La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación

              NÚMEROS. Revista de didáctica de las matemáticas
Volumen 40, diciembre de 1999, páginas 3-28
La adquisición del lenguaje algebraico:
reflexiones de una investigación1
Mª de las Mercedes, Palarea Medina
Resumen
Este artículo presenta una síntesis del trabajo de investigación "la adquisi­ción
del lenguaje algebraico y la detección de errores comunes cometidos en
álgebra por alumnos de 12 a 14 años", que se ha realizado con la finalidad de
tener elementos para elaborar una propuesta curricular para la enseñanza/
aprendizaje del álgebra en el primer ciclo de la Enseñanza Secundaria Obliga­toria.
Abstract
This paper is a summary of the project entitled "The acquisition of alge­braic
language and the detection of errors done by the students of algebra
from 12 to 14 years old".
The goal of this research is to get information enough to elaborate a cur­riculum
for the teaching/learning of algebra in the first cycle of the Secondary
School.
Introducción
Este trabajo se ha realizado para intentar hacer una aportación que tienda
a evitar el fracaso en Matemáticas concretamente en la adquisición inicial del
lenguaje algebraico y para colaborar con respuestas a los siguientes interrogantes:
¿Qué características o variables tienen las dificultades que presentan los alum­nos
en el comienzo del aprendizaje del álgebra escolar? ¿Qué dificultades
manifiestan explícita o implícitamente los profesores que imparten instrucción
o enseñan esta rama de la Matemática en el inicio de la Educación Secundaria
Obligatoria? ¿Qué características o variables hacen diferentes a las personas
que les gusta, están capacitadas y «rinden» en álgebra?
1 Este artículo está basado en la memoria del trabajo de investigación presentado por la
autora y dirigida por el Dr. Martín Manuel Socas Robayna, para optar al grado de Doctora
en Ciencias Matemáticas, en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna el
26 de Febrero de 1999.
4 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
Si se tiene en cuenta la historia de las características, se encuentrá que a
las personas con un buen rendimiento en tareas de tipo matemático en general,
se les consideraba «inteligentes». Hace algunos años los investigadores inten­tan
identificar la forma o el «estilo» en que las personas perciben, piensan,
resuelven problemas o estudian y lo han llamado «el estilo cognitivo» de la
persona. En el trabajo que presentamos hemos considerado los estilos cognitivos
de los alumnos, respecto al pensamiento algebraico, en términos de habilidades
cognitivas de carácter operacional y habilidades cognitivas de carácter con­ceptual.
Con este planteamiento cognitivo el papel de los diferentes sistemas de
representación en álgebra surge de una manera natural, y preguntas acerca de
cómo los estudiantes aprenden a usar y coordinar múltiples representaciones,
se han planteado abiertamente en la investigación. Junto a estas cuestiones
cognitivas emergen también, de forma directa, cuestiones afectivas. Por ello,
son consideradas preguntas sobre el dominio afectivo y su relación con el len­guaje
algebraico y los sistemas de representación.
Desde una perspectiva general, la investigación educativa permite un me­jor
entendimiento del proceso de enseñanza/aprendizaje y de las condiciones
en las cuales se puede realizar para obtener una óptima eficacia y su propósito
específico consiste en facilitar información o conocimiento a quienes tienen la
responsabilidad de tomar decisiones en el campo educativo, mediante las cua­les
la educación resulte más eficaz, y estas personas no son sólo las autorida­des
oficiales en este campo, sino también, y no menos importantes, los didactas
y profesores de aula.
Sierspinska y otros (1993) sugieren que en las investigaciones relativas a
educación matemática se debe profundizar, entre otras, en las situaciones de
enseñanza/aprendizaje, la realidad de las clases de Matemáticas y el propio
sistema educativo.
Asimismo Kilpatrick ( 1993) señala que realmente no importa si los crite­rios
que se elaboran para caracterizar una buena investigación están incomple­tos
o son provisionales, lo que interesa es que éstos permitan reflexionar y
valorar a los investigadores acerca de la calidad tanto de su trabajo como el del
de otros investigadores y permita analizar los progresos en este campo.
· Schoenfeld (1991 ), indica que el interés de una investigación viene intrínse­camente
relacionado con la utilidad de la misma.
En este sentido de lo práctico considero que esta investigación relativa al
álgebra escolar está suficientemente justificada. El desarrollo curricular y la
evaluación del conocimiento algebraico constituyeron elementos que fueron
abordados en la investigación para responder a preguntas como: ¿Qué expe­riencias
aritmético/geométricas deben ser proporcionadas a los alumnos para
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 5
facilitar la transición del pensamiento numérico al algebraico? ¿Cómo desarro­llar
cuestionarios o test que informen al profesor sobre el conocimiento algebraico
de los alumnos y no sólo como un elemento de evaluación sumativa de los
estudiantes?
En este marco de referencia, el estudio central del trabajo es la investiga­ción
acerca de la adquisición del lenguaje algebraico y la detección de
errores comunes cometidos en Álgebra por alumnos de 12 a 14 años,
con la finalidad de tener elementos para elaborar una propuesta curricular
para la enseñanza/aprendizaje del álgebra en el primer ciclo de la Enseñanza
Secundaria Obligatoria.
Para dar respuesta a este estudio se plantearon cinco objetivos principales:
1) Estudiar los aspectos cognitivos (habilidades cognitivas de carácter opera­cional
(HCCO) y habilidades cognitivas de carácter conceptual (HCCC))
más relevantes, del pensamiento algebraico con alumnos de 12 a 14 años.
2) Elaborar instrumentos de medida (test) que consideren todos los elementos
implicados en el tránsito desde el pensamiento aritmético al algebraico des­de
una propuesta curricular "global".
3) Estudiar aspectos afectivos (actitudes) en alumnos de 12 a 14 años con
relación a la Matemática y al Álgebra y analizar la evolución de la actitud
hacia las Matemáticas de alumnos de 8 a 14 años.
4) Estudiar y organizar las dificultades, obstáculos y errores que se dan en el
aprendizaje del lenguaje algebraico.
5) Elaborar una propuesta curricular "global" que facilite el inicio del aprendi­zaje
del Álgebra.
El trabajo se hizo con referencia a dos paradigmas, empírico-analít~co y
simbólico, y se consideró la complementariedad de ambos (Salomon, 1991,
Socas y otros, 1995), ya que el enfoque empírico-analítico saca provecho de la
precisión y supone una manipulación, aislamiento, control y medida de aspec­tos
externos al sujeto humano con objeto de realizar inferencia sobre aspectos
internos como el aprendizaje y la afectividad, mientras que el enfoque simbóli­co
requiere de métodos y técnicas absolutamente integradas en el proceso de
enseñanza/aprendizaje y sus condicionantes humanos, de manera que, simultá­neamente
es posible investigar un fenómeno determinado y obtener datos rea­les
tanto del proceso como del resultado.
Se optó, asimismo, por el enfoque didáctico más coherente a las preguntas
de investigación formuladas, y que consistió en abordar la enseñanza/aprendi­zaje
de las nociones de variable (letra con sentido algebraico), expresiones
algebraicas y ecuaciones lineales, en una propuesta que integra contextos nu-
6 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
méricos y geométricos, en un marco del álgebra como lenguaje, donde las
fuentes de significado y los sistemas de representación juegan un papel deter­minante.
Es decir, un acercamiento semiótico al lenguaje algebraico.
La metáfora del álgebra como lenguaje, en este acercamiento semiótico,
se entiende como un sistema de representación que se ocupa del significado de
las escrituras algebraicas, además de considerar el carácter instrumental de
los signos del álgebra, lo que sugiere la necesidad de considerarla como una
actividad más de los alumnos, y los signos, como instrumentos específicos de
esa actividad. En resumen, el signo algebraico va a ser considerado por una
parte como un "portavariable" (hace las veces de), constituye una herramienta
de modelización de sistemas no algebraicos (numérico, geométrico, etc.), y por
otra, funciona como un signo de sí mismo, es decir, como un instrumento espe­cífico
de la actividad.
Planteamiento general de la investigación
Durante los últimos años el interés por el estudio de las dificultades que la
enseñanza/aprendizaje del álgebra escolar ha generado, ha sido enorme, tanto
desde la perspectiva del investigador como del profesor. Pero, a pesar de las
investigaciones, los problemas que plantea no han sido resueltos y lo que debe
ser enseñado y aprendido en álgebra, está aún por determinar. Sigue habiendo
preguntas, en torno a la naturaleza del álgebra y a los procesos de pensamiento
implicados, que aún hoy no tienen respuestas: ¿Qué hace que la comprensión
del álgebra escolar sea una tarea difícil para la mayoría de los estudiantes?
¿Qué fuerza a muchos estudiantes a recurrir a memorizar reglas del álgebra?
¿Es el contenido del álgebra la fuente del problema? ¿Es la forma en que es
enseñada lo que causa a los estudiantes no ser capaces de dar sentido a la
materia? ¿Es inapropiado el acercamiento de los estudiantes a l~s ta­reas
algebraicas para aprender la materia en cuestión?
Para responder a este planteamiento se hizo una amplia revisión bibliográ­fica
desde las perspectivas psicológica (cognitiva) y lingüística. El enfoque
psicológico es el que ha aportado más elementos a los estudios sobre el apren­dizaje
del álgebra, sin embargo, en los últimos tiempos, los estudios basados en
la lingüística son cada vez más significativos, y aún hay una tendencia más
general que trata de encontrar respuestas a diferentes interrogantes en el con­texto
cultural de los sujetos.
Las investigaciones revisadas están relacionadas con los contenidos de
expresiones algebraicas, ecuaciones lineales y desarrollo curricular; básica­mente
no disjuntos, y que se intersectan en los diferentes trabajos analizados.
En lo que se refiere a las relacionadas con expresiones algebraicas, nos
hemos documentado, entre otros, en los trabajos de los investigadores: Chalouh-
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 7
Herscovics, (1988), Wagner y Kieran (1989), Kieran y Filloy (1989), Cedillo
(1991), Kieran (1992), Rojano (1994), Cooper y otros (1997), Boulton y otros
(1997), donde se identifican los factores más significativos que afectan a la
enseñanza/aprendizaje del álgebra en estos últimos cincuenta años y hemos
concluido que las aportaciones de las investigaciones se pueden agrupar en a)
las que provienen de considerar la aritmética como antecesora del álgebra, que
incluye las implicaciones en el aprendizaje y en especial las dificultades en: el
uso y significado de las letras, el cambio de convenciones diferentes de las
usadas en aritmética, y, el reconocer y usar estructuras que se han podido
evitar en la aritmética y b) las que provienen de la falta de modelos teóricos
para la enseñanza/aprendizaje del álgebra.
Frente a la concepción ·conceptualista de la década de los 70, apoyada en
posiciones constructivistas ha aparecido en la década de los 80 y 90 un enfo­que
lingüístico que se documenta bien en el trabajo de Rojano (1994). Surge
una tendencia en las investigaciones de la matemática escolar a considerarla
como lenguaje y en especial el lenguaje algebraico por ser el álgebra el lengua­je
básico de las Matemáticas. Esto conduce a reformulaciones importantes y a
planteamientos que varían de unos autores a otros. Así, los aspectos semántico
y sintáctico del lenguaje matemático se han convertido en centro de atención
de las investigaciones, como consecuencia de las observaciones realizadas en
estudios que incluyen tareas de conversión del lenguaje matemático a otro
lenguaje o viceversa. Se detecta, sin embargo, la ausencia de un paradigma
para el estudio del sistema matemático de signos, que abarque sus aspectos
sintáctico, semántico, pragmático y sociocultural.
Las perspectivas que proceden de las diferentes investigaciones analiza­das
y relacionadas con ecuaciones se pueden agrupar en: a) los distintos
enfoques para la solución de ecuaciones (intuitivos, (Booth, 1983 y Bell, O'Brien
y Shiu 1980); uso de sustitución por ensayo y error (Kieran, 1983, 1985, 1988 y
1992, Lewis, 1980); y, formales (O'Brien, 1980, Filloy y Rojano, 1984, 1985 a y
1985 b); b) el reconocimiento y uso de estructuras (Wagner y otros autores,
1984; Kieran, 1980, 1984, 1989), y, c) las dificultades y errores en el aprendiza­je
de las ecuaciones (Wagner, Rachlin, y Jensen, 1984).
Finalizamos la referencia a la bibliografía revisada con la relativa al desa­rrollo
curricular. Desde el punto de vista curricular, hasta finales de los 80
existen cuatro interpretaciones del álgebra para utilizarlas en la elaboración del
curriculum de la misma y que han sido expresadas en el libro "Iniciación al
álgebra" (Socas, Palarea y otros, 1989) y que son: a) aritmética generalizada,
b) resolución de ecuaciones; c) álgebra funcional y d) álgebra estructural. Sin
embargo, en estos últimos años ha habido gran profusión de investigación de la
cual citamos el trabajo de finales de los 90 de Bednarz, Kieran, y Lee (1996)
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que sugiere asimismo cuatro aproximaciones a la enseñanza del álgebra en la
escuela secundaria, denominadas: a) generalización, b) resolución de proble­mas,
c) modelización, y, d) funciones.
Marco conceptual
El problema y los objetivos de esta investigación se desarrollan en un mar­co
conceptual, que considera los signos con significado algebraico, la noción
de comprensión y los sistemas de representación y las dificultades, obstáculos
y errores en el aprendizaje del álgebra.
Los signos con significado algebraico
Para que el método algebraico se pueda incorporar como algo natural, es
necesario que, además de cambiar los símbolos, se produzca un cambio en su
significado, es decir, que no se haga solamente una sustitución de los números
por letras, sino que se realice el paso de números a variables y para ello hay
que realizar un cambio, tanto de símbolos como de significado. A menudo, el
cambio se produce únicamente en los símbolos y sólo se realiza el paso de
números a letras.
Muchas de las dificultades que se manifiestan en los alumnos son debidas
a la significación que poseen las letras (uso y significado de las mismas).
Küchemann (1981) identifica seis categorías en el uso de las mismas: 1) eva­luada;
2) ignorada, no utilizada; 3) como objeto; 4) como incógnita específica;
5) como número generalizado y 6) como variab1e.
En el caso del signo igual ( =) las repercusiones didácticas tienen mucha
importancia. Con referencia al signo igual, sabemos que hay muchas situacio­nes
en las que las notaciones algebraicas y aritméticas tienen apariencia simi­lar
pero significados muy diferentes y esto hace que sea muy difícil distinguir
unas de otras .. En aritmética se entiende como una acción física. Es usado
para conectar un problema con su resultado numérico; se utiliza casi siempre
con carácter unidireccional, a la izquierda se indica la operación y a la derecha
se pone el resultado numérico.Los alumnos trasladan, a veces, este significado
del signo "=" al álgebra y lo confunden con el "=" de la ecuación.
En los procesos de sustitución formal que conducen de "3 x 5 = 5 x 3" a
"a . b = b . a", o la verificación de que x2
- 5 x + 6 = O", es satisfecha por
x = 3, son procesos formales. La sustitución formal, sin embargo, se extiende
más allá. De la identidad (a + b) . (a - b) = a2 - b2, al reemplazar "a" por
"a + c" y "b" por "b + d", se obtiene, "(a + c + b + d) (a + c - b - d ) =
(a+ c )2 - (b + d)2
", donde variables de una expresión son sustituidas por expre­siones
más complejas que son nuevamente variables.
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 9
Estas transformaciones algebraicas constituyen un poderoso instrumento de
cálculo algebraico que está a mitad de camino entre lo puramente formal y un
conocimiento explícito de su significado.
La sustitución formal es un instrumento de cálculo algebraico importante a
causa de su amplio campo de aplicaciones, que se manifiesta en diferentes
procesos matemáticos tales como: generalización (términos numéricos son re­emplazados
por variables), simplificación (expresiones parciales son reempla­zadas
por variables en una expresión dada), eliminación (variables implicadas
en una sustitución son suprimidas), complicación estructural (en una expresión
variables son reemplazadas por expresiones dadas), y particularización (varia­bles
son reemplazadas por números para verificar ciertas expresiones).
Por último, con referencia a los símbolos de las operaciones expresa­mos
que los símbolos son un recurso que permite denotar y manipular abstrac­ciones.
Es necesario el reconocimiento de la naturaleza y significado de los
símbolos para poder comprender cómo operar con ellos y cómo interpretar los
resultados. Este conocimiento les permitirá la transferencia de conocimiento
aritmético hasta el álgebra, aceptando las diferencias entre ambos. En aritmé­tica
los signos de operación indican una acción que se va a realizar con núme­ros,
y que da como resultado otro número, por tanto, dar un significado a estos
signos, es dar un procedimiento que permita llegar a la respuesta. En álgebra
tienen un carácter de "representación", ya que indican operaciones que no
siempre tienen por qué realizarse y pueden quedar indicadas como operacio­nes
"en potencia". Por tanto, el estudiante necesita ampliar el concepto de
notación usado para las operaciones aritméticas.
La noción de comprensión y los sistemas de representación
Desde el punto de vista de la Didáctica de las Matemáticas hay dos-pre­guntas
básicas que se plantean cada vez de forma más acuciante: ¿Qué proce­dimientos
espontáneos utilizamos para matematizar? ¿Cómo hacer Matemáti­cas
de forma que sea un lenguaje semántico, o sea, que digan algo, que nos den
información sobre el mundo que nos rodea?
Resnick y Ford (1981) dedican una gran parte de su libro a justificar la
importancia de desarrollar las Matemáticas como comprensión conceptual fren­te
a las ideas asociacionistas que desarrollaban una Matemática como cálculo.
La comprensión es asimismo un tema intensamente tratado por los psicólo­gos
y relacionado con la competencia intelectual (Nickerson, Perkins y Smith,
1987) y, a su vez, con las representaciones.
Diferentes han sido las interpretaciones dadas a'la palabra representación
en relación al aprendizaje, a la enseñanza y al desarrollo de las Matemáticas.
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Las representaciones y su papel en el aprendizaje de las Matemáticas cons­tituyen
una importante línea de investigación (Resnick y Ford, 1981 ), justifica­da
fundamentalmente por dos razones: por las propias Matemáticas, en las que
las representaciones son algo inherente a ellas, y otra razón de tipo psicológico,
ya que las representaciones mejoran notablemente la comprensión en los alum­nos
(Paivio, 1978; De Vega, 1984).
Destacamo~, por ello, la importancia de las representaciones para la forma­ción
adecuada de conceptos; en este sentido diversos investigadores, Janvier
(1987), Hiebert (1988), Kaput (1987, 1991), Duval (1993, 1995), han realizado
experimentos y desarrollado aspectos teóricos, con la intención de aclarar los
mecanismos de articulación que se dan dentro de un proceso de comprensión
del conocimiento.
Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje del álgebra
El aprendizaje del álgebra escolar genera en los alumnos muchas dificulta­des
de naturaleza diferente que tienen que ver con la complejidad de los obje­tos
del álgebra, con los procesos de pensamiento algebraico, con el desarrollo
cognitivo de los alumnos, con los métodos de enseñanza y con actitudes afectivas
y emocionales hacia el álgebra y que se conectan y refuerzan en redes com­plejas
que se concretan en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan
en los alumnos, mediante errores.
Dificultades
Pueden abordarse desde varias perspectivas.
Asociadas a la complejidad de los objetos del álgebra. Éstos operan a
dos niveles, el nivel semántico - los signos son dados con un significado claro y
preciso-, y el nivel sintáctico - los signos pueden ser operados mediante reglas
sin referencia directa a ningún significado -. Estos dos aspectos son los que
ponen de manifiesto la naturaleza abstracta y la complejidad de los conceptos
matemáticos.
Asociadas a los procesos de pensamiento en álgebra. Se ponen de
manifiesto en la naturaleza lógica del álgebra y en las rupturas que se dan
necesariamente en relación a los modos de pensamiento algebraico.
Asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendiza­je
del álgebra. Tienen que ver con la institución escolar, con el currículo y con
los métodos de enseñanza de la misma.
Asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos.
Tienen que ver con los estadios generales del desarrollo intelectual, represen­tado
cada uno de ellos por un modo característico de razonamiento y por unas
tareas específicas de álgebra que los alumnos son capaces de hacer.
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 11
Asociadas a actitudes afectivas y emocionales sabemos de las dificul­tades
de muchos estudiantes hacia el álgebra. Por ejemplo, muchos tienen
sentimientos de tensión y miedo hacia el álgebra.
Obstáculos
La consideración que se hace de obstáculo es la de un conocimiento adqui­rido,
no una falta de conocimiento, es algo que se conoce positivamente, o sea,
está constituyendo un conocimiento. Tiene un dominio de eficacia. El alumno
lo utiliza para producir respuestas adaptadas en un cierto contexto en el que el
dominio de ese conocimiento es eficaz y adecuado. Cuando se usa este cono­cimiento
fuera de ese contexto genera respuestas inadecuadas, incluso inco­rrectas;
el dominio resulta falso.
Es resistente, y resultará más resistente cuanto mejor adquirido esté, o
cuanto más haya demostrado su eficacia y su potencia en el anterior dominio
de validez. Es indispensable identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo
saber. Después de haber notado su inexactitud, continúa manifestándolo
esporádicamente.
La reflexión sobre las investigaciones relacionadas con este tema
(Bachelard, 1938, Brousseau, 1983, Herscovics, 1989, Tall, 1989, entre otros),
ha permitido hacer una propuesta de organización posible y útil de los obstácu­los:
OBSTÁCULOS
EPISTEMOLóG- r-e-o-s- -
¡__--..
OBSTÁCULOS
DIDÁCTICOS
1"-
1/
OBSTÁCULOS
~OGNITIVOS
Sabemos que el desarrollo del pensamiento matemático está lleno de obs­táculos
caracterizados como epistemológicos. Sin embargo éstos no están
especificados en términos de experiencia de enseñanzas regladas y organiza­das
en el sistema educativo; no obstante, aceptamos que tales organizaciones
de las Matemáticas en el sistema escolar pueden originar obstáculos que pode­mos
caracterizar como didácticos. Ahora bien, la adquisición por parte del
alumno de nuevos esquemas conceptuales, está salpicado de obstáculos que
podemos considerar cognitivos.
La presencia de obstáculos epistemológicos fuera de los obstáculos
cognitivos, se justifica por la impresión de que los obstáculos epistemológicos
deben su existencia a la aparición y resistencia de ciertos conceptos matemá-
12 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
ticos a lo largo de la historia, así como la observación de conceptos análogos
en los alumnos, más que a la confirmación de la resistencia de esas concepcio- '
nes en los alumnos de hoy. Esta condición parece esencial, por la disparidad de
las normas que rigen la construcción del conocimiento matemático en la histo­ria
y la construcción del conocimiento matemático en el contexto escolar; el
análisis histórico puede ayudar al didáctico en su búsqueda de núcleos de re­sistencia
al aprendizaje matemático, pero no puede, en ningún caso, aportar
por sí solo la prueba de la existencia de tal o cual obstáculo para los alumnos.
Errores
Basándonos en la revisión de las investigaciones (Matz, 1980, Booth, 1984,
entre otros) y de los resultados de nuestros estudios empíricos, se elaboró la
siguiente organización de los errores:
1) Errores del álgebra que están en la aritmética: relativos al mal uso de la
propiedad distributiva, relativos al uso de recíprocos, y relativos a la cance­lación.
2) Errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje
algebraico, como son los que proceden del mal uso del signo "=" y de la
sustitución formal.
Marco teórico local
Se organizó un marco teórico local aceptando la importancia de las fuentes
de significado para el aprendizaje del álgebra. Se reorganizan las fuentes de
significado de Kaput ( 1987) y se hace una interpretación particular de la Tesis
de Duval, (1993) tomando su noción de comprensión, se articularon cuatro
sistemas de representación, habitual, aritmético, algebraico y geométrico y no
sólo dos como había utilizado el Profesor Duval.
Remitimos a los trabajos (Palarea y Socas, 1994 b y Socas y Palarea,
1997), acerca de la necesidad de ampliar las fuentes de significado para el
lenguaje algebraico a SRS (Sistemas de Representación Semióticos) de proce­dencia
visual (registros geométricos) y a considerar las letras con sentido
algebraico, como cantidad de una magnitud geométrica.
Se organizaron los registros para el álgebra de la siguiente forma:
Registros formales
(SRS formal algebraico)
/
·Registros geométricos
(SRS visual geométrico)
Números y operaciones
(SRS formal aritmético)
·~ . . .
Situacíones reales que
involucran cantidades y relaciones
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 13
Se ha modelizado mediante una representación trapezoidal para indicar la
as.imetría de los diferentes registros. La base mayor del trapecio corresponde
a s,istemas de representación semióticos analógicos, con fuerte componente
semántica y la base menor corresponde a sistemas de representación semióticos
de carácter digital.
En términos de la tesis de Duval el SRSVG (sistema de representación
semiótico visual/geométrico) interacciona con el sistema de representación
Semiótico Formal Algebraico (SRSFA) de la siguiente manera:
Transfor­mación
Objeto cognitivo representado
Representación mental
i j Serniosis
SRS
Visual-geométrico
(analógico)
(semántico-sintáctico)
Noesis
Representación mental
Conversión
Conversión
i j Serniosis
SRS
Formal algebraico
(digital)
(semántico-sintáctico)
~~' _OLbje-to m~atemátIico /. / /
(Palarea-Socas, 1997)
Transfor­mación
La conexión se articula en estrategias de enseñanza que parten de situa­ciones
reales que utilizan el sistema de representación habitual para alcanzar
la comprensión cualitativa del problema, de modo que el desarrollo de situacio­nes
numéricas o geométricas, determinan un primer nivel de generalización,
para, en un segundo nivel de generalización (aritmética generalizada), alcanzar
la comprensión conceptual del problema.
En esta investigación con relación a las expresiones algebraicas se ha
utilizado el objeto geométrico como registro de álgebra asociado a la idea de
área y se han establecido convenios para la representación de cada término de
las expresiones algebraicas por un rectángulo. También se incrementa las fuen­tes
de significado en el sistema de representación visual/geométrico (SRVG),
utilizando como situación intermedia entre el modelo geométrico y el algebraico,
un registro mixto, visual/formal, diagrama de doble entrada, que denominamos
14 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
"visualización simplificada".
Los sistemas de representación utilizados en el trabajo relacionado con
ecuaciones son: el SRVG y sistema de representación de equilibrio con la
balanza (SREB) que consideramos autosuficientes, (Palarea y Socas, 1994).
Los sistemas semióticos de representación, SRVG y SREB, se pueden
caracterizar como sistemas semióticos según Duval (1993) porque:
SRVG SREB
1) Permite comparar áreas de rec- 1) Cada miembro de la ecuación pue-tángulos;
se presenta la ecuación de ser representado en cada uno
como áreas equivalentes en los de los platillos.
dos miembros. 2) Se pueden realizar transformacio-
2) Permite transformaciones dentro nes, ya que se puede añadir o qui-de
la representación al poderse tar la misma cantidad a ambos
sumar áreas y restar en ambos platillos, y el equilibrio se mantie-miembros
consiguiendo nuevos ne (ley de monotonía de la suma).
pares de áreas equivalentes. 3) El contenido de cada platillo per-
3) Permite que el área de cada rec- mite hacer conversiones a otros
tángulo pueda ser sustituido por sistemas semióticos como puede
una expresión algebraica y así ser el algebraico mediante núme-realizar
conversiones entre este ros y letras; esto podría hacerse
sistema y el formal algebraico. sustítuyendo datos conocidos (pe-
Cada término de las expresiones sas, monedas, etc.) por números,
algebraicas está representado por el número de objetos o el número
el área de un rectángulo. de datos desconocidos también
por números, y, los datos deseo-nocidos
por letras.
Problema de investigación
En este marco, el problema de la investigación se ha centrado en:
• La detección de errores analizando las dificultades y obstáculos que tienen
los alumnos de la ESO para comprender y trabajar con objetos matemáti­cos
relativos al pensamiento algebraico.
• El estudio de las habilidades cognitivas operacionales y conceptuales en los
procesos de adquisición y uso del lenguaje algebraico.
• El estudio del uso y comprensión de los registros o sistemas de representa­ción
utilizados en dos tópicos concretos: expresiones algebraicas y
ecuaciones lineales.
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 15
Para dar respuesta a este estudio en la investigación se plantearon los
cinco objetivos ya indicados en la introducción.
Diseño y metodología de la investigación
La investigación no se enmarca en un paradigma único, sino que se sitúa
entre dos perspectivas: a) La interpretativa y b) La analítica y pretende una
complementación entre ambos paradigmas. Por eso se conjuga el diseño de
instrucción, con el diseño de un test de habilidades algebraicas, así como el
diseño de protocolos no cerrados para entrevistas estructuradas con los alum­nos
seleccionados.
Se trata de una investigación aplicada en la que se intenta resolver un
problema práctico, la búsqueda de causas que originan las dificultades en el
inicio del aprendizaje del álgebra desde tres ámbitos diferentes: cognitivo,
curricular y de implementación didáctica, con el fin de transformar las condi­ciones
de la acción didáctica y mejorar la calidad educativa.
Se propone establecer las dificultades que plantea y las posibilidades que
tiene una propuesta inicial de enseñanza/aprendizaje del Álgebra, desde la pers­pectiva
global, que incorpora diferentes registros yuxtapuestos, como el SRVG
y el SREB. Al tener como uno de los problemas de estudio las habilidades
cognitivas operacionales y conceptuales en los procesos de adquisición y uso
del lenguaje algebraico y del uso y comprensión de los sistemas de representa­ción,
utilizados en el marco de una situación de enseñanza ha sido necesario
elaborar de un sistema de Categorías que permita analizar los contenidos desa­rrollados
en el aula y valorar la comprensión de los alumnos con relación a los
mismos.
Focos, etapas y fases de la investigación
Para conseguir los objetivos generales planteados en este trabajo se ha
dirigido la investigación hacia tres focos.
El foco 1 se centra en la búsqueda de las diferentes causas que originan las
dificultades que los alumnos manifiestan en el uso del lenguaje algebraico, en
general, y en el paso de la aritmética al álgebra para los alumnos de 12 - 13
años. Se analizan: las propuestas curriculares oficiales y libros de texto; las
dificultades observadas en múltiples investigaciones; el tipo de habilidades
operacionales y conceptuales que manifiestan los alumnos en el trabajo en el
lenguaje algebraico (se utiliza como material sus textos y se elabora un primer
cuestionario); las dificultades operacionales y conceptuales que manifiestan
los alumnos en el trabajo en el lenguaje algebraico; la influencia de los métodos
y procedimientos de estudio del lenguaje algebraico que practican los alumnos;
y, las posibilidades que tienen otras representaciones semiótic'as para el trabajo
16 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
con el lenguaje algebraico.
Los procedimientos de recogida de información son en un principio la ad­ministración
de cuestionarios a diferentes poblaciones, y luego, la elaboración
de un pre-postest.
El foco 11 hace referencia a: análisis de las potencialidades y dificultades
que aportan los modelos DISEA (diseño de instrucción para las expresiones
algebraicas) y DISEC (diseño de instrucción para las ecuaciones) en la intro­ducción
a las expresiones algebraicas y al planteamiento y resolución de
ecuaciones algebraicas; análisis de las actitudes de los alumnos de 12 a 14
años, con relación a la Matemática y al lenguaje algebraico; la elaboración de
un test que permite diagnosticar la situación de los alumnos con relación al
lenguaje algebraico.
Los modelos DISEA y DISEC permiten situar al alumno en el uso de
diferentes sistemas de representación (Duval) y diferentes fuentes de signifi­cado
(Kaput), en un marco constructivista del aprendizaje del lenguaje
algebraico, lo que nos facilitará la observación, análisis y valoración de las
influencias del modelo, y las dificultades, obstáculos y errores que tienen los
alumnos, en el proceso de enseñanza/aprendizaje del álgebra.
El foco 111 vuelve a estar centrado en el análisis de potencialidades y
dificultades que aporta el modelo DISEA en el trabajo con expresiones
algebraicas con alumnos de 8º (no se consideran las ecuaciones); y, por otra,
se retoma la construcción del test y se valida, utilizando con pequeñas modifi­caciones
el de la investigación anterior.
Se vuelve a realizar un segunda investigación sobre expresiones algebraicas
con la intención de profundizar en aspectos tales como: respuestas abiertas,
operaciones, conversiones entre los diferentes registros, etc., y añadimos dos
aspectos que en el trabajo anterior no se habían contemplado suficientemente:
el uso de paréntesis y las sustituciones formales, aspectos asociados en el
trabajo en álgebra.
Esta investigación se ha desarrollado en cuatro etapas durante los cursos
comprendidos entre 1988 y 1998: ia (88-90); 2ª (90-94), que corresponde al
trabajo de los dos primeros focos de investigación señalados; 3ª (94-96), co­rrespondiente
al desarrollo del Foco III y 4ª (96-98), de análisis y organización
de la globalidad de los datos.
Las etapas comprenden el proceso completo de toda la investigación son:
1 ª, en ella se realiza el diseño del proceso de investigación: comienza con una
primera intuición acerca de lo que se pretende investigar y se inicia la revisión
bibliográfica y curricular y la preparación de las experiencias exploratorias; 2ª,
se inicia el desarrollo de las experiencias exploratorias. Con,el apoyo de la
revisión bibliográfica y las experiencias exploratorias se va delimitando el área
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 17
de trabajo hasta llegar al planteamiento concreto del problema que se trata.
Esta fase comprende también la elaboración de marcos teóricos (modelos de
competencias) y la definición de todo el proceso de investigación. Se realiza en
esta fase la primera implementación del diseño de aula; 3ª, comprende el desa­rrollo
de la investigación, que abarca el montaje de un diseño experimental
definitivo que comprende: elección del centro para la experiencia; elección de
una población estudiantiJ bajo un sistema de enseñanza determinado; plantea­miento
del tema de estudio a la dirección del centro elegido, a la profesora del
aula y a los alumnos directamente implicados; aplicación de un cuestionario a
la población seleccionada para analizar la asimilación y comprensión por parte
del sujeto del conocimiento escolarizado relativo al álgebra; la implementación
del diseño de instrucción por el didacta en el aula; la realización de
audiograbaciones; aplicación del mismo cuestionario que el administrado antes
del desarrollo de la instrucción; selección de alumnos para ser entrevistados,
en base a los resultados obtenidos en los cuestionarios y en su desarrollo en el
aula de clase y, realización de las entrevistas, y 4ª que corresponde al periodo
de análisis y discusión de los datos obtenidos tanto de la clase como grupo
como el del estudio de los casos singulares. El último periodo de esta etapa
comprende la redacción de la Memoria de la investigación.
Población
Las etapas, focos y fases se desarrollan en la Isla de Tenerife, en tres
Centros (dos públicos y uno privado-concertado) que están situados en la Ciu­dad
de La Laguna y Tejina, y han proporcionado 13 aulas para investigar.
Anteriormente se había realizado una prueba con alumnos de varios centros de
diferentes niveles y países. El número total de sujetos es de 455.
Técnicas de recogida de datos
Las técnicas de recogidas de datos se agrupan en tomo a los estudios
cuantitativo y cualitativo, resultando: a) los cuestionarios y test para el cuanti­tativo,
y, b) las audiograbaciones y las entrevistas individuales videograbadas,
para analizar las habilidades conceptuales y operacionales de los alumnos du­rante
la adquisición del lenguaje algebraico, para el cualitativo.
Diseño de instrucción
El diseño de instrucción se enmarca dentro de una propuesta de enseñanza
del álgebra que parte de la aceptación de la tesis de Duval (1993) en el sentido
que un objeto algebraico difícilmente puede interiorizarse sin reunir diversas
representaciones del mismo, y de dotar a estos sistemas de representación de
diferentes fuentes de significado, en el sentido de Kaput (l 9S7).
18 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
Se justifica en base a que en Matemáticas, al estar los conceptos fuerte­mente
jerarquizados, las conexiones entre los diferentes sistemas de represen­tación
generan "esquemas" mentales que facilitan la comprensión de estas
abstracciones y permiten progresar en la adquisición de nuevos objetos. La
manipulación por parte de los estudiantes de representaciones matemáticas
que les proporcionan los medios para construir imágenes mentales de un objeto
matemático y la riqueza de la imagen del objeto construido dependerá de las
representaciones que el sujeto haya utilizado. Además al relacionar los siste­mas
de representación entre sí se construye un mejor entendimiento entre
ellos. Asimismo el estudiante podrá adquirir confianza en su propia capacidad
para utilizar ideas algebraicas.
Este diseño de instrucción propone: a) realizar la instrucción en términos
de conversión entre los cuatro sistemas de representación: habitual, aritmético,
algebraico y geométrico, y b) ampliar las fuentes de significados para el len­guaje
algebraico a SRS de procedencia visual (registros geométricos), consi­derando
las letras con sentido algebraico, como cantidad de una magnitud
geométrica, como se ha indicado anteriormente en el apartado de "marco teó­rico
local".
Construido dentro del Marco Teórico indicado tiene un enfoque sintáctico -
semántico apoyándose en los sistemas de representación visual-geométrico y
el de la balanza, que actúan en yuxtaposición al sistema de representación
formal algebraico y plantea la enseñanza-aprendizaje de Álgebra en términos
de conversión de registros. Aborda, como el resto de la investigación, el paso
del pensamiento aritmético (lenguaje aritmético) al pensamiento algebraico (len­guaje
algebraico).
El sistema categorial.
El sistema categorial que se ha establecido está en torno a: Categorías de
implementación didáctica (CID) para analizar el aula; Categorías de contenido
algebraico (CCA) para analizar los contenidos desarrollados y Categorías de
Habilidades Algebraicas (CHA) que permiten analizar y valorar la compren­sión
de los alumnos de los contenidos desarrollados.
Las categorías de implementación didáctica (CID) se organizan, de
acuerdo con el modelo de enseñanza/aprendizaje, según la siguiente tabla:
_ I
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 19
Fases del proceso de Categorías de Implementación Didáctica (CID)
enseñanza/aprendizaje
Profesor Alumno
Presentación/observación. Motivación. Cuestiones o preguntas
Exposición. de los alumnos.
Respuestas de los alumnos.
Exploración/indagación. Cuestiones o preguntas Cuestiones o preguntas
del Profesor. de los alumnos.
Respuestas del Profesor. Respuestas de los alumnos.
Representaciones semióticas. Actividades. Respuestas de los alumnos.
Representaciones mentales. Cuestiones o preguntas Cuestiones o preguntas
del Profesor. de los alumnos.
Respuestas del Profesor. Interacciones.
Interacciones.
Integración. Síntesis. Respuestas de los alumnos.
Reflexión. Interacciones.
Con las categorías de contenido algebraico (CCA), analizamos y orga­nizamos
la estructura específica de los conocimientos algebraicos a tratar y la
secuencia de enseñanza que los desarrolla. Son útiles tanto para la organiza­ción
previa del trabajo del profesor como para la puesta en práctica del mismo,
marcando distintos pasos en la articulación de los contenidos que permite por
tanto una planificación inicial y, posteriormente, analizar el desarrollo del con­tenido
en la clase, lo que hace posible no sólo comparar las fases de planifica­ción
y desarrollo sino sacar conclusiones para la organización curricular del
tema tratado.
Los contenidos a tratar en esta investigación se organizan en torno a dos
tópicos: expresiones algebraicas y planteo y resolución de ecuaciones lineales
con una Ülcógnita, a los que se han asignado categorías que son las indicadas
en la tabla siguiente.
20
Categorías de contenido algebraico
(CCA)
Expresiones algebraicas
Contenido:
- Expresiones numéricas y
algebraicas.
- Representaciones semióticas.
- Operaciones con expresiones numé-ricas
y algebraicas.
- Propiedades: distributiva.
- Sustitución formal con textos aditi-vos
y multiplicativos.
- Expresión mediante variables (le­tras)
propiedades o relaciones.
- Valor numérico de expresiones
algebraicas.
Categorías:
-U so e interpretación de letras.
- Uso e interpretación de signos.
- Representaciones semióticas
- Operatividad Básica.
- Cálculos.
Mª de las Mercedes, Palarea Medina
Categorías de contenido algebraico
(CCA)
Ecuaciones lineales
Contenido:
- Plantear ecuaciones en diferentes re­gistros.
- Resolución de ecuaciones dadas en
diferentes registros.
- Plantear y resolver ecuaciones en pro­blemas
de enunciado verbal.
Categorías:
- Uso e interpretación de los signos y
las letras: Signo igual, signo negativo
en los coefiCientes de la ecuación.
- Representaciones semióticas: Len­guaje
Habitual, Sistema de Represen­tación
Visual Geométrico, Sistema de
representación del equilibrio con la
Balanza y Representación Formal.
- Procedimientos de resolución de
ecuaciones lineales con una incógni­ta:
Procedimientos de resolución en:
"x + b = c" , "a x = b" y
"ax+ b = c Jt + d".
- Reconocimiento e interpretación de
estructur~ : · Reconocimiento e inter­pretación
de expresiones equivalen­tes
expresadas en el mismo y en dis­tintos
registros. Reconocimiento e in­terpretación
de las soluciones (posi­tivas
y negativas).
Asimismo para analizar la comprensión de las expresiones algebraicas y la
resolución de ecuaciones, establecemos las categorías de habilidades
algebraicas.
Frente a las propuestas de enseñanza/aprendizaje del Álgebra basadas es­pecialmente
en procedimientos algorítmicos, proponemos una enseñanza/apren­dizaje
que conjugue tanto la representación conceptual como de procedimien­to,
en un marco de interpretación del Álgebra como lenguaje. Por ello las cate-
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 21
gorías de habilidades algebraicas, se organizan en torno a los dos núcleos:
Expresiones Algebraicas y Ecuaciones Lineales. Las categorías se han con­cretado
en sus descriptores que facilitan el análisis de las mismas, y que son:
Habilidades cognitivas de carácter operacional (HCCO) y Habilidades cognitivas
de carácter conceptual (HCCC) y que permiten estudiar la comprensión, tanto
de los aspectos conceptuales como de procedimiento, así como las interacciones
entre ambos.
Las Categorías de habilidades algebraicas para expresiones
algebraicas y ecuaciones son:
HCCO:
Expresiones
1 Algebraicas
0 1 Realizar opera­ciones
aritméticas en
general o con letras
sin utilizar parénte­sis.
0 2 Realizar opera­ciones
con paréntesis
en contextos aditivos
y multiplicativos,
con especial atención
a las denotaciones del
paréntesis
0 3 Hacer sustitucio­nes
formales referi­das
tanto a los proce­sos
de particularizar
como a generalizar.
HCCC:
Expresiones
Algebraicas
e1 Hacer conversio­nes
entre los diferen­tes
registros, con es­pecial
atención a las
designaciones del pa­réntesis
en el registro
formal.
e2 Contextualizar el
lenguaje algebraico en
general y en particular
las letras como obje­tos
geométricos y
como número gene­ralizado
en contextos
de área y perímetro.
e3 Interpretar y com­prender
el significado
de los signos, las le­tras
y de las expresio­nes
algebraicas, inclu­yendo
en particular el
uso del signo igual.
HCCO:
Ecuaciones
O 1 U so de las reglas
de transformación.
0 2 Procedimientos
de resolución en
"x+ b=c"
0 3 Procedimientos
de resolución en
"ax=b" .
O 4 Procedimientos
de resolución en
"ax+ b=cx +d" .
O 5 Signos negativos
en los coeficientes de
la ecuación.
O 6 Comprobación e
interpretación de las
soluciones de la
ecuación (positivas
y negativas).
HCCC:
Ecuaciones
e1 Conversiones del
lenguaje habitual al
SRVG.
e2 Conversiones del
lenguaje habitual al
SREB.
e3 Conversiones del
lenguaje habitual al
lenguaje algebraico.
e 4 Conversiones del
lenguaje algebraico al
SRVG.
es Conversiones del
lenguaje algebraico al
SREB.
e6 Reconocimiento
de expresiones equi­valentes
expresadas
en distintos lenguajes.
e1 Interpretación y
comprensión del sig-no,
, " "
22 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
Las categorías han sido caracterizadas cada una de ellas por una serie de
descriptores. A modo de ejemplo indicamos los descriptores de la categoría C1
de HCCC (Hacer conversiones entre los diferentes registros, con especial
atención a las designaciones del paréntesis en el registro formal) para expre­siones
algebraicas y que son:
Registros de representación: Modos de conversión entre los diferentes
registros; Traducción secuencial de acciones y relaciones dadas en un registro
(verbal); Otros; Utilización de registros personales o numéricos; Concordancia
o no con las transformaciones en un registro y sus conversiones en el otro
registro; La visualización simplificada como un registro intermedio; Las repre­sentaciones
en el SRVG.
Conclusiones
En esta investigación hemos obtenido algunas conclusiones que agrupamos
para su presentación en: a) conclusiones generales relativas a la metodología e
instrumentos utilizados y b) conclusiones específicas referidas a los objetivos
de la investigación.
(a) Conclusiones generales relativas a la metodología e instrumentos uti­lizados.
• La elaboración de un marco teórico local, de un triple sistema de catego­rías,
de diseños de instrucción para expresiones algebraicas y ecuaciones
(DISEA y DISEC), de los instrumentos de evaluación de carácter local y
los test de actitudes para las Matemáticas y el Álgebra, nos ha permitido
configurar un instrumento de análisis y valoración para las relaciones que
se producen en el sistema didáctico profesor-alumno-contenido, al traba­jar
las expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones.
• El sistema de Categorías para la implementación didáctica ha hechQ posi­ble
organizar, analizar y valorar el diseño y desarrollo de los DISEA y
DISEC.
• El desarrollo y evaluación de los DISEA y DISEC elaborados han mos­trado
su viabilidad didáctica y su potencial para investigar sobre la com­prensión
del lenguaje algebraico en términos de habilidades cognitivas de
carácter operacional y conceptual y analizar las dificultades, obstáculos y
errores en el aprendizaje del mismo.
• Los instrumentos de evaluación de carácter local para las expresiones
algebraicas y ecuaciones lineales con una incógnita y la elaboración y
validación de un test general para el lenguaje algebraico nos ha posibilita­do
el análisis de las habilidades cognitivas.
• Las escalas de actitudes para las Matemáticas y el Álgebra también han
permitido estudiar la actitud de los alumnos hacia dichas materias.
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 23
Las técnicas de enseñanza y estrategias de intervención utilizadas nos han
permitido la observación de las interacciones que aportan, referidas a:
- Habilidades cognitivas de carácter operacional, habilidades cognitivas de
carácter conceptual y habilidades metacognitivas.
- Desarrollar actitudes positivas hacia las Matemáticas y hacia el Álgebra
que están relacionadas con la significación del planteamiento de este tra­bajo.
(b) Conclusiones específicas referidas a los objetivos de la investigación.
Con relación al primer objetivo podemos señalar tres conclusiones básicas:
1) Que la presencia de otro registro, entre el registro numérico y el registro
algebraico, con la propiedad de ser autosuficiente, no crea, aparentemente,
problemas cognitivos. 2) El planteamiento diseñado ayuda a los alumnos a
desarrollar significados para las expresiones algebraicas y para las ecuaciones,
pero ello no conduce, aparentemente, a desarrollos espontáneos para la sin­taxis
de las expresiones algebraicas y ecuaciones. 3) La necesidad de evitar
en lo posible el enfrentamiento inútil entre las elaboraciones semánticas y
sintácticas, facilitando en los procesos de enseñanza aprendizaje de Álgebra,
tanto unas como otras; pero, para establecer este equilibrio, es necesario po­tenciar
el uso de los sistemas de representación semióticos autosuficientes.
Con relación al segundo objetivo indicamos que se confirma la hipótesis en
el sentido que la utilización de instrumentos de medida no estándares o genéri­cos
sino locales, para investigaciones específicas como los test o cuestionarios
diseñados, favorece el conocimiento de los errores y permite valorar el diseño
implementado.
Con respecto al tercer objetivo el estudio realizado muestra una actitud
positiva hacia las Matemáticas en los cursos 7º y 8º. Sin embargo, esta actitud,
disminuye al comparar el curso 7º con el 8º. La actitud hacia el Álgebra es
menos positiva en general, disminuyendo aún más en el curso 8º. En cuanto a
la actitud hacia las Matemáticas (3º a 8º), hemos podido observar cómo avanza
en sentido negativo en los cursos superiores, siendo el cambio más notorio en
8º.
Con los resultados obtenidos en la investigación y en relación al cuarto
objetivo, se evidencia que los errores que cometen los alumnos no se deben al
azar y se propone una nueva organización de los mismos: Errores que tienen su
origen en un obstáculo y errores que tienen su origen en una ausencia de
significado. Estos últimos tienen dos procedencias distintas, las dificultades
asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos y a los procesos de
pensamiento matemático, y las dificultades asociadas a las actitudes afectivas
y emocionales hacia el álgebra, respectivamente.
24 Mª de las Mercedes, Palarea Medina
De los resultados obtenidos por los diferentes instrumentos podemos afir­mar
que se confirma la hipótesis planteada para el objetivo quinto: "un acerca­miento
semiótico al lenguaje algebraico que integre los contextos numérico y
geométrico, en un marco del Álgebra como lenguaje, donde las fuentes de
significado y los sistemas de representación juegan un papel determinante,
constituye el enfoque didáctico más coherente".
Consideraciones finales
A modo de resumen, de la investigación realizada podemos señalar que:
- Los diferentes desarrollos del currículo del álgebra han ignorado el enorme
interés que los SRS tienen en la construcción del conocimiento algebraico y
lo han considerado, en el mejor de los casos, como un añadido al proceso
de conceptualización.
- Los Sistemas de Representación Semióticos ocupan un lugar central en el
aprendizaje del Álgebra donde la habilidad para cambiar de registros
constituye una capacidad matemática esencial.
- La falta de coordinación de registros de las representaciones puede ser el
origen de muchas de las dificultades que presentan nuestros alumnos en
Álgebra y que ponen de manifiesto en los errores que cometen, sobre todo
los que tienen su origen en ausencia de significado y que están relaciona­dos
con las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos algebraicos
y a los procesos de pensamiento algebraico.
Una comprensión mejor de la aprehensión de los objetos matemáticos, es
decir, la construcción de los conceptos y procedimientos matemáticos por
parte de los alumnos, precisa de una teoría del conocimiento que no sólo
organice y articule las redes conceptuales, sino que se apoye en una teoría
de la representación (por ejemplo, Semiosis y Noesis), donde el conoci­miento
del objeto matemático aparece como el invariante de las diferentes
representaciones semióticas.
- Una propuesta de enseñanza/aprendizaje significativa del Álgebra ha de
ser presentada como un lenguaje que admite diferentes sistemas de repre­sentación
que sirven de fuente de significado para la misma.
- Abordar el aprendizaje del lenguaje algebraico desde el uso de diferentes
sistemas de representación semióticos, permite analizar, desde una pers­pectiva
cognitiva, las operaciones, procesos y estrategias que utiliza el alumno
cuando construye este conocimiento, proporcionándole medios que le ayu­den
a reflexionar sobre sus propios procesos cognitivos, además de facili­tar
las interacciones entre el profesor, los estudiantes y el contenido.
La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación 25
Y, por último, Una propuesta curricular basada en los sistemas de repre­sentación
favorecería el clima relacional de la clase, esto es, serían más posi­tivas
las relaciones profesor-alumno, las relaciones de los alumnos entre sí y
mejoraría la disciplina en tanto que existiría un mayor grado de fluidez en el
desarrollo de las tareas.
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Mª de las Mercedes Palarea Medina, profesora titular de la Escuela Universi­taria
de Didáctica de las Matemáticas. Departamento de Análisis Matemático
de la Universidad de La Laguna. Miembro de la Sociedad Canaria "Isaac
Newton" de Profesores de Matemáticas. E-mail: mpalarea@ull.es