Computación de matrices de colocación racional

              Rev.Acad. Canar.Cienc., 141-146 (1990)
COMPUTAClON DE MATRICES DE COLOCACION RACIONAL
Franc isco Perez Acosta, Pablo Gonzalez Vera
Departamento de Analisis Matematico
Universidad de La Laguna
La Laguna
Islas Canarias
ABSTRACT
In this paper we construct algorithms for computing rational co lloc ation
matrix for certain boundary value p1-oblems. We study different ca ses, namely
rational collocation with a real pole, with complex conjugated polPs, with
real or complex fixed poles and with a denominator given by its coe ff icients.
KEY WORDS: Boundary-value problems, rational collocation, matrix,
computation.
l. INTRODUCCION
Dado un problema de valores en la frontera , a saber:
Lu=f(x,u)
( l. 1)
m -1
\ o: u<kla) + (3 uCklbl =O (o:
1
k, (3
1
k ctes .; l~i~m) L 1k 1k •
k =O
don de L es un operador lin eal de Ja for ma:
m
\ (k) Li u ] = L ek( s )u (s) ( !. 2)
k =O
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proponemos computar !as matrices de colocaci6n (3), utilizando al respecto
como funciones bases, ciertas funciones racionales; tales matrices seran
denominadas en Jo sucesivo "de colocaci6n racional''.
En este caso exigimos ademas que la funci6n aproximante verifique
exactamente !as condiciones de frontera. Por tanto el sistema de ecuaciones de
colocaci6n es:
\ e (x ) E (x )=f(x . Ecx )) (l:Si:Sn) m ( ) (kl
k~O k I q I I q I
(1.3)
L (E(a),E(b))= \ a: E (a)+f3 E (b)=O m-1 ( ) (k) ( ) (k)
I q q k ~O I k q I k q
(1.4)
donde suponemos que q es un denominador fijo y p es un spline de un espacio de
splines polin6micos de clase m y de dimensi6n n+m. i. e.
(Vease ( 1) y (3) para mas detalles sobre splines). En estas condiciones el
sistema (l.3)-(1.4) puede escribirse en forma matricial:
donde
Ac = g(c)
A
A=( 8 A= (a ) 1
) , 1 lj 1=1,n
J=l,m+n
a =L(!J)cx) IJ q I
B=(b )
lj 1=1,m
J=l,m+n
b =L (!J(a) !J(b))
IJ I q ' q
c=(c ... . ,c )T , g(c) = f(x ,E(x ), ... ,f(x ,E(x ),0,0, ... ,0).
1 m+n 1 q 1 n q n
El caso mas usual es el caso lineal, en el que g no depende de c.
Dicho esto, veamos c6mo se pueden dar algoritmos para computar Jos
coeficientes de la matriz A, en los siguientes casos:
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1) Un polo simple: q(x)=x-A.
2) Dos polos complejos conjugados: q(x)=(x-A)2 +μ2
.
3) q(x) dado por sus raices.
4) q(x) dado por sus coeficientes.
El problema se reduce, en definitiva, a dar un algoritmo para calcular los
coeficientes de \; los de 8 se calculan analogamente teniendo en cuenta que:
b =L (~) (a)+L (~) (b)
IJ 11 Q 12 Q
m-1 m-1
donde L
11
[u]= [a1
ku<kl y L
12
[u]= [o:
1
ku(k). Asf en lo que sigue Les como
k =O k =O
en (1.2).
2. UN POLO SIMPLE
Se tiene el siguiente
Teorema 1. Si q(x)=x-A entonces
m
donde LA".,,' (x ) -- Lf (x ).",,' <kl(x ) y 1o s coe f'1 C·1 entes se ea 1c u 1a n a par t'i r d e
J I k=O k I J I
los ek por la relaci6n de recurrencia
f (x)=- k f (x)+e (x)
k-1 (x-A) k k-1
k=m,m-1, ... ,l (2.1)
Demostraci6n
m
\ (k) Basta tener en cuenta que el operador LA eLA [ v ]= l f k v , donde los f k
k=O
vienen dados por la relaci6n de recurrencia (2. 1) verifica
(
u ) LA u <ml
L x-A =--x-=x-· 'V u e C [a,b].
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3. DOS POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS
Teorerna 2. Sean >. y μ E IR , q(x)=(x - >.) 2+μ 2, entonces
(
4' L ip (x )
L J ) (x )- >. ,μ J I
(x->.)2+μ2 1 (x - >.)2+μ2
. I
donde
m
(k)
L>. ,μ = L (v) = >t,μ [ f k v
k=O
(3.1)
calculandose los coeficientes f a partir de los e por la relaci6n de
k k
recurrencia:
f (x)
k-1
Z( x-;\) kf (x) ----f (x)k(k+l)+e (x)
(x->.)2+μ2 k (x->.)2+μ2 k+l k - 1
(3 .2)
(k=m,m-1, ... ,1)
con f (x)=e (x) f (x)=O.
m m m+l
Demostraci6n
Basta tener en cuenta que el operador definido por (3.1), donde los f k
vienen dados por (3 . 2) satisface
4. POLOS PREFIJADOS
Teorema 3. Si q(x)=(x-a )(x-a ) ... (x-a )((x->. )
2
+μ\ .. [(x->t )
2
+μ
2
] entonces
1 2 h I I r r
donde L - L [v]
q = [
k = O
4' L 4' (x )
L(-J)(x )- q J 1
q I q(x
1
) '
calculandose los f k a partir de los ek por
(0)
f (x)=e (x)
k k
(k=O,l,. . .,m)
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y:
( J ) 2( X- A ) (Jl ( j)
f (x)
k - 1
---1- kf (x) ----- f (x)k(k+l) +
(x-A )2+μ2 k
J J
k + 1
( J - 1)
+ f (x)
k-1
(k=m,m-1, . .. , 1)
( J) ( J)
f (x) e (x) f (x)
m+l
0 (j=l,2, .. . ,r)
m m
( r+ Jl
f . (x)
k-1
-k (r+j) (r+j-1)
-- f (x)+ + f (x) x-a k k-1
J
( r+ j)
(k=m,m-1, . . . ,l)
f (x) e (x) , (j=l,2, ... ,h).
m m
Demostraci6n
Basta tener en cuenta que el operador L
q
definido por L (v}
q
tiene la propiedad
L [u) L(+)(x)=--q-q_
5. DENOMINADOR DADO POR SUS COEFICIENTES
Teorema 4. Si q(x)=a + a x+ . . . +a x" (a ~0) entonces
0 1 n n
t/> Lt/> (x) L(-1)<x )- q J 1
q I q
m
L t/> (x )= [ f (x )tf> 1
k > (x ) ,
q J I k=O k I J I
donde
y los coeficientes f k se calculan recursivamente a partir de los ek por
f (x) = _q' ( x) f (x)k - ~ k(k+l) f (x) -
k-1 q(x) k q(x) 2! k+l
q<nl (x) k(k+l) ... (n+k-l)f (x) + e (x)
q(x) k! k+n-1 k-1
k=m,m-1, . .. ,l
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=[
k=O
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f (x) = e (x), f (x)
m m m+l
f (x)
m+2
f (x)
m+n-1
0.
Demostraci6n
Es una consecuencia del teorema 2 de (2).
AGRADEClMlENTO. Los autores desean manifestar su profunda gratitud al
Prof esor Nacere Hayek por sus acertadas sugerencias y correcciones en la
elaboraci6n final del presente arti'culo.
6. REFERENCIAS
[11 J .H. Ahlberg, E.N. Nilson, J.L. Walsh. '!he theorUJ al ~ and thelf1.
app.trcati.on.o.. Academic Press. Inc. 1967.
(2) F. Perez-Acosta, L. Casasus, N. Hayek. Rational Collocation
for Boundary Value Problems. En curso de publicaci6n.
(3) P.M. Prenter. !f~ and ~ me.thod<l. John Wiley & Sons, Inc.
1975.
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