Cuadraturas para funciones peso complejas

              Rev.Acad.Canar.Cienc., I, 133-139 (1990)
CUADRATURAS PARA FUNCIONES PESO COMPLEJAS
Pablo Gonzalez Vera, Francisco Perez Acosta y Ram6n A. Orive Rodriguez
Departamento de Analisis Matematico
Universidad de La Laguna
Abstract:
In this note, Interpolatory Quadrature Formulas are extended to a class of
complex weight functions and the convergence is proved for certain integrands.
We also give some results about Pade-type Approximants to a corresponding im­portant
class of f uctions.
Keywords: Pad6 - type Approximants, quadrature.
1.INTRODUCCION
El objetlvo fundamental de este trabajo es estudiar la cuadratura
numerica de integrates de la forma:
l(F}
+ 1 J w(x}F(x}dx
-1
(1.1)
donde F(x) es una funci6n analltica (en la variable compleja x) en una cierta
regi6n que contenga al intervalo real (-1,1) y w(x} una funci6n compleja para
la cual existan las integrales:
en = J•1 xn w(x}dx , n 0,1,2, ... ,
- 1
(1.2)
Probaremos que pueden encontrarse n puntos del piano complejo {x
1
} y n pesos
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<\>. de manera que:
co
In (F) = [ \F(x
1
) --+ I (n-+co) (l.3)
I =l
Ademas, veremos que n tendra un grado de precisi6n igual a (n-1),esto es:
l(xJ) , j -= 0,1, ... ,n-1
Cuadraturas del tipo (l.2) han sido estudiadas por J. Nuttall y C. J.
Wherry [i).con el mas alto grado de precisi6n (2n-1) (cuadratura gaussiana),
habiendo sido probada su convergencia en base al comportamiento asint6tico de
polinomios ortogonales respecto a la funci6n peso w(x). No obstante,estos
resultados quedan restringidos a una clase muy particular de funciones,de
manera que funciones peso tan "tlpicas" como las de la forma:
w(x) = (1-x)cx (l+x)~ , (a,#3cC, Rea,Re/3>-1) , quedan excluidas de sus conclu-siones
(ver [l]).
La condici6n ( l. 2) impuesta por nosotros es la mas general (y la mas
"natural") posible. Ademas,sera probada la convergencia de <I } y la compu­n
taci6n de los nodos {x
1
} y pesos {A
1
} quedara establecida de forma extremada­mente
sencilla. Por contra,reconocemos que nuestras f6rmulas presentan el
inconveniente de que su grado de precisi6n es menor que el de las obtenidas
en (1).
2.APROXIMANTES TIPO-PADt EN EL INFINITO
Como veremos mas adelante,el estudio de la convergencia de (l.3) esta
estrechamente relacionado con el de la convergencia de Aproximantes tipo-Pade
(ATPs) diagonales en el · infinito a la funci6n:
= J
+l
H(z)
-1
w(x)
dx (2.1) z-x
(Para una discusi6n sabre la convergencia de Aproximantes de Pade a (2.1),
vease (2)).
Desde un punto de vista general.a partir de una serie formal de potencias
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CD L a z-<J•ll (z~)
j =O j
L (z)
CD
(2.2)
se trata de construir fracciones racionales con denominador prefijado de grado
n y numerador de grado (n-1),de manera que su desarrollo en serie de potencias
descendentes de z coincida con L
00
hasta el grado n. Formalmente,este es el
fundamento de los ATPs introducidos por Brezinski (3). A fin de fijar ideas,
recordemos brevemente su construcci6n, incorporando algunas leves modifica-ciones.
Para ello se introduce el siguiente funcional lineal,actuando sobre el
espacio de los polinomios: j 0,1, ... Asumiendo que c puede
extenderse a un espacio suficientemente amplio l:, de forma que
(1/z-xJ E I:, para Z E C, podemos afirmar que para la funci6n H(z) = c(l/z-x),
se tiene,al menos,formalmente:
H(z)
(
CD j
c E+. J=O Z
CD
:E c z-<J+U
JzO J
L
OD
Como es bien sabido,en el caso real,esta relaci6n existente entre H y la
serie Lm ha sido empleada con exito por Stieltjes y Hamburger para resolver el
problema de mementos. En base a la misma, podemos construir f unciones
racionales que correspondan a L• en la siguiente forma: Dado un polinomio
arbitrario P n (z),de grado n,
Q (z)
n
puede probarse Ucilmente que
• c[ Pn(z) - Pn(x) l z - x
Q (z) dado por:
n
(2.2)
(donde c actua sobre x, quedando z como parametro) es un polinomio de grado
(n-1), verificandose ademb:
Q (z)
HCz>-T@-
n
Este aproximante racional a H (o a Lm) se representa por (n/n)L (z), y se
Oii
conoce como Aproximante tipo-Pade a H en el infinito (ver (3)).
De (2.2) obtenemos, de forma inmediata,la siguiente expresi6n del error
de aproximaci6n:
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E (z)
n
H(z) - (n/n)L (z) 1
PCz) c[~ l z - x
En particular,si imponemos que:
c ( XJ Pn (x)
obtenemos,a partir de (2.3) que:
H(z)P (z) - Q (z)
n n
00 n
0 , j 0,1. ... ,n-1
0 (z- (2n•ll) , (z- co)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
La condici6n (2.4) indica que P (x) es el n-simo polinomio ort ogonal formal
n
(5) con respecto a c. En este caso,el correspondiente ATP se denomina AP
(Aproximante de Pade).
En lo que sigue,supondremos que H(z) viene expresada por (2.1),con w(x)
verificando (1.2). As!,dado un polinomio arbitrario de grado n,se tiene de
(2.3):
E (z)
n J•l w(x)P (x) m -z---:-- n -1
dx (2.6)
Veamos,entonces,que sucede cuando elegimos P n (z) de forma que sus ceros esten
distribuidos uniformemente en el circulo unidad (ver (6)). En orden a estudiar
la convergencia en este caso,necesitamos el siguiente :
LEMA 1 ((6))
Sea E un abierto - conexo de C. Supongamos que cSE es una curva analitica de
Jordan y asurnamos que K ,. C-E es regular.en el sentido de que posea una fun­ci6n
de Green G(z) con polo en el infinito. Sea { tJ~n> } (j=l, ... ,n) una
f amilia de puntos de cSE, "uniformemente distribuidos" con respecto a:
d (t)
μ
c5G I dt I
cSn 2'R
donde n representa la normal interior a cSE.
En estas condiciones,si tomamos P (z) = ~ ( z - tJ<n> ) , se t iene:
n J=l J
a) lim IP (z)ll/n = Cap(E), para z EE
n- co n
b) Ii rr1 IP (z) 11/n G(z)C (E)
n~oo n = e ap ' para z E K
Sentado esto,pasemos a nuestro resultado fundamental:
TEOREMA 1.
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Sea P (z) coma en el Lema 1, para n
n
136
1,2, .. . Entonces,la sucesi6n de ATPs
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Q (z)
(n/n)H(z) = -p-n (~z.. .)..- convverg~ geometricamente a H(z), para todo z e C I z I >L
n
Demostraci6n.
Supongamos que r = { t: It I =p } , con l<p< I z I , con z e C fijo. El teorema del
m6dulo maximo prueba que para x E (-1,l), se tiene:
IP (z)I s
n
sup IP(t)I
tEf n
IE Cz) I s
n
IP (t ) I
n O
IP (z)I
n J+-1
1
_I w_(_x_) _I l_d_x_I
lz - x I
IP n (t
0
) I
:S K -----
IP Cz)I
n
donde K es una constante independiente de n. Como I t
0
I >I y I z I >l, podemos
erscribir,de acuerdo con el Lema 1:
lim
l/n n--}OO
llm IE (z)I :S
n
n--}co
lim
n--}CD
IP ( t ) 11/n
n O
IP (z) I 1
1n
n
G(z) e
Como es bien sabido, en el caso particular de un cfrculo de centro z
0
y radio
r: E = { z: I z-z
0
I <r } , entonces e G(z) =
lz-z
0
1
r
, quedando por consiguiente:
lirn I E (z)l 1
1
n :S ;\. =
n
lt
0
1
Tzl
p IZT <1.
lo cual prueba la convergencia geometrica de la sucesi6n de ATPs a H(z.) •
De forrna inrnediata,se tiene el siguiente:
COROLARIO
La sucesi6n ( (n/n)H(z) } converge uniformemente en cualquier compacto conte­-
nido en D: ( ze«; I lzl>l }.
Observaci6n: T~ngase en cuenta que este resultado es vAlido,por ejemplo,para
el caso en que P n (z) tenga como ceros a las rakes n-simas de la unidad,esto
es: P (z) z" - 1.
n
3.CUADRATURA NUMERICA
Visto lo anterior,nuestro analisis seguira a partir de ahora el enfoque
clasico (vease (7).(8]). Supongamos que F(x) es anal!tica en la regi6n
{ zeC: lzl:Sp } (p>l) (que incluye a (-1,1] y sea r el contorno lzl p. Tene-
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mos que por el Teorema Integral de Cauchy:
F(x) = J F(z) dz , X E (-1, ll. Por otra parte,
2ni r z - x l(F) = t1 w(x) F(x) dx rw (x) . Jr F(x) dz
2rri z - x
-1 -1
-
2
1. J F(z) H(z) dz, con H(z)
m r
dada por (2.1). Entonces,si P
0
(z) es un polinomio arbitrario de grado n con
ceros {x >
0
, podemos escribir:
I 1=1 Q (z) n A
H(z) = (n/n)H (z) + E
0
(z) = p n(z) + E
0
(z) = L z-~ + E
0
(z). De aqu1:
1 n J [ Qn(z) l=l I
l(F) = ~ p (z) + E
0
(z) ] F(z) dz
r n
n 1 J = L A F(x ) + -
2
-. E (z) F(z) dz = I (F) + R (I)
l =l I I 7rl f n n n
n
donde I (F) = r A F(x) es una cuadratura de la forma (1.1) y
n l 1 l
l = l
R (I) = -
2
1
. J E (z) F(z) dz representa el error de dicha f6rmula.
n 1(1 r n
Antes de probar la convergencia del metodo,exarninemos el grado de preci-si6n
de In. Obtenemos el siguiente:
TEOREMA 2
I (xJ) =- ICxJ} , j = 0,1, ... ,n-l.
n
Demostraci6n
+1
Tengase en cuenta que J(xJ) = J xJ w(x) dx
-1
= c , siendo
J
H(z) = r c z-<J•O. Por otra parte: I (xJ) = f A xJ = c' siendo l J l l l J •
J=O n I =l
GO
(n/n)H(z) = L c' z -<J•U , para I z I suficientemente grande. Pero,por defini­J
=O J
ci6n de ATPs,se sigue: c = c' , j = 0,1, ... ,n-l , de donde,inmediatamente:
J J
I (xJ) = ICxJ) , j = 0,1, ... ,n-l. •
n
Por ultirno,y teniendo en cuenta el corolario anterior,podemos asegurar:
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TEOREMA 3
lim I (F)
n- -)oo n J+l F(x) w(x) dx
- 1
para toda funci6n F(x) anal!tica en
un d rculo que contenga al intervalo real (-1,+l].
BIBLIOGRAFIA
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Maths. 974 (1. 983).
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transformations:
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-rithmic endpoint singularities". Math. of Compt. Vol 35, no. 151, pp 851-874
(1. 980).
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