Una biografía de Abel

              Una biografía de Abel
Nácere Hayek
Presentación
Es bien sabido que el área de las matemáticas nunca tuvo un premio internacional
de dimensiones e importancia comparable al Premio Nobel. Plenamente cons­cientes
de este hecho, el Gobierno de Noruega ha previsto con antelación que se
pudiera culminar la conmemoración del bicentenario del nacimiento en 2002,
del más ilustre de sus matemáticos Niels Henrik Abel, de una forma sin duda
influenciada por el ánimo de reparar aquella omnipresente aberración que ja­más
fue comprendida por la inmensa mayoría de intelectuales de todo el mun­do.
En un comunicado de fecha 25 de agosto de 2001, dicho Gobierno anunciaba
la creación del Premio Abel con la dotación estatal de un fondo de 200 millones
de coronas noruegas (más de 25 millones de euros) que fuese coincidente con
aquel bicentenario en 2002, para honrar al campo de las matemáticas. Algunas
características notables del Premio que se ha instituido *, acusan grandes dife­rencias
con las de la Medalla Field, un premio que ha venido siendo considerado
como el equivalente matemático del Nobel. En analogía con este último, el Pre­mio
Abel establece: a) que se conceda anualmente y no cada cuatro años (como
el Field) a igual número de galardonados; b) que se suprima la imposibilidad de
recibirlo después que el candidato supere los cuarenta años y c) que sea entrega­do
en un solemne acto ceremonial por la Academia Noruega de Ciencias y Letras,
como hace la Sueca con los Premios Nobel. Por último, el Premio Abel es de proce­dencia
estatal y ronda los 640.000 euros, en contraste con el de cada Premio Nobel,
de cerca de un millón de euros que provienen de legaciones particulares de bienes.
Numerosas Instituciones de todo el planeta, Universidades y Academias, Centros
educativos y culturales, Organismos Nacionales e Internacionales, Congresos y
Coloquios, y además multitud de Asociaciones que conmemoran también el
acontecimiento de forma diversa mediante actos , reuniones, publicaciones bio­gráficas
y dedicatorias especiales, se esmeran en subrayar la importante fecha
del nacimiento de un hombre que dejó una indeleble huella en los anales de la
ciencia: la obra inmortal de un matemático eminente que falleció prematura­mente
a los veintiseis años y ocho meses.
El Sr. Director de la revista NÚMEROS que edita la Sociedad Canaria de Profeso­res
de Matemáticas "Isaac Newton", ha tenido a bien honrar al que suscribe al
encomendarle la redacción de un trabajo biográfico de ese insigne noruego gloria
* Notas extraídas del artículo "Las Medallas Field" de Adolfo Quirós (La Gaceta de
la R.S.M.E.,Vol.. 5.1, 155-173- 2002).
Números.
Volumen 51, diciembre de 1001, páginas J-16 3
del siglo XIX, para que en aquélla se refleje públicamente su caluroso deseo de
participación en el merecidísimo homenaje universal que se tributa a Abel en el
año2002.
Único retrato auténtico de Niels Henrik Abe! (1802-1829)
Niels Henrik Abe! nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnoy en la
costa sudoccidental de Noruega. Era descendiente de una familia de sa­cerdotes
rurales. Su padre Soren-Georg Abel ejercía como párroco pro­testante
de la pequeña aldea de Finnoy, en la diócesis de Cristianía (la
actual Oslo), aunque también se mostró como un nacionalista que aña­día
a sus tareas la de colaborar activamente en un movimiento político
en pro de una Noruega independiente. Su madre Ana María Simonsen,
era hija de un comerciante de Risor. El matrimonio tuvo siete hijos. Abel
era el segundo de ellos. Ya cumplido un año, su padre fue designado
pastor de un lugar llamado Gjerstad cerca de Ris6r, donde creció Abe!
recibiendo junto con su hermano primogénito su primera educación. Abe!
tuvo que iniciar su vida en un período crítico para el desarrollo político y
económico de Noruega.
Eran tiempos difíciles, porque en su país dominaba la pobreza, el ham­bre
y la carestía. Antes en 1 789 había comenzado la Revolución France­sa,
y años más tarde, el gran Napoleón en la cumbre de su poderío, forzó
la unión política de Dinamarca con Noruega y aunque ambas naciones
intentaron ser neutrales en el transcurso de las guerras que se desencade-
4
Una biografía de Abel
naron, sufrieron un fuerte ataque naval de Inglaterra en Copenhague ( 1801)
y un bloqueo de la costa noruega en 1807, amén de tener que afrontar
posteriormente un enfrentamiento militar con Suecia (1813). En 1814 se
disolvió la unión de Noruega con Dinamarca, siendo la primera obligada a
aceptar un hermanamiento que acabó con la cesión de Noruega a Suecia.
Los noruegos intentaron independizarse, pero Suecia controló la revuelta
y estableció un gobierno provisional en Oslo. Al padre de Abel, habida
cuenta de su actividad política, se le incluyó en el cuerpo legislativo de esta
última para la redacción de su nueva constitución.
Unos años antes, S6ren había coadyuvado con eficaces campañas , en la
fundación de la primera Universidad noruega en Cristianía que tuvo lugar
en 1811, la cual se pudo crear al proveerse de un cuerpo docente constitui­do
por los mejores maestros de la Escuela Episcopal de Cristianía (existen­te
desde la Edad Media), inaugurando la docencia universitaria en 1813.
Ante la fuerte crisis noruega , el padre de Abel no pudo resolver la precaria
situación económica de su familia. En 1815 logró conseguir a duras penas,
una modesta ayuda para que Abe! y el primogénito accediesen a la citada
Escuela, donde destacaban en el currículum Lenguas Clásicas, Religión e
Historia. Al principio de su instrucción, Abe! se mostraría como un estu­diante
indiferente, más bien mediocre y sin que incluso las matemáticas le
despertaran atracción alguna. Era visiblemente palpable su padecimiento
en esa escuela. No obstante, un inesperado cambio se produjo a raíz de la
muerte de un condiscípulo suyo ante los malos tratos recibidos por un
maestro brutal que se excedía con métodos pedagógicos de castigos cor­porales
a sus alumnos. El maestro fue entonces relevado (1818) por un
joven matemático de mayor competencia. Se trataba de Bernt Holmboe
(1795-1850), quien inició su misión ejercitando a sus alumnos a resolver
por sí mismos algunos problemas de álgebra y de geometría, viéndose
pronto obligado a escoger cuestiones especiales para Abel, a la vista de su
pasmoso avance de aptitud. Según coinciden los historiadores, desde aquel
momento Abel se consagra a las matemáticas con la pasión más ardien­te,
adquiriendo velozmente un pleno conocimiento de las matemáticas
elementales. Comenzó a estudiar referencias de mayor nivel y se familiari­zó
con los resultados matemáticos que se conocían en su época. Juntos
Abel y Holmboe se enfrascaron afanosamente en las tres obras clásicas de
L. Euler (1707-1803) sobre el cálculo (las mismas fueron textos universita­rios
durante más de cien años) 1
• Registros de Bibliotecas acreditan que en
1 A los 16 años, Abel generalizó el teorema del binomio formulado por Isaac
Newton (y extendido luego a números racionales por Euler), dando una prue­ba
válida, no sólo para números enteros y racionales, sino también para los
casos de exponentes irracionales e imaginarios.
Nácere Hayek 5
Antigua Universidad de Cristianía (actual Oslo)
su primer año universitario Abe! había solicitado a préstamo, laArithmetica
Universa/is y Principia Mathematica de l. Newton (1642-1727),
Disquisitiones Arithmmeticae de C.F. Gauss ( 1777 -1855), Ca/cu/ de fonctions
de J.L. Lagrange (1736-1813) y otras obras de grandes maestros. Abel los
estudió con deleite y acto seguido se dedicó a hacer investigaciones por su
cuenta. Cuando algunos años más tarde le preguntaron cómo pudo si­tuarse
tan rápidamente en primera fila, replicó "estudiando a los maestros,
no a sus discípulos" (Bell, 2, p. 308) 2
A la sazón, el padre de Abe/ fallecía en 1820. Su carrera política acabó de
mala manera (bebía en exceso y fue acusado de falsos cargos en contra
de sus colegas de Parlamento). Esto sumiría a la familia en una situación
trágica, recayendo sobre Abe/ una gran responsabilidad para su sustento,
ya que su hermano mayor estaba incapacitado para trabajar por enferme­dad.
6
2 "La idea propugnada por Abe! con ese sabio consejo de leer a los maestros, ha
sido desgraciadamente abandonada por los estudiantes matemáticos actua-les,
malgastando sus primeros años[ .. ..... ... .. ] sin hacer apenas caso de la litera-tura
primaria sobre la materia" (Edwards, 5, p. 105).
Una biografía de Abel
En 1821 Abe! logra ser matriculado en la Universidad de Oslo y en atención
a una solicitud tramitada por Holmboe, se le concede a Abe! con carácter
excepcional, alojamiento gratuito en la misma y algún dinero para peque­ños
gastos (a lo que se añadiría una modesta aportación particular del
propio Holmboe). Este último estaba convencido de que había tenido a su
lado, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. En el
entorno universitario y en su ciudad, ya estaba reconocido como un genio
del que esperaban sus profesores, futuros grandes trabajos. Aún siendo
modesto y aparentemente amable, que estaba siempre dispuesto a ayu­dar
a sus amigos cuando fuese necesario, Abe! no ofrecía en su aspecto
general, nada notable. De estatura media, complexión delicada y con un
atuendo simple y descuidado, quizás lo único destacable de su naturaleza
fuese que "su persona no resultaba muy simpática" (Abel, Oeuvres 11, 9,
p. 29). Sus profesores universitarios le alentaron sobremanera. Sería gra­duado
en 1822.
Una familiar acogida la había encontrado Abe! en la casa del catedrático de
Oslo, profesor de Astronomía que se dedicaba con éxito al magnetismo
terrestre, Ch. Hansteen, en donde su esposa lo cuidó como si fuese su
propio hijo. En una revista de Ciencias Naturales (Magazin far
Naturvidenskaben) que se imprimió en Noruega en 1823 y de la que
Hansteen era uno de sus editores, se publicaron algunos breves trabajos
de Abe!. En uno de ellos, "Soluciones de algunos problemas mediante
integrales definidas", aparece por primera vez el planteamiento y la solu­ción
de una ecuación integral.
En su último año en la escuela, Abe! se había mostrado muy interesado
en un importante problema del álgebra referente a la resolución de la
ecuación general de grado superior (n>4) mediante operaciones
algebraicas, infructuosamente afrontado por los matemáticos desde el
siglo XVI y que, a pesar de los denodados esfuerzos de Lagrange y otros
de sus ilustres contemporáneos del siglo XVIII, seguía permaneciendo
como uno de los grandes problemas abiertos. Ese fue el primer estudio
que motivó entonces en grado sumo, a Abe!. En términos concretos, se
trataba de encontrar la solución mediante radicales de la ecuación
algebraica general de quinto grado: ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = O (la
denominada quintica); es decir, hallar una fórmula que exprese sus raí­ces
en términos de los coeficientes a, b, c, d, e, dados, de modo que sólo
incluya un número finito de las operaciones de adición, sustracción, mul­tiplicación,
división y extracción de raíces. Debido a sus minuciosas lectu­ras,
Abe! llegó a estar enterado no sólo de las fórmulas de Cardano y de
Bombelli para las ecuaciones cúbica y cuártica, sino que conocía muy bien
la problemática pendiente. Estimulado por el trabajo de su maestro
Nácere Hayek 7
Lagrange (Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770)3
quien había reconsiderado críticamente los métodos y fracasos de todas
las tentativas de búsqueda de soluciones para las ecuaciones algebraicas,
Paolo Ruffini (1765-1822) en 1813 intentó probar la imposibilidad de la
resolución algebraica de la ecuación general de grado n>4. Había tenido
éxito en demostrar con el método de Lagrange que no existe ninguna
ecuación resolvente4 que satisfaga una ecuación de grado menor que
cinco. Ruffini hizo uso, aunque sin probarlo, de un teorema ya hoy conocido
como el teorema de Abel, en el que se afirma que si una ecuación es resolu­ble
con el uso de radicales, las expresiones para las raíces pueden darse en
tal forma que los radicales en ellas sean funciones racionales con coeficien­tes
racionales de las raíces de la ecuación dada y las raíces de la unidad. A
pesar de todo, no se pudo lograr una fundamentación completa. En trabajos
posteriores, formularía una regla para el cálculo aproximado de raíces. El
primer triunfo real del problema precedente corresponde a Abel quien, al
parecer, independientemente de Ruffini, anduvo por el mismo camino.
Una vez abandonada la escuela, Abel creyó en principio haber descubierto
la resolución del problema de la quíntica; sin embargo, a la vista de que ni
Holmboe ni ninguno de los mejores matemáticos de Noruega (Hansteen,
Rasmussen, ... ) pudieron comprobar la veracidad de su conjetura, envió a
través de Holmboe la presunta resolución al matemático profesor F. Degen
en Copenhague, para que la presentase a la Real Sociedad de Ciencias de
Dinamarca. Degen le contestó requiriéndole algún ejemplo numérico, y
sin comprometerse a dar su opinión. La respuesta de Degen contenía ade­más
una advertencia con la que le aconsejaba que "se estudiara las inte­grales
elípticas"5
• En su búsqueda de ejemplos, Abel encontraría más tar­de
un error en su razonamiento, lo que le suscitó el efecto de su primera
decepción, aunque esto le lanzó más adelante a la verdadera senda.
3 Este trabajo influyó tanto en Ruffini como en Abe! para el caso n>4 y también
condujo a Galois a su teoría de grupos. Debe añadirse que Abe! tuvo conoci­miento
de Ruffini por una referencia que de éste hizo Cauchy en su trabajo de
1815.
4 El término resolvente (del latín aequatio resolvens) significa ecuación que re­suelve.
Los referidos intentos de resolución eran equivalentes al establecimiento
de la teoría algebraica de la resolvente, es decir, el hallazgo de otra ecuación
algebraica de grado menor e en general) cuyos coeficientes sean funciones ra­cionales
de los coeficientes de la ecuación de partida, y tal que aquella permita
hallar las raíces de esta última.
5 Esto hizo que Abe! se iniciara en la que sería su segunda contribución funda­mental
para las matemáticas, que le condujo a su famosa memoria de París y a
su ulterior competición con Jacobi.
8 Una biografía de Abel
En 1823, a instancias de su benefactor Hansteen, se le concedió a Abe! una
modesta beca (propulsada con la ayuda de profesores de la Universidad)
para visitar a Degen en Copenhague. En dicha capital tuvo la oportunidad
de conocerle, así como a otros matemáticos célebres, entre ellos van
Schmidten. Allí conoció también a Cristina Kemp, hija de un comisario de
guerra en Dinamarca, con quien se comprometería algún tiempo más
tarde. Ésta no era rica, pero hacía su propia vida, hecho poco usual en las
jóvenes de la época.
Más tarde le fue concedida a Abe! por el Gobierno noruego una beca de
dos años, con recursos económicos suficientes para visitar los centros
matemáticos más importantes del continente (en Alemania y Francia).
Tuvo que aguardar la dotación de aquélla más de año y medio, tiempo
que dedicó a estudiar francés y alemán, sin abandonar su perseverante
entrega a las matemáticas.
En agosto de 1825 emprendió el viaje al extranjero, aunque antes de par­tir
editó una breve memoria en la que se exhibía la idea de la inversión
de las elípticas.
Abe! embarcó en compañía de cuatro de sus amigos estudiantes, eligien­do
un trayecto que pasara antes por Dinamarca, con el fin de entrevistar­se
con Degen, pero a su llegada se encontró con que éste ya había falleci­do.
Durante esa parada en Copenhague, entabló Abe!, ya con 23 años, su
noviazgo con Cristina Kemp.
Ya a finales de 1823, Abe! había llegado a la conclusión de que resultaba
imposible la resolución de la ecuación algebraica de quinto grado por
radicales. La primera prueba de este teorema se publicaría en 1824 (Abel, .
Oeuvres, 1, 9). El artículo de Abe! empezaba así: "Los geómetras se han
ocupado mucho de la solución general de las ecuaciones algebraicas y
varios de ellos trataron de probar la imposibilidad. Pero, si no estoy equi­vocado,
ellos no han tenido éxito hasta el presente"(Ayoub, 1). Una ver­sión
mucho más elaborada apareció en el Journal de Crelle (que nos
ocupará a continuación) en 1826 bajo el título "Demostración de la impo­sibilidad
de resolución algebraica de ecuaciones de grado superior al
cuarto (Abel, Oeuvres 1, 9 p. 66). El espectacular artículo de Abe! sobre la
teoría de ecuaciones fue sometido y más tarde rechazado por la Academia
Francesa de Ciencias en 1830, y no sería publicado hasta 1840, catorce
años después de su muerte 6 • En consecuencia, cabe afirmar aquí que a
Abe! y a E. Galois (1811-1832) correspondió el honor de la creación del
álgebra moderna.
6 Eso deja claro que no había usado la teoría de Galois (Rosen, 12).
Nácere Hayek 9
No se puede dejar de señalar desde ahora, el enorme desengaño que
sufrió Abe! cuando más adelante al visitar Alemania (en su ruta hacia
París) le envió al extraordinario C.F. Gauss (que luego sería llamado "el
príncipe de los matemáticos") un breve folleto con la demostración de la
imposibilidad de resolver la quíntica, y éste sin ni siquiera leerla, llegara a
exclamar: "iHe aquí otra de esas monstruosidades!" (Bell, 2, p.314). Es
harto evidente que si Gauss se hubiera dignado enterarse de algunos pá­rrafos,
mostraría otro interés por el trabajo que llegó a sus manos. Qui­zás,
como se indica en (Ayoub, 1), Gauss no atribuyó gran importancia a
la resolubilidad por radicales Cuando Abe! se enteró de la reacción de
Gauss, decidió no visitarlo, no ocultando desde entonces su antipatía por
aquél, que manifestaba siempre que encontraba ocasión. Así, de Gauss
llegaría a decir Abe!: "Jamás en sus grandes trabajos descubre la idea
generadora. Es como el zorro, que con la cola va borrando el camino que
sigue, para que nadie pueda ir detrás" (acotado en G.F. Simmons, Calculus
Gems, New York, 1992).
En realidad, lo que acabó satisfactoriamente con el problema multisecular
de la resolución algebraica de la quíntica, fue sin lugar a dudas, la inter­vención
decisiva que tuvo Abel. Su prodigiosa inventiva matemática que­da
reflejada en párrafos de algunos de sus trabajos. Por ejemplo: "En
efecto, los matemáticos (se refiere preferentemente a Lagrange) se pro-ponían
resolver ecuaciones, sin saber si era posible. [ ........... ].Para llegar
infaliblemente a una conclusión, debemos proseguir otro camino. Se pue­de
dar al problema tal forma que sea siempre posible resolverlo, cosa
que se puede hacer igualmente con cualquier otro. En lugar de indagar
acerca de una relación de la que no se sabe si existe o no, deberíamos
previamente preguntarnos si tal relación es ciertamente posible". (Bell,
2, p. 311). En la memoria "Sobre la resolución algebraica de ecuaciones"
en la que estos párrafos aparecen, se presentan dos problemas
interconexionados que se tenían que discutir:
a) Encontrar todas las ecuaciones de cualquier grado que sean resolubles
algebraicamente.
b) Determinar si una ecuación es o no resoluble algebraicamente.
"En el fondo (decía Abe!), estos dos problemas son uno mismo, y aunque
no se pretenda una solución completa, indica métodos seguros para tra­tarlos
completamente" (Bell, 2, p. 312).
En esa memoria que se publicó en 1840 se demuestran una serie de teore­mas
relacionados con la teoría de Galois, entre ellos el resultado (referido
antes) equivalente al teorema de Galois: "Para que una ecuación de grado
10 Una biografía de Abel
un número primo, que no tenga ningún divisor racionaF sea resoluble por
radicales, es necesario y suficiente que todas las raíces sean funciones
racionales de dos raíces conocidas". Abe! investigó también la estructura
de los grupos conmutativos y mostró que eran producto de grupos cícli­cos.
No obstante, no destaca en el trabajo de Abe!, el concepto de grupo
(Ríbnikov, 11, p. 349). Se sabe que la creación del álgebra actual está
relacionada con la resolución de algunos problemas histórico-matemáti­cos.
Pero hay que subrayar, como se dijo anteriormente, que a Galois y
Abe! se les reconoce haber creado el álgebra moderna, en la que se estu­dian
las propiedades de las ecuaciones algebraicas basándose en la teoría
de grupos (Geymonat ,7, p. 115).
Desde Copenhague, Abe! hizo viaje hacia Alemania y se detuvo en las proxi­midades
de Hamburgo, donde contactó con H. Chr. Schumacher (amigo de
Gauss). Luego siguió hasta Berlín, capital en la que pasaría el invierno.
Abe! llevaba una misiva de recomendación de von Schmidten para el con­sejero
de construcciones, August Leopold Crelle (1780-1855), por quien
sería cordialmente acogido. Crelle tenía más peso en el mundo matemáti­co
que su gran benefactor Holmboe. Se trataba de un destacado ingenie­ro,
una de cuyas obras fue el primer ferrocarril prusiano entre Berlín y
Postdam y, por otra parte, era también autor de algunos trabajos matemá­ticos.
En su primera entrevista con Crelle, éste le comentó el triste estado
de las matemáticas en Alemania, a lo que, entre otras cosas, agrega Abe!
por su parte, que las bibliotecas de Berlín dejaban mucho que desear.
Crelle sería un fuerte impulsor de la ciencia matemática en Prusia y en esa
época (1825) fundó ellournal fürdie reine und angewandte Mathematik
(Revista de las Matemáticas Puras y Aplicadas) o Journal de Crelle (primera
revista del mundo dedicada exclusivamente a la investigación matemáti­ca)
que sigue editándose hoy en día En aquel tiempo la revista era apenas
conocida, pero luego se afianzaría como la revista de matemática pura
más prestigiosa de Alemania 8 • Abel estableció una cordial amistad con
Crelle, quien pronto había adivinado que Abe! era un genio. En los prime­ros
números de la revista publicó Abe! parte de sus trabajos, unos siete de
ellos; en total, en el Journal de Crelle publicó 22.
Su estancia de unos cinco meses en Berlín, influyó sobremanera en la
historia de Abel. En esa ciudad leyó el Analyse Algébrique de A.L. Cauchy
7 La expresión ningún divisor racional se sustituiría hoy en día por ecuación
irreducible.
8 La revista de Crelle contribuyó al progreso de las matemáticas del siglo XIX más
que media docena de doctas Academias (Bell, 2, p. 315).
Nácere Hayek 11
(1789-1857) por quien manifestaría más adelante una gran admiración
por el conjunto de su trabajo. En uno de sus artículos sobre la quíntica, ya
Abel había usado resultados de Cauchy sobre permutaciones.
Desde Berlín, Abe/ no se encaminó directamente a París, sino que decidió
prolongar el viaje (a todas luces, en perjuicio de su salud y de su carrera)
para disfrutar en algunas juergas con sus compañeros estudiantes con
quienes había venido desde Noruega, dirigiéndose hacia Venecia y el norte
de Italia, para atravesar Los Alpes en su ruta hacia la capital francesa.
Para justificar ese desvío del camino directo a París, Abe/ decía (en una
de sus cartas al astrónomo Hansteen) "es el único viaje que he de hacer
en toda mi vida y ideseo tanto ver Suiza e Italia!. Yo también amo la
Naturaleza y admiro sus hermosuras". En julio de I 826 se trasladó Abe/ a
París, donde en aquella época había abundancia de grandes matemáti­cos,
aunque bien pronto quedaría decepcionado de la mayoría de los
mismos, caracterizándolos en general algo despectivamente de "tan vie­jos,
que sólo quedaba de ellos su fama".
En una carta a Holmboe (24 octubre de 1826), le narraba:
"Legendre es extraordinariamente cortés, pero desgraciadamente muy vie­jo.
Cauchy es un excéntrico [ ..... ] si bien lo que hace es excelente, pero muy
confuso. Al principio, no comprendía prácticamente nada, pero ahora veo
algunas cosas con más claridad [ ... ..... ... ]. Es el único que se preocupa de las
matemáticas puras. Poisson, Fourier, Ampére, trabajan exclusivamente en
problemas de magnetismo y en otras materias físicas. Laplace creo que aho-ra
no escribe nada. [ ....... ] Poisson es un agradable camarada y sabe compor-tarse
con dignidad [ ........ ]. Lacroix está ya demasiado viejo. Los franceses son
. mucho más reservados con los extranjeros que los alemanes. Es demasiado
difícil ganar su intimidad" (Abel, Oeuvres, 11, p.259). En el mismo escrito,
seguía diciendo: "He realizado un trabajo sobre ciertas clases de funciones
trascendentes, para presentarlo al Instituto. [ ...... ] He decidido que lo vea
Cauchy, pero seguramente ni se dignará mirarlo. Y me atrevo a decir , sin
jactancia, de que es un buen trabajo. Siento gran curiosidad por saber el
juicio del Instituto" (Abel Oeuvres 11, 9 p. 260). Como luego se confirmaría,
no recibió ninguna respuesta mientras vivió.
De ese trabajo que se ha anunciado, nos vamos a ocupar seguidamente.
Ha sido justamente reconocido que los auténticos fundadores de la teoría
de funciones elípticas fueron Abe! y Jacobi (del último de los cuales tratare­mos
luego). El referido trabajo fue el primero de los principales ensayos que
hizo Abe! sobre las integrales elípticas y llevaba el título Mémoire sur une
proprieté généra/e d'une classe tres-étendue de fonctions trascendantes (Me­moria
sobre una propiedad general de una clase muy amplia de funciones
12 Una biografía de Abel
Residencia de estudiantes en Oslo
trascendentes) (Abel Oeuvres 1, 9). Fue presentado el 30 de octubre de
1826 al Secretario de la Academia de Ciencias de París, J. Fourier, para ser
publicado en su revista. Éste remitió el trabajo a Cauchy (responsable prin­cipal)
y a Legendre, para que fuese evaluado. Legendre que ya contaba 7 4
años encontró penoso y difícilmente legible el manuscrito, confió en Cauchy
(con 39 años) para que se encargara del informe (Brun, 3 , p.244). Sumer­gido
en su propia tarea, o tal vez porque vislumbrara en aquel mísero
estudiante noruego un pobre diablo con ensoñaciones imposibles o in­cluso
quizás por indiferencia al principiante, no prestó la debida atención,
lo olvidó al igual que Legendre y extravió aquel ensayo del que era deposi­tario.
Al parecer, cuando Abe! se enteró de que Cauchy no lo había leído,
aguardó con paciente resignación el veredicto de la Academia (que nunca
recibiría), como así reveló a Holmboe en otra carta. Pero cuando conoció,
como relataremos luego, que el manuscrito se había perdido, hizo ade­más
otra cosa: redactar de nuevo el principal resultado. "El artículo, aún
siendo el más penetrante de todos sus trabajos, constaba sólo de dos
breves páginas. Abe! lo llamó estrictamente Un teorema: no tenía introduc­ción
alguna, ni contenía observaciones superfluas, ni aplicaciones. [ ... ] un
resplandesciente monumento resumido en unas parcas líneas - el teore­ma
central de su memoria de París - formulado en pocas palabras" (Ore,
10). Al cabo de algún tiempo sucede que C.G. Jacobi (1804-1851) tuvo
noticias del mismo por el propio Legendre (con quien Abe! sostuvo corres­pondencia
después de su regreso a Noruega) y en una carta a Legendre
Nácere Hayek 13
(Gesammelte Werke 1, p.439) de 14 de marzo de 1829 exclama:
"iQué descubrimiento es ése de Abe!! [ ...... \]¿cómo es posible que ese
descubrimiento, quizás el más importante que se haya hecho en nuestro
siglo, se comunicara a su Academia hace dos años y se escapara a la
atención de sus colegas?". Esta pregunta se extendió como un reguero
de pólvora hasta Noruega (con muchos intelectuales y público expectan­tes
del quehacer de Abe!), lo que da lugar a que el cónsul de Noruega en
París se viera impelido a hacer una reclamación diplomática acerca del
manuscrito perdido. La Academia indagó y Cauchy lo encontró algún
tiempo después. En una carta (abril de 1829) que contestaba a la de 14
de Marzo a Jacobi, Legendre cuenta que, una vez hallada, Cauchy se
dispuso a redactar el correspondiente informe, pero que ambos se vie­ron
retenidos al sopesar que Abe! ya había publicado parte de la memo­ria
en el Journal de Crelle. Cuando, después de su muerte, la fama de
Abe! estaba ya cimentada, su preciadísimo ensayo afortunadamente no
se había perdido. iiSin embargo!!, "no pudo ser publicado hasta el año
1841 en Mém. des savants etrangers, vol. 7, 176-264" (Abel Oeuvres, 9,
145-211) Ése fue precisamente el trabajo que después el propio Legendre
calificaría como monumentum aere perennius (monumento que resisti­rá
al tiempo) (Bell, 2, p. 320). "Si se quiere encontrar un parangón equi­parable
a aquel fenomenal olvido, tendríamos que imaginar a un
egiptólogo que perdiera la Piedra Roseta" (Bell, 2, p. 321). Para coronar
esta epopeya in parvo di crasa incompetencia, el editor, impresor, o am­bos,
perdieron el manuscrito antes de que fueran leídas las pruebas de
imprenta. La Academia en 1830, quiso sincerarse con Abe!, concedién­dole
el Gran Premio de Matemáticas, en unión con Jacobi, pero Abe! ya
había fallecido (Bell, 2, p. 321). Realmente, y aparte de lo escaso de sus
recursos, lo más razonable es deducir que después del episodio acaeci­do,
la estancia de Abe! en París sólo pudo producirle una amarga tristeza
en todos los sentidos. J. Echegaray (6, p. 482) refleja este hecho, con una
justa exclamación "idesdén, indiferencia, miseria!". Resulta evidente que
a Abe! , resumiendo, le sobrarían razones para sentir resentimiento de la
actitud de Cauchy, aún cuando jamás dudase de que éste fuera un indis­cutible
gran maestro del análisis.
Para mayor gloria de la ciencia, fue determinante "el grito de alarma de
Jacobi, el noble rival de Abe!, y de toda la Alemania científica, para que
se buscase con empeño la admirable memoria de Abe!" (Echegaray, 6, p.
482). Con la narración escrita no acabaron, para colmo de todos los
colmos, las peripecias habidas con el manuscrito de Abe!. "Cuando los
matemáticos noruegos L. Sylow y S. Lie elaboraban en la década 1870-
1880 la publicación de las obras completas de Abe! se encontraron con la
desagradable sorpresa de que el manuscrito que Abe! había presentado a
14 Una biografía de Abel
la Academia de París se había perdido". (Durán, 4, p.88). lQué había ocu­rrido
esta vez? Según se pudo averiguar más adelante, a un profesor mate­mático
italiano, Guglielmo Libri, alumno de Legendre, le fue asumida la
responsabilidad de seguir la impresión de las Mémoires de savants antes
citadas. "Siglo y cuarto después de que Abe! presentara la Memoria sobre
las funciones elípticas a la Academia de París fue finalmente encontrada por
Viggo Brun, de Oslo, en la biblioteca Moreniana de Florencia (Italia). Brun,
que visitaba la ciudad , aprovechó para saber si en la biblioteca matemática
había legados de Guglielmo Libri, sospechando la implicación de éste en la
desaparición del manuscrito. Después de algunas pesquisas, Brun encontró
lo que buscaba, esto es, la Memoria original de Abe!" (Durán, 4, p. 88)
El manuscrito (excepto ocho páginas) sería exactamente localizado en
1852. ''Al abrir el manuscrito en la biblioteca Moreniana se encontraron
las hojas de amarillo pardo densamente escritas por N. H. Abe/ (noruego)
según constaba bajo el título en su primera página. Las letras eran pequeñas,
el espacio aprovechado al máximo, las dos caras de cada hoja escritas. Al
final del manuscrito se leía la dirección en París: rue St. Margherite, núm. 41
faub. St. Gerrnain (ahora rue Gozlin)" (Brun, 3, p. 245).
Una breve ilustración nos parece necesaria, sobre ese manuscrito en el
que Abe! confiaba para acceder al selecto círculo de matemáticos de la
Academia francesa.
Los teoremas de adición de L. Euler para las integrales elípticas (de pri­mera
especie) representaban entonces los mejores resultados de la teo­ría,
hasta que Legendre se ocupara luego de estructurar dicha materia,
aportando nuevas investigaciones sobre las mismas, junto a una recopi­lación
de numerosas conclusiones de sus predecesores, en su obra defi­nitiva
Traité des fonctions elliptiques (2 vols., 1825 y 1826), fruto de una
extensa labor de cuatro décadas. El manuscrito de Abe! (que contiene el
ya conocido como su gran teorema) se refiere a la extensión del teorema
de adición de Euler para integrales elípticas, al caso de integrales de fun­ciones
racionales R(x, y(x)) de la variable x y de cualquier función algebraica
y(x). En los prolegómenos que preceden al teorema que Abe! establece, se
expone: "Casi toda la teoría de funciones trascendentes se reduce a la de
las funciones logarítmicas, exponenciales y circulares, funciones que, en
el fondo, no forman más que una sola especie. En fechas recientes, se han
comenzado a considerar algunas otras funciones, entre ellas las trascen­dentes
elípticas, de las que Legendre ha desarrollado propiedades nota­bles
y elegantes, y que ahora ocupan un primer lugar. El autor presenta en
esta Memoria una clase amplia de funciones, a saber: todas aquellas cuyas
derivadas pueden ser expresadas mediante ecuaciones algebraicas, de tal
Nácere Hayek 15
modo que todos los coeficientes son funciones racionales de una misma
variable, habiendo encontrado para estas funciones propiedades análo­gas
a las de las funciones logarítmicas y elípticas. Así, puesto que una fun­ción
cuya derivada es racional posee la propiedad de que la suma de un
número cualquiera de ellas se puede expresar por una función algebraica
y logarítmica, cualesquiera que sean las variables de tales funciones, del
mismo modo una función elíptica cualquiera, o sea, una función cuya
derivada no contiene otras irracionalidades que un radical de segundo
grado, bajo el cual la variable no supera el cuarto grado, mantiene aún la
propiedad de que se pueda expresar una suma cualquiera de ellas me­diante
una función algebraica y logarítmica, siempre que pueda estable­cerse
entre las variables de estas funciones una cierta relación algebraica"
(Abel Oeuvres 1, 9, p.145). Esta analogía entre las propiedades de ambos
tipos de funciones ha conducido al autor a investigar si no es posible en­contrar
propiedades semejantes de funciones más generales, habiéndose
llegado así al teorema que fue enunciado por Abe! del siguiente modo: "Si
se tienen varias funciones cuyas derivadas pueden ser raíces de una mis­ma
ecuación algebraica cuyos coeficientes son funciones racionales de
una misma variable, se puede siempre expresar la suma de un número
cualquiera de tales funciones por una función algebraica y logarítmica,
siempre que se establezca entre las variables de las funciones en cuestión
un cierto número de relaciones algebraicas". El número de estas relacio­nes
no depende en modo alguno del número de funciones, sino sólo de la
naturaleza de las funciones particulares consideradas. Así, por ejemplo,
para una función elíptica este número es 1; para la función que no contie­ne
otra irracionalidad que un radical de segundo grado, bajo el cual la
variable no excede el 5° o 6° grado, el número de relaciones necesarias es
2; y así sucesivamente (Abel Oeuvres 1, 9, p.146).
Abel transformó radicalmente la teoría de integrales elípticas en la teoría
de funciones elípticas, haciendo uso de las funciones inversas de aqué­llas,
que eran mucho más fáciles de manipular. Desde un punto de vista
elemental, ello equivaldría a invertir las complicadas funciones
trigonométricas inversas are sen y are cos, en las mucho más simples sen
y cos. En lugar de estudiar (como hizo Legendre) la integral elíptica de '
primera especie y = 1 [ dx / 1 (1-a 2x 2) (1+b 2x 2)] mediante su expresión
en términos de funciones analíticas mejor conocidas, Abe! consideró a
esta integral como una función x de y, como una función elíptica. La fun­ción
inversa x = f(y) así obtenida, resultó ser doblemente periódica y
podía expresarse como cociente de dos productos infinitos. iEsa forma
sencilla de enfocar aquel problema, al parecer tan profundamente com­plicado,
fue uno de los grandes progresos matemáticos del siglo XIX!
16 Una biografía de Abel
El teorema de Abe! cabe enunciarlo grosso modo, de la siguiente manera:
"Una suma de integrales de la forma -t R(x,y) dx , siendo R(x,y) una
función racional de x é y, y donde estas variables están relacionadas me­diante
la ecuación f(x,y) =O (f =polinomio en x e y), puede ser expresa­da
en términos de un cierto número p de integrales de ese tipo, más
términos algebraicos y logarítmicos" (Journal de Crelle, Bd. 4, 1829; véa­se
Abel Oeuvres 1, 515-517, 1829). El número p, dependiente sólo de la
ecuación f(x,y) = O es, de hecho, lo que se denominaría luego género de
la ecuación. Prácticamente, Abe! calculó el número p para unos pocos
casos especiales del general f(x,y) =O, y aunque no intuyó la verdadera
importancia de este resultado, muestra que reconoció dicha noción de
género antes que B. Riemann (1826-1866). De forma más concisa, el
teorema constata que "cualquier suma de aquel tipo de integrales de
una función algebraica dada, puede expresarse mediante un número fijo
p de estas integrales con argumentos de integración que son funciones
algebraicas de las funciones originales". El menor número p representa
el género de la función algebraica, siendo como hemos dicho ésta la
primera vez que aparece esta cantidad algebraica.
El teorema de Abe! constituye sin lugar a dudas, una muy amplia generali­zación
del teorema de Euler para las integrales elípticas 9 • Los primeros
resultados de Abe! (que luego serían trascendentales) de sus "Investiga­ciones
sobre funciones elípticas" se publicaron en 1827 en el Journal de
Crelle (2, 101-181), con la idea central de la inversión de las elípticas (que
ya bullía en su mente desde 1823) y en 1828; así como en los Annales de
Gergonne que aparecieron en 1827.
Como ya se ha anticipado, el otro descubridor de las funciones elípticas
fue C.G. Jacobi (1804-1851) que había estudiado en la Universidad de
Berlín. En contraposición con Abe!, provenía de una familia judía de ban­queros
y disfrutaba de una vida plácida .. Abe! y Jacobi trabajaron inde­pendientemente
en la elaboración de una teoría general sobre las funcio­nes
elípticas, sin sospechar la rivalidad intelectual que luego se produciría
entrambos. Jacobi también conocía la obra de Legendre sobre integrales
elípticas e investigó casi a un tiempo que Abe! sobre las correspondientes
funciones elípticas. Presentó una comunicación (sin pruebas) a la
Astronomische Nachrichten ~. 33-38, 1827) con aquella fecunda idea de Abe!
de las funciones inversas, publicando (ya con demostraciones de resultados
9 La noción de género sería más adelante introducida por A. Clebsch (1833-1872)
para clasificar las curvas. Si una curva tiene d puntos dobles, entonces el géne­ro
p = (l/2)(n-l)(n-2)-d. Clebsch en 1864 reformuló por primera vez el teore­ma
de Abel sobre integrales en términos de curvas
Nácere Hayek 17
de la primera comunicación) varios artículos en la revista de Crelle (1828,
1830). El concepto de inversión lo tenía Jacobi desde finales de 1827, ha­biendo
hecho uso además de la doble periodicidad de las funciones elíp­ticas
10. Cuando Abe! tuvo conocimiento en 1828 del artículo de Jacobi
sobre las transformaciones de las integrales elípticas, se apresuró amos­trar
que los resultados de aquel trabajo eran consecuencias del suyo, te­niendo
que añadir entonces una nota a la segunda parte de su principal
trabajo sobre funciones elípticas. Los logros alcanzados con las investiga­ciones
de Abe! y Jacobi, fueron luego descritos (para resaltar su importan­cia)
por Legendre en 1829 y 1832 en tres suplementos a su Tratado anterior
acerca de estas últimas funciones.
Aunque Abe! arrebatara a Legendre lo mejor de su vida de trabajo con la
nueva idea de inversión de las integrales elípticas que este último pasó
por alto y que resultaría ser la verdadera clave para explorarlas, Legendre
(en una carta a Jacobi) elogió el enorme mérito de Abe! diciendo: "iQué
cabeza tiene este noruego!" (Kline 8, t. 11, p. 858). El propio Jacobi sería
un crítico ecuánime de la obra de Abe! al escribir, lleno de admiración,
en otra ocasión: "iQué deducción tan vigorosa la de los teoremas de trans­formación
de las funciones elípticas! Es superior a todos mis elogios, como
es superior a todos mis trabajos" (Echegaray , 6, p. 484). Ch. Hermite
(1822-1901), profesor de La Sorbonne y de la Ecole Polytechnique 11 tam­bién
comentaría que ''Abe! ha legado una labor sobre la que podían tra­bajar
las futuras generaciones de matemáticos durante quinientos años"
(Bell, 2, p. 320). Legendre diría posteriormente: "los trabajos de Abe! y
Jacobi habrán de ser considerados como los más notables realizados en
nuestra época". Ambos quedaron, en realidad, definitivamente vincula­dos
luego, a uno de los más importantes descubrimientos de la teoría de
funciones multiperiódicas, ya que tanto el uno como el otro arribaron a
una parte fundamental de las funciones elípticas: las funciones theta.
La teoría de funciones elípticas de Jacobi estuvo basada principalmente
sobre cuatro funciones definidas por series infinitas, las citadas funciones
theta. Debe tenerse presente que las funciones doblemente periódicassn
u, en u y dn u , son cocientes de funciones theta y satisfacen ciertas
identidades y teoremas de adición similares a las de las funciones seno y
coseno trigonométricas. Los teoremas de adición de funciones elípticas, pue­den
ser también considerados como aplicaciones especiales del teorema de
10 El texto fundamental de Jacobi sobre la teoría fue Theoriae Functionum
Ellipticarum, Fundamenta Nova (Werke, l, 49-239, 1829).
11 Hermite obtuvo resultados básicos de la teoría y su relación con la teoría de
números.
18 Una biografía de Abel
La casa donde murió Abe! en Froland
Abe! sobre la suma de integrales de funciones algebraicas. Esta cuestión
dio origen a investigar si las integrales hiperelípticas (una generalización de
las elípticas sobre las que Abe! había ya dejado sentados los pasos inicia­les)
podían ser invertidas de igual forma que las elípticas dieron lugar a las
funciones elípticas 12• Jacobi dio la solución en 1832, naciendo así la teoría
de funciones abelianas de p variables, destacada rama del siglo XIX (Struik,
13, p.155).
C.F. Gauss había investigado también en la teoría de funciones elípticas,
pero no publicó sus resultados.
K. Weierstrass (1815-1897), en su discurso de ingreso en la Academia, afir­maba:
"La teoría de funciones elípticas ejerció sobre mí una poderosa
atención en todo el proceso de mi formación matemática, ...... ". Fue un
gran continuador del trabajo de Abe! y remodeló la teoría de las funciones
elípticas. Según G. Mittag-Leffler (véase Niels Henrik Abe/, Ordoch Bild,
12 En su estudio de integrales elípticas, Abe! consideró integrales de la forma
J' R(z,u) dz siendo R(z,u) una función racional de z, u, u2 ( =P(z)) con P(z) = a
;n + ªn-l zn-1 + .... + a0
, de grado n>4. A estas integrales se las denomin~
hiperelípticas. Dichas integrales son funciones del límite superior z, si el límite
inferior es fijo. La.!! es función multiforme de z. Abe! formuló el problema de la
función inversa, sin resolverlo (Kline, 8, p. 862). En este contexto, Jacobi tam­bién
estudió funciones que fueron llamadas más tarde funciones abelianas,
cuya teoría se denomina actualmente teoría de grupos_
Nácere Hayek 19
Stockholm, 1903), "Weiertrass recomendaba frecuentemente la lectura
de Abe! a sus alumnos".
El teorema de Abe! inició la andadura que condujo alrededor de 1850 a B.
Riemann , alumno de Gauss, a la nueva y más amplia teoría de funciones
multiformes (tímidamente abordada por Cauchy), con una visión que le
suministró la clave del concepto de superficie de Riemann, descubriendo
el género de la misma como un invariante topológico y como medio de
clasificación de las funciones abelianas. La no univocidad de las transfor­maciones
conformes llevaron a Riemann a superficies especiales de varias
hojas que se denominarían superficies de Riemann (Struik, 13, p. 158).
Después del tiempo transcurrido en Berlín con Crelle, Abe/ se había cargado
de deudas y, aunque su colega y amigo quiso retenerle con algunas ofertas,
una vez agotado incluso el préstamo de Holmboe quería volver a casa.
Sobre todo porque la situación familiar, especialmente la de sus hennanos,
era ya desesperada. Regresó a Cristianía en Mayo de 1827, y para ganar
algún dinero tuvo que dar instrucción a algunos escolares. Su novia Cristi­na
se empleó como institutriz en casa de unos amigos de su familia en
Fr6/and. Abe/ pasó el verano de 182 8 con su novia en esa ciudad. Estaba a
la sazón, dedicado a la teoría de las funciones elípticas, en su competición
con Jacobi, escribiendo algunos artículos sobre la misma. En la Navidad de
ese año, hubo de viajar en trineo para visitar a su novia en Fr6/and, llegan­do
seriamente enfermo. El riguroso clima noruego ya le había hecho desde
hacía tiempo padecer de tuberculosis pulmonar, de la que tuvo conocimien­to
médico durante su estancia en París y que Abe/ había atribuido a un frío
persistente. Quizás el trajín y la excesiva tensión de aquel largo viaje al
extranjero de duración más de año y medio, contribuyeron a que esa enfer­medad
le llevara más tarde a su fatal desenlace.
El siglo XIX se caracterizó por la reintroducción del rigor en las demostra­ciones
con la consiguiente axiomatización en todas sus ramas. En torno
al año 1800, los matemáticos empezaron a interesarse por los conceptos y
las pruebas que se desarrollaron en las vastas zonas del análisis. El propio
concepto de función no estaba claro, y el uso de las series sin referencia a
la convergencia y divergencia había producido paradojas y desacuerdos.
Acorde con esa situación, los matemáticos del siglo XVIII usaron las series
indiscriminadamente, pero a finales de siglo y en las primeras décadas del
XIX, algunos resultados sobre series infinitas estimularon las investigacio­nes
de lo que se estaba alcanzando con ellas. Abe!, en una carta al profesor
Hansteen13
, se quejaba de "la tremenda oscuridad que incuestionable-
13 Extrait d'une lettre a Hansteen (Dresde, 29 mars 1826) - (Abel Oeuvres 11, 9,
pp. 263-265).
20 Una biografía de Abel
mente se encuentra uno en el análisis [ ........... ]que nunca ha sido tratado
rigurosamente. En todas partes aparece esa manera miserable de concluir
lo general partiendo de lo especial, y lo peor del caso es que con tal proce­dimiento
es raro que se encuentren las llamadas paradojas. Sería intere-sante
investigar esto [ ......... ]. Una vez aceptadas las proposiciones sin prue-bas
rigurosas[ ...... ] se corre el riesgo de servirse de ellas sin examen ulte-rior".
Todas esas elucubraciones formarían parte de algunos trabajos que
aparecieron en el Journal de Crelle.
El análisis riguroso empieza con Bolzano, Cauchy, Abe! y Dirichlet. Junto a
Cauchy, figura Abe! entre los más importantes matemáticos que aportaron
un espíritu eminentemente renovador, caracterizado por la tendencia a la
especialización (Geymonat 7, p. 114). En el área del análisis fueron ambos
de modo indiscutible, decisivos para imponer la exigencia del rigor, pro­pugnada
con anterioridad por C.F. Gauss. "La exacerbación de las nocio­nes
fundamentales en el análisis, en especial la rigurosa concepción del
proceso de paso al límite en las series infinitas, vinculada a la necesidad
didáctica de enseñarlo, hizo que en el primer tercio del siglo XIX (con las
extraordinarias aportaciones de los matemáticos mencionados) se avan­zara
enormemente, lo que desembocó en una redefinición del concepto
de función" (Wussing, 14, p. 365). Ello dio lugar a un minucioso cuidado
sin precedentes en la formulación de las definiciones y de los teoremas,
que conduciría a los científicos y filósofos a un profundo interés por la
lógica formal. En su obra de 1821, Cauchy emprende la introducción del
rigor, haciendo hincapié en la no justificación del libre uso de propiedades
de las funciones algebraicas para su aplicabilidad a cualquier función, y en
la sinrazón de las series divergentes 14• En un artículo de 1826, Abe! alabó la
obra Cours d'Ana/yse de Cauchy aconsejando que "debiera ser leída por
cualquiera que amara el rigor en el campo de las investigaciones matemá­ticas"
15.
Muchos tratados incorporaron el nuevo rigor. La rigorización del análisis
no resultó ser el fin de la investigación en los fundamentos de las matemá­ticas.
Además, esa rigorización no avanzó sin oposición Al principio, las
investigaciones causaron gran conmoción. Hubo muchas controversias.
El descubrimiento de que las funciones continuas no tienen necesaria-
14 Algunos párrafos que anotamos han sido extractados del capítulo 40 de la obra
de M. Kline III, 8.
15 La primera investigación importante y rigurosa de la convergencia fue hecha
por Gauss en un artículo de 1812 donde estudió la serie hipergeométrica
F( a,b ,g , x).
Nácere Hayek 21
mente derivadas 16
, que las funciones discontinuas puedan integrarse y
otras cuestiones que mostraban anarquías, alertaron acerca de que la
restricción impuesta de la diferenciabilidad no acabaría resolviendo toda
la problemática de la teoría funcional (cuyo desarrollo continuaría en el
siglo XX). Aquellas funciones extrañas serían entonces consideradas ca­sos
patológicos, sólo destructoras del análisis clásico del siglo XVIII. En
realidad, el asunto que produjo la mayor controversia fue la prohibición,
principalmente por Abel y Cauchy, de las series divergentes. Abel ataca
con rudeza las extravagancias que se aprecian en algunas partes de la ·
ciencia, en especial los enunciados donde comparecen series infinitas.
"Las series infinitas son una invención del demonio y es una vergüenza
basar en ellas una demostración cualquiera. Usándolas, se puede esta­blecer
cualquier conclusión que a uno le plazca y por eso se han produci­do
tantas falacias y paradojas [ ......... ] . Con la excepción de las series
geométricas, no existe en todas las matemáticas casi ninguna serie infinita
cuya suma sea determinada rigurosamente; en otras palabras, las cosas más
importantes en matemáticas son aquéllas que tienen menor fundamentación
[ ........... ].Yo he hallado [ ..... ] . El teorema de Taylor, fundamento de las matemá-ticas
superiores, está también mal establecido. Yo no he encontrado más
que una sola demostración rigurosa: la de Cauchy en su Résum des le<;ons
sur le Ca/cu/ Infinitesimal" (Abel Oeuvres 11, 9, p. 48).
Abel contribuyó de manera decisiva al establecimiento de los fundamen­tos
de las matemáticas superiores y dio precisión a la teoría de la conver­gencia
de las series infinitas. Absorto en los problemas de las series di­vergentes,
en un notable trabajo "Sobre las series binómicas", testimonia
su sagacidad, penetración y agudeza crítica. En el mismo también arre­mete
contra la falta de rigor con la que se opera mediante series infinitas,
como si se tratara de expresiones finitas, al usar al mismo tiempo series
divergentes para calcular valores numéricos, procedimiento con el cual
"se puede demostrar todo lo que se quiera, lo imposible como también
lo posible" (Abel Oeuvres 11, 9, p. 49). Contiene dos teoremas notables.
Puede intuirse que la obra de Cauchy inspiró a Abel. Algunos criterios de
convergencia llevan hoy el nombre de Abel. En el artículo sobre la serie 1 +
(mil!) x + [(m.(m-1)/!2] x2 + ....... ( m y x complejos) se extrañó de que
nadie se ocupara antes de su convergencia. De igual manera, Abel advirtió
y corrigió (1826) el error de Cauchy del falso teorema de su análisis algebraico,
en el que se establece que una serie convergente de funciones continuas en
16 Hermite decía en una carta a Stieltjes, "me aparto con miedo y horror de esta
lamentable plaga de funciones que no tienen derivadas".
22 Una biografía de Abel
la región de convergencia, representa ella misma una función continua. Es
claro que Cauchy aún no tiene la idea del concepto de convergencia uni­forme
17
• Abel, así como Cauchy, nunca dejaron de ser conscientes de que
la exclusión de las series divergentes conllevaba, pese a que su lógica fuese
confusa, la eliminación de algo útil. Tanto uno como el otro, no se aventu­raron
a desterrar del todo a las series divergentes al ostracismo
(Kline 8,p.1285) 18•
La condena de Cauchy (y de Abel) en su defensa de una matemática rigu­rosa,
fue aceptada por matemáticos franceses, pero no por ingleses y ale­manes.
Algunos matemáticos alemanes y la escuela de Cambridge, defen­dieron
el uso de las series divergentes (Augusto de Margan llegó a decir
"incluso el enemigo más acérrimo de esas series, hace uso de ellas en
privado", y Oliver Heaviside ironizó al decir "esta serie es divergente, por
tanto algo podemos hacer con ella"). El reconocimiento de las series di­vergentes
tuvo, no obstante, que aguardar a una nueva teoría de series
infinitas. Verdaderamente, los matemáticos hasta finales del siglo XIX no
llegaron a darse cuenta de que la definición de convergencia dada por
Cauchy, no podía ser ya considerada como una necesidad impuesta por
algún poder sobrehumano (Kline, 8, 11, p. 1448).
Como dijimos antes, en 1827 Abel regresó a Oslo. Holmboe había sido
contratado como profesor de la Universidad noruega. Holmboe no que­ría
el puesto, pensando en que se ofreciera a Abel. Pero no tuvo elección,
ya que la Universidad de Oslo no podía aguardar y lo daría, en caso contra­rio,
a otro. Esto significó la imposibilidad de que Abel ocupara un trabajo
apropiado regular en la enseñanza superior de matemáticos.
En 1828, Hansteen recibió una subvención para investigar el magnetismo
terrestre en Siberia y se nombró entonces a Abel para que lo sustituyera
en su puesto docente en la Universidad y también en la Academia Militar.
1 7 Abel Oeuvres, 1, pp. 219-250 (1826). En el artículo dio el ejemplo sen x +
(sen 2x / 2) + (sen 3x / 3) + .... , la cual es discontinua cuando x = (2n + 1 )p y n
entero, aún cuando sus términos sean continuos. Tuvo la idea de convergencia
uniforme, pero sin aislar la misma a las series. El concepto de convergencia
uniforme fue introducido en 1848 por J. Stokes y L. Seigel.
18 En la introducción de su Cours d'Analyse dice Cauchy: "He sido forzado a
admitir diversas proposiciones que parecen algo deplorables, por ejemplo, que
una serie divergente no puede sumarse". "A pesar de esta conclusión, Cauchy
continuó usando series divergentes, especialmente·en un estudio sobre ondas
acuáticas". Decidió investigar por qué las series divergentes resultaban útiles
(Kline, 8, p. 1285).
Nácere Hayek 23
Esto mejoró algo su precaria situación económica. Pero Abe/ continuaba
entregado plenamente a su investigación matemática, si bien su salud se
iba deteriorando cada día. Como antes señalamos, las vacaciones vera­niegas
de 1828 las pasó con su novia en Fr6/and y volvería a viajar de
nuevo a esta ciudad, para celebrar la Navidad de ese año. A mediados
de enero de 1829, Abe/ empeoró notablemente. Supo que no viviría mu­cho
tiempo, a causa de una hemorragia que no fue posible detener. Con
anterioridad ya había escrito a su amigo Kei/hau, quien se sentía profun­damente
obligado a Abe/, implorándole que asistiera a su madre de cual­quier
manera que pudiera; y además de aquel requerimiento, al visitarle
le aconsejó que entablara una relación seria con Cristina (a quien Keilhau
no conocía), ensalzándole sus virtudes (de ello resultó que algún tiempo
después, Keilhau y Cristina se casaron). O. Ore (JO) describe así los últi­mos
días de Abe/ en Fr6/and en el hogar de la familia inglesa en que
Cristina era institutriz " .. la debilidad y la creciente tos hicieron que sólo
pudiese estar fuera de la cama unos pocos minutos. Ocasiona/mente in­tentaba
trabajar en su matemática, pero ya no podía escribir. A veces revi-vió
el pasado, hablando de su pobreza y de la bondad de Fm Hansteen [ .......... ].
Padeció su peor agonía durante la noche del 5 de abril. En la madrugada llegó
a sentirse más tranquilo, y durante la mañana, a las once en punto del 6 de
abril, exhaló su último suspiro". Tenía 26 años y ocho meses.
Dos días después de su muerte, llegó una carta de Augusto Crelle, en la que
anunciaba que la Universidad de Berlín le había nombrado profesor de
matemáticas. Gauss, reparando dignamente su ligereza que antes comen­tamos,
había solicitado también en unión de Humboldt, una cátedra para.
Abel. Legendre, Poisson y Laplace, habían escrito asimismo al rey de Sue­cia
para que Abel ingresara en la Academia de Estocolmo.
En 1830 y según ya mencionamos, la Academia de París otorgó a Abel, junto
con Jacobi, el Gran Premio de la misma por su sobresaliente trabajo.
La vida de Abel es un triste, más bien terrible ejemplo, del drama que repre­senta
en numerosos casos, la íntima conexión de la pobreza y la tragedia.
Su corta vida y su trágica muerte ha dado lugar a varios mitos sobre su
persona. "Algunos han caracterizado a Abel como el Mozart de la
ciencia"(Europ.Math.Scienc. ,núm. 451, p. l O).
Un monumento fue erigido por los amigos de Abel en su tumba.
Entre otros muchos honores que le han sido conferidos al joven sabio
noruego, figuran:
Un cráter lunar lleva el nombre de "cráter Abel"; una calle del distrito
duodécimo de París se denomina "rue Abel"; una estatua realizada por el
escultor Gustav Vigeland en 1908 se encuentra en el Royal Park en Oslo.
24 Una biografía de Abel
Tumba de Abe!, cementerio de Froland
,"Junto a Henrik Ibsen y Edvard Munch, Abe! es uno de los iconos naciona­les
de Noruega" (Europ.Math.Scienc., Sept. 2002, núm. 451, p. 7).
Para finalizar estos apuntes biográficos, nos parece apropiado acotar lo
siguiente: "Apartado de los centros matemáticos de primera fila de la Euro­pa
de comienzos del siglo XIX, el joven noruego Abe!, totalmente
autodidacta, se abrió camino hacia las cuestiones capitales de la investi­gación
matemática del momento. Únicamente le fueron concedidos unos
pocos años de creatividad matemática; pero sus resultados incorporan a
Niels Henrik Abe! a los más notables matemáticos de la Tierra" (Wussing
14, p. 454).
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26
Las reproducciones fotográficas que se adjuntan a esta biografía son copias de
otras que figuran en Wussing, 14.
Nácere Hayek. Catedrático emérito de Análisis Matemático.
Universidad de La Laguna.
nhayek@ull.es