La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos

              La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal
definidos
María Aurelia Noda Herrera
En este trabajo recogemos un breve resumen1 de la Tesis Doctoral ''Aspec­tos
epistemológicos y cognitivos de la resolución de problemas de Matemá­ticas
bien y mal definidos. Un estudio con alumnos del Primer Ciclo de la ESO
y Maestros en formación" que, bajo la dirección de los Doctores D. Martín
M. Socas Robayna y Dª. Josefa Hernández Domínguez, ha sido realizada,
por M. Aurelia Noda Herrera, en el Área de Didáctica de las Matemáticas del
Departamento de Análisis Matemático.
La decisión de situar nuestra investigación en el campo de la resolución de
problemas de Matemáticas en el sistema escolar, es consecuencia de que
el planteamiento y la resolución de problemas ha sido y es uno de los
objetivos prioritarios de la Matemática, siendo un tema central en la cons­trucción
del conocimiento matemático y constituyendo una actividad
cognitiva básica, que ha sido reconocida como esencial por la teoría y la
práctica educativa.
No obstante, la investigación en este campo, se mueve en un amplio abani­co
de posibilidades que van desde consideraciones cognitivas que identi­fican
la "resolución de problemas" con la "cognición" (Mayer, 1986) hasta
consideraciones epistemológicas sobre la noción de problema de mate­máticas.
Por tanto, plantear este trabajo como un estudio de la resolución
de problemas de matemáticas en el sistema escolar era excesivamente
amplio y heterogéneo, por ello fue preciso delimitarlo, determinando los
estudios posibles que queríamos abordar y los procesos que queríamos
estudiar.
Las primeras cuestiones que nos planteamos estaban relacionadas con el
fracaso de los alumnos en la resolución de problemas: lpor qué hay alum­nos
que no logran resolver un problema y, sin embargo, muestran un co­nocimiento
correcto de la teoría, están interesados por aprender y resuel­ven
sin dificultad ejercicios estándar?, lpor qué muchos alumnos, ante la
tarea de resolver un problema, lo primero que buscan es la operación o
fórmula que les permita, con todos los datos del problema, obtener un
En aquellos aspectos de Ja investigación, que han sido ya publicados, no nos
extenderemos sino que indicaremos las referencias de Jos mismos.
Números. ReYista de didáctica de las matemáticas
Volumen 47, septiembre de 2001, páginas J-18 3
resultado que dé respuesta al objetivo pedido? lfalta una reflexión cualita­tiva
previa?, ¿el operativismo mecánico con el que se abordan habitual­mente
los problemas, es quizás debido a que la orientación habitual de la
resolución de problemas suele impulsar el manejo abstracto de fórmulas,
buscando ecuaciones que relacionen datos e incógnitas y poniéndose a
realizar cálculos inmediatamente?
Del análisis de estas primera cuestiones surgen nuevas preguntas de inves­tigación:
¿qué ocurriría si los resolutores se enfrentaran a problemas don­de
la información dada es insuficiente o hay información no necesaria?,
¿se potenciaría el nivel de razonamiento y la comprensión conceptual, al
tener que hacer un estudio cualitativo de la situación, intentando acotar y
definir de manera precisa el problema, expresando con claridad qué es
concretamente lo que se pide, precisando y explicitando las condiciones
que se consideran imperantes en la situación abordada, como hacen ha­bitualmente
los expertos ante un verdadero problema?, ¿el trabajo con
este tipo de problemas es un paso previo al tratamiento de verdaderos
problemas de investigación?
Estas cuestiones planteadas hizo que decidiéramos limitar el campo de
estudio, a la resolución de problemas de Matemáticas no habituales hasta
ahora, en los libros escolares y en la práctica diaria del aula, como son
aquellos en los que falta o sobra información, realizando un estudio des­criptivo
de las actuaciones de los estudiantes, a fin de comprender de
manera coherente la naturaleza de los procesos de solución asociados
con dichos problemas, y analizando el impacto que el experimentar con
estos problemas puede tener sobre el estudiante, que aprende importan­tes
ideas matemáticas.
Problema de investigación
Tras la revisión específica del campo de estudio de nuestra investigación
desde el punto de vista curricular y de la investigación, así como del análisis
de la noción de problema, su significado y caracterización y las preguntas
de investigación planteadas, nos conduce a plantear como problema ge­neral
de la investigación:
4
Analizar y describir los comportamientos de los resolutores, frente a
problemas de encontrar bien y mal definidos en contextos diferentes,
(aritmético, algebraico y geométrico), analizando fundamentalmen­te
la fase de comprensión de la situación problema, obseroando para
ello ¿cómo identifican las situaciones problema?, ¿cómo actúan sobre
las condiciones y/o el objetivo? ¿qué relaciones establecen entre las
La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos
condiciones y el objetivo? ¿qué recursos utilizan para justificar sus
actuaciones? ¿cómo conviven en el contexto escolar situaciones pro­blema
bien y mal definidas?
Esta investigación, tiene un interés curricular, ya que observamos cómo las
tendencias curriculares más recientes para la enseñanza de las matemáti­cas
han insistido en la necesidad de situar en un primer plano las capaci­dades
de "orden superior", es decir, las que están ligadas a la identifica­ción
y resolución de problemas, al pensamiento crítico y al uso de estrate­gias
metacognitivas.
En estos últimos años, la resolución de problemas "mal definidos" o "no
rutinarios" o "abiertos" ha tomado un interés específico desde el punto de
vista de la instrucción y la evaluación, siendo estos problemas y sus proce­sos
implicados, centrales en la disciplina matemática y en la naturaleza del
pensamiento matemático, tal como ocurre en la matemática en sí misma y
en la aplicación de la matemática para resolver problemas aplicados (ATM,
1985; NCTM, 1989-1991-2000; MEC, 1989;Anon, 1990; Stacey, 1995; Shimada,
1997; Hashimoto, y Swada, 1984; Nohda, 1986; Pekhonen, 1995).
Por otra parte, estos problemas tienen un interés desde el punto de vista de
la investigación en Didáctica de las Matemáticas. Dentro de la investigación
en resolución de problemas en esta última época, aparecen múltiples lí­neas.
Una de ellas, que es donde situamos el trabajo que se presenta, se
ocupa de los diferentes usos de los problemas "mal definidos", "mal
estructurados", "abiertos", etc. y los procesos cognitivos y metacognitivos
asociados a la resolución de estos problemas, convirtiéndose la formula­ción
o invención de problemas ("problem posing") en un importante tópi­co,
dentro de esta corriente, que es objeto actualmente de numerosas
investigaciones.
Este interés desde la investigación se pone de manifiesto por los intentos
de diferentes autores por caracterizar y dar tipologías de problemas y por
el desarrollo de investigaciones en la resolución de este tipo de problemas.
Como aspectos más relevantes de esta revisión tuvimos en cuenta los as­pectos
siguientes: a) con respecto a las tipologías de problemas observa­mos
las dificultades existentes para hacer clasificaciones precisas, ya que
muchas de éstas presentan aspectos comunes en las diferentes catego­rías;
b) tras analizar los términos que aparecen en las propuestas
curriculares, en la revisión de las tipologías de problemas, y en las diferen­tes
investigaciones existentes, observamos que en muchas ocasiones se
utiliza un mismo término para referirse a situaciones diferentes, e incluso,
la designación de una misma situación con diferentes términos; c) a pesar
del interés actual por los problemas "mal definidos", se observa una esca-
María Aurelia Noda Herrera 5
sez de investigaciones sobre el uso efectivo de tales problemas en la ins­trucción
y evaluación; aún, hay claramente una necesidad de que la inves­tigación
sea mucho más sistemática en esta área, a fin de comprender de
forma coherente la naturaleza de los procesos de solución asociados con
dichos problemas.
Objetivos
Para dar respuesta al nuestro problema de investigación, planteamos tres
objetivos generales:
1 º) Presentar una propuesta de organización conceptual de los términos
usados. Elaborar un Modelo de Competencia formal. En este sentido pensa­mos,
que disponer de un modelo formal abstracto de problema que ca­racteriza
una situación ideal, con relación o no a un usuario ideal, permite
al menos a nivel "local", una organización que incluye todos los tipos de
problemas que queremos tratar diferenciándolos unos de otros y
caracterizándolos y además, nos puede servir de referencia para analizar
la ejecución de los resolutores.
2°) Estudiar la naturaleza de las actuaciones de los resolutores en la fase
de preparación, frente a problemas de encontrar bien y mal definidos, deter­minando
los comportamientos regulares e invariantes.
3°) Estudiar las justificaciones que utilizan los alumnos en la fase de prepa­ración,
para validar y refutar los problemas de encontrar bien y mal defini­dos.
Establecer categorías de análisis de las justificaciones utilizadas.
Estos objetivos generales suponen de hecho, abordar tres estudios dife­renciados
que tienen en sí mismos identidad propia, pero que están estre­chamente
relacionados, donde se concretan y particularizan cada uno de
los objetivos anteriores.
Fundamentos del marco teórico
El marco teórico conceptual en el que desarrollamos nuestra investiga­ción
se fundamenta o sustenta en componentes de naturaleza
epistemológica y de naturaleza cognitiva, que de manera específica se con­creta
en: La búsqueda de un Modelo de Competencia Formal (MCF) de
problemas de encontrar bien y mal definidos, desde la componente
epistemológica, y en Modelos de resolución de problemas, Esquemas de
análisis para observar la actuación de los resolutores y Análisis de las justi­ficaciones,
desde la componente cognitiva.
6 La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos
-
Para la construcción del MCF (Noda, Hernández, y Socas, 1998b, 1999b,
l 999d), tenemos en cuenta, únicamente, al problema en su organización
lógico formal de los objetos implicados, es decir, conceptos, relaciones y
procedimientos que lo caracterizan. Consideramos los "problemas de
encontrar" de la clasificación de Polya (En un problema de encontrar hay
incógnita, datos y condición, y el propósito es descubrir la incógnita. Polya
1962), y adaptamos algunos elementos utilizados en la definición de espa­cio
problema de Newell y Simon (1972). Pensamos que disponer de un
modelo formal abstracto de problema, que caracteriza una situación ideal,
con relación o no a un usuario ideal, permite al menos a nivel "local", una
organización que incluye todos los tipos de problemas que queremos tra­tar,
diferenciándolos unos de otros y caracterizándolos y además, nos puede
servir de referencia para analizar la ejecución de los resolutores.
En nuestra investigación, no pretendemos analizar todas las fases de reso­lución
de un problema bien o mal definido, sino centramos en aquella que
dé respuesta a nuestras preguntas de investigación: lCómo identifican los
resolutores las situaciones problema en términos de bien o mal definidos?
lQué relaciones establecen entre los datos y el objetivo? Es por ello por lo
que recurrimos a los distintos modelos del proceso de resolución de pro­blemas
de matemáticas y consideramos en nuestro trabajo la "fase de
preparación" (Bourne y otros, 1971) y nos centramos en la actuación de
los alumnos en esta fase, que Dewey (1933), concreta en: identificación de
la situación problemática, definición precisa del problema y análisis de
medios-fines, esto es, cómo analizan e interpretan los resolutores los da­tos
disponibles inicialmente, las restricciones y cómo identifican el criterio
de solución (comprender y concebir un plan, Polya, 1954, 195 7).
Para poder profundizar en el comportamiento de los resolutores en esta
fase, elaboramos un Esquema de análisis que adaptamos del modelo de
actuación de Schoenfeld (1985) (Noda, Hemández, y Socas, l 998b, l 999b,
1999d).
Nuestro MCF y el Esquema de análisis construido, nos permitió establecer
unas categorías de análisis que dan respuesta a algunas de nuestras pre­guntas
de investigación, que nos permiten categorizar los comportamien­tos
de los resolutores y establecer la existencia o no de comportamientos
regulares e invariantes (Noda, Hemández, y Socas, l 999b, l 999c).
Por otra parte, el análisis de determinados episodios del Esquema de aná­lisis
construido, nos permite observar las justificaciones que utilizan los
resolutores en sus actuaciones en esta fase de preparación, e intentar
construir un sistema de categorías de análisis de las justificaciones utiliza­das.
María Aurelia Noda Herrera 7
Metodología
En la investigación distinguimos dos etapas: el estudio piloto y el estudio
definitivo. El estudio piloto permite la elaboración de un instrumento con­trastado
de recogida de datos, adecuado para los propósitos de nuestra
investigación, y la concreción de los instrumentos de análisis. Con ello
diseñamos e implementamos el estudio definitivo.
En ambas etapas, se utilizó una metodología cualitativa, que nos permitió,
tras la elaboración y aplicación de distintos cuestionarios y realización de
pruebas videograbadas, realizar un análisis sobre el proceso de resolución
seguido, estableciendo la existencia de comportamientos regulares e
invariantes, así como un análisis de las justificaciones que usaban los
resolutores en términos de prueba y argumentación.
La metodología cualitativa es complementada con una metodología cuan­titativa
en términos de porcentajes que, tras la elaboración y aplicación de
distintos cuestionarios y realización de pruebas escritas, nos permitió ob­tener
datos globales sobre la actuación de los alumnos en la fase de "pre­paración"
y la búsqueda de comportamientos regulares e invariantes.
Las pruebas escritas se realizaron con alumnos2 de tercer curso de la
Especialidad de Educación Infantil del Título de Maestro del C.S.E. de la
Universidad de La Laguna, en el estudio piloto y, con 20 alumnos de 2°
curso de la ESO pertenecientes al colegio Público Isabel la Católica de
Santa Cruz de Tenerife y 23 alumnos de primer curso de la Especialidad de
Educación Infantil del Título de Maestro del C.S.E. de la Universidad de La
Laguna, en el estudio definitivo.
Las pruebas videograbadas se realizaron con alumnos seleccionados por
su expediente académico en matemáticas (nivel académico alto, medio y
bajo) y la opinión de sus respectivos profesores en dicha materia. En el
estudio piloto, con tres alumnos de tercer curso de la Especialidad de
Educación Infantil del Título de Maestro del C.S.E. de la Universidad de La
Laguna, y, en el estudio definitivo con tres alumnos de 2° curso de la ESO
pertenecientes al Instituto de Enseñanza Secundaria El Chapatal de Santa
Cruz de Tenerife y 3 alumnas de primer curso de la Especialidad de Educa­ción
Infantil del Título de Maestro del C.S.E. de la Universidad de La Laguna.
Síntesis general de la ínvestigación
A modo de estructura general de la investigación, y antes de pasar a co-
2 9, 13 y 21 alumnos, en las diferentes pruebas del estudio piloto.
8 La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos
mentar los resultados y las conclusiones de la investigación, exponemos la
relación entre las distintas partes que conforman esta investigación.
Campo de estudio Revisión {
Curriculnr
Investigación
Estudio teórico
MODELO DE
CoMPETENCIA
FORMAL (MCF)
On..rJrnvn 1•
...... Planteamiento del Problema
11 .....
Estudio
Obietivos experimental 11 ..... Categor_ias .d_e an álisis ..-11 Esquem--a d-e- -análisis CoMPORTAMIENTOS SISTEMAS DE CATEGOR!As
REGULARES E INVARIANTES DE JUSTIFICACIONES
Ü&JET!VO 2' ÜBJET!V03' --- • RESULTADOS, CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS FUTURAS
Figura 1
Tras situar nuestra investigación en el campo de estudio correspondiente
y realizar una revisión desde el punto de vista curricular y de la investiga­ción,
planteamos el problema general de la investigación y formulamos los
objetivos correspondientes. Posteriormente abordamos el estudio teórico
de la investigación construyendo el modelo de competencia formal de los
problemas de encontrar bien y mal definidos (MCF), que es el primer obje­tivo
planteado.
El MCF permitió elaborar un primer sistema de categorías de análisis con el
que comenzamos a realizar el estudio piloto, que nos condujo a la elabora­ción
de un instrumento contrastado de recogida de datos, adecuado para
los propósitos de nuestra investigación, a la construcción de un Esquema
de análisis y a la concreción de los instrumentos de análisis. Con ello dise­ñamos
e implementamos el estudio definitivo.
El Esquema de análisis, hizo posible la concreción del sistema de catego­rías
de análisis con el que abordamos el estudio de los comportamientos
regulares e invariantes, que es el segundo objetivo planteado en la investi­gación.
Por otra parte, algunos episodios del Esquema de análisis nos permitieron
observar los recursos utilizados por los resolutores para justificar sus ac-
María Aurelia Noda Herrera 9
tuaciones, pudiendo de esta manera establecer un sistema de categorías
de las justificaciones, que es el tercer objetivo planteado.
Resultados y conclusiones
Sobre el Modelo de Competencia Formal
El Modelo de Competencia Formal construido nos permitió caracterizar
los problemas de encontrar, que decidimos llamarlos "bien definidos" por
su correspondencia con algunos problemas del ámbito escolar y al negar
las condiciones de éste, las situaciones restantes obtenidas decidimos lla­marlas
problemas de encontrar "mal definidos".
Partiendo de esta caracterización, nos encontramos con siete posibles
categorías de problemas de encontrar mal definidos que se concretaron
en tres tipos diferentes que tenían sentido, que denominamos tipo T1 (sin
datos), T2 (faltan datos) y T3 (sobran datos).
Por otra parte, el MCF permite establecer categorías de análisis para carac­terizar
y categorizar las actuaciones de los resolutores.
Sobre la existencia de comportamientos regulares e invariantes3
• A pesar de que los problemas presentados implicaban contenidos
matemáticos, de niveles de enseñanza anteriores a los que cursaban
los alumnos objeto de este estudio, éstos tuvieron dificultades para
identificar de forma correcta dichos problemas.
• Se pone de manifiesto en la investigación que, el contexto del proble­ma
presentado así como la tipología del mismo, tienen influencia en
los comportamientos de los resolutores, tanto de la ESO como del
3 El criterio establecido es diferente según el tipo de prueba realizado. En las
pruebas escritas, un comportamiento es regular si entre un 25% y un 75% del
alumnado presentan la misma secuencia de comportamientos, y es invariante si
la presentan un 75% o más del alumnado. En las pruebas videograbadas adopta­mos
dos criterios: a) si el análisis lo hacemos ante un problema determinado, un
comportamiento es regular si dos alumnos de la misma población de estudio
presentan una misma secuencia de comportamientos, y es invariante si la pre­sentan
los tres; b) si el análisis lo hacemos según la tipología del problema y nivel
académico del resolutor, un comportamiento es regular si el alumno manifiesta
una misma secuencia de comportamientos, entre un 25% y un 75% de los pro­blemas
presentados de ese tipo, y es invariante si lo manifiesta en un 75% o más,
de los problemas presentados de ese tipo.
10 La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos
-
CSE, siendo en los problemas de contextos geométrico y algebraico,
así como en los mal definidos tipo del T3 (sobran datos), donde más
actuaciones incorrectas observamos, con respecto a su identifica­ción
y a las acciones realizadas sobre los datos.
• Si el análisis lo hacemos atendiendo al nivel académico de los
resolutores, observamos que las actuaciones más incorrectas, en to­das
las categorías estudiadas, se dan en los resolutores de niveles
académicos medio y bajo, tanto del CSE como de la ESO.
• Encontramos comportamientos invariantes, que reflejan tanto ac­tuaciones
correctas4 como incorrectas5 , en las dos poblaciones de
estudio (CSE y ESO), destacando que la existencia de comportamien­tos
invariantes es más frecuente en los alumnos del CSE. Los com­portamientos
invariantes que indican actuaciones incorrectas, se
observan en los problemas de encontrar caracterizados desde la com­petencia
como mal definidos, tanto en los alumnos del CSE como en
los de la ESO.
Problemas bien Problemas mal Problemas mal
definidos definidos definidos
Faltan datos (T) Sobran datos (T3
)
ESO ------ No saber identificarlo
(en contexto geométrico)
CSE ------ ---- - - Identificarlo como
bien definido (en
contexto aritmético)
• Observamos comportamientos regulares, que reflejan tanto actua­ciones
correctas como incorrectas, en las dos poblaciones de estu­dio,
CSE y ESO, y en los tres tipos de problemas estudiados, bien
definidos, mal definidos porque faltan datos (Tipo T 2
) y mal definidos
porque sobran datos (Tipo T3
). Los comportamientos regulares que
indican actuaciones incorrectas son los siguientes:
4 Identifican el problema presentado de forma correcta y, si se trata de un proble­ma
de encontrar caracterizado desde la competencia como mal definido, lo
transforman en un problema bien definido.
5 Identifican el problema presentado de forma incorrecta y/o lo transforman en
un problema mal definido.
María Aurelia Noda Herrera 11
ESO CSE
Problemas bien No saber identificarlo No saber identificarlo
definidos (en los tres contextos) (en contexto geométrico)
Identificarlo como bien Identificarlo como bien
definido definido
(en contexto algebraico) (en contexto algebraico)
Problemas mal
definidos. Identificarlo como mal
Faltan datos definido y transformarlo
(T2) en otro probiema mal
definido
(en contexto geométrico)
Identificarlo como bien Identificarlo como bien
definido definido
Problemas mal (en contexto algebraico) (en contexto geométrico)
12
definidos.
Sobran datos No saber identificarlo Identificación como mal
(T3) (en contexto algebraico) definido y transformarlo
en otro problema mal
definido (en contextos
aritmético y geométrico)
• Con respecto a los comportamientos regulares observados en las
pruebas videograbadas, éstos son más frecuentes entre los
resolutores de niveles académicos alto y medio, tanto en los alumnos
del CSE como en los de la ESO.
• El trabajo con problemas mal definidos hace más rica la fase de pre­paración,
en la investigación, que si únicamente propusiéramos pro­blemas
bien definidos.
• El planteamiento conjunto de problemas de encontrar bien y mal
definidos, no parece generar confusión en los resolutores, por lo que
pensamos que puede favorecer la resolución de problemas bien de­finidos,
al potenciar la fase de preparación.
La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos
-
Sobre los recursos utilizados por los resolutores para justificar sus
actuaciones
Para hacer el análisis de los recursos utilizados por los resolutores para
justificar sus actuaciones, en términos de validar (aceptar como válido el
problema presentado, tanto si es bien definido como si es mal definido) y
refutar (no aceptar como válido el problema presentado), seguimos un
proceso de tres fases de observaciones descriptivas (Noda, Hernández, y
Socas, 1999b, 2000a). De esta manera, partimos de unas observaciones
descriptivas muy generales, y tras ir focalizando dichas observaciones,
pudimos construir un sistema de categorías de justificaciones, utilizadas
por los resolutores.
El análisis realizado en el estudio definitivo, nos permitió no solo confirmar
y ampliar los tipos de justificaciones observadas en el estudio piloto, sino
precisar algunas de ellas, de manera que el sistema de categorías de análi­sis
de las justificaciones utilizadas por los resolutores es el siguiente:
RECURSOS
Prueba Argumentación
Naturaleza Naturaleza
interna externa
•Empírico •Ritual •Descripción-Explicación
•Comparación-Analogía
• Analítico - Autoridad de
la tarea
• Contradicción •Ridículo o ironía
• Creencias -Autoridad del
profesor
• Contraejemph
-Autoridad del
compañero
competente
Sobre la metodología e instrumentos utilizados
Con el objeto de poder desarrollar la investigación, nos vimos en la necesi­dad
de elaborar modelos de competencias, tanto a nivel epistemológico
como cognitivo, de manera. que nuestras aportaciones, a nivel meto­dológico,
se concretaron en:
María Aurelia Noda Herrera 13
• Elaboración de un Modelo de Competencia Formal, que nos permitió
caracterizar las actuaciones de Jos resolutores.
• Elaboración de un Esquema de análisis para observar Ja actuación de
los resolutores reales en Ja fase de preparación con problemas de
encontrar bien y mal definidos. La construcción de este modelo de
actuación es una adaptación del modelo de Schoenfeld (1985), que
se concreta después de varios trabajos preparatorios.
• Elaboración de un sistema de categorías que configura un instru­mento
de análisis y valoración de los comportamientos de Jos
resolutores, que permitió categorizar las actuaciones de los mismos,
y determinar la existencia o no, de comportamientos regulares e
invariantes.
• Construcción de un sistema de Categorías de análisis de las justifica­ciones
utilizadas, que se convierte en un instrumento teórico que
relaciona y tipifica las justificaciones de los estudiantes, frente a pro­blemas
de encontrar bien y mal definidos, en la fase de preparación
Estas cuatro elaboraciones dan consistencia al marco teórico y al modelo
metodológico elaborado para la investigación.
A modo de síntesis, de las secuencias de comportamientos categorizados
que nos permitieron establecer los comportamientos regulares e
invariantes, si comentamos Ja primera parte de las secuencias que nos
indica cómo identifican el problema presentado, y, Ja relacionamos con el
resto de las secuencias que indican si actúan o no sobre el problema plan­teado
y en qué lo transforman, podemos determinar cinco grupos de com­portamientos
que hemos denominado A, B, C, D y E. Si además incorpora­mos
a estos comportamientos, las justificaciones utilizadas en su actua­ción
en términos de validar o refutar, podemos expresar mediante un grá­fico,
Jos cinco comportamientos que describen las actuaciones de los
resolutores en Ja fase de preparación, cuando se enfrentan a Ja tarea de
resolver problemas de encontrar bien y mal definidos, pudiendo de esta
manera, ubicar en el mismo, el comportamiento de Jos resolutores a lo
largo de los diferentes espacios semióticos que presentan en sus actuacio­nes6.
6 BD y MD indican, respectivamente, bien definido y mal definido.
14 La resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos
Lo identifican
explícitamente como BD !
y no lo transforman ni '
explicita ni
implícitamente
No saben
identificar lo
Figura2
1 Lo identifican
l1 explícitamente
comoMDy no
~ rep~a!~n-~
Lo identifican
explfcitamente como
MD y lo transforman
explícitamente en un
problem~ B_!)....!_~ _J
Finalmente, comentar que a lo largo del desarrollo del trabajo de investiga­ción,
han quedado abiertas muchas cuestiones, que nos proponemos
abordar en el futuro.
El replanteamiento de problemas, que en nuestra investigación surge de
las transformaciones realizadas sobre el problema dado, nos planteó nue­vos
interrogantes: lQué ocurrirá en las fases de producción y enjuicia­miento,
cuando el resolutor replantee un problema dado en otro mal defi­nido?
lCómo lo identificará? lCómo justificará su actuación?
Nuestra intención es realizar el estudio de potencialidades y dificultades
que genera la implementación en el aula de los problemas de encontrar
bien y mal definidos, mediante el diseño de materiales curriculares,
consensuado con los profesores de Primaria y Secundaria Obligatoria.
Pensamos que este tipo de investigación, muy relacionado con la práctica,
podría ayudar al estudio acerca del desarrollo de habilidades útiles para la
resolución de problemas en general.
Para ello, contamos con los instrumentos teóricos elaborados en términos
de modelos de competencia, tanto desde el punto de vista epistemológico:
el MCF de problemas de encontrar bien y mal definidos, como desde el
punto de vista cognitivo: el Esquema de análisis o modelo de actuación; el
Sistema de categorías, que configura un instrumento de análisis y valora­ción
de los comportamientos de los resolutores; el Sistema de categorías
María Aurelia Noda Herrera 15
de análisis de las justificaciones utilizadas, que relaciona y tipifica las justi­ficaciones
de Jos estudiantes; y, el gráfico que permite ubicar el comporta­miento
de los resolutores a lo largo de los diferentes espacios semióticos
que presentan en sus actuaciones.
En particular, queda abierta Ja extensión del análisis de los diferentes com­portamientos
que surgen en la resolución de problemas de encontrar bien
y mal definidos, en las otras fases de producción y enjuiciamiento, con los
mismos instrumentos que hemos abordado la fase de preparación.
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María Aurelia Noda Herrera. Es en la actualidad profesora asociada de la Uni­versidad
de La Laguna, adscrita al Área de Didáctica de las Matemáticas del
Departamento de Análisis Matemático. Sus publicaciones se sitúan en la
Didáctica de las Matemáticas y principalmente en el campo de la Resolu­ción
de problemas.
E-mail: mnoda@ull.es ,
Web: http:/webpages.ull.es/users/mnoda/
La ,resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos