Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas

              Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas'
Abraham Arcavi
Resumen
En este artículo se examinan tres conceptos que han de tenerse en cuenta para
crear un puente entre las prácticas cotidianas y las matemáticas escolares: lo coti­diano,
la matematización y la familiaridad con el contexto. Discuto detalladamente
cada uno de ellos mediante ejemplos extraídos de mi trabajo con profesores en
ejercicio, mis experiencias en desarrollo curricular y la literatura de investigación.
Abstract
This paper examines three concepts to consider in creating a bridge between
everyday practices and mathematics in school: everydayness, mathematization, and
context familiarity. 1 discuss each concept in detail using examples from my work
with in-service teachers, my experiences in currículum development, and the
research literature.
Introducción
En los últimos 15 o 20 años se ha prestado una seria y amplia atención a las
matemáticas cotidianas. Bajo este título, los investigadores han descrito y
analizado el aprendizaje de las matemáticas y las prácticas matemáticas
que tienen lugar en contextos extraescolares, ajenos al mundo académico.
Por ejemplo: en ~arpintería (Millroy, 1992); venta ambulante (Nunes,
Schliemann, & Carraher, 1993; y periódicos (Schlieman, 1995). En estos con­textos
"los problemas son dilemas para resolver" y "El que resuelve proble­mas
procede actuando, generalmente involucrándose a sí mismo, su pro­pio
cuerpo, sus susceptibilidades y el entorno" (Lave, 1998, pp. 19-20). En
otras palabras, los problemas surgen dentro de una cierta práctica, y las
soluciones pueden requerir estrategias matemáticas apropiadas basadas
en elementos o consideraciones inherentes al problema y en las experien­cias
personales previas.
1 Traducción de Manuel Femández Reyes y Juan Antonio García Cruz del original en inglés:
«The Everyday and the Academic in Mathematics» by Abraham Arcavi, Everyday and
Academic Mathematics in the Classroom. A Monograph edited by M. Brenner and J.
Moschkovich (Eds.) Jouma/ for Research in Mathematics Education. 12-29, 2002.
Translated and reprinted with permission from Journal for Research in Mathematics
Education, copyright © 2002 by the National Council of Teachers of Mathematics, lnc.
www.nctm.org. Ali rights reserved. NCTM is not responsible for the accuracy or quality of
the translation.
Números.
rolumen 6J, febrero 2006, pigínas J-21 3
Como consecuencia de lo anterior y de otros muchos estudios, la reforma
de los programas de educación matemática (por ejemplo, de Professional
Standards, National Council of Teachers of Mathematics, 1991) incluyó en
sus fundamentos la propuesta de aprovechar e integrar aspectos de las prác­ticas
matemáticas extraescolares, pretendiendo que tal integración es, no
sólo deseable, sino también factible.
En este capítulo pretendo contribuir a alcanzar dicha integración. Se revi­san
y discuten en él tres nociones que pueden considerarse centrales cuan­do
se trata de tender un puente entre las prácticas cotidianas y el estudio y
el aprendizaje más formal de las matemáticas en la escuela. Las referidas
nociones son: lo cotidiano, la matematización y la familiaridad con el con­texto.
Primero, en lo referente a cotidiano examino las posibles connotaciones
que la expresión "prácticas cotidianas" puede tener para diferentes perso­nas,
en especial si se pregunta en qué consiste lo cotidiano. Segundo, su­giero
aspectos de lo que es cotidiano para los alumnos, que puede ser pa­sado
por alto en sus informes sobre sus experiencias matemáticas
extraescolares, y que podrían constituir, fuentes ricas de matemáticas signi­ficativas.
En tercer lugar, considero qué puede significar lo cotidiano para
las matemáticas académicas, y sugiero que, de modo no sorprendente,
puede también significar aquí cosas diferentes para personas distintas.
En "matematización" describo por qué parece ser ésta una idea principal
cuya apropiada realización tiene la posibilidad de crear un puente entre las
matemáticas cotidianas y las académicas. Sin embargo, mi contribución se
centra en una noción que, de alguna manera, es opuesta y complementa­ria
a la matematización. Me refiero a la contextualización, que podría tam­bién
jugar un importante papel en la referida conexión entre lo académico
y lo cotidiano.
La matematización y la contextualización dependen del conocimiento y la
comprensión del alumno acerca de los contextos de las situaciones de pro­blema,
y de sus formas informales de pensamiento. Estos aspectos se dis­cuten
bajo el epígrafe de familiaridad con el contexto.
Al volver sobre estas tres nociones, asumo la perspectiva de las matemáti­cas
académicas. En matemáticas académicas contemplo: a) contenidos y
problemas que, generalmente, no surgen en la mayoría de las prácticas
diarias fuera de la escuela dado que incluyen temas avanzados; y b) el estu­dio
y producción de métodos generales de solución aplicables a una série
de situaciones independi~ntemente de sus peculiaridades contextuales. El
origen y las tendencias de las ideas y ejemplos que se presentan en este
4 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
capítulo se deben a mi experiencia como profesor de matemáticas, como
diseñador de currículos, como formador de profesores, y como investiga­dor
en el aprendizaje de las matemáticas escolares, interesado y motivado
por los estudios de las matemáticas cotidianas.
lQué es cotidiano?
lQué incluyen o excluyen las matemáticas cotidianas? ¿Queremos decir
todos lo mismo con esta expresión? Con mucha frecuencia, cuando Ja
empleamos parece que damos a entender que es una expresión única,
bien definida, cuyo contenido es compartido y entendido por todos. Puede
ser que, en vez de especificar el contenido matemático, se refiera a alguna
versión de las seis actividades básicas encontradas por Bishop (1998) que
son universales, esto es, que se dan en todas las culturas: contar, localizar,
medir, designar, jugar y explicar. Sin embargo, además de estas actividades
generales, las matemáticas cotidianas pueden consistir en cosas diferen­ciadas,
dependiendo de la cuestión ¿qué es cotidiano? Las diversas profe­siones
y actividades (especialmente las que son más matemáticamente
ricas, como Ja ingeniería; ver, por ejemplo, Noss & Hoyles, 1996a) pueden
tener contenidos matemáticos muy importantes en su práctica cotidiana, y
lo que es muy cotidiano para uno, puede resultar abstruso para otro.
Por eso, lo que incluimos en las matemáticas cotidianas depende mucho
del contexto y de la práctica de donde emergen las matemáticas. Podemos
estar tentados de extraer implicaciones educativas muy sólidas; por ejem­plo,
que las matemáticas deberían aprenderse directamente en aquellos
contextos en los que se espera las usen los estudiantes. Llevar a cabo tal
implicación no sólo podría perpetuar el estatus diferencial mencionado
por Moschkovich (Brenner y Moschovich, 2002), sino que también podría
suponer que el problema de la transferencia del conocimiento puede resol­verse
"argumentando que (la transferencia) no debería existir en el primer
lugar"(Sierpinska, 1995).
No obstante, es indudablemente importante admitir la diversidad de Jo co­tidiano,
aunque sea con el exclusivo fin de comunicación y debate entre
investigadores. Además de esto, se puede ampliar el inventario de prácti­cas
matemáticas a aquéllas en las que no fuimos conscientes previamente,
y pueden mostrar el gran potencial educativo que contienen. A su vez, y
como Civil ha señalado (En Brenner y Moschovich, 2002), se pueden descu­brir
una variedad de contextos, familiares a los estudiantes, en vez de asu­mir
una cotidianeidad compartida por todo el mundo.
Abraham Arcavi 5
Sin duda se necesita más trabajo para descubrir las diferentes prácticas
matemáticas cotidianas y para analizar sus componentes matemáticos (ver,
por ejemplo, Smith, en Brenner y Moschovich, 2002). Este análisis debería
constituir un paso importante (y, posiblemente, un prerrequisito) en cuanto
al establecimiento de un puente entre lo cotidiano y lo académico. Esto es
especialmente importante, ya que muchas ocupaciones se hacen cada vez
más matemáticas, y los fenómenos como la abstracción situada (Noss &
Hoyles, 1996b) empiezan a ser analizados en detalle. En particular, merece
la pena considerar las prácticas cotidianas, los intereses y las experiencias
de los niños fuera del aula.
Experiencias cotidianas de los estudiantes
Además de las prácticas matemáticas existentes y arraigadas en determi­nadas
comunidades, ya descritas o por explorar, las matemáticas cotidia­nas
deberían incluir más de las vidas de los estudiantes. Aparte de los infor­mes
de los propios alumnos sobre el uso que hacen de las matemáticas
(como los descritos por Masingila, en Brenner y Moschovich, 2002), quisie­ra
sugerir que son necesarios más estudios para descubrir situaciones que
pueden parecer no matemáticas para los niños, pero pueden constituir un
punto de partida para las matemáticas académicas. A vía de ilustración, he
aquí tres ejemplos.
La primera situación se refiere a la búsqueda de una dirección. En la mayo­ría
de los edificios de varios pisos de Israel, los apartamentos se numeran
consecutivamente a partir del primer piso hacia arriba. Por tanto, a diferen­cia
de las habitaciones de los hoteles, por ejemplo, no se puede predecir el
piso de un determinado apartamento sólo por el primer dígito (o los dos
primeros dígitos) de su número. Por ejemplo, el apartamento 10 en un edi­ficio
con cuatro apartamentos por piso está en el tercer piso; o bien en el
quinto piso, si hay dos apartamentos en cada piso. Generalmente, en las
direcciones aparece sólo el número del apartamento, lo cual identifica sin
ambigüedad el apartamento, pero no el piso.
Lo que se relata a continuación no fue grabado, pero la trama fue, más o
menos, como sigue. AB, un adulto, acompañaba a IA, de nueve años de
.edad, cuando éste visitó por primera vez a un amigo. En el camino, AB le
preguntó cuál era la dirección exacta. IA sabía la dirección· y que el número
del apartamento era el 26, pero desconocía en qué piso estaba. AB le pre­guntó
que si podía calcular el número del piso. IA supuso que el edificio
tenía cuatro apartamentos por piso, y empezó a contar de cuatro en cuatro:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Y dijo: Puesto que el 24 es el último apartamento del
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piso número 6, el apartamento 26 estará en el piso número 7. Entonces, AB
le preguntó si en la escuela había aprendido alguna operación que le per­mitiera
hacer más rápidamente el cálculo. Pasado un momento, IA respon­dió:
"La división". Y, al preguntarle AB "¿por qué?", dijo: Traté de averiguar
cómo obtener la respuesta, el séptimo piso, dividiendo 26 entre 4.
Consideremos la segunda situación: "Magia con números". He realizado
varias veces la actividad que sigue, con alumnos de entre 12 y 14 años de
edad. Les pido que introduzcan en sus calculadoras un número de tres
cifras xyz, y que lo repitan, para obtener el número de seis cifras xyzxyz. Me
concentro, con la teatralidad con que actúan los magos, y les digo: "Ahora,
dividid el número por 91 ".Y comento: "Estoy seguro que todos habéis obte­nido
un número entero por cociente", lo cual causa alguna sorpresa. Y cuan­do
les digo qu~ si dividen dicho cociente por 11 obtendrán el número de
partida, y comprueban mi afirmación, la sorpresa aumenta. Y es aún mayor
la sorpresa y la curiosidad al ver lo que resulta al dividir otro número cual­quiera
.xyz.xyz, por 143, y luego por 7.
La tercera situación trata de un factor de corrección. DA, de 15 años de
edad, contó que su profesor de matemáticas estaba disgustado por las ca­lificaciones
obtenidas por la clase en un examen sobre funciones, y consi­deró
que las cuestiones planteadas habían sido demasiado difíciles. En con­secuencia,
decidió ajustar las calificaciones así: si x era la nota obtenida, la
transformaría en 1 O fx . Al parecer, ésta es una corrección común entre los
profesores israelíes. De esta situación surgen varias cuestiones para explo­rar
los usos de la noción de función. Por ejemplo: ¿quién obtiene la misma
nota antes y después de la corrección?; l!a mejoran todos?; ¿quién obtiene
la mejor nota?; les justo este factor de corrección?; lcómo es esta corree-
. ción respecto a otras, como, por ejemplo, aumentar todas las calificaciones
en 1 O puntos o en un 20%?; ¿puedes determinar un factor de corrección
justo?
En cierto sentido, puede considerarse que las tres situaciones pertenecen a
las experiencias cotidianas de los alumnos. La primera tuvo lugar en cir­cunstancias
normales de la vida e visitando a un amigo); la segunda, supone
que los niños tomen parte en actividades (realizar trucos mágicos y com­prender
lo que hay detrás de la magia); y la tercera tiene como propósito
dar sentido a una situación compleja (un factor de corrección para las cali­ficaciones),
en la que, entre otras cosas, hay que juzgar sobre la equidad o
no del factor de corrección empleado.
Otra razón para considerar estas tres situaciones como matemáticas coti­dianas
es la facultad que adquieren los niños al resolver estos problemas en
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su vida diaria. En el primer ejemplo, desarrollando un método para hallar el
piso en que se encuentra un apartamento, dado su número. En el segundo,
al comprender los mecanismos de una situación sorprendente, el niño "es
dueño" de un truco mágico y podría desarrollar trucos similares, por ejem­plo,
dividir por 77 y 13, para asombrar a otros. En el tercero, la comprensión
del mecanismo de un factor de corrección y el uso de éste, sirve para
defenderlo o para proponer otros factores.
Puede objetarse que las referidas situaciones no son buenos ejemplos de
matemáticas cotidianas, porque no pertenecen a una práctica progresiva,
continua, en la que se realizan actividades similares una y otra vez. Podían
haberse evitado fácilmente los problemas, revisando cada piso en el pri­mer
ejemplo; considerando el truco mágico, en el segundo; o calculando
la nota a que se tiene derecho, en el tercero. Además, las dos primeras
situaciones llegan a ser matemáticas debido a la intervención de un adulto,
quien, o bien presentó el problema, o señaló sus elementos matemáticos.
En el tercer ejemplo, no hubo tal intervención, y ni el profesor ni los alum­nos
hicieron uso de lo que sabían acerca de las funciones y gráficas, para
formular, modelizar o discutir cuestiones.
No obstante, la discusión sobre si los ejemplos propuestos pueden conside­rarse
o no buenos y claros representantes de las matemáticas cotidianas,
tiene menos importancia aquí que la conclusión que tengo la intención de
extraer. Al observar con atención las actividades, experiencias, intereses e
intentos diarios de los estudiantes, se pueden captar situaciones en las que
lo cotidiano las hace potencialmente poderosas como puntos de partida
para el establecimiento de puentes hacia las matemáticas académicas. Esta
conexión puede consistir en integrar el genuino, significativo, atractivo ori­gen
del problema (las experiencias de los niños) con la orientación para
desarrollar y utilizar herramientas matemáticas (posiblemente adecuadas
en el comienzo), para ayudar a los alumnos a dar un sentido más profundo
a los problemas (como en las dos últimas situaciones vistas). El puente
proporciona también un camino de retorno a la situación cotidiana, con
mayor conocimiento para manipularla y enfocarla.
La cotidianidad académica
En los dos apartados anteriores he tratado de ilustrar los diferentes aspec­tos
de lo que creo incluye, o debería incluir, la expresión matemáticas coti­dianas,
las cuales no siempre se consideran explícitamente. Sugerí tam­bién
que pueden ser diferentes, según las distintas prácticas, y propuse que
el mundo del alumno debería incluirse también en dichas prácticas diarias.
8 lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
En Ja presente sección me referiré a otro aspecto de lo cotidiano: Jo relativo
al entorno de las matemáticas académicas. Los que se dedican a las mate­máticas
académicas (matemáticos y profesores de matemáticas) pueden
actuar de modo diferente en su trabajo diario (por ejemplo, cuando tratan
de resolver un problema o investigan) y en sus presentaciones académicas
(por ejemplo, cuando enseñan o dan una conferencia a sus colegas). En el
primer caso, se permiten ser despreocupados, desordenados, menos for­males;
mientras que en el segundo presentan unas matemáticas pulidas y
rigurosas. En consecuencia, tiene sentido hablar también de la cotidianidad
en las matemáticas académicas. Además, como se verá más adelante, pue­de
haber diferencias en cuanto a Jo cotidiano en las matemáticas académi­cas.
A continuación, describo un ejemplo de cómo resuelven el mismo problema
distintos grupos de profesores. Presento las soluciones y analizo cómo su prác­tica
docente los conduce a dos enfoques distintos. El problema, tomado presta-do
de De Guzmán (1995, p. 114), pide resolver Ja ecuación x2 + ( x: 1 J = 1
Invito al lector a que se detenga y piense sobre este problema.
Propuse el problema a varios grupos de profesores en ejercicio durante
cursos impartidos en Jos dos últimos años. Unas veces, para que fuera re­suelto
durante la sesión; otras, como trabajo para casa. Hubo dos enfoques
distintos del problema: simbólico y gráfico.
En el enfoque simbólico, el primer paso consiste en eliminar el denomina­dor
para obtener una forma más sencilla de la ecuación inicial, Jo que lleva
a x4 + 2x3 + x2 - 2x - 1 = O. Ninguno de los profesores que siguieron este
enfoque conocía una fórmula para resolver esta ecuación de cuarto grado
sin coeficientes nulos. Algunos probaron diversas manipulaciones, sin éxi­to.
Otros, sugirieron tratar de restringir el dominio en el que pudieran en­contrarse
las soluciones. Una línea de razonamiento fue Ja siguiente: pues­to
que los sumandos son cuadrados cuya suma es 1, tienen que ser núme­ros
positivos menores que 1. Por Jo tanto, es x2 < 1, es decir, - 1 < x < 1.
Esto fue perfeccionado con otros argumentos más sofisticados sobre Jos
dos sumandos. En general, los que trabajaron el problema en casa presen­taron
resoluciones totalmente simbólicas. Mostraron diversos modos de
abordarlo, todos consistentes en encontrar el camino correcto de transfor­mar
las variables. Por ejemplo, dado que el primer miembro de Ja ecuación
es Ja suma de dos cuadrados, puede recurrirse al método de "completar el
cuadrado" para transformar dicho miembro en el cuadrado de una diferen­cia.
Resulta que el cuadrado de la suma no proporciona la solución, pero
completando el cuadrado de la ecuación original resulta:
Abraham Arcavi 9
( )
2 2 2 2 X X X
X + -- -2--=1-2--
x+l x+l x+l
(x-~)2
=1-2_¿_
x+l x+l
[
2 ]2 2 X X - -1-2-
x+l x+l
2
La sustitución t = _x _ conduce a la ecuación cuadrática. No detallamos
x+l
aquí otros tratamientos simbólicos de Jos profesores, que requirieron com­plejas
manipulaciones sintácticas y la identificación de una apropiada va­riable
de sustitución.
En el enfoque gráfico, se presentaron distintas soluciones basadas en con­siderar
Ja ecuación resultante de igualar dos funciones cuyas gráficas pue­den
dibujarse ya sea por pertenecer a una familia conocida de funciones o
porque se puedan deducir. A continuación, dos de las resoluciones presen­tadas.
l. Trazando las gráficas de las funciones f(x) = x2 + (-x-J2
y g(x) = I
x+l
en los mismos ejes de coordenadas, se determinará Ja localización aproxi­mada
de las raíces buscadas. Para valores grandes de x, la gráfica de f(x)
está muy próxima a la de g(x) = x2 + I, porque el segundo término tiende
a I. Parax = O, f(x) vale O. Parax = - I, no está definida, y en su proximidad
(por la derecha o por la izquierda) "se lanza" hacia el infinito positivo. Así
que su gráfica se parece a ésta: \J
10 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
La gráfica de g(x) = 1 es la recta paralela a X'X que aparece en la figura.
Esta gráfica indica la existencia de dos soluciones reales y sus valores aproxi­mados.
Esta solución también sugiere la posibilidad de generalizar el pro­blema
cambiando el número del segundo miembro de la ecuación por 2, 3,
4, etc. La gráfica permite visualizar cuándo habrá tres o cuatro soluciones,
determinar sus signos y dar aproximadamente sus valores.
2. Se transformó la ecuación original para dar a sus partes la forma corres­pondiente
a gráficas conocidas:
Primero así
y luego así
x2[¡ + 1 'f l = 1
(x+l
1+ 1 =-1-
(x+lf x2
Ambas partes eran funciones cuyas gráficas eran conocidas por los profe­sores
y ambas eran funciones de la forma _l_. A la izquierda, vieron dos
x2
traslaciones de _l_, una unidad a la izquierda (sobre el eje de abscisas)
x2
para 1 , y luego una unidad hacia arriba (sobre el eje de ordenadas)
(x+ 1)2
para el sumando 1. En consecuencia, dibujaron las dos gráficas que siguen,
que consideraron como una solución aproximada.
u o
1.0•
-1.00 uo
Abraham Arcavi 11
Los enfoques simbólico y gráfico representan dos aspectos de la cotidianidad
académica que difieren en la forma de considerar el problema y en Jos
objetos matemáticos manipulados (símbolos o gráficas, ecuaciones o fun­ciones).
En el planteamiento simbólico, se propone hallar soluciones nu­méricas
y, sólo cuando no se encuentran, se recurre a las acotaciones. En el
tratamiento gráfico, se buscan las funciones y sus diferentes representacio­nes,
enfatizando especialmente lo que puede visualizarse en las gráficas:
no solamente las soluciones aproximadas, sino también las posibles gene­ralizaciones
de un tipo de ecuaciones semejantes.
Los dos grupos de profesores comparten el mismo sistema educativo; en­señan
según el mismo plan de estudios, que incluye geometría analítica,
funciones y gráficas, introducción al cálculo, programación lineal, trigono­metría,
probabilidad, estadística y geometría del espacio, y asisten al mis­mo
curso de formación. Entonces, ¿qué podría justificar tal notable diferen­cia
en la manera de abordar este problema? Creo que la respuesta está en
sus distintas experiencias cotidianas con las matemáticas académicas. Los
profesores que lo enfocaron gráficamente, estaban adscritos a un currículo
para alumnos con dificultades en las matemáticas de Secundaria. Este cu­rrículo
hace hincapié en el uso del razonamiento cualitativo, visual y grá­fico,
y en la integración de diversas representaciones como formas de abor­dar
las mismas ideas (Arcavi, Hadas & Dreyfus, 1994). Los otros profesores
no usaron dicho currículo. Así que, las mismas matemáticas académicas
se siguieron de dos maneras distintas: por enfoques relacionados con dis­tintas
prácticas, determinadas por preferencias, estética o creencias; y,
naturalmente, por experiencias y familiaridad.
El ejemplo comentado puede tomarse también como una dirección posi­ble
para proseguir el reto de Moschkovich (En Brenner y Moschovich, 2002)
en cuanto a caracterizar mejor lo cotidiano de las prácticas matemáticas
académicas. Dado que Ja población del ejemplo está formada por profeso­res,
es al mismo tiempo válida en cuanto al hallazgo de Brenner (En Brenner
y Moschovich, 2002) relativo a la necesidad de desarrollar la conciencia en
los profesores sobre sus propias prácticas, sean cotidianas/informales o
académicas.
En resumen, mi propuesta es que:
1. Lo cotidiano no es único y, por lo tanto, las matemáticas cotidianas debe­rían
incluir (o referirse a) muchos contextos y prácticas, que necesitan ser
más explorados.
2. Las matemáticas cotidianas no han de restringirse necesariamente a las
prácticas matemáticas de una determinada colectividad. Deberían consis-
12 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
tir también en situaciones que se presenten en las vidas de los niños que
posean un fuerte potencial para ser matematizadas.
3. De modo semejante a la forma en que las matemáticas cotidianas inclu­yen
diversas prácticas, las matemáticas académicas incluyen diferentes
prácticas y enfoques que requieren ser analizados y expuestos de forma
explícita.
Estas tres cuestiones deberían tenerse en cuenta cuando se trata de cubrir
el espacio entre las matemáticas cotidianas y las académicas.
Matematización
Una ojeada a la historia de la educación matemática puede llevar a afirmar,
a algunos defensores de los problemas de enunciado, que las matemáticas
cotidianas y las académicas estaban ya integradas en el pasado en las prác­ticas
escolares. Sin embargo, en muchos casos, estos problemas consti­tuían
meros disfraces artificiales o excusas para aplicar una determinada
técnica matemática.Y los que no lo eran, se presentaban generalmente con
un enfoque que Freudenthal (1973) describe como una "inversión
antididáctica", que explica así: "En vez de partir del problema concreto e
investigarlo por medio de las matemáticas, vienen primero las matemáti­cas
y, más tarde, vienen los problemas concretos como una aplicación.
Actualmente, muchos deberían aceptar que el alumno debería aprender a
matematizar cuestiones no matemáticas o insuficientemente matemáticas,
esto es, aprender a organizarlas en una estructura asequible a mejoras
matemáticas. Llegar a ver las gestalts2 espaciales como figuras es
matematizar el espacio ... " (pp.132-133).
La Dutch School of Realistic Mathematics Educatión se desarrolló sobre la
base de las ideas de Freudenthal. Treffers (1987) distingue dos tipos de
matematización: horizontal y vertical. La primera consiste en trasladar un
problema de su contexto a algún tipo de matemáticas, "mediante métodos
informales o preformales a diferentes niveles de abstracción" (van Reeuwijk
1995, p. 137). La matematización vertical es la formalización de las cons­trucciones
y producciones de los alumnos hacia generalidades de conteni­do
y método. Es evidente que la matematización vertical es el objetivo ideal
de la educación matemática. No obstante, debe precederle la
matematización horizontal, no sólo como punto de partida para conectar
las situaciones con sus modelos matemáticos, sino también, y con no me-
2 N. del T.· Gestalt: Una estructura o unidad de percepción integrada, que se concibe
funcionalmente, más que como la suma de sus partes.
Abraham Arcavi 13
r
nos importancia, como una manera de legitimar y hacer explícitas ante los
alumnos las estrategias adecuadas.
Considérese el problema que sigue (van Reeuwijk, 1995, p. 136):
$44.00
$30.00
iCuánto cuesta la camiseta? ¿y cuánto vale un refresco?
Explica cómo obtuviste tus respuestas.
Los alumnos emplearon distintas estrategias para resolverlo, entre ellas la
de "ensayo y error" y la de "intercambio". Esta última consistió en observar
que si en el dibujo superior se sustituye una camiseta por un refresco, el
precio disminuye en 14 $. Haciendo un cambio más, es decir, sustituyendo
la camiseta restante por otro refresco, el precio (30 $) disminuye de nuevo
en 14, o sea, que los cuatro refrescos valen 16 $, y por tanto, un refresco
cuesta 4 $. De aquí, es fácil deducir que el de una camiseta es 18 $. Esta
estrategia corresponde a la matematización horizontal.
La matematización vertical tiene lugar cuando estas estrategias ad hoc no
pueden ya aplicarse, y consiste en desarrollar un enfoque más formal al
resolver un sistema de ecuaciones.
La matematización (primero horizontal y luego vertical) parece ser una
potente idea que puede utilizarse como puente entre las matemáticas coti­dianas
y las académicas. Respeta y se construye a partir de las formas
idiosincráticas de los alumnos para resolver problemas por cualesquiera
medios· disponibles, desde los experiencias previas y las capacidades de
dar sentido, y evoluciona lentamente y cuidadosamente (al menos en el
currículum holandés) hacia unas matemáticas más formales. Los dos fines
de este proceso de matematización se consideran muy importantes. Por un
lado, el punto de partida contextual se conecta con los enfoques informales
del alumnado; por otro, se trata de llegar a la generalización basándose en
el contexto. El objetivo no es que los alumnos se impliquen sólo en la gene­ralización,
sino también que comprendan y aprecien que la generalización
constituye una poderosa "consolidación de la información. Diversos hechos
14 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
íntimamente relacionados se envuelven, cuidadosa y económicamente, en
un solo paquete" (Davis & Hersch, 1982, p. 135)
Es notablemente evidente el éxito de este enfoque. No obstante, la
matematización aparece como una vía de sentido único: desde lo cotidia­no
a lo académico. Propongo considerar otra idea que podría resultar im­portante
cuando se trate de conectar significativamente lo académico con
lo cotidiano: la noción de contextualización. La contextualización va en sen­tido
opuesto de la matematización, pero la complementa. Así, para dar sig­nificado
a un problema presentado con vestido académico, se puede re­cordar,
imaginar o, incluso, construir un contexto, de manera tal que las
particulares características contextuales sirvan de andamio y ampliación
de las matemáticas relativas a dicho problema. Parafraseando a Davis y
Hersch (1982), podemos decir que la minuciosidad del contexto otorga pri­vilegios
adicionales, de los que podemos obtener provecho. Presentamos
seguidamente dos ejemplos.
En una ocasión, reuní billetes del transporte público con números capicúas,
para un amigo. Los billetes tenían cinco dígitos. Me preguntaba por enton­ces
cuántos capicúas de cinco cifras habría. Muchos años después, pregun­té
a algunos colegas cómo resolverían esta cuestión, pero omití el hecho de
los billetes de autobús, que parecía irrelevante para las matemáticas del
problema. Las respuestas que obtuve fueron todas algo parecidas a la si­guiente:
las unidades, las decenas y las centenas pueden variar libremente;
los millares dependen de las decenas, y las decenas de millar dependen de
las unidades. Entonces, hay diez posibilidades para cada uno de los dígitos
que varían (si se incluyen números como 00100 como dígitos de cinco ci­fras)
y, por tanto, hay 1000 capicúas. Y, si sólo se consideran los números de
cinco cifras a partir del 10 000, el número de capicúas se reduce a 900.
Debido a tener en cuenta el contexto del autobús, mi primera solución fue
muy diferente. Los billetes se arrancaban de un taco de ellos con números
consecutivos. Por lo tanto, si me daban, por ejemplo, el 23436, sabía que el
primero de los cuatro billetes anteriores era capicúa, y que el próximo
capicúa aparecería cuando el 4 pasara a 5, es decir, sería el número 23 532,
esto es, 96 billetes después del que me dieron. Concluí, en consecuencia,
que la densidad de capicúas es del 1 % y, dado que hay 100 000 números de
cinco cifras, 1000 de ellos son capicúas; y, si sólo se tienen en cuenta los
números de cinco cifras del 1 O 000 en adelante, hay 900 capicúas.
No me sentía a gusto con el valor anterior de la densidad, y me tomé un
momento para averiguar por qué. Vi que el capicúa siguiente al 19 991, o
sea, el 20 002, ino estaba 100 números más allá! Pero, analizando más dete­nidamente
el problema, descubrí que esto no afecta a la densidad; habrá
Abraham Arcavi 15
un capicúa cada 100 números, aunque no estén uniformemente distribui­dos.
El contexto del problema no sólo permitió tener en cuenta una solu­ción
diferente de las de la versión descontextualizada, sino que también
reveló una propiedad de la distribución de capicúas que no aparecía en las
otras soluciones.
El segundo ejemplo se me ocurrió cuando trataba de dar sentido a la forma
de la gráfica de la función ¡ (x) = ~ x 2 + 1 . Como no disponía de una calcu­ladora
y no estaba dispuesto a tomarme la molestia de recurrir al cálculo,
me dediqué a buscar un contexto en el que dicha función tuviera sentido.
No se me ocurrió escribirla en su forma implícita y 2
- x 2 = l, que proba­blemente
me hubiera permitido reconocerla como una hipérbola. La for­ma
original sugería el teorema de Pitágoras, donde f (x) podía considerar­se
la hipotenusa de un triángulo de catetos x y 1 (o la diagonal de un
rectángulo de lados x y 1). A continuación, comparé las longitudes. La
hipotenusa es, por supuesto, el lado mayor; por tanto, es ~ x 2 + 1 > x . Tam­bién,
la hipotenusa es más corta que 10; suma de los catetos; en consecuen-cia,
ha de ser ~ x 2 + 1 < x + 1 . Pero las gráficas de las funciones x y x + 1
se pueden trazar fácilmente, y la gráfica de f ( x) tiene que estar entre estas
dos líneas. Cuando x = O, es f ( x) = O; y cuando x aumenta, la hipotenusa
se aproxima a x . Por tanto, pude predecir la forma correcta de la gráfica,
para valores positivos de x, y por simetría (ya que la función es par), trazar
la gráfica completa.
4.00
c.oo
~-ºº
·l.00 1.00 '·ºº 4.0
16 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
4.00
·l.00 · 1.0
El contexto del autobús impuso la sucesión numérica como una clave para
guiar la solución y atrajo la atención sobre la cuestión de la densidad. En la
figura 5, la visualización triangular ayudó a delimitar la gráfica entre dos
rectas. En ambos ejemplos, la introducción del problema en un contexto
sugirió el enfoque de la solución. Pero la contextualización hizo más que
esto: proporcionó ideas acerca de la situación que, de otro modo, habrían
pasado inadvertidas (densidad de los capicúas y asíntotas de la gráfica de
la función). Por tanto, las particularidades de un contexto familiar sustenta­ron
el dar sentido al problema y la aparición de una solución más rica.
Propongo que cuando se trate de establecer un puente entre las matemáti­cas
cotidianas y las académicas, la matematización y la contextualización
constituyan importantes prácticas complementarias. Mientras que la pri­mera
es ampliamente discutida y realizada en los programas curriculares y
en el aula, la contextualización requiere una mayor exploración. Debe ser
la herramienta para relacionarnos con contextos significativos e implicar­nos
en ellos, no sólo por el hecho de desarrollar y alimentar continuamente
nuestro sentido común, sino también como posible vehículo para enrique­cer
las matemáticas académicas en sí mismas.
Familiaridad con el contexto
Como se describió en la sección anterior, una de las premisas en apoyo del
establecimiento de un puente entre las prácticas matemáticas cotidianas y
las académicas, es construir sobre lo que es familiar a los estudiantes, sea
en contenidos contextuales o en destrezas informales/cotidianas de razo­namiento.
Aunque esto puede ser un punto de partida, me gustaría presen­tar
los siguientes aspectos a considerar: la familiaridad con un contexto no
Abraham Arcavi 17
hace necesariamente la vida más fácil; la familiaridad puede alimentarse
dentro de la clase; el contexto puede referirse al conocimiento de un tópico
matemático al servicio de otro; la familiaridad con el contexto se relaciona
con la mayor o menor libertad otorgada a los alumnos dentro de la clase; y
acarrea la influencia del lenguaje ordinario en el aprendizaje y compren­sión
de las matemáticas escolares.
Tendemos a pensar que el contexto cotidiano ayuda más a los alumnos a
dar sentido y aprender, que los problemas matemáticos descontextualizados
y abstractos. Considérese, por ejemplo, la situación del factor de correc­ción
descrita antes. Esta situación se aprovechó y desarrolló como un pro­yecto
de trabajo para el programa ComputMath. Éste es un gran programa
de desarrollo curricular para los niveles 7-9 (se acompaña de cursos de
formación en servicio y por investigación), para fomentar el uso de herra­mientas
tecnológicas, y cambiar el énfasis sobre los contenidos y las for­mas
en que se aprenden las matemáticas. Los alumnos trabajan en grupos
sobre situaciones problematicas, surgen hipótesis y discuten los resultados,
utilizan gráficas y otras herramientas para corroborar o refutar conjeturas, y
resumen descubrimientos con su profesor (para una descripción detallada,
ver Hershkowitz & Schwarz, 1999). El problema del factor de corrección de
calificaciones es muy atractivo para los alumnos, que discuten no sólo el
factor mencionado antes, sino también otros, y los comparan. Mientras los
alumnos trabajan esta situación, por lo general hay algunas sorpresas. Para
los alumnos, F(x) = x es una de las funciones más fáciles de comprender
en todas sus representaciones convencionales (símbolos, tablas y gráficas)
cuando se trabaja en un marco descontextualizado. Sin embargo, en este
contexto específico no fue así. F(x) = x, que modeliza el no introducir co­rrección
en las calificaciones, y constituye la base sobre la cual comparar
las otras correcciones, fue la función más difícil a la que recurrir y de com­prender.
Los alumnos no sabían como expresar la falta de corrección en
términos de funciones; algunos sugirieron considerar solamente el eje de
abscisas, y otros no supieron qué hacer. Uri Leron, me envió un e-mail que
decía: "En términos cotidianos intuitivos, "function" tiene sus propias con­notaciones
(una cosa es función de otra si un cambio en la primera causa
un cambio en la otra). En tales contextos, la función constante y la función
identidad ino se consideran en absoluto funciones!"
Este ejemplo muestra que, a veces, una idea matemática puede ser más
fácil de usar y contextualizar en un entorno descontextualizado que en un
contexto familiar. Es necesaria más investigación para discernir cuándo se
trata de este caso. El ejemplo muestra también que la familiaridad del alumno
con un contexto no es necesariamente un prerrequisito para resolver un
problema. El factor de corrección no es generalmente conocido por los
18 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
alumnos, pero el aula puede proporcionar la base experimental para fami­liarizarse
con él, y proceder luego a matematizar la situación. Así pues, en
un intento de conectar las matemáticas cotidianas con las académicas, el
aula puede constituir el marco para preparar y alimentar durante cierto
tiempo la base necesaria para la matematización.
Surgen cuestiones interesantes a este respecto: lEn qué medida pueden
crear o recrear las aulas contextos extraescolares? lQué cantidad de
artificialidad sería necesario introducir en este proceso? Y entonces, lqué
son contextos artificiales y qué son contextos naturales? Parece que la
artificialidad no debiera juzgarse necesariamente por la lejanía de la situa­ción
respecto al mundo real (o experiencia cotidiana), sino más bien en
cuanto a su autenticidad y significación para los alumnos, y a cuántas mate­máticas
auténticas pueden surgir de ella.
La familiaridad con un contexto puede referirse también a la familiaridad
con un determinado contexto matemático (académico) al servicio de otro;
por ejemplo, la familiaridad con el teorema de Pitágoras, en el caso descri­to
antes, como un contexto para trazar la gráfica de una función. Otro ejem­plo
a considerar es el de las muy diferentes estrategias que usan los mate­máticos
para el cálculo aritmético, como describió Dowker (1992). Pidió a
44 matemáticos que hicieran una serie de estimaciones numéricas, y en­contró
una variación considerable en los procedimientos seguidos: i23 es­trategias
diferentes para el mismo problema! Aparentemente, estaban con­cebidas
según contextos matemáticos subjetivos: proximidad a números
enteros, conocimiento previo de un determinado resultado, sustituir núme­ros
por otros más fáciles de estimar y hacer luego correcciones, y empleo
de propiedades aritméticas apropiadas. Las estrategias dependían en gran
medida del contexto, de los propios números en este caso y de las expe­riencias
previas de los matemáticos con ellos.
Boaler (1993) sugiere que "los alumnos interactúan con el contexto de una
tarea en muchas formas distintas e inesperadas, y que esta interacción es,
por su naturaleza, individual" (p.16). Así, puede muy bien ocurrir que, ade­más
de la familiaridad con el contexto en sí, es la libertad permitida a los
alumnos "en el desarrollo de la actividad" lo que "los capacita para seguir
sus propios caminos" (p.16), y dar así utilidad y significación al contexto. Se
pretende, pues, que la transparencia del problema y la atmósfera de la cla­se
no son menos importantes, y quizás lo son más, que la familiaridad con
el contexto del mismo.
Surge aquí un aspecto complejo: ¿Qué podría significar exactamente esta
libertad? lEs siempre verdad que los problemas o investigaciones
estructurados (aunque lo sean en torno a un contexto familiar) "pueden
Abraham Arcavi 19
sólo mostrar métodos esencialmente impersonales" (Boaler, 1993, p. 17) y,
por consiguiente, el contexto se considera ajeno? En mi opinión, una activi­dad
estructurada y guiada no necesariamente ha de ser identificada con la
falta de libertad, y se requiere una descripción más precisa de lo que las
actividades estructuradas pueden suponer para distintos alumnos.
Algunas prácticas matemáticas cotidianas pueden consistir en una aplica­ción
rutinaria de una regla inventada por otros, y, por tanto, no ser muy
prometedoras en términos educativos. Por otra parte, puede que ser que se
requiera criterio matemático y pedagógico para aprovechar el potencial de
situaciones cotidianas, y se necesite algún tipo de estructuración y guía para
evitar que los alumnos se pierdan.
Pimm (1987, p. 75) considera otra cuestión más que afecta a la familiaridad
con el contexto: el lenguaje. Existen muchos términos que los matemáticos
han pedido prestados al lenguaje ordinario; por ejemplo: cara, grado, rela­ción,
media, real, irracional, imaginario, etc. Hay alguna evidencia de que
cuando los alumnos encuentran y utilizan estas palabras, pueden tener en
mente otros significados que los propuestos por las matemáticas académi­cas;
por ejemplo, algunos creen que las líneas rectas son sólo horizontales
o verticales (Moschkovich, 1992).
Este lenguaje ordinario, prestado, puede ocultar conceptualizaciones muy
profundas que son ajenas a las matemáticas académicas. Así, pongamos
por caso, la palabra "prueba" (al menos en algunas lenguas) se usa tanto en
matemáticas (prueba de un teorema) como en el de las leyes (prueba judi­cial).
En uno de nuestros estudios (Hershkowitz & Aracavi, 1990) con alum­nos
del séptimo nivel, que no habían tenido experiencia con la connotación
matemática de la prueba, asociaron su significado con el de prueba legal,
que en hebreo se utiliza incluso en el lenguaje diario de los niños. Conside­raron
una justificación convincente la presentación de un hecho e uno o dos
ejemplos) que confirma la afirmación general bajo discusión. Uno de ellos
lo expresó claramente así: "creo que probar algo significa mostrar algunos
ejemplos."
En una versión más elaborada del ejemplo como "prueba judicial", encon­tramos
alumnos que comprueban una afirmación general a partir de ejem­plos
provenientes de diferentes campos (números pequeños frente a nú­meros
grandes, diferentes tipos de triángulos, etc.) para hacerla más con­vincente
para ellos y para otros.
Parece que en el caso del lenguaje, la sugerida continuidad entre lo coti­diano
y lo académico necesita una cuidadosa atención.
20 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
Epílogo
He intentado señalar algunos de los aspectos importantes que deberían
considerarse y explorarse más, si pretendemos integrar las matemáticas
cotidianas y las académicas. Dichos aspectos podrían ayudar a arrojar algu­na
luz sobre las diversas facetas que necesitamos tener en cuenta: materia­les
curriculares, puntos de vista del profesorado sobre lo cotidiano y lo aca­démico,
atmósfera de la clase, y puntos de vista de los alumnos respecto a
las diferentes prácticas matemáticas.
La comunidad educativa matemática empezó ya a asumir el reto de inte­grar
lo cotidiano y lo académico en matemáticas, en la mayoría de los fren­tes:
proyectos curriculares (los antedichos son sólo ejemplos), investiga­ción
sobre las creencias y prácticas de los profesores, y el desarrollo de una
cultura del aula que funciona inspirada en las prácticas cotidianas de las
matemáticas académicas (p.e., Arcavi, Kessel, Meira & Smith, 1998; Lampert,
1990; Schoenfeld, 1992). Sin embargo, queda mucho. todavía por investigar.
Por ejemplo: les siempre posible suavizar la transición entre contextos fa­miliares
y cotidianos, en los que los alumnos usan estrategias apropiadas
para resolver problemas, y contextos académicos en los se aprenden mate­máticas
más generales, formales y descontextualizadas? lExisten puntos
de ruptura? Si los hay, lcuál es su naturaleza? Los estudios sobre matemáti­cas
cotidianas y el interés en las etnomatemáticas constituyen la más valio­sa
contribución, no sólo por su valor intrínseco, sino también por la reflexión
que provocan en la comunidad de educación matemática en general. Hay
mucho todavía por ganar de esa contribución.
Bibliografía
Arcavi, A.; Hadas, N.; Dreyfus, T. (1994): "Engineering curriculum tasks on
the basis of theoretical and empírica! findings". Proceedings of the
eighteenth international conference for the psychology of mathematics
education (PME 18, Vol. 2, pp. 280-287). Lisbon, Portugal: Unive rsity of
Lisbon.
Arcavi, A.; Kessel, C.; Meira, L.; Smith, J. (1998): "Teaching mathematical
probiem solving: An analysis of an emergent classroom community".
Research in Collegiate Mathematics Education 3 (7), 1-70.
Bishop, A. J. (1988): Mathematical enculturation A cultural perspective on
mathematics education. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer.
Boaler, J. (1993): "The role of contexts in the mathematics classroom: Do
they make mathematics more "real"?" For the learning of Mathematics,
13 (2), 12-17.
Abraham Arcavi 21
Brenner, ME.; Moschkovich, J. (editores) (2002): Everyday and Academic
Mathematics in the Classroom. Monograph v. 11. Journal for Research
in Mathematics Education. Restan, VA: National Council ofTeachers of
Mathematics.
Davis, P. J.; Hersch, R. (1982): The mathematical experience. Bastan:
Houghton Mifflin Co.
de Guzmán, M. (1995): Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a
través de los procesos matemáticos. Madrid, España: Pirámide S. A.
Dowker, A. (1992): "Computational estimatian strategies of professianal
mathematicians". Journal for Research in Mathematics Education, 23
(1), 45-55.
Freudenthal, H. (1973): Mathematics asan educational task. Dardrecht, The
Netherlands: Reidel.
Hershkowitz, R.; Arcavi, A. (1990): 'The interplay between student behaviars
and the mathematical structure af problem situations- issues and
examples". Proceedings ofthe Fourteenth International Conference on
the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 193-200). Oaxtepec,
Mexica: CINVESTAV.
Hershkawitz, R.; Schwarz, B. B. (1999): "Reflective processes in a technalagy
based mathematics classroom". Cognition and Instruction, 17 (1 ), 65-91.
Lampert, M. (1990): "When the problem is not the question and the salution
is not the answer: Mathematical knowing and teaching". American
Educational Research Journal, 27_(1), 29-63.
Lave, J. (1988): Cognition in practice: Mind, mathematics and culture in
everyday life. Cambridge: Cambridge University Press.
Millroy, W L. (1992): "An ethnagraphic study of the mathematical ideas of a
group af carpenters (Monograph) ". Journal for Research in Mathematics
Education, 5. Restan, VA: NCTM.
Maschkovich, J. N. (1992): "Students' use of the x-intercept: An instance of
a transitional conception". In W Geeslin and K. Graham (Eds.),
Proceedins of the Sixteenth Meeting of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education (Vol 2, pp. 128-135). Durham, NH:
Program Committee of the Sixteenth PME Conference.
Natianal Cauncil ofTeachers of Mathematics (NCTM). (1 991): Professional
Standards for Teaching Mathematics. Restan, Virginia: NCTM.
22 Lo cotidiano y lo académico en Matemáticas
Noss, R.; Hoyles, C. (1996a): "The visibility of meanings: Designing for
understanding the mathematics of banking". International Journal of
Computers for Mathematical learning, 1 (1 ), 3-31.
Noss, R.; Hoyles, C. (1996b): Windows on mathematical meaning. Dordrecht,
Netherlands: Kluwer Academic.
Nunes, T.; Schliemann, A. D.; Carraher, D. W (1993): Street mathematics
and school mathematics. Cambridge: Cambridge University Press.
Pimm, D. (1987): Speaking mathematically. Communication in mathematics
classrooms. London: Routledge.
Schliemann, A. D. (1995): "Sorne concerns about bringing everyday
mathematics to mathematics education ". Proceedings of the Eighteenth
International Conference for the Psychology of Mathematics Education
(Vol. 1, pp. 45-60). Recife, Brazil: Universidade Federal de Pernambuco.
Schoenfeld, A. H. (1992): ''Learning to think mathematically: Problem solving,
metacognition, and sense making in mathematics". In D. A. Grouws
(Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning
(pp. 334-370). Reston, VA: National Council ofTeachers of Mathematics.
Sierpinska, A. (1995): "Mathematics: "in context", "pure", or "with
applications"? A contribution to the question of transfer in the learning
of mathematics ". For the learning of Mathematics, 15 ( 1), 2-15.
Treffers, A. (1987): Three dimensions. A model of goal and theory description
in mathematics education. Dordrecht, The Netherlands: K.luwer.
van Reeuwijk, M. (1995): "Students' knowledge of algebra". Proceedings of
the eighteenth international conference for the psycho/ogy of
mathematics education (PME 19, Vol. 1, pp. 135-150). Recife, Brazil:
Universidade Federal de Pernambuco.
Abraham Arcavi. Profesor Asociado del Departamento de Enseñanza de las
Ciencias del Instituto Científico Weizmann de Israel (Department of Science
Teaching, Weizmann Institute of Science). Sus intereses se centran alrededor
del aprendizaje de las Matemáticas a nivel intermedio y secundario, dificulta­des
de aprendizaje, visualización y sentido común en Matemáticas (especial­mente
en álgebra), el uso del ordenador en el aprendizaje y las diversas ma­neras
de integración de la Historia de las Matemáticas en la educación.
Correo electrónico: abraham.arcavi@weizmann.ac.il
Abraham Arcavi 23
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