Sobre elección de denominadores en aproximación tipo-Padé

              Rev.Acad.Canar.Cienc., I, 125-132 (1990)
SOBRE ELECCION DE DENOMINADORES EN APROXIMACION TIPO-PADt
Ram6n A. Orive Rodriguez , Pablo Gonzalez Vera y Luis Casasus Latorre
Departamento de Analisis Matematico
Universidad de La Laguna
Abstract
In [l],Gammel et al. propose to approximate an analytical function in
those points of the segment joining two branch points of such a funtion,making
use of certain Pade-type Approximants, in view of the poor results obtained via
Pade Approximants. In this paper, the power of such method is proved, by giving
some results about geometric convergence for sequences of these Approximants.
Keywords: Pade-type Approximation, Orthogonal Polynomials.
1.INTRODUCCION
En un articulo de I. 981 ([l]),Baumel,Gammel . y Nuttall proponen un metodo
para aproximar a una funci6n en un intervalo situado entre dos puntos de rami-
-ficaci6n. Dicho metodo consiste en construir sucesiones de ATPs (Aproximantes
tipo-Pade),de manera que los denominadores sean polinomlos ortogonales sobre
un arco que conecte ambos puntos. Nuestro prop6sito es extender esta idea a
casos mas generates. Asimismo, sera probada la conver·gencia geometrica de tales
Aproximantes a la funci6n de partida, fuera de dicho arco.
co
A fin de fijar ideas,sea f(z) t
I =O
I cz
I
una funci6n anaHtica en un
dominio D que contenga al origen. Sea,asimismo,P (z) un polinomio arbitrario
n
de grado n. Considerese el funcional lineal c: c(x1
) = c, actuando sobre el
I
espacio de los polinomios n. Entonces se tiene,al menos formalmente que:
f(z) = c (--
1
x --z) . Por otra parte,puede probarse que:
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Q (z)
n
P (z)
n
-nal
C
[
Pn(x) - P (z) l ----- -" -- e TI • Entoces, si definimos:
n-1 x - z
z" P (z-1
) n
Q (z)
n
P (z) n
E R
Y Q (z)
n
zn-l Q (z-
1
) , se obtiene que la funci6n racio­n
verifica:
n-1,n
Se dice entonces que es un (n-1/n) - ATP a f y se denota:
n
Q (z)
n (n-1/n) r (z). Si en particular P n se elige tal que: c ( x1P n (x)) = 0
P (z)
n
(1.1)
para i 0,1, ... ,n-l (es decir,si P es el n-simo polinomio ortogonal respec­n
to del funcional c), entoncesd (l.l) se transf orma en:
[ f - :· ] (z) = 0 (z2n ) (z-->0)
n
(1.2)
En tal caso se dice que la funci6n racional resultante es un Aproximante
de Pade CAP). As{ pues,los APs son un caso particular de los ATPs con los que
se consigue un mayor orden en la aproximaci6n. No obstante,son de sobra cono-cidos
muchos casos en que los APs se muestran ineficaces a la hora de aproxi-mar
una funci6n en ciertos conjuntos. A modo de ejemplo,citemos:
- Aproximar el valor de una funci6n en el segmento comprendido entre dos pun-tos
de rama. Los polos y ceros se van a situar en dicho segmento,haciendo
imposible la aproximaci6n. Este es el caso estudiado en (1).
- Si f es una funci6n de Stieltjes (ver por ejemplo (2)),cuya medida ; tenga
soporte I = [a, b], sabemos que la convergencia de los (n+J/n) - APs (Ji!!-l) esta
- Una funci6n f con un conjunto de singularidades (a ) ~· con punto de
J JE1,
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acumulaci6n en uno de los extremos del intervalo. Habra pr9blemas en las
cercan(as de dicho punto.
- Una funci6n con un conjunto de singularidades denso en un intervalo. Habra
problemas en las inmediaciones del mismo.
En si'ntesis,el problema queda planteado de la siguiente forma: Dada una
funci6n f con estructura de singularidades conocida,se trata de elegir los
denominadores de los ATP s (por ejemplo,diagonales) a fin de que haya
convergencia a la funci6n de partida.
2. PRELIMINARES
Empecemos por recordar la expresi6n integral (ver [l] y [3]) del error de
aproximaci6n,siendo f analitica y univalente en C - S, S cornpacto y conexo que
no contenga al origen , y siendo t e C - S:
(2.1)
donde C es una curva de Jordan que encierra a todas las singularidades de f
pero no al punto t-1
.
Seguidamente,hacemos una breve sfntesis acerca de las prinicipales
propiedades de los polinomios ortogonales en un arco o curva de Jordan,asocia-dos
a cierta medida μ (ver Szego [7] y tambien [4]). Sea C un arco o curva de
Jordan y considerese el producto interior: <f,g> = J f(x) g(x) dμ(x). La
familia de polinomios P n (z), dada por: P
0
(z) 1 y para n !: 1:
c c c
00 10 no
c c c
01 11 nl
p (z)
n c c
0, n-1 - - - n, n-1
n z - - - - z
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constituye un sistema de polinomios ortogonales respecto a μ, siendo
c = Jz1z1 dμ(z). Ademas,la correspondiente familia de polinomios ortogonales
lJ
m6nicos, P (z).son polinomios minimales de
n
<Q(z),Q(z)> , para cada n. Por
μ
ultimo, sei'lalemos que los ceros de los polinomios ortogonales se situan en la
envolvente convexa de C.
Sea,pues,f analitica fuera de un arco de Jordan S.Sea,como antes,T la
imagen de S mediante la aplicaci6n t~ l/t.T tambien sera un arco de Jordan.
Teniendo en cuenta (2.1),el error E (t) se minimizara si elegimos P de manera
n n
que : Como C puede aproximarse tanto como se
quiera a T,el problema se traduce en elegir P de forma que se minimice su
n
norma uniforme en C. Esto nos conduciria a los polinomios de Tchebycheff aso-ciados
a T. Si en vez de trabajar con esta norma lo hacemos con norrna L 2,los
correspondientes polinomios rninirnales serf an los polinomios ortogonales en la
curva o arco T.Queda,pues,justificada la idea expuesta por Baurnel,Gamrnel y
Nuttall en (l].
3. CONVERGENCIA
Sea f analitica y univalente en C - S, S arco de Jordan que no contenga
al origen y sea T el correspondiente arco de Jordan, imagen de S rnediante la
aplicaci6n ~ lit. Sabemos que existe una funci6n </> que aplica conformemente
el exterior de T en el exterior del circulo unidad,conservando el punto del
infinito. Asimismo, T es regular, en el sentido de que posee funci6n de Green
G(z) con polo en el infinito ,positiva y arm6nica en el exterior de T y tal
que G(z) = 0 en Ty Jim G(z)= 0, para < e T. En particular, G(z) = Ll</>(z)I
z-.+i:;
(ver [9]) .
En [10].Widom define los "polinomios extremales" en T,como aquellos que
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minimizan I ip( IP (z) I )dμ(z), verificando la funci6n ip condiciones poco
T n
restrictivas. Si en particular T es un arco de Jordan y ip{t) = t 2
, tenemos los
polinomios ortogonales en T asociados a la medida μ. En este caso,si μ domina
a la medida lineal sabre T,los correspondientes polinimios ortogonales m6nicos
P n (z) verifican que:
lim
n4oo
max
T
IP (z) 111n = Cap (T) (3.1)
n
donde Cap(T) indica la capacidad logaritmica o diametro transfinito de
T. Asimismo, Widom obtiene el siguiente resultado fundamental para nosotros:
LEMA 1 ((10))
"En las condiciones anteriores, los ceros de los correspondientes polinomios
ortogonales no tienen puntos de acumulaci6n en C - T".
Estamos entonces en condiciones de aplicar el siguiente:
LEMA 2 ([9))
"Sea E cerrado y acotado,tal que K = C - E sea conexo y regular. Sea ; la
aplicaci6n conforme de K en cl exterior del disco unidad que conserva el infi-
Si los puntos (13<J>) (j=l,2, ...
I
-nito. Supongamos que C(E)>O. i=l, ... ,j) no
tienen puntos de acumulaci6n fuera de E,se tiene que para los polinomios m6ni-n
IT (z - 13<n>) , con M
I n
-cos P (z)
n
max IP (z) I ,(z E E), son
n
I =I
equivalentes:
a) lim M 11n Cap (E)
n n4oo
b) lim Ip (z) 11/n Cap (E) I ;(z) I n
Cap (E) e G(z)
n4oo
Como consecuencia inmediata,se tiene:
COROLARIO
"Si T es un arco de Jordan y P (z) (n E N) son los correspondientes polinomios
n
ortogonales m6nicos respecto a cualquier medida que domine a la lineal en T,se
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verifica:
lim jP (z)j 110 = Cap (E) jlJ>(z)I
n
(3.2)
uniformemente,en cada compacto de C: - T".
Pasamos ahora a enunciar nuestro resultado fundamental:
TEO REMA
"Sea f anal!tica en t - S, siendo S y T como antes. Sea P (t) (n e N) la suce­n
-si6n de polinomios ortogonales m6nicos en T respecto a cualquler medida μ que
cumpla las condiciones anteriores. Entonces,la sucesi6n de (n-1/n) - ATPs con
denominadores P (t) = t 0P (t-1
), converge geometricamente a f,para todo t
n n
perteneciente al exterior de S".
Demostraci6n
Por ser C un compacto,se tendra que: sucp Ip n (x) I = Ip n (xo) 1. XO e c. Si el
xe
punto (t-1
) esta en la envolvente convexa de T puede ser cero de los
polinomios ortogonales,pero teniendo en cuenta el corolario anterior,s6lo pue-
-de serlo de,a lo sumo,un numero finite de ellos. Por ello,y recordando la ex-
-presi6n integral del error dada en (2.1),se tiene,de un cierto N en adelante:
IPn(xo>I I lx-11 1rcx-1>I IPn(Xo>I
IE (t)I :5 dx ~ K ----
n Ip n ( t -1 q 2n C 11 - x t I Ip n ( t -1) I
siendo K dependiente de t, pero independiente de n. Entonces:
limjE (t)j 11
n :s
n
n~oo
lirn I P n ( X o )j 1 /n
Como x
0
e C y por tanto esta en
C - T, al igual que (t- 1),se tiene por (3.2):
l<1><x 0
) I
Como C puede tomarse tan pr6xima come se quiera
a T,siempre podra asegurarse que el anterior cociente es menor que uno. Mas
especificamente,como t -I no pertenece a T, j IJ>(t-1
) I = l+<X ,con <X > 0. Entonces
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podemos tomar como C a la curva de nivel CR _,para la cual I <f>(x) I
y entonces,se tendria que: lim IE (t)j
110 < 1. •
n
n--tco
Como consecuencia inmediata se tiene:
COROLARIO
"La convergencia sera uniforme en compactos de C - T"
Observaciones
R
Hemos probado la validez te6rica del metodo expuesto en (1). Con mayor genera-f
oo dw(u)
-lidad,si f es una funci6pn de Stieltjes: f(z) = , w con soporte
0 + uz
[a,b],siendo w e c1 ([a,b)), el metodo anteriormente expuesto aproxima a f con
convergencia geometrica en el exterior del arco elegido (por ejemplo,por como-
-didad,una semicircunf erencia), y en particular.en cualquier pun to del
intervalo conflictivo. Asimismo,si quisiesemos aproximar el valor de la
funci6n en un punto situado fuera de (-a-1,-b-1],podr!amos emplear polinomios
ortogonales en dicho intervalo,garantizando la convergencia geometrica del
metodo. Esta misma seria la situaci6n si queremos aproximar una funci6n fuera
del intervalo donde tiene un conjunto denso de polos.
BIBLIOGRAFIA
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