Los Límites y la Exponencial

              LOS LIMITES Y LA EXPONENCIAL
(Accesit)
por Albert Fabrega Enfedaque
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LOS LIMITES Y LA EXPONENCIAL
Por Albert Fabrega Enfedaque
Mácbeth: Siniestras, torvas,
misteriosas brujas, negros fan­tasmas
de la medianoche, lqué
estáis haciendo?
Todas: iuna obra sin nombre!. ..
W. Shakespeare
El tema que se desarrolla a continuación es uno de los tres que forman
el trabajo «Notas sobre la exponencial, la derivada y la combinatoria». Cuan­do
se me solicitó un resumen para su publicación pensé en que «para mues­tra
bien vale un botón». Es decir, puesto que la idea es la misma para todos
los temas, creo que el mejor resumen es presentar uno de ellos al completo.
Los que yo pretendí al estudiar esas cuestiones, era obtener. unas líneas.
de pensamientos que el alumno siguiera sin mucha dificultad, y qué le lle~a­ran
de forma natural e intuitiva, primero a las ideas y después a la formaliza­ción
de los conceptos matemáticos.
A grandes rasgos, se trataba de hallar un problema «de la vida real» lo
más simple posible, y que precisara para su correcto estudio, de los concep­tos
que se pretendían introducir. A continuación simplificar el problema eli­minand<;>
los parámetros no significativos para la solución buscada. Final­mente,
analizar los aspectos que se presentan, hasta llegar a la solución.
Evidentemente, esto no es todo lo que debe hacerse, al menos desde el
punto de vista matemático. Falta lo que en opinión de muchos es lo más im~
portante: la generalización a partir del problema y la formalización de los
conceptos que surgen a lo largo de su resolución. Tal como indiqué en la in­troducción
al trabajo, me pareció entonces, y sigo creyendo ahora, que esto
viene a continuación y que es aquí cuando el profesor interviene_:dao~o forma
25
rigurosa a las ideas, encadenando de manera coherente las definiciones ma..:
temáticas a los hechos que los alumnos han adquirido al estudiar el proble-ma.
,,..·
Por ejemplo, en el momento de redactar estas líneas, yo estoy trabajan­do
con mis alumnos las sucesiones, límites y el número e. Despues que ellos
respondieron a las cuestiones al final de la primera fase, tenían una idea bas­tante
clara de lo que es el límite de una sucesión. Al menos en el sentido de
que era el valor al cual la sucesión se aproximaba cada vez más. Yo tenía mis
dudas de lo que ocurriría en cuanto diese el siguiente paso y presentase la
definición matemática. Entonces les planteé un esquema parecido al siguien­te:
«el límite es el número al cual los términos de la sucesión se aproximan
cada vez más».
«a es el límite de la sucesión ªn si los números ªn se aproximan cada
vez más a a».
· «a es el límite de ªn si las diferencias entre a y ªn son cada vez más pe­queñas
».
«a es el límite de ªn si la - anl son tan pequeñas como queremos, a partir
de algún término de la sucesión».
«a es el límite de ªn si la - anl son menores que cualquier número positi­vo,
por pequeño que sea, a partir de algún lugar de la sucesión».
«a es el límite de ªn si para cualquier r > O, a partir de álgún lugar (N) en
la sucesión, la - anl < r». ·
«a es el límite de ªn si para cualquier r > O, existe N tal que a partir de él
(n > N), entonces la - anl < r».
«a es el límite de ªn si para cualquier r > O, existe N tal que para n > N
se tiene la - anl < r». . · './
A pesar de todo, no me atrevo a afirmar que ahora sepan qué es el lími­te.
Pero la verdad es que durante los días que han trabajado en esto, lo han
hecho con mejor ánimo de lo que desgraciadamente es corriente en la
mayoría de ellos cuando de las matemáticas se trata.
En definitiva, quizás nos convenga a_bandonar planteamientos estrictos
en cuanto al esquema «definición-propiedades-teoremas-demostraciones»,
en un orden obsesivo y detallista, y plantearnos las cosas pensando que no
son matemáticos quienes nos escuchan y que no es esa la única manera -ni
creo que la mejor en este caso- de enseñar las matemáticas. No he· conocido
a nadie que .piense siguiendo este esquema deductivo, y si ésta no es la co­rriente
que sigue nuestro cerebro, lpor qué debemos pretender que nuestros
alumnos la sigan?
Sea como sea, ahí va:
EL NUMERO e Y LA FUNCION EXPONENCIAL
Tema: Expansión del Universo.
Referencia: Investigación y Ciencia - Octubre de 1976.
26
Problema: Ley de Hubble.
«Hubble demostró que la velocidad con que una galaxia se aleja es pro­porcional
a su distancia de nosotros ... »
Hipótesis de estudio (Modelo teórico simplificado):
a) Las galaxias son punto; .,
b) Nuestra galaxia está fija y se toma de referencia. (En realidad esto da
igual. La expansión no tiene centro).
c) La galaxia A se aleja de nosotros en lfnea recta y siempre en la misma
dirección.
d) No se tiene en cuenta ninguna otra influencia sobre el movimiento de
A (p.e. fuerzas gravitatorias).
e) La constante de proporcionalidad entre la distancia (d) y la velocidad
(v) es 1 . Es decir, d = v. ·
Ver nota. ·
f) En el instante de poner el reloj en funcionamiento (t =O), la galaxia A
está a 1 m. de nosotros y su velocidad es de 1 m/seg.
Nota: En realidad la razón es la siguiente: Una galaxia a 1 O millones de años
luz, se aleja a 170 km/seg., que en términos de metros sería
1 año luz son aprox. 94608.1011 metros
170 km/seg.= 17.104 m/seg.
1 O millones de años luz son aprox. 94~08.1 0 18 metros, por tanto, a 1
m. de distancia (si esta situación fuese posible) la velocidad a que se
alejaría sería de 17 .104/94608.10 1s = ( 17 /94608).10- 14 que es
aprox. 18.10-19 m/seg. = 0,0000000000000000018 m/seg.
La relación que se utiliza en la práctica es de 1 7 km/seg. por cada mi­llón
de años luz.
1
Material: Papel milimetrado.
Regla.
Calculadora.
Nota: En todos los cálculos que figuran aquí y en los otros temas, se .ha utili­zado
la calculadora Tl-59 de Texas.
PRIMERA FASE (F-1 ).- SUCESIONES V LIMITES
Queremos saber a qué distancia se hallará A al cabo de 1 segundo.
Recuerda: De acuerdo con el modelo d = v y en el instante inicial (t =O) d
= 1 m., v = 1 m/seg. ·
Método: Aproximaciones sucesivas.
Supongamos que el cambio de velocidad no se hace de forma continua,
sino que durante intervalos de tiempo regulares (cada vez más cortos), la ve­locidad
se mantiene constante y al pasar al siguiente intervalo se produce un
salto y se reajusta tomando el valor igual al de la distancia a la que se en­cuentra
en áquel instante.
27
Primera aproximación {A-1).-
Durante el primer segündo la velocidad (v) es constante y vale 1 m/seg ..
Por tanto, el espacio recorrido (s) durante este tiempo es 1 m/seg., 1
seg.= 1 m. ~,
La distancia (d) a la que se hallará será pues de 2 m.
t
o
(de O seg. a 1 seg.)
1 .
Ver figura 1. r:i = 1.
s
o
Segunda aproximación (A-2).-
d
1 m.
d+s=1+1=2m
V
1 m/seg.
2 m/seg
Durante el primer medio segundo v es constante a 1 m/seg.
Durante el siguiente medio segundo v es constante y su valor es igual a
la distancia a la que se encuentra A al finalizar el primer medio segundo. ·
t s d V
o o 1 m. 1 m/seg.
(de O a 1 /2 seg.) 1 . 1/2=1/2 1 rn + 1 /2 m = 1 + 1 /2 1+1/2
1/2
(de 1 /2 a 1 seg) ( 1 + 1/2) . 1 /2 1 + 1 /2 +( 1 + 1 /2). 1 /2= (1 + 1 /2)2
1 = (1+112)2 (ver•)
•) 1 +1/2+(1 +1/2).1/2=1.(1 +1/2)+1/2.(1 +1/2)=(1 +1/2).(1 +1/2)=(1 +1/2)2
(se saca (1+1/2) factor común)
Ver figura 2. n = 2.
Tercera aproximación (A-3).-
Durante el primer tercio de segundo ves constante a 1 m/seg.
Durante el 2° tercio de segundo v es constante y su valor se reajusta ha­ciéndose
igual a la dist.ancia a que se halla A al final del primer tercio de se-gundo.
·
Durante el tercer tercio de segundo v es constante y su valor se iguala a
la distancia a que se encuentra A al fin del 2° tercio de segundo.
28
~ m)
3
o 1 seg·
n::; 1
d(m) ¡
3
2
o 1 s
. 1
3
1
t o
fi~ 1 (n= 1)
t
fig. 2 (n=2)
v(.!11) s
3
2
o
1 s~
n=1
1 s t
t
29·
d(m)
3
2
o
30
d(m)
3
2
o
2
1
1
t(s} o 1 t(s)
fig.5 (n=5J
'f1-fl
3
2S
2
1.5
figtra parQ n = 1 O
1 t(s) o 0.5 1 t(s}
t s
o o
(de O a 1/3) 1/3 1 . 1/3'1!:1 /3
(de 1 /3 a 2/3) 2/3 ( 1 + 1 /3) . 1 /3
(de 2/3 a 1) 1 (1+1/3)2.1/3
d
1
1+1/3
1 + 1/3+( 1+1 /3).1 /3¡=
= (1+1 /3)2 ( 1 )
(1+1/3)2+(1+1 /3)2.
.1 /3=(1+113)3 (2)
V
1+1/3
(1 + 1 /3)2
(1 + 1 /3)3
( 1 ): 1 + 1 /3 + ( 1 + 1 /3) . 1 /3 = 1 . ( 1 + 1 /3) + 1 /3 . ( 1 + 1 /3) = ( 1 + 1 /3) .
. (1 +1/3)=(1 +1/3)2
(se saca ( 1 + 1 /3 factor común)
(2): (1+1/3)2+ 1/3. (1+1/3)2=(1+1/3)2. (1+1/3)=(1+1/3)3
(se saca (1 + 1 /3)2 factor común)
Haz la gráfica.
Cuarta aproximación (A-4).- Ejercicio.
Siguiendo los modelos anteriores, ahora has de estar en condiciones de
hacer la tabla correspondiente. Haz también la gráfica.
Quinta aproximación (A-5).- Ejercicio. Ver figura 5, n = 5.
Generalización:
En el estadio A-50 del proceso, lcuáles serían la distancia y velocidad
aproximadas, al cabo de 1 segundo? (Figuran= 50).
¿Y en el estadio A-1 00?
¿Y en los estadios A-1 000, A-1 0000, A-1 00000 y A-1 000000?
En general en el estadio A-n del proceso (n es un entero cualquiera)
¿cuáles serían la distancia y velocidad aproximada. [Respuesta ( 1 + 1 /n)"]
Cálculo:
Utilizando la calculadora haz una recopilación de los datos obtenidos, pa­recida
a la que sigue. (Recuerda que queremos saber la distancia a la que se
hallará A al cabo ·de 1 segundo).
Distancia aproximada al cabo de 1 seg.:
31
Estadio
2 3 .......... 100000 .......... 1000000 . ......
(n)
...
Dista ne.
2
(metros)
2,25 2,37 2,718268 2,7182804
Análisis:
Calcula tantos valores sucesivos de la distancia como te sean necesa­rios
para poder contestar con cierta seguridad a las siguientes cuestiones:
1) La sucesión de distancias, les creciente? (Es decir, lcada término es
mayor o igual que el anterior?).
2) lSe pone de manifiesto algún tipo de estabilidad en los dígitos de los
términos de la sucesión?
3) Dirías que el proceso realizado para calcular las distancias es finito
(es decir, que llega un momento en que no podemos seguir) o bien que por el
contrario puede continuar indefinidamente? (Prescinde de las dificultades
prácticas; se trata de si en teoría es posible seguir indefinidamente).
4) Es evidente que en principio podemos calcular d para cualquier ente­ro
n, y, por tanto, para todos los enteros, y puesto que hay infinitos enteros
tendremos una sucesión infinita de distancias (formada por una cantidad in­finita
de números). ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? Intenta explicarla
mejor.
5) Intenta poner de manifiesto la tendencia de la sucesión. Es decir, llos
números de la sucesión se acercan a un valor determinado? ¿crees que en
algún momento pasarán de 3?
6) Si crees que la sucesión se acerca a un número concreto, propón un
nombre para este número. (Es decir, un símbolo para representarlo, de la mis­ma
manera que el nombre de 3, 1 41 59 ... es íl).
7) Como te parece más conveniente llamar a la relación entre este nú­mero
y la sucesión? Por ejempto se podría decir que es el resultado de la
sucesión, o el límite de la sucesión, o la tendencia de la sucesión, o su fronte­ra,
o su confín ...
8) Intenta precisar al máximo en que consiste exactamente la relación
entre este número y la sucesión. Recuerda para esto el título de nuestro mé­todo:
aproximaciones sucesivas.
9) ¿cuál sería finalmente el resultado de nuestro problema? O sea, a que
distancia se encuentra A al cabo de 1 segundo.
(Observación: En la medida de lo posible, a medida que el alumno hace
el análisis, se ha de intentar que las generalizaciones las haga él, o como mí­nimo
que a medida que.las hace el profesor le parezcan consecuencias natu­rales
de cada fase de su propio análisis. Sea como sea a lo largo de estas
cuestiones el profesor debe explicar toda la teoría matemática de sucesiones
y límites).
32
¡
1
1
i
1
1
2-1-
1
1í/
1
1
¡
. . :·
... ··'
. . • : . . •'
. . • • • . . .
n=S
. .
. . . •
1
2
1 -
1 .-- ' -·
1 -r---
1
· 1
1
1 t(s) o¡
n=S
figura para n = 50
. (Aproximación A-50i
. t (s)
33
... y
12
11
1.0
9
rl 8
'1 = ri'-
7
6
5
- 5 -4 - 3 -2 "! 1 3 4 5 X
y
1()
9 2eVe
8
_X/2
7 y:_2
N0= 2
6 2a K =1/2
5
2Ve
-5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 X
·34.
SEGUNDA FASE (F-2).- FUNCION EXPONENCIAL
....
- Queremos saber a qué distancia se encontrara A al cabo de t segundos. (t
es arbitrario).
Repasa la parte anterior F-1 para darte cuenta de quE1 si en lugar de 1
segundo ahora son t segundos, obtenemos l¡¡is siguientes tablas:
· (si es necesario completa lo que sigue con tus notas y observaciones).
A-1.-
o
(de O a t) t
A-2.-
t
o
(de O a t/2) t/2
(de t/2 a t) t
A-3.-
t
o
(de o a t/3) t/3
(de t/3 a 2t/3) 2t/3
(de 2t/3 a t) t
s
o
1 . t = t
s
o
1 . t/2 =t/2
(1+t/2). t/2
s
o
t/3
(1 +t/3).t/3
d
1 + t
1 +t/2
1+t/2+(1 +t/2).t/2=
= (1 + t/2)2
d
1 +t/3
1+t/3+(1 +t/3) .t/3=
= (1 + t/3)2
(1 +t/3)2.t/3 (1+t/3)2+(1+t/3)2.t/3=
= 1 + t/3)3
V
1 + t
V
1 +t/2
(1 +t/2)2
V
1 +t/3
(1 +t/3)2
(1 +t/3)3
35
- Repite ahora la generalización que se ha hecho en la 1 ªfase.
R.espuesta: ( 1 + t/n)n.
- En la primera fase se habrá establecido con precisión el significado de la
expresión:
lim (1+ 1 /n)n =e
n --. oo
- Utilizando la calculadora, y para t = 1 O, asegúrate de que:
lim (1 + t/n)n .¡e
Observa la siguiente tablad= (1 + 10/n)n
n 2 3 100000
d 11 36 81,37 22015,4559
- De la misma forma comprueba que:
1
lim ( 1 + __ ¡nlt=e
n --. oo n/t
Observa la siguiente tabla parad= ( 1 + 1 ¡n/1 O
n/70
n 2 3 100000
d 1,2709 1,43 1,5525 2,718145
- Date cuenta de que:
36.
1
(1 +t/n)n = ([1 + --ln/t)t
n/t
1000000
22025,3645
1000000
2,718268
y de que por tanto:
..,.· 1
lim (1 +t/n)n=lim ([1 + --]n/t¡t
n -. oo n -. oo n/t
y puesto que t es un valor constante que no varía cuando n varía, resulta que
en este caso nuestra sucesión se acerca al valor:
Por tanto la distancia a la que se encuentra la galaxia A al cabo de t se­gundos
es d =et y su velocidad es.también v =et.
A continuación se indica el proceso a seguir -igual al anterior- para ob­tener
la expresión de otra ley física.
Repite, siguiendo las indicaciones y los cálculos hechos antes, todo el
camino y desarrollado con detalle.
Ley de desintegración radioactiva
La velocidad de desintegración de una sustancia radioactiva es propor­cional
al número•de átomos presentes en la sustancia en cada instante de-terminado.
·
Se intenta hallar el número de átomos que quedan al cabo de un tiem­po
t. Hazlo en dos etapas. Busca primero (F-1) los átomos que quedan al ca-.
bo de 1 segundo y después (F-2) el caso general, es decir, los átomos que
quedan al cabo de t segundos.
Notación:
No es el número inicial de átomos.
N el número de átomos que quedan al cabo de t segundos.
No - N el número de átomos desintegrados en el tiempo t.
k es la constante de proporcionalidad.
v es la velocidad de desintegración (número de átomos desin­tegrados
por segundos).
F-1.- A tomos que quedan al cabo de 1 segundo.
Igual que antes; considera sucesivamente este segundo dividido en ins­tantes
de tiempo cada vez menores.
37
tiempo átomos presentes átomos desinte- átomos que
instante anterior grados (v.t) quedan
o ~o O. No
No k.No No-k.No=No.(1-k)
tiempo átomos presentes átomos desinte- átomos que
instante anterior grados (v.t) quedan
o No o No
1/2 No 1 /2.k.No No.(1-k/2)
· 1 No.(1-k/2) 1 /2.k.No.(1-k/2) No.(1-k/2}2
En general, obtendrás que los átomos que quedan al cabo de 1 segundo
-al dividir en intervalos de tiempo de longitud 1 /n- son:
No. ( 1 - k/n )n
y por tanto:
N = lim No. (1 - k/n)n
n --.. oo
Repasa la parte final anterior y verás que:
-k N =No. e
F-2.- Atemos que quedan al cabo de t segundos.
Repite lo mismo con un tiempo t. Llegarás a que:
N = lim No ( 1 - k. t/n)n
n --.. oo
y por tanto obtendrás la ley de desintegración buscada que es:
N =No. e-k.t
Observaciones finales:
En los dos problemas hemos obtenido:
1) d =et
2) N =No. e-k.t (No y k constantes).
38
Normalmente en Física la variable independiente suele ser el tiempo y
se representa por t. En matemáticas, una notación usual para esta variable
es la letra x.
Así las anteriores expres~nes se convierten en:
1) d =ex
2) N = No . e-k.x
Análogamente, la otra variable (distancia [d] y número de átomos [N]),
en Física se suele escribir con diversas letras según el fenómeno que se esté
estudiando. En matemáticas es corriente designarla por la letra y.
Tenemos finalmente, pues:
1) y= ex
2) v= No. e-k.x
Terminamos con dos gráficas de estas funciones, haciendo notar lo si-guiente:
~
En nuestros ejemplos la x era el tiempo t. Puesto que el tiempo no puede
ser negativo, 1.as gráficas en nuestros problemas están en la parte positiva de
la x (línea continua). Ahora bien, la x puede representar otras variables
-aparte del tiempo- que pueden ser negativas y por tanto en general las grá­ficas
de la parte riegativa de la x (línea a trazos) también serán válidas.
'39