Enseñanza de matemáticas en carreras químicas desde un enfoque aplicado y motivador

              Enseñanza de matemáticas en carreras químicas desde un
enfoque aplicado y motivador
Víctor Martínez Luaces
Resumen
Cuando se enseña Matemática como asignatura de servicio, la motiva­ción
desempeña un papel fundamental. En las carreras químicas como
Ingeniería Química, Ingeniería en Tecnología de Alimentos, Química Far­macéutica,
etc., no es sencillo encontrar libros de texto con ejemplos de
aplicaciones de la Matemática que sean realmente significativos para ese
tipo de estudiantes.
Desde el año de I 995, la Cátedra de Matemática de la Facultad de Quími­ca,
dependiente de la Universidad de la República, en Montevideo, Uru­guay,
hizo un esfuerzo por solucionar ese problema participando en va­rios
proyectos con profesores de otras disciplinas.
Como resultado de esta acción, actualmente se presentan los conceptos
matemáticos en contexto con las otras asignaturas afines.
En este trabajo se presentan brevemente algunos ejemplos de lo anterior
y se comentan los resultados. A partir de estos resultados se extraen con­clusiones
y se formulan recomendaciones.
Summary
When Mathematics is taught as a service subject, motivation plays a
fundamental role. In Chemical careers as Chemical Engineering, Food
Technology Engineering, Pharmaceutical Chemistry, etc. is not easy to
find text-books with examples of Mathematical applications with real
signification for this kind of students.
Since 1995, the department of Mathematics in the Chemistry faculty at
Universidad de la República, Montevideo, Uruguay, tried to solve this
problem participating in severa! projects with other teachers of different
disciplines.
As a result of this action, now, most of the mathematical concepts are
presented in context with other subjects.
Números. Reyista de didáctica de las matemáticas
rolumen 45, marzo de 2001, páginas 4J-S2
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In this paper, severa! examples are presented shortly, and results are
commented. Ta-king into account these results, conclusions and recom­mendations
are proposed.
Objetivos
En general, cuando se enseña Matemática como asignatura de servicio, y
en particular en las carreras químicas (Ingeniería Química, Ingeniería de
Alimentos, Química, Bioquímica Clínica y Química Farmacéutica) la moti­vación
con aplicaciones verdaderas, originadas en problemas reales es un
elemento fundamental [ l ] .
La Cátedra de Matemática de la Facultad de Química ha hecho un gran
esfuerzo en los últimos años por acercar a los estudiantes a esos verda­deros
problemas, la mayoría de los cuales a su vez no se encuentran en
los textos, sino que provienen de los asesoramientos que realiza la cáte­dra
y de los trabajos de investigación en los que se participa integrando
equipos multidisciplinarios [ 2].
En este trabajo se analizan varios ejemplos de aplicación de temas como
ecuaciones diferenciales, cálculo numérico, test de· hipótesis, modelos
lineales, ecuaciones en derivadas parciales (EDP), transformada de
Laplace, representación de funciones de varias variables, integrales, sis­tema
de ecuaciones, diseño de experimentos, etc. Dichos temas apare­cen
luego en los cursos de Cálculo, Álgebra lineal, Ecuaciones diferen­ciales,
Probabilidad y Estadística y Computación y Cálculo numérico, que
son los cursos de grado que dicta la cátedra [3], así como en los cursos
de postgrado (EDP: aplicación a la Ingeniería Química, Tratamiento de
Datos en Ingeniería Ambiental) y de Educación Permanente (tratamiento
de datos experimentales, diseño de experimentos, control de calidad,
optimización y quimiometría) [ 4 y 5].
También se analizan resultados de encuestas de evaluación docente en
las que se evidencia la respuesta de los estudiantes a este tipo de inicia­tivas
[ 6], y finalmente, a partir de todo lo anterior, se formulan conclusio­nes.
Desarrollo
Como ya se comentó, en los cursos que dicta la cátedra, se presentan
varios ejemplos concretos que pasamos a analizar:
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a) Finura de lanas. (Test de hipótesis. Estimación de parámetros).
A solicitud de una barraca de lanas, se analizaron datos de finura de distin­tas
muestras de lanas. Se dispuso para ello de una base de datos con
mediciones de finura y el propósito era poder determinar intervalos de
confianza para los fardos producidos por la empresa.
Entonces, se comenzó por investigar si los datos suministrados prove­nían
de una distribución normal. Para ello se realizaron test de hipótesis
(D'Agostino, Lillifors, Shapiro-Wilks y Kolmogorov-Smirnov) resultando
rechazada la hipótesis de normalidad para un nivel de significación del
1 %. Una representación gráfica de los datos permitió observar una distri­bución
bimodal, lo que sugirió que se trataba de una superposición de
dos distribuciones normales. Consultados los ingenieros de la firma, y
luego de una visita a la planta, se comprobó que los datos provenían de
la mezcla de lanas de dos razas diferentes (Merino y Corriedale). Toman­do
muestras aleatorias de lanas de cada raza se aceptó la hipótesis de
distribución normal para cada una, con los mismos tests ya citados. En­tonces
para cada calidad de lana se pueden determinar intervalos de
confianza [7]. El problema es utilizado actualmente en los cursos para
ejemplificar tests de hipótesis, muestreo, e intervalos de confianza para
muestras que provienen de distribuciones normales.
b) Cable colgado. (Integrales. Longitud de arco. Ecuaciones diferencia­les).
Determinar la forma que toma un cable de transmisión de energía eléc­trica,
colgado entre dos postes es un interesante problema de Estática.
Pero, al mismo tiempo, plantea ejemplos de Cálculo Diferencial (inter­pretación
geométrica de derivadas), Cálculo Integral (longitud de arco
de curva) y Ecuaciones Diferenciales. La solución es una catenaria [ 8"], lo
que muchas veces resulta sorprendente para los estudiantes que tienen
una visión "poco aplicada" de las funciones hiperbólicas.
Este ejemplo fue puesto en un examen de Ecuaciones Diferenciales y
actualmente aparece en los repartidos de práctico de la asignatura.
c) Adsorción de C02 sobre Pt. (Sistema de EDO. Modelos lineales. Deriva­ción
numérica).
Se trata de determinar la cinética de adsorción de C02 sobre Pt, ya que es
un problema concreto que aparece en la práctica. En efecto, los electro­dos
de Pt y otros metales nobles sufren una disminución de su superficie
activa por motivos de absorción, adsorción, electrodeposición, etc.
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La cinética en este caso involucra 3 adsorbatos distintos y desde el punto
de vista matemático da origen a sistemas de ecuaciones diferenciales
que para su resolución requieren cálculo simbólico de valores y vectores
propios, diagonalización, etc.
Por otra parte, la obtención de las constantes cinéticas implica cálculo
numérico de derivadas (para obtener las velocidades instantáneas) y cál­culos
estadísticos para ajustar los modelos lineales correspondientes.
Los ejemplos provenientes de este trabajo fueron utilizados en varios
cursos de Álgebra, Ecuaciones Diferenciales y Computación y Cálculo
Numérico.
El trabajo en sí fue presentado en un congreso en Tucumán en 1997 [9] y
está aceptado para publicación en Cuba [ 1 O].
d) pH de ácidos débiles monopróticos. (Funciones de varias variables.
Solución numérica de ecuaciones algebraicas).
Los ácidos débiles monopróticos y sus sales son ampliamente utilizados
en Química Analítica. Determinar el pH de una solución que contiene
estos compuestos químicos es un problema complicado. En efecto, se
trata de hallar raíces de ecuaciones polinómicas de grado superior a dos
y que, además, poseen parámetros que ofrecen un amplio grado de va­riación.
Una posibilidad interesante (sobre todo desde el punto de vista didácti­co)
es tratar de obtener un modelo tridimensional que ilustre claramente
la variación con respecto a los parámetros.
Esto se hizo en un trabajo conjunto [ 11] de docentes de Matemática y de
Química Analítica y actualmente proporciona ejemplos interesantes de
funciones de varias variables, cálculo numérico (raíces de ecuaciones
polinómicas), etc.
e) Penicillium en manzanas. (Test de hipótesis. Diseño de experimen­tos).
Del análisis de la extensión de manchas de Penicillium Expansum en
manzanas se logró probar, con nivel de significación del 1 %, que no es
razonable modelar los datos partiendo de una distribución normal, ya
que una de las manchas observadas tenía un tamaño demasiado grande,
es decir, se presentó un «outlier» no atribuible a errores sistemáticos [ 12].
La elección del tamaño de la muestra, el rechazo de los test de normali­dad
y el posterior tratamiento del problema a partir de tests no
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paramétricos [ 12), ejemplifican temas como diseño de experimentos y
test de hipótesis, que luego son abordados en los cursos [ 13). Los datos
en cuestión provienen de un trabajo de investigación con docentes de
Microbiología [ 12).
t) Mapa de ruido de Montevideo. (Diseño de experimentos. Estadística
no paramétrica).
El ruido es un contaminante que últimamente se ha empezado a estu­diar
en profundidad. En el caso de Montevideo en los últimos años se han
hecho mediciones de campo que dieron lugar a un trabajo conjunto en­tre
docentes e investigadores del Instituto de Mecánica de Fluidos e Inge­niería
Ambiental (IMFIA), de la Facultad de Ingeniería, la Intendencia
Municipal de Montevideo y con el asesoramiento estadístico de la Cáte­dra
de Matemática de la Facultad de Química. El diseño del experimento
(optimización de tiempos de muestreo, horario y duración de las mues­tras,
etc.) así como el tratamiento de datos posterior, permitió trasladar a
los cursos ejemplos de test de hipótesis no paramétricos, modelos linea­les,
diseño de experiencias, etc., presentados en un contexto poco habi­tual
[ 14).
g) Reactor de lecho empacado. (Transformada de Laplace. EDP).
Un reactor de lecho empacado es un dispositivo de gran utilidad en el
laboratorio y en la industria. El reactor tiene una forma tubular y contiene
en su interior partículas de catalizador que entran en contacto con la
solución que contiene los reactivos.
El diseño de reactores reales utiliza la Transformada de Laplace y en este
caso, la obtención del coeficiente de difusividad surge de una EDP que se
resuelve por Transformada de Laplace en la variable t (tiempo).
El problema en cuestión, en versión simplificada, fue puesto en un exa­men
y también fue incluido en una publicación de la cátedra con aplica­ciones
de EDO, EDP y transformada de Laplace a problemas de Ingenie­ría
Química e Ingeniería de Alimentos [ 15), muchos de ellos tomados de
problemas de la vida real en los que los docentes de la cátedra trabaja­ron
integrando equipos multidisciplinarios.
h) Regla de las fases. (Multiplicadores de Lagrange).
Cuando un sistema presenta varios componentes (agua, sal, vapor, etc.)
y varias fases (sólido, líquido, gas), el número de grados de libertad del
sistema viene dado por la Regla de las Fases, de Gibbs.
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Esta regla se deduce utilizando extremos condicionados y multiplicadores
de Lagrange [ 16] y esto provee un ejemplo interesante para el curso de
Análisis Matemático 11 que vincula la Matemática con la Fisicoquímica.
Resultados
La inclusión de los ejemplos mencionados y otros [ 17], presentando un
enfoque más amigable y relacionado con las orientaciones químicas de
los estudiantes, produjo un mayor interés de éstos por los cursos. Esto se
tradujo en que los resultados académicos obtenidos fueron mucho me­jores
[ 17]. Además, se produjo por parte de los estudiantes un mayor
acercamiento a la cátedra, para realizar cursos breves y seminarios, así
como trabajos y discusiones de casos reales en los que se realiza aseso­ramientos
a industrias [ 18].
Es importante destacar que se cuenta con docentes vinculados en tareas
de asesoría a organismos como el Comité Nacional de Calidad, el Labo­ratorio
Tecnológico del Uruguay, el Instituto de Mecánica de Fluidos e
Ingeniería Ambiental, y el Grupo Universitario de Estudio e Investigación
en Química Ambiental, entre otros. Esto da a la cátedra un perfil mucho
más aplicado y crea un vínculo permanente con estudiantes, docentes
de otras asignaturas y egresados.
Otra buena fuente de casos de estudio son los cursos de Educación Per­manente
y los seminarios que organiza la Cátedra, a los que además de
estudiantes asisten egresados y docentes de otras cátedras o de otras
facultades [ 18], que desean perfeccionarse en algún tema, como control
de calidad, tratamiento de datos, diseño de experimentos u optimización
[ 19].
Estos cursos muchas veces generan a su vez la discusión de nuevos pro­blemas
técnicos relacionados con laboratorios e industrias. Estos proble­mas
se plantean y discuten por parte de los propios egresados que traba­jan
directamente en los mismos, la cátedra, y demás participantes de los
cursos o seminarios.
Además, la Cátedra de Matemáticas frecuentemente realiza consultas a
otros docentes de Facultad y a profesionales sobre problemas vinculados
con el área [7, 9, 11, 12 y 14].
Posteriormente, todas estas experiencias son volcadas a los cursos de
grado, en algunos casos adaptadas en su formulación [ 17] para facilitar
la comprensión de los estudiantes, y otras veces son planteadas en las
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clases en forma cruda, estimulando así el pensamiento creativo frente a la
modelación de problemas reales [ 13).
En cuanto a las posibles resoluciones de los problemas y casos plantea­dos,
puede ser bastante ecléctica, ya que si bien siempre se requiere un
criterio analítico, muchas veces implica uso de herramientas
computacionales o numéricas [ 1 O y 11 ) . También esta diversidad de en­foques,
que por cierto relaciona varias materias, produce un mayor inte­rés
de los estudiantes y una mejor fijación de las herramientas que de
otra forma serían aprendidas en forma aislada y no dentro de un contex­to
global de trabajo técnico [ 6].
En cuanto a la evaluación de resultados, si bien en el año 1999 no se
realizó por parte de la Facultad de Química una evaluación docente, sí se
hizo en años anteriores [ 1 7 y 6). Estas evaluaciones muestran la marcada
preferencia de los estudiantes por este estilo de enseñanza de las Mate­máticas
y su reacción positiva al enfoque aplicado de los cursos actuales.
Conclusiones
Los cuestionarios planteados a los estudiantes en el marco de las evalua­ciones
docentes [6) así como los análisis de distintos expertos [20) son
coincidentes en que los cursos de servicio deben ser netamente aplica­dos
y aplicables para lograr una buena motivación.
Por otra parte, más allá de la motivación, hay detrás de esto un objetivo
fundamental: el modelado.
En lo que refiere a este punto, para ver su importancia bastaría citar las
palabras del actual Presidente del Comité Interamericano de Educación
Matemática, Dr. Carlos Vasco, que en la conferencia de clausura del déci­mo
Congreso Inter Americano de Educación Matemática (X CIAEM) dijo:
« ... Por eso, una de las más importantes tareas de la Matemática del siglo
XXI va a ser estar a la caza de situaciones reales en las cuales se empiece
a notar un esquema que se repite y tratar de encontrarle el modelo mate­mático
más ajustado ... » [21 ).
Finalmente, como se dijo en el Grupo de Trabajo sobre Enseñanza de
Matemática en la Educación Superior, en Chile [ 22]: "es muy difícil poder
enseñar temas como la ecuación del calor y su resolución, sin recuperar
los escenarios en donde esos conceptos fueron creados". De igual modo
resultaría muy complicado enseñar algo sobre la ecuación de ondas a un
estudiante que nunca tuvo experiencias con fenómenos ondulatorios, o
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enseñar cálculo vectorial a un alumno que no sabe lo que es el trabajo
realizado por una fuerza o el flujo de un campo eléctrico o de un campo
magnético. La idea es entonces no solamente presentar problemas rea­les,
sino además intentar la recuperación de los escenarios en los que los
conocimientos tienen aplicación.
No resulta posible, al menos en el momento actual, llevar a los estudiantes
como "observadores" en los asesoramientos que realiza la Cátedra. Es
decir, se puede hacer un cierto esfuerzo en presentar problemas reales,
pero la recuperación de los escenarios sólo la podemos lograr en forma
parcial en los cursos de grado.
Aún así, los resultados positivos ya se han hecho notar como fue mencio­nado
en la sección anterior. En el postgrado y en los cursos de Educación
Permanente la situación es totalmente distinta: los alumnos ya están in­sertos
en el medio laboral y por lo general ya vienen a los cursos con
problemas concretos. En estos casos, aproximarse al modelado en sus
escenarios naturales, es algo que se realiza casi sin esfuerzo. De alguna
manera el gran desafío es poder llegar a algo similar en los primeros
cursos de las carreras.
En definitiva, algo se ha hecho y se ha avanzado bastante, pero aún que­da
mucho por hacer.
Bibliografía
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[ 4] Martínez Luaces, V. (1995): Tratamiento Estadístico de Datos Ambientales.
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[8] Zill, D. (1997): "Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado". Inter­national
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[ 1 O] Martínez Luaces, V.; Zinola, F.; y Méndez, E.: "Problemas Matemáticos Compu­tacionales
en el estudio de Mecanismos de Reacciones Químicas", Actas de
COMAT 99, Cuba (en imprenta).
[ 11] Martínez Luaces, V. y Labandera, F. (1994): "pH de ácidos débiles monopróticos,
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[ 12] Paolillo, A.; Vero, S.; Cerdeiras, P.; Martínez, V.; Fuentes, J.; y Mondino, P.: "Con­trol
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[ 13] Martínez Luaces, V. y Cuitiño, E.: "Estadística para Químicos: ¿Qué enseñar?".
Actas de la XII Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. México
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[ 14] González, E.; Martínez Luaces, V.; Gaja Díaz, E.; y Reig (1997): "Niveles sonoros
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[15]Martínez Luaces, V. (1999): ''.Aplicaciones: problemas para el curso de Mate­máticas
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[ 16] Martínez Luaces, V.: ''Algunos teoremas del Cálculo Diferencial en Matemática
y Fisicoquímica: una propuesta de articulación" Actas de COMAT '99 (en im­prenta).
[ 17] Martínez Luaces, V.: Gómez, A. y Acher, R.: "Innovaciones en la enseñanza de
Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería Química e Ingeniería de Alimen­tos",
póster presentado en la XIII Reunión Latinoamericana de Matemática
Educativa (RELME 13), realizada en Santo Domingo en julio de 1999.
[ I 8] Martínez Luaces, V. (1997): "Informe del Seminario de Optimización". Archivos
del Consejo de la Facultad de Química.
[19]Archivos de la Unidad de Educación Permanente de la Fac. de Química.
[20]Víctor Martínez Luaces, V.; y Casella, S. (1996): "La educación matemática en
las diferentes ramas de la Ingeniería en el Uruguay hoy". Memorias del 11 Taller
sobre la enseñanza de la Matemática para Ingeniería y Arquitectura. ISP JAE.
La Habana, Cuba.
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[21 ]Vasco Uribe, C.: "Las Matemáticas Escolares en el año 2010". Conferencia
pronunciada en la X CIAEM, Maldonado, agosto de 1999. Boletín especial N. 0
1 de SEMUR (Sociedad de Educación Matemática Uruguaya), Uruguay, se­tiembre
de 1999.
[22] Martínez Luaces, V.; Díaz Moreno, L.; Suárez, M.; Lacués, E. y otros: "Informe
del Panel y del Grupo de Trabajo sobre Enseñanza de Matemática en la Edu­cación
Superior", V Congreso de Didáctica de Matemática del Cono Sur, San­tiago
de Chile, enero del 2000.
Víctor Martínez Luaces. victor@bilbo.edu.uy
Cátedra de Matemática de la Facultad de Química. DEQUIFIM. Universidad
de la República. Montevideo. Uruguay.
Regularidad sobre la irregularidad.
Elena Rupérez Verde
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