Aproximantes tipo-Padé multipuntuales y fórmulas de cuadratura

              Rev.Acad.Canar.Cienc., I, 85-97 (1990)
APROXIMANTES TIPO- PADE MULTIPUNTUALES Y FORMULAS DE CUADRATURA
Mateo M. Jimenez Paiz y Pablo Gonzalez Vera
Departamento de Analisis Matematico, Universidad de La Laguna,
38204-La Laguna, Espafia
ABSTRACT
In this paper we introduce formally, multipoint Pade-type approximants
making use of quadrature formulas of interpolatory type in a similar way of
Brezinski's one for one point Pade-type approximants.
KEY WORDS: rational approximation, Pade approximants, quadrature, inter­polation.
1. INTRODUCCION
En (1), C. Brezinski introdujo algebraicarnente el concepto de aproximante
tipo-Pade en un punto, tomando como elemento de partida f6rmulas de cuadratura
de tipo interpolatorio. En [2], J. Van Iseghem lo extiende al caso
multipuntual, enfocandolo como un problema de interpolaci6n de Hermite de una
cierta funci6n mediante polinomios.
Con este trabajo pretendemos dar un enfoque algebraico para los
aproximantes tipo-Pade multipuntuales similar al dado por C. Brezinski para
el caso unipuntual. A continuaci6n recordaremos algunos conceptos sobre
aproximaci6n tipo- Pade con el fin de poder entender mejor el planteamiento a
seguir.
Aproximantes tipo-Pade en uno y dos puntos
Dada una serie formal de potencias en una variable
00
L(t) l c/,
l = O
85
c ER
I
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un aproximante tipo-Pade en un punto (ATPl) es una funci6n racional cuyo
denominador es un polinomio prefijado de grade k y con numerador de grade k-1,
de manera que su desarrollo en potencias ascendientes de t coincide con L(t)
hasta el grade k-1. Definido un funcional lineal C sabre el espacio TT de
polinomios (en lo que sigue TT denotara el subespacio de polinomios P de grade
n
a Jo sumo n, oP:sn), por
i=O, l, ...
se tiene formalmente que
L(t) = C((l-xtf\
lo que se puede interpretar como una integral formal. Partiendo de la idea
basica para construir f6rmulas de cuadratura de tipo interpolatorio, en [l],
se prueba que dados {x }k , k puntos arbitrarios del piano complejo y P(x,t)
1 l=l
el polinomio general de interpolaci6n de Hermite que interpola a la funcion
(l-xtf1 (en Ja variable x) en estos puntos, C(P(x, t)) es una funci6n racional
en la variable t, con polos x -l que verifica todas las condiciones para ser un
I
ATPl.
En (3) se introducen los aproximantes tipo-Pade en dos puntos (ATP2) a
dos series formales
(X)
L(t) l CJ
tJ (t-*l)
J =O
(X)
L • (t) l c .t -J (t-700)
-J
J =l
siguiendo una linea analoga a la desarrollada por Brezinski. Dados m y k dos
enteros no negatives, O:sk:sm, un ATP2 es una funci6n racional con denominador
de grade m y numerador de grade m-1 cuyo desarrollo en potencias crecientes de
86
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t coincide con L hasta el grado k-1 y su desarrollo en potencias decrecientes
• de t coincide con L hasta el grado 1, donde l=m-k. Si, para cada par de
enteros (p,q), con p~q. denotamos por b. el espacio lineal de todos los
p,q
polinomios de Laurent (L-polinomios) de la forma
y designamos par b. el espacio lineal de todos los L-polinomios, a partir de
los coeficientes {c }oo
J 0 y
• (lO
{c } •
-J l
se puede
actuando ahora sobre b., de la siguiente forma
definir un funcional
si i~O
si i<O
Desarrollando (1-xtf1 en potencias de (xt), se tiene, formalmente
o(--1
1-xt- ) = Ut)
0
( 1-!t ) • L (t)
(t-)())
(t-')CX))
lineal D,
coma antes, escogidos m puntos distintos x
1
del piano complejo y calculado el
L-polinomio de interpolaci6n, P(x, t)eb. Cl=m-k),
-1,k-l
de la funci6n (1-xtf1 en
estos nodos,se prueba que
i) D(P(x, t)) = P (t)/Q (t), donde P err , Q err y Q (£1)=0 i=l, ... ,m.
km km km m-1 km m km I
ii) L(t) - D(P(x, t)) = O(tk) (t-)())
L•(t) - D(P(x,t)) = O((t-1
)
1+
1
) (t-')CX))
• es decir, D(P) constituye un ATP2 al par de series L y L .
Observese el papel jugado por Jos polinomios usuales para los ATPl y por
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los polinomios de Laurent para los A TP2.
2. DEFINICIONES Y NOTACIONES
Sean a , a , ... , a p puntos distintos del piano complejo C, k
1
, k
2
,. •. ,
1 2 p
k.
p
m, p+l enteros positives con k=k + ... +k ,
1 p
Lt, ... ,
de potencias
00
L
1
(t) = \ c (t-a )J L 1,j 1 •
i=l, 2, ...• p
J=O
y sea
00
L.(t) = L c: t-J. (t~)
J=l
L,
p
p series for males
(2.1)
(2.2)
• En lo que sigue denotaremos por L a las p series (2.1) (L=(L , ... ,L )), por L
1 p
• • a las p+l series (2.1) y (2.2) (L =(L , ... ,L ;L ).
1 p
Denotaremos por 1?. el espacio lineal de todas las f unciones racionales de
la forma
R(t)
N
p 1 a:
a:o + \ \ __ 1_J_
L L et-a/
1=1 J=l l
Los elementos de 1?. se llaman R-funciones (4). Observese que Re1?. si y s6lo si
puede escribirse en la forma R(t)=P(t)/Q(t), donde Q es un polinomio con todos
sus ceros entre los puntos a
1
, ... , aP, y P es un polinomio de grado menor o
igual que el de Q. Decimos que 1?. es degenerado si ~P<~Q. 1?.(s , ... ,s ) sera el
1 p
espacio de todas las R-funciones de la forma
R(t)
P(t)
I
(t-a) 1
1
I
(t-a ) P
p
88
~p ~ s + ... +s
1 p
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'R.0 (respectivamente 'R.0(s , ... ,s )) sera el subespacio de todas la R-funciones
1 p
degeneradas en 'R. (respectivamente, en 'R.(s , ... s )).
1 p
Denotaremos por ~ el espacio lineal de todas las funciones de la forma
R(t)
Los elementos de ~ se Haman R-funciones generalizadas [5 ]. Una funci6n R
pertenece a ~ si y solo si se puede escribir como una funci6n racional con
polos entre los puntos a y numerador de grado arbitrario. Como ~='R.0 +TI,
l
escribiremos ~m(s , .. . ,s ) para representar al subespacio 'R.0(s , . .. ,s )+TI . En
1 p 1 p m
lo que sigue representaremos a 'R.(k , . .. ,k ), 'R.°Ck , ... ,k ), ~(k , ... ,k )
1 p 1 p 1 p
-o 0 ..., -o
Y 'R. (k
1
, . .. ,kP) por 'R.k, 'R.k, 'R.k y 'R.k, respectivamente.
Damos a continuaci6n la definici6n previa de aproximante tipo-Pade
multipuntual.
(I) Decimos que una funci6n racional Pk_
1
(t)/Qk(t) es un aproximante
tipo-Pade multipuntual (ATPM) a L de orden (k , .. . ,k ), y la denotamos por
1 p
(k-1/k)L(k •... ,k )(t), si
1 p
(la) P eTI , 6Q =k y Q (a );r;O, i=l, 2, ... , p
k-1 k - 1 k k I
k
O((t-a ) \ i=l,2, .. . ,p
l
Analogamente, si incluimos el punto del infinito, y por tanto una serie
del tipo (2.2), tendremos la siguiente definici6n.
• (II) Decimos que una funci6n racional P k.m(t)/Qkm(t) es un ATPM a L de orden
(k
1
, ..• ,kP;m), y lo denotamos por (k+m-1/k+m)L•(k , ... ,k ;m)(t), si
1 p
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(Ila) p err , oQ =k+m y Q (a ):itO, i=l,2, .. , p
k
(Ilb) L (t) - (P (t)/Q (t)) = O((t-a) \ i=l,2, ... p
I km km I
L•(t) - (P (t)/Q (t)) = O((t-1)m+l), (t~)
km km
3. APROXIMANTES TIPO-PADE MULTIPUNTUALES
Seguiremos en este apartado un tratamiento similar para aproximantes
correspondientes a las definiciones (I) y (II). En ambos casos utilizaremos
coma funci6n generatriz (x-tf1, que con un simple cambio de variable, z=l/x,
nos permite, cuando p=l, obtener los ATPl construidos par Brezinski.
I) El punto del infinito no esta incluido.
Dadas las series de potencias (2.1), definimos un funcional lineal t
sobre el espacio 'R.0 de la siguiente forma
c
l,J-1
i=l,2, ... ,p, j=l,2, ... (3.1)
Consideremos ahora la funci6n (x-tf1 en la que x es la variable y t un
parametro. Se tiene, entonces el siguiente
Lema 1
i=l, ... ,p
Demostraci6n
Basta observar que
00 (t-a )J
(x-tf1 = I (x-a1 )J+t'
j=O I
i=l, ... ,p,
y aplicando el funcional a ambos miembros se obtiene el resultado resenado.•
90
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Si suponemos que las series L
1
representan los desarrollos de Taylor de
una .funci6n analitica f(t) en los puntos a
1
, respectivamente, podemos escribir
f(t) = ~((x-tf1 )
Sean k puntos del plano complejo, de los cuales son distintos {x }n ,
1 l=l
(distintos, a su vez, de los a
1
), cada uno de los cuales se repite m
1
veces
([m
1
=k), y definarnos
Q (x)
k
I= 1
m
(x-x) 1
I
B (x)
k
p rr J=l
k
(x-a) J
J
(3.2)
Sea R (x, t)e~0 la R-funci6n de interpolaci6n de Hermite (6) que interpola
k k
a (x-tf 1 en los k puntos anteriores.
Lema 2
--[1 x-t
(3.3)
Demostraci6n
Designemos por Sk(x,t) el segundo miembro de (3.3). Para 0:Sj:Sm
1
-1 y i=l,
2, ... , n, se tiene
Pero,
~(H (x)) 0,
dxl k lxl
l=O, 1, ... ,j.
Par tanto,
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Luego, debe ser Sk (x, t)=Rk (x, t). •
Aplicando el funcional cl> a Rk(x,t) en la variable x, obtenemos una
funci6n racional que verifica la condici6n (la) de la definici6n (I). Este
r·esultado lo hemos recogido en el siguiente lema.
Lema 3
p (t)/Q (t),
k-1 k
Demostraci6n
Si escribimos T(x, t)=Qk (t)Bk (x)-Qk (x)Bk (t), podernos expresar
siguiente forma
Como T(t, t)=O,
Si
y
entonces
Q (t)
k
r (tl
j
k
l
-QTtT
k
T( x,t)
x-t
T(x,t)
\ ( f3 Q'. -Q'. f3 ) t I L Jl JI
l=O
T(x, t)
(x-t)B (x)
k
k
Bk (t) = 2= f3J tJ
j =O
j=O, l, ... , k
Med iante el algoritmo de Horner podeinos calcular los coeficientes
func 16n de los a j' obteniendo
{
cH(tJ = r,ltl
c =r +t c
k -J k - j d k - j+I
j=2, ... . k
Pr O•~erlicndo μor inducc16n c;obre j, sc puede comprobar que
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R
k
de la
c (t), en
j
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k - 1 J -1
ck_}t) = I ( I ('\-1 Q'.1-J+l+l- Q'.k - 1 '3i.J+l+l)J tl j=l, . . . ,k
I =O I =O
sin mas que tener en cuenta
J -1 L ({3k-I
1 =O
Q'.
k - (j-1)
- Q'. {3 )
k-1 k - (j-1)
j=2, . . . ,k
coma puede ser facilmente comprobado. En consecuencia, los coef icientes c (t)
J
son polinomios en t de grado menor o igual que k-1. Entonces,
k -1
o)t) L cp) 4>( s) ~) p (t)
k -1
-Q(t) .
k
J =O
El siguiente teorema establece que esta funci6n racional asi obtenida
satisface tambien la condici6n (lb).
Teorema
Demostraci6n
k
O((t-a) \
I
i=l, 2, ... , p
Por los lemas 1 y 2 podemos escribir
Si escribimos
podemos expresar
B (x)
k,I
I 4>(~) H(t) x-t
n
fl
J =I
J:;t:I
93
k
k
(x- a l J
J
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Ahora bien, como Qk(a 1 )~0. i=l, ... ,p, se tiene que
Por otro lado,
B (t)
t(~) x-t
k, I
Q (t)
k
00
J =O
O((t-a )0
)
l
k (t-a )J
H (x) )
(x-a )J+l I
I
De (3.4) y (3 .5) se deduce facilmente el resultado buscado.•
(3.4)
(3.5)
Asi, aplicando formulas de cuadratura para evaluar el funcional t sabre
la funci6n generatriz (x-tf1
, podemos construir aproximantes tipo-Pade multi-puntuales
de forma analoga a los casos unipuntual y bipuntual ya mencionados
en la introducci6n.
II) El punto del infinito esta incluido.
En este caso procederemos de forma analoga para determinar aproximantes . tipo-Pade multipuntuales a series L , definiendo un nuevo funcional que
denotaremos de la misma forma que el anterior, t pero que ahora actua sabre el
espacio de R-funciones generalizadas, ~. Definimos t de la siguiente forma
t((x-a fJ) = c i=l,2, .. . ,p, j=l,2, ...
I l,j-1
t(xJ) = -c • , j=O, 1, ...
J-+ l
Lema 4
t((x-tf1
) = L
1
(t),
= L•(t)
i=l, ... ,p
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Demostraci6n
La primera igualdad es Ja probrada en el lema 1 y la segunda es
consecuencia de que
(x-tf1 lCX> XJ-1
- ---· tj
J =l
Sean entonces k+m puntos del piano complejo, de los cuales son distintos
{x }0
, donde cada uno se repite m
1
veces (L m
1
=m+k), y distintos, a su vez,
I l=l
de los a , ... , a , y sea R (x, t)e~0 • la R-funci6n generalizada de Hermite
1 p km k
(6], que interpola a (x-tf1 en estos k+m puntos. Sea
n
Q (x)
km n I= 1
m
(x-x) 1
I
y Bk(x) dado por (3.2). Por un razonamiento similar al de los lemas 2 y 3 se
pueden pro bar los dos siguientes resul tados
Lema 4
Si H (x)=Q (x)/8 (x)e~ , entonces
km km k k
x-t
H (x)
km ]
H (t)
km
Lema 5
Esta funci6n asi construida satisface las condiciones (Ila) y (Ilb) de la
definici6n (II). Procediendo como en el teorema 1, deducimos
Teorema 2
k
i) L (t) - 4>(R (x, t)) = O((t-a ) 1
)
I km I
ii) L•(t) - 4>(R (x,t)) = O((t- 1)m+l)
km
i=l, ... ,p
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Demostraci6n
La primera igualdad es la probrada en el lema l y la segunda es
consecuencia de que
(x-tf1 LCD XJ - 1 ---· tj
J = l
Sean entonces k+m puntos del plano complejo, de los cuales son distintos
{x }n , donde cada uno se repite m
1
veces ([ m
1
=m+k), y distintos, a su vez,
I l=l
de los a , ... , a , y sea R (x, t)e'.R 0
, la R-funci6n generalizada de Hermite
1 p km k
(6]. que interpola a (x-tf1 en estos k+m puntos. Sea
n
Q (x)
km n I= l
m
(x-x) 1
I
y Bk (x) dado por (3.2). Par un razonamiento similar al de los lemas 2 y 3 se
pueden probar los dos siguientes resultados
Lema 4
Si H (x)=Q (x)/B (x)e'.R , entonces
km km It k
Lema 5
R (t)
km
H (x)
km ]
H (t)
km
~(Rkm(x,t)) = pltm(t)/Qkm(t), pkmEIT1t+m-1'0Qtm=k+m, Qltm(a/itO, i=l, ... ,p.
Esta funci6n asi construida satisface las condiciones (Ila) y (lib) de la
definici6n (II). Procediendo coma en el teorema 1, deducimos
Teorema 2
k
i) L (t) - ~(R (x, t)) = O((t-a) 1
)
I km I
ii) L•(t) - ~(R (x t)) = O((t-l)m+l)
km '
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i=l, ... ,p
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AGRADECIMIENTOS
Los autores desean agradecer a los prof esores Herbert Stahl y Olav
NjAstad de las universidades de Berlin (Republica Federal Alemana) y Trondheim
(Noruega), respectivamente, sus inestimables sugerencias y comentarios en la
elaboraci6n de este articulo.
BIBLIOGRAFIA
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Birkhauser-Verlag, 1980, pp 9-24.
[2] J. Van lseghem:"Applications des approximants de type Pade", tesis,
Univer site des Sciences et Techniques de Lille, 1982, pp 77-86.
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[4] 0. NjAstad: An extended Hamburguer Moment Problem, Proc. of the Edinburgh
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[5] F. Perez Acosta, P. Gonzalez Vera: Sobre un
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Jornadas Hispano-Lusas de Matematicas, Tenerife, 1989.
problema de momentos
polos prefijados", XIV
[6] M. Gasca, J .J. Martinez y G. Mulbach: Computation of rational interpolants
with precribed poles, J. of Comp. and Appl. Math., 26, No. 3, 1989, pp
297-304.
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