COl'lé.NT ARIO AL L1 BRO de M~DRE WE 1 l
"NUMBER THEORY"
(AN APPROACH THROUGH HISTORY
FROM HAMMURAPY TO lEGENDRE)
Birkhauser - 1984
Juan A. ya~cLa C~uz
C.l.I. de La Laguna
BACHET (1581-1638) public6 en 1621 el texto griego de laA~ltmlilca
de Diofanto (III a.de C.) junto a una traducci6n latina del mismo.
y un extenso comentario·. Desgraciadamente, la· edici6n tuvo un grave
error que, con el tiempo, sería ampliamente lamentado por todos los estudiosos
y aficionados a la: Teor.ía de Números : los márgenes eran "demas:L_a
do estrechos",
Si tenemos que fijar una fecha que indique el nacimiento dela
moderna Teo~ía de Números,el profesor Weil no duda en situarla entre los
afies 1621 y 1636 -quizás más cerca de este Último- , pues entre dichos
afios,un tal PIERRE de FERMAT (1601-1665), desconocido aun en los ambiell..
tes matemáticos de la fopoca,que por entonces ocupaba un alto cargo en
la Corte Suprema de Justicia de Toulouse,adquiri6 un ejemplar de lamen
cionada obra de· Diofanto,que con el tiempo llegaría a obtener renombrada
fama.
El segundo capítulo del libro de Weil e-stá dedicado a FERMAT.
A trav6s de la correspondencia ~ue este mantuvo con ROBERVAL,el padre
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MERSENNE,E,PASCAL y otros,así como en sus anotaciones en la A4iimitica
de Diofanto,se muestra el desarrollo y evolución de su importante trab.!!:
jo. En dicho capítulo encontramos el teorema sobre los coeficientes bi-nomiales,
comunicado a Ro·berval y Mersenne sin demostración, y cuya anot.!!:
ciÓn al margen de la obra de Diofanto finaliza así : 11 No tengo tiempo,
ni margen suficiente,para escribir la prueba". Casi las mismas palabras
de otra famosa y más conocida anotación relativa a la solución en números
enteros positivos X, lj, Z de· la ecuac.ión Xn + ljn;::: zn, con n na-tural
y mayor o igual a 3 "He encontrado una maravillosa demostración
para este teorema,pero el margen es demasiado estrecho para contenerla~
(De ambas anotaciones infiere Weil que pertenecen a una época temprana
en el trabajo de FERMAT). También aparece ampliamente tratado en este
cap. II el método "inductivo" de prueba, empleado por FERMAT y otros,y
cuyo significado n9 es el de inducción completa, sino el de mera verificación
en unos casos concretos de una conJetura,que,si bien no es aceptado
hoy como prueba terminante, sí puede ser fuente de ereación matemática,
cuyo ejemplo más significativo es el trabajo del propio FERMAT. Si
gue el es.tudio sobre "números perfectos" y el teorema. de Fo.ermat(ap-t:: 1 ,
mod. p , p primo), comunicado e. FRENICLE por primera vez el 18 de Octubre
de 1640 ; los primeros intentos de FERMAT en residuos cuadráticos ;
divisores primos de la suma de dos cuadrados ; descenso infinito en la
ecuación x 4 - y 4 = z2 ; formas cuadráticas elementales y ecuación de
Pell -cuya formulación más anti-gua es una interpretación al problema del
ganado de Arquímedes- y otras contribuciones.
El capítulo tercero de NUMBER THEORY se dedica a las contrib~
ciones en Teoría de Números de otro gran matemático: LEONARD EULER (
1707-1783). Siguiendo la misma línea expositiva g.ue en el anterior,hace
un recorrido histórico con abundantes resefias de problemas y métodos,
así como de las·relaciones entre ambos. Estudia,entre otras,las siguiea
tes contribuciones eulerianas : grupo multiplicativo módulo N,ley de r~
ciprocidad cuadrática, búsqueda de números primo~ grandes,raices cuadradas
y fracciones continuas,ecuaciones diofánticas de grado 2,integrales
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elípticas y el teorema de la adici6n y la funci6n zeta,
En el cuarto y Último capÍtulo,titulado LAGRANGE y LEGENDRE:
Una 6poca de transici6n,analiza la teoría de formas cuadráticas bitiarfus
del primero y el trabajo ari tm6tico dé Legendre.
El libro se abre con un capítulo,que Weil denomina Protohistoria,
y que va desde las apor·taciones de Babilonia,India y Grecia (factorizaci6n
y números primos,números perfectos,ternas pitag6ricas,ecua -
cienes difántic~s,etc. ) hasta las de la Europa Renacentista con FIBONA
CCI y su lig~~ Quad~ato~um,para terminar con los trabajos de VIETA y BA
CHET.
NUMBER THEORY no es un libro típico sobre Teoría de Números,
pero tampoco puede ser clasificado como un libro más de Historia de las
.Matemáticas. Para aquellos que deseen una mayor profundizaci6n te6rica,
quedan los ap6ndices incluidos por el autor· al final de los tres Últi -
mos capítulos,donde se dan demostraciones.
Como se seftala en el prefacioJ".,.no se espera un conocimiento
específico del lector sobre el tema,y es esperanza del autor que,al
menos algunos lectores encuentren posible el comenzar su iniciaci6n en
la Teoría de Números siguiendo el itinerario trazado en este volumen"
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ANDRE WEIL es Profesor Emeritus en el Institute for Advanced ~
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Study de Princeton. Su libro recoge las lecciones impartidas en el mis-~
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Números: revista de Didáctica de las Matemáticas
