La distribución de Rathie-(p,q)

              © Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Rev. Acad. Canar. Cienc., XIII (Núms. 1-2-3), 9-22 (2001) (publicado en Julio de 2002)
La Distribución de Rathie - ( p,q)
Meléndez, Norlen ( norlenll@hotmail.com)
Dep. de Matemática
Universidad Yacambú Apartado 352.
Barqto. - Venezuela
Sarabia, José ( jsarabia196@hotmail.com )
Dep. de Matemática
Decanato de Ciencias y Tecnología Apartado 352.
Barqto. - Venezuela
Resumen
En este trabajo generalizamos la función asociada de Rathie e introduci­mos
una v.a X definida con base en esta función asociada de Rathíe genera­lizada.
Se procede así mismo a calcular E(Xm), su función de distribución,
la función generadora de momentos y la distribución que sigue X /Y cuando
ambas son v.a de Rathie generalizadas e independientes.
Palabras claves : variable aleatoria, función de Rathie y Kámpe de Fériet
The Rathie 's Distribution - ( p,q)
In this work we generalize the function associated of Rathie and we in­troduce
an random variable defined with base in this function. We proceed
likewise to calcula.te E(Xm), the distribution function, the generating func-
9
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
tion of moments and the X/Y distribution, for X and Y being random
variable of widespread and independent Rathie.
Introducción
En este trabajo generalizamos los resultados obtenidos por Sarabia, en
[11], para la distribución de Rathie de parámetros - (a, /3; >., μ; v, 'Y). Así en
[11] se define a la variable aleatoria de Rathie de parámetros- (o:, /3; >., μ; v, 'Y)
como aquella v.a de función de densidad:
f ( /3. \ . . ) _ { Ae-ªtttJ 1Q2(>.: μ, v; 7t) para t >O
o:, '"• μ, v, "(, t -
O e.o.e
(1)
Donde o:> O; /3,'Y 2::: O; >.,μ,v > -1 (2) y 1Q2 (>. : μ,v;x) es la función
asociada de Rathie, definida asf :
1 ( >.+1,>.+2 )
iQ2(>.:μ,v;x)=r( l)f( l)'2F3 2 2 ;4x
μ+ v+ >.+1,μ+1,v+l
(3a)
A = r μ + 1 r V+ 1 a (3b) y s =3 Fa -2- , -2- ' + j ( ) ( ) fJ+l ( >. + 1 >. + 2 f3 1 47 ) {3c)
f({:J + 1) S ). + 1 , μ + 1 , V + 1 O:
Sean p, q E N con p 2::: 2 y p < q, a la función :
(
= >.+l >.+2 ) B · pFq -2-' -2-' Ai, .. .,>.,,_2 ;4x
>.+1, μ+l, v+l, /31,. . .,/3q-3
(4)
1
Donde B = ·
r(μ + l)r(v + 1)r(/31) · · · r(/3q- 3) '
2 ~p < 3;
>.,μ,v > -1; >.i, ... ,>.p-2,f:J1, .. .,[:Jq-3 >O (5); la denominaremos
función - ( p,q) asociada generalizada de Rathie o simplemente R*-( p,q ),
la que es una evidente generalización de Q en [10], cuando p = 2 , q = 3
De a.cuerdo a (14) y {15) en [4,p.p. 174 - 175], ( 4) se puede escribir en
términos de la función G de Meijer (Vea [5])
Así, usando la fórmula de duplicación para la función gamma, tenemos
10
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
(
1-.X .X )
G1,,. 4x -- , -- , 1 - .A1, ... , 1 - Ap-2 .
,.,9+1 - 2 2 , 4x
o, -.X, -μ ' -v' 1 - /31, ... ' 1 - /3q-3
(6)
Usando (6) podemos tener una aproximación asintótica para la función
R-( p,q ), la cual es de utilidad en el estudio de la existencia de la moda para
la v.a de Rathie-(p,q).
En efecto de (3), (4) y (16) en [4,p.p. 207 - 209] tenemos:
p-1Qq-1(>.; .Xi, ... , Ap-2 : μ, v; f3i. ... , /3q-3; x)
2>.
..,.., 7r112r(>.1) ... r(.Ap-2) .Kp,q(4x) (7)
3
cuando x -+ oo. Donde f3 = p + q - 1 ; B1 = .X + 2 + .A1 + ... + Ap-2 ;
(3- 1
C1 =).+μ+V+ 3 + f31 + ... + /3q-3; 'Y= -2- + B1 - C1' y
(211' )Cl-11)/2
K p,q (z) = 13112 . exp(f3z1lll).z'Y (8)
Finalmente utilizando el teorema 28 en [7,p.p. 85 - 86] tenemos una
representación integral de la función R*-( p,q), por tener las condiciones
dadas en (5)
Q(\ \ \ f3 R ) =L. roltC"-1)/2(1-t)'"+')/2. A; A¡, .. . , -"p-2 : μ, v; li .. . 'l-'q-3i X lo
-2-' >.i, ... 'Ap-2 · 4 xt dt
>.+2 )
μ + 1 1 V + 1 , /31, · · · , f3q-3 '
(9a)
1
Donde : L = f(μ+l)f(v+l)f({31)···r(f3q-3)B(~,~) (gb)
La variable aleatoria R-( p,q )
Denominamos variable aleatoria R-( p,q) de parámetros- ( >.; >.1, ••• , Ap-2 :
μ, v; f31, ... , (39_ 3 ; a, (3, 'Y) a la v.a cuya función de densidad viene dada por :
11
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
f(A,ñ;A.,fJ,'Y;t) = { Ae-crtt.8p-1Qq-1(A,ñ;'Yt) para t>O (lOa)
O e.o.e
Donde A = ().; A.i. ... , Ap-2 ); O = ( μ, 11; /3i. .. . , (3q_3 ); a > O,
(3, 'Y ?:. O; )., μ, 11 > -1; !31, .. ., flq-3 > O; A.1, . . . , Ap-2 > O;
2 $ p < q (lOb) (En adelante suponemos que (lOb) se cumple y (lOa) lo
abreviaremos por /( t) ). Claramente cuando p = 2, q = 3, (10a) se reduce
a (11) en [11], por lo que (lOa) también constituye una generalización de la
v.a gamma- (a, (3)
Por ser /( t) función de densidad, ya que la integral :
fo00 e-0
• t 11 p-l Qq-1 (A, O; 'Y t) dt
converge para las condiciones (lOb), y por el teorema 14.31 en (1], tenemos
por intercambio de la integral con la serie y propiedades de la función gamma
que:
A _ r(μ + 1)r(11 + l)f([3i) · · · r([3q_3) aP+1 (l1)
- ) ( ). + l , ). + 2 , A.1, ... , Ap-2, f3 + 1 4'Y )
f({J + 1 · p+lFq 2 2 ; -
). + 1 , μ + 1 , 11 + 1 , /3i, ... , f3q-a ª
De acuerdo a (9a) y (9b), tenemos :
A= r(,B + 1) · ( 'Y) P Qr¡-i A.; A.i. ... , Ap-2, ,8 + 1 : μ, 11; ,81, .. ·, f3q-3i 0
(11a)
Relación de la variable aleatoria R*-( p,q) con otras v.a
Ya dijimos que si p = 2, q = 3, 'Y= O entonces (10a) se reduce a
aP+1
f(a,[3;t) = r({J+l)e-ºttP, t>O y O e.o.e
Otra relación viene expresada en el teorema siguiente :
Teorema 1 . Sea X una ti.a cuya distribución condicional con respecto a
una ti. a de Rathie generalizada - ().; >.17 .. ., Ap-2 : μ, 11; /317 ... , ,Bq-3; t;, 8, 'Y)
12
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
es una distribuci6n gamma - (o:, /3), entonces la v.a X es (p + 1, q) - hiper­geométrica.
Demostración:
Sea h(x) la función de densidad de X, y sea g(o:) la función de densidad
de Rathíe generalizada, es decir :
Entonces, para x > O:
h(x) = 1°" f (X 1 O:) g(o:)da
h( x ) --1°" -oP-+Ie - o:i: X fJ Ae -{o a {i · p-1Qq-1().:).¡, ..., ).p-2:μ,.,;fJ1, ..• ,p4_3;')'a)da
0 r(,8+1) .
De acuerdo a (4) e intercambiando la integral con la serie nos queda :
Axfl
h(x) = r(f3+1)r(μ+1)r(v + 1)r(f31) · · · r{/3q-s}
00 L S( >., >.i, ... , >.p- 2, μ, v; f3i. ... , /3q-3i n ).
n=O
(12a)
Donde:
= (-). ;-1 ) n (-). ;-2 ) n ( ).i)n ... ( Ap-2 )n
(>. + 1 )n ( μ + 1 )n (V+ 1 )n ( {j¡)n · .. ( /3q-3 )n n!
(12b)
Luego de (12a), tenemos
h(x) = Ar(f3+8+2) xf1
r(f3 + l)r(μ+ l)r(v + l)f(,81) •• ·f(f39_ 3)"(x+()f1+6+2
p+1Fq ( -2- ' -2- ' >.1, ... '>.p-2, 8 + f3 + 2 . ~
>.+1 >.+2 )
). + 1 7 μ + 1 , V + 1 , {31 , •• • , f3q-a ' X + (
(13)
13
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Para x >O; y h(x) =O para x :5 O. Bajo la condición (5), y donde A
viene dada por (11) o (lla).
Expresando (13) por medio de Q tenemos al usar (4) :
r({J + 8 + 2) e+1 xfl
h(x) = rea+ l)r(o + l)(x + ~)fJ+H2
pQq-1 (A; A1, . . . , Ap- 2, fJ + 8 + 2: Jt, v; f3i. ... , f3q-a; ;-h)
pQ9-1 (A; Ai, ... , Ap-2, 8 + 1 : μ, v; !31, ... , f39-a; ~)
(13a)
Teorema 2 . Se.a X una v.a Rice - (a, a, v), con a > O, a :2: 1 y v :2: O
2 . V - 1 V 1 a + V - 1 a2
entonces Y= X es una v.a de Rathie - ( v: - 2-, 2; 2' 2 , 16 )
Demostración:
Vea teorema 1 en [11), donde A,μ, v, a, f3 y 'Y son respectivamente
V - 1 V 1 a + V - 1 a2
v, -2-, 2' 2' 2 y 16 '
Momento de orden m
Teorema 3 . Sea. X una v. a generalizada de Rathíe de parámetros - (A; A1, . . . , Ap-2 :
μ, v; (3i, ... , f39-a; a, (3, 'Y), bajo la condíci6n (5) y m > - (f3+1). Entonces
E (Xm) existe y :
E(Xm) = r(m+,8+1)
r({J + 1) am
pQq- 1 ( A; Ai, .. ., Ap-2, m + ,8 + 1 : μ, v; ,Bi, .. ., .Bq- a; ~ )
(14)
pQ9-1 (A; Ai, ... , Ap-2, /3 + 1 : μ, v; f31, .. ., /39-a; ~)
Demostración:
Bajo las condiciones de los parámetros, y de acuerdo a (7) y (8), tenemos
que:
E (Xm) = A 100 tfl+me-at p-1Qq-1 (,\;Al, ... , Ap-2 : μ, v; f31, .. . , f3q- 3Í 'Yt) dt (15)
converge pues :
lim [tm+fJ e-at p-lQq-1 (A; Al, ... , Ap-2: μ, v; /3i. · · ·, /3q-3Í "fl) ] = e :/= O
t-+oo e-at tm+fJ e4v't
14
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
y 1"" t.B+me-t(a- 4r 1' 2> dt converge, luego E (Xm) existe para
m > -(,8+1)
Por intercambio de la integral con la serie, de (15) tenemos :
_ Ar(m+,B+l)
E (Xm) - r(μ + l)r(v + l)r(,81) · · · r(,Bq-3) am+.8+1
(
F. ->..+1 >..+2 ) 2- , - 2- , >.i, .•. , Áp-2, m + /3 + 1 . 4-y
P+l q ' a
A + 1 , μ + 1 , V + 1 , ,81, . · · , f3q-3
Y recordando (4),(11) y (lla), tenemos
E (Xm) :;: r(m + ,8+1)
r({J + 1) am
pQq-1 ( >.; >.1, ... , Ap-2, m + .B + 1 : μ~ v; f3i. .. ., f3q-3i ~ )
pQq-1 ( >.; Áti ... , Áp-2, f3 + 1 : μ, v; .Bi. ... , .89-a; ~ )
(14)
Función generadora de momentos y de distribución
Teorema 4 La funci6n generadora de momentos para la v. a generalizada de
Rathie, del teorema S tiene funci6n generadora de momentos para x <a, y
mx(x) = (-ª-).8+1. a- X
M ( >..; >..1, ... , Ap-2, μ, v,,Bi, ... , /3q-s; .B + 1; (a~ x) )
M ( >.; >.1,. •. , Ap-2, μ, v, ,Bi, ... , .89-s; ,8 + 1; ~)
donde M viene dada por (15b).
Demostración:
De acuerdo a (lOa), tenemos :
(15)
mx (x) = A 1"" e"'t e-at t.8 Q ( >..; >..1, ... , Ap-2 : μ, v; ,81, . . . , .89-a; -yt) dt (15a)
De acuerdo a (7) y (8), y como
Jo{º "" e-(a-x)ttfJ dt converge, para x < a,
15
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
tenemos que mx (x) existe para x <o:.
Así mismo por el intercambio de la integral con la serie en (15a), tenemos
que:
mx (x) =
Af(fJ + 1)
f(μ + l)f(v + l)r(,81) · · · r(.8q_3) (o: - x) P+1
(
F. -.A+l .A+2 ) 2- , - 2- , .A1, ... , .A,,-2, /3 + 1 . _!r__
p+l q 'Q X
,\ + 1 ' μ + 1 ' 11 + 1 ' (:Ji' ... , /3q-3 -
Finalmente, usando (11) y (lla), resulta :
mx (x) = ( _o: )P+t.
O: - X
(
F. -.A2+-l ' -.X2+-2 ' .Xi, ... '.x,,_2, /3 + 1 . _!r__ )
p+l q 'O: X
,\ + 1 , μ + 1 , V + 1 , f31 , · . · , fJq-3 -
(
.X+l .A+2 )
F. -2-' -2-' .A1,. .. '.A,,-2, fJ + 1 . 4'Y
J>+l q ' ,\ + 1 ' μ + 1 ' 11 + 1 ' fJ1, ... ' fJq-3 o:
y finalmente
mx(x) = ( _o: )P+l.
O:- X
(15b)
(15c)
pQq-1 ( Aj Ai, ·. ·, Ap-21 {J + 1 : μ, Vj {Ji,· .. , fJq- Sj /3 + 1; _'Y_ )
O:- X
Teorema 5 . Sea X una v.a de Rathie generalizada del teorema 9, entonces
su función de distribución para w > O, viene dada por : (En este caso en
lugar de 'Y usamos ó )
a) Fx (w)
r(μ + l}f(v + 1)r(.B1) · · · r(,89-a)
oo ( ,\; l ) n ( ,\; 2 ) n ( A1 )n · · · ( Ap-2 )n
~ (,\ + 1 )n ( μ + 1 )n (V+ 1 )n ( /3i)n · .. ( ,Bq-3 )n n!.
( ~ ) n 'Y(fJ + n + 1, o:w)
16
(15)
(16)
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Donde 'Y ( t, x) = }
0
u t-l e -"du ( funci6n gamma incompleta )
b) Fx (w) = Aw11+1 ~ (-ow)n r(,B + n + 1}.
L.,, n!
e) Fx (w)
1
O,p
1
n=O
Awll+l
f(μ + l)f(v + l)f(,81) ... r(,89- a)(,8 + 1).
,8+1
A+l >.+2
- j -2-' -2-' >11, ... ,Ap-2
,8 + 2
o, q - ; >. + 1 ' μ + 1 ' 11 + 1 ' ,81, ... ' fJq-3
- a:w,4ów
Donde F1 es la primera función generalizada de Kámpe de Fériet
( Vea [9] o [9] )
Demostración:
a) Recordemos que :
Fx (w) = 1w f( t )dt
=A 1w e-at tfl Q (A; A1,. . ., Ap-2 : μ, v; f3i. ... , f39-s; ót) dt
De acuerdo a (3a,b,c), desarrollando pFq, intercambiando la integral con
la serie y recordando que
(16a)
tenemos:
Fx(w)
r(μ + 1)r(11+1)r(.81) ... r{.B9-a)
oo ( ). ; l ) n ( ). ; 2 ) n (A¡ )n · · ' ( Ap-2 )n
~ (A+ 1 )n ( μ + 1 )n ( 11 + 1 )n ( f3i)n" · ( ,Bq-3 )n n!.
( 4ó)n -; 1(,8 + n + 1, a:w) (16)
17
(18)
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
b) Desarrollando e-at, y usando el teorema 14.31 de [1], tenemos:
Fx(w)
A
f(μ + l)f(v + l)f(.81) · · · f(.89-a)
f: (-n~)n [tfl+n.
n=O O
(
>.+1 >.+2 )
F. -2- J -2- J >.i, ... ,\,-2 ·4ót · dt
p q J
). + 1 J μ + 1 ' 11 + 1 ' .81, ... J f3q-3
Usando el teorema 28 en [7,p. 85), ya que p < q, tenemos:
Fx(w)
Awti+l oo (- aw )n
I'(μ + l)f(v + l)f(.81) · • • I'(.8q-a) . ~ ({3 + n + l)n!.
(
>.+1 >.+2 )
F. - 2-, - 2-, >.i, ... ,>.,,-2,.B+n+l . 4 ~
P+l q+l J uw
,\ + 1 , μ + 1 , 11 + 1 , (31, .. . , ,89_ 3 , (3 + n + 2
(17a)
De acuerdo a (4), resulta:
e) En ( 17 a), desarrollando P+ 1 F9+1 en serie, y como :
1 (,B + l}n
(3 + n + 1 = (,B + 1)(,8 + 2)n ; (,B + l)n+m = (,8 + l)n(f3 + 1 + n)m
resulta:
Fx(w)
({3 + l)f(μ + l)I'(v + 1)I'(f3i) · · · f(f39-a)
oo oo ('\; l ) n ().; 2) n (Ai)n · · · Pp-2 )n ({3 + l}n+m
~ ~ ( ,\ + 1 ) .. ( μ + 1 ) .. (V+ 1 ) .. ( f3i) .. · · · ( .89-a ) .. (,B + 2)n+m n! m! .
(-awr(4ówr
luego:
18
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Awfl+I
Fx (w) = -r(_μ_+_1-)r_(_11 -+-1 )-r-(fJ-1)-.--.- r-(/3-q--3)-(fJ_+_l)
1 f3+1
>.+1 >.+2 O,p
1
- ; -2-' -2-' >.1, ... '>.p-2 - o:w, 4bw (18)
f3 + 2
o, q - j >. + 1 ' μ + 1 ' 11 + 1 ' !31' ... ' f3q-3
Distribución de la v.a X/Y, para X e Y
R*-( p,q) independientes
Sea X v.a de Rathie generalizada de parámetros- ( >.; >.i, ... , >.p-2 : μ, 11;
{3¡, ... ,f39-s;o:,f3,"f) e Y v.adelmismotipoconparámetros- (>.';>.~, . .. ,
>.~_2 : μ', 111; fJL ... , /3~_3 ; o:', {J', "(1 ), ambas bajo la condición (5) y con o: =
o:'. Además son independientes.
Como E(xm-1) = 100 xm-1 ¡(x)dx = M[f(x),mJ, donde M
es la transformada de Mellín, es claro que si E (xm-1) cumple condiciones
para la existencia de M-1 [E (xm-1); x ], ( Vea [12,p.p. 272 - 274] ).
En nuestro caso recordando (14) y como:
(19)
tenemos:
E ((x¡vr-1) =
[ Af(m + /3)
I'(μ + 1 )r(v + 1 )f{f31) ... r(.Bq-3) o:m+tJ.
f ( ~ )n ( ~ )n (>.i)n · · · (>.p-2 )n ( m + tJ)n ( 4-y )" ]
n=O (.). + 1 )n ( μ + 1 )n ( 11 + } )n ( {Ji)n ... ( /3q-3 )n n! O:
[
A' r( 1 - m + (:J')
r(μ' + 1)r(v + l)r(.BD ... r({J~_3 ) 0:1-m+.8' ·
00 (A'f )k (A';t2)k (>.~)k· .. (>.~_2)k(l-m+.B'),, (4i)k]
~ ( >.' + 1 )k ( μ' + 1 h ( v + 1),, ( tJDk · .. ( f3~-s) .1: k! --¡;¡
Para m cumpliendo con f3' + 1 > m > -{3. {19a)
19
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Luego:
AA'
(~)" (~)" P~)"···(>.;,_2)"r(1-m+.B'+k)
c.xi+1)" (μ'+1)" (v+1>,. C.BD"···(.8~_3 )" n!k!
Luego, por la aproximación de Stirling y criterios de convergencia uniforme,
tenemos:
fx¡y(u) =
AA'
[ r(μ+i)r(11+1)r(fJ1)-··r(,8q- a) J [ r{μ'+l)r(11'+1)r{fll)···r(fl~-a) J a/l+.8'+1
(~2) k (W2 ) k (>.1' ) k ·· · (>.p' -2 ) k
( >.' + 1 )A: ( μ' + 1 )A: ( v' + 1 ),. (.B{ ),. · · · ( ,8~_3 ) k n!k!
(
4 )n+k
- "·t'Y'" a
(19b)
M-1 [f(m+ fJ + n)f(l - m+ ,B' + k);u]
Usando 5.36 en [6,p.196], tenemos que:
M -1 [r(m + ,B + n)f(l - m + .B' + k);u]
ufl+n
= f(,8 + ,8' + n + k + 1) (l + u)P+P'+n+k+l (19c)
20
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
ya que se cumple tHJa).
Luego:
fx¡y(u) =
A A' r(fJ+fJ'+l)ull (l+u)-CP+P'+l)
f f (fJ+fJ'+l),.+i.( ~ ) .. ( ~ ) .. (>.1 ),.· .. (>.p-2 ),.( 4:1 ),, ( 4t t ( >.~ ),.···(>.~-2).
n=O k=O (>.+l ),. ( μ+l ),. ( v+l ),. ( /J1 ),. ···(fJ9-a ),.( >.'+ l )¡, (μ'+l ),. ( v'+l )¡, ( ~) ,.-··( f'9-a ),. n!k!
( 4'YU )n ( 4'Y' )k
a(l+u) · a(l+u)
Finalmente, tenemos :
Donde
fJ+fJ'+l
ufl
fx¡y(u) =e. (1 + u)fJ+fJ'+1
>.+1,μ+1,v+ l,fJi, ... ,/J9-a; >.' + 1,μ' + 1,v' + l,/J~ ..... P~-s
A A' r(tJ+fJ'+1)
./;'.;.,..,}\'..,¡ (20)
e
[ r(μ.+1)r(v+l)r(fJ1) .. ·r(.B9-s) J [ r(μ.1+1)r(v'+i)r(tJD···r(fJ~_8)] a.B+P'+l
Referencias
[1] Apostol, Tom Análisis Matemático
E<lit. Reverté, Barcelona, 1960
[2) Gradshteyn, I and R. Ryzhik Table of integrals, Series and Products.
Academic Press, New York, 1975
[3] Karlsson, P. Reduction of certain generalized Kampé de Fériet
functions Math. Scand., 32, (1973)
21
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
[4] Luke, Y. Mathematical Functions and Their Approximations
Academic Press, New York, 1975
[5] Mathai, A. and R. Saxena G - Functions
Springer - Verlag, Berlín, 1970
[6] Oberhettinger, F. Tables of Mellin Transforms
Springer - Verlag, Berlín, 1970
[7] Rainville, E. Special Functions
The Mac-Millan Co, New York, 1960
[8] Rudin, W. Principios de Análisis Matemático
McGraw-Hill, México, 1980
[9] Saigo, M. On the Fractional Calculus Operator Involving
Gauss's Series and Its Application to certain Statistical Dis­tributions
Rev. Tec. lng. U. del Zulia, Vol. 14, No 1 (1991)
(10] Sarabia, J. Una generalización de la Distribución de Rke
Rev. Tec. Ing. U. del Zulla, Vol. 29, No 2, 121 - 127, (1997)
[11] Sarabia, J. La Distribución de Rathie
Rev. Acad. Canar. Cienc., IX (No 1), 75 - 88, (1997)
(12] Sneddon, l. The Use of Integral Transforms
Tata McGraw - Hill Publishing Company LTD, New Delhi, 1979
22