Tareas matemáticas en la formación de maestros: Caracterizando perspectivas

              Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
Volumen 78, noviembre de 2011, páginas 5–16
ISSN: 1887-1984
A P E R T U R A
Tareas matemáticas en la formación de maestros. Caracterizando perspectivas
Salvador Llinares (Universidad de Alicante) 1
Artículo solicitado al autor por la revista
Resumen El diseño de tareas en los programas de formación de maestros se vincula al desarrollo del
conocimiento necesario para realizar diferentes tareas profesionales- organizar el
contenido matemático, interpretar el aprendizaje, gestionar la enseñanza. Se ejemplifica
esta perspectiva en el caso del diseño de tareas matemáticas considerando la tarea
profesional del maestro de analizar libros de texto.
Palabras clave Didáctica de la matemática, formación de maestros, diseño de tareas, competencia
docente
Abstract The design of tasks in mathematics teacher education is linked to develop of knowledge
necessary to perform different professional tasks - organizing the mathematical content to
teach, interpreting the mathematical learning, manage to mathematics teaching. We
exemplify this perspective considering the design of mathematical tasks in order to
develop the mathematical knowledge need to analysis mathematical problems from
primary textbooks.
Keywords Mathematics education, mathematics teacher education, design of task, teaching
competence
1. Introducción
Uno de los ámbitos en la educación matemática en los que la investigación y la práctica están
íntimamente ligadas es en la formación de profesores. En este ámbito, uno de los ejemplos en los que
esta relación es más clara tiene que ver con las reflexiones sobre el diseño, implementación y análisis
de tareas en los programas de formación. Estas tareas están dirigidas a que los profesores adquieran el
conocimiento y desarrollen las destrezas necesarias para la enseñanza de las matemáticas. Desde hace
algunos años reflexiones realizadas por los formadores de profesores dirigidas a conceptualizar y
compartir la actividad de diseño, implementación y análisis de tareas en los programas de formación
se están presentando de manera cada vez más explícita (Clarke, Grevholm y Millman, 2009; Laborde,
2011; Llinares y Olivero, 2008; Tirosh y Wood, 2008; Zaslavsky & Sullivan, 2011) y adoptando
perspectivas teóricas diferentes procedentes algunas del ámbito del diseño instruccional (Willis, 2009)
o el uso de recursos específicos (Brophy, 2004). Estos aportes han puesto de manifiesto la diversidad
de aproximaciones adoptadas y la riqueza de los materiales producidos mostrando de manera implícita
que no existen respuestas uniformes en esta cuestión. Esta situación a nivel internacional también ha
tenido un reflejo claro en el contexto español (Blanco, Cárdenas, Gómez y Caballero, 2011; Godino,
2004; Contreras y Blanco, 2002; Llinares, Valls y Roig, 2008; Penalva y Llinares, 2011).
1 Este artículo forma parte de un trabajo más amplio realizado conjuntamente por el autor y la profesora Julia
Valls, de la Universidad de Alicante.
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Las tareas diseñadas, implementadas y analizadas van desde el uso de videos, casos-viñetas
procedentes de situaciones de enseñanza-aprendizaje y problemas matemáticos planteados como
procesos investigativos para los estudiantes para profesor. Aunque existen diferencias entre las
aproximaciones adoptadas en formación inicial o formación continua y entre la formación de maestros
y la formación de profesores de secundaria, existen algunas ideas que empiezan a ser permeables a las
diferentes aproximaciones y contextos. Una de estas ideas procede de adoptar una perspectiva situada
hacia el aprendizaje del profesor y derivar a partir de aquí características que deben tener las tareas en
los programas de formación y cómo deben ser implementadas.
Desde esta perspectiva, las tareas que los formadores de profesores plantean a sus estudiantes se
consideran como instrumentos de una práctica que debe ser comprendida y aprendida. En este sentido,
el instrumento, las tareas o el conocimiento que se pretende como foco del aprendizaje, es el medio
técnico o conceptual que permite al usuario, en este caso los estudiantes para profesor, llegar a
comprender y mejorar una determinada práctica. En los programas de formación de profesores las
tareas son los instrumentos que utilizamos los formadores para que los estudiantes para profesores
puedan desarrollar el conocimiento y destrezas necesarios para enseñar matemáticas y al mismo
tiempo empiecen a generar las destrezas que les permita seguir aprendiendo a lo largo de la vida
profesional. Usando estas referencias, tan importante es determinar las características de una tarea
como caracterizar la manera específica en la que es implementada. La tarea, la manera en la que es
implementada y las ideas del formador de profesores que definen los contextos de uso son por tanto
los referentes para las oportunidades de aprendizaje (entornos de aprendizaje) para los estudiantes para
profesor.
Una reflexión adicional en la cuestión del diseño de tareas en los programas de formación de
profesores es la consideración de la idea de competencia docente entendida como el uso del
conocimiento para resolver los problemas profesionales de la práctica de enseñar matemáticas
(Llinares, 2009). Las tareas en los programas de formación son implementadas para promover el
desarrollo de competencias especificas y por tanto el aprendizaje y desarrollo de conocimiento y
destrezas vinculadas a contextos-problemas específicos. Algunos de los contextos–problemas
específicos vinculados a la enseñanza de las matemáticas y que constituyen un sistema de actividad
para el profesor de matemáticas en el que se encuadra la práctica de enseñar matemáticas viene dado
por
- Analizar las producciones de los estudiantes
- Organizar el contenido matemático para su enseñanza
- Gestionar la comunicación matemática en el aula
Sistemas de actividad en la enseñanza de las
matemáticas como una práctica
La enseñanza de
las matemáticas
como una práctica
Seleccionar y diseñar
tareas matemáticas
adecuadas
Interpretar y analizar el
pensamiento
matemático de los
estudiantes
Iniciar y guiar el discurso
matemático y gestionar las
interacciones matemáticas
en el aula
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Estos diferentes sistemas de actividad se visualizan en la práctica del profesor de matemáticas
mediante la realización de algunas tareas. Por ejemplo, cuando el profesor tiene que seleccionar,
analizar o diseñar algunas tareas matemáticas para sus alumnos a partir de un material docente como
puede ser un libro de texto y determinar en qué medida los problemas o la manera de organizar el
contenido que propone el libro de texto es adecuado para sus objetivos. En este caso el análisis de las
tareas-problemas, ejercicios y/o actividades- que aparecen en el libro de texto- es una actividad
característica de la práctica de enseñar matemáticas (Fernández, 2011). La misma reflexión podemos
hacer en relación a la actividad del profesor de valorar en qué medida las respuestas de sus alumnos a
las tareas matemáticas propuestas reflejan el aprendizaje pretendido, y cuando interacciona con sus
alumnos en la resolución de los problemas durante la enseñanza de las lecciones.
Para gestionar cada una de las componentes de este sistema de actividad el profesor pone en
funcionamiento diferentes dominios de conocimiento de manera integrada (Gavilán, García y Llinares,
2007; Escudero y Sánchez, 2007, 2008; Llinares, 2000):
- Sus perspectivas sobre y su comprensión de las matemáticas
- Su perspectiva sobre y su comprensión del aprendizaje de las matemáticas
- Su perspectiva sobre y su comprensión de la enseñanza de las matemáticas
Estos dominios de conocimiento y creencias (perspectivas) está íntimamente relacionados unos
con otros durante la práctica de enseñar matemáticas. Desde estas referencias, las tareas en los
programas de formación deberían contribuir al desarrollo de los diferentes dominios de conocimiento
en uso en estas diferentes actividades de la práctica. Este contexto ha definido una línea de reflexión,
investigación y práctica en la formación de profesores centrada en el diseño e implementación de
tareas en los programas de formación considerando los contextos de uso. Una característica de esta
línea de reflexión es el desarrollo de procesos cíclicos de diseño-implementación-análisis y
modificación de las tareas en los programas de formación. Y vinculado a estos procesos cíclicos
emerge una agenda de investigación centrada en qué y cómo aprenden los estudiantes para profesor
(Llinares y Krainer, 2006; Lupiañez y Rico, 2006; Penalva, Escudero y Barba, 2006) que pone de
manifiesto la relación entre la teoría y la práctica de formar profesores.
2. Comprender el contenido matemático para enseñar matemáticas en la educación
primaria
Con estas referencias generales, el contexto particular de formación de maestros en el ámbito de
las matemáticas introduce además peculiaridades dadas por el contexto de formación y por los
conocimiento previos de los estudiantes para maestro y por las características del perfil profesional
que deben desarrollar (por ejemplo ser maestros de diferentes materias y no solo de matemáticas).
Estas peculiaridades ha hecho emerger líneas de reflexión especificas centradas en el diseño de tareas
en los programas de formación de maestros en el ámbito de la educación matemática (Clarke,
Grevholm, y Millman, 2009) que ponen de manifiesto el carácter cíclico del trabajo realizado por los
formadores de maestros. Este proceso cíclico vincula la creación de la tarea, la reflexión sobre las
reacciones de los estudiantes para maestro y como consecuencia el refinamiento de la tarea
inicialmente propuesta. Este rasgo característico hace referencia a la necesidad de explicitar los
principios del aprendizaje del estudiante para maestro sobre los que se fundamentan las decisiones del
formador de maestros en su papel de diseñador de tareas. Esto es debido a que los formadores de
maestros tienen que considerar la manera en la que sus estudiantes aprenden para determinar en qué
medida las tareas propuestas cumplen con los objetivos con los que habían sido diseñadas.
Un aspecto particular lo centra las cuestiones relativas a qué matemáticas debe llegar a conocer
un estudiante para maestro y cómo debe llegar a conocerlas para empezar a generar la competencia
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docente en el ámbito de la enseñanza de las matemáticas. Aquí nos centramos únicamente en el
conocimiento de matemáticas que debe ayudar al estudiante para maestro a desempeñarse
adecuadamente en las diferentes tareas a través de las que se articula la práctica de enseñar
matemáticas – analizar las tareas matemáticas que debe proponer a sus alumnos cuando está pensando
en la organización del contenido matemático a enseñar, interpretar las producciones matemáticas de
sus alumnos para determinar el aprendizaje conseguido, o gestionar las interacciones durante la
enseñanza. Una reflexión sobre el conocimiento de didáctica de las matemáticas integrado con lo
matemático en este contexto puede reflejar los mismos principios que intentamos caracterizar aquí:
diseñar las tareas para generar el conocimiento necesario para enseñar matemáticas en los contextos de
uso.
En este caso, un aspecto particular de este proceso es determinar qué principios debe seguir el
proceso de diseñar tareas matemáticas en los programas de formación de maestros que tengan en
cuenta los contextos de uso de este conocimiento por parte del maestro al realizar la práctica de
enseñar matemáticas (por lo tanto, una reflexión paralela tendría en cuenta el conocimiento de
didáctica de las matemáticas) (Osana, Lacroix, Tucker y Desrosieres, 2006). Para describir un posible
camino en este proceso vamos a ejemplificar una posible toma de decisiones del formador de maestros
a la hora de decidir las características de las tareas matemáticas que puede proponer en el programa de
formación para intentar generar oportunidades de aprendizaje matemático en sus estudiantes para
maestro.
2.1. Aprendiendo matemáticas para analizar las tareas en los libros de texto
Las tareas matemáticas en los programas de formación de maestro cumplen tres objetivos. Por
una parte, deben permitir que los estudiantes para maestro re-examinen su comprensión de las ideas
matemáticas para que puedan llegar a cuestionarse su propio conocimiento de las matemáticas
escolares. En segundo lugar, las tareas matemáticas deben permitir que los estudiantes para maestro
amplíen su comprensión de algunos contenidos matemáticos. Finalmente, proporcionan la posibilidad
de que los estudiantes para maestro reflexionen sobre sus creencias en relación a la naturaleza de la
actividad matemática. Estos objetivos pretenden que los estudiantes para maestro puedan llegar a ser
sensibles a las matemáticas de sus alumnos para poder ayudarles en su aprendizaje. La cuestión aquí
es cómo alguien puede llegar a comprender mejor lo que se supone ya conoce – reaprender algunos
contenidos matemáticos - , y ampliar su comprensión de otros contenidos matemáticos.
2.2. Diseñando tareas en los programas de formación para iniciar el desarrollo de la
competencia docente
La idea de competencia docente viene caracterizada por saber cómo y cuándo usar el
conocimiento específico en la resolución de problemas profesionales, como puede ser el análisis de los
problemas que propone los libros de texto en el nivel educativo considerado. En el ámbito de la
enseñanza de las matemáticas, caracterizar la competencia docente significa comprender las ideas
matemáticas de manera que el estudiante para maestro pueda llegar a ser capaz de identificar lo
relevante matemáticamente hablando de la situación, interpretarlo y poder llegar a tomar decisiones de
enseñanza adecuadas. Esto implica que el estudiante para maestro debe llegar a ser consciente de qué
conocimiento de matemáticas es relevante en esa situación y poder analizar aquellos aspectos que
puedan llevar a los alumnos de primaria a comprensiones no adecuadas.
En la tarea profesional del maestro de analizar las propuestas de los libros de texto, por ejemplo,
en el caso particular de la enseñanza de los números decimales en sexto y el papel que desempeñan los
modos de representación, ante un problema como el planteado en la Figura 1, la comprensión
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matemática de los números decimales como parte de los números racionales y sus modos de
representación debe permitir al estudiante para maestro considerar (Centeno, 1988; Castro, 2001)
· El significado de número racional y su representación sobre una recta numérica
· Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles como forma de representar a los
números racionales.
· Fracción decimal entendida como el par de números enteros (a,b) donde b es igual a una
potencia de 10, y el reconocimiento de que existe representaciones de los números
racionales en forma de fracción que no son fracciones decimales
· Número racional decimal es un número racional que se puede representar con una
fracción decimal (o cualquier otra equivalente a esta, pudiendo ser estas irreducibles o no)
o mediante expresiones con coma finitas.
· Número racional no decimal es un número racional que se puede representar con una
fracción que no sea equivalente a ninguna fracción decimal (pudiendo ser estas
irreducibles o no) o mediante expresiones con coma infinitas: periódicas puras o mixtas.
· Y considerando conversiones entre los distintos modos de representación de los números
racionales: fracciones Ûexpresiones con coma
Figura 1. Fragmento de un libro de texto de 6º de primaria
La comprensión de los números racionales y sus representaciones debe permitir al estudiante
para maestro ser consciente de que en la tarea 7 existen fracciones que representan a números
racionales decimales y, en consecuencia, es posible hacer conversiones entre los modos de
representación fracción y expresión con coma finita (número decimal). Sin embargo, la fracción
6
4
no
representa a un número racional decimal. La tarea 8 sólo hace referencia a la conversión de
expresiones con coma finita (número decimal) a fracciones decimales que son las representantes de los
números racionales decimales. El análisis de la tarea desde el conocimiento matemático explícito
debería permitir al estudiante para maestro poder modificar la propuesta realizada por los libros de
texto en el sentido de hacer nuevas propuestas a sus alumnos con el objetivo de que los estudiantes de
primaria puedan identificar las propiedades o relaciones matemáticas implícitas.
Desde este análisis previo, la cuestión que se plantea en el programa de formación de maestros
es determinar
· Qué comprensión de estos contenidos matemáticos debe tener el estudiante para maestro
para empezar a realizar esta tarea profesional de manera competente, y
· Cómo puede llegar a esta comprensión teniendo en cuenta que muchas veces los
estudiantes para maestro llegan con un conocimiento procedimental de estas cuestiones.
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En cuanto a la primera pregunta cabe señalar que el conocimiento matemático que el estudiante
para maestro necesita saber está directamente relacionado con la existencia de números racionales
decimales y números racionales no decimales así como con sus representantes y dos de sus modos de
representación, la fracción y las denominadas “expresiones con coma”.
El desarrollo por parte de los estudiantes para maestro de la comprensión de la red de ideas
matemáticas necesarias para poder realizar de manera competente el análisis de la tarea en la figura 1,
puede estar vinculado a la realización y discusión en los programas de formación de tareas como las
reproducidas en el Cuadro 1.
Tarea 1.1
Dadas las fracciones
4
7
;
11
3
;
6
3
;
3
2
;
5
1
. Indica cuál de ellas son equivalentes a una fracción
decimal y cuáles no. Justifica tu respuesta.
Tarea 1.2.
Sin hacer la división halla la expresión con coma finita (expresión decimal finita) de las
siguientes fracciones
40
8
;
50
7
;
5
1
;
4
3
. Justifica tu respuesta.
Cuadro 1. Ejemplo de tareas de formación
La realización de las tareas 1.1. y 1.2. por los estudiantes para maestro puede favorecer una
comprensión más amplia de estos conceptos matemáticos. La resolución de las tarea 1.1. y 1.2.
conlleva que el estudiante para maestro vea:
· los números decimales expresados con diferentes representaciones
· los números naturales desde la representación decimal y factorial, en particular, el 10 y
sus potencias como 10 = 2·5 y 10n = 2n · 5n
La importancia de este enfoque radica en que los estudiantes para maestro puedan llegar a
comprender la diferencia de conocer los conceptos desde su etapa de estudiantes a comprenderlos para
llevarlos a las aulas. Es decir, la comprensión de un concepto matemático varia si este se conoce desde
la perspectiva de “usuario” a conocerlo desde la perspectiva de “formadores de usuarios” (en este
caso del maestro). Por ejemplo, la discusión colectiva entre los estudiantes para maestro de tareas
como la siguiente ayudarían a este objetivo (Castro, 2011; p. 325)
¿Se puede escribir 2/7 como decimal finito?
Para escribir 2/7 como decimal finito hay que hallar un número X tal que
2/7= (2.x)/(7.x), donde 7x tiene que ser potencia de 10, lo que conduce a 7x=2n · 5n
Pero este resultado contradice el teorema de factorización única (teorema fundamental
de la aritmética), ya que el factor 7 aparece en el primer miembro pero no en el segundo.
Mediante un razonamiento similar pero aplicando al teorema fundamental de la aritmética de
forma general, se obtiene el siguiente resultado:
Las únicas facciones que se pueden expresar como decimales finitos son la que,
escritas en su forma irreducible, tienen solo el 2 y/o al 5 como factores primos del
denominador.
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Este es por tanto el significado dado a la idea de red conceptual de ideas matemáticas (relación
entre representaciones de los números con coma, fracciones, teorema fundamental de la aritmética,
descomposiciones en factores primos, etc.) que constituyen en este ejemplo la comprensión
matemática que da sentido a la idea de competencia docente, vista desde la perspectiva de la tarea
profesional de analizar las actividades propuestas en los libros de texto.
Siguiendo con este ejemplo, y para profundizar más en la red de ideas matemáticas que
articulan la enseñanza de los números decimales y que fundamentan la competencia docente en la
tarea de analizar las tareas matemáticas en los libros de texto, el objetivo del análisis de las tareas 3 y
24 procedentes de los libros de texto (figura 2 y 3), es poner de manifiesto la existencia de dos tipos de
representaciones con coma para los números racionales no decimales. La pregunta para el formador de
maestros en su papel de diseñador de tareas en el programa de formación es
· ¿cuál es la comprensión matemática que debe tener un estudiante para maestro de los
números racionales y sus representaciones que le permita realizar un análisis competente
de estas dos tareas?
Figura 2. Fragmento de un libro de texto de 6º de primaria
Figura 3. Fragmento de un libro de texto de 6º de primaria
A partir de la tarea 3 de la figura 2 el alumno de primaria, usando una calculadora, puede llegar
a pensar que además de la existencia de fracciones con un número finito de cifras decimales, existen
fracciones a las que les corresponden expresiones con coma con “infinitas cifras decimales que se
repiten periódicamente” e incluso pueden llegar a pensar que son las que tienen como denominador
potencias de tres. Esta interpretación no les impedirá resolver el apartado 2 de la tarea 24 de la figura 3
salvo que usen la calculadora. Puede que tampoco observen que al resolver la tarea propuesta en la
figura 4, a través de la calculadora, esta les ofrece 7 resultados aproximados hasta el número de cifras
que admite su pantalla y uno sin aproximar,
8
1
. Posiblemente, ante esta tarea podrían reafirmarse en
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la idea de que sólo a las fracciones cuyo denominador sea una potencia de 3 le corresponden
expresiones con coma con infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente, al resto de
fracciones les corresponden expresiones con coma finitas ya que los resultados que podrían reflejarse
en la pantalla de su calculadora, si esta mostrará 8 dígitos, presentarán las siguientes características:
· expresiones con coma para las divisiones 44 : 3 y 41 : 5 del tipo 14,666666 y 4.5555555,
respectivamente.
· expresiones con coma para divisiones 50 : 7 ; 1 : 7 ; 15 : 7 y 12 : 13 del tipo
7.1428571; 0.1428571; 2.1428571 correspondientes a las divisiones de divisor 7 y
0.9230769, expresiones donde a primera vista no se repite ninguna cifras periódicamente.
No obstante, cabe resaltar en este caso que el resultado 1.4166666 procedente de la división
17 : 12 podría generar ciertas dudas ya que también le corresponde una expresión con coma con
infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente pero no como las anteriores.
Figura 4. Fragmento de un libro de texto de 6º de primaria
Realizar un análisis competente de estas tareas procedentes de libros de texto de primaria se
apoya en la comprensión de una red de ideas matemáticas necesarias para interpretar de manera
amplia la situación descrita en la figura 2, 3 y 4, y formada por
· D = d·c + r , 0 £ r < d
· Teorema fundamental de la aritmética: expresión en factores primos de un número.
· Si multiplicamos, dividimos en división exacta, dividendo y divisor por un mismo
número, el cociente no varía y el resto viene multiplicado o dividido por dicho número.
· Isomorfismos entre los conjuntos (N, +, x) y (Q, +, x): Toda división se puede expresar
como una fracción.
El desarrollo por parte de los estudiantes para maestro de la comprensión de esta red de ideas
matemáticas para la realización competente de la tarea profesional de analizar las actividades
propuestas en los libros de texto puede vincularse en los programas de formación a la realización y
discusión de tareas como la reproducida en el Cuadro 2.
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Tarea 2.1
Encuentra una expresión con coma para los siguientes números racionales:
20
3
,
13
1
,
11
1
,
30
7
,
125
7
,
15
1
¿Qué particularidades observas entre las distintas escrituras? ¿Qué características tienen sus
denominadores?
Tarea 2.2
Dadas las fracciones irreducibles
46
,
25
,
19
a b c
. Indica qué tipo de expresión con coma
le corresponde a cada una de ellas. Justifica tu respuesta.
Cuadro 2. Ejemplo de tareas de formación
Las tareas 2.1. y 2.2. tienen como objetivo que el estudiante para maestro sea capaz de generar
por si mismo y/o colaborativamente la comprensión de los criterios siguientes:
Proposición 1
La expresión con coma, correspondiente a una fracción irreducible, será finita si el
denominador no contiene más factores que 2a y / o 5b , para "a , b Î N
Proposición 2
La expresión con coma, correspondiente a una fracción irreducible, será periódica pura si el
denominador no tiene como factores ni al 2a ni al 5b , para "a , b Î N
Proposición 3
La expresión con coma, correspondiente a una fracción irreducible, será periódica mixta si el
denominador tiene como factores al 2a o 5b , para "a , b Î N , además de
otros factores primos
La realización de este tipo de tareas en los programas de formación de maestros intenta cumplir
con el objetivo de ayudar a los estudiantes para maestro a re-aprender el contenido matemático que
presumiblemente ellos creen que conocen y al mismo tiempo ampliar la comprensión en relación a
nuevas ideas. Sin embargo, algunos estudiantes para maestro acuden a las tutorías con el formador al
ser incapaces de responder a la segunda pregunta de la tarea 2.1. Estos estudiantes para maestro son
incapaces de ver los denominadores representados mediante su expresión factorial. “Este no ver” no
les permite relacionar el tipo de expresión con coma con la expresión factorial, en consecuencia, no
son capaces de establecer o comprender los criterios que permiten realizar la tarea 2.2. Otros
estudiantes, optan por aprender de manera algorítmica los criterios y responden adecuadamente a la
tarea 2.2. Una forma de diagnosticar si este aprendizaje es sólo algorítmico sin comprender el
significado del propio algoritmo es plantear tareas como las siguientes (cuadro 3).
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Tarea 3.1
Da al menos siete ejemplos de fracciones que le corresponda una expresión con coma
periódica mixta
Tarea 3.2
Indica que expresión con coma le corresponde a la fracción
14
7
Tarea 3.3
¿Cuál(es) de las fracciones ,
4
1
,
3
1
,
5
1
en base seis, tiene una expresión con coma del
mismo tipo que las fracciones irreducibles
17
,
20
a b representadas en base diez?
Cuadro 3. Ejemplo de tareas de formación
Para responder a la tarea 3.1 el estudiante suele acudir a ejemplos triviales donde para conseguir
los siete ejemplos solo cambia el numerador y el denominador y lo expresa en forma decimal. El
hecho de solo cambiar el numerador le lleva, en la mayoría de los casos, a presentar fracciones no
irreducibles a las que no les corresponde una expresión con coma periódica mixta. En ningún caso,
recurren a ejemplos donde el denominador venga expresado en factores primos. La respuesta
mayoritaria dada por los estudiantes a la tarea 3.2. es que a la fracción le corresponde una expresión
con coma periódica mixta, al no tener en cuenta que no es una fracción irreducible. Por último, la tarea
3.3. , a aquellos que han aprendido los criterios de manera algorítmica, les resulta difícil establecer una
relación entre 10 = 2·5 en base diez y el 10(6 = 2·3 en base seis.
3. Diseñando tareas en la formación de maestros. Caracterizando perspectivas
El diseño de tareas en los programas de formación de maestros es una actividad cada vez más
explícita en la responsabilidad de los formadores de maestros tanto a nivel internacional como a nivel
nacional. En este trabajo hemos querido describir una perspectiva para la toma de decisiones en
relación al diseño de tareas en el programa de formación que tiene en cuenta criterios procedentes del
aprendizaje situado que subrayan la importancia de la generación del conocimiento necesario para
realizar una determinada actividad profesional como es la enseñanza de las matemáticas. Como
consecuencia, en la perspectiva descrita aquí nos hemos centrado en la formación de maestros y en
relación al aprendizaje del conocimiento de matemáticas necesario para la práctica de enseñar
matemáticas. Para ello, hemos partido de considerar cuáles son las tareas profesionales que articulan la
práctica de enseñar matemáticas en la educación primaria para identificar tareas que deben ser
realizadas por los profesores e intentar caracterizar el conocimiento de matemáticas que sería
necesario para realizar esta tarea de manera competente. Utilizando el contexto específico generado
por la tarea profesional del maestro de analizar propuestas curriculares y en particular la secuencia de
problemas propuestos por los libros de texto para un contenido matemático particular hemos descrito
un posible camino para diseñar tareas en el programa de formación dirigidas a crear las oportunidades
para que los estudiantes para maestro lleguen a comprender el contenido matemático de manera que
les permita llegar a realizar de manera competente esta tarea.
Finalmente nos gustaría indicar que lo que hemos intentado describir aquí es una perspectiva
para organizar la manera de pensar sobre el diseño de tareas en el programa de formación que tiene en
cuenta la idea de competencia docente como conocimiento en uso para resolver problemas
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profesionales. Es decir, lo que hemos intentado subrayar es pensar en el conocimiento que necesita un
maestro desde la perspectiva de las tareas profesionales que realiza en la práctica de enseñar
matemáticas, y derivar desde allí rasgos característicos de las tareas en el programa de formación.
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Salvador Llinares, Departamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante,
España. Coordinador del grupo de investigación “Investigación y formación didáctica” en la Universidad
de Alicante. Autor de publicaciones en Educación Matemática sobre el desarrollo del conocimiento
matemático y sobre la formación de profesores.