Ejercicios, hemeroteca y contraportada

              HEMEROTECA
por Juan A. García Cruz
HEMEROTECA
Revistas recibidas en nuestra sociedad desde Abril a Octubre:
1. Boletín de la Asociación de Profesores de Matemáticas de la Enseñanza
Pública. (A.P.M.E.P.) Francia.
N°•: 329 y 330.
2. The Matyc Journal.
Vol 1 5: N°• 1 y i.
3. Mathematical Digest.
N°• 43 y 44.
4. The Two Year-College Mathematical Journal.
Vol 12: N°•: 2 y 3.
5. Mathematics Magazine.
Vol 54: N°•: 2, 3 y 4.
6. Pythagoras.
Vol 20: N°•: 3, 4 y 5.
7. Math Jeunes.
3°' año: N°•: 9 y 1 O.
8. Teching Statistic.
Vol 3: N°: 2.
9. The American Mathematical Monthy.
Vol 88: N°•: 3, 4,: 5 y 6.
The Two Year-College Mathematical Journal.
D.J. Albers (editor)
Mathematical Association of America
TYCMJ Subscriptions Department
The Mathematical Association of America
1529 Eighteen St. N.W.
Washington D.C. 20036
USA
109
Precio de S.uscripción anual: 18$
Idioma: Inglés.
Periodicidad: Cuatro veces al año/ Vol. 12 año 1981.
La publicación está dirigida principalmente a profesores de los dos primeros
años de Universidad. Algunos ártículos pueden ser útiles para nuestro e.O.U.
Los principales campos de los que se ocupa son: Combinatoria, teoría ele­mental
de números, geometría, historia, pedagogía, filosofía, resolución ,de
problemas, estadística y matemáticas técnicas.
He aquí algunos de los artículos aparecidos recientemente:
• Triangular Squares. Bill Leonard. Harris S. Shultz. Vol 1 O N° 3, June
1979. Pag 169-171.
• A Quick Test for Rational Roots of a Polinomial. Leo Chosid Vol 11, N°
3, June 1980. pág. 205-206. ·
• Fixed Point lteration - An iteresting way to b(Jing a Calculus. Course.
Tho.mas.Butts. Vol 12. N°1,Jannuary1981, páQ 2-7.
• Distance from a Point to a line. K.R.S. Sastry. ~ol 12, N° 3 June 1981,
Pag 146-147. . ¡
• Who needs those mean-value theoremn any yvay? Ralph P. Boas. Vol
12, N° 3. June 1981, pág 178-181.
• Visual application of sin fa1 + b2) =sin a1 cos b2 + Cos a1 sin b2. Ge­raid
E. Gannon. Vol 12, N° 3. June 1981, pág. 206.
El número 2 del Volumen 12, Marzo de este año está dedicado
monográficamente a la disc.usión de los que hoy se entiende por una demos­tración
en Matemáticas. Su contenido es el siguiente:
110
Mathematical Proof: What it is and What is Ought to Be, Peter
Renz. ·
A Disgression on Proof, Yu l. Manin.
On the History and Solution of the Four-Color Map Problem, John
Mitchem. .
Euclide's Elements - excerpts from a 1660 edition.
The Natúre of Proof: Limíts and Opportunities, Kenneth Appel and
Wolfgang Haken.
Computar Use to Computar Proof: A Rational Reconstruction, Tho­mas
Tymoczko.
An Informal History of Formal Proofs: From Vigor to Rigor? Klaus
Galda.
PROBLE~AS PARA LA PRIMERA
FASE lbE LA XVII OLIMPIADA
MATEMATICA
Exámenes de C.O.U. (Selectividad)
PROBLEMAS PARA LA PRIMERA FASE· DE LA XVII
OLIMPIADA MATEMATICA·_
(Distrito Universitario de La Laguna)
1 ª Sesión
1 .- Dada la circunferencia de ecuac1on: x2 + y2· - 2x - 4y
+ 1 = O, determinar la tangente a la misma que pasa:
a) por el punto ( 1, 1 ); b) por el punto ( 1,0); c) por el
punto (0,5).
¿Cuántas soluciones hay en cada caso?
2.- Determinar la curva que describe el afijo del complejo z para que
el argumento del producto
sea de 45° (z - 1 ) . (z ~ ?l
3.- Hallar f' (x), si f(x) = lxl 3. Hallar además f" (x). ¿Existe f"' (x) para
todo x?
4.- Dado un sistema rectangular de coordenadas, se traza una recta
desde el punto A (o,a) hasta un punto del eje horizontal Ox y des­de
este último punto, otra al B (1,b). (Véase la figura):
i to
CI 1 (Jc_.C)
113
Demostrar que la longitud total de la quebrada AXB es mm1ma
cuando los ángulos o< y B son iguales.
Dar una demostración geométrica y, a continuación, probarlo analíti­camente.
2ª Sesión
5.- Demostrar que todos los números de la sucesión:
49, 4489, 444889, ...
obtenidos intercalando 48 en el medio del número que le precede,
son cuadrados perfectos.
6.- Se construyen cuadrados sobre los catetos a y b de un triángulo
rectángulo de hipotenusa c. Probar que las rectas (que no sean ca­tetos)
que unen cada extremo de la hipotenusa con el vértice del
cuadrado opuesto, se encuentran en un punto peiteneéiente a la al­tura
correspondiente a la hipotenusa.
(Sugerencia: Tómense los catetos del triángulo como ejes de coor­denadas).
7 .- Demostrar que, cualquiera que sea m, la función polinómica:
f(x) = x3 - 3x + m
no tiene nunca dos raíces en el intervalo [O, 1 ].
8.- Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces. Gana o
pierde un dólar en cada juego. El hombre empieza con dos dólares
y dejará de jugar a la quinta vez si pierde· todo su dinero o si
gana tres dólares (esto es, complete 5 dólares). Hallar el número
de maneras en que puede desarrollarse el juego.
EXAMENES DE COU (Selectividad)
Opción A
a) En una familia, la probabilidad de que el ma.yordomo abra la
puerta. es 1 /2, la probabilidad de que abra la doncella es 3/4, y
la probabilidad de que coincidan al abrir es 2/3. Se pide: 1)
¿cuál es la probabilidad de que no ,'ªbra ni la doncella ni el
mayordomo? ¿cuál es la probabilidad de que abra la doncella
pero no el mayordomo? ·
b) Calcular mediante una integral el área del círculo cuya circunfe-
114
rencia tiene de ecuación:
x2 + (y - 2)2 = 1
c) Enunciar e interpretar geométricamente el teorema de Bolzano.
lSe puede aplicar el teorema de Rolle a la función:
f(x) = x - x3 en el intervalo [-1,0]?
Razona la respuesta y, en caso afirmativo, encontrar .el punto interior
a dicho intervalo a que se refiere dicho teoremá.
Opción B
a) Determinar el valor de k de forma que el sistema:
kx + 2z =O
ky- z=k
x+3y+z=5
sea: 1) Compatible; 2) Incompatible.
bl. Hallar el volumen del tetraedro determinado por los tres vectores:
-+ -+ -+ -+
a = i + j + k
-+ -+ -+ -+
b = - i + j - k
-> -> ->
c=2j +k
c) Dado el plano determinado por los puntos P1 (O, 1,0), P2 (2,0,0),
P3 (1,0,3), hallar la ecuación de la recta que pasa por p3 y es per­pendicular
al plano.
Opción A
a) Demuéstrese que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y
k es un número real comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos
un punto e interior a dicho. intervalo en el que f(c) = k.
b) Desarrollar y = sen x por la fórmula de Mac-Laurin, ·escribiendo el
término complementario correspondiente a la cuarta derivada.
c) Frecuencia absoluta y relativa·. Su relación con la probabilidad.
d) Lanzamos ·al aire dos dados simultáneamente. ¿cuál es la probabili­dad
de que la suma de ·Sus caras sea inferior a 5? ¿y de que su-f15
men 8?
Opción B
a) Hallar el punto simétrico de (-1, 2, O) respecto de la recta:
2x+z-4=0
y+z-5=0
b) Ecuación del plano que contiene a la recta x = y = z y es perpendi­cular
al plano x + y - z - 1 = O.
c) 1) Escribir si es posible, un sistema de vectores que sea linealmente
independiente y que no sea generador.
2) O_btener la matriz inversa de la matriz.
llH !
y el adjunto del elemento ª23·
Opción A
a) Desarrollar la función y =·in (1 + x) por la fórmula de Mac-Laurin,
escribiendo el término complementario correspondiente a la cuarta
derivada.
b) Area limitada por las curvas:
x2 = 4 y, x2 = y + 3
c) Sea A el suceso correspondiente a la aparición de un número primo
al lanzar un dado, B ~I suceso de aparición de un número par y C
el suceso de aparición de un número impar. Se pide:
P (Al\ Bf'\ C); P (A(\ B); P (B n 'C)
Opción B
a) Indicar qué pos1c1on especial respecto a los ejes tienen los planos
en que uno o dos de los coéficientes A, B, C, D, de la ecuación ge­neral
Ax + By + Cz + D = O son nulos.
b) Se pide la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (x 1, y 1,
116.
z 1 ) Y P2 (x2 , v2 • z2 ) y está contenida en el plano z = O.
e) Discutir el sistema:
Z - X + ky = Ü
kx-y+z=O
y+ z =o
para que admita solución distinta de la trivial, resolverlo para
k = -1.
Opción A
a) Dada la aplicación f: R3 --+ R4
definida por:
'
f(x, y, z) = (x, x+y, y-z, z)
Comprobar si es aplicación lineal y, en caso afirmativo, ha­llar
su núcleo.
b) Obtener el área del triángulo de vértices A (O, 1,2), B (2, 1, 1) y C (3,
2, 3). Determínese así mismo la ecuación del plano que contiene a
ese triángulo.
e) Estudiar las posiciones relativas de dos rectas en el espacio.
Opción B
a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente.
lSe puede aplicar el teorema de Rolle a la función y = sec x en el
intervalo [O, 2íl]? Razónese la respuesta. En caso afirmativo, encon­trár
el punto interior a dicho intervalo al que hace referencia dicho
teorema.
b) Calcular:
lim
1 -veos x s6 are tag;><dx
X --> Ü X2
e) Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes e independientes.
De una familia con tres hijos, lcuál es ta probabilidad de qUe los
tres sean varones? ly de que, a lo sumo dos sean varol')es?
117
Opción A.
a) Demostrar que la función f(x) = x + sen x - 8 es contínua en un in­tervalo
y apoyándose en el teorema de Bolzano, probar que existe al
menos un valor e tal que f(c) = O.
b) Representar la siguiente curva:
y=----
+ x2
c) Una clase consta de veinte hombres y veintiocho mujeres, de los
cuales la mitad de hombres y la mitad de mujeres tienen los ojos
··verdes. Hallar la probabilidad de que una persona escogida al azar:
1 ) . Sea hombre de ojos verdes.
2) Sea mujer o tenga los ojos verdes.
Opción B
a) Obtener e simétrico del punto P (2, 1, O) respecto del A (1, O, -3).
Determinar .así mismo la ecuación del plano que pasando por P, sea
perpendicular a la recta que une P con A. · ·
b) Definir matrices traspuesta, diagonal y triangular. Obtener la matriz
inversa de
o o 1
o 4 2
3 1 3
c) Utilizando el concepto de característica de una matriz, se pide:
1) ¿Qué sistema de ecuaciones lineales determinan tres rectas dis­tintas
en el plano que pasan por un punto?
2) ¿Qué sistema de ecuaciones lineales determinen tres planos del
espacio que no tengan puntos comunes pero que se corten dos a
dos?
Opción A
1) Representar gráficamente la funcion x 2 - 1
Y=----
X+ 3
118
11)
a) Discutir el siguiente sistema para los distintos valores de
~ X + y = 1
2x + ( >.. + 1 )y = 2
x+}\y=1
b) Se pregunta cómo varía el producto A.B de las matrices A y B,
si:
1) Se permutan las i-ésima y j-ésima filas de la matriz A.
2) A la i-ésima fila de la matri.z A se le agregff la j-ésima multi­plicada
por un número k.
Opción B
a) Frecuencia absoluta y relativa, y su repercus1on en la probabilidad.
¿Cuál es la probabilidad de obtener los cuatro reyes al extraer suce­sivamente
y sin reemplazamiento, cuatro cartas de una baraja espa­ñola?
¿Y la de obtener dos reyes y dos ases?
b) Se pide la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, O, 2) y
corte perpendicularmente a la recta de ecuación:
r;¡:{x-y+z-1 =0
z + 2 =o
c) Dado los puntos A (O, O, 1 ), B (O, 2, 1 ), C (3, 1, O) y D ( 1, 1, 1),
hallar:
1) Distancia del punto D al plano ABC.
2) Area del triángulo ABC.
Opción A
1) Representar la curva:
x3
Y=----
( 1 +X )2
11)
a) Probar que si una función admite derivada finita en un punto x
0
, di­cha
función es contínua en x0 .
b) Seis parejas de casados se encuentran en un salón. si se escogen
dos personas al azar, hallar la probabilidad:
1) De que sean espos.os;
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2) De que uno sea hombre y el otro mujer.
Opción B
1) Hallar un plano que sea paralelo al 2x - 2y + z + 9 = O y diste
5/3 del punto P (-1, 2, 3). Determínese además el simétri"co de
este punto P respecto del plano x =O.
11)
a) Determinar dos matrices de segundo orden X é Y que verifiquen
el sistema:
5 ~ ¡ _: -7
3X+4Y= -2X+3Y=
-12 -6
b) Enunciar el teorema de Rouché-Frobenius.
120