Sobre métodos de resolución de problemas de valores en la frontera bipuntuales vía funciones racionales

              Rev.Acad.Canar.Cienc., I, 99-107 (1990)
SOBRE METODOS DE RESOLUCION DE PROBLEMAS DE V ALORES
EN LA FRONTERA BIPUNTUALES VIA FUNCIONES RACIONALES
N. Hayek y F. Perez Acosta
Departamento de Anallsis Matematico
Universidad de La Laguna
ABSTRACT
Following the method by M. Razzaghi and A. Arabshahi (9), in this paper
we present a technique to solve linear two-point boundary-value problems,
approximating the solution by a rational function.
KEY WORDS: Two-point boundary-value problems, rational approximation,
operational matrix.
1. INTRODUCCION
La investigaci6n de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias que
se presentan en problemas de valores en la frontera bipuntuales se ha revelado
de gran interes en multiples contextos, entre ellos la moderna teoria del
control; en especial, aquellas juegan un papel importante en la busqueda de
soluciones de ciertas ecuaciones matriciales de Riccati que aparecen en la
mayor parte de problemas de disei'los de sistemas de la referida teoria (8) ,
siendo bien conocida la dificil integraci6n de las mismas y que ha impulsado
el empleo de otros varios metodos tales como el de superposici6n, soluci6n
adjunta, barrido, etc ...
Entre las ultimas tecnicas ernpleadas para los citados problemas de
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valores en la frontera, destacan las que recurren a la aproximaci6n de la
soluci6n mediante funciones ortogonales 6 bien series polin6micas , siendo su
principal caracteristica que los problemas quedan esencialmente reducidos a
resolver un sistema lineal de ecuaciones algebraicas, lo que simplifica
grandemente la determinaci6n de la soluci6n del problema en cuesti6n. Chang y
Yang (1) han utilizado tambien la matriz operacional de integraci6n de
polinomios ortogonales y Horng y Chou (3) aplican matrices de transformaci6n
en algunos casos especiales.
M. Razzaghi y A. Arabshahi han discutido recienternente (9) un metodo
similar al de Horng y Chou para resolver el siguiente problema de valores en
la frontera bipuntual:
x'(t)=Ex(t)+Fu(t), O:St:Ss
(1.1)
x (O)=x
1 10
x (s)=x
2 21
donde
[
x (t)l
x(t)= <(t) [
u (t)l
u(t)= <(t) denotan vectores de n y k componentes,
respectivamente, y E= [~11 ~12] f 12]
F • representan matrices 21 22 22
constantes nxn y ruck, respectivarnente.
La soluci6n de (1.1) es aproxirnada por una serie finita de Taylor de
la forma:
m-1
Y(t)= \ Y T (t) l I I
l=O
T =t1
• I
(1.2)
donde los coeficientes se determinan • Psr!'v ,,,ndo un "ist ema lineal de
ecuaciones algebraicas.
En Jos ultimos anos la aproximac i•"
gran auge y desarrollo frente a la aproximaci6n polin6rnica,
especialmente en determinado tipo de problemas en los que cabe apreciar a
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priori que la utilizaci6n de funciones racionales conduce necesariamente a mas
6ptimos resultados. Por ello, en este articulo sugerimos una tecnica para
aproximar mediante una funci6n racional, la soluci6n de problemas
estacionarios de valores en la frontera de la forma (1. ll.
Si bien el proceso empleado es el mismo que el de M. Razzaghi y A.
Arabshahi [9], la utilizaci6n de una funci6n racional como aproximaci6n de la
soluci6n, resulta en muchos casos mas id6nea, por ejemplo cuando el metodo se
aplica a problemas de valores en la frontera de segundo orden con una o dos
cap as lfmites en los extremos del intervalo de integraci6n [0,s);
precisamente, la posibilidad de elegir polos pr6ximos a la capa limite
(exteriores al intervalo (O,s)), hace presumir que la aproximaci6n representa
bien el comportamiento de capa limite en los extremos de [O,s), de la
soluci6n, comportamiento que, como se sabe, es generalmente dificil de
representar por un polinomio. A este respecto puede verse el trabajo de E. L.
Ortiz (6) en don de se pone de manif iesto la ventaja de la aproximaci6n
racional sobre la polin6mica, al utilizar el metodo Tau en la resoluci6n de
problemas lineales de segundo orden en los que interviene una derivada primera
de f uerte crecimiento.
lgualmente, los interesantes resultados a los que conducen las soluciones
racionales discutidas por C. Lanczos (4) y E.L. Ortiz (5). entre otros.
2. APROXIMACION DE LA SOLUCION POR FUNCIONES RACIONALES
El metodo empleado por Razzaghi y Arabshahi para el problema (1.1),
consiste en aproximar la soluci6n mediante una combinaci6n lineal de funciones
T
0
, T
1
, ... , Tm- l , donde
T =t
1
I
(O:si:sm-1) (serie finita de Taylor) ,
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6 tomando T
1
como polinomio de grado de una sucesi6n de polinomios
ortogonales.
Hacienda el cambio
[
y(t)l [x(t)l
Y(t)= y:(t) = x)s-t) el
transf orma en
Y'(t)=A Y(t)+A Y(s-t)+B U(t)+B U(s-t)
I 2 I 2
con
[
E O l A - 11
1- 0 -E
22 [
0
A - 2- -E
21
[
F 0 l 8 - 11
1- 0 -F
22 [
0
B - 2- -F
21
m-1
aproximandose entonces Y( t) por Y(t)= \ y T (t)=YTT(t) l I I
I =O
obtienen resolviendo el sistema lineal:
MY=W,
sistema (1.1)
donde los Y
I
se
(2.1)
se
obtenido de (2.1) usando una matriz operacional de integraci6n P,
caracterizada del modo siguiente:
t
J T(t}dt QI PT(t), donde T(t)=[T (t),. .. ,T (t)]
O m-1
0
y una matriz S independiente de t, tal que:
T(s-t)=ST(t) ,
m-1
y la aproximaci6n de U dada por U(t)= \ U T (t)=UTT(t). l I I
l=O
(2.2)
(2.3)
Seleccionamos a continuaci6n algunos casos en los que hemos adoptado para
Y(t) la forma de una funci6n racional. En cada uno de ellos, se obtienen la
matriz operacional P con la propiedad (2.2) y la matriz S Cindependiente de T)
con la propiedad (2.3).
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2.1 Caso de polos simetrlcos respecto de los extremos del lntervalo [ 0, s).
donde
Supongamos que T es de la for ma:
T
T=(c/>o,c/>1.c/>2, ... ,<f>m+l) '
1
c/>l (t)- t-13 con 13=s+a.
cl> (t)=T (i=2, .. . ,m+l) , con T =tk(O:sk:sm-1) o un polinomio ortogonal de
I 1-2 k
grado k.
Puesto que y como
T(s-t)=ST(t)
y
donde S= [--
0
-
1 0---~~1--:-- y S una matriz tal que T(s-t)=S T(t),
~ (1)
T(t)=(c/>2 . . .. ,c/> m+l) .
Calculemos ahora la matriz operacional P.
Se tiene: f T(t)dt=( r t!a. dt,J\~l3 dt, .... J\m-ldt)
0 0 0 0
Ahora bien como:
( t!a. dt=ln ( i~)
se puede escribir:
t J T(t )dtQI
0
0 0
0 0
0
t
con P tal que J T(t)dtaP T(t).
0
Asf. si T =t1 la matriz P sera:
I '
0 -ex
1
0 - "jj
2a.2
1
2(32
1 Vease [9] para la forma de S (p .377-(6)).
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T(t)
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-p = [ g
0 0
1 0 . . . 0
0 112 0 ... 0
· . 1/(m-1)
0
Sentado esto, si aproximamos la soluci6n por:
y U(t) por:
m+l
Y(t)= \ Y </> (t)=YTT(t) l 1 I
l=O
m+l
U(t) = \ U </> (t)=UTT(t), l 1 I
l=O
(Ui=matriz de kxl componentes), al integrar la (2.1) de 0 a t, y teniendo en
cuenta que Y(s-t)=YTST(t), U(s-t)=UTST(t), resulta el siguiente sistema lineal
de ecuaciones algebraicas:
Al igual que en Razzaghi [9], la soluci6n de este sistema puede ser
expresada en forma mas simple utilizando el producto tensorial (tambien
llamado producto de Kronecker)
con
MY=W,
Y=[YT YT ... YT ) ,
0 l m+l
donde I es la matriz identidad (m+2)nx(m+2)n, W
1
_
1
es la i-esima columna de la
matriz W y 8 denota el producto tensorial.
2.2 Caso de dos polos multiples respecto de los extremes del intervalo
[ 0. s].
a) Dos polos dobles
Supongamos que </> (t)
0
---2·
(t+a)
</> (t)=T (t), siendo T (t)=tk (i=O,l, ... ,m-1).
I 1-2 k
Puesto que:
</> (s- t)=-
1-=<t> (t)
0 (t-/3)2 I
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</> (t)
1
donde /3=s+a
1
</> (s- t)=--=</> (t)
1 (t-a)2 o
y
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se tiene:
T(s-t)=ST(t)
donde s~ [-
0
-
1
0 -
0--+I--:-- siendo S coma en el apartado anterior.
Ahora bien coma:
b) Dos polos de multiplicidad m (m>l)
Asumiendo que:
puede escribirse
con lo que:
"'0 (t)
=---,
(t+cx)m
; (t) = --1
- con fl=s+cx
1 (t-{l)m
</> (s-t)=(-l)mtf> (t) y ; (s-t)=(-l)m</> (t)
0 1 1 0
[
0 ( -1 )m O l T(s-t)=ST(t) , donde S= _(-_Ol_)m_o _t ----- . Par otra parte, teniendose: s
It
---dt
o (t+a)m
= _1 r (1-m) m-1 l k
k=l
m+k+l a
It 1 dt=i...:...!..L.'.-1 [ (-l)k-1(1-m)~ '
0 (t-/3)m m-1 k= 1 k 13m+k+l
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. t f T(t)dt puede aproximarse par PT(t) siendo P la matriz
0
0 __=.!__ (1-m)_l _=!._ (1-m)_l
m-1 1 m m-1 1 m+ 1
l=U._m -1( 1 -m )<X _l_ - -1=!J_m -l(<1 -Xm) _l_
m-1 2 f3m m- 1 2 f3 m + 1
0 0
0 0 0
p
0
NOTA
Las matrices S y P pueden igualmente calcularse (lo que implica la
aplicabilidad del metodo) en el caso en que:
tf> (H-__1 _
0 (t+<X )r 0
0
tf> (t)- 1
1 (t-(3 )r 0
0
tf>2(t)- 1 r • (t+<X ) 1
1
tf> (t)- 1 , tf>
2
k+
1
(t)- , tf> =tr (r=l,2, ... ,m-1)
2k (t+cx) rk (t-(3 )rk 2k+r+1
0 0
f3 =s+a ( O~i~k)
1 1
3. REFERENCIAS
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(2) CHOU, J.H. 1987, Int. J. Control, '45,269
(3) HORN l.R. y Chou, J.H. 1987. Int. J Systems Sci. 18,293
( 4) LANCZOS C. ~ aplco. in. N urrwUcal ~ I. J. H. Miller Ed., Academic Press
(1973)
(5) ORTIZ E.L. ~ NaU!4 in. M.a.thernatlc4, R. Ansorge and W. Tornig Eds.
Springer Verlag (1978).
(6) ORTIZ E.L. 73awid.a.tuj and ln1eltlari ~~ f:omputatlanal and ~
~ (Proc. Conf. Trinity College, Dublin, 1980),pp. 387-391, Boole, Dun
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(7) RAZZAGHI M. 1982 Int. J. Cornput. Math, 11 p.297.
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Elsevier), pp.267-271.
(9) RAZZAGHI M. y ARABS HAHi A. 1989, Int J. Systems
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