Las isometrías y los objetos de las matemáticas en secundaria

              NÚMEROS. Revista de didáctica de las matemáticas
Volumen 36, diciembre de 1998, páginas 35-47
Las isometrías y los objetivos de las matemáticas
en secundaria
Luis Carlos Cachafeiro Chamosa
Resumen
En el trabajo se muestra que las isometrías aportan contenidos conceptua­les
y procesos matemáticos importantes como la descomposición en partes, la
obtención de figuras que satisfacen ciertos requisitos y la destreza espacial.
Utilizamos la simetría para contar el número de poliminós, lo que nos ayuda a
comprender por qué aparecen simetrías en la naturaleza y las obras humanas
allí donde se requiere reducir costos tanto por la vía de usar estructuras ligeras
cómo por la simplificación de su diseño. Vemos que el concepto de simetría ha
tenido importantes repercusiones en la forma de pensar e interpretar la reali­dad
de artistas e intelectuales de todos los tiempos. En definitiva, las isometrías
aportan mucho a unas matemáticas educativas cuando queramos enriquecerlas
con nuevos recursos, estrategias y conexiones con otros campos del conoci­miento.
Abstract
In this paper, it is shown that the isommetries provide important conceptual
contents and also important mathematical procedures such as the decomposi­tion
in pieces, the attainment of shapes which satisfy certain requisites and the
spatial skills. We use the symmetry to count the number of poliominoes. This is
useful to understand why the symmetries appear in the nature and the human
works where it is necessary to reduce costs either by using light structures or
by simplifying the design. We show that the symmetry concept has influenced
the way ofthinking and understanding the reality of artists and intellectuals of
all times. Finally, isommetries contribute a lot to the educational mathematics
when we intend to enrich them by new resources, strategies and connections
with other fields of knowledge.
Introducción
El actual currículum de Matemáticas en el segundo ciclo de la Secundaria
Obligatoria modifica en una parte importante el de B.U.P. Esto es consecuen­cia,
entre otros factores, de la pérdida de importancia del cálculo numérico y
simbólico, de las investigaciones sobre la formación y creación de los concep-
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tos matemáticos en los alumnos, de la espistemología de las matemáticas. Como
consecuencia de ello, se ha venido subrayando últimamente la importancia que
tiene que el alumno sea capaz de matemátizar la realidad, de construir métodos
autónomos de resolución de problemas, de organizar, clasificar, interpretar una
misma realidad bajo diferentes prismas e incluso disciplinas. En este sentido,
en los nuevos objetivos encontramos incluidos aspectos como:
- la introducción de referencias culturales. Naturalmente estas referen­cias
deben ayudar a que los alumnos conozcan mejor su propio entorno,
por ejemplo la matemática que encierran buena parte de las más nota­bles
construcciones artísticas,
- la capacidad de las matemáticas para integrarse en distintos ámbitos del
conocimiento tanto a nivel teórico como práctico observando casos con­cretos
de esta integración en disciplinas del conocimiento científico y
humanístico,
- la creación y uso de estrategias autónomas de resolución de problemas,
de forma que cada alumno pueda escoger ante un problema aquellos
recursos que para él pueden ser más convenientes,
- el trabajo con elementos geométricos tanto sintéticos como métricos y
técnicas como la descomposición de figuras, desplazamientos etc.
Vivimos en un mundo integrado donde será muy importante conocer y va­lorar
los conocimientos de una área en base a otros conocimientos de esa área
pero también de otras áreas, tanto sean del campo científico como no. Estos
nuevos objetivos deben retocar, completar y reemplazar parcialmente los obje­tivos
anteriores, pero no deben contraponerse a ellos como sucedió durante la
etapa de la «matemática moderna» donde se intentaron desterrar muchos de
los métodos, programas y objetivos previos. Una de las razones por las que no
podemos olvidar el «núcleo tradicional» de las matemáticas y que incluye el
cálculo algebraico y la resolución de ecuaciones, proporcionalidad, funciones,
geometría del triángulo es debido a que sin una cierta capacidad de cálculo los
alumnos perderán la posibilidad de expresión y capacidad de interpretar mate­máticamente
la realidad cotidiana. El problema es que la reducción de horas en
la ESO hace prácticamente imposible un cumplimiento mínimamente acepta­ble
de aquellos y estos contenidos.
De cara a incorporar buena parte de los nuevos objetivos en secundaria,
encuentro especialmente interesante el tema de las isometrías en el plano. No
es fácil ver a nuestros alumnos aplicar, ni siquiera indirectamente, la potencia
del razonamiento por simetría. Es un tema muy útil tanto por su relación con
otros contenidos matemáticos y no matemáticos, como por la capacidad de
mostrar recursos que nos permiten resolver o cooperar en la resolución de
gran número de problemas, contribuyendo al uso de un lenguaje coherente. La
Las lsometrías y los objetivos de las matemáticas en secundaria 37
exposición de algunas de las actividades del aula de una unidad de isometrías
en 4° de E.S.O. centrarán lo que sigue de este trabajo.
Una primera cuestión es acerca del grado de formalización de los elemen­tos
de simetría. Creo que deben aprender a usar las notaciones T¡¡ ( A) = A',
Xp,a(B) = B', S,(C) = C', pues considero que es importante que los alumnos
de 4° de E.S.O. utilicen este lenguaje como forma idónea de descripción y
comunicación de los objetos de estudio y manipulación, siendo el dominio del
lenguaje uno de los objetivos más importantes de la enseñanza secundaria.
Traslaciones, Giros e Isometrías en general
Las traslaciones nos permiten introducir directamente la noción de vector,
que aparece expresamente en el currículum de matemáticas en Galicia. Se
familiarizan con la notación y aprenden a trabajar con la composición de
isometrías en un caso simple. Además puede observarse la ventaja que supone
el uso de coordenadas como una forma de comunicación para la descripción
de un vector dado gráficamente.
fig. 1
u y v sin la introducción de coordenadas
2
2
fig . 2
dar las coordenadas de u y de v permite una representación exacta de los
vectores.
38 Luis Carlos Cachafeiro Chamosa
La construcción y notación de los giros es notablemente más compleja que
la de las traslaciones. Además, como en el transportador de ángulos se inclu­yen
ángulos con los dos sentidos de giro es una nueva fuente de errores de los
alumnos menos hábiles con la representación gráfica.
Al realizar la composición de giros y traslaciones aparece un detalle que
para algunos alumnos parece sorprendente y es que la composición de movi­mientos
no es conmutativa. A otros no sólo no les sugiere nada sino que no
distinguen bien una de la otra, confundiendo G A,a · Tu con Tu · G A,a. El proble­ma
de la diversidad en el aula es tan grande y se tiene trabajado tan poco para
mitigarlo que está a recaer casi en exclusiva en el profesorado.
Las isometrías nos dan nuevos métodos y problemas que permitirán desa­rrollar
diferentes capacidades humanas, tanto en la comprensión lingüística,
como para la formación y manejo de imágenes mentales, como en el apoyo al
razonamento inductivo (Stemberg 1986). Un pequeño ejemplo:
1 º Estudia cómo puedes llevar, mediante un giro, los puntos Q en Q' y R en
R'. Centro y ángulo de giro.
Q' R / ~Q
R'
fig3
2º Busca alguna composición de giro y traslación, de forma que el triángulo
ABC vaya en el triángulo A'B 'C'.
B'
C'
e
A' ~ A B
fig4
3° Completa la figura para que tenga simetría de giro de orden 4.
Las lsometrías y los objetivos de las matemáticas en secundaria 39
fig 5
4° Una isometría lleva el punto A de la figura de la derecha en A' y el punto B
en B'. Indica los puntos donde puede encontrarse B'.
B 'I
l('
A
fig6
l('
A'
5º La figura A se encuentra en la posición B después de realizar una isometría.
¿Sabrías decir cuál de las cuatro figuras es ahora la figura C? ¿Qué puedes
decir de los pasos de esa isometría?
A B
•
•
•
e c3 c4
fig 7
40 Luis Carlos Cachafeiro Chamosa
Simetrías respecto a un eje
WOlA,i:f;:LiDE:. éQUi;".
1-lk¡;:S MiRANDO E5E
Cl-lARCO?
figura 8
ASl:CUANDO SE:
E.W>.DORE, CADA
GOríTA LLE.VAl:;>.A:
UN POCO DE Mí
A TODO EL AiRE
DE · LA ciUDAD
El concepto de simetría es uno de los más :fructíferos desarrollados por la
humanidad en toda su historia antigua, moderna y contemporánea. Mediante la
reflexión por simetría se consigue sorprender tanto a los niños como a los
adultos, a los miembros de las sociedades menos desarrolladas como a los de
las más modernas, y creo que esta universalidad se debe a que actúa sobre el
inconsciente que condiciona nuestra forma de sentir la belleza y la armonía,
¡e incluso de razonar! . Son tantos y diversos los ejemplos de su influencia en el
hombre que la enumeración sería imposible. Podemos recordar que el comer­cio
con espejos fue un importante negocio desde la época de los fenicios.
Encontramos la simetría detrás de manifestaciones artísticas tanto en la músi­ca
como literatura, cine y naturalmente en la pintura, la escultura y la arquitec­tura.
Puede sorprendernos la dificultad de algunos alumnos para construir las
simetrías a partir de los instrumentos de dibujo. Esta dificultad se muestra
especialmente en determinadas posiciones de la figura y el eje de simetría. Así,
es frecuente encontrar respuestas que señalan la figura A'B'C'D' como la
simétrica de ABCD respecto de la rectar (figura 9). Grenier [1985] ha proba­do
que esta dificultad tiene múltiples motivaciones y es general a buena parte
de los individuos.
Las Isometrías y los objetivos de las matemáticas en secundaria 41
figura9
Las simetrías invirten el sentido de recorrido de las figuras.
Si recorremos la figura A~B~C~D vamos en el sentido inverso al de las
agujas del reloj, pero en la figura simétrica, al recorrerla en el sentido
A'-'?B'-'?C-'?D' vamos en el mismo sentido de las agujas del reloj.
C' e
B' B
A' A
fig 10
Obtenemos un primer ejemplo de razonamiento por simetría usando sim­plemente
esta propiedad de inversión del recorrido de las figuras para probar
que una simetría no puede conservar como puntos fijos a todos los puntos del
plano. Ninguna figura que tenga algún punto fuera del eje de simetría podrá
conservar todos sus puntos.
Algunas investigaciones realizadas sobre la expresión de la cara, muestran
que la parte izquierda y derecha de nuestro rostro muestran rasgos bien dife­rentes
y por lo tanto no son simétricas. Observamos una imagen un tanto ex­traña
cuando situamos delante nuestra cara un libro de espejos formando un
ángulo de 90º y observamos la reflexión de la reflexión. Lo curioso es que nos
sorprende cuando vemos nuestro rostro ¡tal y cual es!.
42 Luis Carlos Cachafeiro Chamosa
Las simetrías y algunos aspectos del conocimiento
Podemos decir que la simetría es más que un concepto matemático. Se
encuentra en la base de distintas argumentaciones en muchos campos del co­nocimiento
que utilizan la existencia o la falta de existencia de una simetría.
Un curioso ejemplo de ello lo encontramos en la argumentación del «asno de
Buridám> y, aunque se atribuye al filósofio escolástico Buridán, ya Aristóteles
desarrolló una argumentación similar a la siguiente : El asno de Buridán estaba
hambriento y sediento a partes iguales. Para remediar su sed tenía un balde
con agua a su derecha y un montón de paja a su izquierda. ¿Qué haré, se
preguntaba el asno? beberé primero para matar la sedó comeré la paja para
que me pase el hambre?. El asno se encontraba incapaz de actuar ante una
decisión de tanta importancia. Cuando pensaba en comer inmediatamente le
venía la idea de beber y recíprocamente. El asno de Buridán murió
«simétricamente» de hambre y sed.
Los profesores de Matemáticas utilizamos menos veces la simetría en
nuestas argumentaciones de lo que puede llegar a emplearse en el aula. Por
ejemplo, utilizamos una herramienta matemáticamente muy compleja como el
cálculo de derivadas para resolver problemas que se pueden resolver directa­mente
usando las simetrías. Por ejemplo para calcular las medidas de un rec­tángulo
de perímetro 1 m de área máxima.
y
X
fig 11
Este problema típico se resuelve frecuentemente empleando cálculo de
derivadas. Algunos compañerros recuerdan que en la facultad se empleaban
las derivadas parciales para resolverlo [Puig et al 1997].
2x+2y =l. Área(x,y) =x-y.
Como la función Área es simétrica en cada una de las variables y la rela­ción
entre ellas es también simétrica, de existir un extremo éste se presentará
necesariamente cuando x e y coincidan. Por lo tanto 4x= 1, x=0,5. Sólo queda
determinar si ahí la función Área presenta un máximo, un mínimo o es constan-
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te para todos los valores de x e y . Para ello, sólo necesitamos compararlo con
el valor x=O que proporciona área O y por lo tanto el máximo se obtiene para
x=y=0,5.
Puede observarse que este mismo razonamiento puede emplearse para
casos más complejos como el de minimizar 2x +y con x·y=I.
La simetría simplifica muchos problemas que, aparentemente, tienen una
solución compleja. Vamos a ver cómo se relacionó la simetría con la reducción
de costes por la simplificación del proyecto.
Un triminó es una figura formada por tres cuadrados, de forma que todo
cuadrado tiene por lo menos un lado común con otro lado de los cuadrados. Si
son cuatro cuadrados, tenemos un tetraminó. Un pentaminó se construye con
cinco cuadrados. Aumentando el número de cuadrados encontramos los
hexaminós, heptaminós, y para cualquier número de cuadrados tendremos,
en general, los poliminós.
¿Cuántos tetraminós y pentaminós hay? ¿Cuántos hexaminós?.
La tarea de encontrar todos los tetraminós es bien sencilla. Pero la de
construir los pentaminós sin repetir ninguno ni olvidarse de ninguno es bastante
más compleja y ya no digamos la de contar exactamente el número de
hexaminós. Para conseguirlo podemos emplear algunas técnicas que, además,
nos servirán para la resolución de otro tipo de problemas. Entre ellas están las
de:
- pasar de lo más simple a lo más complejo. Así podemos construir todos
los pentaminós a partir de los tetraminós ya construidos,
- dividir y agrupar que es una variante del principio general de «divide y
vencerás». En nuestro caso esta técnica se aplica cuando se observa
que muchas de las formas de obtener un pentaminó a partir de un tetraminó
se repiten y pueden clasificarse.
Aún con estas consideraciones aparece un gran número de pentaminós
repetidos. ¿Conseguiremos determinar el número exacto sin que falte ni se
repita ninguno?. Para no olvidar ninguno, simplemente obtenemos todos los
pentaminós si añadimos uno a cada uno de los tetraminós. Para evitar las
repeticiones, se usan criterios de simetría. Así, utilizando la simetría radial,
podemos observar que desde el tetraminó (1) de la figura 12 sólo se generan
dos pentaminós diferentes y que son mutuamente simétricos uno del otro.
44 Luis Carlos Cachafeiro Chamosa
1
(2) 1 (3)
fig. 12
Empleamos la simetría para no construir nuevamente un pentaminó que ya
ha sido construido. Pero aún más, este par de pentaminós simétricos de arriba
podemos considerarlos como una unidad, ya que uno se obtiene del otro sim­plemente
dándole la vuelta. Todo pentaminó no simétrico tiene uno como él
que es su simétrico respecto de un eje. En los pentaminós simétricos, este
nuevo pentaminó coincide con el mismo
fig. 13
pentaminó simétrico : Sr (P) = P
• •
fig. 14
pentaminó no simétrico : Sr (P) f P
Por cada poliminó no simétrico, hay otro como él pero «dado la vuelta». En
cierta forma uno y otro están ligados por una relación muy fuerte y en muchos
aspectos «forman un unidad». Si generamos los pentaminós a partir de los
tetraminós simétricos y sólo uno por cada par de no simétricos, éstos nos van
a permitir construir todos los pentaminós, con sólo hacer un duplicado de cada
pentaminó no simétricó que aparezca.
Las Jsometrías y los objetivos de las matemáticas en secundaria 45
Esto permite observar que la simetría introduce un elemento de economía
muy notable, ya que con relativamente poca información podemos «recons­truir
» el resto. ¿Cuantos hexaminós hay?. Para calcular su número sólo em­plearemos
un pentaminó por cada par de pentaminós no simétricos: cualquier
cuadrado que se le añada a uno P no simétrico puede obtenerse como el simé~
trico del hexaminó obtenido añadiendo un cuadrado al simétrico de P.
La simetría en la naturaleza.
Podemos decir que la naturaleza suele seguir un principio de economía que
tiene mucho que ver con la simetría: «Todo se desarrolla de forma que su
coste sea el menor posible». ¿A qué se debe la gran cantidad de simetrías de
los seres vivos?. En general podemos decir que se basa en dos motivos de
economía. La primera tiene que ver con la estabilidad de la construcción que
permite reducir costos estructurales. La existencia de simetría es importante
para tener un equilibrio sin grandes costes materiales. La segunda, menos co­nocida,
tiene que ver con la simplicidad de lo que, usando una terminología de
informática, diríamos el «programa» o código preciso para su construcción.
En los seres vivos este programa se encuentra en el código genético for­mado
por la secuencia de aminoácidos en la molécula de ADN. Si considera­mos
animales inferiores, como las medusas y radiolarios, encontramos una
enorme cantidad de elementos de simetría: Por ello, sólo se precisa una canti­dad
insignificante de información genética para que queden completamente
codificados. Otro tanto podemos decir de un pulpo, de un caracol etc. En otros
casos la simetría permite que animales superiores dispongan de dos o más
objetos altamente complejos codificados con la misma información genética
como los ojos y oidos. Los seres vivos más sencillos tienen muchas más sime­trías
que los superiores debido a la mayor especialización de los órganos en
estos últimos. En el reino vegetal se observa una gran simetría en los árboles
gigantes por los motivos de estabilidad [Pape 98].
A nivel de partículas fisicas atómicas subatómicas también encontramos la
simetría. Aparece igualmente en las moléculas más simples como el diamante
y en las complejas como los polímeros, y en los objetos estelares como plane­tas,
estrellas y galaxias [Tarasov 1986]. Se ha conjeturado la existencia de otro
universo de antimateria simétrico de nuestro Universo.
La simetría en el arte
La simetría impregna nuestras construcciones, muebles, obras de arte e
incluso nuestra propia mentalidad (bueno-malo, ángeles y demonios) y conoci­miento
(para el lector de este artículo recordaremos la categoría dual). Por
trabajar en Santiago de Compostela puedo decir que tenemos un buen número
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de ejemplos en nuestra ciudad donde los alumnos pueden estudiar la simetría
directamente en las obras de arte, especialmente en la arquitectura, escultura
y objetos religiosos. Uno de los elementos más curiosos es la triple escalera de
caracol del convento de San Domingos de Bonabal. Esta escalera es una es­calera
<<jerárquica», pues tiene tres escaleras diferentes. El abad podía subir a
sus aposentos sin tropezar con el religioso ni éste con el diácono.
La simetría ha tenido una influencia en el arte muy fuerte y ha servido para
volcar sus ideas sobre los objetos que quería representar. En las elegantes
esculturas griegas se observa una fuerte simetría que dan a su vez una impre­sionante
sensación de soledad. En el Renacimiento la simetría significaba per­fección,
y aunque pretendida no se debía exagerar, para dar una sensación de
acción y realidad pues la perfección total no es de este mundo [lvings 1946].
Como ejemplo de ello tenemos la pintura de La última cena de Leonardo da
Vinci. R. Arheim [1979] ha observado que la simetría perfecta en las obras
pictóricas no produce una sensación completa de equilibrio dado que se miran
de izquierda a derecha. En ocasiones se intenta romper una simetría excesiva
que representa un contenido muy reducido de información dando mayor com-
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plejidad al objeto representado mediante la introducción del color. Un ejemplo
de ello lo vemos en el arte nazarí de la Alhambra de Granada [Ruiz y Perez
1987].
A medio camino entre una conclusión y una continuación del trabajo, pode­mos
decir que hemos visto que las isometrías cubren aspectos importantes del
curriculum y apuntado algunas de las líneas que se pueden trabajar en el aula.
Podemos proponer trabajos sobre formas simétricas complejas (e.g. la sime­tría
helicoidal del caracol), el estudio «por piezas» en los animales superiores,
la frontera dónde y por qué desaparece la simetría ( e.g. en un carballo) y
estudiar también de una forma interdisciplinar la simetría inherente a las leyes
conocidas de la Física.
Bibliografia
Arheim R. (1979) Arte y percepción visual. Alianza Madrid.
Grenier D. (1985) Midle school pupils» conceptions about reflections
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Publications, New York.
Pape Moller, A. (1998) La naturaleza prefiere la simetría. Mundo científico
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Puig L, Gallego S., Castro J. (1997) Matando moscas a cañonazos. Boletín
das Ciencias nº 33.
Ruiz Garrido C, Pérez Gómez R. (1987) Visiones matemáticas de la Alhambra.
El Color. Epsilon. Número monográfico. LaAlhambra. pp 51-59.
Tarasov L.(1986) This Amazingly Symmetrical World. Mir Publishers
Moscova.
Luis Carlos Cachafeiro Chamosa (Orense, 1955). Licenciado por la de Santiago de Compostela y doctor en Informática por la Uni­versidad
de A Coruña. Es profesor en el IB Pontepedriña de Santiago de
Compostela. Recibió el 11º Premio Innovación Educativa del MEC en 1988.
Formador de formadores entre 1989-1992. Ha publicado diversos trabajos
en forma de libros y revistas. Es coordinador de la sección de Matemáti­cas
de ENCIGA.