Una biografía de Abel

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XIV (Núms. 1-2), 147-166 (2002)
UNA BIOGRAFÍA DE ABEL (*)
Nácere Hayek
Universidad de La Laguna, Spain
(*) NOTA ACLARATORIA
Este trabajo "Una biografía de Abel", de la que es autor uno de nuestros Académicos
Numerarios, ha aparecido en la Revista Números (de la Sociedad Canaria Isaac Newton de
Profesores de Matemáticas), vol. 52, diciembre de 2002, págs. 3-26. Habiendo contado con
la autorización del Sr. Editor-Director de la misma, a quien agradecemos profundamente su
cortesía y amabilidad, la Academia Canaria de Ciencias reproduce dicho trabajo en la
Sección "Historia y Filosofía de la Ciencia" en este volumen XIV de su edición anual
correspondiente al 2002, con el vivo propósito de sumarse a la participación internacional
en la conmemoración del bicentenario del nacimiento del insigne matemático noruego del
siglo XIX, Niels Henrik Abel.
El Comité Editorial
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Único retrato auténtico de Niels Henrik Abe!
( 1802-1829)
PRESENTACIÓN
Es bien sabido que el área de las matemáticas nunca tuvo un premio internacional de
dimensiones e importancia comparable al Premio Nobel. Plenamente conscientes de este
hecho, el Gobierno de Noruega ha previsto con antelación que se pudiera culminar la con­memoración
del bicentenario del nacimiento en 2002, del más ilustre de sus matemáticos
Niels Henrik Abel, de una forma sin duda influenciada por el ánimo de reparar aquella
omnipresente aberración que jamás fue comprendida por la inmensa mayoría de intelectua­les
de todo el mundo. En un comunicado de fecha 25 de agosto de 2001, dicho Gobierno
anunciaba la creación del Premio Abel con la dotación estatal de un fondo de 200 millones
de coronas noruegas (más de 25 millones de euros) que fuese coincidente con aquel bicen­tenario
en 2002, para honrar al campo de las matemáticas. Algunas características notables
del Premio que se ha instituido*, acusan grandes diferencias con las de la Medalla Field, un
premio que ha venido siendo considerado como el equivalente matemático del Nobel. En
analogía con este último, el Premio Abel establece: a) que se conceda anualmente y no cada
cuatro años (como el Field) a igual número de galardonados; b) que se suprima la imposi­bilidad
de recibirlo después que el candidato supere los cuarenta años y c) que sea entrega­do
en un solemne acto ceremonial por la Academia Noruega de Ciencias y Letras , como
hace la Sueca con los Premios Nobel. Por último, el Premio Abel es de procedencia estatal
y ronda los 640.000 euros, en contraste con el de cada Premio Nobel, de cerca de un millón
de euros que provienen de legaciones particulares de bienes.
* Notas extraídas del artículo "Las medallas Field" de Adolfo Quirós (La Gaceta de la R.S.M.E., Vol. 5.1 , 155-173-
2002).
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Numerosas Instituciones de todo el planeta, Universidades y Academias, Centros
eduqttivos y culturales, Organismos Nacionales e Internacionales, Congresos y Coloquios,
y además multitud de Asociaciones que conmemoran también el acontecimiento de forma
diversa mediante actos , reuniones, publicaciones biográficas y dedicatorias especiales, se
esmeran en subrayar la importante fecha del nacimiento de un hombre que dejó una indele­ble
huella en los anales de la ciencia: la obra inmortal de un matemático eminente que falle­ció
prematuramente a los veintiseis años y ocho meses.
El Sr. Director de la revista Números que edita la Sociedad Canaria de Profesores de
Matemáticas "Isaac Newton", ha tenido a bien honrar al que suscribe al encomendarle la
redacción de un trabajo biográfico de ese insigne noruego gloria del siglo XIX, para que en
aquélla se refleje públicamente su caluroso deseo de participación en el merecidísimo home­naje
universal que se tributa a Abel en el año 2002.
UNA BIOGRAFÍA DE ABEL
Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnoy en la costa sud­occidental
de Noruega. Era descendiente de una familia de sacerdotes rurales. Su padre
Soren-Georg Abel ejercía como párroco protestante de la pequeña aldea de Finnoy, en la
diócesis de Cristianía (la actual Oslo), aunque también se mostró como un nacionalista que
añadía a sus tareas la de colaborar activamente en un movimiento político en pro de una
Noruega independiente. Su madre Ana María Simonsen, era hija de un comerciante de
Risür. El matrimonio tuvo siete hijos. Abel era el segundo de ellos. Ya cumplido un año, su
padre fue designado pastor de un lugar llamado Gjerstad cerca de Risür, donde creció Abel
recibiendo junto con su hermano primogénito su primera educación. Abel tuvo que iniciar
su vida en un período crítico para el desarrollo político y económico de Noruega.
Eran tiempos difíciles, porque en su país dominaba la pobreza, el hambre y la cares­tía.
Antes en 1789 había comenzado la Revolución Francesa, y años más tarde, el gran
Napoleón en la cumbre de su poderío, forzó la unión política de Dinamarca con Noruega y
aunque ambas naciones intentaron ser neutrales en el transcurso de las guerras que se des­encadenaron,
sufrieron un fuerte ataque naval de Inglaterra en Copenhague (1801) y un
bloqueo de la costa noruega en 1807, amén de tener que afrontar posteriormente un enfren­tamiento
militar con Suecia ( 1813 ). En 1814 se disolvió la unión de Noruega con
Dinamarca, siendo la primera obligada a aceptar un hermanamiento que acabó con la
cesión de Noruega a Suecia. Los noruegos intentaron independizarse, pero Suecia controló
la revuelta y estableció un gobierno provisional en Oslo. Al padre de Abel, habida cuenta
de su actividad política, se le incluyó en el cuerpo legislativo de esta última para la redac­ción
de su nueva constitución.
Unos años antes, Süren había coadyuvado con eficaces campañas , en la fundación
de la primera Universidad noruega en Cristianía que tuvo lugar en 1811, la cual se pudo
crear al proveerse de un cuerpo docente constituido por los mejores maestros de la Escuela
Episcopal de Cristianía (existente desde la Edad Media), inaugurando la docencia universi­taria
en 1813. Ante la fuerte crisis noruega, el padre de Abel no pudo resolver la precaria
situación económica de su familia. En 1815 logró conseguir a duras penas, una modesta
ayuda para que Abe) y el primogénito accediesen a la citada Escuela, donde destacaban en
el currículum Lenguas Clásicas, Religión e Historia. Al principio de su instrucción, Abel se
mostraría como un estudiante indiferente, más bien mediocre y sin que incluso las matemá-
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ticas le despertaran atracción alguna. Era visiblemente palpable su padecimiento en esa
escuela. No obstante, un inesperado cambio se produjo a raíz de la muerte de un condiscí­pulo
suyo ante los malos tratos recibidos por un maestro brutal que se excedía con métodos
pedagógicos de castigos corporales a sus alumnos. El maestro fue entonces relevado (1818)
por un joven matemático de mayor competencia. Se trataba de Bernt Holmboe (1795-1850),
quien inició su misión ejercitando a sus alumnos a resolver por sí mismos algunos proble­mas
de álgebra y de geometría, viéndose pronto obligado a escoger cuestiones especiales
para Abe!, a la vista de su pasmoso avance de aptitud. Según coinciden los historiadores,
desde aquel momento Abe! se consagra a las matemáticas con la pasión más ardiente,
adquiriendo velozmente un pleno conocimiento de las matemáticas elementales. Comenzó
a estudiar referencias de mayor nivel y se familiarizó con los resultados matemáticos que se
conocían en su época. Juntos Abe! y Holmboe se enfrascaron afanosamente en las tres obras
clásicas de L. Euler (1707-1803) sobre el cálculo (las mismas fueron textos universitarios
durante más de cien años)1• Registros de Bibliotecas acreditan que en su primer año univer­sitario
Abe! había solicitado a préstamo, la Arithmetica Universal is y Principia Mathematica
de l. Newton ( 1642-1727), Disquisitiones Arithmmeticae de C.F. Gauss (1777-1855), Cale u!
de fonctions de J .L. Lagrange (1736-1813) y otras obras de grandes maestros. Abe! los estu­dió
con deleite y acto seguido se dedicó a hacer investigaciones por su cuenta. Cuando algu­nos
años más tarde le preguntaron cómo pudo situarse tan rápidamente en primera fila, repli­có
"estudiando a los maestros, no a sus discípulos" (Bell, 2, p. 308)2•
A la sazón, el padre de Abel fallecía en 1820. Su carrera política acabó de mala
manera (bebía en exceso y fue acusado de falsos cargos en contra de sus colegas de
Parlamento). Esto sumiría a la familia en una situación trágica, recayendo sobre Abel una
gran responsabilidad para su sustento, ya que su hermano mayor estaba incapacitado para
trabajar por enfermedad.
En 1821 Abe! logra ser matriculado en la Universidad de Oslo y en atención a una
solicitud tramitada por Holmboe, se le concede a Abe! con carácter excepcional, alojamien­to
gratuito en la misma y algún dinero para pequeños gastos (a lo que se añadiría una modes­ta
aportación particular del propio Holmboe). Este último estaba convencido de que había
tenido a su lado, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. En el entorno
universitario y en su ciudad, ya estaba reconocido como un genio del que esperaban sus pro­fesores,
futuros grandes trabajos. Aún siendo modesto y aparentemente amable, que estaba
siempre dispuesto a ayudar a sus amigos cuando fuese necesario, Abe! no ofrecía en su
aspecto general, nada notable. De estatura media, complexión delicada y con un atuendo
simple y descuidado, quizás lo único destacable de su naturaleza fuese que "su persona no
resultaba muy simpática" (Abel, Oeuvres 11, 9, p. 29). Sus profesores universitarios le alen­taron
sobremanera. Sería graduado en 1822.
Una familiar acogida la había encontrado Abe! en la casa del catedrático de Oslo,
profesor de Astronomía que se dedicaba con éxito al magnetismo terrestre, Ch. Hansteen, en
donde su esposa lo cuidó como si fuese su propio hijo. En una revista de Ciencias Naturales
' A los 16 años, Abe! generalizó el teorema del binomio formulado por Isaac Newton (y extendido luego a núme­ros
racionales por Euler), dando una prueba válida, no sólo para números enteros y racionales, sino también para
los casos de exponentes irracionales e imaginarios.
' "La idea propugnada por Abe! con ese sabio consejo de leer a los maestros, ha sido desgraciadamente abandona­da
por los estudiantes matemáticos actuales, malgastando sus primeros años sin hacer apenas caso de la literatura
primaria sobre la materia" (Edwards, 5, p. LOS).
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(Magazin for Naturvidenskaben) que se imprimió en Noruega en 1823 y de la que Hansteen
era uno de sus editores, se publicaron algunos breves trabajos de Abel. En uno de ellos,
"Soluciones de algunos problemas mediante integrales definidas", aparece por primera vez
el planteamiento y la solución de una ecuación integral.
En su último año en la escuela, Abel se había mostrado muy interesado en un impor­tante
problema del álgebra referente a la resolución de la ecuación general de grado supe­rior
(n>4) mediante operaciones algebraicas, infructuosamente afrontado por los matemáti­cos
desde el siglo XVI y que a pesar de los denodados esfuerzos de Lagrange y otros de sus
ilustres contemporáneos del siglo XVIII, seguía permaneciendo como uno de los grandes
problemas abiertos. Ese fue el primer estudio que motivó entonces en grado sumo, a Abe!.
En términos concretos, se trataba de encontrar la solución mediante radicales de la ecuación
algebraica general de quinto grado:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f =O (la denominada guíntica); es decir, hallar una fór­mula
que exprese sus raíces en términos de los coeficientes a, b, c, d, e, dados, de modo que
sólo incluya un número finito de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación,
división y extracción de raíces. Debido a sus minuciosas lecturas, Abe! llegó a estar ente­rado
no sólo de las fórmulas de Cardano y de Bombelli para las ecuaciones cúbica y cuárti­ca,
sino que conocía muy bien la problemática pendiente. Estimulado por el trabajo de su
maestro Lagrange (Réflexions sur la résolution algébrigue des éguations. 1770)' quien había
reconsiderado críticamente los métodos y fracasos de todas las tentativas de búsqueda de
soluciones para las ecuaciones algebraicas, Paolo Ruffini (1765-1822) en 1813 intentó pro­bar
la imposibilidad de la resolución algebraica de la ecuación general de grado n>4. Había
tenido éxito en demostrar con el método de Lagrange que no existe ninguna ecuación resol­vente•
que satisfaga una ecuación de grado menor que cinco. Ruffini hizo uso, aunque sin
probarlo, de un teorema ya hoy conocido como el teorema de Abe!, en el que se afirma que
si una ecuación es resoluble con el uso de radicales, las expresiones para las raíces pueden
darse en tal forma que los radicales en ellas sean funciones racionales con coeficientes racio­nales
de las raíces de la ecuación dada y las raíces de la unidad. A pesar de todo, no se pudo
lograr una fundamentación completa. En trabajos posteriores, formularía una regla para el
cálculo aproximado de raíces. El primer triunfo real del problema precedente corresponde a
Abe! quien, al parecer, independientemente de Ruffini, anduvo por el mismo camino.
Una vez abandonada la escuela, Abel creyó en principio haber descubierto la resolu­ción
del problema de la quíntica; sin embargo, a la vista de que ni Holmboe ni ninguno de
los mejores matemáticos de Noruega (Hansteen, Rasmussen, ... ) pudieron comprobar la
veracidad de su conjetura, envió a través de Holmboe la presunta resolución al matemático
profesor F. Degen en Copenhague, para que la presentase a la Real Sociedad de Ciencias de
Dinamarca. Degen le contestó requiriéndole algún ejemplo numérico, y sin comprometerse
a dar su opinión. La respuesta de Degen contenía además una advertencia con la que le
aconsejaba que "se estudiara las integrales elípticas"5• En su búsqueda de ejemplos, Abel
' Este trabajo influyó tanto en Ruffini como en Abe! para el caso n4 y también condujo a Galois a su teoría de gru­pos.
Debe añadirse que Abe! tuvo conocimiento de Ruffini por una referencia que de éste hizo Cauchy en su tra­bajo
de 1815.
'El término resolvente (del latín aequatio resolvens) significa ecuación que resuelve. Los referidos intentos de reso­lución
eran equivalentes al establecimiento de la teoría algebraica de la resolvente, es decir, el hallazgo de otra
ecuación algebraica de grado menor (en general) cuyos coeficientes sean funciones racionales de los coeficientes
de la ecuación de partida, y tal que aquella permita hallar las raíces de esta última.
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encontraría más tarde un error en su razonamiento, lo que le suscitó el efecto de su primera
decepción, aunque esto le lanzó más adelante a la verdadera senda.
En 1823, a instancias de su benefactor Hansteen, se le concedió a Abe! una modes­ta
beca (propulsada con la ayuda de profesores de la Universidad) para visitar a Degen en
Copenhague. En dicha capital tuvo la oportunidad de conocerle, así como a otros matemá­ticos
célebres, entre ellos von Schmidten. Allí conoció también a Cristina Kemp, hija de un
comisario de guerra en Dinamarca, con quien se comprometería algún tiempo más tarde.
Esta no era rica, pero hacía su propia vida, hecho poco usual en las jóvenes de la época.
Más tarde le fue concedida a Abe! por el Gobierno noruego una beca de dos años,
con recursos económicos suficientes para visitar los centros matemáticos más importantes
del continente (en Alemania y Francia). Tuvo que aguardar la dotación de aquélla más de
año y medio, tiempo que dedicó a estudiar francés y alemán, sin abandonar su perseveran­te
entrega a las matemáticas.
En agosto de 1825 emprendió el viaje al extranjero, aunque antes de partir editó una
breve memoria en la que se exhibía la idea de la inversión de las elípticas.
Abe! embarcó en compañía de cuatro de sus amigos estudiantes, eligiendo un tra­yecto
que pasara antes por Dinamarca, con el fin de entrevistarse con De gen, pero a su lle­gada
se encontró con que éste ya había fallecido. Durante esa parada en Copenhague, enta­bló
Abe!, ya con 23 años, su noviazgo con Cristina Kemp.
Ya a finales de 1823, Abe! había llegado a la conclusión de que resultaba imposible
la resolución de la ecuación algebraica de quinto grado por radicales. La primera prueba de
este teorema se publicaría en 1824 (Abel, Oeuvres, 1, 9). El artículo de Abe! empezaba así:
"Los geómetras se han ocupado mucho de la solución general de las ecuaciones algebraicas
y varios de ellos trataron de probar la imposibilidad. Pero, si no estoy equivocado, ellos no
han tenido éxito hasta el presente"(Ayoub, 1). Una versión mucho más elaborada apareció
en el Journal de Crelle (que nos ocupará a continuación) en 1826 bajo el título "De­mostración
de la imposibilidad de resolución algebraica de ecuaciones de grado superior al
cuarto (A bel, Oeuvres 1, 9 p. 66). El espectacular artículo de Abe! sobre la teoría de ecua­ciones
fue sometido y más tarde rechazado por la Academia Francesa de Ciencias en 1830,
y no sería publicado hasta 1840, catorce años después de su muerte6. En consecuencia, cabe
afirmar aquí que a Abe! y a E. Galo is ( 1811-1832) correspondió el honor de la creación del
álgebra moderna.
No se puede dejar de señalar desde ahora, el enorme desengaño que sufrió Abel cuan­do
más adelante al visitar Alemania (en su ruta hacia París) le envió al extraordinario C.F.
Gauss (que luego sería llamado "el príncipe de los matemáticos") un breve folleto con la
demostración de la imposibilidad de resolver la quíntica, y éste sin ni siquiera leerla, llega­ra
a exclamar: "¡He aquí otra de esas monstruosidades!" (Bell, 2, p.314). Es harto evidente
que si Gauss se hubiera dignado enterarse de algunos párrafos, mostraría otro interés por el
trabajo que llegó a sus manos. Quizás, como se indica en (Ayoub, 1), Gauss no atribuyó gran
importancia a la resolubilidad por radicales Cuando Abel se enteró de la reacción de Gauss,
decidió no visitarlo, no ocultando desde entonces su antipatía por aquél, que manifestaba
siempre que encontraba ocasión. Así, de Gauss llegaría a decir Abe!: "Jamás en sus grandes
' Esto hizo que Abe! se iniciara en la que sería su segunda contribución fundamental para las matemáticas, que le
condujo a su famosa memoria de París y a su ulterior competición con Jacobi.
' Eso deja claro que no había usado la teoría de Gaiois (Rosen, 12).
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trabajos descubre la idea generadora. Es como el zorro, que con la cola va borrando el cami­no
que sigue, para que nadie pueda ir detrás" (acotado en G.F. Simmons, Calculus Gems,
New York, 1992).
En realidad, lo que acabó satisfactoriamente con el problema multisecular de la reso­lución
algebraica de la quíntica, fue sin lugar a dudas, la intervención decisiva que tuvo
Abel. Su prodigiosa inventiva matemática queda reflejada en párrafos de algunos de sus tra­bajos.
Por ejemplo: "En efecto, los matemáticos (se refiere preferentemente a Lagrange) se
proponían resolver ecuaciones, sin saber si era posible. [ ... ] Para llegar infaliblemente a una
conclusión, debemos proseguir otro camino. Se puede dar al problema tal forma que sea
siempre posible resolverlo, cosa que se puede hacer igualmente con cualquier otro. En lugar
de indagar acerca de una relación de la que no se sabe si existe o no, deberíamos previa­mente
preguntarnos si tal relación es ciertamente posible." (Bell, 2, p. 311 ). En la memoria
"Sobre la resolución algebraica de ecuaciones" en la que estos párrafos aparecen, se pre­sentan
dos problemas interconexionados que se tenían que discutir:
a) Encontrar todas las ecuaciones de cualquier grado que sean resolubles algebraica­mente.
b) Determinar si una ecuación es o no resoluble algebraicamente.
"En el fondo (decía Abel), estos dos problemas son uno mismo, y aunque no se pre­tenda
una solución completa, indica métodos seguros para tratarlos completamente" (Bell,
2, p. 312).
En esa memoria que se publicó en 1840 se demuestran una serie de teoremas rela­cionados
con la teoría de Galois, entre ellos el resultado (referido antes) equivalente al teo­rema
de Galois:"Para que una ecuación de grado un número primo, que no tenga ningún
divisor racionaF sea resoluble por radicales, es necesario y suficiente que todas las raíces
sean funciones racionales de dos raíces conocidas". Abel investigó también la estructura de
los grupos conmutativos y mostró que eran producto de grupos cíclicos. No obstante, no
destaca en el trabajo de Abel, el concepto de grupo (Ríbnikov, 11, p. 349). Se sabe que la
creación del álgebra actual está relacionada con la resolución de algunos problemas históri­co-
matemáticos. Pero hay que subrayar, como se dijo anteriormente, que a Galois y Abe! se
les reconoce haber creado el álgebra moderna, en la que se estudian las propiedades de las
ecuaciones algebraicas basándose en la teoría de grupos (Geymonat ,7, p. 115).
Desde Copenhague, Abel hiza viaje hacia Alemania y se detuvo en las proximidades
de Hamburgo, donde contactó con H. Chr. Schumacher (amigo de Gauss). Luego siguió
hasta Berlín, capital en la que pasaría el invierno.
Abel llevaba una misiva de recomendación de von Schmidten para el consejero de
construcciones, August Leopold Crelle ( 1780-1855), por quien sería cordialmente acogido.
Crelle tenía más peso en el mundo matemático que su gran benefactor Holmboe. Se trataba
de un destacado ingeniero, una de cuyas obras fue el primer ferrocarril prusiano entre Berlín
y Postdam y, por otra parte, era también autor de algunos trabajos matemáticos. En su pri­mera
entrevista con Crelle, éste le comentó el triste estado de las matemáticas en Alemania,
a lo que, entre otras cosas, agrega Abel por su parte, que las bibliotecas de Berlín dejaban
mucho que desear. Crelle sería un fuerte impulsor de la ciencia matemática en Prusia y en
esa época ( 1825) fundó el Journal für die reine und angewandte Mathematik (Revista de las
Matemáticas Puras y Aplicadas) o Journal de Crelle (primera revista del mundo dedicada
' La expresión ningún divisor racional se sustituiría hoy en día por ecuación irreducible.
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exclusivamente a la investigación matemática) que sigue editándose hoy en día En aquel
tiempo la revista era apenas conocida, pero luego se afianzaría como la revista de matemá­tica
pura más prestigiosa de Alemania' . Abel estableció una cordial amistad con Crelle,
quien pronto había adivinado que Abel era un genio. En los primeros números de la revista
publicó Abe! parte de sus trabajos, unos siete de ellos; en total, en el Journal de Crelle publi­có
22.
Su estancia de unos cinco meses en Berlín, influyó sobremanera en la historia de
Abel. En esa ciudad leyó el Analyse Algébrique de A.L. Cauchy (1789-1857) por quien
manifestaría más adelante una gran admiración por el conjunto de su trabajo. En uno de sus
artículos sobre la quíntica, ya Abel había usado resultados de Cauchy sobre permutaciones.
Desde Berlín, Abe! no se encaminó directamente a París, sino que decidió prolongar
el viaje (a todas luces, en perjuicio de su salud y de su carrera) para disfrutar en algunas
juergas con sus compañeros estudiantes con quienes había venido desde Noruega, diri­giéndose
hacia Venecia y el norte de Italia, para atravesar Los Alpes en su ruta hacia la
capital francesa. Para justificar ese desvío del camino directo a París, Abe! decía (en una
de sus cartas al astrónomo Hansteen) "es el único viaje que he de hacer en toda mi vida y
¡deseo tanto ver Suiza e Italia!. Yo también amo la Naturaleza y admiro sus hermosuras".
En julio de 1826 se trasladó Abe! a París, donde en aquella época había abundancia de
grandes matemáticos, aunque bien pronto quedaría decepcionado de la mayoría de los mis­mos,
caracterizándolos en general algo despectivamente de "tan viejos, que sólo quedaba
de ellos su fama".
En una carta a Holmboe (24 octubre de 1826), le narraba:
"Legendre es extraordinariamente cortés, pero desgraciadamente muy viejo. Cauchy
es un excéntrico [ ... ] si bien lo que hace es excelente, pero muy confuso. Al principio, no
comprendía prácticamente nada, pero ahora veo algunas cosas con más claridad [ ... ] Es el
único que se preocupa de las matemáticas puras. Poisson, Fourier, Ampére, trabajan exclu­sivamente
en problemas de magnetismo y en otras materias físicas. Laplace creo que ahora
no escribe nada.[ ... ] Poisson es un agradable camarada y sabe comportarse con dignidad[ ... ]
Lacroix está ya demasiado viejo. Los franceses son mucho más reservados con los extran­jeros
que los alemanes. Es demasiado difícil ganar su intimidad " (Abel, Oeuvres, 11,
p.259). En el mismo escrito, seguía diciendo: "He realizado un trabajo sobre ciertas clases
de funciones trascendentes, para presentarlo al Instituto. [ ... ] He decidido que lo vea Cauchy,
pero seguramente ni se dignará mirarlo. Y me atrevo a decir, sin jactancia, de que es un buen
trabajo. Siento gran curiosidad por saber el juicio del Instituto" (Abel Oeuvres 11, 9 p. 260).
Como luego se confirmaría, no recibió ninguna respuesta mjentras vivió.
De ese trabajo que se ha anunciado, nos vamos a ocupar seguidamente. Ha sido jus­tamente
reconocido que los auténticos fundadores de la teoría de funciones elípticas fueron
Abel y Jacobi (del último de los cuales trataremos luego). El referido trabajo fue el prime­ro
de los principales ensayos que hizo Abel sobre las integrales elípticas y llevaba el título
Mémoire sur une proprieté générale d'une classe tres-étendue de fonctions trascendantes
(Memoria sobre una propiedad general de una clase muy amplia de funciones trascenden­tes)
(Abel Oeuvres 1, 9). Fue presentado el 30 de octubre de 1826 al Secretario de la
Academia de Ciencias de París, J. Fourier, para ser publicado en su revista. Éste remitió el
' La revista de Crelle contribuyó al progreso de las matemáticas del siglo XIX más que media docena de doctas
Academias (Bell, 2, p. 315).
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trabajo a Cauchy (responsable principal) y a Legendre, para que fuese evaluado. Legendre
que ya contaba 74 años encontró penoso y difícilmente legible el manuscrito, confió en
Cauchy (con 39 años) para que se encargara del informe (Brun, 3, p.244). Sumergido en su
propia tarea, o tal vez porque vislumbrara en aquel mísero estudiante noruego un pobre dia­blo
con ensoñaciones imposibles o incluso quizás por indiferencia al principiante, no pres­tó
la debida atención, lo olvidó al igual que Legendre y extravió aquel ensayo del que era
depositario. Al parecer, cuando Abel se enteró de que Cauchy no lo había leído, aguardó con
paciente resignación el veredicto de la Academia (que nunca recibiría), como así reveló a
Holmboe en otra carta. Pero cuando conoció, como relataremos luego, que el manuscrito se
había perdido, hizo además otra cosa: redactar de nuevo el principal resultado. "El artículo,
aún siendo el más penetrante de todos sus trabajos, constaba sólo de dos breves páginas.
Abel lo llamó estrictamente Un teorema: no tenía introducción alguna, ni contenía observa­ciones
superfluas, ni aplicaciones .... un resplandesciente monumento resumido en unas par­cas
líneas - el teorema central de su memoria de París - formulado en pocas palabras" (Ore,
10). Al cabo de algún tiempo sucede que C.G. Jacobi (1804-1851) tuvo noticias del mismo
por el propio Legendre (con quien Abel sostuvo correspondencia después de su regreso a
Noruega) y en una carta a Legendre (Gesammelte Werke 1, p.439) de 14 de marzo de 1829
exclama:
"¡ Qué descubrimiento es ése de Abel! [ ... ] ¿ Cómo es posible que ese descubri­miento,
quizás el más importante que se haya hecho en nuestro siglo, se comunicara a su
Academia hace dos años y se escapara a la atención de sus colegas ?". Esta pregunta se
extendió como un reguero de pólvora hasta Noruega (con muchos intelectuales y público
expectantes del quehacer de Abel), lo que da lugar a que el cónsul de Noruega en París se
viera impelido a hacer una reclamación diplomática acerca del manuscrito perdido. La
Academia indagó y Cauchy lo encontró algún tiempo después. En una carta (abril de 1829)
que contestaba a la de 14 de Marzo a Jacobi, Legendre cuenta que, una vez hallada, Cauchy
se dispuso a redactar el correspondiente informe, pero que ambos se vieron retenidos al
sopesar que Abel ya había publicado parte de la memoria en el Journal de Crelle. Cuando,
después de su muerte, la fama de Abel estaba ya cimentada, su preciadísimo ensayo afortu­nadamente
no se había perdido. ¡ ¡ Sin embargo ! !, "no pudo ser publicado hasta el año 1841
en Mém. des savants etrangers. vol. 7. 176-264 (Abel Oeuvres, 9, 145-211) Ese fue preci­samente
el trabajo que después el propio Legendre calificaría como monumentum aere
perennius (monumento que resistirá al tiempo) (Bell, 2, p. 320). "Si se quiere encontrar un
parangón equiparable a aquel fenomenal olvido, tendríamos que imaginar a un egiptólogo
que perdiera la Piedra Roseta" (Bell, 2, p. 321). Para coronar esta epopeya in parvo di crasa
incompetencia, el editor, impresor, o ambos perdieron el manuscrito antes de que fueran leí­das
las pruebas de imprenta. La Academia en 1830, quiso sincerarse con Abel, concedién­dole
el Gran Premio de Matemáticas, en unión con Jacobi, pero Abel ya había fallecido
(Bell, 2, p. 321). Realmente, y aparte de lo escaso de sus recursos, lo más razonable es dedu­cir
que después del episodio acaecido, la estancia de Abel en París sólo pudo producirle una
amarga tristeza en todos los sentidos. J. Echegaray (6, p. 482) refleja este hecho , con una
justa exclamación " ¡ desdén, indiferencia, miseria !". Resulta evidente que a Abel , resu­miendo,
le sobrarían razones para sentir resentimiento de la actitud de Cauchy, aún cuando
jamás dudase de que éste fuera un indiscutible gran maestro del análisis.
Para mayor gloria de la ciencia, fue determinante "el grito de alarma de Jacobi, el
noble rival de Abel, y de toda la Alemania científica, para que se buscase con empeño la
admirable memoria de Abel" (Echegaray, 6, p. 482). Con la narración escrita no acabaron,
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para colmo de todos los colmos, las peripecias habidas con el manuscrito de Abel. "Cuando
los matemáticos noruegos L. Sylow y S. Lie elaboraban en la década 1870-1880 la publica­ción
de las obras completas de Abel se encontraron con la desagradable sorpresa de que el
manuscrito que Abel había presentado a Ja Academia de París se había perdido." (Durán, 4,
p.88). ¿ Qué había ocurrido esta vez ? Según se pudo averiguar más adelante, a un profe­sor
matemático italiano, Guglielmo Libri, alumno de Legendre, le fue asumida la responsa­bilidad
de seguir la impresión de las Mémoires de savants antes citadas. "Siglo y cuarto des­pués
de que Abel presentara la Memoria sobre las funciones elípticas a la Academia de París
fue finalmente encontrada por Viggo Brun, de Oslo, en la biblioteca Moreniana de Florencia
(Italia). Brun, que visitaba la ciudad , aprovechó para saber si en la biblioteca matemática
había legados de Guglielmo Libri, sospechando Ja implicación de éste en la desaparición del
manuscrito. Después de algunas pesquisas, Brun encontró lo que buscaba, esto es, la
Memoria original de Abel" (Durán, 4, p. 88)
El manuscrito (excepto ocho páginas) sería exactamente localizado en 1852. "Al
abrir el manuscrito en la biblioteca Moreniana se encontraron las hojas de amarillo pardo
densamente escritas por N. H. Abe! (noruego) según constaba bajo el título en su primera
página. Las letras eran pequeñas, el espacio aprovechado al máximo, las dos caras de cada
hoja escritas. Al final del manuscrito se leía la dirección en París: rue St. Margherite, núm.
41 faub. St. Germain (ahora rue Gozlin) (Brun, 3, p. 245).
Una breve ilustración nos parece necesaria, sobre ese manuscrito en el que Abel con­fiaba
para acceder al selecto círculo de matemáticos de la Academia francesa.
Los teoremas de adición de L. Euler para las integrales elípticas (de primera especie)
representaban entonces los mejores resultados de la teoría, hasta que Legendre se ocupara
Juego de estructurar dicha materia, aportando nuevas investigaciones sobre las mismas,
junto a una recopilación de numerosas conclusiones de sus predecesores, en su obra defini­tiva
Traité des fonctions elliptiques (2 vols., 1825 y 1826), fruto de una extensa labor de cua­tro
décadas. El manuscrito de Abel (que contiene el ya conocido como su gran teorema) se
refiere a la extensión del teorema de adición de Euler para integrales elípticas, al caso de
integrales de funciones racionales R(x, y(x)) de la variable x y de cualquier función alge­braica
y(x). En los prolegómenos que preceden al teorema que Abel establece, se expone:
"Casi toda la teoría de funciones trascendentes se reduce a la de las funciones logarítmicas,
exponenciales y circulares, funciones que, en el fondo, no forman más que una sola especie.
En fechas recientes, se han comenzado a considerar algunas otras funciones, entre ellas las
trascendentes elípticas, de las que Legendre ha desarrollado propiedades notables y elegan­tes,
y que ahora ocupan un primer lugar. El autor presenta en esta Memoria una clase amplia
de funciones, a saber: todas aquellas cuyas derivadas pueden ser expresadas mediante ecua­ciones
algebraicas, de tal modo que todos los coeficientes son funciones racionales de una
misma variable, habiendo encontrado para estas funciones propiedades análogas a las de las
funciones logarítmicas y elípticas. Así, puesto que una función cuya derivada es racional
posee la propiedad de que la suma de un número cualquiera de ellas se puede expresar por
una función algebraica y logarítmica, cualesquiera que sean las variables de tales funciones,
del mismo modo una función elíptica cualquiera, o sea, una función cuya derivada no con­tiene
otras irracionalidades que un radical de segundo grado, bajo el cual la variable no supe­ra
el cuarto grado, mantiene aún la propiedad de que se pueda expresar una suma cualquie­ra
de ellas mediante una función algebraica y logarítmica, siempre que pueda establecerse
entre las variables de estas funciones una cierta relación algebraica "(Abel Oeuvres 1, 9,
p.145). Esta analogía entre las propiedades de ambos tipos de funciones ha conducido al
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autor a investigar si no es posible encontrar propiedades semejantes de funciones más gene­rales,
habiéndose llegado así al teorema que fue enunciado por Abel del siguiente modo: "
Si se tienen varias funciones cuyas derivadas pueden ser raíces de una misma ecuación alge­braica
cuyos coeficientes son funciones racionales de una misma variable, se puede siempre
expresar la suma de un número cualquiera de tales funciones por una función algebraica y
logarítmica, siempre que se establezca entre las variables de las funciones en cuestión un
cierto número de relaciones algebraicas". El número de estas relaciones no depende en
modo alguno del número de funciones, sino sólo de la naturaleza de las funciones particu­lares
consideradas. Así, por ejemplo, para una función elíptica este número es 1; para la fun­ción
que no contiene otra irracionalidad que un radical de segundo grado, bajo el cual la
variable no excede el 5° o 6º grado, el número de relaciones necesarias es 2; y así sucesiva­mente
(Abel Oeuvres 1, 9, p.146).
Abel transformó radicalmente la teoría de integrales elípticas en la teoría de funcio­nes
elípticas, haciendo uso de las funciones inversas de aquéllas, que eran mucho más fáci­les
de manipular. Desde un punto de vista elemental, ello equivaldría a invertir las compli­cadas
funciones trigonométricas inversas are sen y are cos, en las mucho más simples sen
y cos. En lugar de estudiar (como hizo Legendre) la integral elíptica de primera especie
y= f dx / v(l-a2x2) (1 +b2x2) mediante su expresión en términos de funciones analíticas mejor
conocidas, Abel consideró a esta integral como una función x de y, como una función elíp­tica.
La función inversa x = f(y) así obtenida, resultó ser doblemente periódica y podía
expresarse como cociente de dos productos infinitos. ¡Esa forma sencilla de enfocar aquel
problema, al parecer tan profundamente complicado, fue uno de los grandes progresos
matemáticos del siglo XIX !
El teorema de Abe! cabe enunciarlo grosso modo, de la siguiente manera: " Una
suma de integrales de la forma J R(x,y) dx, siendo R(x,y) una función racional de x é y, y
donde estas variables están relacionadas mediante la ecuación f(x,y) =O ( f =polinomio en
x e y), puede ser expresada en términos de un cierto número p de integrales de ese tipo, más
términos algebraicos y logarítmicos" (Journal de Crelle, Bd. 4, 1829; véase Abel Oeuvres
1, 515-517, 1829). El número p, dependiente sólo de la ecuación f(x,y) =O es, de hecho, lo
que se denominaría luego género de la ecuación. Prácticamente, Abel calculó el número p
para unos pocos casos especiales del general f(x,y) = O, y aunque no intuyó la verdadera
importancia de este resultado, muestra que reconoció dicha noción de género antes que B.
Riemann (1826-1866). De forma más concisa, el teorema constata que" cualquier suma de
aquel tipo de integrales de una función algebraica dada, puede expresarse mediante un
número fijo p de estas integrales con argumentos de integración que son funciones alge­braicas
de las funciones originales ". El menor número p representa el género de la función
algebraica, siendo como hemos dicho ésta la primera vez que aparece esta cantidad alge­braica.
El teorema de Abel constituye sin lugar a.dudas, una muy amplia generalización del
teorema de Euler para las integrales elípticas9• Los primeros resultados de Abel (que luego
serían trascendentales) de sus "Investigaciones sobre funciones elípticas" se publicaron en
1827 en el Journal de Crelle (2, 101-181), con la idea central de la inversión de las elípticas
' La noción de género sería más adelante introducida por A. Clebsch (1833-1872) para clasificar las curvas. Si una
curva tiene d puntos dobles, entonces el género p = (l/2)(n- l)(n-2) - d. Clebsch en 1864 reformuló por primera
vez el teorema de Abel sobre integrales en términos de curvas.
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(que ya bullía en su mente desde 1823) y en 1828; así como en los Annales de Gergonne que
aparecieron en 1827.
Como ya se ha anticipado, el otro descubridor de las funciones elípticas fue C.G.
Jacobi (1804-1851) que había estudiado en la Universidad de Berlín. En contraposición con
Abel, provenía de una familia judía de banqueros y disfrutaba de una vida plácida .. Abel y
Jacobi trabajaron independientemente en la elaboración de una teoría general sobre las fun­ciones
elípticas, sin sospechar la rivalidad intelectual que luego se produciría entrambos.
Jacobi también conocía la obra de Legendre sobre integrales elípticas e investigó casi a un
tiempo que Abel sobre las correspondientes funciones elípticas. Presentó una comunicación
(sin pruebas) a la Astronomische Nachrichten Ci. 33-38, 1827) con aquella fecunda idea de
Abel de las funciones inversas, publicando (ya con demostraciones de resultados de la pri­mera
comunicación) varios artículos en la revista de Crelle (1828, 1830). El concepto de
inversión lo tenía Jacobi desde finales de 1827, habiendo hecho uso además de la doble
periodicidad de las funciones elípticas'º. Cuando Abel tuvo conocimiento en 1828 del artí­culo
de Jacobi sobre las transformaciones de las integrales elípticas, se apresuró a mostrar
que los resultados de aquel trabajo eran consecuencias del suyo, teniendo que añadir enton­ces
una nota a la segunda parte de su principal trabajo sobre funciones elípticas. Los logros
alcanzados con las investigaciones de Abel y Jacobi, fueron luego descritos (para resaltar su
importancia) por Legendre en 1829 y 1832 en tres suplementos a su Tratado anterior acer­ca
de estas últimas funciones.
Aunque Abel arrebatara a Legendre lo mejor de su vida de trabajo con la nueva idea
de inversión de las integrales elípticas que este último pasó por alto y que resultaría ser la
verdadera clave para explorarlas , Legendre (en una carta a Jacobi) elogió el enorme méri­to
de Abel diciendo: " ¡Qué cabeza tiene este noruego! " (Kline 8, t. II, p. 858). El propio
Jacobi sería un crítico ecuánime de la obra de Abel al escribir, lleno de admiración, en otra
ocasión: " ¡ Qué deducción tan vigorosa la de los teoremas de transformación de las fun­ciones
elípticas ! Es superior a todos mis elogios, como es superior a todos mis trabajos "
(Echegaray, 6, p. 484). Ch. Herrnite (1822-1901), profesor de La Sorbonne y de la Ecole
Polytechnique" también comentaría que "Abel ha legado una labor sobre la que podían tra­bajar
las futuras generaciones de matemáticos durante quinientos años " (Bell, 2, p. 320).
Legendre diría posteriormente: "los trabajos de Abel y Jacobi habrán de ser considerados
como los más notables realizados en nuestra época". Ambos quedaron, en realidad, defini­tivamente
vinculados luego, a uno de los más importantes descubrimientos de la teoría de
funciones multiperiódicas, ya que tanto el uno como el otro arribaron a una parte funda­mental
de las funciones elípticas: las funciones theta.
La teoría de funciones elípticas de Jacobi estuvo basada principalmente sobre cuatro
funciones definidas por series infinitas, las citadas funciones theta. Debe tenerse presente
que las funciones doblemente periódicas sn u, en u y dn u , son cocientes de funciones theta
y satisfacen ciertas identidades y teoremas de adición similares a las de las funciones seno
y coseno trigonométricas. Los teoremas de adición de funciones elípticas, pueden ser tam­bién
considerados como aplicaciones especiales del teorema de Abel sobre la suma de inte­grales
de funciones algebraicas. Esta cuestión dio origen a investigar si las integrales hipe-
'º El texto fundamental de Jacobi sobre la teoría fue Theoriae Functionwn Ellipticarwn, Fundamenta Nova (Werke,
l. 49-239, 1829).
" Hermite obtuvo resultados básicos de la teoría y su relación con la teoría de números.
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relípticas (una generalización de las elípticas sobre las que Abel había ya dejado sentados
los pasos iniciales) podían ser invertidas de igual forma que las elípticas dieron lugar a las
funciones elípticas12• Jacobi dio Ja solución en 1832, naciendo así la teoría defunciones abe­lianas
de p variables, destacada rama del siglo XIX (Struik, 13, p.155).
C.F. Gauss había investigado también en la teoría de funciones elípticas, pero no
publicó sus resultados.
K. Weierstrass (1815-1897), en su discurso de ingreso en la Academia, afirmaba: "
La teoría de funciones elípticas ejerció sobre mí una poderosa atención en todo el proceso
de mi formación matemática, ...... ". Fue un gran continuador del trabajo de Abel y remo-deló
la teoría de las funciones elípticas. Según G. Mittag-Leffler (véase Niels Henrik Abel.
Ordoch Bild, Stockholm, 1903), "Weiertrass recomendaba frecuentemente la lectura de
Abe! a sus alumnos".
El teorema de Abel inició la andadura que condujo alrededor de 1850 a B. Riemann,
alumno de Gauss, a la nueva y más amplia teoría de funciones multiformes (tímidamente
abordada por Cauchy), con una visión que Je suministró la clave del concepto de superficie
de Riemann, descubriendo el género de Ja misma como un invariante topológico y como
medio de clasificación de las funciones abelianas. La no univocidad de las transformaciones
conformes llevaron a Riemann a superficies especiales de varias hojas que se denominarían
superficies de Riemann (Struik, 13, p. 158).
Después del tiempo transcurrido en Berlín con Crelle, Abe! se había cargado de deu­das
y aunque su colega y amigo quiso retenerle con algunas ofertas, una vez agotado inclu­so
el préstamo de Holmboe quería volver a casa. Sobre todo porque la situación familiar,
especialmente la de sus hermanos, era ya desesperada. Regresó a Cristianía en Mayo de
1827, y para ganar algún dinero tuvo que dar instrucción a .algunos escolares. Su novia
Cristina se empleó como institutriz en casa de unos amigos de su familia en Froland. Abe!
pasó el verano de 1828 con su novia en esa ciudad. Estaba a la sazón, dedicado a la teo­ría
de las funciones elípticas, en su competición con Jacobi, escribiendo algunos artículos
sobre la misma. En la Navidad de ese año, hubo de viajar en trineo para visitar a su novia
en Froland, llegando seriamente enfermo. El riguroso clima noruego ya le había hecho
desde hacía tiempo padecer de tuberculosis pulmonar, de la que tuvo conocimiento médico
durante su estancia en París y que Abe! había atribuido a un frío persistente. Quizás el tra­jín
y la excesiva tensión de aquel largo viaje al extranjero de duración más de año y medio,
contribuyeron a que esa enfermedad le llevara más tarde a su fatal desenlace.
El siglo XIX se caracterizó por Ja reintroducción del rigor en las demostraciones con
la consiguiente axiomatización en todas sus ramas. En torno al año 1800, los matemáticos
empezaron a interesarse por los conceptos y las pruebas que se desarrollaron en las vastas
zonas del análisis. El propio concepto de función no estaba claro, y el uso de las series sin
referencia a la convergencia y divergencia había producido paradojas y desacuerdos. Acorde
con esa situación, los matemáticos del siglo XVIII usaron las series indiscriminadamente,
pero a finales de siglo y en las primeras décadas del XIX, algunos resultados sobre series
"En su estudio de integrales elípticas , Abe! consideró integrales de la forma J.' R(z,u) dz siendo R(z,u) una fun­ción
racional de z, u, u' (=P(z)) con P(z) =a,, z" + a0., z"' + .... + ao , de grado n>4. A estas integrales se las deno­mina
hiperelípticas. Dichas integrales son funciones del límite superior z, si el límite inferior es fijo. La u es fun­ción
multiforme de z. Abe! formuló el problema de la función inversa, sin resolverlo (Kline, 8, p. 862). En este con­texto,
Jacobi también estudió funciones que fueron llamadas más tarde funciones abelianas, cuya teoría se deno­mina
actualmente teoría de grupos.
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infinitas estimularon las investigaciones de lo que se estaba alcanzando con ellas. Abe!, en
una carta al profesor Hansteen13, se quejaba de "la tremenda oscuridad que incuestionable­mente
se encuentra uno en el análisis [ ... ] que nunca ha sido tratado rigurosamente. En todas
partes aparece esa manera miserable de concluir lo general partiendo de lo especial, y lo
peor del caso es que con tal procedimiento es raro que se encuentren las llamadas parado­jas.
Sería interesante investigar esto [ ... ]. Una vez aceptadas las proposiciones sin pruebas
rigurosas [ ... ] se corre el riesgo de servirse de ellas sin examen ulterior". Todas esas elucu­braciones
formarían parte de algunos trabajos que aparecieron en el Joumal de Crelle.
El análisis riguroso empieza con Bolzano, Cauchy, Abe! y Dirichlet. Junto a Cauchy,
figura Abe! entre los más importantes matemáticos que aportaron un espíritu eminentemen­te
renovador, caracterizado por la tendencia a la especialización (Geymonat 7, p. 114). En
el área del análisis fueron ambos de modo indiscutible, decisivos para imponer la exigencia
del rigor, propugnada con anterioridad por C.F. Gauss. "La exacerbación de las nociones
fundamentales en el análisis, en especial la rigurosa concepción del proceso de paso al lími­te
en las series infinitas, vinculada a la necesidad didáctica de enseñarlo, hizo que en el pri­mer
tercio del siglo XIX (con las extraordinarias aportaciones de los matemáticos mencio­nados)
se avanzara enormemente, lo que desembocó en una redefinición del concepto de
función" (Wussing, 14, p. 365). Ello dio lugar a un minucioso cuidado sin precedentes en
Ja formulación de las definiciones y de los teoremas, que conduciría a los científicos y filó­sofos
a un profundo interés por la lógica formal. En su obra de 1821, Cauchy emprende la
introducción del rigor, haciendo hincapié en la no justificación del libre uso de propiedades
de las funciones algebraicas para su aplicabilidad a cualquier función, y en la sinrazón de
las series divergentes1•. En un artículo de 1826, Abe! alabó la obra Cours d' Analyse de
Cauchy aconsejando que "debiera ser leída por cualquiera que amara el rigor en el campo
de las investigaciones matemáticas"15•
Muchos tratados incorporaron el nuevo rigor. La rigorización del análisis no resultó
ser el fin de la investigación en los fundamentos de las matemáticas. Además, esa rigoriza­ción
no avanzó sin oposición Al principio, las investigaciones causaron gran conmoción.
Hubieron muchas controversias. El descubrimiento de que las funciones continuas no tienen
necesariamente derivadas 16, que las funciones discontinuas puedan integrarse y otras cues­tiones
que mostraban anarquías, alertaron acerca de que la restricción impuesta de la dife­renciabilidad
no acabaría resolviendo toda la problemática de la teoría funcional (cuyo des­arrollo
continuaría en el siglo XX). Aquellas funciones extrañas serían entonces considera­das
casos patológicos, sólo destructoras del análisis clásico del siglo XVIII. En realidad, el
asunto que produjo la mayor controversia fue la prohibición, principalmente por Abe! y
Cauchy, de las series divergentes. Abe! ataca con rudeza las extravagancias que se aprecian
en algunas partes de la ciencia, en especial los enunciados donde comparecen series infini­tas.
"Las series infinitas son una invención del demonio y es una vergüenza basar en ellas
una demostración cualquiera. Usándolas, se puede establecer cualquier conclusión que a
13 Extrait d'une lettre a Hansteen (Dresde, 29 mars 1826) - (Abel Oeuvres 11, 9, pp. 263-265).
" Algunos párrafos que anotamos han sido extractados del capítulo 40 de la obra de M. Kline 111, 8.
" La primera investigación importante y rigurosa de la convergencia fue hecha por Gauss en un artículo de 1812
donde estudió la serie hipergeométrica F(a, ~. x. x).
16 Hermite decía en una carta a Stieltjes, "me aparto con miedo y horror de esta lamentable plaga de funciones que
no tienen derivadas".
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uno le plazca y por eso se han producido tantas falacias y paradojas .......... Con la excepción
de las series geométricas, no existe en todas las matemáticas casi ninguna serie infinita cuya
suma sea determinada rigurosamente; en otras palabras, las cosas más importantes en mate-máticas
son aquéllas que tienen menor fundamentación ............ Yo he hallado ...... El teo-rema
de Taylor, fundamento de las matemáticas superiores, está también mal establecido.
Yo no he encontrado más que una sola demostración rigurosa: la de Cauchy en su Résum
des le\:ons sur le Calcul Infinitesimal" (Abel Oeuvres 11, 9, p. 48).
Abe! contribuyó de manera decisiva al establecimiento de los fundamentos de las
matemáticas superiores y dio precisión a la teoría de la convergencia de las series infinitas.
Absorto en los problemas de las series divergentes, en un notable trabajo "Sobre las series
binómicas", testimonia su sagacidad, penetración y agudeza crítica. En el mismo también
arremete contra la falta de rigor con la que se opera mediante series infinitas, como si se tra­tara
de expresiones finitas, al usar al mismo tiempo series divergentes para calcular valores
numéricos, procedimiento con el cual "se puede demostrar todo lo que se quiera, lo imposi­ble
como también lo posible" (Abel Oeuvres 11, 9, p. 49). Contiene dos teoremas notables.
Puede intuirse que la obra de Cauchy inspiró a Abe!. Algunos criterios de convergencia lle­van
hoy el nombre de Abel. En el artículo sobre la serie 1+ (m/l !) x +[(m.(m-l)/!2]x2
+ ....... (fil. y x complejos ) se extrañó de que nadie se ocupara antes de su convergencia. De
igual manera, Abe! advirtió y corrigió (1826) el error de Cauchy del falso teorema de su aná­lisis
algebraico, en el que se establece que una serie convergente de funciones continuas en
la región de convergencia, representa ella misma una función continua. Es claro que Cauchy
aún no tiene la idea del concepto de convergencia uniforme17• Abel, así como Cauchy, nunca
dejaron de ser conscientes de que la exclusión de las series divergentes conllevaba, pese a
que su lógica fuese confusa, la eliminación de algo útil. Tanto uno como el otro, no se aven­turaron
a desterrar del todo a las series divergentes al ostracismo(Kline 8,p.1285)'8•
La condena de Cauchy (y de Abel) en su defensa de una matemática rigurosa, fue
aceptada por matemáticos franceses, pero no por ingleses y alemanes. Algunos matemáticos
alemanes y la escuela de Cambridge, defendieron el uso de las series divergentes (Augusto
de Morgan llegó a decir "incluso el enemigo más acérrimo de esas series, hace uso de ellas
en privado'', y Oliver Heaviside ironizó al decir "esta serie es divergente, por tanto algo
podemos hacer con ella" ). El reconocimiento de las series divergentes tuvo, no obstante,
que aguardar a una nueva teoría de series infinitas. Verdaderamente, los matemáticos hasta
finales del siglo XIX no llegaron a darse cuenta de que la definición de convergencia dada
por Cauchy, no podía ser ya considerada como una necesidad impuesta por algún poder
sobrehumano (Kline, 8, 11, p. 1448).
Como dijimos antes, en 1827 Abel regresó a Oslo. Holmboe había sido contratado
como profesor de la Universidad noruega. Holmboe no quería el puesto, pensando en que se
ofreciera a Abel. Pero no tuvo elección, ya que la Universidad de Oslo no podía aguardar y
lo daría, en caso contrario, a otro. Esto significó la imposibilidad de que Abe! ocupara un
17 Abel Oeuvres, I, pp. 219-250 ( 1826). En el artículo dio el ejemplo sen x + (sen 2x I 2) + (sen 3x I 3) + .... , la
cual es discontinua cuando x =(2n+ l)n y n entero, aún cuando sus términos sean continuos. Tuvo la idea de con­vergencia
uniforme, pero sin aislar la misma a las series. El concepto de convergencia uniforme fue introducido en
1848 por J. Stokes y L. Seigel.
" En la introducción de su Cours d' Analyse dice Cauchy: " He sido forzado a admitir diversas proposiciones que
parecen algo deplorables, por ejemplo, que una serie divergente no puede sumarse ".A pesar de esta conclusión,
Cauchy continuó usando series divergentes, especialmente en un estudio sobre ondas acuáticas". Decidió investi­gar
por qué las series divergentes resultaban útiles (Kline, 8, p. 1285).
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trabajo apropiado regular en la enseñanza superior de matemáticos.
En 1828, Hansteen recibió una subvención para investigar el magnetismo terrestre en
Siberia y se nombró entonces a Abe! para que lo sustituyera en su puesto docente en la
Universidad y también en la Academia Militar.
Esto mejoró algo su precaria situación económica. Pero Abe! continuaba entregado
plenamente a su investigación matemática, si bien su salud se iba deteriorando cada día.
Como antes señalamos, las vacaciones veraniegas de 1828 las pasó con su novia en
Froland y volvería a viajar de nuevo a esta ciudad, para celebrar la Navidad de ese año.
A mediados de enero de 1829, Abe! empeoró notablemente. Supo que no viviría mucho tiem­po,
a causa de una hemorragia que no fue posible detener. Con anterioridad ya había escri­to
a su amigo Keilhau, quien se sentía profundamente obligado a Abe!, implorándole que
asistiera a su madre de cualquier manera que pudiera; y además de aquel requerimiento,
al visitarle le aconsejó que entablara una relación seria con Cristina ( a quien Keilhau no
conocía), ensalzándole sus virtudes (de ello resultó que algún tiempo después, Keilhau y
Cristina se casaron). O. Ore (10) describe así los últimos días de Abe! en Froland en el
hogar de la familia inglesa en que Cristina era institutriz " .. la debilidad y la creciente tos
hicieron que sólo pudiese estar fuera de la cama unos pocos minutos. Ocasionalmente
intentaba trabajar en su matemática, pero ya no podía escribir. A veces revivió el pasado,
hablando de su pobreza y de la bondad de Fru Hansteen ........... Padeció su peor agonía
durante la noche del 5 de abril. En la madrugada llegó a sentirse más tranquilo, y durante
la mañana, a las once en punto del 6 de abril, exhaló su último suspiro". Tenía 26 años y
ocho meses.
Dos días después de su muerte, llegó una carta de Augusto Crelle, en la que anun­ciaba.
que la Universidad de Berlín Je había nombrado profesor de matemáticas. Gauss,
reparando dignamente su ligereza que antes comentamos, había solicitado también en unión
de Humboldt, una cátedra para Abe!. Legendre, Poisson y Laplace, habían escrito asimismo
al rey de Suecia para que Abe! ingresara en la Academia de Estocolmo.
En 1830 y según ya mencionamos, la Academia de París otorgó a Abe!, junto con
Jacobi, el Gran Premio de la misma por su sobresaliente trabajo.
La vida de Abe! es un triste, más bien terrible ejemplo, del drama que representa en
numerosos casos, la íntima conexión de la pobreza y la tragedia. Su corta vida y su trágica
muerte ha dado lugar a varios mitos sobre su persona. "Algunos han caracterizado a Abe!
como el Mozart de la ciencia"(Europ.Math.Scienc.,núm. 451, p.10)
Un monumento fue erigido por los amigos de Abe! en su tumba.
Entre otros muchos honores que le han sido conferidos al joven sabio noruego, figuran:
Un cráter lunar lleva el nombre de "cráter Abe!"; una calle del distrito duodécimo de
París se denomina "rue Abe!"; una estatua realizada por el escultor Gustav Vigeland en 1908
se encuentra en el Royal Park en Oslo.
"Junto a Henrik Ibsen y Edvard Munch, Abe! es uno de los iconos nacionales de
Noruega" (Europ.Math.Scienc., Sept. 2002, núm. 451, p.7).
Para finalizar estos apuntes biográficos, nos parece apropiado acotar lo siguiente:
"Apartado de los centros matemáticos de primera fila de la Europa de comienzos del siglo
XIX, el joven noruego Abe!, totalmente autodidacta, se abrió camino hacia las cuestiones
capitales de la investigación matemática del momento. Únicamente le fueron concedidos
unos pocos años de creatividad matemática; pero sus resultados incorporan a Niels Henrik
Abe! a Jos más notables matemáticos de la Tierra" (Wussing 14, p. 454).
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
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14. H. Wussing and W. Arnold.Biographien bedentender Mathematiker, Berlín (1983).
(Prensas Universitarias de Zaragoza, Univ. de Zaragoza (1989).
** Las reproducciones fotográficas que se adjuntan a esta biografía son copias de otras que figuran en Wussing, 14.
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