Matemáticas y música: el matrimonio secreto

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MATEMATICAS Y MUSICA:
EL MATRIMONIO SECRETO
José Ma.r~a A1varez Fa1cón.
Sevi11a.
J:NT.RODUCCJ:ON
Il Matrimonio Segreto es una ópera del compositor italiano
Domenico Cimarosa, escrita y estrenada -con enorme éxito- a finales
del siglo XVIII. Pero no sólo es &so: de "matrimonio secreto" cabe
calificar la relación que existe entre Música y Matemáticas. La razón
es obvia: no es frecuente encontrar matemáticos que sepan Teoría
musical, y mucho más infrecuente es encontrar músicos que sepan
Matemáticas, de ordinario las aborrecen. Mi intención ?hora es
desvelar, en la medida de lo posible, la relación íntima que existe
entre ambas ciencias -que lo son-: sobre todo en lo que se refiere a
la construcción, a finales del XVII y a comienzos del· XVIII, dé la
llamada escala temperada o escala de Bach, pues culminó con la
publicación de su monumental "El clave bien temperado" (1722-1744).
Esta escala ha seguido utilizándose hasta nuestros días. Toda la
música romántica, posromántica y nacionalista fue escrita utilizando
esta escala. Tan sólo con la llegada del impresionismo (Debussy,
sobre todo), ha empezado a investigarse en nuevas escalas, que han
dado paso a la música serial y concreta contemporánea. Pero desde
luego. la llamada música ligera (de películas, Julio Iglesias,
Beatles, etc.) sigue hoy utilizando la escala temperada.
¿y qué es una escala?. No es sino un conjunto de notas. distin-
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tas y ordenadas. con las cuales se forma una melodía (haciéndolas oír
una tras otra) y/o una armonía (haciendo oír varias de ellas a la­vezl.
Esto último es muy importante, pues complica enormemente la
elección de la escala. No se trata de elegir una escala de temperatu­ras,
por ejemplo, ya que no tiene sentido superponer mediciones de
éstas -y aún así hay varias-; hay que formar una escala que permita
la aud"ición agradable al oído de varias notas a la vez. así como una
secuencia melodiosa de notas oídas consecutivamente.
Desde luego este problema no se hubiera planteado si todos los
instrumentos tuvieran la capacidad de emitir sonidos de forma conti­nua
(violín, voz humana. etc.), pero es obvio que hay instrumentos
que sólo emiten un número finito de sonidos (piano, guitarra, arpa,
etc). Hay, pues. que elegir esos sonidos. Pero lcuáles?
Tenemos, pues, identificado el problema. A lo largo de este
trabajo intentaré seguir el método I.D.E.A.L. de resolución de
problemas.
PANORAMA
Para llegar a la situación que permitió la construcción de la
escala temperada es preciso empezar por Pitágoras. Es de todos
conocida la pasión de los pitagóricos por los números como regidores
de todo el Universo. La Música no podía escapar de esta norma, y así
Pitágoras descubrió que dividiendo una cuerda tensa en proporciones
sencillas (1:2, 2:3, etc) los sonidos que se generaban eran melodio­sos
y armoniosamente superponibles. Les fascinó tanto este descubri­miento'
que incluso llegaron a hablar de la Armonía de las Esferas,
refiriéndose a los cuerpos celestes.
Pero hay que esperar a 1638 para llegar al necesario concepto de
frecuencia. En efecto, en ese afio publica Galileo sus DISCORSI y aquí
se atribuye por vez primera la altura de-un sonido a la frecuencia y
se caracterizan los intervalos musicales (melodías, esto es, sucesión
de notas) por las razones (fracciones) entre las frecuencias. Demues­tra
igualmente que la frecuencia de un sonido es inversamente propor­cional
a la longitud de la cuerda vibrante que lo produce.
No cabía esperar menos de un genial matemático, que a su vez era
hijo de un genial músico del mismo nombre, copartícipe en la inven­ción
de la llamada Ars Nova, que conduciría inexorablemente a la
ópera y a la música de cámara tal como hoy día la conocemos. Bien es
verdad que dos afios antes había publicado el P. Marin Mersenne su
Armonía Universal, con la teoría y práctica de la música, donde se
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anticipan estos conceptos de modo más embrionario. Paralelamente
Gassendi descubre los armónicos: sonidos de frecuencia doble, triple,
etc, que se emiten siempre con el sonido fundamental.
Veamos ahora, en lo que nos afecta más directamente, el panorama
matemático:
En la primera mitad del siglo XVI Napier (Neper) descubre los
logaritmos y publica la primera tabla. Su hijo publicará después todo
el proceso de cálculo. A finales del XVII se utilizan ya con soltura,
sobre todo gracias a los desarrollos infinitos (fracciones continuas,
series, productos infinitos. etc) a los que los matemáticos de este
siglo eran tan aficionados (Wallis, Brouncker. Mercator. Gregory ... ) .
No necesitamos más para construir la escala temperada; el
terreno está, pues, abonado. Sólo falta la llegada de un teórico que
sepa utilizar toda esa información para llevar a cabo la tarea que
nos ocupa y que nosotros haremos. con notación actual, por supuesto,
en el capitulo siguiente.
1700,
Nuestro personaje se
construyó y afinó por
llama· Andreas Werckmeister, quien, hacia
vez primera un instrumento de teclas de
acuerdo con la escala temperada.
CONSTRUYENDO LA ESCALA.
Hay una serie de condiciones "razonables" que toda escala debe
cumplir. Al decir razonables no debe entenderse "necesarias", esto
es. no son demostrables y deben incluirse en la categoria de axiomas.
De hecho hay escalas relativamente recientes (Debussy. Bartok.
Scriabinl que no las cumplen. No debe extraftarnos; baste recordar lo
que ocurrió con los axiomas de Euclides ...
Las condicio·nes referidas son las siguientes:
l. Toda escala que contenga un sonido de frecuencia f. debe
contener un sonido de frecuencia 2f.
La razón de esta condición se remonta a Pitágoras, quien descu­brió
que reduciendo una cuerda vibrante a la mitad (doblando, por
tanto. la frecuencia). el sonido generado era el más ·parecido y
superponible. al anterior. Nosotros llamamos a esto - ( f, 2f )- "interva-lo
de octava". y las notas que se producen tienen incluso el mismo
nombre. Más aún. este intervalo cierra la escala y da paso a otro
(2f .4fl que es absolutamente equivalente al anterior. Veáse el
teclado de un piano (fig. 1).
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2. Toda escala que contenga un sonido de frecuencia f. debe
contener un sonido de frecuencia 3/2 f.
De nuevo la razón es pitagórica. En efecto. disminuyendo la
cuerda a 2/3 de su longitud el sonido generado es. después del
anterior (2f) el más armonioso y superponible con el fundamental.
Llamamos hoy a este intervalo -(f.3/2f)- "quinta justa" y es el que
da el sentido de conclusión al final de toda composición musical (ej.
sol-do; mi-la; etc.).
3. Toda melodía interpretada usando las notas de una escala que
comience (la escala. no necesariamente la melodía) con la frecuencia
f. debe poder interpretarse. sin camb·io perceptible. usando otra
escala que comience en cualquier otra nota de la escala anterior.
Esta es. sin duda. la condición más delicada y la que realmente
aporta elementos nuevos a las escalas usadas hasta entonces. A este
cambio de notas sin alj;.erar la melodía original. se llama modulación
y es indispensable para que uná misma melodía pueda ser cantada por
voces de distinta altura (tenor. barítono. contralto. soprano. etc.).
o interpretada por instrumentos de diversa tesitura (violín. violon­cel
lo. viola. etc.). Hasta la invención de la escala temperada, la
transcripción de obras originales para un cierto instrumento, a otras
escritas para cualquier otro de distinta tesitura, era prácticamente
irrealizable.
Hagamos. por fin, uso de las matemáticas aplicándolas a esta
última condición. Consideremos la melodía más simple que se puede
fabricar con una escala. esto es. todas las notas de la escala oídas
ordenada y sucesivamente:
donde m representa el número de notas de la escala. (Recordemos que
la escala empieza en la nota f y termina en la nota de frecuencia
2f).
Hagamos la transposición más sencilla, esto es, empecémosla por
la nota f, La nueva melodía terminará pues en. la nota fn+l • Como es
sabido (Galileo, P. Mersenne) el cociente entre las frecuencias
nuevas y antiguas debe ser el mismo para dar al oído la misma sensa-·
ción. Se tiene, entonces,
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f1 f2 f2 f, f,. f •• 1
fo f1 f1 fa f.-1 7,;
f1 f2 f, f,. f .. 1
fo f1 f2 f .. 1 7,;
Pero la anterior expresión define a la sucesión de notas como una
progresión geométrica (*)~ Podemos determinar su razón r. Tenemos
Parece, pues. lógico tomar logaritmos en base 2 (*) y pasar de una
progresión geométrica a una progresión aritmética (*). Esto, sin
duda, simplificará los cálculos. CA finales del XVI no hab:ía calcula­doras
electrónicas). Tenemos ahora que la p.g.
se transforma en una p.a. de diferencia 1/m {*):
A, A + _! , A + -ª., A + ]. ,
m m m
A + m-l , A + JB • A + l
m m
donde A • log2 f 0
.Viene ahora la pregunta fundamental: lCuánto ha de valer m?,
esto es, lcuántas notas ha de tener la escala temperada para satisfa­cer
nuestras necesidades?
Para responder a esta cuestión, que definirá perfectamente la
escala buscada, hagamos uso del
Si la escala debe contener
a una cierta nota
11Axioma 2 11
:
al sonido de frecuencia (3/2) f., .debe
corresponder de la escala. Sea ésta la k-ésima.
'Recordando 1 a progresión aritmética (logar:ítmical tendremos que el
logaritmo binario de la nota k-ésima es:
1 Los asteriscos indican situaciones donde podr:ía ser útil y
conveniente recordar -al alumno el concepto utilizado y trabajar
con él hasta manejarlo con soltura.
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y el mismo logaritmo de la frecuencia
Se tiene. igualando: log2%= ~
ecuación que debería ser verificada para k y m obviamente naturales.
Salta a la vista que esta ecuación es irresoluble. Dicho de
otra manera. log 3 2a es un número irracional. y. por tanto. no puede
expreRarse como una fracción. (*)
En efecto. por definición de logaritmo se tiene:
Elevando a la potencia m
Resulta que el primer miembro es siempre par. mientras que el segundo
es siempre impar. Esta contradicción demuestra que una escala tempe­rada
no puede contener "quintas justas". Así pues. o renunciamos a
las quintas justas o renunciamos a la escala temperada. Veamos. ante
tan difícil situación. si podemos encontrar una solución "de compro-miso
11
•
Intentemos aproximar lo suficiente (para que el oído no lo note)
el número irracional log2% por una fracción k/m. Usa.remos para el lo
las llamadas fracciones continuas o infinitas (*) de la forma:
1
38
l
y la iremos aproximando por la sucesión (*) de fracciones reducidas:
1
Hagamos . De la definición de logaritmo se tiene 2'"' • 3 2
Se ve fácilmente que x < l. Sustituimos x por y= 1/x . Es claro que
y >l. La ecuación anterior se escribe, pues,
Es evidente que y está comprendido entre 1
(3/2)ª= 9/4 > 2 ) . Hagamos ahora el cambio y
que z > 1 (*). La ecuación Ü1tima queda (*l:
y 2 (ya que 3/2 < 2 y
1 + 1/z. Resulta ahora
(-3) 1 •-! 3 3 1 3 1 4
- - 2 - - (-) "i - 2 - (-) "i - 2 2 2 2 3
As:í: (.!)• - ].
3 2
Resulta, pues que 1 < z < 2.
El proceso va a repetirse varias veces. Para no resultar muy
aburrido intentaré abreviarlo lo más posible, no sin antes indicar·
que podr:ía utilizarse como ejercicio de ordenación de racfonales, en
cualquiera de sus formas conocidas, no sólo como fracciones sino como
decimales.
Hagamos un cambio similar: z = 1 + l/u. La ecuación queda:
. En este caso se tiene (compruébese) que 2<u<3. Hagamos el nuevo
cambio u• 2 + 1/v. Obtenemos as:í:
De donde:
39
.Se puede comprobar (quizás aquí sea más útil la calculadora y compa­'
·rar decimales) que :;\ < v < 3. Es claro que los cálculos son indefini­dos,
pues el número que queremos aproximar por una fracción continua
es irracional; pero podemos pararnos aquí.
Resumiendo, hemos obtenido:
x= .! 1 1
y 1+.! 1+-1- z 1+.! n
1
1+--=1:....._
1+-1-
2+.!
V
1
1+ 1
1+ 1
2+--1-
2+ •••
Las cuatro primeras fracciones reducidas (esto es, valores de k/m que
aproximan a son:
.! = 1 1
,
1 1 3 1 7
l+.!
= 2 l+ 1 5 1l 1 l+ 1
1 1+.! 1+-1-
2 2+.!
2
(No estaría de más observar que son los cuatro primeros términos de
una sucesión de racionales que tiene por límite un número irracional.
Recuérdese la construcción, ya histórica, de I con sucesiones de
racionales).
El valor. más o menos exacto de 3 log2 "2 puede conseguirse con
una tabla de logaritmos vulgares (o, más recientemente, con calcula­dora)
y un apropiado cambio de base (*). El valor, exacto hasta el
tercer decimal, es 0.585.
Las dos primeras aproximaciones son demasiado groseras. La
tercera (3/5 = 0.6) no es muy aproximada, pero cabe sefialar (recuér­dese
que el denominador es el número de notas de la escala) que es la
utilizada en los países orientales, cuya escala consta de cinco notas
- . -- - - - - - -
(pentatónica) y que suena a nuestros oídos como si la música se
interpretara exclusivamente con las notas negras de un piano (ver
teclad.o). El logro de la música occidental consistió en dar un paso
más y considerar la siguiente aproximación, esto es 7/12
(= 0.58333 ... ) . En efecto. la escala temperada contiene doce sonidos
40
separados por una razón constante de frecuencias. A esta razón
constante ( 1'V2 • intervalo entre teclas consecutivas, blanca-negra o
blanca-blanca, si no hay negra entre ambas) se llama semitono, y a
dos. semitonos consecutivos se le llama tono. Nuestra "cuasi" quinta
justa es laªª nota de la escala (la primera es f~ no f 1 ), como puede
comprobarse en el teclado. Veamos ahora cómo ha quedado la escala
(fig. 2). Resulta obviamente dividida en 12 notas equidistantes, de
las cuales siete son las fundamentales (empezando por do:do-re-mi-fa­sol-
la-si), separadas respectivamente por (fig. 2) tono-tono-semito­no-
tono-tono-tono-semitono. Si queremos conseguir esta misma escala
empezando, por ejemplo, por mi, habrá que utilizar teclas negras para
mantener la misma separación entre teclas en tonos y semitonos como
en la anterior en "do". Si se hace as:! se comprueba fácilmente que el
oído no distingue una escala de la otra.
Puede observarse que ·la división de la escala no es solamente
casual. Digo solamente ya que no cabe negar el papel de la intuición
en épocas anteriores para llegar a esta división. De cualquier forma
es indiscutible que la división en semitonos iguales, que posibilita
la transcripción y modulación de piezas musicales no se hubiera
conseguido sin el desarrollo suficiente de la acústica y de las
matemáticas que ambas ciencias alcanzaron en Europa al final del
XVII. Tan
XV (1482)
es as:!, que en fecha tan temprana como el final del siglo
el músico espaftol Bartolomé Ramos de Pareja, a la sazón·
profesor en Bolonia, propuso una escala dividida en doce sonidos
equidistantes. atrayéndose la crítica más feroz de sus contemporáneos
(de hecho no consiguió nunca una cátedra en esta Universidad) y, lo
que es más grave, con la imposibilidad de llevarla a cabo por falta
de fundamento teórico necesario, por más que poseyera el convenci- ·
miento intuitivo de la necesidad de una escala asf construida.
UNA V:C:S:C:Ol'-l REr.ROSPEC'T:C:VA
Las Matemáticas jugaron ya su papel. Sólo queda responder -muy
brevemente y para terminar- a un par de cuestiones que pueden natu­ralmente
plantearse.
l. lEs nuestra "cuasi" quinta justa lo suficientemente próxima
al intervalo exacto f - 3/2f?
41
/
La respuesta es sí, pero hay que esperar a mediados del XIX para
tener mediciones absolutas de frecuencias. Hoy podemos asegurar que
la diferencia entre ambas es menos de lHz. que se supone el umbral
diferencial mínimo para el oído humano.
2. lFue la escala temperada inmediatamente aceptada?
Aquí la respuesta es no. Incluso Diderot sostenía, a finales del
XVIII, que una escala que no contuviera intervalos justos no podía
servir para fines musicales serios. Seguramente no apreciaría la
música de Bach (no es raro, en un fra.ncés de 1 a época) : de otro modo,
y después de oír el Clave bien temperado, no se explica dicha afirma­ción.
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