Un cálculo operacional asociado al operador...

              Rev.Acad.Canar.Cienc., I, 11-22 (1990)
UN CALCULO OPERACIONAL ASOCIADO AL OPERADOR B• =tμ-vDt1+2VDt-v-μ-i
μ,v
J. Rodriguez
Departamento de Analisis Matematico, Universidad de La Laguna,
38271-La Laguna, SIC. de Tenerife, Espana.
ABSTRACT
In this paper, through an algebraic process similar to
Mikusinski's, an operational
B • =tμ-vDt1+2VDt -v-μ-1, adjoint
calculus for the Bessel operator
μ,v
operator of B =t -v-μ-1 Dt1 +2V Dtμ -v h as μ,v
been devised, involving certain kinds of convolutions.
KEY WORDS: Calculo, Mikusinski, Bessel, operador, convoluci6n.
En este trabajo se desarrolla un calculo operacional para el
operador B • = .t μ-V0tl+2V0t -V-μ-1 V+Jlo 1-2V V-μ-1 μ,v = t t Dt adjunto del
operador B = t-v-μ-1Dt1+2v0 tμ-v tv-μ-1Dt1-wDtμ+v siguiendo un μ,v
proceso algebraico similar al construido por Mikusinski.
Para ello consideramos el operador fraccionario la y su inverse I-a
m m
[3], que nos permiten definir convoluciones seg\ln los diferentes valores
del parametro v y μ arbitrario en los espacios de funciones
C
2
={f(t)/f(t)=tv+μ+if (t)eC2([0,m)) y f (t)eC2([0,m))} para v>-1
v+μ+1 1 1 2
C
2
={f(t)/f(t)=tμ-vf (t)eC2([0,m)) y f (t)eC2([0,m))} para v<
2
1
μ-v 1 1
C
2
={f(t)/f(t)=tμ+l/2f (t)eC2([0,m)) y f (t)eC2([0,m))} para v=
2
1. μ+1/2 1 1
Si se definen la suma usual y la operaci6n convoluci6n como
multiplicaci6n, estos espacios resultan ser anillos unitarios sin
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divisores de cero, siendo factible, entonces, construir los
correspondientes cuerpos de fracciones, que permiten analizar un
conjunto de reglas operacionales en dichos cuerpos.
donde
2. LOS OPERADORES Icx y cS.
El operador Icx, definido para cx,m>O por
m
m
t
Icxf(t) = ~f (tm -~m)CX-l~m-lf(~)d~ (O(t(+co)
m r (ex)
0
D f(t) = ~f(t) = m-1t 1-mDf(t)
m dtm
(2.1)
(2.2)
(2.3)
f ueron estudiados por A.C. McBride [3). A continuaci6n exponemos
algunas propiedades con estos operadores y el operador cS=tD que seran
utilizadas en lo que sigue
Proposici6n 1.
Si f(t)ec1(1R), entonces,
cStcxf(t) = tcx(cS+cx)f(t). (2.4)
Proposici6n 2.
Si f(t)ec1([0,c:o)), con f(O)=O, y cx>O, entonces
(2.5)
Proposici6n 3.
Sean cx>O, k una constante real y fCt)ec1([0,c:o)), entonces:
lcx(cS+k)f(t) = (cS+k-2a)lcxf(t).
2 2
(2.6)
Para la demostraci6n de las proposiciones 1, 2 y 3, vease (6) y
[8).
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Proposici6n 4.
1 n n-V-1/2 v-μ-1 1
Sea v>-2
y R = tD I t con neN y n-v-
μ,v,1 2 2 2
>O. Si
f(t)eC2([0,oo)) satisface la condici6n 1 i m tw+1Dt-v-μ- 1f(t) 0,se
+
HO
tiene,
• R B f(t) n2R f(tl. (2.7)
μ,V,l μ,V,l μ,v,1
En efecto,
• R 8 f(t)
μ,v,1 μ,v
1 siendo n el menor de los enteros positives que es mayor que v~ y
n-1
IT (o-2i)
l=O
los siguientes pasos se deducen de
(2.4), (2.5) y (2.6),
1
n-V-tD"
t-2ol 2 (o-2v)tv-μ- 1f(t)
2 2
1
n-1 n-v-
=t2-nt-Zn IT (o-2i)t -2o(o-2n+l)I 2 tv-μ-l f(t)
l=O Z
1
n n-V-t
-2t2-0 t -Zn IT (o-2iHo-2n+l)I 2 tv-μ-l f(t)
1=0 z
n2R f(t)
μ,V,1
lo cual completa la demostraci6n.
Proposici6n 5.
1 Sean v=-
2
y R
μ,v,2
1 -μ-
t 2 Si f(t)eC2
([0,ex>)), se ~iene:
• R 8 f(t)
μ,v,2 μ,v
Basta observar que
1 -μ-
t 2 8. f(t)
μ,v
n2R f(t>.
μ,v,2
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1 -μ-
D2t 2 f(t).
(2.8)
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Proposici6n 6.
1
n+V+-
S < 1 y R Dnl 2 t -v-μ-1
ean v 2 μ,v,3 2 2
1
con nelN y n+v+z>O.
f(t)eC2
([0,oo)) satisface la condici6n l i m t 1-wDtv-μ-1f(t) = 0, se
+
HO
R 8 • f(t) = D2R f(t).
μ,v,3 μ,v μ,v,3
Si
tiene
(2.9)
La demostraci6n sigue un proceso similar al desarrollado en la
proposici6n 4.
3. EL CUERPO DE LAS FRACCIONES.
Con la ayuda de los operadores R , R y R definimos
μ,V,l μ,V,2 μ,V,3
diferentes convoluciones, para los diferentes valores del parametro v,
a) Para v>-4. consideramos el conjunto
C2 = {f(t)/f(t) = tv+μ+lf (t)eC2([0,oo)) y f (t)eC2 ([0,oo))} (3. 1)
v+μ+1 1 1
En virtud de ( 2. 7) y del metodo de la semejanza de Meller [ 4], par
ser R
μ,v,1
cz -----"""* cz
v+μ+1
f(t) ----- R (f(t))
μ,v,1
un isomorfismo, se define en C2 la operaci6n • mediante
V+μ+l
re.!,
f(t)•g(t) = --2-R- 1 [(R f(t))o(R g(t)]
r(v+l) μ,V,l μ,V,1 μ,V,1
(3.2)
para cada f(t) y g(t)eC2
• donde o es la convoluci6n para el operador
v+μ+1
D. considerada en (2) por
y
t
f(t)og(t) oJ f(t-~)g(~)d~
0
(3.3)
(3.4)
A tendiendo a la definici6n de los operadores R y R - l se
μ,V,1 μ,V,l
deduce sin dificultad que para cada p,qe!Nv{O},
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r (v+l) r (p+l) r (~)
2 2
p+q+l
f(p+l) r (q+l) f(-2-) v+μ+l+p+q
~~~~~~~~~~~ t .
r (p+q+l) r (p+q+2v+2)
2
Se infiere por tanto, a tenor de la caracterizaci6n de los
elementos de C2
• en virtud del teorema de aproximaci6n de
v+μ+1
Weierstrass, que la operaci6n • es cerrada en c2
• v+μ+1
verif icandose
ademas las propiedades que siguen:
i) f (t)•g(t) = g(t)•f(t).
ii) f(t)•[g(t)•h(t)] = [f(t)•g(t}]•h(t).
iii) f(t)•[g(t)+h(t)] = f(t)•g(t) + f(t)•h(t).
iv) tv+μ+ 1•f(t) = f(t}.
2 donde f(t), g(t) y h(t)eC
v+μ+1
Proposici6n 7 .
c2 no tiene divisores de cero.
V+μ+ l
f(t)•g(t) = 0 ~ R-1 [R f(t}oR g(t)] = 0 ~
μ,v,1 μ,v,1 μ,v,1
~ R f(t) = 0 o R g(t) = 0 ~ f(t) = O o g(t) = 0 .
μ,V,l μ,V,l
Concluimos entonces que
Proposici6n 8 .
Definidas en cz
V+μ+l
las operaciones suma y • cz
v+μ+1
estructura de anillo conmutativo unitario y sin divisores de cero.
tiene
Por tanto, se puede extender C
2 a un cuerpo de fracciones
v+μ+1
M=C2 x(C2
-{0})/- • donde la relaci6n de equivalencia - se defir.e
V+μ+l V+μ+l
en C2 x(C2
-{O}) de la forma usual, esto es,
v+μ+1 v+μ+1
(f(t), g(t)) - Cf(t), g(t)) si y solo si f(t)•g(t) g(t ) .. f (t}.
f (t)
En lo sucesivo el elemento (f(t), g(t)) se denota por g( t)
l :..
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Si en M se definen las operaciones usuales de adici6n,
multiplicaci6n y producto por un escalar
f(t) f(t) f(t)*g(t) + f(t)*g(t)
g(t) + g(t) = g(t)*g(t)
f (t)
g(t)
f(t)
g(t)
f (t)*f(t)
g(t)*g(t)
f(t) cxf(t)
(X• g(t) = g(t)
entonces M resulta ser un algebra.
Observese que mediante la aplicaci6n definida por
M'cM --------~ cz v+μ+1
tv+μ+ 1*f(t)
tv+μ+ 1
--------- f(t)
existe una parte M'cM que es isomorfa a C2
V+μ+l
Por tanto los elementos de
subanillo de M, isomorfo a c2
V+μ+l
la forma
f(t)
tv+μ+1
b) Si v= ~· consideramos el conjunto de funciones
1
constituyen un
z μ2 z z
C 1 = {f(t)/f(t) t f (t)eC ([0,oo)) y f (t)eC ([O,oo))}. μ2 1 1
En virtud de (2.8) y del isomorfismo
l -μ-
R = t 2
μ,v,z
c2
1
μ-
2
f(t) -------~ f (t).
1
Se define, por el metodo de la semejanza de Meller, en C2
1 la μ2
operaci6n
f(t)•g(t) = R- 1 [(R f(t))o{R g(t)))
μ,V,2 μ,V , 2 μ,V,2
(3.5)
para cada f(t) y g(t)eC 2
1, donde o es la convoluci6n para el operador D
μ2
j f ;
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dada por (3.3) y R- 1
μ,v,z
1
μ+-
t 2
Con las operaciones suma y convoluci6n • dada en (3.5), C2
1 es un μ2
anillo conmutativo unitario y sin divisores de cero. Puede ser, pues,
extendido C 2
i μ2 a un cuerpo de fracciones. Los pasos a seguir son
1
similares a los del caso v>-z·
c) Si v<-~. consideramos el conjunto
C2 = {f(t)/f(t) = tμ-v f (t)eC2([0,a>)) y f eC2([0,oo))}.
μ-v i i
Teniendo en cuenta (2. 9) y el isomorfismo
R C2
μ,V,3 μ-v
f(t) -------+ R (f(t))
μ,v,3
se define en c2 la operaci6n
μ-v
f(t)•g(t) = 1~2 R- 1 [(R f(t))o(R g(t))]
r<--v) μ,v,3 μ,v,3 μ,V,3
2
1 -v-donde
o es la convoluci6n (3.3) y R- 1 = tv+μ+il 2
μ,v,3 2
(3.6)
Con las operaciones suma y convoluci6n • dada en (3.6), C2 es un
μ-v
anillo conmutativo unitario y sin divisores de cero, pudiendo ser
extendido a un cuerpo cociente, procediendo de igual modo al caso a).
4. UN CALCULO OPERACIONAL.
Atendiendo a cada uno de los diferentes valores del parametro v, se
pueden encontrar reglas operacionales. Aqui lo abordamos para el caso
v> ~· pudiendose obrar de igual modo para los casos b) y c).
Para ello observese que el operador integral
L . f(t) = tv+μ+i Jt E-zv-1dE JE 11v-μf(71)d71
μ,v o o
• in verso por la derecha de 8 μ, v' pertenece a M.
1 ,·
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Proposici6n 9.
Sea f(t)eC 2
, se tiene,
v+μ+1
v+μ+3 •
t •f(t) = L f(t).
2 2(v+l) μ,v
Demostraci6n:
v+μ+3 r( .!.) v+μ+3
t •f(t) = 2 R- 1 [(R t )o(R f(t))]
2z(v+l) r(v+l) μ,v,1 μ,v,1 2z(v+l) μ,v,1
-1 t
2
= R [(- -1
2
)o(R f(t))) = R I2R f(t).
μ,V,l μ,V,l μ,V,l μ,V,l
pero de (2. 7) para f(t)eC 2 tenemos que
v+μ+1
I2R B • f(t) R f(t)
μ,v,1 μ,v μ,v,1
por tanto,
I2R f(t)
μ,v,1
R L • f(t)
μ,v,1 μ,v
que sustituido en (4.2) queda
V+μ+3
t •f(t) R- 1 R L • f(t) = L • f(t).
2 2 (v+l)
μ,v,1 μ,v,1 μ,v μ,v
De la proposici6n anterior se deduce por inducci6n
Proposici6n 10.
Para keN y f(t)eC 2
, se tiene,
v+μ+1
r( 1 ) v+μ+ 2k+l
v+ t •f(t)
22kk !r( v+k+l)
.k
.k
L f(t).
μ,v
(4.1)
(4.2)
Por tanto, los operadores L pertenecen a M y se representan por
μ,v
Proposici6n 11.
k
r( V+ 1) t V+μ+ Zk+l
2 2 kk!r(v+k+l)
Para kelNv{O} y B • f(t)eC 2
, se tiene
μ, v v+μ+1
.k
B f(t)
μ,v
En efecto,
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(4.3)
(4.4)
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• .k+l
L B f (t)
μ,v μ,v
k
por ser lim t2V+1Dt-v-μ-l8• f(t) =O.
t-70 + μ,v
Sea V el operador
z tv+μ+1
2 (v+l)-­tv+
μ+3
y vk la k-veces aplicaci6n de v. En relaci6n con este operador, se
puede establecer la siguiente
Proposici6n 12.
Sea f(t)eC 2
, se tiene
v+μ+1
Vf(t) = v•f(t) = B. f(t) + V[t-v-μ-1f(t)] I +.
μ,V t=O
(4.5)
En efecto, aplicando V a (4.4), tenemos
VfCt) = 22Cv+l)-t _ • t •e• f(t) +
V+μ+l ( V+μ+3 )
tv+μ+3 2 z(v+l) μ,v
• ( ) [ -v-μ-1 ( ) ]
B μ, / t + v t f t I t=O +.
Procediendo por inducci6n se obtiene:
Proposici6n 13.
Si keN,
• k z
f(t) y 8 f(t)eC , se tiene
μ,v v+μ+1
.k k k- J
Vkf(t) = B f(t) + \ VJ[t -v-μ-lB • f(t)] +
μ. v l μ. v I t=O
J =1
(4.6)
Demostraci6n:
Es cierto para k=l, por (4.5). Supuesto cierto para k=m y
aplicando V queda
•m m m-J
V(B f(t)) + \ yJ•1[t-v-μ-iB• f(t)] +
μ • v l μ • v I t=O
J = 1
sustituyendo el valor (4.4) queda:
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m+l
8 • f(t) + V[t-v-μ-18 • f(t)] I + +
μ, V μ,V t=O
m m-J
+ \ vJ•l[t -v-μ-l8. f(t)] +
L μ, v I t=O
J = 1
m+l m+l m+l-J
B • f(t) + [ V1[t-v-μ-1B • f(t)J I +.
μIv J =l μIv t=O
A continuaci6n, obtenemos algunas reglas operacionales que seran
utiles en ciertas aplicaciones.
Como puede ser probado, las ecuaciones diferenciales
• 2
(8 +a )y =O
μ,v
(aelR) (4.7)
admiten como soluciones las funciones
y (t) = (at)μ+l J (at) = J • (at) (para el signo +)
1 v μ,v
μ+1 •
y (t) = (at) I (at) = I (at) (para el signo -).
2 v μ,v
Aqui J (t) y I (t) denotan las funciones de Bessel y modificada de v v
Bessel de primera especie de orden v, respectivamente. Como ademas
lim t-v-μ-l/ (at)= lim t-v-μ-11• (at)
t~o + μ,v t~o • μ,v
av+μ+1
v •
2 f( v+l)
(4.8)
se infiere de (4.5), (4. 7) y (4.8) que
v+μ+1
Vf(t) = +a2tv+μ+1•f(t) + a V
2vf ( v+l)
Por tanto, pueden ser obtenidas las reglas
v 2vf(v+l) • J (at)
v + a 2tv+μ+1 av+μ+1 μ,v
(4.9)
v 2vf(v+l) • I (at)
v - a 2tv+μ+1 av+μ+1 μ,v (4.10)
Un calculo directo establece la validez de las siguientes f 6rmulas:
aztv+μ+1 2vf(v+l) • 1- J (at) (4.11)
V + a2tV+μ+l a v+μ+ i μ,v
-a2t V+μ+ 1 2vf(v+l) • I (at) (4.12)
V - a 2tv+μ+1 av+μ+ 1 μ,v
2 1)
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• • y2 = 2vrCv+l) [
I μ,v (at) + J μ,v (at) ] (4.13)
y2_ a 4 tv+μ+1 av+μ+1 2
• •
a
2
V 2vrCv+l)[
I (at) - J (at) μ,v μ,v ] (4.14)
V2- a 4tv+μ+1 av+μ+ 1 2
Nota.-
Observese, que por ser
t-2μ-18.
μ,v
B t-2μ-1
μ,v
· y ser isomorfismo la aplicaci6n
t-2μ-1 : c2 ------~ c2
v+μ+1 v-μ
f(t) = tv+μ+lf (t) tv-μf (t)
1 1
1 en virtud del teorema de la semejanza de Meller, en el caso de v>2, una
• convoluci6n para Bμ ,v es:
f(t)•g(t) = t 2μ+ 1[(t-2μ-lf(t)) .. (t-zμ- 1g(t))]
donde • es una convoluci6n para el operador Bμ ,v [7].
De igual modo se procede para v= ~ y v< ~.
(1)
(2)
(3)
(4)
BIBLIOGRAFIA
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