Fronteras en el uso de las calculadoras gráficas

              NÚMEROS
Revista de didáctica de las matemáticas
Nº 32, diciembre de 1997, págs. 54-66
Fronteras en el uso de las calculadoras gráficas
Angel Gutiérrez
Introducción
El uso de calculadoras gráficas en las clases de matemáticas de
Enseñanza Secundaria y Universidad se está extendiendo más cada día.
Hay numerosas publicaciones dedicadas a las calculadoras gráficas, en
las que se recogen resultados de investigaciones, experiencias de clase
o propuestas de enseñanza para los diversos temas de matemáticas de
estos niveles educativos, y casi todos los nuevos libros de texto de
matemáticas de Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO) y Bachillera­to
incluyen secciones dedicadas a esta herramienta. Se trata de una
tendencia imparable que crecerá en los próximos años. Es conveniente,
por tanto, que los profesores de matemáticas tengan, por lo menos, una
visión global de estas herramientas didácticas, las distintas opciones y
sus posibilidades en diversos temas de matemáticas.
Para que un profesor esté en condiciones de sacar el máximo
provecho de una calculadora gráfica, es necesario que sepa cómo
integrarla en sus clases, que disponga de un material de trabajo atractivo
para sus alumnos y capaz de favorecer el aprendizaje de los contenidos
matemáticos implicados y, evidentemente, que conozca a fondo su
funcionamiento. Por otra parte, las calculadoras gráficas, como cual­quier
material didáctico, tienen un campo de actuación en el que se
puede sacar el máximo provecho de su utilización, pero también tienen
sus limitaciones, situaciones en las que su uso entorpece o, en el mejor
de los casos, no facilita el aprendizaje. Por lo tanto, tan importante corno
saber cuándo y cómo usarlas es saber cuándo y cómo no usarlas. El
objetivo de este texto es hacer unas reflexiones, basadas en mi experien­cia
personal, con la finalidad de señalar algunas fronteras en el uso de
las calculadoras gráficas.
Las ideas expuestas aquí tienen su origen en una asignatura de
FRONTERAS EN EL USO DE LAS CALCULADORAS GRÁFICAS 55
Didáctica de las Matemáticas de la Facultad de Matemáticas. Es una
asignatura optativa de 21/.i ciclo, por lo que todos los estudiantes llegan
a ella con los conocimientos de matemáticas adquiridos tanto en BUP y
COU como en los dos primeros cursos de la Facultad. Una parte del
curso se dedica a la didáctica del análisis matemático, y las prácticas se
dedican a aprender el uso de la calculadora gráfica TI-82 (una de las
calculadoras de Texas Instruments de la serie ochenta) en este contexto.
Los estudiantes resuelven problemas relacionados con diversos concep­tos
basándose en la representación gráfica de funciones y el cálculo de
puntos extremos, asíntotas, tangencia, corte de curvas, etc. Aunque la
primera aproximación a la solución del problema es siempre gráfica,
cuando es útil se combina el uso de la pantalla gráfica y la función "traza"
con el uso de la tabla de valores.
Un objetivo continuo de este tema es ir más allá del simple aprendi­zaje
de secuencias de teclas y procedimientos algorítmicos. Para ello,
relacionamos la actividad de manipulación en la calculadora con los
conceptos o propiedades matemáticos implicados, de forma que siem­pre
buscamos una confirmación o explicación teórica tanto de la validez
de los resultados aparentemente correctos como de los resultados
erróneos. Después de obtenido un resultado, pido a mis alumnos que lo
analicen, relacionándolo con algún concepto o teorema que les permita
confirmarlo o rechazarlo. Algunos problemas están seleccionados para
mostrarles casos en los que la calculadora gráfica no ayuda a resolver el
problema, no permite representar de manera adecuada un concepto o
propiedad matemáticos, o da información errónea.
En este artículo propongo varios problemas que dan pie a reflexiones
sobre estos aspectos, pues son casos que señalan claramente la necesidad
de que los estudiantes analicen los resultados que han obtenido o la
frontera en el uso correcto de la calculadora gráfica. El artículo está
basado en la calculadora TI-92 (la calculadora gráfica más moderna de
Texas Instruments). No obstante, es posible obtener resultados equiva­lentes
con cualquier otra calculadora gráfica, e incluso con ordenadores,
sin más que adaptar oportunamente el tamaño de la ventana o algunos
coeficientes de las funciones, ya que las limitaciones que describo no
son propias de una determinada máquina, sino de todo el software/
hardware usuales en la actualidad y, especialmente, dependen de la
resolución de la pantalla o de la precisión de cálculo.
56 ANGEL GUTIÉRREZ
Aparición de resultados inesperados
Un ejemplo típico de uso de la calculadora gráfica es para representar
funciones como las trigonométricas. Me basaré en la función f(x) =
cos x. Con frecuencia, cuando los estudiantes introducen los datos
necesarios para representar y= cos x en el intervalo [-n, n], obtienen una
gráfica1 formada por un segmento horizontal en y= 1 (Figura 1).
Figura l.
Ante esta gráfica, se pueden observar dos reacciones de los estudian­tes:
Aquéllos que aceptan el resultado y siguen trabajando con él, y los
que se quedan sorprendidos porque esperaban ver la conocida curva
(Figura 2-a). En el segundo caso, la sorpresa se debe a que los estudiantes
han contrastado la gráfica de la pantalla con sus conocimientos teóricos,
que les dicen que, en el intervalo de x especificado, la función coseno
debe describir un periodo completo.
El "fallo" (más bien el resultado sorprendente) se debe a que la
calculadora estaba programada en grados, en vez de en radianes, por lo
que realmente ha representado la función y = cos x para los valores de
x en [-3.1415º, 3.1415º]. Nos encontramos, pues, ante un resultado
inesperado porque la calculadora, aparentemente, no ha representado
los datos que le hemos introducido. Ejemplos como éste deben servir
para que los estudiantes comprendan la necesidad de validar los resul-
Al representar funciones f(x) = cos nx, lo haremos siempre con los
parámetros de pantalla (window): xrnin = -:lr, xmax =:lr, xscl = 0.5, yrnin
= -1, ymax = 1, yscl = 0.5, xres = l
r
FRONTERAS EN EL USO DE LAS CALCULADORAS GRÁFICAS 57
tactos dados por la calculadora contrastándolos con sus conocimientos
matemáticos previos.
Uso de una calculadora más allá de su capacidad gráfica
Siguiendo en el mismo tema de trabajo, para estudiar la periodicidad
de las funciones trigonométricas y la relación entre la amplitud del
periodo y la variable independiente, podemos representar diversas
funciones de la familia {y = cos nx, n = 1, 2, 3, ... } .
a)
r (
b)
Figura 2. Gráficas de y = cos x e y = cos 8x.
Observando las gráficas de cos x, cos 2x, cos 3x, ... (la Figura 2
incluye algunas de ellas), se puede descubrir la relación entre n y la
amplitud del periodo o, desde un planteamiento visual, se observa que
las ondulaciones de la curva se van estrechando al crecern. Si queremos
aprovechar este ejercicio para hacer una aproximación al caso límite,
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cuando n crece, podemos representar funciones como y = cos 20x, y =
cos 30x, y = cos 40x, ... (Figura 3).
a)
b)
e)
Figura 3. Gráficas de y= cos 20x, y = cos 30x e y= cos 60x.
La gráfica de la Figura 3-a mantiene el aspecto de las funciones f(x) =
cos nx, pero no ocurre lo mismo con las otras gráficas de la Figura 3.
Dejando aparte la innegable calidad estética de diseños como el de la
Figura 3-c, es evidente que, al representar y = cos 60x en la TI-92,
obtenemos una gráfica completamente inútil para una clase de trigono­metría.
Hemos rebasado los límites de la TI-92 y estamos pidiendo a esta
calculadora algo que no puede hacer. Realmente, ya la gráfica de y= cos
20x presenta algunas inexactitudes matemáticas, aunque poco destaca­das,
pues los máximos y mínimos que se ven en la pantalla no son
siempre + 1 y -1, respectivamente. Esto se nota más fácilmente si se
FRONTERAS EN EL USO DE LAS CALCULADORAS GRÁFICAS 59
toman como referencia los lados horizontales del marco de la pantalla.
Es evidente que hay una relación directa entre la resolución de la
pantalla de una calculadora u ordenador y el límite de uso de los mismos.
La anterior representación de y = cos 20x en calculadoras como la
TI-82 o anteriores es casi irreconocible, en la TI-92 está en el límite de
las posibilidades de la máquina, y en un ordenador se ve correctamente.
Cuando mis alumnos se encontraron con "gráficas" como la de la Figura
3-c, decidieron seguir representando valores den mayores, para ver los
diferentes diseños que se crean. De esta forma, llegaron a obtener
gráficas análogas a la de la Figura 4, ¡¡que corresponde a y= cos 230x! !
Los lectores que utilicen una calculadora TI-82, pueden observar una
situación similar al representar la función y = cos 86x.
Figura 4. Gráfica de y = cos 230x.
Generalizando lo observado en estos ejemplos, la conclusión es que
todas las pantallas, tanto de calculadoras como de ordenadores, tienen
una capacidad de representación limitada, marcada por su resolución,
por lo que (1) si un profesor quiere utilizar una calculadora gráfica, no
debe intentar representar funciones cuyas gráficas sean ilegibles o
puedan transmitir a los estudiantes información inexacta o errónea y (2)
si el profesor necesita representar gráficamente esas funciones, deberá
recurrir a una calculadora con pantalla de más calidad o a un ordenador.
Uso de una calculadora más allá de su capacidad de cálculo
La capacidad de cálculo de las últimas generaciones de calculadoras
es sorprendente. No obstante, no es difícil encontrarnos con funciones
matemáticas que toman valores más allá de estos límites de cálculo, por
ejemplo en discontinuidades, asíntotas, proximidades de límites, etc. En
tales casos, Ja calculadora realiza redondeos cuyos errores pueden
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acumularse y dar lugar a resultados demasiado alejados de los reales.
V l. 1 . d I f . , f( ) 1 - cos x6 amos a ana izar e comportarruento e a unc10n x =
x'2
en el intervalo (-2, 2] (Finney et al., 1994). Dicho análisis debe incluir
una descripción de las principales características gráficas de la función,
así como los valores de los máximos, mínimos, y otros puntos singula­res.
Puesto que el objetivo de este artículo no es resolver el problema con
todo detalle, sino plantear las ventajas e inconvenientes del uso de una
calculadora gráfica para resolverlo, sólo apuntaré algunas propiedades
matemáticas de la función, sin entrar en su estudio o demostración
detallados. Además, me basaré sólo en la gráfica de f(x), sin utilizar otros
procedimientos más completos, como representar también f ' (x).
A partir de los resultados básicos de análisis matemático, sabemos
que f(x) está definida en A= R - {O} , f(x) 2: O para todo xe A, es continua
en A, y su límite cuandox tiende a O es 1/2. También es fácil determinar
los infinitos ceros de esta función (xn = ± ~ 2nn, para todo n = 1, 2,
3, ... ). No obstante, estas propiedades dicen poco sobre las caracter' sticas
de esta función y casi nada sobre la forma de su gráfica. Intentar dibujarla
por los procedimientos convencionales formales es prácticamente im­posible,
por lo que éste es un caso claro en el que la calculadora gráfica
permite avanzar más y llegar a un conocimiento más profundo de la
función que los métodos convencionales de enseñanza.
Los primeros tanteos con el tamaño de la ventana2 llevan enseguida
a resultados como la Figura 5. Las primeras propiedades de la función
que se descubren en esta gráfica son su simetría y su acotación. La
primera se verifica teóricamente enseguida (x tiene siempre exponente
par), mientras que la segunda no es tan fácil. También llama la atención
.el comportamiento de la gráfica alrededor del origen y la presencia de
ceros cerca de ±1.5.
Figura 5. [-2, 2, 0.5] x [O, 1, 0.1].
En los pies de las Figuras 5 y siguientes se indican los parámetros de
pantalla (window) correspondientes, en la forma [xmin, xmax, xscl] x
[yrnin, ymax, yscl]. Se toma siempre xres = l.
FRONTERAS EN EL USO DE LAS CALCULADORAS GRÁFICAS 61
Como la función es simétrica, en adelante se puede limitar el estudio
a la mitad del intervalo de abcisas, lo cual redundará en un mayor detalle
de las gráficas en la pantalla (comparar las Figuras 5 y 6). Esto no es
evidente para todos los estudiantes; varios de mis alumnos hacían
cálculos en paralelo (por ejemplo, de ceros) para valores negativos y
positivos de x, obteniendo a veces resultados diferentes sin que ello les
preocupara.
Figura 6. [O, 2, 0.5] x [0, 1, 0.1].
La Figura 6 sugiere dividir el estudio de f(x) en varias partes
gráficamente diferentes que, aproximadamente, son (a) el intervalo [O,
0.2], donde se observan un salto desde y= O y un "pico", (b) el intervalo
[0.2, 1.5], donde la curva tiene una parte aparentemente horizontal y
después decrece, y (c) el intervalo [1.5, 2], donde se ven varios ceros.
La Figura 7 es el resultado de un zoom sobre la gráfica en el primer
intervalo.
Figura 7. [O, 0.2, 0.1] x [O, 1, 0.1].
,_ ___________ _
62 ANGEL GUTIÉRREZ
Al comparar las Figuras 6 y 7, observamos que la calculadora está
proporcionando información inexacta sobre el valor de los mínimos y
máximos locales (en la Figura 6 el máximo absoluto es menor que 0.6,
mientras que en la Figura 7 éste es mayor que 0.8) y sobre el número de
oscilaciones (muchas son tan estrechas que la calculadora no puede
representarlas). Si hacemos zooms más profundos alrededor del máxi­mo
absoluto, se llega a la conjetura de que el máximo es f(0.06813) = 1
(Figura 8).
Figura 8. [0.06, 0.1, 0.01] x [O, 1, 0.1].
Algo que los estudiantes aprenden al representar en las calculadoras
TI-nn funciones con puntos de discontinuidad con límites finitos o con
asíntotas verticales es que en la pantalla aparecen unas líneas verticales
que unen los dos lados de la discontinuidad3
. Esta idea llevó a mis
alumnos a decir que f(x) tiene una infinidad de discontinuidades y que
está formada por una sucesión de arcos (Figura 8). Una vez más, se ve
la necesidad de contrastar las conjeturas generadas a partir de la
observación de la pantalla mediante el análisis teórico de la función. En
este caso, no existen tales discontinuidades, ya que f(x) es continua en
R - {O} . Más adelante veremos el motivo de este comportamiento de la
calculadora.
La figura 8 muestra que, en el intervalo [O, 0.2], la función no es tan
simple como parecen indicar las Figuras 5 y 6. Efectivamente, al
aproximarnos un poco más, descubrimos que lo que en la pantalla
En algunas calculadoras estas líneas verticales no aparecen y en otras es
posible evi tarlas algunas veces (en la TI-92, activando la opción de estilo
de función "dot").
FRONTERAS EN EL USO DE LAS CALCULADORAS GRÁFICAS 63
anterior se veía como un segmento horizontal, en las siguientes pantallas
(Figura 9) se ve como una sucesión de oscilaciones. El lector puede, si
lo desea, continuar la secuencia de zooms iniciados en las Figuras 7,
8-a y 9.
a)
b)
Figura 9. a) [0.08, 0.15, 0.01] x [0.45, 0.55, 0.01];
b) [0.11, 0.13, 0.01) X [0.498, 0.502, 0.001).
Un recorrido por la curva con la traza o la tabla de valores nos permite
ver que, tal como indican las sucesivas gráficas, las oscilaciones son
cada vez menores cuando nos alejamos de x =O. La pregunta que debería
surgir aquí es si llega un punto en el que estas oscilaciones desaparecen
y la función se hace monótona decreciente entre ese punto y el primer
cero o, por el contrario, las oscilaciones continúan indefinidamente,
pero son tan pequeñas que la calculadora, a pesar de su potencia de
cálculo, no las puede poner de relieve. La Figura 10 muestra4 un
intervalo cerca de x = 0.72084.
4 La TI-82 no admite las dimensiones de esta ventana. El ancho y alto de su
ventana no pueden ser menores que 10·8 y 10·9, respectivamente.
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Figura 10. [0.7208420521, 0.7208420524, 1.E-10) x
[0.499180431599, 0.499180431605, 1.E-10).
La Figura 11 muestra la gráfica de f(x) en el tercero de los intervalos
indicados al principio de esta sección. La forma de esta parte de la gráfica
muestra claramente la influencia del coseno del numerador.
Figura 11. [1.3, 2, 0.1) x [O, 0.03, 0.01).
Se ve que la función tiene 10 ceros, que coinciden con los mínimos
locales, y 9 máximos locales en este intervalo, que pueden ser determi­nados
mediante la traza o la tabla de valores. No resulta complicado
verificar que los valores de los ceros son los correspondientes a
6
Xn = ± V2:JT;n, paran= 1, ... , 10.
Finalmente, volviendo a las Figuras 7 y 8, vamos a estudiar el
comportamiento de la función en el intervalo de las abcisas ]O, 0.07). La
Figura 12 indica que f(x) =O para todo x en ]-0.068 l , 0.0681[ - {O}.
Ocultando los ejes se observa el hueco dejado por la calculadora en
x =O, donde f(x) no está definida. La traza y la tabla de valores confirman
el resultado de la Figura 12, pues por todos los procedimientos se obtiene
siempre f(x) = O.
FRONTERAS EN EL USO DE LAS CALCULADORAS GRÁFICAS 65
Figura 12. [-0.075, 0.075, 0.01] x [O, 1, 0.1], en modo "sin ejes".
Nos encontramos ante un caso en el que la calculadora ha sido
forzada más allá de su capacidad de cálculo, pues nuestros conocimien­tos
teóricos de la función chocan de lleno con estos resultados:
- El límite de f(x) cuando x tiende a O es 1/2, luego f(x) no puede ser
constantemente nula en un intervalo alrededor del origen.
-A partir de la Figura 11 hemos calculado los 1 O primeros ceros de
f(x) en el semieje positivo, que están en ] 1.3, 2], y sus simétricos en el
semieje negativo. Por lo tanto, f(x) no tiene ningún cero en [-1.3, 1.3].
El motivo de este comportamiento está en que, para valores de lxl <
0.0681293, x6 < 10-7 y cos x6 > 0'99999999999999 está tan próximo
a 1 que la TI-92 no es capaz de trabajar con estos números, por lo que
redondea a cos x6 = 1 y f(x) = O. Como indicaba al final de la
introducción, este problema no es específico de una calculadora en
particular, sino que se da en cualquier calculadora u ordenador, si bien
el valor de la abcisa en la que deja de ser f(x) =O cambia de una máquina
a otra.
Los saltos verticales de la gráfica que observábamos en la Figura 8
son debidos también a errores de redondeo al calcular los valores de f(x).
Por ejemplo, según la TI-92, f(0.07466093) =0.3333337 y f(0.07466094)
= 0.6666664, pero realmente f(0.07466093) = 0.5033017 y
f(0.07466094) = 0.5033009. En consecuencia, las oscilaciones de la
gráfica de f(x) existen realmente, incluso en el conjunto
]-0.0681, 0.0681 [ - {O}, pero no son tan acusadas como las que muestra
la calculadora.
Como resumen final, creo interesante destacar que, según hemos
visto, la resolución de este ejercicio pone claramente de relieve dos
importantes aspectos didácticos de las calculadoras gráficas:
...
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1) En ocasiones, las calculadoras permiten a los estudiantes descubrir
información sobre las funciones cuya existencia no podrán siquiera
sospechar si se limitan a hacer un estudio por los procedimientos
tradicionales de cálculo escrito. Es trabajo de los profesores mejorar los
cursos tradicionales de análisis matemático introduciendo ejemplos y
actividades que permitan aprovechar las capacidades gráficas de calcu­ladoras
y ordenadores.
2) En ocasiones, se obliga a las calculadoras a funcionar por encima
de sus posibilidades, lo cual se traduce en que producen información
inexacta o totalmente errónea. Es trabajo de los profesores prever, en la
medida de lo posible, la aparición de esas situaciones, tanto para
evitarlas como para utilizarlas de manera positiva. Son necesarias, por
ejemplo, para hacer ver a los estudiantes que nunca deben reducir su
actividad matemática a un trabajo mecánico de introducir datos en la
calculadora u ordenador y copiar los resultados de la pantalla.
Bibliografía
Finney, R.L.; Thomas, G.B.; Demana, F.; Waits, B.K. (1994):
Calculus graphical, numerical, algebraic. (Addison Wesley:
N. York).
Angel Gutiérrez
Dpto. de Didáctica de la Matemática
Universidad de Valencia
Apartado 22045
46071 Valencia
angel. gutierrez@uv.es