Una extensión de la transformación integral de Hankel

              Rev.Acad.Canar.Cienc., I, 39-53 (1990)
UNA EXTENSION DE LA TRANSFORMACION INTEGRAL DE HANKEL
An
M. Linares Linares y J.M. R. Mendez Perez
Departamento de Informatica y Sistemas, Universidad de Las Palmas
Departamento de Analisis Matematico, Universidad de La Laguna
Integral
La Laguna (Tenerife), Islas Canarias, Espana
ABSTRACT
transformation, kernel Involves an analogous to
q- dlmenslonal Bessel function,
whose
la Investigated on certain apace
theory of A.H. Zemanlan on the
the
of
distributions In such a way that the Hankel
transformation can be deduced as a particular case. The operational calculus
generated ls applied to solve a Cauchy problem for certain partial
differential equation.
1980 Mathematics Subject Classification (1985 Revision): 46Fl2, 44A05
Key words: Hankel transformation, Parseval equation, Bessel function,
generalized functions.
1. lntroducci6n. En este trabajo se investiga la transformaci6n integral,
dependiente de los parametros μ y v ,
(Ji f)(y) = F(y) = Joo x 2μ+iu (xy)f(x)dx (1.1)
μ,v μ,v
0
donde la funci6n nucleo z = u (x) = x -μ J (x), estrechamente relacionada con
μ,v v
la funci6n q-dimensional de Bessel (13) (Jv(x) representa la funci6n de
Bessel de primera especie y orden v) satisface la ecuaci6n diferencial
2 2
z" + 1 +2μz'+ (1 - v - μ )z = O
x 2 x
(1.2)
tanto clasicamente como en ciertos espacio de distribuciones, extendiendo
conocidos resultados de A.H. Zemanian sobre la transformaci6n de Hankel
( [ 20 J, [ 21), [ 22]). Esta transformaci6n incluye notables casos particulares.
Asi, para μ=-112 se origina la transformaci6n de Hankel en la version
investigada en [18,p.240) y [20):
(H f){y) = CH f)(y) = Joo;-;; J (xy)f(x)dx
V -1/2,V V
0
(1.3)
En cambio, para μ=0 surge esta otra version de la transformaci6n de Hankel
([19,p.456]) y [11]:
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Ch/HY> (H f)(y) = J00
o,v xJ v (x. y)f(x)dx
0
(1.4)
Por ultimo, sl μ=v comparece la transformacl6n de Hankel - Schwartz
((16),(4].(SJ.[15],y (1)) :
(H f){y)
v,v J
oo 1+2V
= x tVxy)f(x)dx
0
(1.5)
siendo t5 v (z) = t5 v,v (z).
Transformaciones integrates del tipo (l.1) han sido consideradas tambien
por J.N. Markov (8), B.R. Bhonsle y S.N. Ojha (2) y P.G. Rooney (14).
Nos ref eriremos a (1.1) denorninandola transformaci6n integral de Bessel.
De la relaci6n de (1.1) con la transformaci6n de Hankel (1.4):
(IH f)(y) = y-μ{h (xμf(x)}(y)
μ,v v
(1.6)
se infiere el siguiente resultado clasico ([19,p.456)):
Teorema 1. (Formula de inversi6n). Sean vi!!:-l/2 y μ un numero real
arbitrariamente fijado . Si f(y) es una funci6n definida en O<y<oo tal que
yμ+l/2f(y) es absolutamente integrable, si f(y) es de variaci6n acotada en un
entorno del punto y=x y si F(y) viene dada por (1.1), se tiene:
00
(~- I F)(x) = (H F)(x) = J y2μ+t0 (xy)f(y)dy = -
2
1 [f(x+O) + f(x - 0))
μ,v μ,v μ,v
0
No resulta diffcil establecer el pr6xirno aserto ((7)):
Teorema 2. (lgualdad de Parseval) Sean vi!!:-l/2 y μ un numero real
arbitrariamente fijado . Si e son funciones
absolutamentes integrables sobre el semieje real posit ivo y si ponemos
F(y)=(IH f)(y) y g(x) = (IH -
1 G)(x) = (H G)(x) , se cumple:
μ,v Joo 1+2:,v μJ,~ i.-2μ
x f(x)g(x)dx = y F(y)G(y)dy
0 0
(1. 7)
Con harta frecuencia recurrimos a las f6rmulas (3,p .16)
D !xμ·vo (xy)J = xμ+v-1o (xy)
X μ, V μ - 1, V-1
(1.8)
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D lxμ-vo Cxy)J = -/xμ-v+io Cxy)
X μ,V μ+t,V+l
(1. 9)
Cuando μ no es entero, slempre se ellge la rama principal zμ, de modo que
esta potencia toma valores reales y positives cuando z es real, z>O.
En lo que sigue I denota el lntervalo real (0,oo). D(I) y E(I) representan
los espacios vectoriales constituldos por todas las funclones complejas
lnfinitamente dif erenclables, en el primer caso con soportes compactos
contenldos en I. D'(I) y E'(I) simbolizan sus respectlvos espaclos duales.
2. El espacio de funciones prueba H μ,v y su dual. Sean μ y v numeros
reales cualesquiera. Hμ ,v representa el espacio vectorial de todas las
funciones complejas infinitamente diferenciables sabre I y tales que
r μ ' v (rp) = sup I x m (x -1 0) k x μ-v <p(x) I
m,k xcl
(2.l)
existe para todo par de enteros no negativos m y k. Dotandole de la topolog{a
engendrada por la familia de seminormas (2. l), H se convierte en un espacio μ,v
de Frechet (22,p.12). Hμ' ,v designa el espacio dual de H μ,v . La topolog{a de
H' sera la debil originada por la multi nor ma {~ ) donde
μ,v 'P
~ en = I <f ,rp> I
"' La siguiente caracterizaci6n de
feHμ' ,v q>EH μ,v
los elementos de H μ,v
correspondiente resultado de A.H. Zemanian [22,p.130):
(2.2)
generallza et
Proposicl6n I. La funci6n rp(x) definida sabre I pertenece al espacio H μ,v
si, y s6lo si, (a) rp(x) es infinitamente diferenciable sobre I, (b) En el
origen rp(x) admite el desarrollo
v-μ [ 2 2k 2k rp(x) = x a
0
+ a
1
x + ........ +akx + o(x )) (2.3)
siendo las a constantes conocidas, y (c) Dkrp(x) es de rapido decrecimiento en
J
el infinite (k=O, l,2, ........ ).
Enunciamos algunas propiedades de estos espacios:
(i) Algebraica y topol6gicamente D(l)cH cE(I). Puesto que H es μ,v μ,v
denso en E(I), resulta que E'(I) es un subespacio de Hμ' ,v
(Ii ) H cH cualquiera que sea el entero positive par q .
μ,v+q μ,v
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Consecuentemente, Hμ' ;v cHμ' , v+q , entendiendo que la restrlcci6n de feHμ' ,v a
Hμ ,v+q pertenece a Hμ' ,v+q
(iii) Observese que H μ,v = Hμ +cx,v+cx , para todo ex real.
(iv) Cualqulera que sea el entero n se tlene que H- μ-n, v+n cH -μ, v
siendo la topolog!a de H mas fuerte que la que le induce H
-μ-n,v+n -μ,v
Teniendo en cuenta que la restricci6n a H- μ-n,v+n de todo elemento de Hμ' ,v
pertenece a H , se puede escribir H' cH'
-μ-n, v+n -μ, v -μ-n, v+n
(v) Sea v?:-112. Todo elemento feH μ,v genera una distrlbuci6n regular f en
el espacio Hμ' ,v definida mediante
I 1+2μ <f ,q» = x f(x)<p(x)dx
I
<pEH μ,v
lndependientemente de cual sea el valor del parametro μ. Ciertamente,
I <f,<p> I~ rμ,v(f>)J x1+μ+v I f(x) I dx
o,o
I
(2.4)
pues esta integral existe ya que, merced a la Proposici6n l, el lntegrando es
una O(x1+2V) si x~ 0 y f(x) es de rapido decrecimiento si x~ . Es
+
asociando la funci6n convencional feH μ,v con la distrlbuci6n regular feHμ' ,v
que origina, como debe entenderse la lnclusi6n Hμ ,v cHμ' ,v
Proposici6n 2.
(a) La aplicaci6n <p(x)~x"ip(x) es un lsomorfismo del espacio H μ,v
sobre Hμ ,v+n para todo entero n. Luego, la aplicaci6n f(x)~x"f!x) deflnida
por
<x"f(x),q>(x)> = <f(x),x0 cp(x)> feH'
μ,v+n
cpeH μ,v
tambien es un isomorfismo del espacio H' en H'
μ,v+n μ,v
(b) La correspondencia <p(x)~x2 μf>(X) constltuye un lsomorflsmo del
espacio H sobre H . Luego, la operaci6n f(x)~x2μf(x) definida segun μ,v -μ,v
<x2μf(x),<p(x)> = <f(x),x2μq>(x)> feH' , f>EH , -μ,v μ,v
es lgualmente un lsomorflsmo de H' sobre H' -μ,v μ,v
(c) La correspondencia cp(x)~xμ<p(x) orlgina un lsomorflsmo del espaclo
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H sobre H = H ([11)) μ,v V O,V
Consideremos los operadores diferenciales:
2 2
6 Q • p = 02 + 1+2μ D - ~
μ,v μ,v μ,v x xz
Proposlci6n 3.
(a) El operador diferencial clasico P μ,v dado por
isomorfismo de! espacio H sabre H , siendo su inverso:
μ, V -μ-t, V+I
(b) El operador
p - 1 rp = xv-μ[t-μ-v-trp(t)dt
μ,v
co
diferencial clasico dado
aplicaci6n lineal y continua de! espacio H- μ-t, sabre H V+t μ, V
por
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.5), es un
(2.8)
(2.6), es una
(c) El operador dlferencial clasico fl deflnido segun (2. 7), es una μ,v
aplicaci6n lineal y continua del espacio H en s{ mismo. μ,v
(d) Considerado como operador generalizado, P se definira como el μ,v
operador adjunto de - Q , es decir, μ,v
<P f ,rp) = <f ,-Q tp> , feH' , f>EH (2. 9) μ,v μ,v μ,v -μ-1,v+t
Consecuentemente, P μ,v es una aplicaci6n lineal y continua de! espacio Hμ' ,v
sabre H
-μ- t,V+l
(e) Como operador generalizado, Q se define mediante el adjunto de μ,v
-P , esto es , μ,v
<Q μ,v f,rp> = <f,-P μ,v rp> , feH' rpeH
-μ-t, V+l μ, V
(2.10)
y constituye un isomorfismo del espacio H' sabre H'
-μ-1,V+l μ,v
(f) El operador generalizado fl μ,v , introducldo como sigue:
(fl μ,v f ,rp> = <f ,flμ ,v rp> , feHμ' ,v , rpeH μ,v (2. 11)
es una aplicaci6n lineal y continua del espacio H' en s{ mismo. μ,v
Demostraci6n:
Para comprobar (a) observese que, cualquiera que sea el entero no
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negative m, se tlene:
• (k=0,1,2, ....... ).
para todo cpeH Por otra parte, sl f>EH , se tlene:
μ,V -μ-1,V+I
(k=l,2, ....... )
μ,v(P-1 ) l[tm+1(1+2t+t2)t-μ-1-v-1 I rm,o μ,v"' ::s sup 2 cp(t)dt
xel (l+t)
Cll
:S -μ-1,V+I( ) + 2 -μ-1,V+I( ) + -μ-1,V+I( )
1m+l,O 'P 1m+2,0 fJ 1m+3,0 fJ
, (k=O)
Para ver (b), t6mese un elemento fJ cualquiera de H . Se verifica:
-μ-1, V+I
I I
-μ-1 V+I -μ-I V+I ::s 2v+2k+2 1 ' (cp) + 1 ' (q.i) m, k m+2,k+ I
A (c) se llega combinando los resultados (a) y (b). Las conclusiones de
los restantes apartados (d), (c) y (f ). se lnfieren, respectlvamente, de (b),
(a) y (c) y de (22, Ths. 1.10-1 y 1.10-2) .
Nota 1. Cuando se hace μ=-112 los operadores dlferenciales (2.5), (2.6) y
(2.7) se convierten en los conocidos operadores de A.H. Zemanlan [22,p.135)
p = N
-112,v v Q - M
-112,V V
2
ll = s 0 2
- ~ -112,V V 4 X2
Precisamente, esta ultima relaci6n establece que llμ ,v es autoadjunto s6lo
cuando μ=-112.
3. La transf ormaci6n de Bessel en los espaclos H y H' μ,v μ,v
Si vi!':-1/2 se tiene que xμ+l/2f>(x) x--.+O +' y f>(X) es de
rapido decrecimiento en el infinite, en virtud de la Proposici6n 1. Ello
impllca que xμ+l/2f>(x) es absolutamente integrable en (0,co) y, por tanto, que
todos los elementos del espacio Hμ ,v cumplen las hlp6tesis del Teorema 1 de
lnversi6n clasica, exlstiendo
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para todo rpeH μ,v
t(y) Joo 1+2μ
x u (xy)f>(x)dx μ,v
0
(3.1)
Teorema 3. Si v~-112 y μ se fija arbitrariamen t e, resulta que la
transf ormaci6n H definida por (3 .1) es un automorfismo sobre el espacio μ,v
H μ,v
Demostraci6n:
Recuerdese la relaci6n (1.6) entre la transformaci6n (3. 1) y la
transformaci6n de Hankel. Basta ahora recurrlr a la Proposlci6n 2, (c), y a
(11, Th.3) para establecer que H es una aplicaci6n lineal y continua del μ,v
espacio H en sf mismo. A tenor del Teorema 1, H- 1 H con lo cual se μ,v μ,v μ,v
concluye la prueba de este aserto.
En lo que sigue suponemos v~-1/2, denotando μ un parametro arbitrario. Se
define la transformaci6n generalizada de Bessel H' μ,v en el espacio
distribucional Hμ' ,v mediante el operador adjunto de Hμ ,v actuando sobre el
espacio convencional Hμ ,v , es decir,
<H~ 1 /.t> = <f ,Hμ,vt> , feH~. v , teHμ,v (3.2)
Si ponemos f> = Hμ ,v t y nos apoyamos en el Teorema 3, la expresi6n (3 .2) adopta
esta otra forma:
<Hμ' ,v f,H μ,v <p> = <f ,f)> ' f eHμ' ,v' M.,.. EH μ,v '
que viene a ser la traslaci6n a distribuciones de la clasica relaci6n de
Parseval (1.7) , si se tiene presente (2.4).
Del anterior Teorema 3 y de (22, Th. l.10-2) se deduce inmediatamente el
fundamental resultado:
Teorema 4. Sean μ y v numeros reales, v~-112 y μ arbitrarlamente
prefijado. Se t iene que la transformacl6n generalizada de Bessel
definida segun (3.2), es un automorfismo sabre el espacio Hμ' ,v
A contlnuacl6n obtenemos las principales reglas operaclonales clasicas
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H' μ,v
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Proposici6n 4. Sean μ y v numeros reales, v2: - l12 y μ arbltrarlo .
Para todo cpEH se tlene:
μ,v
H (-x
2
μ+
2
cp) = P H cp
- μ - 1,v+1 μ,v μ,v
(3.3)
H (P cp) = -y2μ+zH cp
- μ-1,v+1 μ,v μ,v
(3.4)
H (-x
2cp) = 6 H tp μ,v μ,v μ,v
(3.5)
H (6 cp) -/H cp
μ,v μ,v μ,v
(3 .6)
En cambio, sl cpeH valen
- μ - 1,V+l
H (x2μcp) = Q H cp
μ,v μ,v -μ-1,v+1
(3.7)
IH (Q cp) = y- 2μH cp
μ,v μ,v - μ - 1,v+1
(3.8)
Demostraci6n:
La Proposici6n 3, (a) y (b), y la Proposici6n 2, (b), dan sentido, junta
al Teorema 3, a las f6rrnulas (3.3), (3.4), (3.7) y (3.8). Por otra parte, de
la Proposici6n 2, (a), y de la propiedad (Ii) se deduce que cpeH entrafia que
μ,v
x 2cp(x)EH cH , lo cual justifica las propiedades (3.5) y (3 .6).
μ ,v+2 μ,v
Para obtener (3 .3) observese prlmeramente que es Hcito lntercamblar la
diferenciaci6n con el signo integral para obtener, de acuerdo con (1. 9):
co
p H cp = yμ+v•1J x 2ll•1m y11-vu (xy)Jcp(x)dx
μ,v μ,v y μ,v
0
co
= -J y(xy)2μ• 1x 2u (xy)cp(x)dx
μ+l,V+l
0
CIO
J - 2μ-1 2μ+2 2μ+2 - x u (xy)x cp(x)dx = H (-x cp(x))
-μ-1,V+l -μ-1,V+l
0
Si ponemos t Hμ, vcp y aplicamos el Teorerna 3, la f6rmula (3.3) se puede
escrlbir:
en otras palabras,
H (-x2μ+2H t)
- μ - 1,V+l μ,V
p t
μ,v
-x2μ+
2H t = H (P t)
μ,v -μ-1,v+1 μ,v
la cual intercambiando el papel de las variables x e y y de las funciones cp y
t , produce la formula (3.4) .
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Procediendo de forma analoga, de (1.8) siguei
Cl>
o H rp = y-μ-v-lJ x-l-zμD 1/-μu (xy))rp(x)dx
μ,V -μ-1 ,V+l y -μ-1,V+l
0
= y -zμ-zJco u ( xy )<p( x)dx
-μ-2, v
0
Cl>
J
x 1+2μlS (xy)x-zμ<p(x)dx = IH (x- zμ<p)
μ,v μ,v
0
que es la regla operacional (3.7). Si ahora denotamos t = IH <p
-μ-1,V+l
nuevamente el Teorema 3 permite expresar (3.7) de esta otra manera:
IH ( x -zμIH t ) = Q t
μ,v -μ-1,v+1 μ,v
es decir,
x -zμIH t = H ( Q t)
-μ-1,v+1 μ,v μ,v
f6rmula que coincide con la (3.8) sin mas que reemplazar la variable x por la
y, al mismo tiempo que la funci6n t se sustituye por <p.
Por ultimo, de (3 .8) y (3 .4) se infiere:
IH (6 <p) = H (Q P <p) = μ,v μ,v μ,v μ,v μ,v
todo lo cual establece (3 .6). Combinando (3. 7) y (3.3) se obtiene (3 .5).
Proposici6n 5. sean μ y v numeros reales, vi!::-1;2 y μ arbitrario. Para
todo feH' se tiene
μ,v
H' (-x
2μf) = P H' f
-μ- 1, V+l μ, V μ, V
(3.9)
H' (P f) = -y -zμH' f
-μ-1,v+t μ,v μ,v
(3.10)
H' (-x
2
f) = 6 er f (3.11)
μ,v μ,v μ,v
w (6 n -/w r μ,v μ,v μ,v
(3.12)
En cambio, si feH' valen
-μ-t,V+I
ff (x2μ+zf) = Q IH' f
μ,v μ,v -μ-1,v+1
(3.13)
D-1' (Q f) = y2μ+21H, f
μ,v μ,v -μ-1,v+1
(3.14)
Demostraci6n:
Primeramente, por la Proposici6n 2 (b), se ve que f eH' entrafia que
μ,v
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x-2μf(x)eH' cH' , en virtud de la propiedad (iv), raz6n por lo cual
-μ, V -μ-1, V+l
tlene sentido la igualdad (3. 9), debido al Teorema 4 y a la Proposic16n 3,
(d). As! pues, (3. 9) se ha de comprobar en el espaclo H' , por lo que
- μ-1,V+l
se tomara un elemento cualquiera t(y)eH :
-μ-1,V+l
<P μ,v Wμ ,v f,t> = <Hμ' ,v f,-Q μ,v t>
<f,-H (Q t)> = <f ,-x-2μH t> μ,v μ,v -μ-1,v+1
<-£211f ,H t> = <H' (-x- 2μf),t>
-μ-1, V+l -μ-1,V+l
tras aplicar !as definiciones (2. 9) y (3.2) y la regla operaclonal (3.8). De
lgual manera se pueden verificar las restantes f6rmulas.
Nota 2. Si feH μ,v , por la propledad (v), f tambl~n pertenece a Hμ' ,v como
elemento regular, slempre que V:!!:-l/2. Como funci6n convencional f admite la
transformada claslca Hμ ,v f mlentras que conslderada como distribucl6n
regular posee transformada generalizada H' f μ,v lCoinciden estos valores?.
N6tese que Hμ ,v feH μ,v , a causa de! Teorema 3, y genera un elemento regular en
Hμ' ,v mediante (2.4):
<H f,t> = Jmy1
+
2μ(H f)(y)t(y)dy = μ,v μ,v
0
( y
1
"
11
[( x
1
'
211o11
, v (xy )f(x)dx] •(y )dy
( x ''211r! x) [( y'·2110,., v(xy )t(y )dy l dx
ID
= J x1
+
2μf(x)(H μ,v t)(x) dx <f(x),H μ,v t>
0
<Hμ' ,v f ,t>
segun la def inicl6n (3. 2), hablendo sido Hcito lntercambiar el orden de
integraci6n. Luego, Hμ' ,v f = Hμ ,v f para todo ·feH μ,v . 0 lo que es lo mismo, la
transformaci6n generallzada concuerda con la transformaci6n clcisica cuando
aquella opera en un espacio de funciones convencionales. Este resultado mejora
el logrado por A. Schuitman (15) en relacl6n con la transformacl6n de
Hankel-Schwartz (1.5):
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H' v,v f = -1-wH (x1+2Vf)
y v,v
esto es, Hv' ,v ~ Hv ,v Ah ora , con nuestra deflnici6n (3.2) y a trav~s del
funcional (2.4), s! se tiene que Hv' ,v Hv ,v pues la transf ormacl6n
menclonada es un caso particular de la nuestra.
Nota 3 Cuando μ=-112 la transformac16n H da lugar a la transformac16n
μ,v
de Hankel (1.3). As! pues, de (3.2) se deduce en particular, para μ=-112 , la
deflnicl6n de la transformacl6n generallzada de Hankel dada por A.H. Zemanlan
(20}. Por otra parte, en este caso y s6lo en ~l. las reglas clAsicas de la
Proposici6n 4 concuerdan con las f 6rmulas generallzadas de la Proposlcl6n 5, y
ambas con el cAlculo operaclonal obtenido por A.H. Zemanlan (22, L.5.4-1 y
Th.5.5-2). En general, pese a la Nota 2, las reglas operaclonales clAslcas y
generalizadas difleren. Conviene esclarecer que la presencla del factor peso
en (2.4) motiva esta y otras anomallas . En (6) se introduce un m~todo que
permlte mejorar considerablemente estos resultados. De todos modos qulzb
merece la pena subrayar que, cuando μ=-112, desaparecen los factores pesos
tanto de la relac16n de Parseval (1.7) como de (2.4).
'4. La transformacl6n generallzada de Bessel de 6rdenes arbltrarlos μ y v.
Ahora se supone que μ y v son numeros reales cualesqulera y que r denota
un entero positlvo tal que v+r~-112 lntroduclmos las siguientes
transf ormacl ones:
(H q.>)(y) = t(y) = H( y-2μ-2r H
μ,v,r -μ-r,v+r
. P x -zμ-2r+2 ..... x-2μ-6P x -2μ-•p x -2Jl-2p 9' ( 4.1)
μ+r-1, v+r-1 · μ+2, v+z μ+1, v+1 μ, v
y
(4.2)
..
Teorema 5
(a) La transformaci6n Hμ ,v,r deflnida por (4.1) es un automorflsmo sobre
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el espacio Hμ ,v , lndependientemente de los valores reales de los parametros μ
y v.
(b) La transformaci6n lnversa H-
1 vlene dada por (4 .2) μ,v,r
(c) Si v<!::-1;2 la transformaci6n t-1 coincide con la transformaci6n μ,v,r
H considerada en el parraf o precedente. μ,v
Demostraci6n:
Se puede constatar, hacienda uso del apartado (b) de la Proposlcl6n 2 y
del (a) de la Proposicl6n 3, que la aplicacl6n suceslva de los operadores
p
μ,v
-2μ-2
p x , ... ........ .
μ+l,V+I y p x -2μ -2r+2
μ+r-1, v+r-1
lleva rpeH μ,v al
espacio H -μ -r, v+r donde, al ser ya v+r~-112 la transformacl6n H- μ -r, v+r
admite inversa a tenor del Teorema 3. Finalmente, el producto por y- 2μ- 2r nos
conduce de nuevo al espacio de partida H μ,v As! queda establecido el
apartado (a). La afirrnaci6n (b) se deduce rapldarnente de (a) y del Teorerna 3
y !as Proposiciones 2 (b) y 3 (a).
La ultima parte se prueba por lnducci6n sabre r. Supongarnos que v~-112 .
Basta verificarlo para r=l. lntegrando por partes, sigue de la definici6n
(4. l) y de (l.8):
co
t-1 <p = -y- 2μ-2J x v-μ u (xy)Dxμ -v ip(x)dx =
μ,V,1 -μ-1,V+l
0
-y- 2μ- 2
{[0 (xy)<p(x)]x~ -J00
£ 1u (xy)cp(x)dx}
-μ -1,V+I -μ-2,V
x~o. 0
J
Cll 1+2μ = x uμ ,v rp(x)dx = Hμ ,v rp
0
puesto que los terrninos entrecorchetados se anulan en base a la Proposici6n l
Y u (z) = z2μ· 2u (z) .
-μ -2,v μ,v
Este importante resultado sugiere considerar al operador ~ definido
μ ,v,r
por (4.1) como la transformaci6n de Bessel de 6rdenes arbitrarios μ y v .
La transforrnaci6n generalizada de Bessel Hμ' ,v de 6rdenes arbitrarlos μ, v
se define ahora en el espacio Hμ' ,v como el operador adjunto de ~ actuando μ ,v,r
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sobre el espacio fundamental H , donde r es un entero positlvo tal que μ,v
v+rl!:-l/2 :
<Hμ' ,v f,t> = <f ,H μ,v,r t> , feH' , teH μ,v μ,v (4.3)
Teorema 6. La tranformaci6n generalizada H' definida por (4.3) es un μ,v
automorfismo sobre el espacio Hμ' ,v , cualesqulera que sean los valores reales
que tomen los parametros μ y v.
Demostracl6n:
Se deduce lnmediatamente del Teorema 5 y de (22, Th. 1.10-2).
Nota 4. Cuando μ=-l/2 se obtlene, como caso particular, la extensl6n de
la transformaci6n generalizada de Hankel a todo valor real de v realizada por
A.H. Zemanian (211. En efecto, sl se tlene en cuenta que
p = N P £ 1 = xN
-112,V V 112,V+I V+I
P x -3 = x2N x-1
3/2,V+2 V+2
P xJ-2r
r-312, v+r-1
la definici6n (4.1) da lugar a:
(H ip)(y) = t( ) = (-1{ -2r+IH {xr-i. -112,v,r Y Y 112-r,v+r
· N ......... N N N fJ} v+r-1 v+2 V+I v
(-l{y-rJm-rXy J (xy)N ....... N N N tpdx
V+r V+r-1 V+2 V+I v
0
= (-l{y-r~ N · · · · · · · · ·N N N 'P
V+r V+r-1 V+2 V+l v
que no es otra cosa que la expresi6n (2) de (22, p. 163).
Nota S. Cuando μ=O aparece la versi6n (1.4) de la transformaci6n de
Hankel y la teor{a desarrollada en esta secci6n constltuye una ampllaci6n del
trabajo [11) a cualquier valor real de v.
Nota 6. Las reglas operaclonales contenidas en las Proposiclones 4 y 5
son validas ahora, de acuerdo con !as definiclones (4.1) y (4.3), para todo
par de numeros reales μ y v.
Nota 7. El calculo operacional generado por !as transformaciones ~ μ,v y
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Hμ' ,v permite resolver numerosos problemas de gran lnter~s. A modo de
ilustraci6n, busquemos la solucl6n generallzada u(r,t)eHμ' ,v del slguiente
problema de Cauchy
a
2
μ + 1+2μ au
-r- ar
2 2
~u
2 r
1 au
Tar
donde -oo<μ<oo , v~-l/2 , t>O , r>O , k>O , que satlsface la condici6n lniclal
u(r,t)~f(r)eH' cuando t~ μ,v +
Si ponemos U(p,t)=Hμ' ,v {u(r,t)} y admitlmos que Hμ' ,v{ aatu(r,t)} ~aat μ' ,v {u(r,t)}
(4.4)
(4.5)
el problema (4.4)-(4.5) se convlerte al apllcarle la regla operaclonal (3.12)
en este otro problema diferenclal ordinario:
{
-p
2
U(p,t) =-} =~
U(p, 0) = F(p) = H' (f(r)) μ,v
cuya soluci6n
2t
U(p,t) = F(p)e-p
al ser antitransformada, suminlstra la solucl6n del problema original:
u(r, t) H' (r(p)e -p
2t] μ,v
o bien, en forma de funcional:
2t
<u(r, t),91(r)> = <F(p),e-p t(p)> , f)EH μ,v (4.6)
siendo t(p) = (H μ,v 91)(p). Para comprobar que (4.6) clertamente define u(r,t)
como solucl6n del problema (4.4)-(4.5), se proceder' lgual que en [22,p.158).
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