano .
Para un matemático, resulta casi obvio considerar que la distribución de temperatura -
valores medios calculados sobre intervalos de unos 30 años- a lo largo de un medio merid­iano,
de polo a polo, podría representarse mediante la analogía de la barra. Acordemos,
pues, que en ambos polos se disfruta permanentemente de una agradable temperatura
media de, pongamos, -30 grados Celsius. Como la Tierra se halla sometida a la ra­diación
solar, y también irradia hacia el espacio, estando limitada tal irradiación por las
nubes y otros componentes atmosféricos, añadiremos a la ecuación dinámica un término
para describir ese balance, lo que introduce un mecanismo físico19 que impedirá a la
Tierra - con sus habitantes- congelarse a treinta grados bajo cero, consiguiéndose así, al
menos en un marco teórico, una representación del clima de la esfera terrestre: se trata
de la familia de modelos conocidos con los nombres de Budyko y Sellers.20
Llegados a este punto, se podría ya pasar sin más al cuarto escalón, trasladando a
ingenieros y técnicos los resultados obtenidos. Pero el pensar matemático es más tozudo:
No basta con lo hecho, hay que ir más allá , alejarse e incluso renegar de los orígenes
empíricos, obviar de momento ese cuarto paso y explorar nuevas vías hacia y en el tercer
peldaño de Weyl.
Recordemos por un momento la barra y sus extremos helados. Para el matemático,
hallar una solución del problema consiste en encontrar a partir de la distribución inicial
de temperatura una familia de distribuciones longitudinales, de amplitud decreciente a
lo largo del tiempo, pero siempre con valor O en los extremos. La idea genial, origen de
la solución, fue muy simple: Suponer que el cambio de la forma de la distribución a lo
largo del tiempo consiste sólo en una disminución de amplitud, y presentar el resultado
final como la función de forma, modulada por una ley temporal de variación, deducida
de la experiencia física. El resultado sería evidentemente el producto de la forma y de
19Se trata en esencia del conocido "efecto invernadero"
20P ueden verse los trabajos de Budyko y de Sellers - por otra parte independientes- recogidos en:
Archer, David; Pierrehumbert, Raymond (eds.) (2010) The warming papers: the scientific foundations
far the climate change forecasting, Wiley-Blackwell, New York. Una exposición mucho más literaria se
halla en: Edwards, Paul N. (2010) A vast machine, Princeton University Press, Cambridge, Massachus­sets.
También: Roulstone, Ian; Norbury, John (2013) Invisible in the Storm: The role of Mathematics
in understanding weather. Princeton University Press, Princeton , New J ersey.
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la ley de variación. Pero para un matemático, estar tan cerca de la experiencia puede
resultar un tanto arduo, así que deberé solicitar ahora su benevolencia por dejar que se
presente ante nosotros la temida simbología matemát ica a la que tantos quebraderos de
cabeza adjudicaba el novelista Sabato, quien, por otro lado era Doctor en Física y fue
profesor de Mecánica cuántica.
Una distribución inicial de temperatura (línea gruesa) sobre una varilla de longitud L = 1, y sucesivas
etapas de su evolución en el tiempo hacia O.
Existen algunas formas especiales, determinadas por las condiciones en los extremos, de
la distribución inicial de temperatura sobre la barra que permiten resolver automáti­camente
la cuestión. Multiplicando tales formas, digamos que se llaman fn(x), cada
una por su correspondiente ley de evolución temporal se obtienen de manera inmediata
soluciones particulares del problema, que escribimos como Fn(x, t) = fn(x)gn(t). Claro
está, si la forma <P(x) de nuestro caso concreto no pertenece a ese catálogo, algo habrá
que hacer: Si se eligió una dinámica lineal, como es el caso en las lecciones elementales y
en bastantes aplicaciones ingenieriles, es posible pensar en generar una solución en forma
de suma ponderada L anFn(x) de esas soluciones originarias, donde los coeficientes de­sconocidos
an se ajustarán adecuadamente a partir de la forma inicial <P(x) . Con alguna
habilidad técnica más, se calculan con expresiones, por cuya misteriosa aparición les
ruego excusas: 21
Acabamos de acceder al tercer escalón. A partir de ahora, el matemático se dedicará
a escudriñar en estas fórmulas, por lo que su interés se volverá hacia las propiedades o
cualidades matemáticas de <P y de las fn, ya despojadas de su vinculación con cualquier
hecho físico, aunque como guía siga teniéndolos presentes de tapadillo. Por ejemplo,
en el caso de las temperaturas de la varilla con los extremos helados, la función de
forma <P( x), además de anularse en los extremos ha de ser continua para tener sentido
21En la Nota 2 se ofrece un desarrollo algo más detallado.
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físico, al menos desde un punto de vista intuitivo. Los componentes de la familia f n
no plantearán problemas al matemático, pues en su lejano origen empírico se eligieron
para representar comportamientos razonables, y tras algunas operaciones, veremos que
el cálculo de la solución va a quedar pendiente sólo de si la expresión J0L ef>(x)dx tiene
sentido o no. La locución tener sentido significa que tras realizar de manera algorítmica
las operaciones necesarias, es posible asignar unívocamente un valor numérico finito a
la expresión integral. En jerga más técnica, se trata de averiguar si la ef>(x) es integrable
sobre el intervalo [O, L].
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Izquierda: tres funciones de forma (sin x, sin 2x, sin5x) que originan soluciones inmediatas al problema de
la varilla, aquí representada por el intervalo [O, 7r]. Derecha: Una suma ponderada de las tres anteriores en
el mismo intervalo. Nótese cómo todas ellas son nulas en los extremos del intervalo, y por haber supuesto
linealidad, la suma ponderada también lo es.
En los cursos elementales de Matemáticas se estudian muchas variantes de tal proceso
- el conocido cálculo de integrales definidas- con unas reglas precisas, y también se avisa
de que en la práctica son muy pocas las que pueden obtenerse así, culpándose de esa
escasez a aquel antiguo terror de estudiantes conocido como cálculo de primitivas o
integrales indefinidas, donde deberíamos haber aprendido - pero en genera, no- que la
integral indefinida es la operación inversa de la diferenciación, o dicho de otra forma, lo
que se integra son diferenciales, no funciones. Incluso el símbolo J es en su origen la
inicial de summa, al igual que la letra d lo es de differentialis.22
Así las cosas, todo dependerá sólo de las propiedades matemáticas de la función ef>, rep­resentativa
de nuestra ya casi olvidada distribución inicial de temperatura. El algoritmo
presentado a principios del siglo XIX por Augustin Cauchy permite el cálculo para una
clase de funciones no muy ext ensa técnicamente amente hablando, aunque suficiente
para la mayor parte de las aplicaciones clásicas a la Física.23Desde luego, para el prob­lema
del calor en la varilla es suficiente, pues en el mundo real se puede suponer que la
temperatura sólo admite variaciones continuas, cosa cierta a las escalas macroscópicas
22P uede verse un ejemplo en la Nota 3.
23Se halla, faltaría más, en el a rchifamoso tratado: Cauchy, Augustin (1821) Cours d'Analyse de
l'École Polytechnique, L'Imprimerie Royale, Paris.
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habituales. La variante introducida por Bernhard Riemann24 cuarenta años más tarde,
para calcular los coeficientes an amplió el campo de las funciones integrables, lo cual per­mitía
resolver problemas donde la función de forma inicial t uviera alguna discontinuidad
- ya no eran problemas tan físicamente consistentes, pero sí retos para los matemáticos.
En todo caso, desde tan lejanos tiempos se sabe que si la diferencial que deseamos in­tegrar
está determinada por una función continua, es posible hallar el valor numérico
de la integral definida incluso sin disponer de una primit iva: por ejemplo, la diferencial
cos(x2 )dx, que aparece en la Óptica de Fresnel, carece de primitiva ... También nos en­señaban
a calcular integrales definidas de algunas funciones no continuas, las que lo son
a intervalos, y se nos avisaba de que el tipo de discontinuidad podría ser determinante
para la existencia o no de la expresión integral, incluso se nos ponía en guardia: si los
puntos donde la función dejaba de ser continua eran "muchos", habría problemas serios.
No podíamos imaginar cuánto.
Podemos trazar ya un esbozo del árbol genealógico para la Teoría de Conjuntos: un
problema técnico, originado por una clase de máquinas, da paso a toda una ciencia, la
Termodinámica, donde encontramos una formulación matemática debida a Fourier, de la
cual se sigue el estudio de la posibilidad del cómputo de ciertas integrales, y resultando
finalmente que el punto crucial del cálculo se encuentra en. .. ¡el totalmente abstracto
mundo de la estructura de los conjuntos de puntos de discontinuidad de una función!
En la segunda mitad del XIX se desató una verdadera caza en busca de funciones raras
o exóticas, definidoras de diferenciales que no admit ieran integración con los viejos al­goritmos
de Cauchy y Riemann. Se encontraron muchísimas, todas ellas con infinitas
discontinuidades en el intervalo de integración, y como era de esperar, de inmediato la
atención de los matemáticos derivó hacia tales conjuntos infinitos de discontinuidades. Y
como no podía ser menos, con no menor rapidez se trasladó casi de inmediato al estudio
per se de los conjuntos infinitos, que tanto estorbaban para las aplicaciones. Ya no era
sólo cuestión de que hubiera infinitos elementos en tales conjuntos, cosa ya de por sí de
difícil comprensión a todo lo largo de la historia de las Matemáticas, sino además de
explorar y llegar a conocer sus posibles estructuras internas.
En su formulación original, el grueso de la Teoría de Conjuntos se dedicó a analizar la
posición relativa de los componentes del conjunto, de si estaban aislados o se acumu­laban
de alguna forma, pues de su distribución dependía la aplicabilidad o no de los
nuevos algoritmos más generales que permitían asignar un único número a la expresión
integral, cerrando así el ciclo cultural iniciado por la máquina de vapor. La historia
nos muestra a Georg Cantor y Felix Hausdorff estableciendo la Teoría de los conjuntos
infinitos entre 1870 y 192025 , a Henri Lebesgue y René Baire, y a otros muchos aplicán­dola
o criticándola severamente, generando así un cuerpo de doctrina matemática cuya
24Riemann, Bernhard (1868) Über d ie Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische
Reihe, Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen 13, 87-131.
25Véase el monumental texto: Ha usdorff, Felix (1914) Grundzüge der Mengenlehre, Teubner, Leipzig.
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profundidad es insondable, y su riqueza, incalculable.26 Y por si no lo supieran, deberían
Uds saber que los algoritmos mediante los cuales las impresoras actuales consiguen esas
vívidas representaciones fotográficas que tanto nos asombran, derivan directamente de
las propiedades de aquellas extrañas funciones.
En fin, todo por un poco de agua hirviendo.
3 Leer integrales
Análisis, síntesis
Pero volvamos a la vida diaria. Entre los objetos matemáticos que más asustan al profano
están sin duda las integrales, aunque ya señalé antes que no son sino sumas disfrazadas.
No hay que tenerles miedo: Hace un momento apareció fugazmente la expresión
que resulta ser un caso particular de las fórmulas conocidas como transformadas inte­grales,
campo favorito del Profesor Nácere Hayek, promotor y primer presidente de esta
Academia. El mundo de las transformadas es fascinante y presenta conexiones insólitas
con la vida cotidiana. Recuerden, antes cité la tomografía, hoy día tan común en nue­stros
hospitales: pues bien, los resultados de Radon en los que descansa su teoría están
condensados en una transformada integral.27 En lo que resta me permitiré abusar un
poco más de su paciencia para con la simbología matemática. La expresión general de
una transformada integral lineal es:28
J;(s) =lb K(x, s)<fJ(x)dx, s E lR
la cual , cuando fn = énx, L = 7r, queda como
representativa del cálculo de los coeficientes de una serie de Fourier, pero con coeficientes
complejos. Esta excursión al misterioso mundo de los números complejos es un ejemplo
muy común del pensar matemático: Aunque parezca difícil de aceptar en un principio,
con algún entrenamiento suele resultar más fácil comprender asuntos complicados desde
26 Véase el muy clásico tratado: Baire, René (1905) Lé9ons sur les fonctions discontinues, Gauthier­Villars,
Paris.
27Radon J (1917) Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Man­nigfaltigkeiten,
Berichte der Verhandlungen der Siichsischen Akademie der Wissenschaften (Leipzig),
Math.-Nat. Klasse 69, 262-277. El larguísimo nombre de las actas de las sesiones de la Academia de
Sajonia se conocía abreviadamente como Leipziger Berichte (informes de Leipzig).
28La Nota 4 contiene información en un lenguaje un poco más técnico.
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un nivel superior de abstracción. La última fórmula nos dice que a partir de la función
o conjunto de datos original ljJ, y dados los fn(x) = einx, conocidos como armónicos, es
posible obtener una familia ordenada o sucesión de números: { an} , lo cual sugiere una
representación formal o análisis espectral - hablando sin mucho rigor, el espectro de ljJ
son los números an:
00
!f>(x) ~ L aneinx
-()()
donde el símbolo ~ indica que a través de los einx se establece una cierta asociación
entre losan y su origen !f>(x). Nótense aquí los extremos infinitos de la sumación. En la
primera aparición de los números an con motivo de la ecuación del calor no se especificó si
iban a ser muchos o pocos los sumandos, pero ahora ya sabemos que salvo en situaciones
muy especiales, la teoría nos indica que siempre hará falta una infinidad de ellos para
obtener una representación completa. 29
En Física e Ingeniería es corriente denominar señal a la !f>(x), en especial en aplicaciones
a la transmisión de información , y en la práctica se trabaja con señales casi siempre a
través de sus espectros.30 También es una herramienta habitual en Estadística, tanto
teórica como aplicada a las más diversas cuestiones. Matemáticamente, y para no bajar
del tercer escalón de Weyl, podemos plantearnos algunas preguntas interesantes.
¿Se puede sustituir el símbolo ~ por el = ? La respuesta es el núcleo de los cursos
universitarios elementales de análisis de Fourier , y es que no siempre es posible. Como
ya sospechábamos desde la presentación de la antediluviana máquina de vapor, se trata
de decidir sobre propiedades de la señal ljJ, esto es, una vez seleccionada una clase
adecuada de señales elementales o armónicos, averiguar cuánto y en qué sentido se
parecen la señal y su análisis espectral, o al menos una parte sustancial y finita de éste.
En este último caso, la parte conservada se conoce como "compresión" de la señal inicial
dada por un subconjunto finito de los números { an}- En palabras más técnicas, si al
estudiar la representación complet a, ésta no se reduce por alguna consideración física
a un número finito de sumandos, entonces estaremos tratando de establecer algunas
propiedades asintóticas del análisis espectral.
¿Si se pudiera sustituir ~ por = , qué significaría exactamente el signo igual? He aquí
otro problema típico de la Matemática pura: Decidir cuándo dos entes se consideran
iguales. Prescindiré de filosofar en este momento acerca de qué es en realidad el símbolo
= y cuál pueda ser su significado más a llá de la intuición habitual, pues la Filosofía de las
Matemáticas se ocupa extensamente de tales cuestiones.31 El comentario anterior nos
29La denominación armónicos apunta a la teoría de la Música, donde el número de ellos que se ut iliza
en la representación espectral se conoce como timbre.
30Un texto muy ameno sobre estas cuestiones es: Nahin, Pa ul (2006) Dr. Euler's fabulous formula,
Princeton University Press, Cambridge, Massachussets.
31Consúltese, p.ej., la recopilación de contribuciones: Manin, Yuri (2007) Mathematics as metaphor,
American Mathematical Society, Providence, Rhode Island.
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lleva de modo natural, - al menos para los aficionados a las Matemáticas- a la siguiente
cuestión, de carácter al parecer mucho más cotidiano:
¿Cuándo es posible la "reconstrucción" o síntesis espectral {an} ~ </J?, y ¿con qué cali­dad?
A primera vista aparenta ser más fácil de entender, pues ¿quién no ha oído hablar ,
en relación con la Música, o con los mensajes emitidos por muchas máquinas expende­doras,
de sintetizadores y voces sintéticas? En efecto, lo que generan esos aparatos son
síntesis espectrales de alguna selección de los armónicos einx, modulados en amplitud
- volumen sonoro- por el ejecutante o el progamador, y desde un punto de vista abstracto
se tratará de justificar la inversión de la transformada <P ~ J , esto es, cómo recuperar
de la señal <P a partir de J. Las técnicas usadas no son en absoluto elementales y consti­tuyen
un extenso campo dentro del Análisis Matemático. Por si aún albergaran dudas
acerca de la utilidad de esas abstracciones, piensen por un momento en los omnipresentes
códigos de barras o sus versiones bidimensionales: su lectura mediante un sensor es un
proceso de análisis, y su traducción a algo inteligible para nuestros sentidos, lo que se
ve en la pantalla de un terminal, una síntesis.
Para ir terminando, nada más real y humano que la avidez de poseer bienes, dinero,
poder. También hay Matemáticas para eso, y además muy ligadas con lo que acabo de
contarles.
Matemáticas de la codicia
Un poco más arriba, al comentar los cambios monetarios, se presentó el fantasma de
la codicia humana. Por supuesto, se trata de un tema siempre de actualidad. Un
célebre artículo del ecologista avant la lettre Garrett Hardin, titulado The tragedy of the
commons, es un clásico desde hace bastantes años.32 No contiene una sola expresión
matemática, pero sí alude a nuestra ciencia más de una vez como herramienta necesaria
para comprender los mecanismos de la codicia. Para ir a un terreno familiar, he aquí la
conocidísima transformación integral de Laplace, cuyo aspecto - ya no debería infundirles
miedo alguno- es:
J(s) = l :x:; e- xs<P(x)dx
Los ingenieros la consideran una potente herramienta de cálculo simbólico, en muchos
puntos análoga al del cálculo logarítmico. Por otro lado, un matemático tenderá a
explorar - igual que hizo antes con la resolución del problema del calor- las condiciones
que den sentido a la expresión integral, para que el nuevo objeto J posea propiedades
interesantes y aprovechables. El resultado básico en esta línea no es difícil de obtener
y suele - más bien, solía- ser materia habitual de los cursos de Análisis Matemático.
Dice, en pocas líneas, que la integral tendrá sentido cuando la amplitud de la señal <P
no crezca demasiado rápidamente, y por tanto la exponencial decreciente e-xs domine
32Hardin, Garrett (1968) The tragedy of t he commons, Science 162, 1243-1248.
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sobre ella, en cuyo caso el integrando tenderá a anularse con la rapidez necesaria para
que la integral resulte convergente.
Pero veamos ya la lectura de un negociante, o peor aún, de un especulador sin escrúpu­los.
Conviene cambiar ligeramente la notación y explicarla con algún detalle, pues en
Economía es habitual reescribir la integral con unas nuevas variables así: s-+ ó, </J(x)-+
p(t) , x-+ t . Ahora quedará
v., = fo00 e-tóp(t)dt
La fórmula representa cuál es el beneficio total V,, que se obtendría al explotar un
yacimiento minero, una pesquería, o algo semejante, pero susceptible de agotarse, cuando
se dispone o se cree disponer de una estimación de la evolución del beneficio instantáneo
neto p(t) - ingresos menos gastos- de la producción a lo largo del t iempo y bajo la
hipótesis o tiranía de una tasa de descuento ó, versión técnica del conocido dicho "más
vale pájaro en mano ... "33 En la vida real el tiempo disponible no es infinito, sino limitado,
y una vez fijada la tasa de descuento quedará, para algún T adecuado, la expresión:
Ofrezcamos un análisis elemental: Si la tasa no fuera grande, V podría obtenerse procu­rando
mantener el beneficio p(t) más o menos constante, equilibrando gastos y ganancias
durante el tiempo T de vigencia de la explotación. Pero cuando se es codicioso, no es
posible esperar mucho, de manera que T pasa a ser T' < T. Si nos aseguramos (¿cómo?)
de mantener pequeña la tasa de descuento, la tentación es fácil de comprender: aumen­tando
la producción y reduciendo los gastos, el valor de p(t) se mantendrá alto durante
el intervalo T' ; que eso lleve a esquilmar o liquidar la explotación, o a condiciones de
t rabajo lamentables, es un problema diferente, aunque no por ello despreciable, como
bien saben economistas, ecólogos y ambientólogos. Por otra parte, si la tasa de des­cuento
se mantuviera elevada -esto es, el valor de lo producido fuera poco relevante más
allá del corto plazo- casi cualquiera se volvería codicioso de inmediato, y concentraría
la actividad en el menor tiempo posible, con el mismo resultado de antes. En breve: ¡la
tasa de descuento c5 es una firme candidata a culpa ble de todos los males! El trabajo
clásico sobre esta cuestión se debe a Harold Hotelling34 , y constituye el punto de par­tida
en un campo permanente de investigación interdisciplinaria, pero en este lenguaje,
cualquier iniciativa acerca del tan traído y llevado concepto de sostenibilidad pasa inex­orablemente
por el escrutinio de la transformada de Laplace. Para que luego digan que
la abstracción no tiene parentesco a lguno con la vida real. 35
33 Así, en estricta teoría, quien quisiera comprar la explotación debería pagar por lo menos la cantidad
V6 para hacerse con ella, esto es, el hipotético beneficio futuro sirve como estimación o incluso definición
del valor de la empresa explotadora.
34Hotelling, Harold (1931) The Economics of exhaustible resources, Joumal of Political Economy
39(2), 137-175.
35Un ejemplo reciente: Cairns, Robert D. (2012) The green paradox and the misapplication of the
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4 A modo de final
Desearía concluir habiendo tenido la satisfacción de despertar en Uds una cierta curiosi­dad.
Para quienes las Matemáticas sean algo familiar, he intentado presentar algunos
aspectos que no se comentan con frecuencia; para aquellos menos versados, al menos he
tratado de mostrar unas relaciones con la vida real que no estén tan lejos de lo cotidiano.
Espero no haber pecado de ambicioso con esta decisión, aunque creo que Uds sabrían
perdonarlo si así lo considerasen.
He procurado transmitir un mensaje que destaque la unidad metodológica de las Matemáti­cas,
enfrentadas a la enorme diversidad de la vida real, de modo que al acercarnos a las
Matemáticas, ya sea como estudiosos de ellas en sí o necesitados de su auxilio para otras
actividades, comprendamos que los verdaderos progresos en esta ciencia pasan siempre
por excursiones a las cumbres de la abstracción más pura, desde donde poder contemplar,
como a vista de pájaro, vías y caminos semiocultos en la complejidad de la experiencia
de los sentidos.
Creo, además, que la Academia es un lugar o foro adecuado para tales reflexiones, como
punto de encuentro de diferentes corrientes de pensamiento, propicio a intercambios y
a la generación de debates y opiniones que contribuirán sin duda a mejorar el estado
cultural de la sociedad que nos rodea, nos acoge, y a la que hemos de servir con nues­tras
aportaciones intelectuales, liberadas de la tiranía de las modas del momento, que
atenazan con inimaginable estupidez la función cultural y crítica que debería prevalecer
en nuestras aulas, seminarios y reuniones científicas, privándonos de buena parte de la
verdadera alegría de vivir que con tanta belleza describen las palabras de Schiller en la
Oda a la alegría de 1802 ("Deine Zauber binden wieder, was die Mode streng geteilt /
alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt." )
"Tu encanto une aquello que la moda separa,
la caricia de tu suave ala, a los hombres hermana."
¡ muchas gracias !
Economics of exhaustible resources, McGill University, Montreal, Canada.
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5 Notas
Nota 1
Un regulador centrífugo clásico consiste en una palanca - dos es más habitual, como en
la fotografía de más arriba- terminada en un peso, articulada solidariamente por el otro
extremo a un eje giratorio, movido por la propia máquina mediante una transmisión
adecuada. En reposo, la palanca se halla en posición (casi) vertical. Al girar el eje la
acción de la fuerza centrífuga eleva el peso de manera que el ángulo entre la palanca y
el vástago del eje varía, y al alcanzar un cierto valor, permite actuar a través de una
varilla u otro sistema sobre una válvula que regula el paso del vapor hacia el cilindro.
La mejora de la calidad del movimiento debida al regulador fue determinante para poder
situar la máquina en posición horizontal y aplicar el vapor alternativamente sobre ambas
caras del pistón para conseguir un movimiento muy uniforme, lo que abrió el camino a
las máquinas de vapor como motores de vehículos, aunque las primeras locomotoras aún
usaban un cilindro vertical. El análisis matemático del regulador de Watt es un ejercicio
fascinante36 , que presento aquí de modo sumario.
Si cp(t) es el ángulo entre el eje y la palanca, una ecuación simple para describir la
variación del ángulo con la velocidad de giro del eje es:
cp" + g sin cp + Fcp' = ( rw )2 sin cp cos cp
Los dos primeros términos de la izquierda nos hablan de un péndulo físico, y el tercero
da cuenta del rozamiento en la articulación de la palanca con el eje giratorio. Por último,
el segundo miembro contiene el hecho de que la velocidad angular del regulador, descrita
por la expresión rw, es proporcional a la del eje principal de la máquina, proporcionando
el forzamiento que eleva el peso usando la fuerza centrífuga. El análisis muestra que, en
efecto, es necesario un cierto régimen inicial de giro para que el regulador comience a
trabajar, y que a largo plazo la máquina tiende a funcionar en régimen estable:
-- ----=-~--=--~---..........=.... ' ' .:- --.... -- - - .... --......... ' '\ ---------- .... ,,,,
-l...--------- .... ''
Amplitud de las oscilaciones del regulador de Watt en torno al punto de equilibrio distinto del origen:
Obsérvese cómo tiende hacia O. En abscisas, </> (ángulo), en ordenadas, </>' (velocidad angular) .
36Una exposición muy detallada y clara puede verse en: Pontriaguine, Lev (1969) Équations différen ­tielles
ordinaires, Editorial Mir, Moscú.
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Nota 2
El problema de las ecuaciones del calor, en la versión sencilla de la barra metálica como
banco de pruebas, se puede escribir como sigue, siendo u(x, t) la temperatura en el lugar
x E (O, L) y en el momento de tiempo t. El intervalo real [O, L] es la imagen mental de
la barra, y t E (O, oo):
• Ecuación del calor: %[ = k~ + F(x, t). Aquí F representa los posibles aportes
externos de calor a lo largo de la barra. Cuando es nulo, como en el ejemplo desar­rollado
en el texto, la ecuación se llama homogénea. Por su parte el término "de
difusión" k~ es la forma más simple de una expresión más general, /x(/x(ku)) ,
cuando el coeficiente de difusión k es constante. Aún más, %[ es también el caso
más simplificado posible, pues en general vendría acompañado del término suple­mentario
vg~ representativo del efecto de alguna clase de movimiento interno, o
"advección" con velocidad v, de la sustancia constituyente de la barra, que también
arrastrase consigo el calor. El caso aludido en el texto contempla, por tanto, sólo
la ecuación %[ = k~, acompañada de las condiciones siguientes:
• Condición inicial, u(x, O) = </J(x) .
• Condiciones en los extremos: Ca y CL. El caso de los extremos helados será:
Ca= u(O,t) = O y CL = u(L,t) = O.
La solución proporcionará la forma que suponemos va a tener la distribución de tem­peratura
sobre la varilla en cada instante y lugar. En principio, una distribución con
forma de función periódica nula en O y en L podría servirnos de punto de partida, por
ejemplo, alguna variante de sin x tal como sin "'! iría bien. Si se deja evolucionar esa
forma espacial, multiplicándola por una función decreciente del tiempo 9n(t), trasunto
de alguna constatación experimental, se obtendrá el previsto comportamiento asintóti­camente
nulo. Sin embargo, el problema aún no está resuelto en general, porque en el
inicio del tiempo del estudio, la función elegida debería coincidir con la distribución de
partida, que no tiene por qué ser de la forma seleccionada, pues ¡no hay que olvidar, a
pesar de todo, los orígenes físicos de la cuestión!
También esto tiene remedio: En lugar de usar sólo una función de forma, un matemático
propondrá una suma ponderada de ellas, sabiendo, por ejemplo, que de f(x) = sin 7rt
descienden fn(x) =sin nlx , que satisfacen todas el valor prefijado en los extremos. Si se
eligen los pesos o coeficientes con buen juicio, la suma representará la verdadera forma
inicial, y a partir de ahí, todo fluirá. Condensado todo en una fórmula, si u(x, t) es la
temperatura calculada para la posición x y el instante t, la solución del problema se
presentará así:
u(x, t) = L anfn(x)gn(t)
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Exigimos, como es natural, que las gn(O) = 1 para que la distribución inicial sea
cp(x) = u(x,O) = L ªnÍn(x)
y un momento de reflexión pondrá de relieve que la suma anterior tendrá en general un
número infinito de sumandos, con lo que ahora hay dos problemas matemáticos nuevos:
el cálculo de los coeficientes o ponderaciones an , y la cuestión de si la expresión calculada
coincidirá de alguna manera con la condición inicial cp( x), en el sentido expuesto algo
más arriba. De acuerdo con Fourier, los coeficientes dependerán tanto de la distribución
inicial cp como de la familia fn , y vienen dados por las integrales:
La elección de la tasa de decrecimiento g(t) y de las funciones de forma fn(x) se lleva a
cabo por el método de la separación de variables, posible por la linealidad del problema.
Consiste en suponer a priori que u(x, t) = X(x)T(t), lo cual conduce de forma natural
a una exponencial negativa para la g y a funciones trigonométricas elementales como las
citadas antes para las fn. 37
Nota 3
He aquí un ejemplo de diferenciación-integración muy sencillo. Consideramos la sucesión
de números enteros
{n2}n2'.0 = {0, 1, 4, 9, 16, ... }
Diferenciar esta sucesión es construir la nueva sucesión de diferencias entre sus t érminos:
d{n2} = {n2 - (n-1)2}n>O = {1 , 3,5, 7, 9, ... } = {2n - l}n>O
Integrar la sucesión obtenida será escribir las sumas sucesivas de sus elementos:
J d { n 2} = {l, 1+3, 1+3+5,1+3 + 5 + 7, ... } = {l , 4, 9, 16, ... }
añadiéndole un O al principio como "constante de integración".
37El tratamiento de este problema en Tijonov, Andrei; y Samarski, Alexander (1980) Ecuaciones de
la Física Matemática, Editoria l Mir, Moscú, es perfecto.
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Nota 4
Un breve inciso u observación, dedicado a no mat emáticos pero aficionados a la ab­stracción
. La ecuación numérica lineal más simple es ax = b, donde todos los símbolos
representan elementos de un cuerpo numérico, y sabemos que se puede resolver en la
forma x = ~ = a-1b siempre que a =I O. El Álgebra Lineal se dedica en esencia al estudio
de ecuaciones Ax= b, cuya solución es x = A- 1"[; siempre que IAI =I O. La notación ma­tricial
es una representación compacta de un sist ema, que aquí supondremos con tantas
incógnitas como ecuaciones:
n L a;j Xj = b;; i = O, 1, ... , n
j=O
Ahora podemos cambiar de nuevo la notación: En lugar de a;j y b; escribiremos a(i , j) y
b(i ), y susti t uiremos el sumatorio Lj por su versión estilizada, la integral J dj , poniendo
de relieve que la variable de integración en una integral se corresponde con el índice de
sumación en un sumatorio, lo cual dará como resultado:
fon a( i, j)b( i)dj
que presenta el aspecto de una transformada integra l. El proceso seguido es un ejemplo
de aplicación del principio de permanencia de las leyes formal es, formulado por Her­mann
Hankel en 1867.38 Por cierto, este autor es más conocido por una transformada
integral que lleva su nombre, procedente del estudio de problemas con simetría radial.
El principio es una de las herramientas más útiles del mat emático, aunque debe ser uti­lizado
con mucha precaución: Por ejemplo, entre números reales es indiferente escribir
x = a - 1b ó x = ba- 1 , pero en el álgebra matricial no es cierto que x = A - 1"[; sea igual a
x = bA- 1 debido a que en la generalización de números a ma trices se pierde la propiedad
conmutativa.
En la expresión general J (s) = J: K(x, s) efJ (x )dx, efJ (x ) es una función, elegida entre las
que posean las propiedades necesarias, K(x, s) es el núcleo de la transformación y J es
su transformada. Por regla general, el intervalo [a , b] es [ü,oo] o bien [-oo,oo] y no es
necesario restringirse al dominio de los números reales. Dado que el núcleo no depende
de la propia efJ, nos estamos restringiendo a problemas lineales.
La t ransformada más habit ual es la clásica de Fourier - aunque exist en muchísimas
variantes- o versión continua del cálculo de los coeficientes del problema de la trans­misión
del calor:
J (s) = F(s) = ¡_: e- xsiefJ(x )dx
donde reconocemos la interesante analogía entre efJ ---+ { an} y efJ ---+ F , con la peculiaridad
geométrica de que el espectro es discreto si el intervalo es finito, y continuo si es infinito.
38Hankel, Hermann (1867) Vorlesungen über die Complexen Zahlen und ihre Functionen, Leipzig.
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Ya vimos que en el caso finito las funciones fn se conocen como armónicos de f. Una
pregunta que ya es célebre, relacionada con la ecuación de ondas bidimensional es ¿se
puede reconocer la forma de la mebran o parche de un tambor a part ir de su sonido?39
La respuesta es negativa, y se corresponde con las dificultades teóricas de la síntesis
espectral.
Por su parte, la transformada de Laplace tiene su lejano origen en el cálculo de proba­bilidades
y es muy célebre por sus aplicaciones en Ingeniería:
~(s) = .C(s) = l "° e-xsq;(x)dx
Entre los estudiantes, el uso más habitual de la transformada de Laplace radica en
una analogía con el cálculo logarítmico. Es sabido que con éste se puede traducir el
cálculo de operaciones numéricas difíciles, p. ej. un producto, a otras más simples, dado
que el logaritmo de un producto pasa a representarse por la suma de los logaritmos de
los factores. De modo semejante, la mayoría de las transformadas integrales permiten
realizar operaciones funcionales difíciles, p. ej. la derivación </;( x) --+ <f;' ( x) respecto de
la variable original pasa a ser, en el caso de la transformación de Laplace, una simple
multiplicación por la variable: ~'( s) --+ s~(s) (hay algún detalle que no hace al caso
aquí), y la integración estará, como es natural, representada por una división.
Índice onomástico
Arnold, Vladimir (1937-2010)
Baire, René (1874-1932)
Berna!, John (1901-1971)
Cantor, Georg (1845-1918)
Carnot, Sadi (1796-1832)
Cauchy, Augustin (1788-1857)
Cuest a, Norberto (1907-1989)
Einstein, Albert (1879-1955)
Fourier, Jean-Baptiste (1768-1830)
Fresnel, Augustin (1788-1827)
Godel, Kurt (1906-1978)
Grothendieck, Alexander (1928-2014)
Hankel, Hermann (1839-1873)
Hardin, Garrett (1915-2003)
Hayek, Nácere (1922-2012)
Hotelling, Harold (1895-1973)
Lagrange, Joseph-Louis (1736-1813)
Lebesgue, Henri (1875-1941)
Noether, Emmy (1882-1935)
Radon, Johann (1887-1856)
Riemann, Bernhard (1826-1866)
Sabato, Ernesto (1911-2011)
Schiller, Friedrich (1759-1805)
Von Staudt, Karl (1798-1867)
Watt, J ames (1736-1819)
Weyl, Hermann (1885-1955)
39Kac, Mark (1966) Can One Hear the Shape of a Drum?, American Mathematical Monthly 73(2) ,
1-23. Una referencia reciente es: Giraud, Olivier ; y T has, Koen (2010) Hearing shapes of drums -
mathematical and physical aspects of isospectrality, Reviews of Modern Physics 82(3), 2213- 2255.
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