Proporcionalidad y probabilidad

              PROPORCIONALIDAD y PROBABILIDAD
Lui<l A, Santal6
En los problemas clásicos,la proporcionalidad aparece como
una relación exacta,en el sentido de que compara magnitudes bien determi
nadas y con medidas que ~e ·supone conocidas exactamente. Es la manera CQ
mo opera la llamada "regla de tres" de la escuela elemental. AsÍ,en el -
movimiento uniforme,el espacio recorrido durante un tiempo fijo,es pr~ -
porcional a la velocidad y,para una velocidad determinada,es proporciQ -
nal al tiempo. También, el precio de una determinada mercadería es propo~
cional a la medida de la misma (longitud, si se trata de telas o alambre~
peso, si se trata de azúcar o patatas;volumen,si de líquidos como vino o-aceite).
En las clases de nivel medio, conviene poner abundantes ejemplos
de magnitudes proporcionales,como las que acabamos de mencionar,y otros -
de las que no lo son (esp~cio recorrido por un cuerpo que cae y el tie~­po
transcurrido, crecimiento de una población y el tiempo transcurrido ,
etc.). En general, es muy conveniente hacer la representación gráfica de­una
magnitud -de su medida- en función de la otra,para ver si es o no
una recta.
La cosa es distinta cuando una de las magnitudes,o las dos,e~­tán
determinadas por un procedimiento al azar. Un ejemplo típico es el -
siguiente. Supongamos un volumen V de un líquido que contiene ciertas -
partículas en suspensión (virus o bacterias,por ejemplo). Se toma,al
azar,una pequeña porción de lÍquido(una muestra). Supongamos que sea de-
-9-
volumen v, y se c~enta el ndmero de partículas que contiene,sea n. Si N
es el ndmero total de partículas, se acepta la proporcionalidad
n / v N / V (1)
es decir,la proporcionalidad entre los voldmenes y los ndmeros de parti­culas
que contienen. Esto permite calcular el ndmero total de partículas
V , o el ndmero de ellas por unidad de volumen. Asi se procede,por eje~­plo,
para medir el ndmero de globulos rojos de la sangre,por centímetro -
cÚbico,a partir de su número en una gota o en una muestra cualquiera ;o­bien,
el númsro de bacterias por unidad de-volumen del agua de una laguna
o de un rio. Sin embargo,.aunque se supone que las partículas están "uni­formemente"
distribuidas en el volumen total V ,lo que equivale a post_!!­lar
la proporcionalidad mencionada, el ndmero n no es exacto, sino que d~­pende
de la muestra elegida. Es decir,interviene el aza~. Por tanto,la -
igualdad (1) no tiene e~ sentido de una igualdad usual.pues el segundo -
miembro es una constante bien determinada,mientras que el primero puede­variar
con la muestra de volumen v que se elija.
La interpretaci6n exacta de (1) es que,para cada volumen v,el­ndmero
n es una variable aleatoria que depende de v,la cual tendrá una -
cierta esperanza matemática l(n) . La ecuación (1) quiere decir que se -
cumple la igualdad
l(n) = (N/V)v (2)
o sea,poniendo (N/V) = k (constante),que se cumple
l(n) =kv (3)
Sin puede tomar un solo valor para cada v ,será
l(n) = n
y la forma (3) es la de proporcionalidad en el sentido usual n =kv.
Veamos de ordenar todo esto en una definición general. Sea x -
una variable real (no aleatoria) que puede variar en un cierto dominio.­Para
cada valor de x supongamos definida una variable aleatoria y(x) que
puede tomar,con cierta probabilidad,determinados valores. Sea l(y) la e~
peranza matemática de y para cada x. Si se cumple
l( y) = kx (4)
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siendo k una constante,diremos que la variable aleatoria y y la variable
no aleatoria x son proporcionales. Si para un cierto valor x=xo la vari~
ble aleatoria y puede tomar un solo valor y=y 0,entonces l(y(x0J=yo y (4)
nos dice que el valor de la constante k es el cociente y 0!x0 .
Vamos a considerar algunos ejemplos
lj e.m¡do 1.
Se desea calcular el número de peces N de una laguna. Para
ello, se pescan m peces,los cuales se marcan de cierta manera y se arr~ ~
jan nuevamente,con vida,al agua. Después de transcurrido un cierto tie~-
po,para que todos los peces,marcados y no marcados,se hayan mezclado, se-pesca
un lote de n peces,de los cuales resulta que hay m1 marcados. Con­estos
datos,~~ué puede decirse sobre el número buscado N?
El número de peces n de la muestra extra{da corresponde a la -
variable x anterior, y el nJm~ro m1 de peces marcados corresponde a la v~
ria ble aleatoria que hemos indicadci por y=y( x). Queremos calcular l(m 1 J.
Si a cada pez de la muestran asignamos la variable aleatoria Y¿ (¿=J,2,
, •• n), que vale si el pez está marcado y O si no lo está,será
Puesto que la esperanza matemática de una suma es igual a la -
suma de las esperanzas matemáticas y l(y 1J es la probabilidad de que un­pez
esté, narcado, y por tanto vale m/N, resulta
Um1.I = nm/N
Como m/N es una constante,independiente de la muestra,se cu~ -
ple (4) y,en consecuenci~,la variable aleatoria m1(número de peces marc~
dos de la muestra) y la variable no aleatoria n(número de peces de la
muestra) son proporcionales.
Se suele decir que m1!m es un e.-0t¿madon de m/N y se escribe
(m/N)* = m1/n (5)
Se trata de un estimador insesgado,puesto que su esperanza m~­temática
l(m 1J!n coincide con m!N. Esto permite estimar el número total­de
peces por la fórmula
N* = mn!m1 (6)
-11-
(( Para aclaraciones sobre el método y abundante bibliografía-relativa
a este ejemplo, se puede ver Azo~ln Poch,t,-Cu~-00 de Nue-0t~eo y­Apncacione-
0-In-0tUuto Nacional de E.-0tadl.-0tica-zi:!: edici6n-Nad~id, 1962
principalmente los capítulos 7 y 27. Otros detalles están en el libro de
W,te¿ee~ "An Int~oduction to P~o!a!ility and it-0 Appfication-0",voe.1-J.-
Wiley-New Yo~k,1950-pág.37,que vincula el problema con la llamada distri
buciÓn hipergeométrica,cuya esperanza es la E.(m 1J = mn/N mencionada. t&­eee~
considera el e.jemplo en que m=1000 , n=1000 y m1:100,con lo cual r~
sulta N* :10,000)).
Para comprobar el método seguido en el ejemplo 1,para estimar­números
grandes de objetos, se puede hacer la siguiente experiencia. Se~
toma un montón relativamente grande de palillos ~ fósforos o granos cua­lesquiera.
Se marca un número m de ellos. Se devuelven al montón primiti
y se mezclan todos bien.~Luego,se saca,,al. azar,una muestra y se cuenta­exactamente
cuántos objetos la forman;supongamos que sean n. Si entre
ellos hay m1 de los marcados, el valor estimado del número total N nos lo
da la fórmula (6), Por ejemplo, si m=80 , n:60 y m1=5 ,es N* :960,
E.jemplo 2
En una población de N habitantes se desea estimar el número de
ellos que son fumadores. Se toma una muestra de n personas elegidas,para
que se pueda suponer que están uniformemente repartidas en el total N,en
diferentes barrios,de diferentes edades, sexos y ocupaciones. Si el núm~-
ro de fumadores de la muestra es m1,las mismas consideracion.es del eje]!l­pl~
anterior conducen a la proporci.onalidad
E.(m 1J = mn/N
entre el número Je fumadores m1 y el número de individuos n de la mue§. -
tra. Esto permite tomar como estimador insesgado del número buscado m a
m* = m1N!n (7)
Este método es la base de las encuestas de opinión para pred~­cir
resultados electorales,realizar análisis de mercados o evaluar la a~
diencia de programas de televisión.
E.jemplo 3
-12-
Dentro de un cuadrado de lado a se tiene una figura H cuya
área T se quiere determinar. Para ello se toman m puntos al azar en el-cuadrado
y supongamos que m1 de ellos hayan caído dentro de H. El caso­de
los puntos que caen en el contorno de H es de probabilidad nula y
puede no ser tenido en cuenta. La probabilidad de que un punto dado al­azar
en el cuadrado caiga dentro de H,es igual al cociente de las áreas
(T!a 2 ),lo ·que equivale a. admitir que los puntos . .cieL·cuadrado son igual,-
mente probables y que han sido elegidos con probabilidad uniforme.Por .. -
tanto,la probabilidad de que dentro de H hayan caído m 1 puntos del t2 -
tal de los m puntos elegidos,responde a la ley binomial con probabili -
dad T!a 2 Luego la esperanza matemática de m1 es l(m 1 J = (T!a 2 Jm. Es -
decir,m 1 y T son proporcionales, según la definición (4). Y,en consecue~
cia,se tiene para T el.estimador
T* m 1a
2 / m,.. · (8)
Para realizar práctica~ente este ejemplo en la clase,lo que -
es muy instructivo, conviene que todos los alumnos dispongan de una t~ -
bla de números al azar de unos 500 dígitos. Se puede tomar de algún te~
to de Probabilidades o de Estadística; por ejemplo,del libro de Sixto -
Existen muchos métodos para obtener números al azar, como los mencionados
en La~ PAotatititi~ a t'icota~da n.Qtayman y T,Va4ga-C[DIC,1973 (p&g. -
158 da ta iAaducción ca~tattana da [d,Taida,}, También pueden tomarse -
de alguna computadora.que_lbs suministre.
Es importante que las tablas de cada alumno sean distintas,p~
ra evitar así que se copien l·os resultados y, sobre todo,porque al tomar
el promedio la aproximación obtenida será mayor.
Tomemos entonces un cuadrado de 10 cm de lado,de papel milim~
trado o de cuadriculado fino. Para tomar puntos al azar en el cuadrado,
se toman cuaternas de números al azar de la tabla,de manera sucesiva. -
Por ejemplo,la tabla de Sixto Ríos comienza con las cuaternas
2034 5600 2400 7583 1104
y los sucesivos puntos que se van tomando son los de coordenadas,enre~-
-13-
tímetros, (2,0 ; 3,4) (5,6; 0,0) (2,4 ; 0,0) (7,5 ; 8,3)
(1,1 ; 0,4) , ••• y así sucesivamente hasta los 100 puntos (400 números -
de la tabla), De estos puntos, se cuentan los m 1 que han caído dentro de
la figura H y, según (8) (para a=10 cm , m:100) el número m1 será el 'área
2
estimada de H en cm •
. Como comprobaci6n del m'todo se puede tomar una figura de área
conocida y comprobar el resultado que,naturalmente,no será exacto pero ,
en general,dará una bastante buena aproximaci6n. Tomando valores may2 -
res de m,se obtendría una mayor aproximaci6n. Por ejemplo,tomando en el
cuadrado de 10 cm de lado,un círculo de radio 3 cm,en cualquier posici6~
con las primeras 100 cuaternas de números al azar de las tablas se obti~
nen 100 puntos,y el número de ellos que resultan interiores al círculo ,
casi seguro que no será muy diferente de 28,que es el área del círculo -
de radio 3 (en número entero ~e cm 2 ). Haciendo la experiencia tomando ,,,
como centro ctel círculo el punto (6,6) y usando las tablas de Ríos, se o,]2
tiene m1 :29 -con cierta duda acerca de dos o tres puntos del contorno-,
resultado bastante aproximado,
ljempeo 4 .- Deie~minación de rr po~ ee aza~
Teniendo en cuenta que el área del círculo de radio 3 es 9rr ,
del resultado anterior se deduce que un valor estimado de TI es 29/~3,22.
Tomando un número más grande de puntos dentro del cuadrado,el valor r~­sultante
sería más aproximado.
El m'todo se puede aplicar a cualquier figura H cuya área se -
exprese mediante'rr y,entonces,la f6rmula (8) permite despejar esta con~
tante. Tomando,por ejemplo, el cuadrante de círculo de centro un v'rtice
del cuadrado y radio igual al lado, un valor e,stimado de rr resulta ser -
rr* :4m 1 / m. Ver,por ejemplo,el libro citado de qeayman y Va~ga,págs.
199-202.
El m'todo de hallar ciertas constantes,y aun ciertas funci2 -
nes,u~}lizando una simulaci6n por el azar, se denomina método de ~onie -
1
Ca~eo y, sobre todo con la ayuda de una computadora que permita simular-un
número grande de experiencias, tiene muchas aplicaciones.
-14-
Oi.1LO/.> ejemplo<>
Hay ejemplos, cuya fundamentación teórica no es tan simple,p~­ro
que vamos a mencionar para el lector interesado en estas cuestiones.
Pueden verse,por ejemplo,en Lui<> A. Sani.aló-Ini.eg1Lal yeomei.1Ly and yeom&
illic P1Lotatilii.y-Addi<>on We<>ley,Reading- U.S.A,,1976-Cap.8.
E.j. 5
Supongamos el reticulado formado por rectángulos congruentes -
de lados a,t que cu~ren todo el plano, es decir, consideremos el plano dJ:
vidido en rectángulos por dos haces de rectas paralelas y perpendicul~­res
entre sÍj a disancias respectivas a y t.
Se lanza una curva de longitud L al azar sobre el plano y se­cuenta
el número de puntos de intersección-sean-con las rectas del r~­ticulado.
La forma de la curva puede ser cualquiera e incluso puede ser
un hilo deformable cuya for~a sea variable en cada experiencia,mientras
mantenga la longitud L. Se puede demostrar que el valor medio o espera~
za matemática del número n vale
E.(n) = 2(a + t) L,/ nat (9)
Según la definición (4) esto significa que la longitud L es ~
proporcional a la variable aleatoria n. Y (9) nos dice que se puede t~­mar
como estimador de n el valor
n" e 2(a + t) L / nat
o bien calcular la longitud estimada de L por la fórmula
L* = natn / 2(a + t)
Experimentalmente se puede calcular n* haciendo la experie~ -
cia un número grande de veces y tomando el valor medio del número de
puntos de intersección de la curva con el reticulado de rectángulos.
Considerando el caso a , el reticulado se reduce al plano
dividido por un haz de paralelas a distancia t y entonces es
Un) = 2L / nR._
En particular, si la curva es un segmento de longitud L~t,el -
número n sólo puede tomar los valores 1 ó y,por tanto,E.(n) es la pr~­babilidad
de que el segmento corte a alguna paralela. Es el resultado -
-15-
clásico del llamado p~o!l2ma d2 la aguja,d2 Button. También en este c~­so,
como se menciona en muchos textos clásicos de Pr.cbabilidades, se puede
calcular rr por el azar,tomando
1r* 2l / !l(n)
y calculando experimentalmente é(n) lanzando al azar el segmento o ag~­j
a repetidas vec.es sobre el haz de paralelas, y calculando el valor m~ -
dio del número de veces que corta a alguna paralela.
En términos de la teoría de juegos de azar,podemos considerar
el de lanzar al azar una curva de longitud l y forma cualquiera sobre -
el reticulado de rectángulos de lados a,€. y convenir que el jugador C.9_­brará
como premio tantas unidades monetarias como puntos de interse.9.
ciÓn n de la curva con el reticulado. Para que el juego sea equitativo,
el valor de la puesta debe ser igual al valor medio é(n) dado por (9).­Si
se cobra más, el juego ,es. favorable. a la banca; si menos,lo es al ju@
dor.
Por ejemplo,si el reticulado está formado por cuadrados del~
do unidad,la puesta debe valer
[( n) = 4Lrr
cualquiera que sea la forma de la curva.
En el caso de Button del reticulado de rectas paralelas a di~
tancia €. ,la puesta debe valer
Un) = 2l / rr!
éj,6
Supongamos el plano cuadriculado por cuadrados de lado a. Se­lanza
al azar sobre el mismo una aguja de longitud L~ a (para que sólo­pueda
cortar al reticulado en 2 puntos a lo sumo). Se desea saber las -
probabilidades P¿ de que la aguja corte al reticulado exactamente en¿
puntos ( i:0,1,2). Se puede demostrar que estas posibilidades valen,re~
pectivamente
p o 1 - 4l / Tia + (l2 / rra 2 )
p 4l / 2l2 / rra 2
1 rra
p
2
L2 / rra 2
-16-
Es instructivo hacer la comprobación experimental de estos r~
sultados. El valor medio del número de puntos de intersección será,de -
acuerdo con ( 9),
Un) = O.Po + 1.P1 + 2,P2 = 4L I 1Ta
Como juego de azar,los resultados anteriores pueden interpr~
tarse de distintas maneras,a saber:
a) Si el jugador recibe un premio P cada vez que la aguja
lanzada tenga con el reticulado ¿ puntos de intersección,para cada v~ -
lor de¿ fijado de antemano (i=0,1,2),la puesta debe valer PP¿•
b) Si el jugador recibe de premio tantas unidades como PUB -
tos de intersección logre,el valor de la puesta debe ser l(n) = 4L /11~
que hemos visto es el mismo cualquiera que sea la longitud L y la forma
de la curva lanzada,
Buenoh Aineh , ~ayo de 1988
-17-
III CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE
LA DIDÁCTICA DE LAS CIENCIAS
Y DE LAS MATEMÁTICAS
Santiago de Compostela 21 a 23 de septiembre de 1989
Revista de invcst igación y experiencias didácticas
LA INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Y EL TRABAJO EN EL AULA
Presentación
Una de las sugerencias,.. e¡;¡ que más
han insistido últimamente los subs"
criptores de Enseñanza de las Ciencias,
así como los asistentes al 2° Congreso
celebrado en septiembre de 1987, ha si­do,
sin duda, la necesidad de aproxi­mar
la investigación didáctica al trabajo
del aula. No ·basta -se señala acer­tadamente-
con poner en evidencia la
existencia de graves errores conceptua­les,
analizar críticamente la visión del
trabajo cie11tífico que la escuela trans­mite
o denunciar las actitudes negati­vas
hacia la ciencia que la enseñanza a
menudo genera: es también necesario
elaborar propuestas positivas de actua­ción
eri la clase. Dicho de otro modo:
cabe esperar que la investigación di­dáctica
abra y fundamente perspectivas
de innovación. De hecho, el trabajo de
numerosos equipos internacioqales de
investigación está traduciéndose hoy en
la elaboración y experimentación de
materiales de enseñanza/aprendizaje.
Hemos considerado, pues, convenien­te,
centrar este 3er. Congreso en la pre­sentación
de propuestas concretas de
trabajo en el aula, fundamentadas en
la investigación didáctica y dirigidas a
cualquier nivel de enseñanza incluido
el de Formación del Profesorado.
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Avance de programa
De acuerdo con la idea que preside la
presente edición del Congreso, su es­tructura
será distinta a la de los cele­brados
hasta aquí: su núcleo central es­tará
constituido por Talleres relativa-mente
extensos (dos sesiones de dos ho­ras)
que permitan a distintos grupos
presentar sus propuestas «en acto», es
decir, en forma de auténticas sesiones
de trabajo. De este modo, los asisten­tes
a los talleres podrán vivenciar las
propuestas y proceder posteriormente
a su análisis crítico y discusión.
Para completar la presentación de pro­puestas
de innovación se organizará
una exposición de materiales didácticos
que intentará recoger, junto a las que
puedan aportar los asistentes al Con­greso,
las más relevantes en el ámbito
ii;iternacionaJ.
Se podrán presentar también trabajos
de investigación e innovación en la di­dáctica.
de las ciencias y de las matemá­ticas
en forma de Posters, para cuya
discusión se organizarán sesiones espe­cíficas
de trabajo.
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