Aproximación matemática a la música

              NÚMEROS. Revista de didáctica de las matemáticas
Volumen 35, septiembre de 1998, páginas 17-31
Aproximación matemática a la música
Víctor Arenzana Hernández y Javier Arenzana Romeo
Resumen
El presente trabajo profundiza sobre las nociones de nota musical e inter­valo
musical en sentido geométrico y aritmético. El concepto aritmético de
nota musical aporta a los alumnos la idea de que una misma cosa (una nota) se
puede mostrar con distintas apariencias (diferentes :frecuencias); el concepto
de nota musical es un ejemplo de relación de equivalencia. El sentido geomé­trico
de nota musical se expone a partir del movimiento de dos móviles con
movimiento uniforme. A partir de estos problemas dinámicos se da un procedi­miento
geométrico para determinar cuatro puntos en cuaterna armónica. Esta
construcción proporciona un método para dividir armónicamente el intervalo
de una octava mediante las notas tercera y quinta y permite construir acordes
perfectos y comprender la razón de la diferente separación entre los trastes de
una guitarra.
Abstract
The present work deepens on the musical note notions and musical interval
in geometric and arithmetic sense. The arithmetic concept of musical note
pro vides to the pupils the idea of the fact that a same thing (a note) can be
shown with different appearances (different frequencies); the musical note
concept is an example of relationship of equivalence. The geometric sense of
musical note is exposed from movement of mobile two with uniform move­ment.
As of these dynamical problems is given a geometric procedure to deter­mine
four points in harmonic tetrad. This construction provides a method to
divide harmoniously the interval of an octave through the third and fifth notes
and permits to build perfect chords and to understand the reason of the differ­ent
separation between the frets of a guitar.
Pitágoras y los inicios de los estudios sobre música
La música formaba parte de los estudios medievales del Cuadrivium (arit­mética,
geometría, música y astronomía), y era, por consiguiente, una de las
artes liberales de carácter cuantitativo que vertebraban la formación universi­taria
medieval. El origen del estudio de la música considerada como ciencia
cuantitativa se atribuye a Pitágoras, el cual realizó una serie de descubrimien-
18 Víctor Arenzana Hernández y Javier Arenzana Romeo
tos aritmético-musicales que constituyen el inicio de la ciencia musical y, qui­zás,
el primer ejemplo histórico de experimentación científica.
La leyenda dice que, al pasar Pitágoras por una herrería, le atrajo la sono­ridad
que emitían los martillazos que daban cuatro esclavos al golpear sobre el
yunque para trabajar un trozo de metal. Tres de ellos emitían sonidos conso­nantes,
mientras que el cuarto producía disonancia. Creyendo el sabio que el
sonido dependía de la fuerza con que golpeaba cada uno de los herreros hizo
que se intercambiaran los martillos, pero el resultado fue que el mismo martillo
seguía produciendo el sonido disonante, lo que le hizo concluir que la sonoridad
no dependía de la fuerza de los esclavos sino de las características de cada
martillo. Al llegar a su casa hizo la primera experiencia de laboratorio que
registra la historia, pesó los martillos, ató pesos a cuerdas de igual longitud
hasta que emitieran las mismas notas que daban los martillos, entonces descu­brió
que los tres consonantes tenían pesos proporcionales a 6, 8 y 12 y estable­ció
la proporción:
12-8 12
8-6 6
Agregó después un trozo de arcilla al cuarto martillo que producía desar­monía
hasta obtener música agradable, una vez añadida la arcilla, dedujo la
relación siguiente
12 8
9 6
que, según Jámblico, se llama musical porque contiene las relaciones musica­les
de los sonidos armónicos.
Es dudoso que Pitágoras pudiera llegar a esas conclusiones mediante el
experimento descrito, puesto que las conclusiones no responden a la realidad
física, no obstante, construyó un instrumento musical llamado monocordio,
que constaba de una cuerda sonora y una regla graduada o canon con la que
se podían determinar las relaciones numéricas de los diferentes segmentos de
cuerda sonora y su sonoridad.
Pitágoras dejó sentadas relaciones tales como las siguientes. Si se dispone
de una cuerda de longitud L a la que mantenemos con una tensión constante y
al hacerla vibrar emite una nota C, cuando hacemos sonar su mitad emite la
C(2/1), que es la octava. Dividiendo la cuerda en tres partes y haciendo sonar
-
Aproximación matemática a la música 19
dos se emite la quinta (3 /2) de C. Dividiendo en cuatro partes y haciendo sonar
tres de ellas se obtiene la cuarta ( 4/3) de C. Estas notas al hacerlas sonar
conjuntamente resultan agradables (consonantes) al oído.
Explicación física del experimento pitagórico
Se ha dicho muchas veces que ni Pitágoras ni su escuela pudieron realizar
los experimentos descritos ya que, si realmente los hubieran llevado a cabo, se
habrían dado cuenta de que las notas emitidas no guardan relación con los
pesos que se cuelguen de las cuerdas, sino con la raíz cuadrada de los mismos.
En la teoría musical se establecen habitualmente relaciones entre las frecuen­cias
para fijar las notas, la noción de frecuencia no era conocida por los grie­gos.
Pitágoras dio relaciones entre longitudes de cuerdas sometidas a tensio­nes
iguales y la nota emitida al vibrar. El estudio físico del sonido relaciona
ambas cuestiones.
A continuación se exponen las leyes fisicas a las que responden las cuer­das
vibrantes.
Los instrumentos de cuerda emiten sonido gracias a las vibraciones trans­versales
de una o varias cuerdas, de aquí la importancia del estudio de tales
vibraciones.
El avance de una perturbación transversal sobre una goma atada a una
pared que se mantiene tensada tirando del otro extremo consiste en una ondu­lación
que se propaga por la goma, alcanza la pared, se refleja en el extremo
atado y prosigue la marcha en sentido contrario. La velocidad de propagación,
e, de la perturbación viene dada, en función de la tensión de la cuerda F y de la
densidad lineal m, por:
Si suponemos que la onda se propaga a lo largo de una cuerda vibrante con
extremos fijos con un movimiento ondulatorio sinusoidal de longitud de onda 1,
la onda se propagará hasta la pared, su movimiento se reflejará y nacerán
ondas estacionarias en las cuales la distancia entre cada dos nodos consecuti­vos
vale 1/2. Como los extremos han de ser necesariamente nodos, las formas
propias de vibración de una cuerda se obtendrán dividiéndola en un número
cualquiera de partes iguales y poniendo los nodos en los puntos de división.
Cuando no hay nodos intermedios, la cuerda vibra en semionda, si su longi­tud
es L, se tiene, llamando T al período y N a la frecuencia:
20 Víctor Arenzana Hernández y Javier Arenzana Romeo
de modo que se define la frecuencia fundamental como:
N = _1_ {I
1 2L~μ
En general, para calcular la frecuencia del sonido que resulta al dividir la
cuerda en p partes iguales se procederá, en las mismas hipótesis que antes:
L ,1
p 2
y el mismo razonamiento nos lleva a que la frecuencia N es p
N =p-1- {F
p 2L ~μ
En general, si hacemos vibrar una parte m/n de la cuerda obtendremos un
sonido de una frecuencia:
En esta fórmula se encuentran las leyes de las cuerdas vibrantes que ya fueron
enunciadas por Galileo en el siglo XVII y que son:
a) Los sonidos parciales forman la serie completa de armónicos del sonido
fundamental.
b) La frecuencia fundamental es directamente proporcional a la raíz de la tensión.
c) La frecuencia fundamental es inversamente proporcional a la raíz cua­drada
de la densidad lineal de la cuerda.
d) La frecuencia fundamental es inversamente proporcional a la longitud
de la cuerda que vibra.
Aproximación matemática a la música 21
Las matemáticas y las nociones de notas e intervalos musicales.
Introducción
La música aparece en el momento que consideramos una serie de sonidos
por el efecto que producen en el oído y no por sus características fisicas.
La música se escribe con una combinación de las notas básicas bien cono­cidas:
Do Re Mi Fa Sol La Si
Además de estas hay otras intermedias que se llaman sostenidos(#) y bemo­les
(b) , de modo que la escala musical completa es
Do Do# Re Re# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si
o, equivalentemente:
Do Reb Re Mib Mi Fa Solb Sol Lab La Sib Si
Cada una de estas notas, desde el punto de vista fisico no es otra cosa, en
primera aproximación, que un sonido en una determinada frecuencia. Como
las frecuencias que puede percibir el oído humano están comprendidas entre
16 y 20000 Hz., la frecuencia de las notas musicales variará entre esos límites.
La primera pregunta que nos planteamos es la siguiente: ¿Con esas doce
notas se pueden escribir todas las melodías, sinfonías y conciertos que conoce­mos?.
La respuesta es sí. No obstante, observamos que un piano tiene 108
teclas y que al pulsar cada tecla el oído distingue un sonido diferente. Es decir,
que las sonatas para piano contienen, a lo sumo, 108 sonidos diferentes. Sin
embargo, el piano tiene solamente 12 notas distintas.
Las consideraciones anteriores nos llevan a la conclusión de que en el te- .
clado de un piano hay 9 escalas musicales (9 x 12), ordenadas de izquierda a
derecha de más graves a más agudas. Además concluimos que tiene, por ejem­plo,
nueve notas Do que suenan de manera diferente. ¿Qué tienen en común
las nueve notas Do entre sí, las nueve Re entre sí, etc?.
Para comprender el concepto de nota musical comenzaremos por fijamos
en las escalas cuarta y quinta del piano y pulsemos la tecla La de la quinta sin
producir sonido, liberando el apagador de la tecla. Pulsando a continuación la
tecla La de la cuarta escala, se puede observar que la nota La de la quinta
empieza a sonar por un fenómeno de resonancia. Se pueden medir las fre­cuencias
de esta notas que son las siguientes, la frecuencia de La en la quinta
22 Víctor Arenzana Hernández y Javier Arenzana Romeo
escala es 440 Hz y la frecuencia de La en la cuarta escala de 220 Hz.
El fenómeno de resonancia puede apreciarse igualmente en una guitarra
bien afinada. Pulsando la cuarta cuerda pisada en el segundo traste (Mi) se
observa que vibran y emiten sonido Mi en otra escala las cuerdas primera y
sexta por simple resonancia. Si un sonido tiene frecuencia r (r número real) y
otro 2r constituyen la misma nota en octavas diferentes (la segunda frecuen­cia
es la más aguda). A los intervalos de frecuencia [r/4,r/2), [r/2,r), [r, 2r),
[2r, 4r), [4r, 8r), etc se les llama octavas.
La escala musical consta de doce semitonos iguales. Esto quiere decir que
una octava se ha dividido en doce partes. ¿Por qué se han elegido doce y no
otro número?. La razón de las diferentes divisiones de la octava hay que bus­carlas
en cuestiones de apreciación de consonancias, esto es, en la determina­ción
de diferentes sonidos que, emitidos sucesiva o conjuntamente, su combi­nación
nos resulta agradable (consonante) al oído. Por esta razón, cuando se
trata de introducir sonidos en una octava, entre [r, 2r) por ejemplo, hay que
procurar que en esa octava haya el máximo de sonidos consonantes con la
frecuencia r.
Definiciones
En el teclado del piano hemos visto que si un sonido tiene cualquiera de las
frecuencias ... , r/4, r/2, r, 2r, 4r, ... (r número real) representa la misma nota
musical. Esto es, que cualquier sonido de frecuencia r2", siendo n un número
entero, representa la misma nota, aunque en octavas diferentes. Por consi­guiente,
podemos afirmar que cada nota musical tiene asociado un número
infinito de frecuencias, aunque solamente un número finito de ellas sean audibles
para el oído humano.
En el conjunto de todas las frecuencias, que no es otro que el conjunto R+,
se puede definir una relación de equivalencia diciendo que dos frecuencias
son equivalentes cuando dan lugar a la misma nota.
Definición 1 .-Dadas dos frecuencias r y s i R+ se define la siguiente
relación:
r º s Ú r = s 2k para algún k i Z.
La relación cumple las propiedades reflexiva simétrica y transitiva y es, por
consiguiente, de equivalencia. El conjunto cociente R+/0 es el conjunto de todas
las notas.
Toda nota musical admite una frecuencia representativa en el intervalo
[1,2), ya que una frecuencia cualquiera, r, está comprendida entre lx2ky 2x2\
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para un entero k conveniente y el valor r se podrá alcanzar multiplicando 2k
por un valor entre 1 y 2.
La nota asociada a una frecuencia r se representará por [r], donde [r] =
{ ... , r/4, r/2, r, 2r, 4r, ... } . Dado la importancia que tiene el representante de la
clase de equivalencia en el intervalo [1,2) usaremos la siguiente notación: sea
a la frecuencia de [r] contenida en [1,2), entonces escribiremos:
[r] = { ... , r/4, r/2, r, 2r, 4r, ... } = {r} =a
Una vez establecido claramente el concepto de nota musical introducire­mos
el concepto de intervalo musical, noción imprescindible para compren­der
adecuadamente los sistemas de afinación que se han dado a lo largo de la
historia de la música.
Se debe observar que para escribir música con las notas [r] y [s] podremos
utilizar sonidos de frecuencia:
... r/4, r/2, r, 2r, 4r,... y ... s/4, s/2, s, 2s, 4s, ...
Es decir, se escribirá música con el sonido de frecuencia r y sus octavas y
con el sonido de frecuencia s y las suyas, evidentemente dependiendo de la
relación que exista entre las frecuencias r y s, se conseguirán unos u otros
efectos sonoros.
Definición 2.- Dadas dos frecuencias r y siR+ se llama intervalo de
frecuencias entre r y sala razón s/r, que representaremos Ip(r, s) = s/r.
Observaciones:
a) El orden de las notas es importante, ya que IF(r, s) es s/r y Ip(s, r) = r/s.
b) Si IF (r,s) = 1 el intervalo se llama unísono. Si IF(r,s) > 1 el intervalo se
llama ascendente y si Ip(r,s) < 1 el intervalo se denomina descendente,
Definición 3.- Dadas dos notas [r] y [s] se llama intervalo musical entre
[r] y [s] al número real representante de [s/r], en el intervalo [1,2), a este
intervalo lo denominaremos IM([r],[s]) = {s/r}
Observaciones:
a) El orden es importante, no es lo mismo IM ([r],[s]), que el IM([s],[r]).
Ejemplo: Sea [r] = [300] y [s] = [100], en este caso:
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IM ([r],[s]) = IM ([300],[100]) =Representante en [1,2) de IF (300,100) =
Representante en [1,2) de 113 = 413.
IM ([s],[r]) = IM ([100],[300]) =Representante en [0,1) de IF (100,300)
=Representante en [1,2) de 3 = 312.
Este ejemplo nos sugiere la siguiente definición de intervalo musical inver-so:
Definición 4.-Dado un elemento a de [1,2), al que le corresponde un inter­valo
musical entre dos notas [r] y [ar], esto es, IM([r],[ar]), se llama intervalo
musical inverso de IM([r],[ar]) al intervalo IM([ar],[r]).
Evidentemente IM([r],[ar]) = IM·1([ar] ,[r])
La escala pitagórica
El sistema de afinación pitagórico
El sistema básico de afinación pitagórico consiste en partir de una nota
básica, que llamaremos Do, entonces se definen seis notas Re, Mi, Fa, Sol,
La, Si dentro de la octava, de manera que en la sucesión:
Fa, Do, Sol, Re, La, Mi
'
Si
la distancia entre una nota y la siguiente sean quintas. Es decir, se obtiene cada
una de la anterior haciendo vibrar 2/3 de la cuerda que da la nota fundamental.
Los intervalos son :
IM(Fa, Do)= IM(Do, Sol)= IM(Sol, Re)= IM(Re, La)=
= IM(La, Mi) = IJMi, Si) = 312.
La sucesión de quintas puede prolongarse a derecha e izquierda mediante no­tas
alteradas. Por la izquierda:
Fab, Dob, Solb, Reb, Lab, Mib, Sib, Fa
Por la derecha:
Si, Fa#, Do#, Sol#, Re#, La#, Mi#, Si#
Aproximación matemática a la música 25
de manera que la sucesión de notas de la escala pitagórica de quintas es:
Fab, Dob, Solb, Reb, Lab, Mib, Sib, Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa#, Do#,
Sol#, Re#, La#, Mi#, Si#
Se puede observar que el intervalo entre las notas no depende de la nota
elegida como base, sino del número de notas que se quieran introducir.
Cálculo de los intervalos relativos a do en la escala
La escala pitagórica de quintas Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si verifica que
IM(Ni' Ni+I) entre dos notas consecutivas Ni y Ni+I es 3/2. A partir de esta
relación se puede determinar el intervalo que hay entre Do y cualquiera de las
notas:
IM(Do, Sol) = 3/2
IM(Do, Re) = IM(Do, Sol) x IM(Sol, Re)= [3 /2] x [3 /2] = [9/4] = {9/8} =
9/8.
IM(Do, La) = IM(Do, Re) x IM(Re, La)= [9/4] x [3 /2] = [27/8] = {2711 6} =
27/16.
IM(Do, Mi) = IM(Do, La) x IM(La, Mi)= [27/1 6] x [3 /2] = {81/64} = 81/64.
IM(Do, Si) = IM(Do, Mi) x IM(Mi, Si)= [81/64] x [3 /2] = [243/ 128] =
{243/128} = 243/128
IM(Do, Fa) = 1M- 1(Fa, Do) = [3 /2l1 = [2/3] = [ 4/3] = { 4/3} = 4/3
Cálculo de los intervalos musicales entre notas consecutivas no alte­radas
en la escala
La escala Pitagórica de quintas Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si verifica que
IM(Ni, Ni+I) = 3/2, esto es, el intervalo musical entre dos notas consecutivas Ni
y Ni+I es 3/2. A partir de esta relación se puede determinar el intervalo entre
dos notas consecutivas de la escala natural Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si.
IM(Do, Re)= IM(Do, Sol) x IM(Sol, Re)= [3/2] x [3/2] = [9/4] = {9/8} =
9/8.
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IM(Re, Mi) = IJRe, Do) x IM(Do, Mi)= [8/9] x [81/64] = [9/8] = {9/8} =
9/8
Análogamente, se puede calcular:
IM(Mi, Fa) = IM(Mi, Do) x IJDo, Fa) = 256/243
IM(Fa, Sol) = IM(Fa, Do) x IM(Do, Sol)= 9/8
IM(Sol, La) = IM(Sol, Do) x IM(Do, La) = 9/8
IM(La, Si) = IM(La, Do) x IM(Do, Si) = = 9/8
IM(Si, Do) = IM·1(Do, Si) = 256/243
En consecuencia, los intervalos entre notas no alteradas consecutivas de la
escala natural son:
IM(Mi, Fa) = IJSi, Do)= 256/243
Estos cálculos motivan las siguientes definiciones:
Definición 5. Llamaremos Tono a la razón 9/8 y Semitono Diatónico
(Sd) a la razón 256/243.
De la escala pitagórica de quintas Fab, Dob, Solb, Reb, Lab, Mib, Sib,
Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa#, Do#, Sol#, Re#, La#, Mi#, Si# se pue­den
deducir el intervalo musical entre una nota N y N# y entre Nb y N. El
cálculo de los intervalos los ponemos como proposiciones:
Proposición l. IM(Nb, N) = 2187 /2048
Demostración: IM(Nb, N) =[(3/2)7] = [3 7/27
] = 2187/2048
Proposición 2. IM(N, N#) = 2187/2048
Demostración: Análoga a la anterior.
Definición 6.- Los intervalos comprendidos entre una nota N y N# y entre
Nb y N son iguales a 2187 /2048 y a esa razón se le llama Semitono Cromático
(Se).
Aproximación matemática a la música 27
Proposición 3: Se Sd = 9/8
Demostración: Se Sd = (2187/2048) (256/243) = 9/8
Observaciones:
a) Entre Sd y Se completan un tono, además Sd <Se, ya que (256/243) <
(2187 /2048).
b) La distribución de notas en la escala pitagórica es irregular, en el sentido
de que los intervalos entre notas son muy diferentes unos de otros y, además,
existen notas entre las que media un intervalo muy pequeño.
IJDo, Reb) = JM· 1(Reb, Do) = (2 8/3 5
) = Sd
IJDo#, Re)= JM· 1(Re, Do#)= (28/35) = Sd
Teniendo en cuenta que entre una nota y su correspondiente alterada hay
una diferencia de Se y que Sd < Se, se deduce que Do está más cerca de Reb
que de Do#. Por lo tanto, entre Do y Re las notas quedan ordenadas del si­guiente
modo
Do, Reb, Do#, Re
A continuación haremos una serie de cálculos que ponen de manifiesto uno
de los inconvenientes de la afinación pitagórica: la distinción entre notas de
frecuencias muy próximas
9/8 = IM(Do, Re)= IM(Do, Reb) x IM(Reb, Do#) x IM(Do#, Re) de donde
9/8 = IM(Reb, Do#) 216/3 10
Por lo tanto IJReb, Do#)= 312/219 = 1 '0116. A este intervalo generalmen­te
se le llama Coma. El intervalo entre Do y Si# es de una Coma
IM(Do, Si#) = [(3 /2) 12
] = [(3 12/2 19
]. Por lo tanto se puede asegurar que
entre Do y Reb se encuentra Si#. Y el orden de esas notas quedará Do, Si#,
Reb, Do#, Re.
El orden final de la escala, tras calcular los intervalos correspondientes
entre las notas, queda así:
Do, Si#, Reb, Do#, Re, Mib, Re#, Fab, Mi, Fa, Mi#, Solb, Fa#, Sol, Lab,
Sol#, La, Sib, La#, Dob, Si, Do.
Los tipos de intervalos que aparecen son el Semitono diatónico, entre Do#
y Re, la Coma, entre Reb, Do# y otro intervalo más pequeño como el que se da
entre Si# y Reb que vale IM(Si#, Reb) = [(227/3 17
].
28 Víctor Arenzana Hernández y Javier Arenzana Romeo
La lista de notas pitagóricas se puede seguir ampliando y se puede dar una
lista de dobles sostenidos y dobles bemoles, que no coincidirán con las notas
anteriores. Además, con el sistema pitagórico de formar notas por quintas,
IM(Ni, Ni+I) = 312, nunca se llega al unísono, esto es, a alcanzar la octava de la
nota de partida correspondiente. Esto es debido a que con potencias de 3/2,
que es la condición que se impone al construir la escala por quintas, nunca se
pueden conseguir potencias enteras de 2, que es la relación que existe entre
las frecuencias de una nota y su octava, equivalentemente, no existen enteros
m y n tales que 3n = 2m.
La conclusión que se puede sacar es que en la escala pitagórica son nece­sarias
infinitas notas para escribir y transportar (subir o bajar una o más octa­vas)
cualquier melodía.
Sistema de afinación temperada
El sistema de afinación temperada está más próximo a la física del sonido.
Se basa en la cercanía de sonido de algunas notas y el hecho de que no se
utilicen habitualmente las 21 notas básicas de una afinación. Según este siste­ma
se asocian las notas por proximidad sonora de la siguiente forma:
(Do, Si#), (Reb, Do#), Re, (Mib, Re#), (Fab, Mi), (Fa, Mi#), (Solb, Fa#),
Sol, (Lab, Sol#), La, (Sib, La#), (Dob, Si), Do.
las nueve identificaciones entre notas que se diferencian en una Coma o me­nos
nos lleva a un sistema de doce notas. El sistema de afinación temperado
consiste simplemente en distribuir estas doce notas en la escala de manera que
entre una nota y la siguiente quede el mismo intervalo. Es decir, la octava
queda dividida en doce intervalos iguales
Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si, Do.
El intervalo entre dos notas cuales quiera consecutivas lo denominaremos
Semitono Temperado, St. Se verifica que St12 = 2, por lo tanto:
St = 1{/2=1'05946309
Este sistema de afinación tiene muchas ventajas. Entre ellas está el hecho
de que se puede cambiar de tono sin problema alguno y aunque la afinación no
es perfecta las diferencias son prácticamente inapreciables por el oído, ya que
la quinta (3 /2), se calcula así:
27112 = 1 '4983 .. < 3/2.
La afinación temperada no proporciona quintas justas ni los sonidos conso­nantes
con una nota dada son perfectos. Pero es suficiente para la percepción
Aproximación matemática a la música 29
del oído humano que no puede distinguir más que diferencias de un Hz a lo
sumo.
La afinación temperada, tomando como base el La natural de 440 Hz., da
las siguientes frecuencias para una escala:
Do Re Mi Fa Sol La Si Do
262 294 330 349 392 440 494 523
Calculando las frecuencias por quintas según la escala pitagórica se obten­dría,
calculándolas a partir de Fa de 349 Hz:
Do Re Mi Fa Sol La Si Do
262 295 332 349 393 442 497 524
Donde puede apreciarse la proximidad de las frecuencias y el pequeño error
cometido en cada sonido en una y otra escalas. Las ventajas del sistema
temperado son indudables. Con él se puede escribir música con notas separa­das
a intervalos iguales con lo que el transporte musical es trivial.
Los problemas de móviles, la cuaterna armónica y la música
A continuación observaremos el problema de forma geométrica a partir de
la cuaterna armónica. En esta particular aplicación usaremos la noción de
cuaterna armónica de una forma distinta de la habitual, no tendremos en cuen­ta
la orientación de los segmentos y partiremos de los problemas conocidos
como problemas de móviles. Para centrarlo planteemos la siguiente cuestión:
Sean dos móviles que parten de los puntos Ay B, separados por una distan­cia
d, que se acercan con velocidades respectivas v ª y v b • Evidentemente se
encontrarán en un punto C situado entre A y B que verificará:
Gráficamente:
A
AC Va
CB Vb
B
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Análogamente, si dos móviles parten de los puntos Ay B, separados por una
distanciad y se persiguen con velocidades respectivas v. y vb en sentido de A
a B, si v.> vb, se encontrarán en un punto D, situado a la derecha de B, este
punto verificará:
Gráficamente:
AD Va
BD Vb
~ A D
De las igualdades anteriores se deduce que
AC AD
BC BD
salvo el signo de la orientación de los segmentos.
En este caso se dice que C y D dividen armónicamente a los puntos Ay B.
A partir de las gráficas anteriores:
Dados dos puntos A y B, existen infinitas parejas de puntos que dividen
armónicamente aAB, pero, fijado un tercer punto el cuarto queda unívocamente
determinado. Si fijamos los puntos A,B,D de manera que AD = d y AB = d/3
(es decir, que al sonar libre la porción de cuerda BD emita la quinta de la
cuerda AD al aire), el punto C, que está en cuaterna armónica con ellos tal que
AC = x verificará:
X d
d 2d
- -x
3 3
Aproximación matemática a la música 31
de donde x = d/5 . La nota que se produce al hacer vibrar los 4/5 de la cuerda
(distancia CD) se llama tercera de la nota fundamental. Esta nota, junto con la
natural y la quinta forman un acorde perfecto, tónica, tercera y quinta, así son
los acordes Do-Mi-Sol, Sol-Si-Re, etc. Es evidente que este sistema gráfico
permite construir acordes o determinar la posición de los trastes en una guita­rra.
Sugerencias y actividades para la clase
Las consideraciones expuestas en los apartados anteriores sugieren una
serie de actividades en torno a la teoría musical para realizar con alumnos de
cuarto de la ESO o primer curso de Bachillerato, entre otras:
1º Que los alumnos, sobre una cuerda tensa de guitarra, toquen tres notas
consecutivamente, que les resulten agradables al oído haciendo vibrar
parte de la cuerda y anoten la fracción de cuerda que vibra. (salvo ex­cepciones,
serán una nota, la tercera y la quinta).
'Z' Utilizar la construcción del apartado anterior para obtener la tercera y la
quinta de una nota.
3º Que los alumnos anoten la fracción de cuerda que vibra y la frecuencia
detectada por un frecuencímetro para justificar empíricamente las leyes
de Galileo.
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musical". Nasaarre, Revista Aragonesa de Musicología XI,1-2,
pp.471, 489. Institución Fernando el Católico. Zaragoza ..
Vera, F. (ed.) (1972): Científicos griegos, Tomo 1, Aguilar, Madrid.
Víctor Arenzana Hernández (Calahorra, La Rioja, 1948) es Doctor en
Matemáticas. Actualmente es Profesor Asociado en la Universidad de
Zaragoza y Catedrático del Instituto «Félix de Azara» de Zaragoza. Fue
presidente (1981-1985) de la Sociedad Aragonesa de Profesores de Mate­máticas
Pedro Sánchez Ciruelo. Tiene numerosas publicaciones entre
libros, actas de congresos y revistas.
Javier Arenzana Romeo (Zaragoza, 1976) es estudiante de Ciencias Ma­temáticas
en la Universidad de Zaragoza, haciendo la especialidad de
Análisis Numérico. Ha iniciado estudios musicales.