Problemas comentados

              Problemas comentados
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Club Matemático
En un artículo anterior hablamos de los enigmas como un recurso didácti­co
que tiene la característica de no ser estrictamente matemático, que se
relaciona con otras materias (la física, la lengua, la historia, ... ) y por tanto
sirve de puente entre la manera de pensar estrategias para resolver proble­mas
propias de una mente científica y otras formas de razonar, perfecta­mente
válidas, pero que están desprovistas de esa «servidumbre» al méto­do
científico. Lo mencionábamos como «pensamiento divergente».
Con motivo de que en el 2001 se celebró el año Mundial de las Lenguas
e como el año anterior se había celebrado, con más trascendencia, el Año
Mundial de las Matemáticas), y que se nos encargó por la Sociedad Canaria
«Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas (SCPM) la «conferencia» de
clausura de las Jornadas que anualmente celebra ésta nuestra sociedad,
escogimos como eje de la misma el tema del lenguaje y las matemáticas,
acudiendo a juegos de palabras que incluyeron anagramas, palíndromos,
poemas, acrósticos, cuadrados mágicos, textos crecientes y decrecientes,
encadenamientos, pentavocalismo, rebus, trabalenguas, enunciados en ver­so,
isomorfismos, criptogramas, charadas, aritrnogramas, etc. Quisiéra- ·
mas que algunos de estos juegos de palabras sirvan de inspiración para la
realización de actividades para la clase, a nuestros lectores.
Actividad 1
Para los primeros niveles puede consistir en comprobar que asignando a
cada letra el valor entero que se indica en la siguiente tabla
A= -10 c = 22 0=7 E=8 H = 14 I = -20 N =-5
o= -14 R = -16 S=9 T=2 u= 20 V= -22 z = 15
al sustituir en el nombre de cada número (desde cero hasta ... ) cada letra
por el valor dado en la tabla, veremos que coincide la suma con el nombre.
Así para CERO, tenemos
22 + 8 + (- 16) + (- 14) = o
lExistirán otros conjuntos de valores para las letras que amplíen la cantidad
de números con esta propiedad?
Números.
'lolumen 60, febrero 2005, páginas 61-71 61
Actividad 2
En las semanas literarias, ¿por qué no intervenir desde el área de matemá­ticas
con problemas enunciados en verso?
Van dos ejemplos:
Preguntaba Diodoro le responde ingenioso:
embajador del Príncipe de Egipto dos años tiene más el belicoso
qué edad tenía el Macedón invicto. Rey, que su camarada
y al punto Artemidoro Efestión, cuyo padre
con cuatro los de entrambos numeraba, cuando noventa y seis giros de Apolo
y el padre de Alejandro los años de estos tres contaba solo.
JUAN CARAMUEL LOBKOWITZ
HISTORIA EN DOS MERCADOS
Repartiendo cien huevos
En dos montones
En dos cestas los cargan
Dos vendedores.
Cada uno a su mercado
Se fue derecho
Y allí los vendió todos
No sé a qué precio.
Al encontrarse luego
De vuelta en casa
Ven que los dos lograron
Igual ganancia.
«Llevando yo tu cesta
-Pedro decía-sólo
ochenta pesetas
sacado habría».
«Pero yo con la tuya
-dice Agapito-tendría
ciento ochenta
en mi bolsillo».
Y ahora a ver amiguitos
Quién me contesta.
¿cuántos huevos había
en cada cesta?
Y ¿qué precio cobraron
Por cada huevo
Perico y Agapito
Que los vendieron?
Soluciones de los problemas del volumen 58
de NÚMEROS
PROBLEMA Nº 23
Figura: El diamante (cuadrado).
Descripción: Un cuadrado de 12 bolas situa­das
en las posiciones 24-33-34-35-42-43-45-
46-53-54-55-64, con el agujero central vacío.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
62 Problemas comentados
Objetivo: Eliminar todas las fichas mediante las reglas de juego del
solitario y dejar un sola en la casilla central 44.
Indicaciones: Se puede hacer en 5 movimientos.
La estrategia a utilizar es siempre buscar las fichas que pueden mover, ana­lizar
cuáles son sus movimientos posibles, evaluarlos y decidirse por reali­zar
aquellos que sean buenos. Es fácil de decir, pero algo más complicado
de realizar.
Como primera evaluación, diremos que los movimientos que alejan las fi­chas
del resto son malos, a no ser que algunas de las restantes estén colo­cadas
de forma que, al jugar con ellas, se acerquen y la traigan de vuelta.
Siempre será preferible un movimiento hacia el centro que uno hacia los
brazos. Los movimientos envolventes, compuestos de varios saltos, que «lim­pian
» el tablero sin producir dispersiones de las restantes bolas son muy
interesantes.
En el caso del cuadrado, inicialmente es posible mover cualquiera de las
fichas que lo forman a excepción de las que ocupan los centros de los lados
del mismo. Si movemos cualquiera de los vértices hacia el centro:
lº. 461JJ>44 (La ficha de la casilla 46 salta so-bre
la ficha 45 y la come colocándose en
la casilla 44).
Obtenemos una nueva figura que se co-noce
como «cangrejo».
X X
X X X X X
X X X
2º. 431JJ>631JJ>651JJ>451JJ>251JJ>231JJ>43 (La bola ha
hecho un movimiento de seis saltos en
X
un circuito cerrado para volver a su pun-to
de partida).
La figura que queda, con sólo cinco bo-las,
tiene forma de «T» y es de muy fácil
resolución.
3º. 441JJ>64.
4º. 421JJ>44. X X X
X
5º. 341JJ>54.
X
6º. 641JJ>44.
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 63
Con lo que nos queda una sola bola en
el centro del tablero. Pero, hemos necesi­tado
seis movimientos.
Hay una solución mejor en cinco movimien­tos:
1 º. 46.,.44 (La ficha de la casilla 46 salta sobre
la ficha 45 y la come, colocándose en la
casilla 44).
Obtenemos de nuevo la figura del «Can­grejo
».
2°. 43 ... 45.
3°. 64 ... 44 ... 46.
X
X
X X
X
X X
X
La figura resultante es muy interesante porque es el final de muchas de las
soluciones del solitario completo. En ella, las bolas se han colocado alrede­dor
del agujero central de tal forma que en sólo dos jugadas colocan la
última bola en el centro.
4°. 34.,.32.,.52.,.54.,.56.,.36.,.34 (La bola ha hecho un movimiento de seis
saltos en un circuito cerrado, para volver a su punto de partida).
5°. 24 ... 44.
Con lo que nos queda una sola bola en el centro del tablero. Pero, solamen­te,
hemos necesitado cinco movimientos.
Si realizamos estas jugadas a partir de cualquier otro vértice del cuadrado
obtendríamos la solución, pero con una notación distinta. No serían solu­ciones
diferentes sino idénticas por la simetría propia de la cruz del tablero.
Una manera de probarlo fácilmente sería girar un cuarto de vuelta el table­ro
y tendríamos rápidamente la posición ya comentada.
La primera solución es muy fácil de alcanzar y figura en muchos sitios. La
segunda está recogida por John D. Beasley en «The ins and outs of Peg
Solitaire» (Oxford Paperbacks).
PROBLEMA Nº 24
Colocadas las 32 fichas del juego (queda vacío el agujero central) se pide
ahogar el juego : ¿cuál es el mínimo número de movimientos para ahogar
un tablero inglés?
64 Problemas comentados
r
En sólo seis movimientos es posible llegar a
una situación en la que ninguna de las fi­chas
restantes es capaz de realizar un movi­miento
legal:
1°. 46 ~44.
2°. 43 ~45 .
3°. 41~43.
4°. 24 ~44
5°. 54 ~34.
6°. 74 ~54.
Ninguna bola puede saltar sobre otra. El jue­go
está, pues, «bloqueado» o «ahogado».
Este problema de ahogamiento fue plantea­do
por Martin Gardner en su sección de la
revista «Scientific American».
Estos son solamente dos ejemplos sencillos
de los niveles de trabajo que se pueden plan­tear
a partir de un juego como el Solitario. En
alguna otra ocasión volveremos sobre él en
esta sección de la revista. Aunque, para los
que estén interesados en profundizar, les re-
X X
X X
X X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X X
X X X X
X X X
X X X X
X X
X X
X X
X
X X X X
X
X X X X
X
X
cordaremos que en el volumen 31 de la revista NÚMEROS (septiembre de
1997) uno de los miembros de este Club Matemático publicó un articulo
llamado «El Solitario: un juego con mucho juego», donde se recogían dife­rentes
aspectos del mismo.
PROBLEMA Nº 25
El conocido juego del Tres en raya da lugar a
plantear muchos ejercicios del tipo ¿Quién jugó
primero?, donde se examina una posición del
juego para, estudiándola y suponiendo una ac­tuación
lógica de los jugadores, llegar a deducir
quién hizo la primera jugada, la jugada ante­rior,
o quién juega a continuación y, claro está,
por qué. Exponemos aquí dos de ellos.
lQuién inició el juego? lX. ó O?
Puede haber más de una solución (sin contar
posibles simetrías). Indíquense los pasos o ju­gadas
realizados.
La última jugada la hizo: ¿7
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
X
o
X
X
o X
o
o o
X o
o X
65
Esta es la clave de la respuesta. Si averiguamos quién jugó el último sabre­mos
quién jugó el primero. Supongamos que fue X el último; en ese caso
debería haber jugado en la casilla superior izquierda, para evitar que O rea­lice
el tres en raya en la siguiente jugada. Como no es así, la última jugada
es de O y el juego lo inició X. La jugada inicial de X es una cualquiera de las
que aparecen: son equivalentes. Supongamos que juega arriba al centro.
O, en su primera jugada puede ocupar tanto la posición central como la
inferior derecha, puesto que ambas le abrían tres líneas posibles para el
tres en raya. El resto de los movimientos es trivial.
El segundo problema supone (al haber cinco O) que O jugó en primer y en
último lugar, pero esto no es posible ya que X consiguió 3 en raya en la
penúltima jugada, por lo que O no podría haber realizado una última juga­da.
Por tanto esta situación no corresponde a un juego real en las condicio­nes
que hemos establecido. No hay una secuencia lógica.
PROBLEMA Nº 26
Blanco espera inmóvil. Maniobrando solamente con las bolas negras,
respetando todas las reglas de movimiento y de empuje, busque la
manera de expulsar todas las bolas blancas con un mínimo de juga­das.
Habíamos propuesto, para el juego de
Abalone un pequeño ejercicio en soli­tario;
expulsar, con un mínimo de juga­das
y de bolas, las 14 piezas del contra­rio,
que permanecen inmóviles.
Para poder realizar este problema, es
necesario que pensemos un poco en
los pasos que debemos respetar:
Hay que hacer un mínimo de 14 juga­das
para expulsar las bolas contrarias.
Hay que acercarse a las bolas contrarias en un mínimo de jugadas.
Hay que limitar al máximo las jugadas de desplazamiento.
La imagen muestra la posición de partida.
Para poder comunicar los movimientos, dada la variedad y complejidad de
los mismos, acordaremos la notación que recomienda la Federación Fran­cesa
del Juego de Abalone. (Fédération Fran<;aise de Jeu d'Abalone; Pare
d'activité la Roseraie; 15 Rue du Buisson aux Fraises-91300 MASSY)
66 Problemas comentados
Una notación de las jugadas, en el trans­curso
de una partida, permite ensayar,
hallar soluciones diferentes, mejorar
ciertamente la representación que se
hace del juego y el encadenamiento de
las jugadas posibles teniendo en cuen­ta
las reacciones del adversario. En la
revista JEUX ET STRATEGIE, nº 1 (no­viembre
1989), nos encontramos la no­tación
anteriormente mencionada.
El tablero no admite una codificación
cartesiana al ser hexagonal. En su lugar
pondremos una letra del alfabeto al fi­nal
de cada una de las líneas que for-
0000 00 00000
••••• •••••••••
man la retícula isométrica que resulta al unir con rectas todos los agujeros
de las orillas del tablero. Se hará en orden alfabético y en sentido antihorario,
a partir de la esquina inferior izquierda del tablero: A, B, C, D, E (lado infe­rior),
F, G, H, I (lado inferior derecha), J, K, L, M (lado superior derecha), N,
O, P, Q (lado superior), R, S, T, U (lado superior izquierda), W, X, Y (lado
inferior izquierda), como se muestra en la imagen.
Colocadas las 24 letras en un orden alfabético estricto, el tablero se consi­dera
dividido en seis triángulos al unir el centro con los vértices del hexágo­no.
Un movimiento se señala indicando la posición de la bola que empuja,
la que contactan los dedos, mediante las dos letras que indican las líneas
que se cruzan en el punto donde está
la bola escribiendo las letras de las lí­neas
que se cortan en el punto donde
está esa bola, dentro del triángulo don­de
ésta se encuentra. Si hay más de
una pareja de letras, se toman las que
estén antes en el orden alfabético. Las
bolas colocadas en los lados sólo ne­cesitan
una letra.
Con la ayuda de este sistema, podemos
fijar la posición de una bola y señalar
el movimiento. Siempre la referencia
inicial es la bola que está en contacto
con los dedos.
A continuación, separada por un guión o una flecha, se anota el movimien­to
que realiza. Si es un movimiento lineal, basta indicar con una letra la
dirección en que se desplaza o desplazan. Si es un movimiento lateral se
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 67
indicará con dos o tres letras, que señalan las direcciones en que se des­plaza
cada una de ellas. En el ejemplo del tablero de la derecha: GK-OPQ
Si hay expulsión, ésta se anota «e»
seguida de la cifra de orden de la bola
expulsada, en cifras árabes para las
Blancas, en cifras romanas para las
Negras. La primera bola Negra expul­sada
está codificada: e l. La tercera
bola Blanca expulsada está codifica­da:
e 3.
Ejemplo:
La jugada Blanca anotada como UY­D
(e 2), significa que las tres bolas
blancas que están a partir de la situa-da
en la intersección UY se mueven
en dirección al hoyo D, empujando
dos bolas negras y expulsando la pri­mera
de ellas fuera del tablero, sien­do
la segunda bola negra que ha ex­pulsado
Blanco.
No lo olvide: las bolas negras se colo­can
sobre la parte AE, las bolas blan­cas
se colocan enfrente sobre la parte
MQ. Después se sortea la salida o bien
las negras comienzan.
A
A partir de estos convencionalismos seremos capaces de valorar adecua­damente
la siguiente solución del pro­blema
en 28 movimientos.
1) A-M 4) BD-L 7) G-IJK
2) AB-M 5) DE-JKL 8) H-N
3) AC-M 6) F-IJK
Se han necesitado ocho jugadas para
alcanzar el contacto en una posición
muy ofensiva. Esta apertura es, hasta
el momento, la más eficaz. Veamos la
continuación del desarrollo.
9) HI-N (e 1) 10) MN-H
68 Problemas comentados
Esta jugada de desplazamiento es muy importante porque permite conser­var
las siete bolas en situaciones ofensivas.
1 I)AD-M
12) AE-M (e II)
15) JL-L(e IV)
13) JK-TU
14) GI-0 (e III)
16) L-1
Esta pequeña jugada de desplaza­miento,
precedida de una expulsión
hecha con dos bolas (JL-L (e)), es
notable. Esta es, de hecho, la llave
del desarrollo.
17) K-S 18) IL-P (e V)
Ahora, la situación está realizada y
cada jugada siguiente corresponde­rá
a una expulsión.
19) JM-P (e VI) 20) KL-S
Esta vigésima jugada se hace posible
por la elección, hecha en decimoquin­to
lugar, de expulsar la bola L con sola­mente
2 en lugar de 3 bolas.
21) KM-S (e VII) 24) NO-R (e X)
27) Q-M (e XIII)
22) NP-S (e VIII) 25) S-Q (e XI)
28) P-M (e XIV)
23) MN-R (e IX) 26) OQ-0 (e XII)
Y se acabó el problema. Esta solución es de Ludovic Vialla y se ha tomado,
al igual que el problema, de las páginas de la revista Jeux et Strategie, n°• 4 y
6, de febrero y abril de 1990, donde aparece con varias jugadas erróneas.
Hasta ahora éste es el mínimo de jugadas para resolver el problema. Prue­be
usted a buscar una solución con menor número de movimientos y dé­nosla
a conocer usando la notación descrita.
Si quiere conocer algo más del juego de Abalone puede consultar algunas
páginas web como:
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 69
http://fr.abalonegames.com
http://jeuxsoc.free.fr/a/abalo.htm
Hay más. Usando Google y marcando
la búsqueda de ~alone + game en­contrará
muchas más.
Y ahora, como de costumbre, los nue­vos
problemas. Naturalmente, tienen
relación con el tema que hemos plan­teado
en este número. Y la inspiración
para los propuestos en este artículo vie­ne
de una anécdota que ya hemos con­tado
alguna vez.
A la salida de la prueba de la primera fase del Torneo que organiza la SCPM
para alumnos de 2° de la ESO (anteriormente para alumnos de 8° de EGB),
oímos que un profesor le pregunta a uno de sus alumnos que se presentaba
al Torneo:
• lQué? lEran difíciles los problemas?
Y su respuesta:
• iFigúrese! iHabía un problema que no tenía números!
Pues bien, hoy proponemos problemas sin números. Al menos no en su
sentido de cantidades.
Todos sabemos que dos seises hacen doce. Pero ¿y cuándo nos lo plantean
así?
SEIS
+SEIS
DOCE
Lo que nos proponen es un problema con los nombres de los números.
Una clase de problemas que llamamos aritmogramas. Correspondencias
entre números y letras. En esta modalidad las letras forman palabras que,
sometidas a una operación aritmética, dan como resultado otra palabra, y
en el total del problema propuesto cada letra representa un número natu­ral.
Por supuesto que podemos complicar el ejercicio ampliando a los nú-
70 Problemas comentados
meros enteros o combinando operaciones. En la mayoría de los casos no
hay respuesta única, y éstas se obtienen combinando el razonamiento lógi­co
y las propiedades de números y operaciones.
Los ejemplos que siguen son de diversas fuentes, difícilmente atribuible su
autoría, pues aparecen repetidos en varias publicaciones sin mencionar los
creadores. Otros son elaboración propia.
SENO SEIS DIEZ CINE BLANCO
+MORE DE +TRES CENA +ROJO
MONEY ENERO TRECE BAILE ROSADO
REYES PASEAR
Y este, que si se lee con el énfasis adecuado ...
SÍ, iSÍ!, iSÍ, SÍ!, iiiSÍ, SÍ, SÍ!!! .... iiiiASÍ!!!!
Y estos son los problemas que proponemos para que piensen en ellos hasta
el próximo NÚMEROS.
PROBLEMA Nº 27
En un mercado, un ganadero anunciaba que su piara constaba de una can­tidad
par de cerdos, que no es el menor de los pares. ¿cuánto cuesta cada
cerdo?
PROBLEMA Nº 28
Un agricultor decía que, según sus cuentas, disponía de agua para regar
cuando recibía, al menos, un cierto número impar de gotas. ¿cuánto le
costaba esta cantidad mínima de agua para el riego?
PROBLEMA Nº 29
Una pareja de matemáticos, marido y mujer, están tomando café. A falta de
otras cosas más trascendentes sobre qué tratar (quitando cierto tipo de
números), mantienen el siguiente diálogo:
• lTe das cuenta de que mi edad sólo fue múltiplo de la tuya una vez?
• Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos entonces, porque no
volverá a suceder.
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 71
• Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras.
• Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año que estamos.
lEn qué años nacieron él, ella y su hijo?
Y aquí queda todo de momento. Hágannos caso: Escriban mensajes a esta
sección y cuenten sus soluciones y experiencias o, si lo prefieren, propon­gan
sus propios problemas. Como siempre, aguardamos sus noticias a la
espera del próximo NÚMEROS.
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Club Matemático.
El Club Matemático está formado por los profesores, José Antonio Rupérez
Padrón, del !ES Canarias Cabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz,
del !ES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife).
Correos electrónico: mgarciadeniz@sinewton.org
josea@ruperez.com
Problemas comentados