El conjunto de Mandelbrot

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XIV (Núms. 1-2), 169-204 (2002)
EL CONJUNTO DE MANDELBROT
Nácere Hayek (Universidad de La Laguna. Spain)
Abstrae!: ln this work a concise account on the denominated "Mandelbrot set" which reflects the close
correlation between chaos and fractal geometry, is presented. For in better insight, sorne generalities on
the fractal and dynamical systems theories are previously exposed.
Resumen: En este trabajo se presenta un conciso estudio sobre el llamado "conjunto de Mandelbrot", el
cual refleja la profunda correlación entre el caos y la geometría fractal. Para un mejor entendimiento, se
anteponen algunas generalidades sobre las teorías de fractales y de sistemas dinámicos.
Introducción.
Uno de los problemas fundamentales de la c1enc1a es el de intentar revelar el orden
oculto en el mundo complejo de las cosas. La tarea es ciertamente complicada, ya que la
complejidad emana estrictamente de leyes complejas; y al propio tiempo, los mismos
conceptos arduos de orden y desorden involucran unos difíciles interrogantes de índole
epistemológica y filosófica, que han dado lugar en las últimas décadas a un enmarañado
vocabulario de expresiones, como caos determinista 1• orden caótico. medios
aleatorios. atractor extraifo, etc., consecuencia sin duda del fracaso de los científicos, al
no haber logrado nunca acuerdo alguno para establecer una distinción neta entre un
medio "desordenado" y un medio "ordenado". No obstante, los recientes avances de la
investigación científica, han aportado elementos importantes de reflexión. La aparición
de orden y regularidad en algunas formas geométricas aparentemente caóticas, la
existencia de ciertos sistemas dinámicos simples que pueden comportarse de fom1a
imprevisible y aleatoria, así como la de que algunos fenómenos de la naturaleza, como
los torbellinos por ejemplo, posean estructuras situadas a medio camino entre el orden y
el desorden, han venido jugando últimamente un decisivo papel para la comprensión
1 La dificultad de definir el término caos llegó a ser tan dificil, que tuvo que tratarse en un Congreso
lnternacional celebrado en la Real Sociedad Científica de Londres en l 986. Se propuso la siguiente
definición: "Caos es el comportamiento estocástico que ocurre en un sistema determinista". La aparición
simultánea de las palabras estocástico y determinista, dio lugar, no obstante a la paradójica expresión de
caos determinista que, en opinión del matemático René Thom (Premio Fields, l 958, equivalente a Nobel
en Matemáticas) constituye un atentado a la teoría del conocimiento. Razonaba así: El comportamiento
detenninista está gobernado por leyes exactas e inamovibles. El comportamiento estocástico es el
opuesto: sin ley e irregular. Por tanto, el caos es "el comportamiento sin ley gobernado completamente
por la ley"
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el desorden, han venido jugando últimamente un decisivo papel para la comprensión
de la complejidad en la naturaleza 2. Por una parte, se produjo el advenimiento de una
nueva geometría distinta de la clásica euclídea, la geometría " fractal", para buscar orden
aunque esencialmente, para que irrumpiera una zona de investigación dedicada a
desentrañar un concepto, el de caos. Puede parecer sorprendente que hoy se hable de
ciencias del caos, pero la realidad deriva del hecho de que no se trata de un contexto
único, sino el de representar un área multidisciplinar que combina dinámica no lineal,
termodinámica, teoría de información y geometría fractal; más concisamente, una teoría
del caos engloba corrientemente la dinámica de ciertos sistemas no lineales complejos y
los fractales. Desde el actual ángulo científico, el caos posee unas reglas extrañas que se
acoplan a notables fenómenos, entre ellos, tormentas y catástrofes, los orígenes de la
vida, episodios neurológicos o las palpitaciones del corazón humano, poniendo en
evidencia que el viejo paradigma del determinismo y sus leyes inmutables, resulta ya
insuficiente, si queremos comprender - y quizás resolver - la diversidad de enigmas y
complejidades de la vida real.
El caos y la geometría fractal han llegado a cambiar nuestra clásica y ya anticuada
interpretación del mundo, si bien muchos de los actuales conocimientos en sus
respectivos campos, hayan sido posible con el advenimiento de los modernos
computadores. Numerosos problemas de la naturaleza se ha visto que están entrelazados
con el azar y la casualidad, promoviendo que las leyes deterministas de la física
coexistan con las leyes de la probabilidad, para asumir en consecuencia, que el orden
puede engendrar su propio tipo de caos. Durante la pasada década de 1970, caos y
fractales no simulaban estar relacionados; más tarde, se apreció que dinámicamente sí lo
estaban, en el sentido de que ambos se aferraban a la estructura de la irregularidad.
Algunos científicos (entre ellos, l. Stewart (loe. cit.)) han destacado que la clave de la
conexión radica en la intuición geométrica, argumentando que en el caos la geometría
queda subordinada a la dinámica, mientras que en los fractales domina la geometría.
Puede asegurarse que la geometría fractal resulta idónea para describir la forma del caos
y permite analizar la estructura irregular del mundo natural.
Véase l. Stewart. "¿Dios j uega a los dados'l", Crítica, Barcelona ( 1991), p. 2 19. Esta obra es
recomendable para el lector científico interesado en el proceso matemático de aproximación al caos.
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Una investigación sobre la estructura de los fractales llevada a cabo en el área de una
dinámica de funciones en el plano complejo sometida a iteración, permitió captar la
profunda correlación entre el caos y la geometría de aquéllos. La conexión se refleja
claramente en una figura matemática descubierta en 1980 por Benoit Mandelbrot
(investigador del Instituto Thomas Watson de I.B.M), la ya conocida como conjunto de
Mandelbrot, del que nos vamos a ocupar en este trabajo. Para que se destaque con
mayor claridad la presencia de fractales en los sistemas dinámicos, y en especial para
una mejor asimilación del citado conjunto, se antepone una breve ilustración de
generalidades sobre estas dos últimas teorías.
l. La geometría fractal y los sistemas dinámicos.
1.1 La geometría fractal.
Los orígenes de la geometría fractal se remontan a finales del siglo XIX y principios del
XX, período en que algunos matemáticos expusieron ciertas configuraciones o
conjuntos geométricos que mostraban propiedades un tanto paradójicas. No
obsesionados por el rigor perfecto, buen número de ellos entendieron que la falta de
rigor de la mayoría de restricciones de ese tipo, debían solo interpretarse como un
ejercicio intelectual, ya que la naturaleza no presentaba esas complicaciones. Al
contrario de los que hablaban de curvas sin tangente (de funciones sin derivada, ... ), la
lógica de estos matemáticos llegó a mantenerse más cerca de la realidad que las
representaciones prácticas empleadas por los fisicos.
Ciertamente, aquella especie de aberraciones, pretendían poner en evidencia las
limitaciones del análisis clásico: una desagradable "galería de monstruos", en opinión
del gran matemático Henri Poincaré. Ahora bien, desde que Mandelbrot acuñara con el
término fractal (del adjetivo latino fractus, que significa interrumpido, irregular),
ciertos objetos geométricos de estructura irregular que, según constató, se presentaban
en muchos comportamientos y formas de la naturaleza, aquellas configuraciones se
acomodan hoy en día a una geometría distinta de la euclídea, la ya denominada
geometría de los fractales o geometría fractal. El concepto de fractal se utilizó a
partir de entonces para conocer con más detalle la problemática del caos. En la primera
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obra fundamental de Mandelbrot, se lee 3 "Las nubes no son esferas, las montañas no
son conos ni pirámides, ni el relámpago o el rayo viajan en línea recta. La complejidad
de los modelos o formas de la naturaleza difieren sustancialmente en especie, no
meramente gradual, de la de los modelos de la geometría euclídea ordinaria. Para
describir aquellas formas, hemos creado y desarrollado una nueva geometría, la
geometría de las formas fractales". Y tomando una línea costera (la de la costa de
Inglaterra) como buen ejemplo de estructura fractal reflejaba, entre otras cosas, que "los
mapas de las líneas costeras, dibujados en diferentes escalas, muestran todos una
distribución similar de bahías y promontorios. Cada bahía tiene sus propias bahías y
promontorios más pequeños, que a su vez también tienen otros semejantes, y así
sucesivamente".
Desde su aparición, la geometría fractal se ha revelado de notable importancia para
escudriñar el problema de la complejidad. Por varias razones. En primer lugar, la
presencia de numerosas configuraciones naturales irregulares que requerían unas
dimensiones más generales que las de la geometría euclídea, hizo indispensable
conducir a sentar bases y sentido a una zona desconcertante de la matemática de la que
formaban parte las anteriores formas geométricas de índole patológica. Estas formas
raras aparecieron al irse perfeccionando el concepto intuitivo de curva como trayectoria
de un punto que se mueve de manera continua y que prevaleció hasta mediados del siglo
XIX, siendo desde entonces considerada como gráfica de una función. Como ejemplos
ilustrativos se tienen las siguientes configuraciones básicas, principales precursoras de
aquella geometría fractal: el conjunto de Cantor (1872) (conjunto de puntos obtenido a
partir de un intervalo finito eliminando casi todo lo que hay en el), la curva de Peano
(1890) (curva que pasa por todos los puntos de un cuadrado), y la curva de Koch (1904)
(curva de !Ongitud infinita que contiene un área finita).
Para dar una imagen del conjunto de Cantor, se toma un segmento de longitud 1 y se
divide en tres partes iguales. Se elimina su parte central, y con cada una de las dos
partes restantes se procede del mismo modo, esto es, dividiendo cada una en tres partes
3 Benoit Mandelbrot, -"The fractal geometry ofNature", San Francisco, W.H. Freeman (1975).
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iguales y se sigue el proceso anterior infinitas veces. Al final, lo que queda es un
conjunto no numerable de puntos, en ocasiones llamado "polvo" de Cantor 4 (fig. 1).
Existen varios modos de construir la curva de Peano. Los primeros tres pasos de la
construcción expuesta (fig. 2) debida al matemático David Hilbert ( 1862-1943) son: Un
cuadrado se divide en otros cuatro iguales, y se unen de la forma indicada sus cuatro
puntos centrales. A continuación, se reconsidera el mismo cuadrado primitivo,
dividiéndolo en 16 cuadrados y uniendo del modo dibujado todos los centros de los
mismos. En los pasos subsiguientes, el cuadrado se divide en 64, 256, 1024 y 4096
cuadrados iguales. El proceso se prosigue de la misma manera, similar y sucesivamente.
La curva límite de tales poligonales "llena"el cuadrado, llegándose así a cubrir su área
entera. Obsérvese que la línea trazada no se atraviesa a sí misma en ningún momento.
En consecuencia, lo que mostró Peano es que, moviendo un punto (de dimensión cero)
puede llegarse a cubrir un plano entero, mediante una línea que jamás intersecta consigo
misma. En otros términos: La curva de Peano permite definir todos los puntos de un
cuadrado bidimensional , utilizando como única variable, una distancia.
4 Podría pensarse que al acabar el proceso, no quedaría nada del segmento original. Sin embargo, los
puntos 113 y 2/3, por ejemplo, se escapan de ser eliminados y lo mismo acontece con los 119, 2/9 7/9 y
8/9; igualmente permanecen todos los extremos de los segmentos que se vayan eliminando, sucediendo lo
mismo con otros muchos puntos que luego se producen. La longitud total de los intervalos eliminados es
1, que es la longitud del intervalo original de partida; es decir, la longitud del conjunto de Cantor es cero.
Así, más que un intervalo, se trata de "polvo", lo que justifica la razón de su denominación.
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fig. J
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Helge von Koch halló una curva usualmente llamada copo de nieve, a causa de su
semejanza con los cristales de hielo. Existen dos versiones: una es abierta (fig. 3) y la
otra, cerrada (fig. 4). En la configuración abierta se parte de un segmento de recta y,
como en el caso de Cantor, se divide en tres iguales. Se excluye el tercio central,
erigiendo un ángulo con lados de igual longitud al segmento excluído, procediéndose
así indefinidamente. En la versión cerrada, se parte de un triángulo equilátero, y en el
tercio central de cada uno de sus tres lados, se construye otro triángulo con lados iguales
a un tercio, obteniendo de esa manera, un polígono regular estrellado o estrella de
David. Seguidamente, se hace lo mismo con cada uno de sus 12 lados, y así
indefinidamente. El copo de nieve es continuo, pero no tiene tangente en ninguno de sus
puntos (ya en 1872, Weierstrass había mostrado la gráfica de una función sin
discontinuidades y que no poseía tangente en ningún punto).
Otros fractales célebres son el triángulo de Sierpinski (1916) y la esponja de Menger
(1926).
Otra de las razones fundamentales que incentivaron el desarrollo de la geometría fractal
fue la investigación del concepto de dimensión. Ciertamente, los ejemplos anteriores
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constituyeron urr poderoso estímulo, porque, entre otros, exhibían una discordancia
absoluta entre su verdadero tamaño y su configuración espacial. Al evidenciarse la
necesidad de establecer una medida adecuada, amén del estudio de su forma y
propiedades geométricas, se generó la revitalización del área matemática conocida
como teoría geométrica de la medida5. Como se dijo con anterioridad, aquellas
configuraciones irregulares requerían unas dimensiones más generales que las de la
geometría euclídea, ya que sus extrañas formas no podían ser descritas en términos de
dimensiones enteras: la noción de longitud en la nueva geometría carecía de significado
para cuantificar de qué modo llenaba el espacio un fractal. Si bien Poincaré había ya
generalizado la dimensión de un espacio a espacios topológicos cualesquiera, en la
teoría fractal se exigía algo más potente que la topología, ante el hecho de que, por citar
un ejemplo, la curva de Koch fuese topológicamente lo mismo que una circunferencia.
Esto promovió que se ponderara además la estructura métrica (el concepto de distancia).
En rigor matemático, la dimensión no es otra cosa que la dimensión de Hausdorff­Besicovitch
(Mathematische Arralen, vol. 79, 157-179, 1919), la cual permite asignar
medidas a conjuntos para los que la de Lebesgue resulta inadecuada. Ahora bien, entre
las muchas maneras de definir la dimensión en un espacio, en la geometría fractal lo que
procede es usar (como ya se ha dicho) una definición más amplia que para las
variedades y que contemple las propiedades métricas. Una definición aceptable es la
que sigue6: Consideremos un segmento de recta y otro de la misma longitud situado a
continuación del anterior de forma que coincidan sus extremos. Lo que resulta,
obviamente, es que se ha duplicado la medida del segmento primitivo. Si se hace lo
mismo con un cuadrado de papel, se necesitan cuatro copias iguales para conseguir
duplicar su medida. Con un cubo, se requerirían otros ocho iguales para que la medida
llegara a ser el doble. En un espacio de dimensión cuatro, se precisarían dieciseis dados
iguales; esto es, para conseguir un hipercubo de dimensión d cuya medida sea el doble
de la del otro, se necesitarán c = 2ct iguales a éste. Por consiguiente, la dimensión se
5 La invención de curvas que (como la de Peano) llenan un espacio (space-filling) fue el mayor evento en
el desarrollo del concepto de dimensión. La curva compuesta de una sola línea quebrada (cuya
construcción se indicó antes) pasa por cualquier punto del plano. Su dimensión fractal es 2.
6 Véase, por ejemplo, A.B. <;ambel, Applied Chaos Theory, Academic Press (U.K.), 1993.
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obtiene al despejar Ja d, es decir: d = Jog c / Jog 2 . A título de ejemplo, si se desea
encontrar un objeto cuya medida se duplique colocando juntos tres iguales, su
dimensión sería d = log 3 / log 2 = 1,4427 ... En general, al multiplicar por un factor ª
las medidas de un hipercubo de dimensión Q. se requerirán c = ad copias iguales, o
sea: d = log c I log a . Esta definición de dimensión resulta ser además muy
conveniente, porque refleja las propiedades de escala de la curva (la cual, según
veremos acto seguido, resalta para los fractales su muy importante característica de
semejanza).
La precedente definición de dimensión adoptada para los fractales, representa un buen
medio de ponderar cualidades carentes de una definición clara, tales como el grado de
escabrosidad, discontinuidad o irregularidad de un objeto. Puede comprobarse que
aquéllos tienen dimensión fraccionaria (no entera), y por eso se les llamó fractales. Ello
conlleva que así como una línea euclídea llena exactamente un espacio unidimensional,
una línea fractal, en cambio, se desparrama en un espacio bidimensional, por lo que una
línea fractal - la de una costa, por ejemplo - posee una dimensión comprendida entre
uno y dos; y análogamente, la de una superficie fractal - una montaña, verbigracia - es
intermedia entre dos y tres. En efecto, es simple constatar que la dimensión del conjunto
de Cantor es 0,6. Y también que para un lado de la curva del copo de nieve, al estar
constituido por cuatro copias del mismo, de tal modo que cada una de ellas tiene un
tercio de la longitud total, sigue que, a=3, c=4, y así:
d = log 4/log 3 = 1,2618 ...
Otra razón importante que presentan los fractales para el estudio de la complejidad es su
notable tendencia a ser autosemejantes, es decir, la de poseer la misma estructura en
todas las escalas, lo que significa que se pueden reducir o ampliar, sin cambiar su forma
básica. Esta propiedad ha conducido a que pueda recibir el nombre de fractal, todo
conjunto que mantenga su estructura al variar la escala de observación, esto es, que sea
autosemejante o dicho en otras palabras: cuando las partes, por pequeñas que éstas sean,
se asemejan al todo. La autosemejanza es una propiedad universalmente extendida en la
naturaleza (en fenómenos como las variaciones climatológicas, flujos turbulentos, ... ) y
la presencia de ese tipo de orden en los fenómenos sugiere la existencia de leyes
matemáticas que los gobiernen. Los fractales, que constituyen en realidad una nueva
variedad de figuras geométricas, resultan adecuados para realizar modelos de esos
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fenómenos u objetos de la naturaleza, en los que se observa irregularidad en una amplia
variedad de escalas. Por lo que se refiere al caso citado de las líneas costeras, la curva
del copo de nieve sirve de buen ejemplo: aquí, bahías y promontorios vienen
representados por una sucesión de triángulos equiláteros. Puesto que, por otra parte, la
dimensión fractal de un objeto resulta ser, por definición, la medida de su grado de
irregularidad, considerada a todas las escalas, para objetos de la geometría euclídea
(líneas, curvas) la dimensión del objeto y su dimensión fractal representan la misma
cosa.
Una última razón está relacionada con los sistemas dinámicos (de los que nos ocupamos
seguidamente), ya que los mismos pueden ser representados por series temporales y sus
dimensiones son importantes para caracterizarlos.
1.2 Sistemas dinámicos.
Al igual que la geometría fractal, la teoría del caos juega un inapreciable papel en la
comprensión de la complejidad en la naturaleza. Por una parte, el descubrimiento del
caos determinista evidenció la notable trascendencia de los sistemas dinámicos en el
mundo real; y por otra, el denodado intento de físicos y matemáticos, arrostrado desde
hacía mucho tiempo, de cuantificar el desorden 7 , se tradujo en los últimos veinticinco
años en el fuerte impulso de una especialidad de las ciencias experimentales, la
"dinámica no lineal", concentrada como área seleccionada de investigación en la
fenomenología del caos.
Como es sabido, los sistemas dinámicos representan una rama de la matemática que
estudia procesos en movimiento. La expresión sistema dinámico designa todo proceso
de evolución temporal en el cual el futuro depende de un modo determinista del pasado;
En la filosofia científica de nuestro tiempo han influido sobremanera los conceptos de orden y
desorden. Ciertas propiedades específicas de los medios desordenados han despertado hoy más que nunca
un interés inusitado, y en algunas áreas como en la mecánica estadística, el desorden estructural ha creado
importantes perspectivas y progresos que se han extendido a otros campos. Una primera relación entre los
conceptos de desorden y entropía fue la noción utilizada para esta última y mas concretamente en la de
entropía estadística, que introdujo Boltzmann hacia 1875, para un sistema aislado al alcanzar cierto estado
de equilibrio termodinámico al cabo de un tiempo. Una nueva relación entre desorden y falta de
información surgiría mas tarde en los años 1950, cuando E.C. Shannon creó su famosa teoría matemática
de la información, en la que para cuantificar el concepto de información (o mejor dicho, de falta de
información) adoptó una fórmula de definición formalmente idéntica a la de la entropía estadística. Todo
ello promovió precisamente un revuelo de investigaciones sobre los "sistemas dinámicos y caos".
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un sistema que se rija por las leyes de la mecánica clásica (por ejemplo, el sistema solar)
puéde considerarse como un sistema dinámico: dadas las posiciones y velocidades de
todos los planetas en un instante dado, las leyes de la mecánica permiten calcular sus
posiciones y velocidades en todo instante ulterior. La actual teoría de sistemas
dinámicos trata del estudio de sistemas que evolucionan en el tiempo y que
matemáticamente se describen mediante ecuaciones diferenciales (expresando éstas el
carácter determinístico de dicha evolución). Un sistema dinámico no lineal es un
sistema cuyas ecuaciones de evolución en el tiempo son no lineales (esto es, las
variables dinámicas que describen las propiedades del sistema - posición, velocidad, ...
- aparecen en las ecuaciones en forma no lineal) . En general, los sistemas dinámicos no
lineales vienen gobernados por una serie de reglas sencillas que dan pie a fenómenos
complicados y otros efectos similares.
Desde el punto de vista matemático, se denomina sistema dinámico al par formado por
un conjunto no vacío X y una aplicación f: X ~ X. Cualquiera de los procesos que
estudia un sistema dinámico se puede simular por medio de la función f calculada
sucesivamente con un procedimiento de iteración. A partir de un Xn en un momento t del
tiempo, la iteración permite calcular otro Xn+ 1
las que el tiempo no interviene explícitamente.
en el tiempo t+ .1 t, mediante reglas en
Dado un punto x E X, se denomina órbita de..x..., al conjunto de valores:
{f'1(x)}11""~0 = {x, f{x), f 2 (x), ......... }e X, donde fº =fo fo ...... o fes la composición
de f consigo mismo n veces. Ejemplo sencillo: si X=(O,oo), f{x)= ...Jx, el sistema
dinámico es el (X,t) y todas las órbitas puede comprobarse que convergen al punto 1.
Designemos por Xo , x1 , x2 , .. .. , x0 , la sucesión de valores de la órbita generados a
partir de un punto Xo .Un modo elemental de distinguir las diferentes órbitas es contar el
número de puntos de la órbita. Si x11 = Xo para algún n, es decir, si f'' (Xo) = Xo i (Xo) 7:-
0 para todo i (1 s; i< n), entonces el punto Xo es periódico de período n> l. Ese mínimo
entero n se llama también orden del punto periódico; además, la órbita de x0 , es una
órbita periódica (de período n), la cual es denominada a menudo, un ciclo de orden n ó
simplemente un ciclo.
Generalmente, si el período de Xo E X es uno, o sea f{Xo) = Xo, entonces Xo se llama un
punto füo, mas bien que un punto periódico; a saber, los puntos fijos se pueden
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interpretar como puntos periódicos de período 1. Todo punto periódico xo de período n
es un punto fijo de t" ; y n es asimismo el período de su órbita.
Ejemplo de ciclo periódico: Si iteramos la función f(x)= 1/x con un valor inicial
diferente de O, se puede comprobar que existen dos puntos fijos para x0 = ± 1; sin
embargo, para el resto de valores se tiene f(xo )=f(x0)= O, o sea, f(f) tiene un ciclo de
período 2 para cualquier valor real distinto de O, l y -1.
Un aspecto importante en el estudio de los sistemas dinámicos es su estabilidad. Grosso
modo, se dice que una órbita de un sistema dinámico es estable, si tiene la propiedad de
que al cambiar ligeramente el valor inicial, la órbita se comporta de manera similar. En
el ejemplo anterior, todos los valores R -r de la función f(x) = ...Jx son estables, ya que
todos tienden al punto fijo 1. De forma intuitiva, un punto periódico Xo es atractivo, si la
órbita de los puntos próximos a él converge a la órbita de x0 ; y es repulsivo, si hay
puntos infinitamente próximos a él, cuya órbita se aleja de Xo .La órbita periódica
Xo, f(Xo), .... ,t" (:xo)= Xo, que toma el valor inicial Xo con el que se comenzó la iteración,
constituye, como dijimos, una órbita cíclica ó ciclo, al cual se le denomina atractivo, si
todos los puntos suficientemente próximos tienen órbitas que tienden al ciclo.
Discutamos brevemente la dinámica en el entorno de un punto periódico.
Para caracterizar la estabilidad de un punto periódico de periodo n se tiene que recurrir a
las derivadas. Sea (X,d) un espacio métrico, (X,f) un sistema dinámico diferenciable y
Xo un punto periódico de período n. Al número /.... = (f'),(Xo) donde ' representa el
símbolo de derivada, se le llama autovalor de Xo . El punto periódico Xo (y también su
órbita) se llama
superatractivo, si /....=O; atractivo si 0< i/J < l; indiferente, si 1 t...I
1 t...I > 1.
l y repulsivo , s1
Maticemos que un punto Xo es eventualmente periódico si, para algún n, t"(xo) es un
punto periódico. El Xo es preperiódico, si es eventualmente periódico pero no periódico
Los puntos fijos de un sistema dinámico simbolizan estados de equilibrio del sistema.
Ahora bien, no todos los estados de equilibrio tienen la misma naturaleza. Los puntos
fijos atractivos presentan una forma conocida como asintóticamente estable. La forma
de equilibrio opuesta es el equilibrio inestable, que es la que presentan los puntos fijos
repulsivos. Una forma intermedia es técnicamente conocida como equilibrio estable.
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Los sistemas dinámicos más sencillos son aquellos que se asientan en un equilibrio
estable, es decir, todas las órbitas convergen hacia un único punto o acaban en un estado
estacionario denominado atractor. En términos groseros, puede decirse que un atractor
es aquello a lo que tiende el comportamiento de un sistema, aquello hacia lo que es
atraído. En opinión del matemático Stephen Smale (discípulo de V. Arnold, uno de los
principales impulsores del desarrollo de la dinámica moderna), la propiedad más
importante de un sistema dinámico es su comportamiento a largo plazo, porque la
evolución a largo plazo selecciona generalmente las notables características del sistema.
Hasta principios de los años 1960, los atractores clásicos más conocidos eran el punto,
el círculo y el toro. Otro destacado atractor es el ciclo límite, que corresponde a una
oscilación periódica del sistema en el que las órbitas convergen en un bucle cerrado. A
esta clase de atractores son "atraídas" todas las trayectorias generadas en un llamado
"espacio de fases", espacio matemático que se utiliza para describir el comportamiento
dinámico que subyace a todo fenómeno dependiente del tiempo y del cual un proceso
básico es el comportamiento periódico producido por un mecanismo denominado
oscilador. Existe otro tipo de atractor que los topólogos bautizaron como atractor
extraño8 , denominándose extraño porque, a diferencia de los atractores clásicos,
mantiene su estructura a todas las escalas; por ello, es ya casi usual, definir un atractor
extraño como uno que es fractal y hasta se utiliza para aquél la expresión "atractor
fractal" 9.
8 En algunos sistemas dinámicos se acusa la presencia de un tipo de situaciones en el que queda inmerso
ese nuevo concepto de atractor extraño, que permite hablar de comportamiento caótico en los sistemas
atrapados por esos atractores. En 1963, el meteorólogo Edward N. Lorenz del M.I.T. (USA) descubrió el
caso de un sistema con pocos grados de libertad que tenía un comportamiento extrañamente complejo, ya
que se manifestaba de forma errática que se desentendía de toda caracterización basada en cualquiera de
los tipos de atractores clásicos precedentes. En la construcción de aproximaciones sucesivas de soluciones
del sistema de Lorenz, los experimentos numéricos sugirieron la existencia de un conjunto de atracción de
dimensión algo mayor que dos, que tenía una complicada estructura topológica. El atractor observado,
llamado hoy atractor de Lorenz, fue el primer ejemplo de atractor caótico o extraño. Lorenz comprendió
enseguida que sus ecuaciones no se comportaban del modo que esperaría un matemático de mentalidad
tradicional. El ya llamado efecto mariposa motiva, por ejemplo, la imposibilidad de pronosticar el tiempo
atmosférico a largo plazo.
9 La diferencia geométrica entre figuras uniformes como círculos y esferas - es decir, variedades
diferenciales - y figuras rugosas como los fractales, es como la existente entre los atractores familiares
clásicos y los atractores extraños del caos (1. Stewart, loe. cit., p.224).Las trayectorias de un atractor
extraño cubren una cierta región del espacio de fases sin intersectarse nunca y formando una especie de
hojas que aparecen más y más apretadas a medida que se contemplan a escalas cada vez más pequeñas.
Esto significa que nos encontramos en presencia de un fractal, es decir, de un objeto que ofrece una
estructuración del mismo tipo cualquiera que sea la escala en la que se contempla.
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Los sistemas dinámicos complejos se escriben en la forma (C,f). El sistema (C,f) es
cuadrático si fe (z ) = z 2 + c , siendo c E C un número complejo fijo y arbitrario
(parámetro complejo).
Para muchos de estos sistemas tan simples constituidos por una función cuadrática
compleja en lugar de real, cuando se aplica el procedimiento de iteración, se descubre
una gran diversidad de comportamientos diferentes según se modifiquen sus valores,
generando la dinámica del sistema con el uso del ordenador, unas imágenes de paisajes
variados de impresionante belleza, amén de su gran interés matemático.
La base que impulsó el desarrollo de los sistemas dinámicos complejos f: C -+ C
sometidos a iteración, y en especial los cuadráticos, se debe al trabajo realizado en la
década de los 1920 por los franceses Gaston Julia (1893-1978) y Pierre Fatou (1878-
1929), quienes se enfrascaron en el problema siguiente:
Dado un sistema cuadrático fe (z) = z2+ c ( c complejo constante),¿ qué le sucede a un
punto z del plano complejo cuando se le aplica reiteradamente esa transformación? En
términos dinámicos, ¿qué le ocurre a la órbita de los puntos z de la sucesión de números
complejos:
f c(z)= z2 +c , fe (z)= (z2 +c)2+c , f c(z)= [(z2 +c)2+ c]2+c , ........... ......... (* ) ?
Con frecuencia, la sucesión de puntos generados por ~ se designa por Zo , z1 , z2 , Z3 ,
.... . . , Zn , ..... Como primer elemento de la sucesión suele tomarse el propio origen Zo
=O+Oi, es decir, Zo =O.
El problema que estamos considerando para la transformación fc(z), o sea de la
aplicación z -+ z2 +c en el plano complejo, se puede enfocar buscando conjuntos de
puntos z tales que los iterados de los z se mantengan siempre a distancia finita, o bien
conjuntos de puntos z tales que los iterados de los z se alejen indefinidamente. Si se fija
~ y se hace variar Zo en el campo de los números complejos, se obtienen según los
valores que se asignen a ~. conjuntos de z del primero o segundo tipo reseñados, cada
uno de los cuales constituye una región del plano complejo. La frontera entre ambos se
llama el conjunto de Julia de la aplicación considerada z -+ z 2 + c. Este conjunto se
encuentra situado en medio de las dos regiones relativas a aquellos dos tipos de puntos.
La órbita de los puntos de cada una de las regiones, se va alejando del conjunto de Julia,
hacia dentro o hacia fuera, respectivamente. El conjunto de los puntos iniciales Zo para
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fig.S
los que esto sucede se denomina cuenca de atracción del correspondiente punto. El
conjunto de Julia es un fractal que, para ciertos valores de la constante compleja c,
puede ser complicado, y a veces curioso. Por ejemplo, para el número complejo c cuya
parte real es 0,12256 ... y la parte imaginaria 0,744861 i (el cual representa una raíz de
la ecuación c 3 + 2 c 2 + 1 = O), el conjunto de Julia es el fractal conocido como conejo
de Douady (fig. 5). Este conjunto tiene un punto superatractivo de período 3 en el
origen; de hecho, la elección de c ha sido hecha en base a que el origen (que es el punto
crítico) es un punto periódico de período 3.
Si se quiere analizar el sistema fe (z) = z2 +c considerado, haciendo uso del ordenador,
téngase presente que ~ y -º representan números complejos; en consecuencia, aquél no
puede trabajar con estas variables, es decir, habrá que transformarlas en variables reales.
Como z = x + i y , c = c, + c2 i, la función se expresa en la siguiente forma.
fe (z)=z2 +c=(x +i y)2 + (c1 +c2 i) (x, y, c1 ,c2 reales),cuyas partes real e imaginaria son
Re fc (z) = x2 -y2 +c1
lm fe (z) = 2xy + C2
El comportamiento de la sucesión z n+I = z 11 2 + c (e= constante compleja) depende de
los siguientes datos: el parámetro -º y el punto inicial "Zo. Pero resulta sorprendente que
los conjuntos de Julia, que se definen fijando c y haciendo variar Zo en el campo de los
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números complejos, sean muy dependientes de la elección del parámetro c, porque al
variar c se obtiene una increíble variedad de aquéllos conjuntos. Si se toma Zo lejos de
O, la sucesión tiende muy rápidamente hacia infinito. Según los valores de c , Julia y
Fatou observaron que entre las muchas posibilidades que existen, una de las más
sencillas es la de que Zn desaparezca tendiendo hacia infinito. Para saber si la variable z
tiende hacia infinito al ser iterada o, por el contrario, tiende a estabilizarse, ya sea en
una órbita periódica o bien en un punto fijo, se procede en la práctica, de la siguiente
manera: si el valor absoluto de z supera un cierto valor relativamente pequeño, por
ejemplo 1 O, la función crece inexorablemente hacia infinito, con lo que basta comprobar
que para alguna iteración se cumpla la expresión x 2 + y 2 > 1 OO. De esta forma, se
podrá ver qué valores tienden a infinito y cuáles no. Mediante un programa adecuado y
una vez trazado el mapa o cuadricula de pixels (pequeños puntos) de la pantalla en el
plano complejo, cada uno de aquellos valores se distingue dibujando el pixel que tiene
asignado ese valor. El punto oo es un punto fijo superatractivo. Para un complejo c dado,
el conjunto de Julia Je de un sistema polinomial, como en particular, el considerado,
representa la frontera del conjunto de puntos que escapan al infinito tras un número
suficientemente grande de iteraciones. La órbita de un punto del conjunto de Julia no
escapa al infinito, aunque arbitrariamente próximo a éste existen puntos cuyas órbitas sí
lo hacen. Ahora bien, existen valores de z para los cuales la sucesión ~ Zn ~ no se aleja
jamás, sino que permanece acotada, y como ya ha sido observado en ciertos casos, para
algunos valores de c la órbita de los puntos de un entorno del origen es convergente a un
determinado punto del plano complejo que resulta ser un punto fijo de la aplicación fe
(z) = z2 +c , mientras que la órbita de los puntos más alejados del origen se dispersa
hacia infinito.
La determinación del conjunto de Julia asociado a ciertos sistemas dinámicos
complejos, requiere de técnicas modernas para la obtención de buenas gráficas en el
ordenador. Puesto que, como dijimos antes, un conjunto de Julia depende sobremanera
de la elección del parámetro c, al variar c se obtiene un número enorme de conjuntos de
esa naturaleza y hasta que aparecieron a principios de los 1980 los ordenadores de alta
velocidad, nadie se había apercibido de la increíble diversidad de formas que son
capaces de adoptar los conjuntos de Julia. Dada la infinidad existente de estos
conjuntos, la generación de figuras conlleva muchas horas de tiempo, lo que ocasiona
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generalmente que haya de utilizarse otros algoritmos más rápidos como, entre otros, el
de la iteración inversa, que consiste en aplicar iteradamente la transformación inversa
del sistema considerado, es decir, fe -I (z) = ± -V z-c El resultado es una función que al
ser iterada tiene como atractor el conjunto de Julia dado por el parámetro c. Sin
embargo, los conjuntos de Julia realizados con esta técnica, presentan el inconveniente
que impide alcanzar a dibujar algunos puntos del contorno, salvo con un número
bastante grande de iteraciones.
Después de analizar numerosos conjuntos de Julia que se obtienen al variar el parámetro
c, se puede apreciar una notable diferencia cualitativa que sugiere una clasificación en
cuanto a su forma o estructura: algunos aparecen como una sola pieza unida, mientras
que otros simulan estar constituidos por infinitos fragmentos que figuran estar
completamente dispersos en una especie de polvo fractal (representando cualquiera de
éstos un conjunto de Cantor totalmente inconexo). Ese hecho condujo a establecer la
división que sigue. Para cualquier valor del parámetro complejo f, el conjunto de Julia
asociado es de uno de estos dos tipos:
Conexo, es decir, constituido por una sola pieza; o bien,
Completamente inconexo, es decir, formado por una nube de puntos dispersos con la
misma estructura que los conjuntos de Cantor.
Como antes se dijo, el punto oo es un punto fijo superatractivo de la aplicación z-n2 +c
Además, la frontera de su cuenca de atracción forma un conjunto de Julia Je de fe (z)
que depende de c, esto es: Je = frontera de iz l Iím f"e(z) ~oor (para n~oo)
Cualquier ciclo atractivo posee en su dominio de atracción al menos un punto crítico
(debe aclararse que, por definición, un valor v es un valor crítico de una aplicación
racional R si la ecuación R(z)= v tiene una solución cuya multiplicidad es mayor que l.
Tal solución se denomina un punto crítico). La fe tiene sólo dos puntos críticos z=O y
z=oo, que son independientes de c. Puesto que el punto oo es ya un punto fijo atractivo,
sólo queda el cero como punto crítico interesante. Por eso conviene tener en cuenta que,
para estudiar la dinámica de la transformación fe (z), es indispensable examinar la órbita
de O antes que la de cualquier otro valor inicial correspondiente a fe (z), ya que según se
ha comprobado, si se conoce lo que sucede con esa órbita, se predice en gran parte el
comportamiento de las demás. En concreto, Julia y Fatou mostraron en su trabajo la
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importancia de la órbita de z=O 10, demostrando mediante un famoso teorema que para
decidir la conexión o inconexión del conjunto Je de Julia asociado al sistema dinámico
cuadrático (C, fe (z)= z 2+c) para cualquier c, era suficiente estudiar la órbita de z=O, es
decir, bastaba saber que fe" (O) ~ oo para asegurar que la órbita diverge a infinito (lo
que implica que el conjunto de Julia Je fuera completamente inconexo), o bien no (en
cuyo caso, el conjunto Je seria conexo). Resumiendo, comoquiera que ese límite
depende únicamente de c , la conexión de Je queda a priori asegurada eligiendo ~ en el
siguiente conjunto M de valores de ese parámetro en el plano complejo:
M =1 c 1 Je es conexo ( = i c 1 lim fe" (O) no tiende a oo ( (para n~oo) (**)
2. El conjunto de Mandelbrot.
Durante años los algoritmos que se relacionaban con comportamientos caóticos no
llamaban la atención y sólo eran dignos de mención en discretos apartes o en citas a pie
de página. Una investigación más profunda en el contexto de los sistemas dinámicos
constató que éstos podían presentar comportamientos, a veces estables, a veces caóticos.
Se pudo observar también que un sistema dinámico tan simple como una función
cuadrática, exhibe una gran variedad de comportamientos diferentes e imprevisibles,
según se modificaran los valores de sus parámetros. Ahora bien, al aplicar algoritmos
adecuados a algunos de estos últimos sistemas en situaciones en que aparece un
comportamiento caótico, se descubrió que el funcionamiento interno del caos creaba
imágenes características de ciertos objetos dotados de una especie de orden, que ponían
en evidencia una estrecha relación con el mismo. Esos objetos, que luego se revelarían
como de gran importancia, eran los llamados fractales. De hecho, hoy en día muchos de
los fractales generados por ordenador, pueden originarse de esa manera. En general, los
fractales se infieren de la iteración de transformaciones (que pueden ser muy simples)
del plano complejo sobre sí mismo. Por ejemplo, si como antes se dijo, c representa un
número complejo y se itera la función c ~ c2 + c , se obtienen consecutivamente los
10 Este O representa un punto "crítico", porque procede del hecho de que la derivada sólo se anula en el
origen, y además se trata del único punto del plano complejo que satisface fe (z)= z2 +c = c. A la órbita de
O se la llama también "órbita crítica" del mismo.
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puntos c, c2 +c, (c2 +c)2 +c, ... (fácilmente llevado a cabo por ordenadores); con lo que
se dedμjo que los puntos c se pueden clasificar en función de si sus iterados se
mantienen siempre a distancia finita, o bien se alejan indefinidamente. Los primeros
dieron origen al famoso conjunto M dado por (**) , denominado fractal de
Mandelbrot. Actualmente se explora toda una categoría de fractales creados por
procesos conocidos por algoritmos de tiempo de escape 11 ; y precisamente, el fractal
más conocido de todos, el conjunto mencionado de Mandelbrot, es un ejemplo de este
tipo. Otros fractales se obtienen también, curiosamente, de procesos al azar. Además, al
igual que el conjunto de Mandelbrot se genera mediante una aplicación de la forma z
~ z 2+c (z y c números complejos), los conjuntos de Julia se producen de manera
similar, fijando los valores de c. Eso dio lugar a que otros algoritmos puedan ser
fácilmente adaptados para calcular también conjuntos de Mandelbrot y de Julia por la
aplicación general z ~z º+ c De ese modo, se han engendrado igualmente figuras
intrincadas y fascinantes.
Como ya se vio en el parágrafo anterior, mediante la iteración de z ~ z2 +c se origina
una colección infinita de conjuntos de Julia, uno para cada valor de c, que puede
organizarse en dos clases: una, para los conjuntos de Julia conexos, y la otra para
aquellos que sean completamente inconexos (fig. 6). En el año 1979, Benoit Mandelbrot
tuvo la idea de realizar un grabado de esa dicotomía estructural dentro del conjunto de
todos los parámetros c que varían en el plano complejo e siguiendo la pauta de lo que
dedujeron en su trabajo Julia y Fatou, y que les había conducido directamente al
conjunto(**) definido por la expresión M = ~ c E e 1 Je es conexo r.
Para ello, Mandelbrot coloreó cada punto (pixel de una pantalla de ordenador) del plano
de valores de c, en negro o en blanco, según que el conjunto asociado de Julia fuese
conexo (de una sola pieza) o nó, respectivamente (fig. 7). El resultado que obtuvo fue el
de una imagen, en negro y blanco, que dada la tecnología gráfica de aquel tiempo, no
mostraba efecto impresionante alguno (fig. 8). Sin embargo, hay que añadir que el
experimento que hizo Mandelbrot produjo la revelación de una joya de la matemática
11 El término "tiempo de escape" proviene del hecho de que los algoritmos, en el caso del conjunto de
Mandelbrot, funcionan al determinar cuando una órbita escapa de un círculo. Para el método de Newton
(que veremos luego), el término escape posee otro significado.
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fig, 6 Un 001tj1uttodc Julia co~o) otro inconexo
fig,. 7 Escnc:1a del cxpc:nmi:nl() de Mandclbrot ( 1979)
fig. 8 Una pnmcra rcpresatlllc:ión del OOOJWltO M sc:glin el gr~ wi$irnil de Mandclbro1
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fig. 9 !!! conjunto de fandclbrot
cuyo inmenso valor sería apreciado después, ya que inició la revitalización de un campo
de aquella que había estado aletargado durante más de 60 años. Con el uso de un
impresor moderno de láser y de un algoritmo matemático más seguro, se lograría luego
una imagen de M como la de la fig. 9 12, que es ya conocida como conjunto de
Mandelbrot, y en la que luego nos detendremos. Para muchos este conjunto es
justamente el arquetipo ejemplar de la existencia de orden en los comportamientos
caóticos, y simboliza en la actualidad un emblema por excelencia de la especialidad del
caos. Según Mandelbrot, "entre el caos incontrolado y el orden excesivo de Euclides, se
halla el orden fractal". Debido a su complejidad, multiplicidad y profusión de detalles,
el conjunto de Mandelbrot ha sido descrito por varios científicos como el objeto
matemático más complejo, y posiblemente el más bello, jamás visto en el campo de las
matemáticas.
12 Véase H.O. Peitgen,H. Júrgens and D. Saupe, "Chaos and Fractals", Springer-Verlag (1992), p.844.
Esta obra, de donde se han resumido algunos párrafos y reproducido buena parte de figuras, ofrece un
impresionante y completo estudio del conjunto de Mandelbrot.
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Al igual que en los dominios de la matemática y de la física, números como los 7t y e, se
encuentran una y otra vez en numerosos contextos distintos, el conjunto de Mandelbrot
aparece con mucha frecuencia enmarcado dentro de clases de fractales completamente
diferentes; hasta el punto de que quizás debido a su enorme belleza, se suele acompañar
de una ilustración del mismo con una ampliación detallada de sucesivas imágenes de
partes de las que se compone. Una primera ojeada global a la figura representativa de
este conjunto de Mandelbrot plasma un fractal con contornos imprecisos que tienen
longitud infinita y los motivos que exhibe parecen repetirse recurrentemente a diferentes
escalas. Como indicaremos más adelante, M. Shishikura probó, por otra parte, que el
conjunto tiene realmente estructura fractal.
Desde la perspectiva de los conjuntos de Julia, el conjunto de Mandelbrot puede
también ser considerado como un catálogo infinito de fractales de una misma familia
cuyos elementos son los conjuntos de Julia, es decir, cada punto de aquel conjunto
representa una especie de indicador que apunta a un conjunto de Julia específico; tal y
como si M simbolizara un voluminoso tratado de innumerables páginas, que exhibiera
cada una de ellas un conjunto de Julia para un valor determinado de c. Es de interés
puntualizar que, si bien los conjuntos de Julia son (en su mayoría) fractales, el conjunto
de Mandelbrot, aún cuando posee una estructura fractal, no es conjunto de Julia.
Además, a raíz de la publicación de A. Douady y J.H. Hubbard 13, quedó constancia de
que el conjunto de Mandelbrot era conexo, tras haberse probado que cualquier contorno
que rodeara completamente al mismo, generaba dominios acotados por curvas similares
a círculos (curvas circundantes que son, de hecho, equipotenciales del M).
Por otra parte, existen serias dudas sobre si M es autosemejante. Una buena parte de
conjuntos de Julia lo son, pero aún no está probado que el conjunto M de Mandelbrot
posea esta propiedad. La mayoría de los fractales tampoco son autosemejantes, como
sucede, por ejemplo y entre otros, con el antes mencionado e interesante fractal, conejo
de Douady. En cuanto al conjunto M, la razón básica de que no sea autosemejante, es la
de que este conjunto contiene un número infinito de pequeñas copias de sí mismo, de tal
forma que si se aplica una ampliación suficiente ó zoom sobre la frontera del conjunto,
se pueden apreciar diminutas copias de M que, no obstante, no son exactamente iguales
13 "Iteration des polynomes quadratiques complexes", CRAS, París 294 (1982), 123-126.
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al conjunto total, ni existen tampoco dos copias iguales. Y comoquiera que, según
acabamos de decir, el conjunto M es conexo, se infiere que hasta los minúsculos
Mandelbrot, que parecen encontrarse como en suspensión en el plano, tienen que estar
necesariamente ligados al conjunto primitivo (con un aspecto que varía según se
contemple) mediante una red de finísimos filamentos. Esto corrobora lo afirmado.
Desde una perspectiva matemática, ya vimos que el conjunto de Mandelbrot viene
definido por la expresión (**) obtenida al fijar z=O y haciendo variar el parámetro c,
esto es, la de aquella que empezando por z=O, representa el conjunto de valores de c
para el cual la sucesión (*) permanece acotada; o dicho de otro modo, el conjunto de
valores a los que corresponde una órbita crítica que no tiende a oo al ser iterados por
f(z).
Es importante ahora subrayar que el conjunto de Mandelbrot al que hemos denotado por
M, es un conjunto situado en el plano c y nó en el plano z, que es donde residen los
conjuntos de Julia. Nótese asimismo que, mientras los conjuntos de Julia forman parte
del plano de valores iniciales Zo cuyas órbitas residen en el mismo plano complejo, al
encontrarse el conjunto de Mandelbrot en el plano de valores del parámetro c, no resulta
conveniente hacer ninguna gráfica de cualquier órbita de la iteración de z ~ z2 +c en
este plano.
En otro orden de cosas, de la definición anterior se deduce obviamente que, si se toma
un valor de c cualquiera de M y lo iteramos con la función f c(z)= z2 +c, el conjunto de
Julia resultante será conexo, mientras que si el valor de c se escoge exterior a M, el
conjunto de Julia se disuelve en una nube de puntos o polvo fractal (que se llama polvo
de Fatou). Dada la trascendencia de la órbita de O para determinar en el sistema de
conjuntos de Julia la naturaleza de cada uno de ellos, resulta de sumo interés indagar
qué valores de c tienen órbitas críticas que escapan al infinito y cuáles nó.
Una razón para que sea distinguida la órbita de O es el siguiente hecho importante de la
dinámica compleja: Una órbita Zo , fe (:zo), ... , fc"(:zo)= Zo , que retorne a sí misma
después de n iteraciones es, como ya se ha dicho, un ciclo, el cual es atractivo, si todos
los puntos suficientemente próximos poseen órbitas que tienden al ciclo. Puesto que la
órbita de O tiende a algún ciclo atractivo de fe , sigue que fc admite a lo sumo un ciclo
atractivo. Ahora bien, si fe (z) tiene un ciclo atractivo, la órbita del punto crítico O debe
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converger a aquel ciclo 14• Además, un valor de c para el cual fe tiene un ciclo atractivo
debe pertenecer a M, puesto que la órbita de O está acotada. De hecho, los valores de c
para los cuales fe tiene un ciclo atractivo comprende todo el interior visible del conjunto
de Mandelbrot. Una de las principales conjeturas existentes que conciernen a M es que
su interior consiste solamente de valores de c para los cuales existe un ciclo atractivo.
Está claro que el resultado (**) proporciona un método práctico para representar,
mediante ordenador, el conjunto de Mandelbrot, pero se deja una cuestión pendiente:
Fijado un c, al elegir un punto z del plano, ¿ cómo se puede decidir si una órbita diverge
a infinito? Este interrogante puede ser resuelto acudiendo a la teoría de iteraciones, con
la cual cabe concluir que "la órbita de (C, fe (z)=z2 +c) diverge a infinito, si y solo si
algún punto de la órbita tiene módulo igual o mayor que 2". Es decir , para saber si un
punto pertenece al conjunto de Mandelbrot se decide así: si todas las posiciones de la
órbita a la que pertenece dicho punto se encuentran fuera del círculo de radio 2, el punto
no se halla en el conjunto de Mandelbrot; si todas las posiciones de la órbita están
dentro del círculo de radio 2, el punto pertenece al conjunto de Mandelbrot. Así, el
círculo de radio 2 es el más pequeño de los círculos con centro en el origen que
contienen a todo el conjunto de Mandelbrot. En consecuencia, un aserto cuantitativo
para saber si la órbita diverge a infinito sería la siguiente: Si para algún n, el módulo lznl
(o sea, la distancia del punto z n al origen) es mayor que lcl+2, para cualquier valor de c.
Contemplemos ahora más despacio la figura 9. Comparada con la clase de conjuntos de
Julia, la del conjunto de Mandelbrot, es de naturaleza absolutamente distinta, ya que
según se observa en la misma, el conjunto de Mandelbrot, por una parte, posee un
interior sólido sin estructura alguna, y por la otra, se encuentra limitado por una
compleja frontera compuesta de una multitud de formas diferentes. Para numerosos
autores, la primera impresión de la costa del conjunto M (al igual que la del primer
mapa que reflejó Mandelbrot) se asemeja a una distribución de bahías y promontorios,
donde cada bahía tiene sus propias bahías y promontorios más pequeños, que a su vez
también tienen otros y así sucesivamente. Lo que más sobresale es que este conjunto de
14 Véanse P. Blanchard, "Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere", Bull.Amer.Math.Soc. 2
(1984), 85-141; R.L. Devaney, "The Mandelbrot set", Am. Math. Month. 106 (4), 289-302 (1999).
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fi~. 10
Mandelbrot, definido por (**), exhibe principalmente una figura de cardioide básica,
alrededor de la cual cuelgan numerosos adornos que simulan ser "bulbos", donde cada
uno de ellos es una especie de gran disco que se encuentra directamente unido a la
cardioide, junto con otro gran número de discos más pequeños, amén de una notable
"antena" 15• Para asimilar aún mejor el conjunto, observemos de modo más minucioso la
forma de M en las figuras 10 y 11; la primera de ellas nos ofrece una selección de
imágenes alrededor de la frontera y la segunda una ampliación de partes del conjunto.
Cualquiera de las zonas que se han recuadrado, presenta un panorama de naturaleza
peculiar que contiene diminutos conjuntos que van evolucionando con unas
características de aproximación cada vez más cercanas al de partida. Al extender con un
15 Junto a la descripción del conjunto dada por R. Devaney (loe. cit.) se añade: "Cada disco grande
corresponde a un conjunto de valores de e, para los cuales f admite un ciclo atractivo de período q, y un
número p/q de rotación; es decir, el ciclo atrayente de f tiende a rotar alrededor de un punto fijo central,
que gira un promedio de p/q revoluciones en cada iteración. Por ello, este bulbo es designado p/q . Cada
uno de los valores del conjunto correspondiente a este bulbo tiene esencialmente el mismo
comportamiento dinámico.
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fig. 11
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zoom mayor, la contemplación visual en la figura 12, se pueden apreciar figuras como
conejos, caballitos de mar, protuberancias, cactus, espirales, serpientes, formas de
insectos y un sinfín de índole multivariada. Así, cada sucesivo nivel de detalle nos
revela novedosas estructuras.
Centrémonos en la región central gruesa de M, un conjunto semejante a un -corazón (en
el que sobresale una cardioide), y que intersecta al eje real en el intervalo con los
extremos -0.75 y 0.25 La parte exterior de esta región muestra una especie de bulbos o
discos alineados en tomo a su frontera. El significado de estos "discos" caracteriza a sus
conjuntos de Julia asociados correspondientes a valores de c. Debe tenerse presente que
en la aplicación fe : z ~ z2 + c, el conjunto de Julia para c=O se compone de un círculo
con un punto fijo atractivo en el origen y que este punto fijo es superatractivo, por lo
que el punto crítico coincide con el punto fijo. Precisamente, los valores de c sobre la
recta entre -0.75 y 0.25 corresponden a aquellos parámetros reales para los cuales uno
de los puntos fijos de la aplicación fe es un atractor. En consecuencia, no es nada
sorprendente que la región gruesa central represente el conjunto de todos los parámetros
c (complejos) para los que uno de los dos puntos fijos de dicha aplicación es atractivo 16.
En efecto, existe una interesante parte o subconjunto M' dado por M' = ~ c EC : fe
tiene un ciclo atractivo finito ~. Puesto que cada atractor absorbe un punto crítico, existe
solamente uno de tales ciclos para cada valor de c. Resulta entonces que M' es un
conjunto abierto con infinitas componentes conexas, caracterizándose cada componente
por el período del correspondiente ciclo. De este modo, la cardioide gruesa o principal
incluye, como se acaba de decir, todos los c para los cuales el polinomio fe tiene un
punto fijo estable atractivo. Se puede seguidamente intuir que esta cardioide
previsiblemente contiene un disco con centro en el punto - 1 y de radio 0.25, tangente a
la cardioide. Como antes fue esbozado, se distingue además, una multitud de
componentes, similares a discos (tangentes a la cardioide), de tamaño más pequeño, a
cada una de cuyas componentes van unidos otros muchos discos análogos aún más
pequeños, situación que se repite con otra infinidad de discos todavía más diminutos y
así sucesivamente. Más explícitamente, existen 3 componentes donde fe posee un ciclo
atractivo de orden 3, dos de ellas unidas a la cardioide (las más gruesas salvo para el
16 Véase "Chaos and fractals", loe. cit. (cap. 11, p. 855 y sigs. ), para mas detalles.
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disco de período 2) y una sobre el eje real con una cúspide en - 1.75. Hay 6
componentes de período 4, 15 de período 5, 27 de período 6, 63 de período 7, 120 de
período 8, 252 de período 9, y así sucesivamente. Por otra parte, es de interés señalar
que, si partiendo de la cardioide principal, nos encaminamos sobre el eje horizontal al
disco de la izquierda, y luego a la componente de éste aún más a la izquierda, y se sigue
el proceso, se tiende a un punto situado en -1.401..., denominado punto de
Feigenbaum17• Conviene detenernos aquí para advertir, que el procedimiento
anteriormente descrito para la obtención del conjunto de Mandelbrot - proceso de
Mandelbrot - resulta ser matemáticamente equivalente a otro importante proceso que
sigue el comportamiento de un sistema dinámico discreto obtenido al iterar una
aplicación logística convencional (proceso de Verhulst), ejemplificada por una ley
formulada por P.F. Verhulst (en 1845) concerniente a la limitación del crecimiento
poblacional 18• Al iterarse la aplicación se recorre un camino dependiente de los valores
del parámetro que contiene, hasta que llega un momento en que surge de súbito una
cascada de duplicaciones (del periodo) que se hace tan rápida que aquella aplicación se
vuelve caótica. En este escenario que tiene lugar sobre el eje real, se produce una
duplicación del período, conocido como la bifurcación de Feigenbaum, que viene
generalmente ilustrada con una configuración en forma de árbol, en que el factor de
escala de sus ramas tiende a un valor límite (a partir del cual el árbol ya no crece)
17 Para muchos problemas fisicos el caos se puede describir mediante lo que J.P. Eckmann (1981)
denomina "escenarios". En el campo de la dinámica de fluidos, para el caso del fenómeno de la
turbulencia (cúmulo de desorden a cualquier escala, de torbellinos pequeños en el seno de otros mayores,
que aparece en la atmósfera y en los mares), existen tres escenarios importantes: el de Ruelle-Takens, el
de Pomeau-Manneville y el de Feigenbaum. Este último escenario es atribuido al fisico Mitchell
Feigenbaum de la Universidad de Rockefeller, que ha llegado a ser básico para la comprensión de los
fenómenos no lineales. El escenario precedente para el conjunto de Mandelbrot (correspondiente a la
aplicación x ~ x2 + c) constituye un proceso que conduce a la constante de Feigenbaum.
18 Se trata de la llamada "ecuación logística" (una ecuación importante en la historia de comportamientos
caóticos de muchos sistemas biológicos), que revela claramente hasta qué punto un valor infinitamente
pequeño del parámetro que contiene, puede modificar drásticamente un sistema inestable, y que pese a su
aparente sencillez (una sola variable y un sólo parámetro) es un buen ejemplo para evidenciar la
complejidad de algunos sistemas dinámicos. Esta ecuación debida a Verhulst, escrita en forma discreta es:
X..+1 = C. x0 ( 1-x. ) donde C es un parámetro que representa la constante ecológica que determina el
crecimiento de cada población(generalmente entre O y 4) y la variable x pertenece al intervalo [0,1] (el
porcentaje de población óptima se alcanza cuando x= 1; x > 1 significa un aumento excesivo, x < 1 una
recesión, y x=O la extinción del planeta).
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representado por el número 8 = 4,669 ... (o constante de Feigenbaum), número que
señala el umbral donde finaliza el régimen de duplicación del período 19•
Debe tenerse en cuenta que el segmento comprendido entre este punto de Feigenbaum y
el punto - 2.0 , está contenido en el conjunto de Mandelbrot; y que además sobre este
segmento existe una pequeña componente análoga a una cardioide, con centro en -
1.754877666 ... , la cual se encuentra rodeada de la aludida familia de pequeños discos
satélites similares a los de la cardioide principal, con una cadena de componentes unidos
a la misma mediante unos filamentos. De hecho, estos filamentos son los que
corroboran que M es conexo. El punto c = -2 es el punto final de la antena de M y
corresponde al valor r = 3 en el proceso de V erhulst.
La relación entre el conjunto de Mandelbrot y el escenario de duplicación del período
que tiene lugar si c varía como parámetro real, viene ilustrada en la figura 13. La
conexión muestra claramente como el paso del proceso de Mandelbrot al plano
complejo da un cuadro mucho más completo que en el del caso real.
en cada una de las componentes antenores con c1c10 atractivo de orden a1stmto, existe
un valor de c (denominado centro) tal que O es periódico para fe ; y cada uno de ellos
tiene sobre su frontera un punto (llamado raíz), el cual representa el punto que se
encuentra unido a una componente mayor o bien una cúspide a la cual llega un
filamento. Junto a los centros y raíces de las componentes, que corresponden a la
existencia de un ciclo atractivo, existen otros puntos notables en el conjunto de
Mandelbrot, a los que se denomina puntos de Misuriewicz. Estos son los asociados a
valores de c para los cuales O es no periódico, sino preperiódico bajo fe Se trata
usualmente de puntos de ramificación o extremos de filamentos.
¿Qué le sucede al conjunto de Julia cuando c es un punto de M donde brota un disco
que se encuentra conectado al cuerpo principal? Por ejemplo, el punto c=0.481762-
0.531657 i, corresponde al punto que germina un ciclo estable de orden 5. En el punto
de ramificación, esto da lugar al llamado caso parabólico. Además de estos puntos de
19 Véase N. Hayek, "El número de Feigenbaum", Rev.Acad.Canar.Cienc. XII (Núm. 1-2), 199-209
(2000), para más detalles. Por su gran aparición en numerosos procesos unidimensionales, ese valor
representa de hecho una característica universal del escenario de duplicación del período, como el número
7t lo es para la relación de la circunferencia al diámetro del círculo La universalidad de o fue descubierta
por Feigenbaum. Para mayor aclaración de "duplicación período", ver apéndice del final de este trabajo.
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fig. 13
r---r---r-,---r---.r-~--r--.--.-...... -.---.---.--..--.... ---, 1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
----10
-02
-0.4
-0.6
-o.a
-1.0
.__....__.___.~.___.___.___.~..___.__.___,,~L--'--'---1.--l-12
-2.4 -2.0 -1.6 -12 -M -02 O 02 0.4 0.6 M
El plano e complejo es ~lrado Ql el l'CCl.Uldro 2.4 < Re e < 0.3, -1 .2 < lm e< 1.2
-2.0 -1.0 o.o
La n:lac1ón aure el conj1U1to de MMdclbrot ~ el csccnario de duplicación del
periodo que tiene lugar s1 e va.ría oomo un p:lfámctro real
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germinación de brotes, el conjunto de Mandelbrot posee otras especies de puntos
frontera. A diferencia del caso parabólico, la dinámica de la frontera no es la misma.
Alrededor del punto fijo existe una especie de círculo invariante, un círculo que
contiene al punto fijo llamado disco de Siegel: cuando el punto ha llegado ahí, gira
alrededor de aquel punto fijo sobre su círculo invariante.
El concepto de potencial es interesante para visualizar en tres dimensiones y resulta ser
un instrumento clave en el análisis matemático del conjunto de Mandelbrot.
Generalmente cuando se quiere estudiar un conjunto acotado de números complejos,
una buena vía es la de computar el potencial que crea, y los argumentos externos de los
puntos situados en su frontera. Respecto a estos argumentos, podemos aclarar que los
centros de componentes no .poseen argumentos externos, porque son interiores. La raíz
de cada componente tiene dos argumentos externos que son racionales con denominador
impar; cada punto de Misuriewicz posee uno o varios argumentos externos (uno, si es el
final de un filamento, tres o más, si es un punto de ramificación, que son racionales con
denominador par).
Uno de los principales propósitos del análisis del conjunto de Mandelbrot es el de
entender cuál es la relación existente entre Ja forma del conjunto de Julia que
corresponde a un punto dado c en M con la localización misma de c en M. Para los
conjuntos de Julia, así como para el conjunto M de Mandelbrot, el potencial y los
argumentos externos son fáciles de calcular. El potencial viene dado esencialmente por
el tiempo de escape (escape time) que, para un conjunto J0 de Julia, se define de la
siguiente manera: Habiéndose tomado un radio R grande, por ejemplo, R= lOO, si se
considera un conjunto de Julia 10 , el tiempo de escape de un punto z en el exterior de
Je es el primer n para el cual Zn (definido por z0 = z y Zn+ i = z/ + c) tiene módulo
mayor que R. Para el conjunto M de Mandelbrot, se define el tiempo de escape
utilizando la misma sucesión, pero con Zo =O, de modo que dependa sólo de c. Si N
representa el tiempo de escape, el potencial resulta ser aproximadamente (log R)/ 2N.
Esto es aplicable, tanto para el conjunto de Mandelbrot como para los conjuntos de
Julia.
La computación de argumentos externos revela algunas curiosas particularidades 20. La
20 Véase A. Douady (en la obra de H.O. Peitgen y P. H. Richter, "The beauty of fractals", Springer­Verlag,
Berlín, 1986, pp.161 -1 73), de donde se han recogido estos párrafos.
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mayor parte de los puntos notables de dichos conjuntos, poseen argumentos externos
que son racionales (o sea, fracciones con numerador y denominador enteros).Además,
los racionales con denominador par y los de denominador impar juegan papeles
completamente diferentes. Cada conjunto de Julia viene dado con su dinámica, a saber,
la aplicación fe : z ~ z2 + c que aplica fe sobre sí mismo. Existen puntos que son
periódicos bajo fe, lo que significa que los mismos 'pertenecen a un ciclo { z1, z2, ... ,Zk ~
con fe (z1 )= z2 , fe (z2 )= Z3 , ........ , fe (zk )= z1 . Estos puntos son los llamados
preperiódicos.
La cardioide principal coincide con la región de periodo 3 en el diagrama de
bifurcación. Existen también otras muchas cardioides análogas a éstas últimas, fuera del
eje real, esto es, distribuidas en el mismo plano. La primera de ellas fue descubierta por
Mandelbrot, centrada en - 0.15652 ... + 1.03224 ... i. De hecho, Mandelbrot afirma que
hay un número infinito de ellas. Son tan diminutas que es dificil distinguirlas de
manchas sobre la pantalla del ordenador (excepto por el hecho de que se originan
simétricamente). Todas esas componentes análogas a cardioides están unidas a la
cardioide principal mediante filamentos, cargados de nuevas componentes análogas a
cardioides. Estos filamentos se ramifican siguiendo pautas complejas.
3. Consideraciones diversas.
Los más veteranos entusiastas de los ordenadores, tras haber realizado buen número de
experimentos minuciosos, numéricos y gráficos, aseguran que éstos pueden resultar
engañosos. El matemático Stephen Smale, ha dicho que los resultados basados en estos
experimentos no son totalmente fiables, y llegó a la conclusión de que el conjunto de
Mandelbrot es incomputable en el sentido técnico del término; es decir, "no se puede
establecer con certeza si un determinado punto del plano complejo, reside dentro o fuera
del hirsuto contorno del conjunto". Smale aboga por acudir a una computación
matemática sobre bases más seguras, sugiriendo que hay que ir con cuidado en las
extrapolaciones basadas en resultados de experimentos con ordenador.
En la actualidad, se investigan conjuntos similares al conjunto de Mandelbrot que
residen en cuatro dimensiones.
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Como se advirtió con anterioridad, M. Shishikura demostró que el conjunto de
Mandelbrot es realmente un fractal. Para ello se basó (en 1991) en que la frontera de
dicho conjunto tiene dimensión fractal 2, el máximo valor posible. Este valor es el que
alcanzaría una curva que rellenase el espacio (alguna región del mismo cuya área no
fuese nula), lo que plantea la pregunta de si aquélla frontera no podría ser una curva de
ese tipo. Puesto que curvas fractales diferentes pueden tener la misma dimensión fractal,
el valor concreto de la dimensión no implica necesariamente que la curva llene el
espacio; no obstante, este resultado significa que la frontera del conjunto de Mandelbrot
es prácticamente todo lo sinuosa que puede ser una curva plana. Por otra parte, téngase
en cuenta que, desde el punto de vista local, el conjunto de Mandelbrot presenta el
aspecto de un conjunto de Julia a un cierto valor de c. La demostración de Shishikura
consistió fundamentalmente en hallar una sucesión de conjuntos de Julia cuyas
dimensiones fractales se aproximen a 2, cuando el parámetro que los define se aproxima
a la frontera del conjunto de Mandelbrot. Shishikura no define esta sucesión de forma
explícita, sólo demuestra su existencia 21 .
La importancia cte Jos trabajos cte Jul!a y ratou, que 010 ongen a Ja reona ae Jos
sistemas dinámicos complejos a principios del siglo XX, se diluyó cayendo en el. olvido
'
hasta que en las últimas décadas del mismo, el ordenador impulsó a reconsiderarlos. En
particular, de aquellos trabajos surgiría la idea de utilizar el conocido método de
Newton para la computación de ceros de un polinomio algebraico (uno de los más
eficaces procedimientos de determinación de soluciones de las ecuaciones no lineales).
Se recurrió, entre otras, a la más interesante extensión del método introducida por A.
Cayley en 1879 para el cálculo de raíces de polinomios complejos, que se basaba en un
proceso iterativo del mismo, de tal modo que las iteraciones partieran de ciertos
conjuntos de números complejos. Entendiendo que desde el punto de vista numérico el
método es de carácter local, el valor z0 (arbitrario) del que se parte se considera
suficientemente próximo a una raíz ¿; de la ecuación f(s ) = O. Así, z0 representa una
primera aproximación y el método se reduce al sistema dinámico definido por la órbita
Zn = Zn-1 - (f(zn-1 ) /f'(Zn-1 )) , en el que la sucesión de valores z0 , z1 , z2 , ...... , converge a
21 Véase l. Stewart, "De aquí al infinito", Crítica, Barcelona (1998), p.244.
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una de las raíces del polinomio f(z). No obstante, conviene saber que existe un conjunto
de puntos de excepción al que no puede aplicarse el método de Newton. Se trata del
conjunto de Julia de ese sistema dinámico junto al dominio de órbitas atractivas de
periodo mayor que uno, debido a que la existencia de las mismas atraen a las posibles
órbitas descritas por dicho método de Newton y entonces éstas no nos conducirían a las
raíces 22.
La universalidad del conjunto de Mandelbrot, como antes se dijo, se hace patente en
numerosas ocasiones. No sólo se descubre ese conjunto partiendo de aplicaciones
polinómicas cuadráticas. Una diversidad de copias del mismo se encuentran también en
una extensa clase de aplicaciones analíticas de un sólo parámetro.
Haciendo uso del análisis gráfico aparece igualmente en otros contextos, como por
ejemplo, en los procesos de transición de fase en el área de la física (cambios entre
estados de la materia) y en renormalización. L.P. Kadanoff en 1966, consiguió asociar
la transición de fase magnética con la autosemejanza, y en 1952 C.N. Yang y T.D. Lee
extendieron el estudio de las transiciones de fase del campo real al complejo. Esa
investigación dio lugar a un procedimiento de iteración en el plano complejo que
condujo a la simulación de procesos de renormalización. Con adecuadas
programac10nes de este último proceso, se ha obtenido una multiplicidad de bellas
figuras que contienen copias del conjunto de Mandelbrot.
La aplicación de técnicas matemáticas como la inversión, descomposición y proyección,
permite asimismo estudiar imágenes de una amplia variedad de conjuntos fractales. No
sólo la inversión es aplicable al método de Newton. Los conjuntos de Julia y de
Mandelbrot pueden ser invertidos. Muestran formas interesantes además, cuando se
efectúa sobre los mismos una descomposición binaria. La proyección de imágenes sobre
cualquier superficie, especialmente sobre una esfera, produce otras muchas de especial
belleza; en particular, la proyección de copias del conjunto de Mandelbrot sobre una
esfera, da impresiones magníficas tridimensionales.
22 El conjunto de Julia de una función racional f: C ~ C de grado mayor que uno, es la clausura del
conjunto de puntos periódicos repulsivos del sistema dinámico {C,f). En el caso de polinomios cúbicos y
debido a un teorema de Julia, la existencia de una órbita periódica atractiva está ligada a la determinación
del conjunto de valores de c para los cuales la órbita de z = O converge a l.
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Los sistemas de función iterada (IFS) creadas por M.F, Barnsley, consisten en
representaciones matriciales de conjuntos fractales. Se trata de transformaciones que
actúan sobre el plano, capaces de hacer girar, desplazar y cambiar escalas (en X e Y) de
cualquier conjunto del mismo.
Apéndice: Por lo que se refiere a la duplicación del período y como complemento a la Nota pie núm.19,
añadimos: La ecuación logística posee dos puntos fijos, O y 1-1 /C. Cuando el parámetro C del sistema
dinámico asociado a la curva logística supera el valor 3, surgen complicaciones que llegan a producir
resultados catastróficos al aproximarse al valor 4. Más claramente y sin profundizar en el aspecto
matemático, si C atraviesa el valor 3, el punto fijo 1-1/C del sistema, pasa de ser atractivo a repulsivo, y
se duplica creando una órbita de período 2. Esto se mantiene hasta que C = 3,449 ... (=1 +.,,! 6), momento en
que, si se sigue aumentando el valor del parámetro, se vuelve a duplicar en una órbita de período 22 =4, y
así sucesivamente. A este fenómeno se le llama duplicación del período. El fenómeno acaba cuando se
alcanza el valor C= 3,569946 ... (denominado de "entrada al caos") que da lugar al llamado punto de
Feigenbaum, superado el cual se origina el caos (divergencia a infinito).
Addendum
"Existen muchas ironías en la historia de la ciencia. El trabajo de Julia y Fatou que
disuadió al joven Mandelbrot de hacer matemática pura debido a su falta de contenido
geométrico, resurgió luego como una aplicación de los fractales, aclamada por su
excepcional belleza.
Gaston Julia, un estudiante de Poincaré, estudió la iteración de las aplicaciones en el
campo complejo. Hoy diríamos que se dedicó a la ¡dinámica discreta! Pero, en esa
época, imaginar que la iteración de una aplicación tuviese relación con la dinámica era
inaudita: la dinámica era continua y la iteración discreta; en aquellos tiempos , un
matrimonio inconcebible" 23 .
" La geometría fractal se caracteriza por dos elecciones: la elección de problemas en el
seno del caos de la naturaleza, y la elección de herramientas en el seno de las
matemáticas, pues buscar aplicaciones a las matemáticas por la única razón de su
belleza, no ha producido otra cosa que sinsabores"24.
23 Extractado de I. Stewart, 1991, loe. cit., p. 23 7
24 B. Mandelbrot, Tusquets Editores, Barcelona, 1987, p. 18
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CONJUNTO DE MANDELBROT
Figuras reproducidas de la obra citada de H.0. Peitgen y P.H. Richter,"The bcauty of fractals", Springer (1986),
(Map2-p.45; Map 27-p. 78)
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