¿Proporcionalidad o razonamiento proporcional?

              iPROPORCIONALIDAD O RAZONA~IlNTO PROPORCIONAL?
Joaqui.m (ji.ménez
Uni.ve~hi.dad de Ba~cetona
OBJETIVO
Al hablar de proporción y proporcionalidad se unen muy dive~­sos
aspectos cotidianoq.. que podr:i'.amos representar mediante los siguie,!l­tes
t:i'.tulos
De la antropolog:i'.a a la antropometr:i'.a
De la belleza a la simetr:i'.a
Del equilibrio a la equivalencia
De la concordancia a la dependencia
En todos ellos se hace notar como se trata de un proceso que
va de lo observacional a lo medible en los distintos ámbitos del queh~­cer
humano. iNada se aparta de la proporcionalidad en cuanto se acerca-a
lo medi·ble!
Es·importante observar hasta qué punto lo proporcional ~stá -
en la reflexi6n más banal,incluso cómica, como esta tira de Mafalda.
-19-
ELEMENTOS DEL PROCESO PROPORCIONAL
Consideraremos como elementos de un proceso proporcional un -
conjunto de experiencias de clase (o no) ,en las cuales se va adquirie.!!­do
gradualmente un conocimiento más estricto,perfeccionado y matemátic~
Lo que vamos a comentar aquÍ,lejos de ser un programa del t~­ma,
pretende ser una serie de reflexiones didácticas(metodol6gicas u o~­servacionales),
a las cuales debe añadirse la reflexi6n psicol6·gica y S.s?,
cial que sitúa a cada grupo de alumnos con características diferenci~ -
les que el maestro debe conocer.
Observamos,según un cierto orden de dificultad,los siguientes
elementos del proceso :
•• PROCESOS VINCULADOS A LA PERCEPCIÓN
Debemos recordar ,.qu·e nuestra propia visi6n es proporcional, y
así se considera todo lo que de ella surge. Tanto es asÍ,que aun viendo
las cosas "de lado",aparece la proporci6n respecto a planos paralelos a
lo observado. Las características de proximidad o lejanía,por ejemplo,­constituyen
un caso suficientemente explícito de c6mo "trabaja propo~ -
cionalmente" nu~stra visi6n.
VINCULADOS A LA REPRESENTACION
Cuando efectuamos dibujos,e incluso esculturas,de la realida~
que queremos que la reflejen,procuramos utilizar métodos proporcionales
para hacernos comprender mejor,aun sin conocer y dominar las escalas.
•• FENÓMENOS EXPLICABLES MEDIANTE PROPORCIONES
Contemplamos aquí el conjunto de experiencias cotidianas en -
las cuales una buena observaci6n permite reconocer elementos proporci.s?,­nales:
precios,velocidades,etc.
•• FENÓMENOS DIRECTAMENTE VINCULADOS A LA MEDIDA
Incluimos en este apartado las situaciones del proceso de
aprendizaje en las que vamos alcanzando un dominio de la medida.
El caso de la lcngitud es el más patente,en cuanto pasamos
de una medida en palmos a la convencional, considerando que metro son
-20-
5 palmos, etc. También, el caso de las medidas indirectas de objetos o lu­gares
inaccesibles.
FENÓMENOS VINCULADOS A DEPENDENCIAS FUNCIONALES
Ya en el plano de lo cientÍfico,y dentro de una dinámica típi­camente
escolar,consideramos las experiencias fÍsicas,quÍmicas,etc,que -
contienen relacio.nes de dependencia.
Una de las situaciones del 3er Ciclo de EGB: Al apretar un
muelle,se ejerce una fuerza,que depende del material y de la distancia
que se ha apretado (Ley de Hooke) •
.. PROCESO DE ABSTRACC 1 ÓN : HAC 1 A LO MULT 1PL1CAT1 VO
Llamamos así a esa Última etapa en la que se decubre la sint~­nía
entre los diversos trabajos realizados. Ello se constata por la cap~
cidad de aplicaciÓn(transferencia) a otras situaciones.
Lo multiplicativ~ és algo qué se desmarca de la adición(que
sentimos el Ímpetu de utilizar). Se descubre la proporción, en el sentido
griego ; la equivalencia,en el sentido moderno.
Un elemento peculiar ·es observar-no sin dificultades-una e~
tructura común entre los fenómenos y situaciones que envuelven lo propoL
cional(aditividad,constante,etc.). Se entrevé una reflexión teórica,se -
verbaliza esa relación, se asocia a un elemento gráfico(función lineal) y
un elemento algebraico común(un mismo tipo de ecuaciÓn,y=kx),etc.
Todo este proceso se lleva a término en la escuela mediante un
conjunto de trabajos,situaciones y reflexiones,que vamos a explicar ateQ
diendo a su progresiva dificultad.
SECUENCIACION DE SITUACIONES
Estas no deben interpretarse como situaciones que empiezan y -
terminan;que la segunda no debe hacerse sin haber hecho previamente la -
primera, etc.
La clasificación sirve sólo a la comprensión global de todo lo
que se va a decir; procura ser exhaustiva,pero no hay espacio suficiente
para explicarlo todo tal como lo haríamos en el aula.
Trataremos las fases siguientes:
-21-
1. Ver la realidad sin transformación. 2. Aproximar. 3. CuaQ-tificar-
Medir. 4, Caracterizar funcionalmente. 5. Trabajo formal.
En estas fases, queremos ver un proceso coincidente con lasprl
meras etapas de la elaboración científica : observación + medida + ley,
es decir,notar cómo sin un razonamiento proporcional,no se completa un­razonamiento
ci~ntÍfico; y hablar de proporcionalidad no se comprende
sin hacerlo de medida.
Contemplaremos las acciones que comporta cada fase,los elemeQ
tos pedagógicos y conceptuales,algunos materiales y ejemplos,las dificul
tades generales observadas y las representaciones más usuales.
Al final de este apartado incluiremos un cuadro donde se verán
comparativamente las distintas fases,
-22-
1, VER LA REALIDAD SIN TRANSFORMACIÓN
Caracteriza este tipo de situaciones la capacidad que tenemos
de observar lo real de nuestro entorno y reproducirlo,representarlo,su~
tituirlo por elementos más próximos; pasar,en ocasiones,de lo grande que
ocurre a nuestro lado,a lo pequeño y dominable de una hoja de papel,una
fotograf:Í:a,etc.
Nuestros alumnos más pequeños deben,pues,encontrar posibili­dades
de observar, Ello implica dedicarle tiempo,forzar situaciones m~­diante
j·uegos visuales, excursiones, exposiciones murales, etc.·
Deben observar
Las nociones de proximidad y lejan:Í:a (pre-proporcionales)
- Reproducciones de espacios amplios donde se observe la con
servaciÓn de las nociones derecha/izquierda,arriba/abajo,grande/pequeño,
ancho/estrecho,doble/mit~d,'
- Reproducciones de objetos sencillos(inicio a la escala) y­el
código simbólico que ello representa.
- El uso cada vez más profundizado de l:Í:neas de escala gráfi
ca,rectil:Í:neas o no,donde se reproducen situaciones proporcionales.
- El conocimiento de proporciones simples observadas en un -
universo alcanzable manipulativamente(objetos de una mesa,juegos,etc.)
Disponemos de multitud de ejemplos. Entre ellos:
, Observaciones con espejos que permitan ver la relación 1 a
1 con uno mismo,o la cerca/lejos frente a otros objetos o personas. In­cluso,
verse más pequeño cuanto más lejos se esté,etc •
• A partir de fotograf:Í:as y observaciones directas,notar las
diferencias de tamaño según la colocación del observador(fotógrafo).
Notar como se deforma la realidad mediante espejos cónc~ -
vos,el gran angular,las ilusiones Ópticas,etc.
, Copiando cenefas a distintas escalas de papel cuadriculado,
hacer observar c6mo se conserva la forma,la cadencia, el dibujo,aunque -
cambie el tamaño. Y,a partir de ah:Í:,introducir los frisos y rosasas •
• Utilizando patrones,cual modistas,reproducir un traje u
-23-
otro objetoº Por ejemplo,las casitas de cartulina; no s6lo los desarr~­llos
planos de-cuerpos geométricos •
• Con juegos de intercambio de cromos,monedas,etc.,darse cuen
ta de relaciones simples del tipo 1 a 2 , 1 a 4, 2 a 3, 2 a 5.
Las representaciones se basan en líneas numéricas,escalas y -
formas simb6licas escritas 2 por cada 5,etc.
Debemos considerar las dificultades del paso de la realidad -
tridimensional al plano y las que provienen del trabajo con fracciones.
-24-
2. APROXIMAR
Implica un proceso más estricto,que cuantifica la observación
y contempla primeramente las acciones de comparación y tanteo.
Es importante considerar también las situaciones típicamente­numéricas
que acompañan siempre la aproximación: estimar y redondear. Y
acciones como •acercar•, en el sentido de ver las cosas m6s de cerca sin
deformarlas, y "agudizar•,esto es,profundizar diferenciando las cosas
que realmente son de la misma forma y las que no,que indican el paso i~
portante para clasificar según dichas aproximaciones.
Aspectos importantes de este proceso son
- Estudio de las medidas arbitrarias, que va permitir el uso -
de la aproximación con ellas (palmo,pie,cordel,etc.)
- Dominio de la visión,que afina los puntos de vista que dan­una
u otra aproximación~ ·
- Trabajo sobre situaciones de compraventa, que aproxima la vi
SiÓn comercial (dinero).
- Estúdio de mezclas como proporciones, tan usual en el lengu~
je cotidiano.
- Análisis perfeccionado de la noción de equilibrio y de las­consecuencias
que de ello se derivan (peso). Expresiones como •menos P.!::
sado","muy•,•poco",son difíciles de afinar cuantificando.
- Estudio del dibujo más efectivo de la realidad : los planos
y patrones a escala. Relaciones de cuantificación(longitud),que inciden
en la comprensión de la relativización de grande/pequeño, empinado/lis~
cerca/lejos. Se prepara así el trabajo de medida a escala.
- ,Aproximaciones a la comprensión del tiempo (escalas tempor~
les gráficas,visualización del tiempo:-relojes). Comprensión de expr.!:: -
siones relativas como mucho antes/después , hace bastante/poco tiempo
lapsus largo/corto , temprano/tarde. Y,con ellas,las respectivas cuanti
ficaciones,apoyadas sobre representaciones.
- Conocimiento de situaciones en que interviene el azar (pr.Q­babilísticas)
y su aproximación. Comparación de situaciones probabilÍ~-
-25-
ticas. Llegar a establecer niveles de probabiliad.
Todo ello se realiza en el aula mediante situaciones viveQ
ciales surgidas de los propios alumnos.
amp €.i..ac ione-ó ?
B e
E
·jº
·:¡ ...
School ~athematic P~oject
-26-
He aqul una /otog4a/la del Ra4CO del pad4e de JulLa. JulLa le
pLde ae totóg~ato una amplLac¿ón del tamaño del 4ecuad40.
ño que quLe4e no e4 el adecuado, que nLnguna amplLacLÓn le va t¿en,
¡Ayuda a Jut¿a!Aqul t¿ene4 cua{40 papele4. Sólo uno de ello¿ -
e4 et C044ecto pa4a hace4 ea ampe¿ac¿ón. ¿Cuál? ¿ Po4 que?
S,f'/,P, - C,/1,P, 1984
-27-
Damos a continuación ejemplos de actividades relativas al pr.Q_
ceso de aproximación :
• Uso de cuadros estadísticos que muestren la cuantificación­de
comparaciones sobre precios,nlimero de tiendas de uno y otro tipo,etc •
• Provocar juegos de intercambio que comprendan situaciones -
más ventajosas (3 cada 1 respec~o de 2 cada 1), desproporciones de meA -
clas (3 de sal y 1 de pimienta,contra 2 de sal y 1 de pimienta) y se pu~
dan efectuar ¡¡.proximaciones en una situación. Un ejemplo poco utilizado-es
este: "En una receta para 4 personas dice: Poner 2 cucharadas de lev!!!:.
dura por cada litro de agua.¿Qu~ ocurriría si fuera para 8? 11 La propo.!: -
ción sería la misma,aunque el número de cucharadas y la cantidad de agua
fuera do ble.
Dominio de las· balan·zas ··normal y matemática,que permite vi­sualizar
el principio de ~a palanca.y el dadme un punto de apoyo y leva!l. ,..
ta11..é el mundo, de Arquímedes, base d·e la balanza romana •
• Juegos con líquidos - que deben hacerse más allá del Preesc2
lar-, procurando que se visualicen relaciones volum~tricas (complicadas -
de por sí) mediante recipientes con la misma capacidad y distinta forma,
la misma base y altura diferente. Uso y asociación real de fracciones
respecto al litro (botellas,latas de refrescos,etc) •
• Realizar esquemas temporales en gráficos.Representar el
tiempo en longitud (cinta de cassette),peso (reloj de arena),capacidad
clepsidra),superficie(calendario),para poder situar en esos esquemas s~-
ceses conocidos y poder comparar sus duraciones •
• Aprender a usar instrumentos arbitrarios de medida (corda~
hoja de papel,palmo,etc) para,posteriormente,usar la regla,el transport!!!:,
dor de ángulos,el pie de rey; realizar y comparar escalas de mapas y sig
nos convencionales de uso común que implican proporcionalidad (flechas -
ron la velocidad del viento, señal de % en las pendientes de carretera,etc)
Situaciones probabilísticas : juegos con dados, cartas, etc.
Cuidar la aproximación en el sistema de numeración. Es de -
destacar la importancia de este análisis para la estimación de resultado~
-28-
La gran dificutad de esta fase es la comprensión de la arb_i .­trariedad
de la escala de medida y lo poco que se trabaja la noción de­aproximaciÓn
en situaciones cotidianas. Se suele reducir el quehacer e~
colar a la mecanización de cambios de medida, sin darse cuenta que dicho
ejercicio es necesario para una buena aproximación,pero dentro de un
contexto siempre real. Como ya se ha insinuado,otra gran dificultad prQ
viene del poco uso de la escala temporal.
Las representaciones tipicas de la aproximación son las acot~
ciones,ias escalas de medidas,la introducción de la división y los mat~
riales manipulativos que pueden usarse como representaciones.
3, CUANTIFICAR Y MEDIR
En este punto,debemos decir que nos encontramos en la fase
crucial de los aprendizajes de proporción y medida,y es dificil disti~­guir
dónde llega cada i¡_no ..
Observaremos las situ~ciones que se requieran para notar c5mo
en el proceso de medida aparece la cuantificación basada en lo propoE -
cional. Dichas observaciones son propias del Jer Ciclo de EGB (11-14) .-
Se trata de ver la proporcionalidad en acciones como :
- Registrar datos y relacionarlos entre si cuando sea preciso,
Organizar datos de manera que podamos compararlos proporciQ
nalmente.
- Tabular,ordenar y examinar dichos datos.
Procuraremos examinar fenómenos-fisicos o no ,pero siempre re~
les-en los que la medida nos plantea la proporción, Asi,por ejemplo
• Situaéiones de proporción que refleja una simple observ~
ción(pasatiempos).
Reproducción de la realidad (fotocopias,planos,relieves).
Teorema de Thales y partición de un segmento en partes igu~
les (sombras del Sol).
Medidas indirectas. Cálculo de alturas(métodos diversos).
Propagación de la luz (fenómenos proporcionales en pantall~
Situaciones con porcentajes y cambios monetarios.
-29-
Facturas,créditos e interés bancario.
Mezclas,aleaciones y procesos de intercambio.
Escalas que se utilizan en los oficios : puntos en imprenta
y zapatería,pulgadas,n~dos,etc.
Todo este trabajo debe realizarse mediante experiencias de l~
boratorio,excursiones y análisis de situaciones problemáticas.
Sus dificultades provienen de las propias técnicas de medida -
y la imprecisión de los aparatos.así-como del poco dominio de los cam
pos numéricos y las operaciones.
Las representac.iones surgen de las propias técnicas de tabull!;
ción histogramas,tablas y métodos de representación proporci0nal,esc~
las gráficas y simbólicas (fracción y división).
(g)
-30-
4, CARACTERIZAR FUNCIONALMENTE
Corresponden a esta fase los procesos más complejos de la foL
maciÓn básica,y no se quedan Únicamente en el estudio de la función 11-
neal,
Implica el reconocimiento de acciones como
- Proporcionar(efectuar algo proporcionado a la realidad),
- B'uscar dependencias entre variables, entendiendo que una de:-
pendencia simple es la dependencia proporcional.
- Repartir proporcionalmente,que es un esfuerzo posterior.
- Identificar y distinguir fenómenos,proporcionales o no,como
puntos culminantes del proceso funcional(clasificaciÓn de funciones) y-de
la medida,
- Interpolar,como aspecto práctico de gran utilidad para la -
interpretación de funciones no proporcionales. ,,
Debemos considerar la r.ef.lexión sobre situaciones experiment~
les interdisciplinares como :
Fórmulas.
• Relaciones físicas : Dependencias proporcionales en Mecánica.
Propiedades de las escalas. Problemas longitud-superficie.
Invariantes en las proporciones, Valor de la constante.
Relaciones dependientes en fenómenos sociales,biolÓgicos, .••
Observaciones de fenómenos y dependencias,proporcionales a­no
eclipses,tamafio relativo de los cuerpos,brillo de estrellas,.,,
Las dificultatles en esta fase son las típicas de la c~racteri
zación funcional,
Todo ello incidirá en el uso de representaciones de los ttpos
siguientes :
- Diagramas sectoriales (proporción realidad-ángulo),
- Gráficas cartesianas de representación funcional,
- Ecuaciones.
- Lenguaje algebraico en general.
-31-
5. RAZONAMIENTO FORMAL
Contempla los niveles de mayor abstracción,aunque algunos a~-
pectas pueden ser considerados al tiempo que reflexiones anteriores.
Las acciones a desarrollar son
Sintetizar, determinar las variables, utilizar la analogía, de~-
cubrir,analizar y aplicar los conocimientos.
Los elementos a tener en cuenta son
- Comparación (cociente),conservaciÓn (constante),propiedad •
de aditividad (ley de Cauchy) y gráfica común.
- Las características especiales en las proporciones geométri
cas : estudio de la semejanza y de las proporciones especiales (áurea) ,
proporciones en la imprenta ( V-'2.) y en las relaciones circulares (rr).
Para presentarse debe introducirse ·el diálogo y el debate CQ­mo
forma idónea de suscitar una reflexión global
- Desarrollo de situaciones diversas y comparación de ellas.
- Análisis de los puntos de identificación de lo proporcional
respecto de lo que no lo es.
Las dificultades más importantes que aparecen se deben a las­propias
de la capacidad intelectiva;a la falta de presentación de situa
ciones,del modo indicado, en períodos anteriores a esta reflexión;al di-bil
uso de la clasificación y a los problemas de expresión en general.­Estos
últimos hacen parecer, en muchas ocasiones, que los alumnos no han-comprendido
el proceso,cuando,en realidad, se trata de fallos de verbali
zación o re~resentación.
Las formas de representación de estas reflexiones son ~
- Las correspondientes a las técnicas de expresión y comunic~
ción (resúmen,mural,audiovisual,etc),
- El uso de la definición y su valor.
- El énfasis en los elementos fenomenológicos (uso y contexto
de lo proporcional).
Presentamos a continuación un cuadro sinóptico de las diferen
tes fases estudiadas.
-32-
ACCIONES
Re.¡>11.e.-0e.n:la11.
Cap ia11.
Re.pa.oduc ia.
OC.-0e.11.va11.
Su-0i.Ltui11.
P 11.e.de.c i11.
ASPECTOS
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de. ea 11.e.aeidad
De./_011.mac ione.-0
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Compa11.a11.
r ani.e.a11.
Re.d onde.a11.
Ace.11.ca11.
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C€.a-0i/_icaa.
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O;z.gani.za.ll.
r aC.uea11.
011.de.na11.
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S i-0:le.ma:l iza11.
Pll.opon.cionaa.
De.pe.ndiza11.
Re.pa11.:l. p11.op•
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Azaa. e omp1t€.n-6 ión d,,.e
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Si:luaciona-0 /_l-0ica-0
1'011.cen:laja-0,
ran:lo poa. uno.
Relacione,;, /_1.,;,ica-6
1'11.opiadada-0 de
f.a-6 e-0cala-0·
Inva.lli.ani'2-4 .en
p11.opo11.cionalidad
Dapendenc ia-0
De.:le.11.mina11.
Anaeogiza11.
De.-0cuC.11.i11.
Anaeiza11.
Compaa.ación de
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Apeica11.
.S in:le:l izaa. S U:.uac ione-6 nueva-O
-33-
ELEMENTOS
METODOLOGS,
O C.-0e11.vac iona-6
con e-6p€.jo,;,
Toi.oga.a/_1.a-0
Da/oa.mac iona-6
REPRESENTACS.
I eu-0 ¿ ona-6 ó p:l-0,
Anamaa./_o-ói-6
Copia11. cene/_a-6
IL-0a11. pa:l11.ona-0
~aqua:la-6
112
Juago-6 d"- in:le11.c,
~onada,;,
2 po11. cada 5
111.accione.1>
,;,i.mpf.e-6
1/1000
Cuan:li/_i.caci.one-6
-00C.lia p11.ac io-0
Juego,;, de i.n:la11.r.,.
Rece:la-0
Dominio da ea C.a
lanza -
~edi.da de llqui.do.1>
l-0quema-0 :lempo11.ale-0
O:la.o-6 in-0:l11.umen:lo-0
de medida
Jueg0-6 con dado-0.
Cue_a.po humano y
-óu-6 p11.opo11.c-0.
Pa-0a:liemno.1>
'fo·:locopia-0
Plano-0,11.ef.ieva
a > x: > C.
l,;,caf.a-0 de
medida
Divi-0ión
Baf.anza
Apaa.a:lo-0 de
medida
SomC.11.a-0 d,,_¡1_ Sol Hi-0:log11.ama-0
Ctdculo de al:lu11.a-0 r aC.ea-0
1'11.opagac, da ea euz
C11.ldi:lo-0,/_ac:lu11.a-0, l-0c-0, g11.á/_ic,
camC.io,;,
~ezcla,;,
l n:la11.camC.io-0
'faacc, -di..vi..-0,
lx.pea.i.anc i.a-0 de
~acánica, llec:l11.i.
cidad Y A-0:la.onom1a 11.i.ala-0
lx.paa.ienci.a-6 con 911.a/_-0, ca11.:la-pl'_
ano-0
Sin:le:liza11. :l11.aC.a -0i.ana.J
jo,;, 11.aalizado-0 - lcuaci.on"--6
l,;,:ludio-0 C.ioeógi.co-0,L af.gaC.,
-0ociaee-0,e:lc. eng.
llaC.011.ación de
concf.u,;,ione-6
Compaa.ació~
con-6e11.va·c ión
Adi:livi.dad,ga.ál-1
ca comá.n
Semejanza como
ca-00 pa11.:licuf.a11.
P11.opue-0:la-0 in:le11.
di-0cipf.ina11.e-0 -
rlcnica-6 de
ex.p11.e-0ión
De/_inición
Re-0umen
'fenomenof.ogla.
ELEMENTOS DIDACTICOS
Trataremos a continuación algunos Índices y criterios gener~ -
les que pueden permitir un mejor desarrollo del tema en las aulas. Se t~
man en cuenta independientemente del nivel de los alumnos.
1. CUESTIONES A TENER EN CUENTA
Presentar lo proporcional frente a lo que no lo es
Ver la diferenciación metodológica : multivariedad de situ~
ciones
Multivariedad perceptual : cuidar de realizar represent~ -
ciones distintas y trabajar suficientemente un intercambio entre ellas
Coherencia con una perspectiva psicológica (de lo concreto­
ª la capacidad de abstracción)
Coherencia sistemática,fenomenolÓgica y epistemológica
2. EL VALOR DE LA CONSTANTE
Ya hemos menc:ironado el hecho de que,en distintas situaciones -
proporcionales, la constante juega un papel importante,pues decide el v~­lor
y significado de la proporcionalidad en cada situación. AsÍ,veremos-distintos
tipos de situaciones y el valor de lo que se mantiene en cada-caso;
es decir,lo que caracteriza la proporción. Lo observaremos en el -
siguiente cuadro,que esperamos sea suficientemente explícito :
ASPECTOS
S U..t.. cientlf.6,
en g11_al.
S U..t.. geomit.t.,
VALOR DE LA CTE.
Rep11_od. de fa 11_eaf id,
lguafd, de /011_ma
Equidad
ley de con.t.t, def n~m.
ley del inie11_camtio
f'/antenim. de ea di.t.i11_i-tutividad
CONCEPTO
Cuc.d¿j_, -l.t.cala
l.t.cm.e.:f.1t[a
l.t.cafa
Repa11_io.t., Cociente
Si.t.i. nume11_aci6n
í'1topo11_c, -11_az6n
Sit.t.. p11_oia4iei.t.i.t., Igualdad de poJi4ieid.t.. í'11_oiatifidad
mu.t.icafe.t. A11_monla(maniene11_ e.t.cala) í'11_opo11_ci.6n
anf11_opomit. lquil.-l.t.iit,(leona11_do) í'11_opo11_ci6n
f'ledida ley Cauchy(f(~+y)=ff~)•f(y))
Sii.t., funclonal.t.. f'lani..en im. d,e un ('_.6q.u.ema
(y = a~ )
-34-
LQUE HACEMOS CON LA PROPORCIONALIDAD INVERSA?
Debernos considerarla proporcionalidad,pues así es la historia,
pero es preciso hacer las consideraciones siguientes
• Se trata en situaciones claramente funcionales,dando por s~­puesto
que se cono ce lo que es ce nstante. Ejemplo: Tardo 5 h en ir de -
Valencia a Barcelona,a 70 krn/h,¿Cuánto tardaría si fuera a 140 km/h?
Se supone aquí constante el espacio •
• Se encuentra en situaciones cotidianas,pero,en realidad,no -
es más que una interpretación funcional inversa de un f enórneno proporciQ
nal,o aplicación de problemas de división.· Ejemplo: Si tengo 400 ptas­y
la docena de huevos cuesta 100 ptas,¿cuántas docenas puedo comprar? ¿y
si fueran a 200 ptas?
La si tu ación proporcional directa es: rigde docena s4prec .• totaL
• No es el Úni()'() 'ejemplo de· situaciones no proporcionales (di­rectamente).
La función del tipo y= x + Z no es proporcional y no es i~
versa.
Es,adernás,un ejemplo difícil y con una representación gráfi­ca
que no conviene al nombre de "inversa".
La función inversa(sirnétrica) de y = Zx es x = Zy
Con la imagen típica de que proporcionalidad inversa es aqu~
lla en que 11 a más corres;:ionde menos y a menos corresponde más" se crea una
confusión con la situación de función decreciente. Ejemplo: Dado un re~­tángulo
de perímetro constante,ver la relación entre los posibles valQ -
ies de los ladoi ( a+ f = cte ),
No es proporcionalidad inversa,sino que es decreciente (cuando
aumenta un lado,disminuye el otro,y al revés) •
• Debe entenderse en una situación de contexto más amplio,do~~
de se vea que, según lo que aparece constante, se trata de proporcionali -
dad directa o inversa. Ejemplos: La relación entre presión y fuerza,con­una
superficie constante(prop.directa),o la relación entre presión y S~f'
perficie,ejerciendo una misma fuerza (prop. invwrsa).
-35-
CONCLUSIONES
Creemos que los estudios hasta ahora realizados sobre el tem~
y el reflejo de nuestras reflexiones,muestran que se debe tratar con m~
yor cuidado y no debe incluirse todo en un solo curso de EGB.
Más aún,no se trata de un tema, sino de un tipo de razonamie11-
to.
El por qué debemos considerarlo así nos lo demuestran los pr_s:­pios
alumnos, cuando observamos que, espontáneamente, en edades tempranas -
nos responden de forma aditiva, y sólo más tarde se actúa multiplicativ~­mente.
Por otra parte, está comprobado hasta qué punto,en situacione&
nuevas, este tipo de razonamiento no se adquiere con la edad o madur~
ción psicológica. Es curiosamente cierto que alumnos universitarios rea~
cionan aditivamente ante situaciones proporcionales nuevas.
También es importante notar el daño que han hecho las frases -
"de. má.ó a má<1", "de. má<1'a
0
me.no<1"_, ••• Cuand.o en un mismo capítulo apar~-
ce la proporcionalidad directa y la inversa, y los problemas allí plant~
ados tratan sólo de eso,no hay problema en la expresión; pero, ante un
proceso amplio de resolución de problemas,¿por qué reducirlos a esos
dos tipos?
Incluso quedándonos sólo en el ámbito de las funciones.de pri­mer
grado,eso no es cierto. De ahí que consideremos que en el contexto -
funcional,deben estudiarse y analizarse tipos de funciones : lineales o
no, continuas o no, crecientes o no crecientes, etc. Por eso son ~ignas de-tener
en cuenta preguntas comb la C.ALSINA(1979) : ¿Por qué el área del­rectángulo
es base por altura? O bien: ¿Qué funciones en R son distrib~
tivas respecto de la suma?¿Por qué la medida debe conservar proporcional
mente propiedades análogas a la proporcionalidad?
¿Existiría proporcionalidad sin medida? ¿Por qué esa tendel! -
cia humana a la aditividad en un tiempo en que la rapidez parece que d~­bería
llevarn0s a lo multiplicativo?
Creemos que en las páginas anteriores se han respondido algu-nas.
Y,com apostilla final.proporcionalmente inversa: f>le.no.ó p~opo~ci~­naUdad
como :le.ma, Íf>IAS R.AZONA/>IIE.NTO PR.OPOR.CIONAq
-36-
OTRAS EXPERIENCIAS POSIBLES
Nos referiremos, a modo de ej emplof),a las siguiente.s
1, La estatura del Sr, Grande
2. Usando la probeta graduada
J. Medidas y proporciones del cuerpo humano
4, Prodigios de la fotocopiadora
5. La proporcionalidad animal
6. Curvas de nivel
1, LA ESTAURA DEL SR, GRANDE
Et S11., Pequeño mide 4 anilla4 de altu11.a.o fien,6 clip4, él S11.
Sr, Pequeño
Sr. Grande
¿Son co11./l.ec.:lo4 e4:l04 11.azonamúrn:loh?
Anillas
4
6
Clips
6
Como loh cliph hon má4 pequeño6,caf11.án má4 que anlllah,
Como haμ 2 c/l.lpA má.A que anl/l.f.a4,h.af11.á lamflé.n 2 c/l.lpA rrLá4 -
en /l.a medida del 511..Qaande. Po11. fo tanto,mlde R c/l.lp4 •
• Como et Sn. 911.ande mlde
dl11.á 2 c/l.lp4 máh, Po11. fo :lan:lo,mlde
-37-
2. USANDO LA PROBETA GRADUADA
6
Vertemos agi;_a poloreada en el tubo ancho y alcanza el nivel 4.
No sabemos hasta dónde llegará· eli. el otro. La vaciamos y vemos que alca,g
za el nivel 6.
Si echamos agaa hasta el nivel 6 del tubo ancho y la vaciamos
luego en el estrecho,¿qué nivel alcanzará en éste?
-38-
Repite la experiencia las veces necesarias, vertiendo difere~-
tes cantidades de lfquido. Llena la tabla siguiente y pas~ luego los d~
tos a la gráfica.
medida ancho
1
6
medida e;,i¡¡_echo
--------~ .. f-._____..-
--
--
--
--
--
--
--
--
-- ' --
--
--
--
--
--
~
1111111111111111111
y·
1
1
:
Representa la situación anterior mediante un diagrama de fl~-
chas.
Haz una breve descripción del resultado de la experiencia, e -
indica por qu~ crees que sucede así.
Procura compl et.ar la sigui.ente tabla, de acuerdo con tus obseI.:
vaciones ..
-39-
3, MEDIDAS Y PROPORCIONES DEL CUERPO HUMANO
Completa :
palma dedo;, pLe palma;,
pafmo dedo;, palmo palma;,
codo palmo-O codo dedo;,
p ¿,, dedo;, codo palma-O
l'.hiad io :600 p Le,,5
Fíjate en el esquema de Leonardo da Vinci. Anota las medidas -
del cuadro para averiguar quiénes están bien proporcionados.
diste.
B11.azada
Rellena esta tabla para cada una de las personas a las que m~
N~ vece-6 ca11,.a
en CUR..!LpO
Pi.e
OmE.ligo-cuello
L__ ________ ..._ _ __,_ _,_ _ _JL_ __ .L_ __ _._ - --·'---L---+
-40-
4, PRODIGIOS DE LA FOTOCOPIADORA
Las fotocopiadoras actuales permiten reducir, e incluso amplia~
cualquier gráfico,impreso,etc.
f1R. /)O(J6LA5J éL. "CllA/R/14/J), Re:C!f5t3. CO.
PIA AMPl!AOA Oé LOS Pt:AN05 éN
rORi1ATO 30,,.:50.
QUINCE 1 Séá{ftVOO.S
J)G$PtllES, Y GR-?C/45
A L.4 rtáCOPIAa;J~
i
Lo más curioso es que J.a reducción se teclea mediante un núm~-
ro.100 significa dejarJ.o igual. 70 quiere decir que eJ. original se red~­ce
a la mitad de su superficie .~Por qué?
Cuestiones :
.~Qué número debemos puJ.sar para obtener una tercera parte del
tamaño original?
• Observa las tres reducciones del cuadro. Averigua que número
se tecleó en la máquina para obtener cada una de elJ.as.
D
-41-
5, LA PROPORCIONALIDAD ANIMAL
/. ])""~'"';·~
:-- - r-) ~----~--- ¿Cu&nta-0 vece-O ha caecido el
.--- _ ll' cm
aatoncif.lo en longitud?
/'·~~~
1<-.. ·l..--~-.
~--- · ~5 cm---...;
la hoaca adulta e-O apaoximadamente ••••.••••••••••• de ea jove~
la hoaca joven e-O ••••••••••••••••••••••••••••••• de ea adult~
__________.,,..-,," ._' • r nr r-r-,~ _
.~r ;:__,~~>___}__J_'--.J-:__, -, ' 1 '--¡
~ ·-- 6 m ._....
~--·- 2 m~
' ' )~~!J.!:~~·2~'--'-'q._
¿En qué paopoación ha aumentado el laago del cocodailo?
kg.
El conejo adulto ha aume11.
tado •••••••••• -0u pe-00.
¿Qué -0ucede con el pe-00 de lo-0 0-00-0?
El conejo joven pe-Oa,,,,,
,,,,,de -Ou pe-00 adulto.
-42-
6, CURVAS DE NIVEL
.)()m.1---------
40m.
: 1 : : . : 1 :· t
~.
,,
lt difujo 4ep4ehenta ta hieueta de una montaña, ln hu p~~te
Si fah CU4LJah de nivel he han difujado cada ZO m,lqui attu~a -
¿Dónde he encuent4a la pendiente mdh p40nunciada?
-43-
REFERENCIAS PRINCIPALES
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Freudenthal,H. (1983) - Didactical phaenomenology of maths ed~
cation - Reidel - Dordrecht (Holanda)
Sulrez y otros (1978) - La funci6n lineal - Fundadi6n Limmat -
Zurich
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adolescents in Acquisition of mathematical concepts and processes - Acad.
Press - New York
PROPUESTAS DIDÁCTICAS
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Univ. Politécnica - Catalunya,Barcelona.
Prog. IOWO (1.-985) - Shadows and depth - Dordrecht (Holanda)
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Azcárate,C. ,Berini,M.~.Corber6,R. ,Deuloseu,C. y Llad6,C.- Pr.2, -
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- Publ, Univ. Politécnica - Catalunya,Barcelona
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Karplus,Adi,Lawson (1980) - Intellectual development beyond
elementary school. Proportional,probabilistic and correctional reasoning
- School science and mathematics - Vol.80,pp. 673-683
Ricco,G (1982) Les premiE,res acquisition de la notion de fun.9_­tion
lineaire chez l'enfant du 7 a 11 ans - Educational Studies in Math~
matice - Vol.13,n~ 3,pp.2R9-327 - Dordrecht (Holanda)
Streefland,L. (1984-85) - Search for the roots of ratio ••• I and
II - Educational studies in mathematics - Vol.15-16 - Dordrecht(Hcia~da)
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