Método de Gauss: su aplicación al Álgebra

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J.o .t>é. Anion io f'/a11.t ln Con.u} o
I. B. di Santa C11.uz de la Palma
El estudio del Algebra en e.o.u. está enfocado fundamentalmen
te hacia la resolución de sistemas de ecuaciones lineales,aplicándose
generalmente el teorema de Ro.uché-Frobenius y la regla de Cramer.
Desde hace dos cursos,vengo explicando en mis clases el méto­do
de Gauss,que no sólo es de más facil ·aplicaciÓn,.sino que, incluso, per_
mite estudiar los sistemas en función de uno o más parámetros. Además,
puede ser utilizado por alumnos de nivel inferior al de e.o.u.
Consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales da-do,
con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas,en otro equivalen
te, esto es,que tenga la misma solución, donde cada ecuación tenga,por lo
menos,una incógnita menos que la que le precede (sistema escalonado).
La solución se obtiene calculando una incógnita en la Última
ecuación del sistema escalonado, Sustituyéndola en la penúltima,halla -
mos otra incÓgnita,y así sucesivamente.
La transformación del sistema dado en otro equivalente se lo­gra
aplicando las siguientes reglas,que establecen que no varía el con-junto
de las soluciones de aquel si :
a) Multiplicamos los dos miemb~os de una ecuación por una con~
tante distinta de cero.
b) Se sustituye una ecuación por la suma de ella y alguna otra
67
o
ecuación multiplicada por una constante,
c) Se cambia el orden de las ecuaciones,
d) Se añade o suprime una ecuación trivial (O = O),como,por
ejemplo
o.x1 + o.x2 + ••• + o.xn = o
Por ser estas reglas de fácil comprobación,omitiremos .su de -
mostración.
La Última ecuación del sistema escalonado nos determinará si
el sistema dado es compatible o incompatible,y determinado o indetermi­nado,
AsÍ,si la Última ecúación del sistema escalonado resulta ser O:K
(k es una constante distinta de cero),el sistema es incompatible, Si,
por el contrario¡dicha ecuación es de una sóla incógnita,es compatible
determinadoi si resulta con dos,tres, ... incógnitas,es compatibleindete.r
minado unidimensional,bidimensional,etc.
Ejemplo ( 1 ) :
ª17X 1 + ª12X2 + ª13X 3 + ª14X 4 = k7
ª27X 1 + ª22X2 + ª23X 3 + ª2 4X 4 = kz
ª31X 1 + ª 32X 2 + ª 33X 3 + ª34X4 k3
ª4l1 + ª42x2 + ªox3 + ª4/ 4 = k4
Si por aplicación del método de Gauss resúl tase el sistema e;!!
calonado
0..17X 1 + 0..72Xz + 0..13X 3 + 0..7 4X 4 h7
O..zzXz + 0..23X3 + 0..24X4 hz
O.. 33X 3 + 0..34X4 = h3
o = h4 • h4 ~ o
entonces el sistema propuesto sería incompatible,
Si fuese h 4 = O ,el sistema sería .compatibl~ indeterminado uiu.
dimensional,pues podemos obtener x 1 , x
2
, x
3
en función de X4.
Si se obtuviera como sistema escalonado
g33X3 + 0.34X4 = h3
O.HX 4 " h4
el sistema a resolver sería compatible determinado.
Evidentemente,la obtenci6n de la soluci6n del sistema por es­te
m6todo no está en funni6n de los coeficientes,nomo ocurre con la re-gla
de Gramar y Rouch6-Fr~benius,y,precisameute por esto,no necesitalos
concepto A de determinante y matriz, lo que permite que pueda ser explic~
da con anterioridad al e.o.u.
Las ventajas del m6todo de Gauss sobre la regla de Cramer au.-
mentan considerablemente cua:ndo,para aplicar esta,necesitamos determi •
nantes de orden superior a tres. Así, por ejemplo, en un sistema de 5 ecu_!
cienes con 5 inc6gni tas, en el que se pueda aplicar Cratner,necesi tamos
resolver 6 determinantes de orden cinco,y la forma más rápida de hacer­lo
es triangularizarlos,, 1 que no es otra cosa que aplicar el m~todo de
Gauss al determinante! Por lo tanto,mientras hallamos el valor de un d~
term.inante,resolvemos por Gauss el sistema, sin ni siquiera plantearnos
si se puede aplicar o no·, como ocurre con la regla de Cramer.
Ejemplo (2) :
3X 1 - X 2 + X 3 +2X 4 :
X1 -3X2 +3XJ +2X 4 :-1
La regla de Cramer no nos permite aquí .saber si el sistema es
compatible o no,ya que si
nos resulta
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ó = ó 1 = ó 2 = ó 3 = 8 4 = o
Por aplicación del método de Gauss,obtenemos el sistema esca-lonado
equivalente
x1 - X 2 + x 3 + X 4 = O
que es compatible indeterminado tridimensional y cuya solución viene d~
da por
X1 A - μ - y
Xz A
X3 = μ
X4 y ,con :\,μ,y e: R
La utilidad del método de Gauss también ·se pone de manifie·sto
en el cálculo del rango de una matriz. Aplicándolo a las filas,podemos
transformarla en otra escalonada,que conserva el rango. Este viene dado
por el número de filas que posean,al menos,un elemento no nulo. Este
procedimiento no entraña la dificultad a través de menores.
Ejemplo (3)
'""'' ( 2
3 2
o
2
-3 -1
o
o o
o
3
3
-1
o
3
-1
o
~) = Rango
= 3
(~ 2 o -) -3 -1 3 =
o o o o .
o -1 1
Tambié~ puede calcularse la matriz inversa mediante Gauss,sin
necesidad de hallar la adjunta,que es enojoso para matrices cuadradas
superiores a 3x3.
Ejemplo (4)
70
1
.1
Sea la matriz. (~ -1
o
-1
o
o
o
y supongamos
X7 X2 X3
lj 1 lj 2 lj 3
Z7 Z2 Z3
T7 T2 T3
Si 1!7 . "-2
que
X4
lj 4
Z4
T4
. 1!3
su matriz inversa es
V
"
y
= z
y
. e4 es la base canónica
·Se verifica la igualdad
( -1 o J u1 rnJ
o o
\ 2 o
4 -1 o r/
o bien
x - y + y 1!7 z + 27' = e2 l
2X + y + y = 1!3 4X - y I 1!4
Por aplicación del método de Gauss,este sistema
guiente sistema escalonado
'K -7j + r l!.7
J'fj - 7 =-2€.1 + l!.3
z + 27' e2
- 37' =-2€.1 - e3 + e4
de donde se obtiene
Y' = 213 e7 + 113 1!3 - 113 "-4
z =-41 3 e7 + e2 - 213 1!3 + 213 1!4
y =-4/9 1!7 + 4/9 e3 - 119 1!4
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de R4,entonces
da lugar al si
X =-1/9 e. 1
Por lo tanto,la matriz inversa buscada es
( -119 o -1 ) - 419 o 419 -119
-413 -213 213
213 o 113 -113
De haber utilizado el método de la. matriz adjunta, hubiéramos
tenido que resolver un determinante de 4~ orden y dieciséis de orden 3~
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(fJ
o
()
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z
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o
fTI
o
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