Experiencia didáctica: Resolución de problemas interesantes y poco frecuentes en la EGB

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EXPERIENCIA DIDACTICA :
RlSOLilCION Dé PROBLtnAS INTERESANTES
y POCO TRECillNTlS EN LA l.q.B. ( * )
1. 1 NTRODUCCI ON
n~ Candef.a~ia A/onho na~tln
;J.ohe/a lie~nández Domlngue.z
n~ ne~cedeh Paf.a~ea nedina
na~tln nanuef. Socah Ro~ayna
Existe entre el profesorado de E.G,B. y,en consecuencia, entre
sus alumnos, una excesiva pretensi6n por asimilar los esquemas sobre pr2
blemas "de sumar","de restar 11 , 11 de multiplicar","de dividir" y,a partir
de estos, 11 de operaciones combinadas", intentando desarroliarlo s. como m2
dele exclusivo. Consideramos que est~ intento es incom~leto en cuanto a
a la educaci6n matemática como modelo de razonamiento.
Dichos esquemas pueden y deben ser asimilados e interioriz~ -
dos por los alumnos; pero no debe ser éste el Único objetivo de lo que­entendemos
por "razonamiento matemático para la resoluci6n de problemas
en la Educaci6n Básica".
Es muy importante enseñar al niño a razonar utilizando la M~­temática
y,por tanto, es necesario abrir otras vías de razonamiento tan­interesantes,
al menos,como los clásicos problemas anteriores que,insi~­timos,
no deben ser descuidados,pero sí complementados.
(*) El presente trabajo es complemento o continuaci6n del titulado 'P~Q
puehta didáctica hO~~e ~ehof.uci6n de p~o~f.emah de huma1>,~e6lah,muf.:lipf..{
cacioneh y divihioneh en f.a l.q.B." y fue objeto de~una comunicaci6n en
las VI Jornadas de la Soc. Canaria de Profs. de Mats. "Isaac Newton".
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Hay que tener en cuenta que,normalmente,los libros de texto -
actuales no plantean el tipo de problemas al que nos referimos,ni tamp~
co suelen hacerlo los profesores. Podría pensarse que,por la formación­matemática
que proporciona la actual E.G.B.,los alumnos son capaces de -
superar estos problemas no rutinarios, pero la realidad nos muestra lo -
contrario. Los resultados obtenidos en pruebas sin preparación previa -
realizadas en diferentes colegios,en las que se propusieron algunos de­los
problemas que damos más adelante como ejemplos, son muy poco satisfa.2,
torios; especialmente en cuanto al uso de gráficos.
Ante esta situación,hemos pensado en mejorar la eficacia de -
nuestra enseñanza-aprendizaje y proponer una nueva metodología en laque
incluimos la resolución de problemas "interesantes y poco frecuentes".
2. ASPECTOS GENERALES SOBRE EL PROCESO DE APRENDIZAJE PROPUE~
TO Y LA METODOLOGIA SEGUIDA
Tradicionalmente se piensa que los problemas deben serpropue~
tos después de explicar la teoría,de manera repetitiva y mecánica, sin -
contemplar la posibilidad de .adquirir nuevos conceptos a través de ellos,
For otro lado, suelen plantearse series de problemas equivalentes que 11~
van a memorizar,no a razonar.
Con nuestra propuesta pretendemos desarrollar mejor el pens2; -
miento y razonamiento matemáticos,que permitan al alumno integrar con.2_­cimientos
nuevos, conceptos y propiedades, y estimular la investigación -
personal.
El diseño .que hemos elaborado para ello supone,fundamentalmen
te,la utilización de dos fichas-modelo y una ficha de seguimiento,que -
reproducimos en los anexos y cuyo uso detallaremos más adelante.
La experiencia tiene en cuenta,principalmente,los siguientes-aspectos:
a) Los cuatro pasos de Polya para la resolución de problemas.
b) Lá.s etapas del aprendí zaj e que señala Bruner.
c) El método científico,
d) La relación partes-todo como base del razonamiento matemá-
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tico.
e) El lenguaje de los gráficos.
Con la utilizaci6n de las fichas-modelo se persigue que los -
alumnos logren su propia estrategia mental para resolver cualquier pr2-
blema que se les presente en lo sucesivo. Esta estrategia no es otra c2
sa que el método científico aplicado a la Matemática,utilizando la 16gi
ca y la heurística.
La ficha M-3 (anexo 1) consta de los siguientes apartados:
Enunciado-historia
Gráfico-viñeta
¿Qué datos te dan?
¿Qué te piden?
Calcula lo que te piden sin utilizar f6rmulas
Resultado
Escribe la historia con el resultado obtenido.
El gráfico-viñeta tiene una doble intenci6n: que el profesor­capte
si el niño ha entendido o no la informaci6n escrita y acostumbra~
le a expresar en forma esquematizada dicha informaci6n.
El apartado "Calcula lo que te piden sin utilizar f6rmulas"es
el fundamental de la ficha,ya que ayuda al alumno a leer,comprender,i~­vestigar
y razonar el problema, con lo que ha de prescindir de la aplic~
ci6n rutinaria de la f6rmula-receta. Le proporciona las ventajas de P2-
der resolver de modo diferente una misma situaci6n,y a su vez de disti~
tas maneras,mediante la utilizaci6n del lenguaje de los gráficos.
El"escribir la historia con el resultado obtenido" obliga al -
niño a mirar hacia atrás y contrastar su resultado con los datos,lo que
le permite darse cuenta si dicho resultado es o no 16gico.
Sugerimos el empleo de esta ficha a partir del Último nivel -
del Ciclo Medio.
La ficha M-4,que se presenta para utilizar en el Ciclo Sup~ -
rior,se diferencia de la anterior en que pretende q-ue el alumno llegue­
ª la generalizaci6n de la situaci6n planteada en el enunciado del pr2 -
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blema,pase de lo particular a lo general. Para ello se añade el apart~­do
"Obtén la fórmula". La reproducimos en el anexo 2.
Mediante la "ficha de seguimiento" (anexo 4), el profesor evalúa
cada problema,pudiendo detectar las habilidades y proceso de razonamie!!:
to de cada alumno.
Nos referi.remos,por Último, al lenguaje de los gráficos, al que
concedemos una gran importancia.
Con este lenguaje se introduce a los niños en el mundo de las
relaciones matemáticas. Deben representar situaciones concretas,surgi -
das de la vida cotidiana,mediante gráficos. Es muy importante ir educá~
dolos en esta matemática de las relaciones y no exclusivamente en la del
número,ya que establecer relaciones y,dentro de ésta~,clasificar y ord~
nar,son operaciones fundamentales de la mente humana, utilizadas en la -
vida diaria y en el mundo cient{fico. Especial mención merecen los di~­gramas;
comentaremos algunos tipos y acompañaremos ejemplos de problemas
en que pueden ser empleados.
Diag11.ama~ de flecha~.- Permiten representar importantes hechos
acerca de una relación, de un modo sugerente para los niños y,ordinari~­mente,
más adecuado que mediante palabras. Por medio de ellos, se facili-·
ta el estudio de situaciones di versas y un razonamiento próximo a la r~.i.
ali dad.
Ejemplos :
l. Se quieren repartir 42 manzanas en bolsas de 6 manzanas,
¿Cuántas bolsas se necesitan?
2. Con una caja de 40 cerillas Juan quiere formar la letra H -
tantas veces como sea p·osible. ¿Cuántas H podrá· formar?
Diag11.ama~ de dotle ent11.ada. - Están intimamente relacionados
con el lenguaje de las flechas,aunque su uso implica una mayor abstra~­ciÓn;
por ello, sólo deben intra'iiucirse a partir de los 9 ó 10 años, Pe!,
miten establecer relaciones diversas entre colecciones diferentes.
Las tablas de doble entrada deben ser ut:L.lizadas en la aritmf
tic a para establecer todo tipo de relaciones entre números : mÚl tiples ,
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divisores,tablas pitag6ricas,etc,
Ejemplos :
3. María,Carolina,Juan,Felipe,Silvia y Víctor piensan cada uno
una cifra del conjunto 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.¿Cuántas respuestas diferen­tes.
pueden dar nuestros amigos? ¿Y del conjunto 0,1,2,3,4,5?
4', Ricardo quiere comprar un coche. Le ofrecen un modelo con -
tres puertas y otro con dos. De los dos modelos tienen coches blancos, -
rojos, negros, azules y verdes.· Averigua el número posible de elecciones'-
que tiene Ricardo.
Diag/1.ama,; de Venn.- ·Relacionados tal!lbién con el lenguaje de -
las flechas, su principal funci6n es establecer relaciones entre el "t.2. -
do" y algu-na(s) de las "partes" ,o bien, entre colecciones diferentes o -
subcolecciones de un mismo conjunto referencial,
Ejemplos :
5. En una empresa de construcci6n hay 16 trabajadores 8 son,
peones,8 son albañiles,6 son carpinteros,4 son peones albañiles y 2 son
peones carpinteros. Representar mediante una "distribuci6n espacial" la
situaci6n de estos trabajadores.
( Esta situaci6n puede ser también representada mediante un -
diagrama rectangular,.de Carroll o de Karnaugh ).
6. En una clase de 20 alúmnos,10 aprobaron Lengua; 5,Matemáti
cas; 4,Dibujo; 2,Lengua y Matemáticas; 2,Matemáticas y Dibujo; 2,Lengua
y Dibujo y 1 las tres asignaturas, Representa esta situaci6n.
Diag/1.ama,; de á/1.!ol,- Dentro del lenguaje de los gráficos,son­los
más interesantes. Tienen muchas apli.caciones en problemas de la vi -
da real,en cuya resoluci6n no es necesario el empleo de f6rmulas, Pu~
den ser completos,inversos e inco'mpletos,
Ejemplo del uso de un diagrama incompleto
7. Dos personas se encuentran en Ía calle con tres amigos y -
se saludan.¿ Cuántos apretones de manos se intercambian?
Diag/1.ama,; de 0/1.den (lineale,; o /1.ami/icado,;)
Ejemplo de diagrama lineal :
39
8. Utili3ando dos bastones,el de +6 y el de -9, establecer el
mínimo de combinaciones posibles para que,partiendo del +5,lleguemos a-alcanzar
el blanco,que es el +20.
Ejemplo de diagrama ramificado
9. Coloca los números 4,6,8,10,12 y 14 en los círculos,demodo
.que ninguno quede unido por una raya a un divisor o múltiplo suyo.
Diag~ama de ~a~~ah
Ejemplo :
1 O .• Observa el diagrama adjunto y contesta:
go? ¿Cómo se llama el niño que mide 1'30 m?
140 - 130
120 -
110
100 .....--
"' <J 90 -
~ 80
oJ
70
" ,
" 60
" -..¡ 50
""' 40
"" 30
20
20
10
" ~
40
¿Cuánto mide Iñi
1
1
1
1
i
'
1
!
1
1
j
3. OTROS EJEMPLOS DE PROBLEMAS
11. ¿Cuántos números de dos cifras,que tengan las dos cifras­distintas,
pueden formarse con las cifras 4,5,6,7 y 8?
12. Si Juan es menor que Pedro;Pedro es mayor que Andrés y
Juan es mayor que Andrés
¿Quién es el mayor?
¿Quién es el menor?
13. Escribe la conclusión en la línea de puntos:
a)
La leche se corta si se le añade limón.
Le he añadido limón a esta leche.
Por lo tanto,,,,,,,,,, •••••••••••••••• ,
. b)
Todos los negros tienen el pelo rizado.
Este señor tiene el pelo rizado.
Por tanto, ••••••• ,, ••••• , •• ,,,,, •••• , ••
14. Hay qué dividir un cuadrado en cuatro trozos iguales. Di­buja
.las soluciones posibles.
15. ¿Qué figura es igual a la que está encerrada?
A e
16. Una persona desea trasladarse desde La Laguna (Tenerife)­a
Telde (Gran Canaria),Para ir al muelle de Santa Cruz de Tenerife pu~­de
hacerlo en guaga o en coche. Para llegar al de Gran Canaria puede t2
mar el Jet-Foil o el Ferry. Para trasladarse desde el muelle de Gran C~
naria a la ciudad de Telde,puede utilizar la guaga o un coche. De cuá~
tas maneras diferentes puede realizar el viaje?
17. En las campafias de r9población forestal de pinos llevadas
41
•a cabo en Tenerife,despu's del verano de 1983,tres nifios de Vilaflor
plantaron dos pinos cada uno. Si de cada pino crecen dos,¿cu,ntos habr4
despu's de tres generaciones?
18. Luisa y Pedro han inventado el siguiente juego : Lanzan -
por turno una chapa sobre el tablero de la figura y van sumando los pua
tos que obtienen. Gana quien primero llegue a 100.¿Cu'l es el número mi
nimo de tiradas para ganar? Al cabo de 4 tiradas, Luisa tiene 59 puntos,
¿con qu' números los obtuvo?
20 1
18 4 10 16 3
6 9 7 5 12
2 13 8 15 11
19. Encuentra los números que deben ir 1en las casillas en blaQ
copara que se cumplan las igualdades que se indican, tanto vertical como
horizontalmente.
20, A~erigua el nombre de cada lefiador con los siguientes d~
tos: Juan y Antonio tienen hachas demasiado grandes.Las de Pedro y Iucas
son muy pequefias.Lucas est4 entre Marcos y Antonio.Juan, entre Pedro y -
Enrique.
42
4, COMENTARIO SOBRE EVALUACIONES REALIZADAS CON ANTERIORIDAD
A NUESTRA EXPERIENCIA
En la introducción de este trabajo sosteníamos que :
1~) estos tipos de problemas no son generalmente propuestos
2~) pese a la formación matemática que proporciona -o debepr2
porcionar- la actual E.G.B,,los chicos suelen fracasar en el intento de
resolverlos,si no se han ejercitado previamente en ello.
Basamos estas afirmaciones en lo que sigue :
En una evaluación del Ciclo Inicial propuestar,.por el M.E.C.
en Octubre de 1983,mediahte una prueba de 52 items,que realizaron 8921 -
alumnos,no aparece ningún problema de los que estamos considerando,
Tampoco se proponen en la evaluación del Ciclo Medio,paraalu~
nos. de la Comunidad Andaluza, hecha en Junio de 1984,con unas pruebes de -
is ó 20 items.
No los hemos encontrado casi en la revisión hecha de los li
bros de texto más al uso.
}
El bajo nivel de aciertos de alumnos a los que no se les h~eB
señado ninguna estrategia a seguir para resolver estos problemas no r~­tinarios,
lo hemos comprobado al calificar pruebas en diversos centros de
nuestra Comunidad y en las que propusimos algunos de los reseñados aquí.
Veamos algunos ejemplos:
Los números 4,7 y 11 sólo los resuelven bien la mitad de los-
161 alumnos del Ciclo Superior a los que se les propuso. En el Último, -
sólo 3 alumnos hacen uso de gráficas.
En el 13,propuesto a 79 alumnos de dicho ciclo,una consider~­ble
cantidad de ellos se deja influenciar por las "apariencias" del leB
guaje y llega a una conclusión falsa.
De un grupo de 29 alumnos,también del Último ciclo,alrededor­de
un 90% resuelve mal o no ·resuelve el problema 17.
S. DESARROLLO Y ANALISIS DE LA EXPERIENCIA
Realizamos nuestra experiencia en 7 cole~ios de Tenerife,con­un
total de 562 alumnos del Ciclo Superior.
43
Para no alterar demasiado la marcha de la clase,los profesores
encargados de llevar a cabo la experiencia sólo propusieron los tipos de
problemas que sugerimos, una o dos veces por semana.
Inicialmente,dieron una orientación mínima a los alumnos re~ -
pecto a la utilización de la ficha modelo, e insistieron en la necesidad-de
seguir los pasos que en ella se indic~n.
Se.;Ún la dificult.ad del problemapropuesto,se concedía un tie!!!.­po
de una hora a tres cuartos para su resolución. Posteriormente tenía -
lugar una puesta en común, donde intervenía directamente el profesor para
destacar detalles importantes, sugerir algÚ!i' tipo de gráfico, etc.
Entre las observaeiones hechas en la experiencia realizada,de~:
tacamos la~ siguientes :
•• El desarrollo de la capacidad de expresión gráfica,debido -
al dibujo reiterado de viñetas. Por otro lado,los alumnos se ven oblig_!!:
dos a leer detenidamente los enunciados para reflejar la información d.!:!;
da por escrito •
• • A través de las relacfüones "historia-viñeta" y "viñeta(e~ -
cen!..ficación)-historia" ,van avanzando en el complejo problema de la C,2 -
nexión del lenguaje con la acción mental o manipulativa,
Aprenden rápidamente a distinguir datos de incógnitas.
Desarrollan uñ sentido crítico ante los resultados.
Y,en cuanto a estos problemas no repetitivos,observamosque
despiertan inte~~s i agrado por la metodología activa ;ue su resolución
requiere. La fase de puesta en común facilita la participación y permtte
que los razonamientos d,, uriofi enri.qt1e:r.ca.n a otros,
BIE'LiOGRAFIA
La reseñada en " P.'1.opue/.d_a d.idác:l.ica .608.11.e 11.e.6of.uc.i6n de f>ll.!J. -
8.f.ema.6 de .6uma.6,11.e.6:la.6,muf.:l.ipf.icacióne.6 y diu.i.6ione.6"
44
M-3 Anexo 1
ENUNCIADO-HISTORIA
GRÁFICO-VIÑETA
¿QUE DATOS TE DAN? lQUt: TE PIDEN.
CALCULA LO QUE TE PIDEN SIN UTILIZAR FORMULAS
RESULTADO
ESCRIBE LA HISTORIA CON EL RESULTADO OBTENIDO
45
M-4 Anexo2
ENUNCIADO-HISTORIA
. -GRAFICO-VINETA
¿QUE DA TOS TE DAN? ¿QUE TE P 1 DEN?
r
CALCULA LO QUE TE PIDEN SIN UTILIZAR FORMULAS
RESULTADO
OBTEN LA FORMULA
ESCRIBE LA HISTORIA CON LA FÓRMULA OBTENIDA
46
FICHA DE SEGUl.11E~!TO
N'2 Vin. íb.t.6 S i.n to/l.17l. R.e;,' H. O:f.J1-0;, a;,p, OB.;,vwac ion e;,
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1 2 3 4 5 s 7 8 9 1o11 12 131415161718
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1 .• -· Expresar corresctamente la informaci6n 2.-Esquematizar bien 3.-No
mezclar los datos con lo que piden 4, -Expresar los datos esquematizados
5.-Presentar el problema globalmente 6.-Gráfico figurativo esquematizadc
?.-Estrategias sin operaciones 8.-Estrategias sin f6rmulas 9.-Utilizar -
diferentes tipos de gráficos(problemas distintos) 10.-Expresar bien el -
eliult.a.no11. -Utilizar bien las unidades en los datos y el resultado 12. -
Historia con el resultado. ~
47
Anexo 3
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55. Kubue met banden - Cube with magic ribbons - Würfel mil maglschen Bandern - Cube aux rubans magiques
48