Problemas de mediciones repetidas y de riesgo para desarrollar el razonamiento de estudiantes de secundaria en los temas de media y dispersión

              Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 83, julio de 2013, páginas 65-77
M O N O G R Á F I C O: E S T A D Í S T I C A
Problemas de mediciones repetidas y de riesgo para desarrollar el razona-miento
de estudiantes de secundaria en los temas de media y dispersión
Ernesto Sánchez (Cinvestav. México)
José Antonio Orta Amaro (Cinvestav. México)
Artículo solicitado a los autores por la revista
Resumen En este artículo se proponen problemas para desarrollar el razonamiento de los estudian-tes
en los temas de media y dispersión de un conjunto de datos. Se destacan dos caracte-rísticas
de las tareas que pueden ser útiles tanto en su utilización como para elaborar otros
problemas: a) comparación de grupos de datos, b) contexto (medición y riesgo). Se anali-zan
los problemas indicando las dificultades y posibles respuestas de los estudiantes. La
exposición de los problemas está precedida de un conjunto de ideas extraídas de la inves-tigación
que ayudan a esclarecer la intencionalidad, el significado y las características
transferibles de los problemas propuestos.
Palabras clave Media, dispersión, comparaciones de conjuntos de datos, mediciones repetidas, riesgo.
Abstract In this paper, some problems for developing students’ reasoning about mean and spread
of data are proposed. Two tasks feature which are useful for working on them and for
constructing other tasks are pointed out: a) comparing groups, b) context (measures and
risk). Difficulties of the tasks and some possible students’ responses are analyzed. Previ-ous
to show the problems, several ideas from research for helping to clarify the intention-ality,
meaning and transferable features of the problems are considered.
Keywords Mean, spread, comparing groups, repeated measures, risk.
1. Introducción
La estadística tiene un papel destacado en el desarrollo de la sociedad moderna al proporcionar
herramientas metodológicas generales para recoger y organizar todo tipo de datos, describir y analizar
su variabilidad, determinar relaciones entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimen-tos
y mejorar las predicciones y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. En consecuencia,
una persona educada debe ser capaz de entender, y razonar con, la información estadística a la que
constantemente está expuesta y, más aún, ser capaz de utilizar los instrumentos de la estadística para
generar y analizar datos relevantes para su vida diaria y profesional. Hay consenso entre investigado-res
y educadores acerca de la necesidad de que la escuela debe favorecer el desarrollo del razonamien-to
estadístico de los estudiantes.
En la mayoría de países modernos, desde hace décadas, se ha incorporado la estadística en los
currículos de los niveles básico, medio y universitario; sin embargo, los resultados aún son pobres. En
efecto, la cultura estadística de un ciudadano promedio es inferior de lo que se asienta y pretende en
los diversos programas; como lo han constatado los estudios sobre dificultades de estudiantes preuni-
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versitarios (Garfield y Alghren, 1988; Batanero, Godino, Vallecillos, Green y Holmes,1994), falsas
concepciones (Shaughnessy, 1992, 2007; Jones, Langrall y Mooney, 2007) y falsas concepciones so-bre
inferencia de estudiantes universitarios (Castro-Sotos, Vanhoof, Noortgate y Onghena, 2007).
Un problema común en la enseñanza de la estadística de los niveles básicos es su enfoque hacia
la transmisión de procedimientos y fórmulas (elaborar gráficas y calcular resúmenes estadísticos) sin
que se conviertan, y sean utilizados, como herramientas de análisis. A pesar de que la media y la des-viación
estándar (en general: centros y medidas de dispersión) son fundamentales en estadística, en la
práctica y en problemas en los que sería pertinente considerarlos, no son utilizados por los estudiantes
(Gal, 1989,1990; Watson, 1999) Un problema con la media aritmética es que la fórmula matemática es
muy simple, pero su interpretación en los diferentes contextos en que se presenta, parece constituir un
obstáculo de grandes dimensiones. Por su parte, percibir la dispersión es muy natural (Shaughnessy,
1997) sin embargo, sus expresiones simbólicas son algo complicadas para los estudiantes y, sobre
todo, les es muy difícil interpretarla en función del contexto del que provienen los datos.
Los más recientes cambios curriculares recomiendan que los profesores busquen enfocar la en-señanza
de la estadística hacia el desarrollo del razonamiento estadístico y no sólo en el aprendizaje de
conocimientos, pero para hacerlo, es necesario elaborar y socializar actividades que sirvan para ese
propósito. Varios autores ya han dado pasos en este sentido (Batanero y Díaz, 2011, Garfield y Ben-
Zvi, 2008) y el presente trabajo pretende constituir una contribución más. Su objetivo específico es
proponer y analizar 4 problemas que pueden ser útiles para la elaboración de actividades que ayuden al
desarrollo del razonamiento de los temas de media y dispersión en clase de estudiantes de secundaria
(14-15 años). Antes de exponer dichos problemas, se revisarán algunas ideas extraídas de la investiga-ción
que ayuden a esclarecer la intencionalidad, el significado y la trascendencia de los problemas
propuestos.
2. El papel de los problemas en la planificación
A grandes rasgos, las actividades que debe realizar un profesor son: 1) planificar lecciones para
cubrir los objetivos curriculares, 2) llevar a la práctica lo planificado y 3) permanentemente evaluar los
avances de sus alumnos. La planificación de una lección es una tarea compleja y demandante que exi-ge
del profesor interpretar y transformar el conocimiento. Una buena planificación permite realizar las
otras dos etapas con mayor eficacia. El problema de cómo pueden aprender los futuros profesores a
planificar sus lecciones constituye toda una línea de investigación que no es objeto de este estudio.
Rescatamos, sin embargo, una parte de la discusión que sobre este problema ofrece Jones y Smith
(1997) cuando responden a la pregunta ¿cómo aprenden los futuros profesores a diseñar las lecciones
de matemáticas que implementarán en clase?
Para responder a esta pregunta, Jones y Smith (1997) analizan cómo diseñan sus lecciones los
profesores experimentados. Con base en informes empíricos de investigación, observa que el punto de
partida del diseño para la mayoría de esos profesores, no se posiciona en los objetivos o aprendizajes
esperados, sino que el elemento que dispara el diseño de la lección son las tareas y problemas con las
que ya cuenta. Por lo tanto, es frecuente que el proyecto de enseñanza de un profesor esté más deter-minado
por el catálogo de problemas que es capaz de manejar, que por los contenidos específicos y las
recomendaciones didácticas del currículo. Por supuesto, ambos: objetivos curriculares y problemas,
están íntimamente relacionados y el profesor lleva a cabo una negociación en la que trata de armoni-zarlos;
pero si no cuenta con problemas apropiados es probable que no cumpla convenientemente con
los objetivos o los omita en su clase. Por lo anterior, una componente importante en la formación de
futuros profesores y en la actualización de profesores en servicio es la elaboración y discusión de pro-blemas
relevantes para los estudiantes.
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En conclusión, las nuevas propuestas curriculares, cuyo eje es el desarrollo de competencias,
necesitan ir acompañadas de problemas y tareas para elaborar actividades que contribuyan a la forma-ción
de las diversas competencias que el currículo prescribe. Los problemas que se proponen en este
trabajo tienen la intención de contribuir con algunos problemas para promover el razonamiento de los
estudiantes en los contenidos de media y dispersión.
3. El razonamiento estadístico
El razonamiento es un proceso mental cuya función es generar ideas (en forma de proposicio-nes)
y apoyar su veracidad. Esos procesos pueden y suelen desembocar en discursos o representacio-nes
simbólicas de enunciados concatenados de manera que dan lugar a una conclusión. Cuando las
ideas que se generan son de tipo estadístico se habla de razonamiento estadístico. Garfield y Ben-Zvi
se refieren a él de la siguiente manera:
“El razonamiento estadístico es la manera en que la gente razona con
las ideas estadísticas y le da sentido a la información estadística […]
puede involucrar conexiones de un concepto a otro (por ejemplo cen-tros
y dispersión) o combinar ideas acerca de datos y azar. El razona-miento
estadístico también significa entender y ser capaz de explicar
procesos estadísticos y de interpretar los resultados estadísticos” (Gar-field
y Ben-Zvi, 2008, pp. 34).
Conviene destacar el aspecto de la interpretación a la que se refiere Garfield y Ben-Zvi en la an-terior
cita. No es suficiente que mediante un tratamiento estadístico se obtenga una gráfica, un número
resumen, un intervalo de confianza o el resultado de un contraste de hipótesis, si tales resultados no se
interpretan convenientemente. La interpretación concierne a la relación del resultado de un tratamiento
estadístico con el contexto de la situación de donde surgieron los datos y el problema. Wild y
Pfannkuch (1999) sugieren que uno de los tipos fundamentales de pensamiento estadístico es la inte-gración
de lo estadístico y lo contextual. Es por esto que al proponer un problema para desarrollar el
razonamiento estadístico conviene considerar seriamente el contexto, no como un pretexto para formu-lar
un problema, sino como una preocupación genuina de entenderlo y aprender algo sobre él a través
del análisis de los datos disponibles.
3.1. La media aritmética, la dispersión y sus relaciones
La definición y cálculo de la media aritmética es trivial y los estudiantes la aprenden desde la
escuela primaria. No obstante, su uso e interpretación en las situaciones en las que juega un papel im-portante
parecen estar lejos de ser simples para estudiantes de todos los niveles (Russell, 1990, Groth y
Bergner, 2006). Batanero (2000) señala que la reflexión sobre las dificultades en el aprendizaje que
presentan los alumnos con relación a la media aritmética, debe comenzar por un análisis epistemológi-co
de su significado. Para hacerlo, sugiere partir de las situaciones-problema que dan lugar al uso de la
media aritmética; identifica cuatro de ellas y un problema para cada una. Las situaciones son de:
· estimación de una cantidad desconocida, en presencia de errores de medida
· repartición equitativa de la totalidad de cantidades diferentes
· elemento representativo de un conjunto de valores dados cuya distribución es aproximada-mente
simétrica
· predicción del valor o valores con mayor probabilidad al tomar un elemento al azar de una
distribución
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Después de analizar el concepto con base en otros constructos para analizar el significado: ele-mentos
actuativos, intensivos, extensivos, ostensivos y validativos (Godino, 1996), Batanero concluye
que la media aritmética y otros conceptos estadísticos, “tienen un significado complejo y por tanto será
necesario un periodo dilatado de enseñanza a lo largo de la educación primaria y secundaria para lo-grar
el progresivo acoplamiento de los significados personales que construyen los alumnos a los signi-ficados
institucionales que pretendemos adquieran” (Batanero,2000, pp.10).
Por su parte, la dispersión es una característica de un conjunto de datos numéricos. Hay diferen-tes
medidas de la dispersión, donde las más usadas son: rango, desviación media, desviación estándar,
y cuartiles. El cálculo de algunas medidas de dispersión es algo más difícil que el de la media, sin em-bargo,
con cualquier calculadora científica se obtienen fácilmente, una vez que se le introducen los
datos. Un significado que se suele dar a las medidas de dispersión es como indicadores de qué tan
separados están los datos entre sí. Basta ordenar los datos o hacer su gráfica de frecuencias para perci-bir
intuitivamente la dispersión; en contraste, la dispersión como un número específico es para la ma-yoría
un misterio. Las ideas de separación y la interpretación del valor numérico están en un terreno
abstracto, y aunque importantes, faltaría interpretar la dispersión en los contextos en los que se presenta.
Varios investigadores (Garfield y Ben-Zvi, 2008, Konold y Pollatsek, 2004) sugieren que no es
posible entender la dispersión sin verla estrechamente ligada a una medida de tendencia central, prin-cipalmente
a la media aritmética. Por ejemplo, Garfield y Ben-Zvi comentan que “los libros de texto
tradicionales primero introducen las medidas de tendencia central, luego introducen la dispersión y
luego continúan con el siguiente tópico. Sin embargo, puede ser más útil estudiar esos tópicos juntos
pues están interrelacionados” (Garfield y Ben-Zvi, 2008, pp. 88). En consecuencia, es muy importante
tener situaciones y problemas para trabajar en clase y propiciar la interpretación de la media y la dis-persión
de manera conjunta. Las situaciones de comparación de conjuntos de datos son ideales para
ese propósito.
3.2. Comparación de conjuntos de datos
Gal (1989, 1990) administró problemas simples de comparación de conjuntos de datos con ni-ños
de educación básica (8 a 12 años) y observó las estrategias que utilizaban para analizarlos y res-ponder
las preguntas. Un resultado sorprendente es que ninguna de las estrategias que desarrollaron
los niños incluía el uso de la media aritmética, cuando ésta era fundamental para la solución. Poste-riormente,
otras investigaciones han utilizado problemas de comparación de grupos para explorar las
estrategias de los estudiantes en el análisis de datos (Watson 1999,2001). Garfield y Ben-Zvi (2008)
argumentan a favor del valor que tienen los problemas de comparación de conjuntos de datos y de-fienden
que se incluya como un tópico explícito a tratar en los cursos de estadística; resumen sus razo-nes
en los siguientes cuatro puntos:
1. Comparar dos o más grupos puede estructurarse como una versión inicial e informal de in-ferencia
estadística
2. Los problemas que involucran comparaciones de grupos son a menudo más interesantes que
los que involucran a un solo grupo
3. Estudiantes de cualquier nivel requieren desarrollar estrategias para comparar grupos de da-tos
4. En la comparación de grupos es importante realizar representaciones gráficas y obtener re-súmenes
(centro y dispersión) de los datos.
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Con base en estos argumentos, los problemas que se proponen en este artículo son de compara-ción
de conjuntos de datos, pero se ha buscado formularlos en contextos en los que la interpretación de
los resultados sea significativa.
4. Contextos favorables para la interpretación de la dispersión
En los apartados anteriores se ha señalado la importancia de contar con problemas y actividades
para diseñar lecciones de estadística que permitan cubrir los contenidos curriculares. Dentro de los
contenidos de estadística los temas de media aritmética y dispersión son cruciales. El enfoque didácti-co
de los actuales corrientes curriculares enfatiza en el desarrollo de habilidades de razonamiento y no
solo en la adquisición de conocimientos. Con este fin, parecen convenientes las situaciones de compa-ración
de conjuntos de datos, formuladas en contextos significativos. En lo que sigue se proponen dos
contextos con potencial para propiciar la petición y búsqueda de razones para justificar una respuesta o
decisión.
4.1. Contextos de mediciones repetidas
Cuando en un trabajo experimental se realizan varias mediciones de una magnitud física no se
obtiene en general el mismo resultado. Surge entonces el problema de cuál es la mejor aproximación a
la verdadera medida de la magnitud en cuestión. La teoría de los errores establece que la mejor apro-ximación
es la media aritmética cuando las mediciones cumplen las siguientes características:
· Cada medición es independiente de cualquier otra
· Se pueden cometer con la misma frecuencia, tanto errores por defecto como errores por ex-ceso.
La media aritmética se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor
sea el número de medidas, ya que globalmente los errores aleatorios se compensan. Una medida o dato
( se puede expresar como la suma de la medida real T (desconocida) del objeto más un error:
, la media de las mediciones será la suma del la medida real más la media de los errores:
. Como los errores son tanto positivos como negativos se espera que el promedio de los
errores sea pequeño.
De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, cuando se supone que estos se producen por
causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido
por:
Esta medida es , donde s es la desviación estándar muestral, es decir, del conjunto dado de
datos. Esta fórmula confirma y formaliza la idea intuitiva de que la precisión de un conjunto de medi-das
es función de la dispersión; cuando los datos son muy dispersos corresponden medidas con poca
precisión, en cambio, si están muy próximos entre sí significa que las medidas son muy precisas. Las
ideas anteriores ofrecen una buena oportunidad para dar una interpretación a los conceptos de media
aritmética y dispersión; por ejemplo, una actividad basada en la combinación entre encontrar la mejor
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estimación a un dato real de un conjunto de mediciones y comparar conjuntos de datos, puede ser
promisoria.
4.1.1. Un problema en el contexto de medidas
A continuación, en la Figura 1, se muestra un problema en un contexto de medidas que puede
servir para elaborar una actividad que promueva el razonamiento de los estudiantes de la media y la
dispersión:
Una clase de ciencias se divide en dos grupos A y B. Cada grupo está formado por 9 estu-diantes.
Cada uno de ellos, independientemente del otro, midió la altura de un poste y cada
grupo utilizó un método diferente. Las longitudes en metros que obtuvieron se muestran en
las siguientes listas:
Datos obtenidos por el Grupo A
4.6 4.2 4.7 4.6 4.5 4.3 4.6 4.7 4.3
Datos obtenidos por el Grupo B
4.7 4.4 4.0 3.9 5.2 3.9 4.7 5.0 4.7
· Cada grupo por su lado, con base en sus datos, debe proponer tan exactamente co-mo
sea posible la verdadera altura del poste ¿Qué números deben proponer?
· Se quiere evaluar entre el método para obtener las medidas que utilizó el grupo A y
el método que utilizó el grupo B, ¿Cuál es más preciso? ¿Por qué?
Figura 1. Ejemplo de un problema en un contexto de mediciones
La respuesta a la primera pregunta es la media de cada conjunto de datos ( y
). La respuesta a la segunda pregunta se puede basar en alguna medida de la dispersión; por
ejemplo, los rangos son: ; se deduce que hay más precisión en las medidas del
grupo A. Esta conclusión es la misma si se consideran las desviaciones medias:
( ) las desviaciones estándar ( ) o el error cuadrá-tico
( . La gráfica también puede servir de argumento para apoyar que es más
preciso el método del grupo A (ver Figura 2).
Análisis del problema
Las razones por las que la media aritmética es el mejor estimador no son evidentes y, por tanto,
no la suelen dar espontáneamente los estudiantes de cualquier nivel (Gal 1989,1990). Una respuesta
que prefieren es proponer la moda: 4.6 para el primer conjunto y 4.7 para el segundo. Un problema
con esta propuesta de solución es que no toma en cuenta las otras medidas. Otra respuesta posible es el
punto medio del recorrido, por ejemplo: y aunque ésta es una mejor pro-puesta
que la de proponer la moda, no es tan buena como la media. La mediana también es una pro-
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puesta conveniente, sin embargo, esperar que la consideren los estudiantes es tan difícil como la pro-pia
media (en el ejemplo, casualmente las medianas coinciden con las modas).
Figura 2. Gráficas del problema de mediciones
En la clase, se debe permitir que los estudiantes hagan sus propuestas y las discutan. El profesor
puede plantear que la solución debe tener en cuenta todas las medidas y no sólo una o un sub-conjunto
de ellas; también tiene que enfatizar en el hecho de que los errores son aleatorios y pueden ser tanto
por exceso como por defecto y que la solución debiera aprovechar esta circunstancia. Estas razones
pueden contribuir a entender que la media es un buen candidato. El profesor debe abstenerse de dar la
solución desde un principio, pues frustraría la posibilidad de reflexión de sus estudiantes, en su lugar,
tiene que desplegar recursos para motivar la discusión; cuando algún estudiante proponga la media no
la debe aceptar de inmediato, sino propiciar que convenza a sus compañeros con argumentos válidos.
El análisis de la precisión en este contexto no es tan difícil de percibir y de que surja naturalmente en
boca de los estudiantes. La cuestión es no dejar sólo que perciban intuitivamente al grupo de datos con
mayor precisión (menos dispersión) sino aprovechar dicha percepción para asociarla con una medida
de dispersión.
4.2. Contextos de riesgo
A continuación se presentan algunas ideas básicas sobre el riesgo basadas en la exposición de
Fischhoff y Kadvany (2011). En particular, para los fines de este artículo basta mencionar algunas
ideas de tres temas que abordan estos autores: la definición de riesgo, el análisis del riesgo y la toma
de decisiones en situaciones de riesgo. El riesgo se presenta cuando hay potenciales resultados no
deseados que pueden traer como consecuencia pérdidas o daños. Definir el riesgo significa especificar
los resultados valiosos y los no deseados en un orden que refleje el valor que se les atribuye. En mu-chas
ocasiones, se pueden medir los resultados no deseados o valiosos, por ejemplo, las tasas de mor-talidad
o el producto interno bruto. Hay también eventos en los que no hay acuerdo de cómo medirlos:
pobreza, bienestar o crecimiento económico. Finalmente, hay algunos en que la sola idea de medirlos
es controversial, así son las amenazas a la justicia o los daños ecológicos a la naturaleza.
Una vez que se identifican los riesgos, el problema es determinar qué tan grandes o prejudicia-les
son y cuáles son las posibles causas que los gobiernan. El análisis del riesgo generalmente son
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constructos intrincados, a menudo integran los análisis de científicos de diferentes áreas del conoci-miento
y toman en cuenta una diversidad de fuentes de datos o información. No obstante, hay una
variedad tan amplia de fenómenos, que la lógica del análisis del riesgo puede consistir en simples con-teos
de datos, con cuyos resultados llevar a cabo conocidos análisis estadísticos, hasta complejas simu-laciones
de modelos cibernéticos conteniendo información científica de áreas especializadas además
de intrincados procesos estocásticos.
El análisis del riesgo ofrece información para la toma de decisiones. La teoría de la toma de de-cisiones
en situaciones de riesgo tiene dos aspectos; por un lado, define reglas abstractas sobre lo que
debería hacer la gente en situaciones de riesgo, por otro, estudia lo que hace la gente cuando se enfren-ta
realmente a tales situaciones: “Si la gente no sigue las reglas, quiere decir que o las personas necesi-tan
ayuda o las reglas necesitan una revisión” (Fischhoff y Kadvany, 2011, pp.65). En los casos en que
el análisis del riesgo ofrece un conjunto ordenado de posibles resultados, la regla para tomar decisio-nes
es simple: “elija la opción cuyo resultado produzca algo con la mayor cantidad del valor que usted
desea tener (dinero, descanso, acres de tierras húmedas, etc.)” (Fischhoff y Kadvany, 2011, pp. 65). La
ordenación de los resultados generalmente contiene incertidumbre y está asociada a distribuciones de
probabilidad. La regla entonces debe combinar el valor deseado que proporciona cada resultado con la
probabilidad de que ocurra para cada posible decisión.
4.2.1. Un problema en el contexto de juegos
No iremos más allá de los comentarios anteriores, pues son suficientes para indicar la naturaleza
del contexto de riesgo en el que se formula el problema que se propone (Figura 3). En el análisis del
problema aclararemos el papel de la media y la dispersión para la toma de decisiones en la situación de
riesgo que se propone.
En una feria, se invita a los asistentes a participar en uno de dos juegos. Juan puede participar
en un juego, pero no en ambos. Para saber por cual decidirse observa, anota y ordena los re-sultados
de dos muestras de 10 personas que han participado en cada juego. Las pérdidas (-) o
premios (+) en efectivo que han obtenido las 20 personas se muestran en las siguientes listas:
Juego 1
15 -21 -4 50 -2 11 13 -25 16 -4
Juego 2
120 -120 60 -24 -21 133 -81 96 -132 18
Si tienes la posibilidad de participar en un solo juego ¿Cuál juego elegirías? Explica las razo-nes
de tu respuesta.
Figura 3. Ejemplo de un problema sobre situaciones de riesgo
Una respuesta relativamente aceptable es que es igual jugar en cualquiera de los dos juegos, es-to
con base en el argumento de que ambos conjuntos tienen la misma media ( ), es decir, a la
larga en cualquiera de los juegos se ganará en promedio 4.9 unidades. No obstante, una respuesta más
avanzada debe tener en cuenta la dispersión. Es notorio que en los datos del segundo juego hay mucha
más dispersión que en los del primero (Figura 4). En este contexto, la dispersión se asocia al riesgo: el
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juego 2 es más arriesgado, pues aunque con base en los datos se puede conjeturar que es posible ganar
cantidades mayores que en el juego 1 (el máximo en el juego1 es 133, mientras que en el juego 2 es
50) también es posible perder más (el mínimo en el juego 1 es -132, mientras que en el juego 2 es -25).
La decisión depende de las preferencias y condiciones económicas del jugador, si es propenso al ries-go
y tiene suficientes recursos para jugar, podría optar por el juego 2; si es conservador o no tiene
suficientes recursos, le conviene elegir el juego 1.
Figura 4. Gráficas del problema de riesgo
Análisis del problema
La idea del problema es propiciar que el estudiante se ubique en una situación de riesgo, de ma-nera
que se dé cuenta que la elección de un juego u otro conlleva consecuencias en términos de bene-ficios-
pérdidas. El primer paso en el análisis es preguntarse en qué juego globalmente se gana más
dinero; esta pregunta se la hacen los estudiantes de manera natural, pero la respuesta que ofrecen es
muy variada. Nuevamente pensar en la ganancia promedio de cada juego (media aritmética de los
datos) y compararlas, es una idea que pocos, si alguno, la consideran; la gran mayoría omiten este paso
que es crucial para el análisis. Sus comparaciones suelen ser resultado de una impresión de riesgo que
les producen los datos individuales de la distribución: unos comparan los máximos de las distribucio-nes
y hacen afirmaciones como “en el juego 2 se gana más”, otros comparan los mínimos “en el juego
1 se pierde menos”; otros podrían ignorar la cantidad precisa que se gana o se pierde y sólo cuentan
cuantos perdedores (cantidades negativas) y cuantos ganadores (cantidades positivas) tiene cada juego,
decidiendo que da lo mismo escoger uno u otro.
Una vez que se determina con base en la ganancia promedio que los dos juegos son equivalen-tes,
se debe formular la pregunta ¿En qué juego se corre más riesgo? Inferir que el juego con mayor
dispersión es más arriesgado que el juego con menor dispersión ofrece un significado pertinente a la
teoría del riesgo. El problema de valorar el riesgo consiste en ponderar entre ambos juegos: En el de
mayor dispersión, se puede tener la fortuna de ganar más que en el otro juego, pero también se corre el
riesgo de perder más. En el de menor dispersión, se puede ganar menos que en el primero, pero tam-bién,
si se pierde se perderá menos que en el otro juego. No hay una regla general que indique cuál es
la mejor decisión, pues depende de la situación económica particular del jugador así como de sus
creencias y actitudes ante el riesgo.
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Una dificultad que suelen encontrar los estudiantes surge de la falta de información acerca de la
naturaleza del juego y sobre la manera particular en que un jugador gana determinada cantidad. Mu-chos
estudiantes llenan este vacío imaginando situaciones: unos pueden pensar en una urna con bolas
numeradas, otros en juegos de caballos, etc. Encontramos que algunos estudiantes imaginan que el
primer dato del primer juego (15) corresponde a un jugador y que el primer dato del segundo juego
corresponde a su oponente (120) y concluye que el jugador del segundo juego le ganó al primero (por
105). Situaciones en las que se pueden coleccionar datos ignorando el modelo subyacente son frecuen-tes
en la investigación estadística. La idea del problema es propiciar que el estudiante realice un estric-to
análisis de los datos interpretando la situación a pesar de dichas restricciones. El siguiente ejemplo
es también de una situación de riesgo y en él es más claro la ausencia de un modelo para explicar el
comportamiento de los datos.
4.2.2. Un problema en el contexto de salud-enfermedad
Considera que debes aconsejar a una persona que padece una enfermedad grave, incurable y
mortal, pero que es tratable con medicamentos que pueden extender la vida por varios años
más. Es posible elegir entre tres tratamientos. Las personas tienen diferentes reacciones a las
medicinas, para algunas tienen el resultado previsto, mientras que para otras pueden ser más
benéficas o más prejudiciales. En las siguientes listas se muestran los años que han vivido
varios pacientes que se han tratado con una de las opciones mencionadas; cada dato de las
listas corresponde al tiempo que ha sobrevivido un paciente con el respectivo tratamiento.
Después se muestran las gráficas correspondientes a los tratamientos.
Tiempo en años (tratamiento 1)
5.2 5.6 6.5 6.5 7.0 7.0 7.0 7.8 8.7 9.1
Tiempo en años (tratamiento 2)
6.8 6.9 6.9 7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.2 7.4
Tiempo en años (tratamiento 3)
6.8 6.8 6.9 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.4
Figura 5. Ejemplo de problema es situaciones de riesgo
El primer paso en el análisis de este problema, al igual que los anteriores, es calcular el tiempo
medio de vida para cada tratamiento ( . Con base en esta información se podría decir que
cualquier tratamiento es igual, no obstante, en la medida en que lo que está en juego es de suma im-portancia,
parece imprescindible hacer un análisis (de riesgo) más detenido. Claramente el tratamiento
1 tiene mayor dispersión (Figura 6) y, por tanto, ofrece más riesgo, en el mismo sentido del problema
anterior: los datos indican que se puede vivir más tiempo que el tiempo que indican los datos en cual-quiera
de los otros dos tratamientos (9.1 > 7.4), pero también se puede vivir menos (5.2 < 6.8). ¿Cuál
es la decisión adecuada entre elegir el primer tratamiento y cualquiera de los otros dos? Nuevamente,
no hay una regla general que prescriba la mejor elección, aunque en este caso una decisión conserva-dora
podría ser más popular que una decisión arriesgada. Decidir entre el tratamiento 2 y el 3 es más
difícil, pero si el criterio de menor riesgo se ha tomado y éste se asocia con la desviación estándar
muestral, los datos del tratamiento 2 indican menor dispersión ( , aunque la
diferencia es tan pequeña que se pueden considerar equivalentes.
Problemas de mediciones repetidas y de riesgo para desarrollar el razonamiento de estudiantes
de secundaria en los temas de media y dispersión
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Vol. 83 julio de 2013
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Análisis del problema
El análisis de este problema es muy similar al anterior sobre la elección entre dos juegos. El
primer paso es comparar las medias, después considerar con cuidado la dispersión. Como se ha indi-cado,
este sencillo procedimiento no suele estar dentro de las estrategias espontáneas de los estudian-tes
y bien puede ocurrir, que los estudiantes hayan entendido que en el contexto de pérdida-ganancia
es conveniente comparar las medias de los conjuntos de datos y no transferirlo a la situaciones de
tiempo de vida en contextos de salud-enfermedad. Con relación al análisis de la dispersión, puede
ocurrir que un mismo alumno sea propenso al riesgo en el caso de juegos de pérdida-ganancia de dine-ro,
y sea adverso al riesgo en el caso de salud-enfermedad o viceversa. Lo importante de la considera-ción
del riesgo es que lo interpreten de manera adecuada y no caigan en el error frecuente de creer que
“mayor dispersión significa mayor tiempo de vida”, pues esto es falso.
0
2
4
6
Tratamiento_1
0
2
4
6
Tratamiento_2
2
4
6
Tratamiento_3
5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5
Teimpo de vida Histogram
Figura 6. Gráficas de los datos del problema del tiempo de vida
5. Conclusiones
Se han propuesto tres problemas que pueden ser útiles para diseñar lecciones de estadística para
desarrollar el razonamiento estadístico de los estudiantes en los temas de media y dispersión. Las ra-zones
para hacerlo son variadas: la importancia de que el profesor cuente con problemas para cubrir
los contenidos curriculares, las dificultades detectadas en el tema en cuestión y la necesidad de darles
un significado que sea accesible a los alumnos. Los problemas se han adaptado al formato de compa-ración
de conjuntos de datos, pues prefiguran problemas de inferencia, atraen el interés de los estu-diantes,
no son triviales y su solución requiere de los instrumentos elementales de la estadística. Tam-bién
se han inscrito en los contextos de mediciones repetidas (ya señalado por Batanero, 2000) y de
riesgo, pues ambos ofrecen oportunidades para enriquecer el significado de las nociones de media y
dispersión. La intención es explorar recursos que permitan ir más allá de las interpretaciones de la
media y la dispersión que se constriñen a contextos puramente matemáticos. Se han hecho algunas
recomendaciones para implementarlos en clase, acordes con el espíritu actual de las recomendaciones
curriculares: dejar a los estudiantes que propongan soluciones, promover la discusión y prever los
errores y falsas concepciones que ya han sido detectadas en la investigación. En el futuro, investiga-ciones
empíricas y prácticas escolares podrían proporcionar evidencias de las ventajas y desventajas
del uso de este tipo de problemas en clase.
Problemas de mediciones repetidas y de riesgo para desarrollar el razonamiento de estudiantes
de secundaria en los temas de media y dispersión
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Bibliografía
Batanero, C. (2000). Significado y comprensión de las medidas de posición central. UNO, 25, 41-58.
Batanero, C. y Díaz, C. (2011) (Eds.). Estadística con Proyectos. Granada: Departamento de Didáctica
de las Matemáticas.
Batanero, C., Godino, J. D., Vallecillos, A., Green, D. R., y Holmes, P. (1994). Errors and difficulties
in understanding elementary statistical concepts. International Journal of Mathematics Education
in Science and Technology, 25(4), 527–547.
Castro-Sotos, A. E., Vanhoof, S., Noortgate, W. y Onghena, P. (2007). Students’ misconceptions of
statistical inference: A review of the empirical evidence from research on statistics education. Edu-cational
Research Review, 2, 98–113.
Fischhoff, B. y Kadvany, J. (2011). Risk: A very short introduction. Oxford: Oxford University Press.
Gal, I., Rothschild, K. y Wagner, D. A. (1989) Which group is better? The development of statistical
reasoning in elementary school children. Artículo presentado en el encuentro de la Sociedad para
la Investigación en el desarrollo del Niño (Society for Research in Child Development). Kansas
City.
Gal, I., Rothschild, K. y Wagner, D. A.(1990). Statistical concepts and statistical reasoning in school
children: Convergence or divergence? Artículo presentado en el encuentro de la Asociación de In-vestigación
Educacional Americana (American Educational Research Association), Boston.
Garfield, J. y Ahlgren, A. (1988). Difficulties in learning basic concepts in statistics: Implications for
research. Journal for Research in Mathematics Education. 19, 44-43.
Garfield, J. y Ben-Zvi, D. (2005). A framework for teaching and assessing reasoning about variability.
Statistics Education Research Journal, 4(1), 92-99.
Garfield, J. y Ben-Zvi, D. (2008). Developing Students’ Statistical Reasoning: Connecting Research
and teaching. Springer: New York.
Godino, J.D. (1996). Mathematical concepts, their meaning, and understanding. En: L Puig y A.
Gutierrez (eds.) Proceedings of the 20th Conference of the International Group for the Psychology
of Mathematics Education, 2-417-424. Universidad de Valencia.
Groth, R. E. y Bergner, J. A. (2006). Precervice elementary teachers’ conceptual and procedural
knowledge of mean, median, and mode. Mathematical Thinking and Learning, 8, 37-63.
Jones, K. y Smith, K. (1997). Students teachers learning to plan mathematics lessons. Artículo presen-tado
en la Conferencia Anual de 1997 de la Asociación de Profesores de Matemáticas (1997 An-nual
Conference of the Association of Mathematics Education Teachers: AMET1997). Leicester.
15-17.
Jones, G. A., Langrall, C. W. y Mooney, E. S. (2007). Research in probability: Responding to class-room
realities.En F. K. Lester Jr (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching
and Learning ,909-955. Reston, VA: The National Council of Teachers of Mathematics.
Konold, C. y Pollatsek, A. (2004).Conceptualizing an average as a stable feature of a noisy process.
En D. Ben-Zvi y J. Garfield (Eds.). The challenge of developing statistical literacy reasoning and
thinking, 169-199. Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Russell, S.J. (1990). Issues in training teachers to teach statistics in the elementary school: A world of
uncertainty. En A. Hawkins (Ed.), Training teachers to teach statistics: Proceedings of the interna-tional
statistical institute roundtable conference,59-71. Voorburg, The Netherlands: International
Statistical Institute.
Shaughnessy, J. M. (1992). Research in probability and statistics: Reflections and directions. En D.
Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (465-494). Macmillan:
New York.
Shaughnessy, J. M. (1997). Missed opportunities in research on the teaching and learning of data and
chance. In F. Bidulph y K. Carr (Eds.), Proceedings of the Twentieth Annual Conference of the
Mathematics Education Research Group of Australasia , 6-22. Rotorua: University of Waikata.
Problemas de mediciones repetidas y de riesgo para desarrollar el razonamiento de estudiantes
de secundaria en los temas de media y dispersión
E. Sánchez, J. A. Orta Amaro
77 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 83 julio de 2013
M O N O G R Á F I C O: E S T A D Í S T I C A
Shaughnessy, J. M. (2007). Research on statistics learning and reasoning. En F. K. Lester Jr. (Ed.),
Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 957-1009. Reston, VA,
USA: The National Council of Teachers of Mathematics.
Watson, J. (2001). Longitudinal development of inferential reasoning by school students. Educational
Studies in Mathematics 47, 337–372.
Watson, J. M. and Moritz, J. B. (1999). The beginning of statistical inference: Comparing two data
sets. Educational Studies in Mathematics, 37, 145–168.
Wild, C. J. y Pfannkuch, M. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry. International Statistical
Review, 67(3), 223-265.
Ernesto Sánchez Sánchez. Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, México. Es matemá-tico
por la UNAM y Doctor en Ciencias, Especialidad en Matemática Educativa por el Cinvestav. Ha rea-lizado
estancias sabáticas de investigación en Grenoble, Francia (1997), Portland, Estados Unidos (2003)
y Granada, España, (2011). Su investigación ha sido en el área de la didáctica de la probabilidad y la es-tadística.
Nació en Oaxaca, México, 1955.
José Antonio Orta Amaro. Estudiante de doctorado del Departamento de Matemática Educativa del
Cinvestav, México. Es Ingeniero Industrial de profesión, pero se ha dedicado a la docencia. Ha impartido
clases de matemáticas y estadística en los niveles básico y medio superior. Está iniciando su formación
como investigador en el área de didáctica de la estadística. Nació en México, 1973.