Determinación de los órdenes de los polinomios de retardos de una función de transferencia: comparación de algoritmos

              Rev.Acad.Canar.Cienc., I, 173-183 (1990)
DETERMINACION DE LOS ORDENES DE LOS POLINOMIOS DE RET ARDOS EN UNA FUNCION
DE TRANSFERENCIA: COMPARACION DE ALGORITMOS
C. Gonzalez-Concepci6n y V. J. Cano-Fernandez
Departamento de Economia Aplicada Universidad de La Laguna
La Laguna, Espana
ABSTRACT
In this note we compare two algorithms (corner method and c-algorithm)
for identification of the lag structure of transfer function model by means of
simulation exercise.
KEY WORDS: Transfer Function Model, Corner Method, c-algorithm.
INTRODUCCION
En este trabajo, se aborda el problema de especificaci6n (identificaci6n)
del comportamiento dinamico en un modelo de funci6n de transferencia a traves
de dos procedimientos diferentes: metodo corner y c-algoritrno. El metodo
corner fue propuesto inicialmente por Seguin, J., Gourieroux, M. y Monfort, A.
en (1) para la identificaci6n en rnodelos ARMA univariantes y extendido por
Liu, L. y Hanssens, D. ([2]) en el estudio de una funci6n de transferencia con
multiples inputs. Es importante destacar, que dicho metodo no ha sido
excesivamente utilizado en trabajos aplicados, sin embargo, se han seguido
realizando aportaciones te6ricas basadas en puntos de partida similares a los
empleados en este para la representaci6n de modelos ARMA univariantes y
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multivariantes. Nos ref erimos, en concrete, a la propuesta llevada a cabo por
Berlinet, A. ((3)) de Ja utilizaci6n de) c-algoritmo coma metodo para la
determinaci6n de Jos 6rdenes de los polinomios en los modelos antes ref eridos.
Aqu!, se comparan, a traves de un estudio de simulaci6n, las
especificaciones alternativas dadas por ambos metodos en el caso de una
funci6n de transferencia con un solo input. En el siguiente apartado se
presenta la formulaci6n del modelo de funci6n de transferencia. En el apartado
tercero se destacan las caracter!sticas de ambos metodos poniendo de
manifiesto SU relaci6n te6rica. Finalmente, en el apartado cuarto se presentan
los resultados obtenidos de la experiencia practica realizada y las
conclusiones que de ella se pueden extraer.
EL MODELO DE FUNCION DE TRANSFERENCIA. FORMULACION
El modelo de funci6n de transferencia constituye una de las
representaciones mas importantes, utilizadas habitualmente, para la
especificaci6n de relaciones din&nicas entre variables temporales. As!, el
comportamiento de una variable output Y t sc supone que queda explicado por dos
componentes; uno determinista, descrito a traves de una o mas variables inputs
xlt' y otro aleatorio, que puede admitir cualquier tipo de estructura
. univariante. En este sentido, se supone una relaci6n dinamica de causalidad
unidireccional Xlt~ Yt' que viene dado por la combinaci6n de los efectos
desplazados de las variables inputs Xtt' mas el componente aleatorio sabre Y t'
esto es,
y
t
k Ill E E vlJ
l =l J=O
x
lt
+ N
t
N
t
174
9q(L)
th>(L)
a
t
(1)
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que puede ser representado de forma compacta y para una sola variable input
como,
Y v(L) X + N con
t t t
v(L) v +vL+v L 2 + ...
0 1 2
(2)
donde v(L) constituye la denominada en (4) funci6n de transferencia del
filtro, o tambien funci6n de respuesta al impulso (FRI) del sistema.
Una reformulaci6n mas 'parsimoniosa' de (1), en el sentido de reducir el
nfunero de parametros en la relaci6n, viene dada por la estructura racional
siguiente,
y
t
W(L)
__•_ _ Lb Xt+ Nt
a (L)
r
W (L) • W + W L + ... + W L8
0 1 •
(3)
a cu r
1 - a L - ... - c5 Lr
l r
introduciendose la posibilidad de que no exista una respuesta inmediata en la
variable output a traves de Lb. Aslmismo, suponemos que las raices del
pollnomio caracteristico de a (L) estAn fuera del circulo de radio unidad, lo
r
que garantiza la estabilidad del modelo.
La formulaci6n dada en (3) es la que se conoce habitualmente como
modelo de funci6n de transferencia (IT) con un solo input y es sabre el que
plantearemos el problema de identif icaci6n de .os 6rdenes del cociente
polinomial. En el caso que nos ocupa supondremos que N t es ruido blanco.
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DETERMINACION DE LA ESTRUCTURA RACIONAL: METODO CORNER Y c-ALGORITMO
Se han sugerido diversos procedirnientos para la identificaci6n de los
6rdenes de los polinomios de retardos que envuelven la relaci6n dada en (3)
del rnodelo de FT. Entre estos destaca la propuesta realizada en (2) para una
funci6n de transferencia con multiples inputs, que es una extensi6n del metodo
corner propuesto inicialmente en (1) para la identificaci6n de los 6rdenes de
los polinornios de retardos de un modelo ARMA (p,q) univariante1
• Asimismo,
existe la posibilidad de abordar este problema desde una perspectiva diferente
en terminos de algoritmos relacionados con aproximaciones numericas tipo
racional, entre las que destaca el c-algoritmo.
Estos metodos . se basan en la estimaci6n directa de las ponderaciones de
la FRI dada en (2). que bajo el supuesto realizado acerca de las rakes de
c5 (L), puede aproximarse, para un n1.lmero finito de terminos como sigue,
r
y
t
• X + N
t t
(4)
donde t indica el n1.lmero finito de terminos para el cual de aproxima la
estructura de retardos. Esta expresi6n puede reformularse coma,
y (5)
donde Y representa el vector de valores de la variable output, ~ el de
parametros de las ponderaciones de la FRI y X la matriz de valores de la
1
Otroa procedlmlentos, basados en una lnstrumenlallzacl6n dlferente, pueden
encontrarse en (4) y (5).
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variable input y sus retardos. Bajo el supuesto de que ~ es ruido blanco,
puede obtenerse directamente Jas estirnaciones de ~ mediante Ja aplicaci6n de
MCO en (5) 2
•
A partir de aqu{, el rnetodo corner y el c-algoritmo difieren en la
aproximaci6n que se realiza para la obtenci6n de los 6rdenes (s,b,r) de la
IT dada en (3).
Para el metodo corner, la extensi6n realizada en (2), pasa por def inir,
v
l,maz
y v / v (6)
I l,max
donde v
1
son los valores poblacionales de las ponderaciones de la FRI. Los 11
1
pueden mterpretarse come los pesos relatives de los valores de los retardos
sabre el mAximo valor. Estas ponderaciones satisfacen, al igual que la funci6n
de correlaci6n en un modelo ARMA(p,q), una ecuaci6n lineal en diferencias de
orden r y range s+b. Asi, hacienda uso de la relaci6n entre las ponderaciones
de las FRI y su representaci6n racional tenemos,
v-av -av
l 1 1-1 2 1-2
- a v = 0 si ~ b+s
r 1-r
• 0 si b+s-1
(7)
Analogamente para la secuencia de 11
1
, desde (6). Existe una equivalencia
entre dicha expresi6n y la obtenida a partir deun resultado de las matrices de
z
Mantendremos el supuesto de que !: ea ruldo blanco en la slmulacl6n
reallzada. Para otros tlpos de estructura, v.!ase (2).
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Hankel3 para la secuencia (l) ). De esta fonna, puede construirse una matriz
l
D(f,g)s(d ) tal que d ~ , de dimensi6n gxg, donde f ~ 0 , g ~ 1 y l)
1
= 0
lJ lJ f+l-J
si i < 0. De aqu!, definiendo fi(f ,g) el determinante de la ma t riz de Hankel de
D(f,g), podemos obtener una representaci6n del tipo 'caracterizaci6n corner',
donde ahora,
A(f ,g) = 0 si f :l!: b+s g ~ r+ 1
A(f ,r) ~ O
A(b+s-1,g) ._ 0
si f ~ b+s-1 (8)
si g ~ r
Asi, para unos valores M y M' enteros y mayores que b+s y r+l,
respecti vamente, puede construirse la tabla corner, cuyos elementos
constitutivos son los determinantes A(f ,g). Entonces, la FRl tiene una
representa~i6n w.CL)/c5r(L) Lb, con 6rdenes (s,b,r), si y s6lo si, la tabla
corner tiene la siguiente estructura:
l'•I ..
11 · 1
11• 1 6111•1.11 6fb•1.21 . .. 6fb•l,l'I : Afll•l , 1'•11 • •• 6111•1,ll "I
I
II 6111 . II 6111.J) 6fll. fl
donde los valores no representados por ceros se suponen significativos. En
general, se propane que el proceso de identificaci6n de los 6rdenes (s,b,r)
3
Vhae (6).
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sea global en tfrminos de buscar una estructura de conjunto de la tab.la. As{,
la obtencl6n de la terna (s,b,r) implica que las b-1 primeras filas y la
esquina inferior derecha, formada por las s+b hasta M filas y las r+l hasta
M', tengan todos sus elementos significativamente iguales a cero.
Por otro lado, el c-algoritmo, definido en (7), es un algoritmo iterativo
como sigue:
Dada la sucesi6n ~(v1) 1eZ' se definen las cantidades:
V El, c 1 (v)
-1
VkeZ,V
0 y
que se calculan mediante el esquema:
v
I
(9)
El punto de conexi6n entre el c-algoritmo y el metodo corner se establece
a trav~ de los determ.inantes de Hankel y, mas concretamente, de la
transformaci6n de Shanks ((7)).
La determinaci6n de los 6rdenes (s,b,r) en (5), se obtiene de la
estructura de la tabla, teniendo en cuenta la relaci6n entre el c-algoritmo y
la aproximaci6n tipo-Pade racional introducida en (8) en los siguientes
terminos:
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m
D d I . d . d f(t) = \ v t 1 a a a serie e potenc1as e t l (v , t E C)
1 1
1=0
se definen los aproximantes tlpo-Pade para la serie
anterior, como:
[ m/k ], (t)
p +
0
q +
0
entonces, en un punto fijo t:
m-k c
2k
[ m/k ], (t) (10)
Por tanto, si la tabla formada por las cantidades de subindice par que se
obtienen del c-algoritmo tiene la siguiente estructura:
Col
ru
111·1
..
111-i·r
....
•·••1
·:
;:····
;:··
·:··
•.•• 2(r · 11 2r
..· -·
..'- ••··..; .·..
ii. ...... ...
;:····::: ;-·. .·..-.·. . ·::···
ii. •••• .. . .. ·::::::·
entonces, la serie en estudio puede representarse por una funci6n racional:
180
(ll)
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o bien, en el caso que nos ocupa, la FRI tiene Wla representaci6n racional
como la dada en (3).
R£SULTADOS Y CONCLUSIONES
Los resultados para la comparaci6n de ambos metodos han sldo obtenidos a
partir de un ejercicio de simulaci6n para una funci6n de transf erencia con
b=2, s=l, r=2. Para un tamano muestral efectivo de 120 observaciones, se
realizaron 100 replicaciones del siguiente m~elo 4
:
MODELO SIMULADO:
(W + W L)
y = ____0 _ _1_ ____ Lb X + £
t ( l _ c5 L _ c5 L 2) t t
1 2
(1 - 0 .5 L) X = a
t t
w = 1.25
0
c5 = 1.1
1
w = 0.75
1
c5 = -0.6
2
donde at- N(0,1)
t 1, 2, ... , N N=l20
£t- N(0,4)
Obteniendose, en terminos · medios, las siguientes tablas que caracterizan
cada uno de los metodos empleados:
TABLA CORNER (Medias)
1 2 3 4. 5 6 1
0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2 0.61 0.39 0.24 0.15 0.10 0.06 0.04
3 1. 00 0.53 0.14 0.02 0.00 -0.01 0.00
4 0.76 0.36 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00
5 0.22 0.20 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
6 -0.21 0. 12 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1 -0.37 0.08 0 . 00 0 . 00 0.00 0.00 0.00
" Para otro tlpo de comparac16n utlllzando tarnblen el metodo corner, v4ase (9).
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TABLA EPSILON (Medias)
0.00
-0.02 0.00
1. 29 3.42 1. 13
2. 10 1. 79 0.95 1. 34
1. 60 2.48 0.38 -3.17 0.74
0.46 -3.53 -0.26 -0.01 0.05 -0. 10
-0.43 -0.97 0.22 0.07 0.01 -0.02 0.00
-0.77 -0.65 0.03 0.57 -0.01 -0.01 -0.11 0.01
-0.58 -0.92 -0.18 -0.06 -0.01 -0.02 0.00
-0.15 0.74 0.19 0.08 0.02 0.00
0. 14 0.31 -0.03 -0.81 0. 18
0.25 0.22 -0.38 0.04
0.21 0.26 0.49
0.08 0.38
-0.14
Las conclusiones mas relevantes pueden resumirse como siguen:
a) Ambos metodos recogen en un porcetaje aproximado al 1007., el valor b que
representa la demora en la reacci6n de la variable output. b) En cuanto al
valor de s de la estructura dinamica, el c-algoritmo tiende a sobrevalorarlo
situandose en seil,2,3,4~ salvo casos aislados. En el m~todo corner, dicho
rango es sei 1,2 ~- c) El comportamiento dictado por el orden r de la ecuaci6n
en dif erencias, se sitUa. para ambos m~todos en re{ 1,2,3 h dandose un alto
porcentaje de aciertos del modelo simulado. d) Sobre las medias de las
ponderaciones de la FRI, ambos m~todos reproducen el modelo correcto.
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