Sobre la utilización del símbolo "dx"

              o
SOBR[ LA liTILIZACION Del SI~BOLO "dx"
(Í/1.UfiO_ LlmU.e - CóÚioC.a
Juan Anion¿o CaC.aiie/1.0 ~olina
I. INTRODUCCION
Venimos observando desde hace unos años que en algunos textos
de Bac.hillerato se nota' la integral de una función sin hacer uso del
símbolo dx,aunque,posteriormente,en el desarrdllo de la teoría,por re -
gla general se vuelve a la notación tradicional. Puede verse 'esto mismo
en diferentes textos de Análisis Matemático.
Para niveles de enseñanza superior, donde el estudiante. está
en disposición de comprender y manejar el· concepto de función diferen -
cia-ble,no nos parece tan trascendente la cuestión;incluso la considera­mos
despreciable, Pero no así en las enseñanzas medias.
Desde la perspectiva de estas nos hemos situado y,movidos fu~
damentalmente por intereses de tipo didáctico,la cuestión planteada nos
ha llevado a una serie de preguntas y reflexiones.
La tesis de est_e artículo es, mantener que en las condiciones
del actual Bachillerato y de quienes en su mayoría lo realizan, es más
didácticamente adecuado suprimir en toda la teoría de la integración el
símbolo dx en la notación de la integral. Y argumer:_tamos las siguientes
razones didácticas
a) Sobre el concepto de funció~ diferencial:
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Haber constatado que la gran mayoría de los alumnos acaban
sus estudios medios sin una idea medianamente seria del significado de
dx, Si bien es verdad que en el programa de 32 de B.U.P. viene incluido
el concepto de función diferencial,este supone un serio obstáculo de
comprensión en la edad en que se realizan estos estudios,además de una
nada despreciable cantidad de tiempo destinado no sólo al desarrollo
del tema,sino también a la preparación del terreno. En definitiva,todo
lo que implicaría el manejo de funciones de más de una variable real.
Por otro lado,no incluirlo en la programación -lo que sería
poslble,ante lo extenso del cuestionario y la urgencia de otros temas­significar!
a en la práctica renunciar al intento de hacer comprensible
de manera no difusa el símbolo de que tratamos.
Entendemos que en el Bachillerato no se debe sobrepasar el e~
tudio de las funciones de variable real y,en concreto,de las racionaJes,
logarítmicas,exponenciales y trigonométricas de expresión y uso fácil.
Sabemos que el concepto de función diferenciable cobra verdadero inte -
rés para funciones de más de una variable real. Planteadas as! las co -
sas,quedar!a justificada su exclusión del B.U.P,
(Minusvaloramos la idea de dite~encial ? Todos estamos de
acuerdo en que es más trascendente que la de derivada. Pero esta afir -
mación es,digamos,técnica; y no olvidemos que planteamos el asunto.como
una cuestión didáctica,
Dónde alojar un concepto,cuya primera aproximac~ón al mismo
sería de desear ·realizara el álumno antes de acudir a una Facultad de
Ciencias? Pues,precisamente,en el curso que lo prepara para ello, Un t!t
ma sobre funciones de dos y tres variables podría ser incluido en la
programación de e.o.u.; y ello,sin un excesivo rigor,
b) Sobre el problema del cálculo de primitivas:.
La mayor dificultad radica en el método de integración por
cambio de variable. En este caso, entendemos que e1 alumno no es cons
ciente de que está utilizando un teorema que relaciona la derivación
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compuesta y el concepto de primitiva. Simplemente utiliza un mecanismo
que ha aprendido por reiteraci6n. No pretendemos que todos nuestros
alumnos comprendan el teorema del cambio de variable,pero sí que lo co­nozcan
y sepan aplicarlo;lo que,desde nuestro punto de vista,es de un
valor didáctico superior al del simple conocimiento de una mecánica de
resoluci6n.
II. EL PROBLEMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
El problema del cambio de variable se plantea formalmente así:
Supongamos que deseamos calcular f t(x) dx y que es de difí­cil
obtenci6n,siendo sin embargo fácil de calcular
1 t( g(i) J , g'(U di = (j(i) + /f. , donde g{t) = x
Entonces
J tr x) dx = T( x) + K , siendo T( x) = (i( ·u*( x) J y g*( xJ la fun
ci6n recíproca de g(i),
Ante la dificultad de comprensi6n del teorema, se opta en la
práctica por informar al alumno de que,tras hacer la sustitución x:g(ih
"obtenga" di en funci6n de dx colocándolo como factor en la integral,
llegándose de esta forma a la
f /f g( i) ) • g. ( i) di
A continuaci6n,se le pide que calcule esta Última integral y,
finalmente,para obtener una primitiva T de f tfx) dx ,se le dice que
"deshaga" el cambio,
Puestas así las cosas,entendemos que la dificultad del teore­ma
ha sido canjeada por dos mecanismos de los cuales el alumno descono­ce
sus fundamentos: uno el utilizado para obtener di ,y otro el procedi
miento empleado.
Nosotros proponemos actuar de la siguiente forma :
1~ ) Enunciar el teorema del cambio de variable así:
Supongamos que deseamos calcular 1 tfx) , que ella es de difi
cil obtención y,por el contrario,es fácil el cálculo de
J tf g(i) ) • g'(iJ.= y(i) + K, donde g(i) = x
55
Entonces,si 1(x) = 9( g*(~) ) , se cumple que
f /_(x) = 1(x) + K ,que podemos razonar de la forma siguiente:
Sea t una funci6n real definida en un intervalo I y g una fun
ción biyectiva y derivable de un intervalo J en I. Si 1 es uná primiti­va
de /_,esto es,1·~ t ,tenemos,por el teorema de la derivaci6n compues­ta,
que
D (t o g)(i) = 1'( g(i) ) • g'(i) = /_( g(i) ) , g'(i) 't/fr.J
Euego (1 o g) es una primitiva en J de la funci6n
/_( g{t) ) • g'(t).
Escribimos
r1 º gJ = UtJ º g = I 1-r gftJ J • g'ftJ
Y,por ser g biyectiva,podemos componer a.la derecha con g*.
r u 1-) • g ) • g* =, Gr u_. gf t.1 , , g • r t) J . g"
f !- o ( g o g*) = 9 o g*
f ¡_ = q o g* = 1
Esta Última relaci6n nos indica que para hallar tina primitiva
en I de la funci6n /_,bastará componer g* con una primitiva de la fun ~
ci6n
t ( g( t) ) , g ' ( t) en J ,
2~ ) Exigir al alumno que en la aplicaci6n del m~todo de cam­bio
de variable siga una a una las instrucciones del teorema,
Para el logro de estos objetivos sugerimos seguir el siguien-te
proceso :
Práctica
(1)
en( 3-xr
tr xJ f
3-x
/_: de/_ini.da y f.n( 3-x)
/_( x) = definida
· continua en I 3-x
y continua en I = J + , 3 [
56
i
i
g: una función biyect.
y derivable de J en I
x.:g(t)
í /( g(t) ) • g'(t) =
= fj(t) + K.
T(x.) " fj( g"(x.) J
f /(x.) : T(x.) + K.
(2)
( 3)
(4)
Hacemos:
x.:g( t)
g biyectiva en
J==/ +,->-[sobre I~/+,3[
/J g{t) ) =
g'(t) t = - e
t
(-et) í -¡-
e
t2
~~- + K.
2
fj(t) + K.
t:g"( x.)
en( 3-3+et)
3-3+et
t
-t-e
-1 t
+ K.
t:ln( 3-x.J
T(x.) = fj( ln( 3-x.J ) =
= - 112 ( f.n( 3-x.J ;2
ln( 3-x.J
í
3-x.
;: -1/2( ln( 3-,x.) ;2 + K.
Cuando se trata de una integral definida,el teorema del cam -
bio de variable queda expresado así
¡! /(x.) = ¡g*(t) /( g(t}
a g"(a) • g'(t) = fj( g"(!} ) - fj( g*(a) )
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Veamos la aplicaci6n a un caso ~oncreto
¡6. f(x.)
a
t: continua en [a , 6.J
x_:g{t)
g: funci6n biyectiva
en [ a • e J sobre
[a ' 6.]
a " g"(a) y e = g"(6.)
-1g"ra.r tr gftJ J • g'ftJ - g"(a)
Práctica
( 1 )
f 1 .. .;r.:-r- 0
f(x.) :: .. ~ continua en [0,1]
(2)
x.::g{ t)
t::g"( x.) t::a11.c 4en x.
g: biyect. en [g"(O) g"f1J]::
" [ ó , 1T /2 J sobre [ O , 1 J
(3)
f( g(t) ) :: .,. / 1-4en 21:: co4.t
g'(t) : C04 t
tt
2
4en t co4 jTi /2
¡1oT /Z C04Z t e .. --z-0
Los restantes m~todos de integraci6n que son objeto de estu -
dio en el programa de 32 de B.U.P. no se incluyen en este trabajo por
considerar que la supresi6n del símbolo dx. no introduce cambio concep -
tual ni operativo,
En cuanto a las cuestiones que pueden presentarse al utilizar
este m~todo de cálculo de primitivas en la Física de este nivel, estim.!!.
mos que no aparecen inconvenientes de tipo didáctico que dificulten su
comprerrsi~n y resoluci6n.
BIBLIOGRAFIA
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59
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IV JORNADAS SOBRE
APRENDIZAJE Y
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MATEMATICAS
1984
SEPTIEMBRE
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ISLAS CANARIAS