Evaluación de integrales indefinidas con funciones generalizadas de Laguerre

              Rev .Acad . Canar . Cie nc ., I V ( n tlms . y 2) , 85 - 99 (1992)
EVALUACION DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON
FUNCIONES GENERALIZADAS DE LAGUERRE.
M. González, y S.Kalla
Centro de Investigación de Matemática Aplicada
Universidad del Zulia, Facultad de Ingeniería,
Apartado 10.482
Maracaibo - Venezuela.
ABSTRACT
In this work we evaluate indefinate integrals of the form
I "' J f (x ) L~ (x) dx, assurning that the resul t can be expressed as
A (x) L~ (x ) +B (x ) L~+t (x) . Here f (x) is a bounded and continuous ar
sectionally continuous function over the interval [x1 ,x2 ] and L~(x)
is the generalized Laguerre function of arder v . We observe that
Lª (x ) satisfy sorne recurrence relations that permit us to reduce
the problem of evaluation of I to resolve a differential equation
in B (x) . Fractional Calculus is used to sol ve this differential
equation. With this technique we obtain more general resulta than
those scattered in the existing literature.
Key words: integrals, the generalized Laguerre function, the
differential equation,the Fractional Calculus.
RESUMEN
En este artículo se evaluan integrales indefinidas de la forma
I "' J f (x) L~ (x ) dx, asumiendo que el valor de esta integral es
A (x ) L~ (x ) + B (x) L~ .. 1 (x) . La función f (x) es acotada y continua o
seccionalmente continua sobre el intervalo [x1 , x) y L~ (x) es la
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función generalizada de Laguerre de orden v.Se demuestra que L~{x)
satisface algunas relaciones de recurrencia que permiten reducir el
problema de la . evaluación de I a resolver una ecuación diferencial
en B (x) . El Cálculo Fraccional se utiliza para resol ver esta
ecuación diferencial. Con esta técnica se obtienen resultados más
generales que los presentados en la literatura existente.
Palabras claves:Integrales función generalizada de Laguerre,
ecuación diferencial,cálculo fraccional.
l . EVALUACION DE INTEGRALES INDEFINIDAS
En esta sección se aplica la técnica de Piquette y Van
Buren[6], para evaluar integrales del tipo
I • f t(x) L~(x) dx, a • z (1)
donde f(x) se asume acotada y continua o seccionalmente continua y
L~ (x) es la función generalizada de Laguerre de orden v definida
como:
L~ {x) .. (v~a) 1 F1 (~~t ;x) = t (~~~)~(~!t) tFt (~~t ;x) (2)
a • Z
AL usar (2) y algunas relaciones de recurrencia de la función
hipergeométrica confluente LEBEDEV[3] ,se deducen los siguientes
resultados
DL~ (x) "' {x-v~a-1) Lª (x) + v;1 L~+t (x)
DL~+l (X) "" V~l L~+I (X) - {V+~+<X) L~(x)
donde D es la derivada con respecto a x.
(3)
(4)
Según la técnica, asumamos que I puede representarse como:
= A(xlLª(x) + B(x)Lª (xi
V V+t (5)
donde A{x) y B(x) son funciones a determinar .
Si derivammos (1) y {5) con respecto a x, usamos (3) y (4) y luego
agrupamos, tenemos que:
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f(x)L~(x) • [oA(x) + x-v~a-l A(x)
+ [v;l A (x) + DB (x) + v~l B (x) J L~.1 (x)
Al comparar coeficientes: ¡ DA(x) + x-v~a-l A(x) - v+~+l B(x) .. f(x)
DB(x) + v;l B(x) + v;i A(x) - O
Al Operar con las ecuaciones anteriores tenemos el siguiente
sistema para detenninar A(x) y B(x) .
xD2B(x) + (x-a+l)DB (x) + (V+l)B(x) • -(v+l)f(x)
A(x) • - v:l DB(x) - B(x), v ~ -1
donde D2 - d2 / dx2
(6)
(7)
Al tenerse una solución particular de la ecuación diferencial (6)
podemos obtener A(x) de (7) y luego de (5) evaluar I.
Una solución particular de (6) puede deducirse por métodos clásicos
para resolver ecuaciones diferenciales, sin embargo, en la sección
darnos un método general eficaz con aplicación del Cálculo
Fracciona!.
2. ALGUNOS RESULTADOS
Seguidamente damos algunos resultados obtenidos al usar la
técnica explicada en la sección anterior. La solución particular de
la ecuación diferencial (6) se deduce con el uso de métodos
clásicos .
a • Z ( 8 )
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a f z-, v+a+l * O ( 9 )
v+a -x
(v+l) L~+1 (x) ]x v (v+~)
xv+a e a
~ --V-- LV-t (x). a f z-. V$ o (10)
J a -x
X e L~(x) dx • [(v+a+l -x) L~(x) - (v+l) L~•! (X)]
a.1
- ~ L~:~ (x), a f! z-, v *O (11)
I e-x L~ (x) dx - r (v+l-x) L~ (x) - (v+l) L~+t (x)] ~::
L~(x)]e-x,a f Z
(12)
Xa a a a xª
Lv (x) dx - [ (v+a+l) Lv (x) - (v+l) Lv+t (x) J v+a+l
a•1
"" v:a+l L~+t (x), a f z-, v+a+l * O (13 )
De (3):
(14)
Al Hacer a ~ O, v - n y a * O, v "" n se obtienen los resultados
mostrados en PRUDNIKOV[7, p.51; (1. y 2.)] respectivamente.
Los resultados del (9 ) al (13) son generalizaciones de [7,
p.51; (4.,5.,6.,8. y 9.)] respectivamente.
3. SOLUCION PARTICULAR DE LA ECUACION DIFERENCIAL
MEDIANTE EL CALCULO FRACCIONAL.
Numerosas aplicaciones tiene el Cálculo Fraccional[5,9], una de
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ellas es en la resolución de ecuaciones diferenciales. En esta
sección presentamos un método general para hallar soluciones
particulares de la ecuación (6) mediante la equivalencia de ésta
con su forma operacional, usando el operador fracciona! de
Holgrem-8assam GUERRA J. [2], definido como:
Dado a e~. mes el menor entero tal que a+m>O, f(x) es real en
el intervalo [a,b]. Si f e e 1n>donde n es el entero positivo más
pequeño que cumple n+l ~ m, definimos:
~.-a (flxl} - 1 o" J lx-t1ª••-1f(t) dt F{a+iñf X
(15)
El Operador de Holgrem-Bassam coincide con el operador de
Riemman-Liouville OLDHAM{S]
rª ( f (x) } • R~ f (X)
El siguiente teorema permite establecer una equivalencia entre una
forma operacional y una ecuación diferencial y sus soluciones
GUERRA J. [2].
~
Si !-w {(h+bx) 1eAxF(x)} existe, entonces la ecuación diferencial
(h+bx) D2Z + (B1x+e 1 ) DZ + [B2x + e2 + 83 (h+bx) -1]z =- F (x)
(16)
es equivalente a:
con y .. (h+bx) 1eAxZ(x); h, b, 8 1 , B2 , 83 , e 1 , e 2 , w, p, μ, 1 y A
son reales tales que b ~ O, w > O si y sólo si:
81 • μb+2Ab
e 1 "' bp+bw+μh+2Ah+21b
82 "' bA2+Aμb
e2 =- 7bμ+2A7b+A2h+Abw+Aμh+μwb+Apb
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(17)
(18)
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B3 - 7b2 (7- l+p+w)
de donde tenemos:
bA2 -AB +B • O
1 2
b 272 - (bC1 -bμh-2;\bh-b2) 7 + 83 • O
wμb • C2 -AC1 +A2h-7bμ
(19)
(20)
(21)
;>,y 7 son raíces de (19) y (20); μ, w y p se obtienen de (17), (21)
y (18) respectivamente.
Además la solución de (16) viene dada por: Z (x) -z, (x) +Z2 (xi +ZP (x),
donde Z1 (x) y Z2 (x) son soluciones de la ecuación diferencial
homogénea asociada a (16: y ZP (x) es una solución particular
zl (X) - k(h+bx)-7e-Ax I(w-tl e-μx(h+bx)-p
Z2 (x)•(h+bx)-7 e-Ax f<w-t)e-μx(h+bx)-p ¡-1eμx(h+bx)p-t fw{O}
ZP(x) • (h+bx)-le-Ax f<w-ll e-μx(h+bx)-p !-l eμx(h+bx)p-l
f-• {g(x)}
(22)
siendo g(x) • (h+bx) 7eAx F(x).
AL hacer h ,,. B2 = B3 = O;
con
F(x) - - (v+l) f(x) en el teorema anterior se tiene la ecuación
diferencial (6) y las expresiones.
μ + 2A "" 1
p + w + 27 • 1 - a
A2 + Aμ • O
7μ + 2A7 + Ap + Aw + μw v+l
7(7-l+p+w) : O
A2 A • O
v+l+(a- l)A 7μ • wμ
De las cuales se deducen los conjuntos de valores:
a) A - O, μ - 1, w z v+l, 1 3 O, p - -v-a
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b) • O, μ. - 1, w • v+a:+l, '1 • -a:, p • -v
el • 1, μ. - -1, w - -v-a:, '1 - O, p - l+v
d) A • 1, μ. • -1 , w • -v, '1 - -a:, p • l+v+a:
que sustituimos en (22) con a • O y hallamos cuatro soluciones
particulares de (6).
X X X
B(x) • - (v+l) Ive-xxv+a: I-1exx-v-a:-i I-V-l {f {x)}, v+l > O
X -V-1 ex
(2:Í)
i-v-i-a{x-ªf (x)} (24)
V+CW:+l > Q X X
B(x) • - (v+l)e-x I-v-a:-t exx-t-V I-1 exxv Iv+a: {ex f(x)}
(25)
v+a: < O
B(x) • -(V+l)e-xxa: i-V-l exx-v-t-a: i-t e-xxV+a iv{x-a:ex f(x)}
(26)
V < 0
4 . OTROS RESULTADOS
Aquí se evaluan una serie de integrales indefinidas que
envuelven funciones generalizadas de Laguerre mediante la técnica
descrita, resolviendo la ecuación diferencial {6) con el uso del
cálculo fracciona!. Se Presentan tres ejemplos en donde se aplican
los siguientes diferintegrales OLDHAM[S].
~-ª(x-a)ll r~~~;!i) (x-a)a+ll, a e IR, ¡¡ • z (27)
(28)
I~ª(x-a)ll F [v·-~(x-a))·r(¡J+l) (x-a)a+¡J F ¡v,¡J+l · -~(x- a))
a 1 l 7' r (a:+~+l) 2 2 7,a:+'3+l'
(29)
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Con f (x) • ekx en (24)
B(x) - - (V+llxª rV•<X e-XXV i -1 exx-V-1 i-v-1-a.{x-<Xekx}
a. e: z-, v+a.+l > o.
De (28)
B ( x ) r (1-a.) xª ¡V•<X e-xxV ~-1 ex F ¡1-a. kxl r(v+l) 1 1 v+2;
ex • z- {O}, v • z- - { -1}; v+ex+l > O.
Al sustituir 1 F1 (~~~; kx) por su desarrollo en serie, aplicar
propiedad de linealidad y homogeneidad de los operadores
fraccionales OLDHAM(5] y (29) tenemos:
B ( x )
ex• z-{o}, v • z--{-1}; v+ex+l >o.
Al usar t r ansforrnación de Kumrner ABRAMOWITZ[l,p.505],
propiedades de linealidad y homogeneidad y (29) obtenemos que:
r(l ) = (1-a.) k"r(n+l)r(v+n+2)x"·1 1 2
B ( ) -ex L n F [ , v+n+ l X "" - r(V+l) n=O (v+2)nn!f{n+2)r(n+2-a.) 2 2 n+2,n+2-a.¡-X
Si sustituirnos el desarrollo en serie de 2F2 LEBVEDEV[3] y
arreglamos coeficientes:
B(x) ~~! X E
n=O
(v+2) (1) (1-") (1)
n+l n n 1
(2-ex) (2) (v+2)
n+ 1 n • 1 n
l =O
Al consider el desarrollo en serie de la Función Kampé
de Feriét SRIVASTAVA[lO]
[
(a): (b); (e )
F (y,z) • Fp: q;k P q k ;
1'"'" (ex ) : (/l ) ; (7 )
1 • n
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• k . q
J~t ' (aJ) r+• ¡¡ (el)• z ¡¡lb) y - ¡; ¡; J • t J=t J r
1
'"º •=O
TT (o<J)m J~t l7Jl,
8 ! ¡¡ (/3J), r!
J•t J•t
(30)
la cual es convergente en:
i ) p+q < l+m+l, p+k < l+n+l, Jyl < m, lzl < oo.
{
lxl 1 / (p-t>+lzl 1 / (p-ll < 1,sip>l
ii ) p+q sl+m+l,p+k -l+n+l y
máx{lyl, lxl} < 1,si p • l
tenemos que:
B (x) • - - X F 1: 2¡ 1 v+l [ v+2:1,1-a:;l
1-a: 2:1;0 2,2-a::v+2
kx, -x]
"'• z-{o}; v+a+1, o, v • z--{-1).
Al derivar (31) con respecto ax ,obtenemos el resultado
DB ( x ) • - ~~! F~~~~~ [
V+2 : 1,l- o<;l ]
; kx, -x
2,2-a::v+2 ; -
[
v+3:2,2 -a;l
k (v+l) F1:2;1
21'2:-af X 2:1;0 3,3-a::v+3
kx, -x]
(31)
[
v+3:1,l-a:;2
(V+l) (V+2) X F1:2;1
2 (l -o< ) 12 -al '' 1'º 3, 3-a:v+2
kx, -x]
"'• z-{o}. v • z--( -1 }; v+a+l, o.
Al sustituir esta última expresión y (31) en (7) se halla A(x) y
con (5) tenemos:
f ekx L~ (x) dx "" l~a [ (v+2) L~ (x) - (v+l ) L~.1 (x) ]
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1 , 2 ; 1 [ V+2:1,l-cx;l ]
F2·1·0 ;kx,-x +
· · 2,2-a::v+2 ;-
F' •; 1 [ v+3:2,2-cx;l ]
2 : 1 ·o ;kx, -x
· 3,3-a:v+3 ;-
(v+2)x2 L~(x) [ v+3:1,1-a;2
2(1-a) (2-a) F~:~~~ 3,3-a:v+2
kx, -x]
(32)
<X• l -(0}. V• l- - (-1); V+<X+l > 0
Este mismo resultado se obtiene al usar (23).
Evaluamos esta misma integral aplicando (25)
a f Z v+a: < O.
Por (28), la introducción de la definición en serie de la 1F1
LEBEDEV[3] y por la aplicación de propiedad de linealidad y
homogeneidad de los operadores fraccionales (5) tenemos:
ex• z-{o), v+a < o.
Al usar (28):
B(x)
(V+l) e-x
(1-cx)r(1-v-cx)
ex• z-{o), v+a <o.
I-v-a:-1
94
exx - a-v
m (1) (1-cx) (l+k) • x"
l: (l:v-cxl. h-cxl .m!
F ¡1+m-cx. -x) 1 1 2+m-a:'
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Por Transfonnación de Kurnmmer, propiedades de linealidad y
(29) tenemos que:
- (v+l) e-xx
B(xJ • (1-a)
Al sustituir el desarrollo en serie de 2F2 LEBEDEV[3] y
arreglar coeficientes se deduce que:
_ (V+l) e-xX m (1) (1-a) (l-0:-V) (1) n (k+l)•x111 X
B (x) • {1-a) . ~o (2:a) (2) (1-a-v) __ m_I ñT
n=O
Por (30):
B(x) • - (v+l)e x F1:2;1 . , ' ; (k+l)x,x -x [1-v-a·l 1-a·l ]
(l-a) 2:t;o 2,2-a:l-v-a;-
(331
a f z-{0}, v+a e o.
Al derivar respecto a x
DB(x) - - (V +l)~~: (1-x) F~'.~'.~ [ ; (k+l)x,x
l-V-IX:l,1-<X;l ]
· ' 2,2-a:l-v-a;-
(k+l) (v+l)e-xx2 1 21 [ 2-v-a::2,2 -a;l ]
2 (2-a) F2'.1'.o ; (k+l)x,x
· • 3,3-a:2-v-a;-
(V+l) (l-v-a)e-xx2 1 21 [2-v-a :l, 1-a;2 ]
2 (1-a) (2-a) F2'.1'.o ; (k+l )x,x
·' 3,3-a:l-v-a;-
(34)
a• z-{o}, v+a < O.
Al sustituir (33) y (34) en (7) para hallar A(x) , y de (5)
obtenemos finalmente: I ekx L~(x) dx • i::x [ (v+2-x)L~(x)-(v+l)L~., (xi]
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F~'.:'.~ [ ; (k+l)x,x
l-v-IX:l,1-IX;l ]
·' 2,2-a::l-v-a;-
+ {k+l) e X Lª (x) F1:2;1 ; (k+l) x,x -x 2 [2-V-IX:2,2-IX¡l ]
2 (2-a:) V 2:1;0 313 _a:: 2 ·V-a:;-
(l-v-a:)e-xx2 a: t 21 [2 -v-a::l,l-a:;2 ]
2{1-a:) {2-a) Lv(x) F2'.1'.o ; (k+l)x,x
·' 3,3-a:l-v-a:;-
a:~ z-{o}, v+a <o.
(35)
Este resultado también se obtiene usando (26). Al reunir (32) y
(35) : f ekxL~ (x) dx •
x[ (v+2) L~ (x) - (v+l) L~, 1 (x) ]
1-IX F~'.::~ ;kx, -x [
v+2 :1,1-IX;l ]
· ' 2,2-a::v+2 ;-
+ v F1:2;t ·kx -x kx2LIX(x) [ v+3:2,21X;l ]
~ z:t;o 3,3-a:v+3 ;-1
'
(v+2) x 2 L~ (x)
2 (1-a:) {2-a:) F~: :~ ~ [
v+3 :l,l-a:;2
3,3-a: v+2;-
V+IX+l > º· IX. z-{o}, V. z-{-1)
kx, -x]
x[ (v+2-x)LIX(x)-(v+l)LIX (x)] [l- V-1X:l,l-1X;l ]
v l-a: V+t e-xF~;:~~ ;(k+l)x,x
2, 2-a:: 1-v-a;-
(k+l)e- xx2 Lªv(x) Ft 21;01 [2-v -a::2 ,2-a:;l; (k+l)x,x]
212 -IX) 2 ' ' 3,3-IX:2-v-IX;-
V+IX < o, IX. z-{o}.
[
2-v-IX:l,l-IX;2 ]
; (k+l)x,x
3,3-a::l-v-a:;-
(36)
Un procedimiento similar se realiza para obtener otros dos
resultados.
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JxL~ (x) dx"" 2 (~:a) {(v+3)L~(x) - (v+l)L~+1 (x)} 2F2 (i:~~!;-x)
(v+3) x 3 Lª(x) F ¡2,v+4._x)
6(2-a) (3-a) v 2 2 4,4-v' (37)
" • Z - {O, 1}, v+l > O
1-C<
Jx-"L~(x) dx • ¡ 1 _ 2~) (l-e<) [(2-e<+v)L~(x) - (v+l)L~+l (x)]
F ¡1,v+2-e< l 2 2 2-a,2-2a;-x -
(v+a-2)x2 -a a F ¡2,v+3-a ·-x]
2(1-2e<) (l-e<)2(2-e<) Lv(X) 2 2 3-e<,3-2e<'
e< f Z-(0}; V+l >O; " . 2
(38)
-1 ,. !
De los resultados (36), (37) y (38) se deducen varios casos
particulares, tales corno:
- Si v = O, k = -1 en (36) entonces J e-xdx .., 1-e-x al usar
transformación de Kurnmer y además las siguientes relaciones
MILLER[4] ,ABRAMOWITZ[l] ,PRUDNIKOV[6].
Fp:2; 1
q:1;0
" F [l,l+e<,μ,, .•. μ, l + l+a-fj p+2 q+t fj,v 1 , ••• ,v/ x
d F ¡a,b l ab F ¡a+l,b+l l dz 2 2 c,d;z .. ca 2 2 c+l,d+l;z
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1F1 (!•z) • (rn-1) !z'-• {e' - ¡: Jh-}
1,2, 3, ...
f x 2
- Si v z O en (2) y (37) entonces xdx • ~ al considerar
las siguientes relaciones ABRAMOWITZ[l);
{b-a) 1F1 (ªt,1 ;z) - (b-a-z) 1 F1 (~;z) + z~ 1 F1 (~;z)
para valores de a "" 1, b "' 3-a, z - -x.
1-IX
- Si v - O en (2) y (38) entonces x-ªdx - ~-a , a. '$. 1 al
considerar las relaciones anteriores para a - 1, b - 2-2a,
z - -x .
AGRADECIMIENTO
Este trabajo forma parte de un proyecto financiado por CONDES
de la Universidad del Zulia.Agradecemos el apoyo brindado.
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