Las formas del espacio

              Rev. Acad. Canar. Cienc., XVI (Núms. 1-2), 205-217 (2004) (publ icado en j ulio de 2005)
LAS FORMAS DEL ESPACIO
Domingo Chinea. Universidad de La Laguna
Abstract: We give a brief review on the shape of our universe, beginning with the necessary
mathematical tools, both geometrical and topological, to describe the relativistic cosmological
models, and finishing with a introduction to the cosmic topology.
Resumen: En este texto trataremos de aproximarnos al estudio de la forma de nuestro universo,
comenzando con las herramientas matemáticas necesarias, tanto geométricas como topológicas,
para describir los modelos cosmológicos relativistas, y finalizando con una breve introducción a
la topología cósmica.
1 Introducción
A lo largo de la historia el hombre se ha preocupado intensamente en entender el espacio
físico que le rodea. Por ello, desde siempre ha intentado buscar respuestas a preguntas
sobre la forma y extensión del universo.
Una primera consideración a tener en cuenta antes de continuar es que las repuestas
a tales cuestiones se encuentran ante un hecho irremediable: es imposible definir la forma
de un objeto que se percibe únicamente desde su interior.
Los antiguos griegos fueron los primeros en usar la observación y el razonamiento
para la descripción del universo. Ellos apenas disponían de medios técnicos y recurrían
principalmente a la imaginación y la idealización. La mayoría de los estudios fueron
desarrollados en el marco metafísico de la filosofía y la religión, llegando incluso a asignar
a la forma y al movimiento de los cuerpos celestes un carácter mitológico.
Para los griegos el universo se dividía en ocho esferas, con la tierra como centro, la luna,
el sol y los cinco planetas conocidos en aquel tiempo constituían las esferas intermedias y
las estrellas, inmóviles, la última. Para ellos el universo era finito y llegaba hasta la esfera
de las estrellas fijas (modelo de Aristóteles y Ptolomeo). Este modelo perduró durante
muchos siglos, hasta la aparición del modelo propuesto por Copérnico a principios del
siglo XVI, en la cuna del renacimiento.
El modelo de Copérnico en realidad comenzó a tomarse en serio casi un siglo después.
De hecho, a partir del siglo XVII, los modelos cosmológicos se basaron en el principio según
el cual la tierra no ocupaba ningún lugar privilegiado en el universo y la distribución de
las estrellas era "homogénea, isótropa y en eterno equilibrio" (Copérnico, Galileo, Kepler,
Newton, Leibnitz,. .. ). Esto implicaba que el universo se podía identificar con el espacio
*Texto de la conferencia divulgativa que impartió el autor en la Facultad de Matemáticas de la
Universidad de La Laguna en el curso 2004-2005.
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Euclídeo IR.3, que es un espacio tridimensional, con geometría llana (euclídea), de extensión
infinita, homogéneo e isótropo. Este es el modelo cosmológico que propusieron I. Newton
y G.W. Leibnitz. Además, se suponía que el tiempo y el espacio eran absolutos.
Posteriormente, con la aparición de las geometrías no euclídeas, a finales del siglo
XVIII y durante el siglo XIX, éstas también podían servir de modelo de nuestro universo,
en el mismo rango que la geometría euclídea.
Entonces, ¿Qué modelo tomar? ¿Cuáles son las herramientas, o la teoría matemática
que nos permiten dar solución científica a estas preguntas?
Desde el punto de vista de la Física sabemos que la dinámica de las galaxias (cúmulos y
supercúmulos) está regida por la interacción gravitatoria. Así, a gran escala, la estructura
del Universo se rige por la gravitación.
La mejor teoría del campo gravitatorio que disponemos en la actualidad sigue siendo
la relatividad general, que interpreta la gravitación como una deformación (ó curvatura)
del tejido geométrico del universo, creada por la materia que en él se encuentra.
La geometría que soporta la relatividad general es la denominada geometría de
Riemann. Ahora bien, la geometría no basta para obtener la estructura global de nuestro
urúverso. Es necesaria la topología.
En este texto trataremos de aproximarnos al estudio de la forma de nuestro uni­verso,
comenzando con las herramientas matemáticas necesarias, tanto geométricas como
topológi cas, para describir los modelos cosmológicos relativistas , y finalizando con una
breve introducción a la topología cósmica. Más concretamente, en la segunda sección
recordamos los conceptos de variedad diferenciable, métrica y curvatura, así como el re­sultado
que caracterizan a las variedades de Riemann de curvatura seccional constante.
Como los modelos de universos son variedades de dimensión tres, en la sección tercera
abordamos la clasificación topológica de las variedades de dimensión tres, que se puede
obtener a través del proceso de geometrización de Thurston.
En las secciones cuarta y quinta describiremos brevemente cómo Einstein llegó a la
necesidad de utilizar la geometría de Riemann para formalizar la teoría general de la
relatividad, y la aplicaremos para la construcción de los modelos cosmológicos.
En la última sección nos introduciremos en la topología cósmica, la cual estudia la
topología global del universo, e incluye modelos cosmológicos múlti plemente conexos ("con
agujeros"). Analizamos también la manera de detectar la forma de nuestro universo y
finalizamos con un modelo de universo recientemente propuesto (el espacio dodecaédrico
de Poincaré).
2 Las variedades de Riemann
Las variedades diferenciables surgen en el siglo XIX, como una generalización de los
conceptos de superficie y espacio tridimensional. Dos trabajos son claves en los ini­cios.
El primero Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827, de Karl Friedrich
Gauss, considerado como la obra maestra de la geometría clásica de superficies; y el se­gundo,
la memoria Sobre las hipótesis que sirven de fundamentos a la geometría, 1854, de
Bernhard Riemann. En esta obra, Riemann revoluciona la geometría, y usando un
lenguaje intuitivo profundiza en las ideas de Gauss, en particular en la idea de que en
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geometría había que separar el espacio de las construcciones y propiedades geométricas
que pueden desarrollarse en el mismo.
La geometría de Gauss y Riemann, junto a la también fundamental obra Métodos
del cálculo diferencial absoluto, 1900, de G. Ricci y T. Levi-Civita, constituyeron los
fundamentos matemáticos que utilizó posteriormente Einstein para desarrollar su teoría
general de la relatividad.
Tres conceptos claves en la obra de Riemann son el espacio, la métrica y la curvatura,
que serán esenciales para Einstein.
En su obra Riemann profundizó en la idea de espacio de Gauss, e introdujo el concepto
de n-magni tud. La n-magnitud es el "ente" o "conjunto" en donde se va a desarrollar la
geometría. Es el germen del concepto de variedad diferenciable.
La idea de variedad diferenciable ya estaba en el tratado de Mecánica Analítica de
Lagrange, en 1788, al considerar el espacio de configuración de un sistema dinámico,
aunque su definición, necesaria para la formalización de las ideas de Riemann, aparece
por primera vez de forma explícita en 1913 en un trabajo de H. Weyl, la definición
moderna surge en el libro de O. Veblen y H. Whitehead de 1932, y la definitiva, como
aparece actualmente, se debe a H. Whitney en 1936, y algunos otros autores posteriores
como C. Chevalley, S. S. Chern, G. De Rham, ...
A grandes rasgos, una variedad diferenciable, de dimensión n, es un espacio topológico
(Hausdorff, segundo contable) de tal forma que en cada uno de sus puntos podemos encon­trar
un abierto que es homeomorfo a un abierto de ~n . A través de estos homeomorfismos
uno puede introducir coordenadas locales en la variedad, de modo que en las intersecciones
el cambio de coordenadas es un difeomorfismo (local) entre abiertos de ~n.
La métrica es la que determina la geometría en una variedad de Riemann. Distintas
métricas dan lugar a distintas geometrías sobre una misma variedad.
Dar una métrica es dar un producto escalar simétrico y definido positivo en el espacio
tangente de cada punto de la variedad. En lenguaje tensorial, una métrica de Riemann
sobre una variedad diferenciable es un campo de tensores de tipo (O, 2) simétrico y definido
positivo.
Para una superficie, su primera forma fundamental es una métrica de Riemann (es la
métrica que induce sobre ella el producto euclídeo de ~3) .
Con la métrica podemos definir la longitud de una curva, ángulo entre vectores
tangentes y entre curvas, volumen de una región,... También podemos introducir las
geodésicas, la distancia entre puntos, la derivación covariante, el transporte paralelo, ....
La curvatura es la responsable de cómo se curva o dobla (flexiona) una superficie, o
la que mide lo que difiere la variedad del espacio euclídeo (espacio llano o plano) .
En una superficie la curvatura a que nos referimos es la curvatura de Gauss.
Una clase importante de variedades son las de curvatura constante (se entiende cur­vatura
secciona! constante). Un clásico resultado nos dice que una variedad de Riemann,
n-dimensional, completa y simplemente conexa de curvatura constante e es isométrica a:
l. La esfera §n(r) si e = r\-.
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2. El espacio euclídeo JRn si e = O.
3. El espacio hiperbólico lHin(r) si e = -~.
Es decir, los modelos canónicos de espacios de curvatura constante son la esfera, el
espacio euclídeo y el espacio hiperbólico. Si una variedad (completa y simplemente conexa)
es de curvatura constante entonces es geométricamente equivalente a uno de los tres
modelos anteriores.
Las variedades de curvatura constante juegan un papel fundamental en el estudio de
los modelos cosmológicos. También son importantes en el estudio de las geometrías no
euclídeas.
3 Geometrización y clasificación de las 3-variedades
En realidad una variedad diferenciable es una variedad topológica junto con una estructura
diferenciable sobre ella.
Las propiedades topológicas son aquellas que permanecen invariantes por transfor­maciones
continuas. Así, el tamaño y la distancia, en cierto sentido, son ignorados en
topología. Estirar o encoger una variedad produce un cambio en la métrica, en las dis­tancias,
y por tanto en su geometría. Sin embargo no produce una modificación en la
topología. Ahora, cortar, rasgar o hacer agujeros si puede cambiar la topología de la
variedad.
Las transformaciones equivalentes en topología se denominan homeomorfismos. Dos
variedades se dicen que son topológicamente equivalentes si existe un homeomorfismo entre
ellas.
Uno de los principales problemas en topología es la clasificación de las variedades.
Se puede hacer caracterizando todas las clases de equivalencias definidas a través de los
homeomorfismos, y encajando cada variedad en su clase correspondiente. Nos limitaremos
a las variedades cerradas, esto es, las variedades conexas, compactas y sin borde.
Es bien conocido que la única variedad cerrada de dimensión uno es la circunferencia
§1.
Las variedades de dimensión dos son las superficies. El problema de clasificación de
superficies cerradas también está resuelto. Se pueden clasificar en función de su género
(o de su característica de Euler) y su orientabilidad. El género de una superficie puede
ser descrito intuitivamente como el número de agujeros de la misma. Una superficie M2 ,
conexa, compacta y sin borde es homeomorfa a:
• La esfera, el toro o a una suma conexa de g toros, g 2: 2, si M2 es orientable.
• El plano proyectivo, o a una suma conexa de planos proyectivos, si M2 no es orien­table.
Respecto a las variedades de dimension tres, en los últimos cien años se han planteados
tres cuestiones fundamentales en topología:
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l. ¿Cuál es la 3-variedad más sencilla, la que tiene estructura menos complicada?
2. ¿Es única esta variedad más sencilla, desde el punto de vista topológico?
3. ¿ Podemos clasificar las variedades tridimensionales?
Es obvio que la esfera tridimensional es la más sencilla, desde el punto de vista
topológico.
La segunda cuestión, en realidad es la Conjetura de Poincaré que nos dice que la esfera
es la única variedad tridimensional cerrada simplemente conexa.
La Conjetura de geometrización de Thurston puede responder a tercera cuestión, es
decir a la clasificación de las variedades para dimensión tres. Además, ella incluye a la
Conjetura de Poincaré como un caso muy particular.
Las 2-variedades o superficies también pueden clasificarse mediante la" geometrización"
que consiste en asignarle una forma rígida, una geometría específica.
El teorema de geometrización de 2-variedades nos dice que cualquier superficie cerra­da
(conexa) es homeomorfa a una superficie de curvatura constante. Esto significa que
podemos asociar a cada superficie topológica una métrica particular y única: aquella en
que la curvatura de la superficie se halla distribuida de modo completamente uniforme
por la superficie.
En el caso de superficies orientables:
• La esfera es la que tiene curvatura constante positiva,
• El toro se le puede dotar de curvatura nula,
• A un toro con más de un agujero, es decir a una suma conexa de g toros, g 2 2, se
le puede dotar de curvatura constante negativa.
La situación para dimensión tres es más complicada. Naturalmente existen tres geo­metrías
de curvaturas constantes, cuyas formas canónicas son el espacio euclídeo ~3 , la
esfera §3 y el 3-espacio hiperbólico JH[3. Pero, por ejemplo, § 2 x ~ no es homeomorfo ni a
§ 3 ni a ~3 . Además, §2 x ~ no admite métrica de curvatura constante.
De hecho, a la mayoría de las 3-variedades no se le puede dotar de una métrica de
curvatura constante. Aunque ellas se pueden descomponer en trozos que se modelan en
ocho geometrías canónicas, como recordamos a continuación. Una estructura geométrica
en una variedad M es una métrica de Riemann g completa y localmente homogénea. Esto
quiere decir que la geometría de la variedad, al menos localmente, no depende del punto.
Así, podemos encontrar isometrías locales entre dos puntos cualesquiera de la variedad.
Diremos que una variedad de Riemann ( M, g) es modelada sobre una variedad ho­mogénea
(M, g) si cada punto de la variedad M tiene un entorno isométrico a un abierto
de M. El recubrimiento universal de un variedad localmente homogénea es una variedad
homogénea la cual la modela. Toda variedad tridimensional localmente homogénea, de
volumen finito, es modelada sobre una de las siguientes variedades homogéneas (ver [5],
[4]):
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l. JR3 . Esta es la geometría de curvatura constante nula (geometría euclídea).
2. § 3 . Es la geometría de curvatura constante positiva (geometría esférica).
3. JHI3 . Es la geometría de curvatura constante negativa (geometría hiperbólica).
4. §2 X JR.
5. lHI2 X JR.
~
6. SL2JR, es decir del recubrimiento universal del grupo de Líe tridimensional formado
por las matrices de orden 2 y determinante 1.
7. La nil-geometría, que geométricamente puede ser descrita como un fibrado no trivial
con base un círculo y fibra un toro.
8. La sol-geometría, que también puede ser descrita en un fibrado no trivial con base
unidimensional y fibra bidimensional.
Es claro que no toda 3-variedad admite un estructura geométrica, pero aquellas que
la admiten se pueden utilizar para construir 3-variedades más generales. Esto en cierto
sentido es lo que nos dice la conjetura de geometrización de Thurston. Antes de
enunciar dicha conjetura, observemos que toda variedad de dimensión tres la podemos
descomponer en dos pasos. Primero la descomponemos en trozos irreducibles, puesto que
toda 3-variedad compacta se puede poner como suma conexa de variedades compactas
irreducible. El segundo paso es descomponer cada trozo irreducible. La descomposición
por toros de Jaco-Shalen-Johannson establece que cada 3-variedad compacta orientable
irreducible tiene una familia minimal de toros incompresibles tal que cada componente o
trozo, encajado entre los toros, que se obtiene es una 3-variedad denominada atoroidal o
una variedad de Seifert.
La conjetura de Thurston nos dice que:
Después de que se divida una variedad de dimensión tres cerrada y orientable en
su suma conexa y se realice la descomposición por toros de Jaco-Shalen-Johannson, las
componentes resultantes admiten una estructura geométrica.
Esta conjetura implica la de Poincaré (incluida en la lista de los siete problemas del
milenio) , y su resolución da una completa clasificación de las 3-variedades cerradas. Al
parecer, ella ha sido recientemente probada por G. Perelman.
En resumen, una 3-variedad se puede dividir en piezas, cada una de las cuales se
puede moldear hasta convertirla en una de las ocho geometrías tridimensionales canónicas.
Observar que sólo tres de las geometrías canónicas son de curvatura constante.
4 La Geometría de la Relatividad
La teoría general de la relatividad de Einstein es el ejemplo más espectacular del uso con
éxito de la imaginación matemática para reflejar la conducta del universo físico.
Como es bien conocido, en 1905 Einstein publica su primer trabajo sobre relatividad
especial, y en 1915 su trabajo sobre la teoría general de la relatividad.
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En 1907, Einstein redacta su famoso principio de equivalencia:
Principio de equivalencia: Ningún experimento interno puede manifestar diferencia
alguna entre un pequeño laboratorio acelerado en el espacio y el laboratorio equivalente
situado en la tierra y por tanto sometido a la gravitación.
Entre 1907 y 1911, trabaja duramente para intentar enunciar una ley de campo para la
gravitación. Einstein llega a la conclusión de que su principio de equivalencia implica que
las ecuaciones de la Física deberían de expresarse de tal manera que todos los sistemas
de coordenadas espacio-temporales estuvieran en las mismas condiciones de igualdad (lo
que se denominó Principio de covarianza genera0.
Ahora, para la aplicación de este principio, Einstein se encontró con graves problemas
matemáticos y buscó la ayuda de un experto, su amigo M. Grossmann.
Einstein llega a la necesidad de utilizar la geometría de Riemann como soporte matemá­tico
de su teoría. Su intuición le hizo ver que el tensor métrico del espacio-tiempo debería
ser la realidad que representase la gravitación. Después de mucho trabajo y de estudio
con Grossmann de la geometría de Riemann y del cálculo diferencial absoluto de Ricci y
Levi-Civita, Einstein deduce que en presencia de un campo gravitatorio, el espacio-tiempo
es una variedad diferenciable de dimensión cuatro con un tensor métrico g de signatura
(3, 1), que es solución de las ecuaciones de Einstein (ecuaciones que sustituye a la ecuación
de Poisson de la mecánica clásica). Estas ecuaciones son: R;j - ~Rg;j = kT;i> donde R;i
son las componentes del tensor de Ricci, R la curvatura escalar, obtenidos ambos del
tensor de curvatura, T;i son las componentes del tensor de impulso-energía (el cual nos da
la información sobre la materia, incluida su densidad) y k es una constante. La ecuación
de Poisson resulta ser una aproximación de las ecuaciones de Einstein (en otras palabras,
cuando estamos ante un campo gravitatorio débil, las ecuaciones de Einstein se reducen
a la de Poisson).
Una variedad de Lorentz es un par (M,g), donde Mes una variedad diferenciable de
dimensión n y g un tensor métrico de signatura ( n - 1, 1) . Así, los espacios-tiempos de la
relatividad general son variedades de Lorentz de dimensión 4. El estudio de los problemas
físicos que involucren campos gravitacionales se traducen en problemas geométricos sobre
una variedad de Lorentz.
5 Modelos cosmológicos
Uno de los grandes atractivos de la teoría de la relatividad es el de constituir el marco
adecuado para proponer modelos teóricos sobre nuestro Universo. De hecho, Einstein (en
1917) es el primero en proponer, usando su teoría, un espacio en cuatro dimensiones cuya
geometría depende de la distribución de masas que contiene.
Para describir un modelo de universo, imaginamos la materia como un fluido donde
cada " partícula" es una galaxia. Sobre estas partículas no actúa ninguna fuerza, salvo
las que ejercen las unas sobre las otras por la gravedad. Este universo sería la parte
espacial de nuestro espacio-tiempo, cuatri-dimensional, M. De acuerdo con la teoría de la
relatividad general no hay fuerzas de gravitación, sino que el movimiento de las partículas
es representado por geodésicas del espacio-tiempo (M,g) . Por supuesto, la métrica g ha
de ser solución de la ecuaciones de Einstein. Estas ecuaciones relaciona la geometría del
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
espacio-tiempo con la distribución de materia y energía en el Universo. Para resolverlas
se consideran las siguientes hipótesis:
Las propiedades geométricas y físicas de nuestro universo son las mismas en todos los
puntos en cada instante, así como en todas las direcciones alrededor de todo punto.
Dicho de otra forma, el Universo es homogéneo e isótropo.
Usando estas hipótesis uno puede encontrar resultados locales sobre como debe ser la
métrica. Estas soluciones han sido estudiadas por, entre otros, W. de Sitter, A. Friedmann,
G. Lemaitre, Robertson, Walker,. ..
Las más generalmente aceptadas soluciones cosmológicas de las ecuaciones de Einstein
son los modelos homogéneos e isótropos de Friedmann-Lemaitre (Robertson-Walker), los
cuales obedecen al principio cosmológico de que las secciones espaciales tienen curvatura
constante.
En el marco de la cosmología estándar estos universos son descritos por la denominada
métrica de Robertson-Walker.
Así, el modelo global más sencillo de espacio-tiempo es de la forma M4 = R x M,
donde M es una variedad de Riemann dotada de una métrica h de curvatura constante,
y M4 dotada con la métrica g = -c2dt2 + f2(t)h. La métrica h sobre M es dada por:
h = d'lj;2 + g2('1j;)(sen28drp2 + d82), con g('lj;) = sen'lj;, senh'lj; ó 'lj;, dependiendo que h sea
de curvatura constante positiva, negativa o nula, respectivamente. La función f = f (t)
es un factor de escala.
En la mayoría de los estudios cosmológicos, y en los libros clásicos de textos, se asume
implícitamente que la topología del espacio es simplemente conexa, y por ello los tres
modelos de espacios de Friemann-Lemaitre que suelen aparecer son:
• El modelo de curvatura constante positiva que implica un espacio esférico y cerrado
de volumen finito: la esfera tridimensional § 3 ,
• El modelo de curvatura constante negativa, de geometría de tipo hiperbólico, es
abierto y de extensión infinita: el espacio hiperbólico infinito IHI3 .
• El modelo de curvatura nula, es el modelo euclídeo abierto de volumen infinito: el
espacio euclídeo R3 .
6 Topología cósmica
Como se expuso en la sección anterior, los modelos homogéneos e isótropos de Friedmann­Lemai
tre admiten secciones espaciales de tipo esférico, euclídeo o hiperbólico de acuerdo
a que su curvatura (espacial) constante sea positiva, cero o negativa.
Pronto se reconoció, por Friedmann, Lemaitre y algunos otros, que las métricas con
curvatura negativa o cero admitían espacios con topologías cerradas, de volumen finito.
Las ecuaciones de Einstein son ecuaciones en derivadas parciales, y describen las ca­racterística
del espacio-tiempo desde un punto de vista local. En este sentido la teoría de
la relatividad no fija la estructura global del espacio-tiempo, y por lo tanto la forma del
universo.
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
Desde 1917 se sabía que a una misma solución de las ecuaciones de Einstein en ge­neral
le puede corresponder un gran número de universos topológicamente distintos (no
equivalentes). Así, poco después de la aparición de la solución estática de Einstein (1917),
que proponía un modelo esférico (con curvatura constante positiva), De Sitter observó
que dicha solución admitía un modelo cosmológico esférico "no simplemente conexo",
denominado elíptico, obtenido a partir de la esfera tridimensional identificando los puntos
diametralmente opuestos. Este espacio tiene igual métrica que el espacio esférico, pero la
mitad de volumen.
Posteriormente, H. Weyl, Friedmann y Lemaí'tre también trataron el tema de la
topología global del espacio, y la posibilidad de considerar modelos de espacios múlti­plernente
conexos. De hecho, Friedmann (en 1923) precisó que la teoría de Einstein era
incapaz de ocuparse de la estructura global del espacio-tiempo.
En el caso de curvatura nula, se sabe que existen 17 formas de espacios múltiplemente
conexos que son localmente equivalentes al espacio euclídeo pero que, topológicamente,
son muy diferentes. Un ejemplo de uno de ellos es el toro en tres dimensiones. Sin
embargo, la idea de utilizar espacios múltiplemente conexos no atrajo mucho.
Ahora, uno puede preguntarse porqué el universo tiene que tener la topología más
simple. La simplicidad de nuestro Universo no ha sido establecida por observaciones
cosmológicas. En la mayoría de los trabajos teóricos sobre cosmología se suponía, hasta
hace poco tiempo, que el Uní verso estaba dotado de las propiedades topológicas más
sencillas posible, y por ello se presuponía que eran espacios simplemente conexos. Así, el
problema de la topología del espacio-tiempo era generalmente ignorado.
Hasta 1990, las investigaciones en topología cósmica eran escasas. En la década pasada,
comenzó a ser desarrollada principalmente en el marco de la gravitación cuántica. A ello
se unió también los esfuerzos en observación cosmológica para determinar la curvatura y
el tamaño del universo.
Un resultado conocido en geometría de Riemann dice que si M es una variedad com­pleta
de curvatura constante entonces su recubrimiento universal ÑI es uno de los tres
modelos canónicos de curvatura constante, el 3-espacio euclídeo, la esfera tridimensional
o el espacio hiperbólico tridimensional, y M es el espacio de órbitas de un subgrupo r
del grupo de isometrías de ÑJ que actúa libremente y discontinuamente sobre ÑJ. A
grosso modo esto quiere decir que localmente la geometría de una variedad de curvatura
constante coincide con la de sus modelos canónicos globales simplemente conexos ("sin
agujeros") . Observar que el recubridor universal de la variedad de Riemann M es una
variedad de Riemann simplemente conexa que la recubre, es localmente isométrica a M
y está constituida por un número de copias múltiples de puntos de M.
De dicho resultado, dado que la simplicidad de nuestro 3-espacio M no ha sido estable­cido
por observaciones cosmológicas, nuestro 3-espacio puede igualmente ser uno de los
posibles cocientes (múltiplemente conexos, o con agujeros) M = ÑJ ¡r.
Sabemos que la acción de r divide al espacio de recubrimiento ÑJ en dominios o celdas
idénticas, que son copias del poliedro o dominio fundamental. El poliedro fundamental
es el desarrollo en ÑI del mayor dominio simplemente conexo que contiene a un punto
dado x E M. Es siempre convexo y tiene un número finito de caras (debido a que el
grupo de holonomía es discreto). Esas caras son homólogas por pares. A cada cara C le
213
© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
corresponde una y solo una cara C', tal que para cada x E C existe un x' E C', tales que
X y x' son dos desarrollos del mismo punto X E M. Los desplazamientos que llevan e a
C' son los generadores del grupo de holonomía r .
Los puntos de la variedad cociente M son obtenidos de M identificando los puntos
equivalentes bajo la acción de r. Así, cada punto de M representa todos los puntos
equivalentes en M. En este modelo cosmológico, cualquier objeto cósmico es descrito
por un punto p E M, que representa, cuando Mes múltiplemente conexo, un sistema de
puntos equivalentes (las imágenes de p) en la variedad de recubrimiento M. Si suponemos
que el universo observable es una bola B e M de radio r, y denotamos por L la longitud
más larga en el poliedro fundamental P de M, P e M, entonces, si L/2 < r, podemos
observar imágenes múltiples de objetos cósmicos que viven en B.
La periodicidad de las imágenes múltiples de los objetos cósmico, la distribución de
sus posiciones, son dadas por el grupo r, y están fundamentalmente relacionadas con la
topología del 3-espacio.
A continuación damos una breve descripción de tales espacios. Antes debemos observar
que para obtener los espacios de curvatura constante (las formas espaciales) se puede
proceder como sigue:
• Considerar el recubrimiento universal (§3 , JR3 , JH[3).
• Obtener los subgrupos de isometrías que actúan de forma libre y discontinua.
• Obtener el poliedro fundamental, en cada caso.
Las 3-variedades de curvatura constante positiva tienen a § 3 , que es compacta, como
recubrimiento universal. La métrica sobre § 3 puede escribirse como
Su volumen es 27r2R3 .
El grupo de isometría de § 3 es 50(4). Existen infinitos subgrupos admisibles en este
caso (de hecho se trata de una familia bi-paramétrica de subgrupos).
El volumen de M = § 3 / res vol ( M) = 27r2 R3 /lf I, donde lfl es el orden del grupo. Para
3-variedades esféricas topológicamente complicadas ¡r¡ es grande y por tanto el volumen
de Mes pequeño (de hecho O< vol(M) S 27r2 R3 ) .
Ejemplos:
• El espacio proyectivo !P'3 = § 3 /Z2, obtenido identificando los puntos diametralmente
opuesto de § 3 . Fue usado por de Sitter y Lemaltre como espacio para sus modelos
cosmológicos.
• Los espacios "lenticulares" § 3 / Zp. El más simple, § 3 /Z3 , divide a § 3 en seis celdas
fundamentales, cada una de ellas con forma de lente.
• El espacio dodecaédrico de Poincaré es otro ejemplo. El poliedro fundamental es un
dodecaedro regular cuyas caras son pentágonos.
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© Del documento, de los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2017
La métrica para el recubridor universal, JR3 , de una 3-variedad de curvatura nula puede
ser escrita como
El grupo de isometrías es IS0(3) = JR3 x S0(3).
Existen 18 tipos distintos de espacios localmente euclídeos. Las 17 formas espaciales
múltiplemente conexa están en correspondencia con los 17 grupos cristalográficos descu­bierto
hace más de un siglo por Feodoroff (1885). Ocho formas son abiertas (no compactas)
y 10 son cerradas (compactas) .
Los modelos compactos se pueden visualizar mejor identificando caras apropiadas del
poliedro fundamental. Seis de ellos son orientables. El poliedro fundamental puede ser
un paralelepípedo o un prisma hexagonal con varias posibles identificaciones. El 3-toro es
el más simple.
Aunque existen infinidad de variedades de dimensión tres de curvatura constante ne­gativa,
pocos ejemplos eran conocidos hasta el trabajo de Thurston de finales de los años
70.
Estas variedades todavía permanecen sin clasificar, a pesar de que son de las más
estudiadas en la actualidad.
La métrica inducida sobre JHI3 puede escribirse como
El volumen de JHI3 es infinito. Su grupo de isometrías es isomorfo a PSL(2,C), esto
es, el grupo de las transformaciones lineales fraccionales sobre el plano complejo. Los
subgrupos finitos han sido estudiados.
Para dimensiones mayores que dos el volumen de una variedad de curvatura negativa
y las longitudes de sus geodésicas cerradas son invariantes topológicos. Esto sugiere la
idea de usar los volúmenes para clasificar las topologías.
Cada tipo de topología es caracterizada por algunas longitudes. Para espacios euclídeos
localmente compactos, el dominio fundamental puede poseer volumen arbitrario, pero no
puede tener más de ocho caras. En el caso esférico el volumen de § 3 /r es finito. Por
el contrario, es posible dividir JHI3 por poliedros teniendo un número arbitrario de caras.
En el caso hiperbólico tri-dimensional, los posibles valores para el volumen del poliedro
fundamental están acotados por debajo. Interés particular que han tenido muchos autores
en los últimos años es la computación de los volúmenes de las 3-variedades hiperbólicas
compactas.
La topología global del universo puede ser comprobada estudiando la distribución
tridimensional de fuentes discretas y las fluctuaciones bidimensionales en el fondo cósmico
de microondas.
Una de las primeras cuestiones que se ha intentado a partir de la observación es el
tamaño de nuestro universo.
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En esta línea están los trabajos del astrofísico ruso V. Schvartsmann, que ha di­rigido
(desde 1970) un programa de observaciones (Telescopio de Zelentchuk, Caucaso),
y también los recientes estudios sobre la distribución de los cúmulos de galaxias en el
contexto de suponer un universo cristalográfico, y sobre la búsqueda de imágenes fan­tasmas.
De ellos se ha podido establecer un límite inferior en el tamaño de un universo
múltiplemente conexo.
Como ya comentamos, la acción de r divide el espacio de recubrimiento M en celdas
o dominios idénticos que son copias del poliedro fundamental.
Una consecuencia inmediata en un 3-espacio M con topología no trivial es que el cielo
puede mostrar la repetición del poliedro generador, es decir imágenes múltiples ("imágenes
fantasmas") de objetos cósmicos, como por ejemplo galaxias.
Otra forma de abordar la topología del universo es investigar sobre sobre la radiación
cósmica de fondo, ese débil resplandor provocado por "el big bang". Esta radiación se
distingue por su notable homogeneidad, aunque existen ligeras ondulaciones (COBE).
La radiación cósmica de fondo aparece hoy como una esfera gigante. Si el universo
es múltiplemente conexo y la esfera es suficientemente grande, mayor que el poliedro
fundamental, las copias de la esfera se intersectarían. Así se detectaría la presencia de
círculos en el cielo.
A pesar de nuestra incapacidad actual para predecir la topología del universo, muchos
investigadores piensan que se llegará a detectar, a medida que nuestras observaciones sean
más exactas.
El U ni verso, un dodecaedro
Los datos obtenidos por la sonda WMAP ( Wilkinson Microware Anisotropy Probe)
de la NASA, parecen indicar que el universo podría tener forma de un dodecaedro. A esta
conclusión ha llegado el equipo de investigadores, dirigidos por Jean-Pierre Luminet, del
Obsevartorio de Paris, y formado por Jeffrey R. Weeks (Cantor, USA), Alain fü azuelo
(CEA/Saclay, France), Roland Lehoucq (CEA/Saclay, France) y Jean-Phillippe Uzan
(Laboratoire Physique Theorique, Univ. París XI, France). Sus estudios se publicaron en
la revista Nature (ver [3]).
La sonda WMAP realiza observaciones del universo cuando tenía unos 380.000 años
de edad, a través del estudio de la distribución de la radiación de fondo de microondas,
que se ha ido propagando después del big-bang (producida hace unos 13 mil millones
de años). Los datos que ha enviado sugieren que el universo debe ser finito, puesto que
la radiación cósmica no es completamente uniforme, como se pensaba, sino que muestra
pequeñas desviaciones, dependiendo de la dirección en que se mire el universo. El origen
de estas desviaciones son las fluctuaciones de densidad que se originaron poco después del
big-bang y se propagaron en forma de ondas por todo el universo.
Si el universo fuese infinito estas ondulaciones tendría que ser de cualquier longitud,
cortas y largas. Sin embargo el WMAP no ha detectado ondas largas, lo que indica de
que el espacio debe de tener un tamaño finito.
Luminet y su equipo, a partir de los datos proporcionados han calculado la forma que
debería tener el universo para producir esos espectro de frecuencias en la radiación de
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fondo, y han llegado a la conclusión de que la forma que más se adapta es la del espacio
dodecaédrico de Poincaré.
El espacio dodecaédrico de Poincaré puede ser descrito como el interior de una especie
de esfera (balón de fútbol) formada por 12 pentágonos ligeramente curvados, pero que
tiene la siguiente propiedad: cuando se sale por una cara de uno de los pentágonos
aparecemos por el pentágono opuesto, con una rotación de 36 grados. Este espacio es
finito, sin borde, así que podemos viajar indefinidamente. Sí nos alejamos (sin volver
atrás) en una dirección el espacio, llegaríamos de nuevo a la tierra, tras un viaje de unos
60.000 millones de años-luz. Así, un observador tendría la ilusión de que se encuentra
en un espacio mucho más extenso, formado por duplicados de dodecaedros, como en una
habitación de espejos.
Como los rayos de luz cruzan una cara y aparecen por la opuesta, todo objeto cósmico
tendría imágenes múltiples. Los objetos distantes los podemos divisar en dos direcciones
distintas (opuestas) , aunque con diferentes edades.
Si la radiación de fondo hubiese viajado lo suficiente para reencontrarse (es decir
si hubiese sobrepasado el tamaño del espacio), aparecerían los círculos de interferencias
(originalmente ideados por Cornish, Spergel y Starkman). En este caso deberían de
aparecer seis pares de círculos con un radío angular de 36 grados.
Un observador que viviese en un dodecaedro esférico de caras conectadas podría in­terpretar
que vive en un universo esférico constituido por células dodecaédricas esféricas
iguales. Se necesitan 120 dodecaedros para embaldosar (o llenar) la esfera tridimensional.
Bibliografía
[l] M. Lauchieze-Rey and J-P Luminet: "Cosmic Topology", Physics Reports (1995).
[2] J.-P. Lumínet: "Past and F'uture of cosmic topology" , Acta Cosmologíca (1998).
[3] J.-P. Luminet, J.R. Weeks, A. Riazuelo, R. Lehoucq y J-P Uzari.: "Dodecahedral
space topology as an explanatíon for weak wide-angle temperature correlations in
the cosmic microwave background". Nature (vol. 425, octubre 2003).
[4] J. W. Morgan: "Recent progress on the Poíncaré conjecture and the classification
of 3-manifolds" . Bull. Amer. Math. Soc. vol. 42, l. (2004).
[5] W. Thurston: "Three-dimensional Geometry and Topology" Prínceton Math. Ser.,
vol 35 (1997).
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